Física do ensino médio · Grades 10–12

2Espectros luminosos e a mensagem da luz

Um feixe de luz de estrela é a única amostra de estrela que jamais teremos nas mãos, e ela se revela generosa. Espalhe o feixe no seu espectro — um prisma de vidro faz isso, uma cortina de gotas de chuva também — e a luz vira uma mensagem: um fundo contínuo de arco-íris anuncia a temperatura da estrela, e um código de barras de linhas finas soletra, elemento por elemento, de que ela é feita. Este capítulo aprende a ler as duas partes da mensagem — primeiro em lâmpadas de laboratório, depois no Sol.

2.1 A luz branca e o seu espectro

Definição 2.1 (Decomposição da luz branca)

Quando um feixe estreito de luz solar atravessa um prisma de vidro, ele sai espalhado numa faixa contínua de cores, do vermelho ao violeta. Essa faixa é o espectro da luz. A luz que contém todas as cores visíveis, como a luz do Sol ou a de uma lâmpada comum, chama-se luz branca. A luz de uma única cor pura, que prisma nenhum consegue separar mais, é monocromática (um feixe de laser, por exemplo); uma mistura de várias cores é policromática. Um instrumento que realiza a decomposição e lê a composição de uma luz é um espectroscópio.

Um prisma abre em leque um feixe de luz branca no seu espectro; num anteparo, o leque pinta uma faixa contínua de arco-íris.

Observação 2.2 (Prismas e gotas de chuva)

O prisma funciona porque o vidro desvia a luz violeta um pouco mais do que a vermelha — por que ele faz isso pertence ao estudo da refração, no Capítulo 3; aqui apenas usamos o efeito. A água faz o mesmo serviço: cada gota de uma chuva passageira age como um prisma minúsculo, recebendo luz solar branca e devolvendo-a separada por cor. Um arco-íris é o espectro do Sol, desenhado no céu.

Definição 2.3 (Comprimento de onda, a carteira de identidade de uma radiação)

Cada radiação monocromática é caracterizada por um único número, o seu comprimento de onda $\lambda$ , medido em nanômetros ( $1\,\mathrm{nm} = 10^{-9}\,\mathrm{m}$ ). O comprimento de onda é a carteira de identidade da radiação: dado $\lambda$ , está dito tudo o que há a dizer sobre a cor pura. O olho responde a comprimentos de onda entre cerca de $400\,\mathrm{nm}$ (violeta) e $800\,\mathrm{nm}$ (vermelho) — o espectro visível. Além das duas pontas a radiação continua, invisível para nós: ultravioleta abaixo de $400\,\mathrm{nm}$ , infravermelho acima de $800\,\mathrm{nm}$ . O que o comprimento de onda mede de fato — o comprimento de uma ondulação de uma onda luminosa — é explicado no Capítulo 8; neste capítulo, o que importa é o número em si.

Exemplo 2.4 (Ler comprimentos de onda)

Uma caneta laser verde emite em $532\,\mathrm{nm}$ : dentro da faixa visível, no verde. Uma lâmpada germicida de mercúrio emite em $254\,\mathrm{nm}$ : ultravioleta, invisível (e perigosa para o olho justamente por ser invisível). O diodo de um controle remoto de televisão emite em $940\,\mathrm{nm}$ : infravermelho — aponte-o para a câmera de um celular, cujo sensor enxerga um pouco além de $800\,\mathrm{nm}$ , e os lampejos invisíveis aparecem na tela.

2.2 Espectros contínuos e temperatura

Definição 2.5 (Espectro contínuo)

A matéria densa e quente — o filamento de uma lâmpada, o aço fundido, a superfície de uma estrela — brilha, e a sua luz contém todos os comprimentos de onda de uma ampla faixa: uma banda de cor ininterrupta, sem nada faltando. Um espectro assim é um espectro contínuo. Ele não carrega vestígio algum da natureza química do corpo: uma barra de ferro em brasa branca e uma barra de cobre em brasa branca brilham igual. O que ele codifica — e por completo — é a temperatura.

Definição 2.6 (Temperatura absoluta)

Nas leis da radiação, a temperatura absoluta é contada não a partir do ponto de congelamento da água, mas a partir do estado mais frio possível, $-273{}^{\circ}\mathrm{C}$ . A unidade é o kelvin (símbolo $\mathrm{K}$ ), com graus do mesmo tamanho:

T \text{ (em } \mathrm{K}) = \theta \text{ (em } {}^{\circ}\mathrm{C}) + 273 .

Assim, uma sala a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ está a $293\,\mathrm{K}$ , e a superfície do Sol, perto de $5500{}^{\circ}\mathrm{C}$ , está perto de $5800\,\mathrm{K}$ .

Proposição 2.7 (Mais quente é mais brilhante e mais azul (lei de Wien))

Quando a temperatura de um corpo denso incandescente sobe,

ele irradia mais em todos os comprimentos de onda: o espectro inteiro clareia;
o comprimento de onda $\lambda_{\max}$ em que ele irradia com mais intensidade desliza para o lado dos comprimentos de onda curtos (o azul), segundo

$\lambda_{\max} \times T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K},$

em que $T$ é a temperatura absoluta em kelvins.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 2.8 (De onde vem essa lei)

A lei de Wien resume medidas cuidadosas feitas em fornos e filamentos no fim do século XIX. Deduzi-la exige a teoria quântica da radiação — esse espectro é, na verdade, exatamente o que a física clássica não conseguia explicar, e o enigma que obrigou Planck a inventar o quantum. A dedução honesta é feita no volume do terceiro ano de graduação.

A faixa visível de um espectro contínuo em três temperaturas: quanto mais fria a fonte, mais apagada a faixa — e a ponta azul é a primeira a sumir.

Exemplo 2.9 (Medir a temperatura do Sol)

O espectro contínuo do Sol é mais intenso perto de $\lambda_{\max} = 500\,\mathrm{nm}$ . A lei de Wien dá a sua temperatura superficial:

T = \frac{2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}}{5.00 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}} = 5800\,\mathrm{K},

cerca de $5500{}^{\circ}\mathrm{C}$ — medida a $150$ milhões de quilômetros de distância, com um prisma e uma divisão.

Intensidade em função do comprimento de onda para duas estrelas: a mais quente irradia mais em todos os comprimentos de onda, e o seu pico _ (tracejado) fica num comprimento de onda menor. — Intensidade em função do comprimento de onda para duas estrelas: a mais quente irradia mais em todos os comprimentos de onda, e o seu pico $\lambda_{\max}$ (tracejado) fica num comprimento de onda menor.

2.3 Espectros de linhas de gases excitados

Definição 2.10 (Espectro de emissão de linhas)

Um gás a baixa pressão, excitado por uma descarga elétrica (como num tubo de neônio ou numa lâmpada de sódio de rua), também brilha — mas, visto num espectroscópio, a sua luz não tem nada de arco-íris. Só alguns comprimentos de onda isolados estão presentes: linhas finas e brilhantes sobre fundo preto, chamadas linhas espectrais. Um espectro assim é um espectro de emissão.

Exemplo 2.11 (Hidrogênio e sódio)

O hidrogênio excitado emite exatamente quatro linhas no visível: uma linha vermelha em $656\,\mathrm{nm}$ , uma linha azul-esverdeada em $486\,\mathrm{nm}$ e duas linhas violetas em $434\,\mathrm{nm}$ e $410\,\mathrm{nm}$ . O sódio excitado emite essencialmente uma forte linha amarelo-alaranjada em $589\,\mathrm{nm}$ — é por isso que as antigas lâmpadas de rua banham bairros inteiros nessa cor única: a sua luz quase não contém outra coisa.

Proposição 2.12 (A impressão digital dos elementos)

Cada elemento químico emite o seu próprio catálogo fixo de linhas espectrais, o mesmo em todo laboratório e em toda época, e não há dois elementos com o mesmo catálogo. Um espectro de linhas identifica, portanto, o elemento emissor, como uma impressão digital identifica uma pessoa.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 2.13 (Por que linhas?)

Por que um átomo emite apenas certos comprimentos de onda — e por que esses comprimentos de onda denunciam o elemento — é explicado pela teoria quântica do átomo, no último ano deste volume: cada elemento possui uma escada de níveis de energia, e cada linha marca um salto entre degraus. Por ora usamos a impressão digital como fazem os detetives: sem perguntar aos dedos como cresceram.

2.4 Espectros de absorção

Definição 2.14 (Espectro de absorção)

Envie luz branca através de um gás frio e a baixa pressão e disperse o que sai: o arco-íris contínuo reaparece, mas riscado por linhas escuras finas. O gás retirou certos comprimentos de onda da luz que passou. Um espectro assim — um fundo contínuo menos um conjunto de linhas — é um espectro de absorção.

Proposição 2.15 (Linhas de emissão e de absorção coincidem)

Um gás absorve exatamente os comprimentos de onda que é capaz de emitir: as linhas escuras do espectro de absorção de um elemento ficam nos mesmos comprimentos de onda das linhas brilhantes do seu espectro de emissão. A impressão digital da Proposição 2.12 pode, portanto, ser lida tanto no escuro quanto no claro.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 2.16 (Um mecanismo, dois sinais)

A coincidência não é acaso: absorver em $\lambda$ sobe o mesmo degrau de energia que emitir em $\lambda$ desce — os capítulos de quântica no fim deste volume tornam isso preciso. Estabelecida por Kirchhoff e Bunsen em 1859, ela é a chave que destranca a seção inteira que vem a seguir.

Os dois espectros do hidrogênio: linhas de emissão brilhantes (em cima) e linhas de absorção escuras (embaixo) exatamente nos mesmos comprimentos de onda, 410, 434, 486 e 656\, nm. — Os dois espectros do hidrogênio: linhas de emissão brilhantes (em cima) e linhas de absorção escuras (embaixo) exatamente nos mesmos comprimentos de onda, $410$ , $434$ , $486$ e $656\,\mathrm{nm}$ .

Exemplo 2.17 (Um balão de vapor de sódio)

Luz branca atravessa um balão que contém vapor de sódio frio. O espectro transmitido é um arco-íris completo com uma linha escura em $589\,\mathrm{nm}$ — exatamente onde uma lâmpada de sódio brilha mais forte. Olhando o balão de lado, numa sala escura, vê-se a luz roubada sendo reemitida: um brilho tênue amarelo-alaranjado nesse mesmo comprimento de onda.

2.5 Análise espectral: ler uma estrela

Definição 2.18 (Análise espectral)

A análise espectral é a identificação dos elementos químicos contidos numa fonte (uma chama, uma lâmpada, uma estrela) pela comparação das linhas do seu espectro com os catálogos de laboratório dos elementos.

Método 2.19 (Ler o espectro de uma estrela)

Uma estrela é uma bola de matéria densa e quente (a superfície) envolvida por uma atmosfera mais rarefeita e mais fria. A sua luz chega, portanto, como um espectro contínuo riscado por linhas de absorção — e cada parte se lê separadamente:

Localize o pico $\lambda_{\max}$ do fundo contínuo; a lei de Wien (Proposição 2.7) dá a temperatura superficial $T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / \lambda_{\max}$ .
Liste os comprimentos de onda das linhas escuras.
Compare-os com os catálogos: um elemento só pode ser declarado presente se todas as suas linhas fortes aparecerem.
Conclua: a absorção acontece na atmosfera da estrela, de modo que os elementos identificados são os da atmosfera.

Exemplo 2.20 (A receita do Sol)

O espectro solar carrega milhares de linhas escuras, mapeadas por Fraunhofer em 1814. Entre as mais fortes: $410$ , $434$ , $486$ e $656\,\mathrm{nm}$ — a impressão digital completa do hidrogênio — junto com a linha do sódio em $589\,\mathrm{nm}$ e um par do cálcio em $393$ e $397\,\mathrm{nm}$ . A atmosfera do Sol contém hidrogênio acima de tudo, mais traços de elementos conhecidos das rochas da Terra. As medidas modernas refinam a manchete: o Sol é, em massa, cerca de três quartos de hidrogênio.

Observação 2.21 (O elemento encontrado primeiro no céu)

Durante o eclipse de 1868, uma linha brilhante em $587.6\,\mathrm{nm}$ apareceu no espectro da atmosfera do Sol — sem corresponder a elemento conhecido algum. Pela Proposição 2.12, uma impressão digital desconhecida significa um elemento desconhecido; um novo elemento foi então anunciado e batizado em homenagem ao sol grego, helios: o hélio. Ele só foi isolado na Terra em 1895 — o único elemento químico descoberto no espaço antes de ser encontrado em casa.

2.6 Exercícios

Exercício 2.1 ★

Para cada radiação, diga se é ultravioleta, visível ou infravermelha, e dê a sua cor se for visível: $254\,\mathrm{nm}$ (lâmpada de mercúrio), $480\,\mathrm{nm}$ , $589\,\mathrm{nm}$ , $656\,\mathrm{nm}$ , $1064\,\mathrm{nm}$ (laser de corte).

Solução

Solução de Exercício 2.1.

$254\,\mathrm{nm} < 400\,\mathrm{nm}$ : ultravioleta. $480\,\mathrm{nm}$ : visível, azul. $589\,\mathrm{nm}$ : visível, amarelo-alaranjado. $656\,\mathrm{nm}$ : visível, vermelho. $1064\,\mathrm{nm} > 800\,\mathrm{nm}$ : infravermelho — o que torna um laser de corte duplamente perigoso: potente e invisível.

Exercício 2.2 ★

Um feixe estreito de luz solar incide sobre um prisma de vidro.

Descreva o que aparece num anteparo colocado atrás do prisma.
Qual das pontas da faixa foi mais desviada?
A luz solar é substituída pelo feixe de uma caneta laser verde. O que aparece agora no anteparo, e o que isso mostra sobre a luz laser?

Solução

Solução de Exercício 2.2.

1. Uma faixa contínua de cores, do vermelho ao violeta: o espectro da luz solar.

2. A ponta violeta — o prisma desvia mais os comprimentos de onda curtos.

3. Um único ponto verde: desviado, mas não espalhado numa faixa. A luz laser é monocromática — um só comprimento de onda, de modo que não há nada a separar.

Exercício 2.3 ★

Associe cada fonte ao tipo de espectro que ela produz (contínuo, emissão de linhas ou absorção): (a) o filamento de uma lâmpada incandescente; (b) um tubo de neônio de letreiro; (c) ferro fundido numa siderúrgica; (d) uma lâmpada de sódio de rua; (e) a luz do Sol recebida na Terra.

Solução

Solução de Exercício 2.3.

(a) Contínuo (filamento denso e quente). (b) Emissão de linhas (gás excitado a baixa pressão). (c) Contínuo (metal fundido denso). (d) Emissão de linhas (essencialmente a única linha em $589\,\mathrm{nm}$ ). (e) Absorção: o espectro contínuo da superfície quente, riscado pelas linhas escuras da atmosfera mais fria do Sol.

Exercício 2.4 ★

Sobre arco-íris:

O que faz o papel do prisma?
Um arco-íris só se vê com o Sol atrás do observador e chuva à frente. O que cada ingrediente fornece?
Explique por que um arco-íris prova que a luz do Sol é luz branca.

Solução

Solução de Exercício 2.4.

1. As gotas de chuva: cada uma recebe luz solar branca, decompõe-a e devolve-a separada por cor.

2. O Sol fornece a luz branca; a chuva fornece milhões de prismas minúsculos; a geometria só funciona para a luz devolvida pelas gotas na direção do observador, e é por isso que o Sol tem de estar às costas do observador e a chuva, à frente.

3. As gotas não acrescentam luz nenhuma — elas só separam o que recebem. Se a luz solar separada exibe todas as cores, então todas as cores já estavam contidas na luz solar: a luz do Sol é luz branca.

Exercício 2.5 ★

Um ferreiro aquece um prego de ferro: ele brilha em vermelho fosco, depois em laranja vivo, depois quase branco.

Ordene as três etapas por temperatura.
Quais dois efeitos da Proposição 2.7 a sequência ilustra?
Justifique a expressão “brasa branca é mais quente do que brasa vermelha”.

Solução

Solução de Exercício 2.5.

1. Vermelho fosco $<$ laranja vivo $<$ quase branco.

2. Os dois: o brilho fica mais forte (efeito 1) e a sua cor desliza do vermelho para o lado azul (efeito 2, com o pico $\lambda_{\max}$ diminuindo), de modo que uma parte cada vez maior da faixa visível fica intensamente iluminada — e uma faixa completa se lê como branco.

3. Um corpo que brilha branco emite intensamente em toda a faixa visível; um corpo que brilha vermelho só dá conta da ponta de comprimentos de onda longos. Pela lei de Wien, o primeiro é o mais quente.

Exercício 2.6 ★★

O espectro contínuo do Sol tem pico em $\lambda_{\max} = 500\,\mathrm{nm}$ .

Calcule a temperatura superficial do Sol em kelvins.
Converta-a para graus Celsius.
Verifique que o pico cai dentro da faixa visível e diga a sua cor.

Solução

Solução de Exercício 2.6.

T = \frac{2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}}{5.00 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}} = 5800\,\mathrm{K}.

2. $\theta = 5800 - 273 = 5527{}^{\circ}\mathrm{C} \approx 5500{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

3. $400\,\mathrm{nm} < 500\,\mathrm{nm} < 800\,\mathrm{nm}$ : o pico é visível, no verde.

Exercício 2.7 ★★

A chama de uma vela brilha a cerca de $1800\,\mathrm{K}$ ; uma chapa elétrica regulada no “morno” fica a cerca de $500\,\mathrm{K}$ .

Calcule $\lambda_{\max}$ para cada fonte e dê o seu domínio.
A chapa está claramente quente — a mão colocada acima dela sente a radiação — e ainda assim parece preta. Explique.
O pico da vela também está fora da faixa visível. Por que, então, conseguimos ver a chama?

Solução

Solução de Exercício 2.7.

1. Vela: $\lambda_{\max} = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 1800\,\mathrm{K} = 1.61 \times 10^{-6}\,\mathrm{m} = 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ , no infravermelho. Chapa: $\lambda_{\max} = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 500\,\mathrm{K} = 5.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{m} = 5.8\,\text{µ}\mathrm{m}$ , no infravermelho distante.

2. A $500\,\mathrm{K}$ praticamente toda a radiação é infravermelha: a pele a absorve e sente calor, mas o olho não recebe nada — quente e, ainda assim, preta.

3. Um espectro contínuo é largo: mesmo com pico em $1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ , o espectro da vela conserva uma cauda visível na ponta vermelho-amarela — fraca, mas suficiente para o olho adaptado ao escuro.

Exercício 2.8 ★★

Os catálogos de laboratório dão, no visível: hidrogênio $\{410, 434, 486, 656\}\,\mathrm{nm}$ ; sódio $\{589\}\,\mathrm{nm}$ ; hélio $\{447, 502, 588, 668\}\,\mathrm{nm}$ . Duas lâmpadas de descarga são analisadas. A lâmpada A mostra linhas em $434$ , $486$ e $656\,\mathrm{nm}$ , mais uma linha violeta tênue perto do limite da visibilidade; a lâmpada B mostra uma única linha forte em $589\,\mathrm{nm}$ . Identifique o gás de cada lâmpada, justificando com cuidado por que a lâmpada B não contém hélio.

Solução

Solução de Exercício 2.8.

Lâmpada A: as linhas $434$ , $486$ e $656\,\mathrm{nm}$ batem com o hidrogênio, e a tênue linha violeta completa o catálogo em $410\,\mathrm{nm}$ : hidrogênio.

Lâmpada B: a linha fica em $589\,\mathrm{nm}$ , a única linha visível forte do sódio. O hélio é excluído não pela linha em si (o hélio de fato possui uma linha na vizinha $588\,\mathrm{nm}$ ), mas pelas que faltam: o hélio mostraria também $447$ , $502$ e $668\,\mathrm{nm}$ , e nenhuma aparece. Um elemento se identifica pelo catálogo completo: a lâmpada B contém sódio.

Exercício 2.9 ★★

Luz branca é enviada através de um balão de vapor de sódio frio.

Descreva o espectro da luz transmitida.
Em que comprimento de onda fica a sua linha escura, e por que exatamente ali?
A lâmpada é desligada, a sala é escurecida e o vapor é agora excitado por uma descarga. Descreva o novo espectro.

Solução

Solução de Exercício 2.9.

1. Um arco-íris contínuo riscado por uma linha escura fina: o espectro de absorção do sódio.

2. Em $589\,\mathrm{nm}$ : um gás absorve exatamente os comprimentos de onda que é capaz de emitir (Proposição 2.15), e a linha visível forte do sódio está em $589\,\mathrm{nm}$ .

3. O espectro de emissão do sódio: uma única linha brilhante amarelo-alaranjada em $589\,\mathrm{nm}$ sobre fundo preto — o mesmo comprimento de onda, com os dois espectros trocando claro e escuro.

Exercício 2.10 ★★

Um espectro do Sol de alta resolução mostra linhas escuras em $410$ , $434$ , $486$ , $517$ , $518$ e $656\,\mathrm{nm}$ . Catálogos: hidrogênio $\{410, 434, 486, 656\}\,\mathrm{nm}$ ; magnésio $\{517, 518\}\,\mathrm{nm}$ .

Que elementos essas linhas revelam?
Em que parte do Sol as linhas são produzidas, e por que são escuras em vez de brilhantes?

Solução

Solução de Exercício 2.10.

1. $410$ , $434$ , $486$ , $656\,\mathrm{nm}$ : o catálogo completo do hidrogênio. $517$ e $518\,\mathrm{nm}$ : o par do magnésio. Os dois elementos estão presentes.

2. Na atmosfera do Sol, o gás mais frio e mais rarefeito acima da superfície incandescente. A superfície manda para cima um espectro contínuo; a atmosfera retira os seus próprios comprimentos de onda da luz que passa, e as linhas aparecem como luz que falta — escuras contra o fundo brilhante.

Exercício 2.11 ★★

O seu corpo tem temperatura superficial de cerca de $37{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Converta para kelvins e calcule o $\lambda_{\max}$ da sua própria radiação térmica.
Em que domínio ele cai?
Deduza por que ninguém brilha visivelmente numa sala escura, e como uma câmera térmica encontra pessoas mesmo assim.

Solução

Solução de Exercício 2.11.

1. $T = 37 + 273 = 310\,\mathrm{K}$ , logo

\lambda_{\max} = \frac{2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}}{310\,\mathrm{K}} = 9.4 \times 10^{-6}\,\mathrm{m} = 9.4\,\text{µ}\mathrm{m}.

2. Infravermelho distante — mais de dez vezes o comprimento de onda da luz vermelha.

3. A $310\,\mathrm{K}$ a parte visível da radiação é completamente desprezível: nenhum brilho visível, por mais escura que esteja a sala. Uma câmera térmica carrega um sensor sintonizado na radiação efetivamente emitida, em torno de $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ , e vê os corpos quentes brilharem contra um entorno mais frio.

Exercício 2.12 ★★★

O filamento de tungstênio de uma lâmpada incandescente trabalha a $2700\,\mathrm{K}$ .

Calcule $\lambda_{\max}$ e dê o seu domínio.
Explique por que essas lâmpadas são péssimas luminárias e ótimos aquecedorezinhos.
Que temperatura de filamento colocaria $\lambda_{\max}$ em $550\,\mathrm{nm}$ , no meio do visível? O tungstênio funde a $3700\,\mathrm{K}$ ; conclua por que nenhuma lâmpada de filamento consegue imitar a luz do dia, e por que a iluminação migrou para outras tecnologias.

Solução

Solução de Exercício 2.12.

1. $\lambda_{\max} = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 2700\,\mathrm{K} = 1.07 \times 10^{-6}\,\mathrm{m} \approx 1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : infravermelho próximo.

2. O espectro tem pico além do visível: a maior parte da potência elétrica volta como infravermelho invisível — ou seja, como calor — e só uma pequena cauda visível ilumina o cômodo. Como luminária, a lâmpada desperdiça quase toda a sua potência; como aquecedor, é quase perfeita.

3. $T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 5.50 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} \approx 5300\,\mathrm{K}$ — muito acima do ponto de fusão do tungstênio, $3700\,\mathrm{K}$ . Nenhum filamento sólido pode ser levado a temperaturas de luz do dia, de modo que as lâmpadas com aparência de luz natural tiveram de abandonar a incandescência de vez (tubos fluorescentes, LEDs), produzindo luz visível sem aquecer corpo algum a $5300\,\mathrm{K}$ .

Exercício 2.13 ★★★

O espectro de uma estrela mostra um fundo contínuo com pico em $420\,\mathrm{nm}$ , riscado por linhas escuras em $393$ , $397$ , $410$ , $434$ , $486$ e $656\,\mathrm{nm}$ . Catálogos: hidrogênio $\{410, 434, 486, 656\}\,\mathrm{nm}$ ; cálcio $\{393, 397\}\,\mathrm{nm}$ ; sódio $\{589\}\,\mathrm{nm}$ .

Calcule a temperatura superficial da estrela. Ela é mais quente ou mais fria do que o Sol?
Que elementos a sua atmosfera certamente contém?
O sódio é abundante nessa atmosfera? Justifique.

Solução

Solução de Exercício 2.13.

1. $T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 4.20 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} \approx 6900\,\mathrm{K}$ : mais quente do que os $5800\,\mathrm{K}$ do Sol.

2. Hidrogênio (o conjunto completo $410$ , $434$ , $486$ , $656\,\mathrm{nm}$ está presente) e cálcio (as duas linhas, $393$ e $397\,\mathrm{nm}$ ).

3. Não. A linha do sódio em $589\,\mathrm{nm}$ está ausente, e sódio abundante na atmosfera necessariamente a imprimiria sobre o fundo contínuo. Se houver sódio, é só em traços fracos demais para serem detectados.

Exercício 2.14 ★★★

Uma lâmpada de descarga contém uma mistura de dois gases. O seu espectro mostra linhas em $410$ , $434$ , $447$ , $486$ , $502$ , $588$ , $656$ e $668\,\mathrm{nm}$ . Usando os catálogos do Exercício 2.8:

Identifique os dois gases.
Um colega afirma que a linha de $588\,\mathrm{nm}$ prova que a lâmpada também contém sódio (linha em $589\,\mathrm{nm}$ ), já que um espectroscópio barato não separa comprimentos de onda distantes $1\,\mathrm{nm}$ um do outro. Sem um instrumento melhor, por que o hélio é explicação suficiente para essa linha — e que medida resolveria de vez a questão do sódio?

Solução

Solução de Exercício 2.14.

1. O hidrogênio explica $410$ , $434$ , $486$ e $656\,\mathrm{nm}$ ; o hélio explica $447$ , $502$ , $588$ e $668\,\mathrm{nm}$ . Toda linha observada fica explicada: a mistura é de hidrogênio e hélio.

2. O hélio é explicação suficiente porque as suas outras três linhas ( $447$ , $502$ , $668\,\mathrm{nm}$ ) estão todas presentes — a linha de $588\,\mathrm{nm}$ é então esperada só do hélio, e nada no espectro exige sódio. Para resolver a questão é preciso resolução, não argumento: um espectroscópio mais fino separa a linha única do hélio, em $587.6\,\mathrm{nm}$ , da do sódio, que é na verdade um par próximo em $589.0$ e $589.6\,\mathrm{nm}$ . Ver uma linha ali absolve o sódio; ver três o condena.

Exercício 2.15 ★★★

Na constelação de Órion, Betelgeuse brilha visivelmente vermelha e Rigel, branco-azulada. Os seus espectros contínuos têm pico em cerca de $850\,\mathrm{nm}$ e $240\,\mathrm{nm}$ , respectivamente.

Calcule as duas temperaturas superficiais.
Recupere a razão entre as duas temperaturas diretamente dos dois comprimentos de onda, sem recalcular nenhuma das temperaturas.
Explique as duas cores, sabendo que nenhum dos dois picos cai na faixa visível.
As duas estrelas são brilhantes a olho nu. Por que um pico fora da faixa visível não torna uma estrela invisível?

Solução

Solução de Exercício 2.15.

1. Betelgeuse: $T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 8.5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} \approx 3400\,\mathrm{K}$ . Rigel: $T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 2.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} \approx 12\,000\,\mathrm{K}$ .

2. Como $\lambda_{\max} \times T$ é a mesma constante para as duas, $\dfrac{T_{\text{Rigel}}}{T_{\text{Betelgeuse}}} = \dfrac{850\,\mathrm{nm}}{240\,\mathrm{nm}} \approx 3.5$ .

3. Betelgeuse tem pico no infravermelho: dentro da faixa visível, o seu espectro é mais forte na ponta vermelha, e por isso a estrela parece vermelha. Rigel tem pico no ultravioleta: a sua faixa visível é mais forte na ponta azul, daí o branco-azulado.

4. Um espectro contínuo cobre uma enorme faixa de comprimentos de onda. Mesmo com o pico fora da faixa visível, uma estrela despeja bastante luz dentro dessa faixa — o pico decide o tom, não a visibilidade.

2.7 Problema: ler a luz das estrelas

Problema 2.1

Problema de fim de semana — ler a luz das estrelas: o filósofo que disse “nunca”, e como um prisma mede a temperatura de uma estrela e lê a sua receita química

Em 1835 o filósofo Auguste Comte precisava de um exemplo de conhecimento para sempre fora do alcance humano, e escolheu-o com cuidado: a composição química das estrelas. Ninguém jamais engarrafaria uma estrela. Em 1859 Kirchhoff e Bunsen casaram as linhas escuras do Sol com as linhas brilhantes de chamas de laboratório, e o conhecimento inalcançável chegou na volta da luz. Este problema refaz o caminho inteiro: impressões digitais de laboratório, corpos incandescentes, as linhas escuras do Sol — e, por fim, uma estrela cuja temperatura e composição você determinará da sua escrivaninha.

Parte I — Impressões digitais arquivadas.

Dê a faixa visível de comprimentos de onda em nanômetros e a cor de cada extremidade. Onde fica $550\,\mathrm{nm}$ ?
Uma lâmpada de descarga de hidrogênio mostra linhas em $410$ , $434$ , $486$ e $656\,\mathrm{nm}$ . Dê a cor de cada linha.
Uma lâmpada de sódio emite essencialmente uma linha em $589\,\mathrm{nm}$ . Como a lâmpada parece ao olho, e por que é inútil tentar julgar a cor de um carro estacionado sob essa luz de rua?
Explique por que um conjunto de linhas espectrais identifica um elemento — e por que todas as linhas fortes de um elemento precisam ser encontradas antes de declará-lo presente.
Preveja o espectro visto (a) quando luz branca atravessa um balão de vapor de sódio frio e (b) quando o mesmo vapor, sozinho numa sala escura, é excitado por uma descarga.

Parte II — Corpos quentes e as suas cores.

Enuncie os dois efeitos que a elevação da temperatura de um corpo denso incandescente produz no seu espectro contínuo.
Um filamento halógeno trabalha a $3400\,\mathrm{K}$ . Calcule $\lambda_{\max}$ e dê o seu domínio.
O espectro contínuo do Sol tem pico em $500\,\mathrm{nm}$ . Calcule a sua temperatura superficial.
Esse pico fica no verde — e ainda assim o Sol não parece verde. Explique.
Um atiçador esquecido na forja é primeiro sentido à distância sem que se veja brilho algum, depois brilha em vermelho fosco, depois em laranja esbranquiçado. Explique a sequência inteira com a questão 6.

Parte III — As linhas escuras do Sol.

O espectro solar é uma faixa contínua cortada por milhares de linhas escuras finas. Que parte do Sol produz o fundo contínuo, e que parte produz as linhas?
Linhas solares fortes ficam em $393$ , $397$ , $410$ , $434$ , $486$ , $589$ e $656\,\mathrm{nm}$ . Catálogos: hidrogênio $\{410, 434, 486, 656\}\,\mathrm{nm}$ ; sódio $\{589\}\,\mathrm{nm}$ ; cálcio $\{393, 397\}\,\mathrm{nm}$ . Que elementos estão presentes na atmosfera do Sol?
As linhas do hidrogênio são de longe as mais fortes. O que isso sugere sobre a composição do Sol — e o que dizem as medidas modernas?
Em 1868, uma linha em $587.6\,\mathrm{nm}$ observada na atmosfera do Sol não correspondia a catálogo algum. Reconstrua o raciocínio que justificou anunciar um novo elemento e diga como a história terminou.
Por que as linhas solares são escuras, se os mesmos átomos numa descarga de laboratório dão linhas brilhantes? Durante um eclipse total, por alguns segundos, só a fina atmosfera do Sol permanece visível contra um céu escuro — e as mesmas linhas fulguram brilhantes. Explique.

Parte IV — Uma estrela sobre a mesa. O espectro da estrela brilhante Vega é colocado à sua frente: um fundo contínuo com pico em $290\,\mathrm{nm}$ , riscado por linhas escuras fortes em $410$ , $434$ , $486$ e $656\,\mathrm{nm}$ .

Calcule a temperatura superficial de Vega.
O pico fica no ultravioleta. Preveja a cor aparente da estrela e concilie “pico fora do visível” com “estrela brilhante”.
Identifique o elemento dominante na atmosfera de Vega.
Compare Vega com o Sol: razão de temperaturas, cor e brilho por unidade de superfície incandescente.
Final — preencha a ficha de identidade que Comte declarou impossível: temperatura, elemento dominante e cor aparente de Vega, tudo lido de um único feixe de luz. Quantos anos durou o “nunca”?

Solução

Solução de Problema 2.1.

1. De cerca de $400\,\mathrm{nm}$ (ponta violeta) a cerca de $800\,\mathrm{nm}$ (ponta vermelha); $550\,\mathrm{nm}$ fica perto do meio, no verde.

2. $410\,\mathrm{nm}$ : violeta; $434\,\mathrm{nm}$ : violeta-azulado; $486\,\mathrm{nm}$ : azul-esverdeado; $656\,\mathrm{nm}$ : vermelho.

3. Um brilho monocromático amarelo-alaranjado. A cor de um carro é a mistura de comprimentos de onda que a sua pintura reflete; sob uma lâmpada que oferece apenas $589\,\mathrm{nm}$ , toda pintura só pode refletir mais ou menos desse único comprimento de onda — todos os carros aparecem em tons de laranja e cinza.

4. Cada elemento emite um catálogo fixo de linhas, e não há dois elementos com o mesmo catálogo (Proposição 2.12): um conjunto completo de linhas identifica, portanto, o elemento como uma impressão digital. Mas uma correspondência parcial prova pouco — elementos distintos podem possuir linhas isoladas quase coincidentes (hélio em $588\,\mathrm{nm}$ , sódio em $589\,\mathrm{nm}$ ) —, de modo que afirmar a presença exige todas as linhas fortes do catálogo.

5. (a) Um arco-íris contínuo com uma linha escura em $589\,\mathrm{nm}$ : o espectro de absorção. (b) Uma única linha brilhante em $589\,\mathrm{nm}$ sobre o preto: o espectro de emissão — mesmo comprimento de onda, com claro e escuro trocados (Proposição 2.15).

6. O espectro clareia em todos os comprimentos de onda, e o seu pico $\lambda_{\max}$ se desloca para comprimentos de onda menores, seguindo $\lambda_{\max} \times T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ (Proposição 2.7).

7. $\lambda_{\max} = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 3400\,\mathrm{K} = 8.5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} = 850\,\mathrm{nm}$ : infravermelho próximo, logo além da borda do vermelho — e é por isso que a luz halógena tem tom mais quente do que a luz do dia.

8. $T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 5.00 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} = 5800\,\mathrm{K}$ .

9. O pico é suave, não é um espeto: o Sol emite a faixa visível inteira com intensidades comparáveis. Uma faixa completa de cores misturadas se lê como branco — o Sol parece branco (amarelado através da nossa atmosfera), nunca verde.

10. Atiçador frio: pico bem no infravermelho, sem cauda visível — a radiação é sentida, nada é visto. Mais quente: o espectro, clareando, empurra uma primeira cauda visível para além de $800\,\mathrm{nm}$ — só a ponta vermelha se acende: vermelho fosco. Mais quente ainda: a faixa visível inteira se preenche enquanto tudo clareia: laranja e depois rumo ao branco.

11. O fundo contínuo vem da superfície incandescente, densa e quente; as linhas escuras são impressas pela atmosfera mais fria e rarefeita acima dela, que absorve os seus próprios comprimentos de onda da luz que atravessa.

12. Hidrogênio ( $410$ , $434$ , $486$ , $656\,\mathrm{nm}$ : completo), sódio ( $589\,\mathrm{nm}$ ) e cálcio ( $393$ e $397\,\mathrm{nm}$ : as duas) — os três estão presentes na atmosfera do Sol.

13. Que a atmosfera é dominada pelo hidrogênio. As medidas modernas concordam e quantificam: o Sol é, em massa, cerca de três quartos de hidrogênio, sendo quase todo o restante hélio.

14. A linha não batia com elemento conhecido algum; como o catálogo de cada elemento é fixo e único, uma linha que não pertence a catálogo nenhum tem de pertencer a um elemento nunca visto num laboratório. Anunciou-se um novo elemento e batizou-se de hélio, em homenagem a helios, o Sol. Ele foi isolado na Terra em 1895 — a previsão confirmada, vinte e sete anos depois.

15. Vista contra o brilhantíssimo fundo contínuo, a atmosfera retira luz nos seus próprios comprimentos de onda: linhas escuras. Durante o eclipse a Lua bloqueia o fundo; a fina atmosfera fica então sozinha contra um céu escuro e a sua luz reemitida é tudo o que há para ver: os mesmos comprimentos de onda, agora brilhantes. Um gás, um catálogo — o sinal depende do que está por trás.

16. $T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 2.90 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} = 10\,000\,\mathrm{K}$ .

17. Branco-azulada: dentro da faixa visível o espectro é mais forte na ponta azul. E nada de invisibilidade: o espectro contínuo inunda a faixa visível inteira a caminho do pico ultravioleta — o pico fixa o tom, não o brilho.

18. As linhas escuras $410$ , $434$ , $486$ , $656\,\mathrm{nm}$ são a impressão digital completa do hidrogênio: o hidrogênio domina a atmosfera de Vega.

19. $T_{\text{Vega}} / T_{\text{Sol}} = 10000 / 5800 \approx 1.7$ : Vega é mais quente, logo mais azul (pico em $290\,\mathrm{nm}$ contra $500\,\mathrm{nm}$ ) e, pela primeira parte da Proposição 2.7, mais brilhante por unidade de superfície incandescente em todos os comprimentos de onda.

20. Ficha de identidade de Vega — temperatura superficial: cerca de $10\,000\,\mathrm{K}$ ; elemento dominante da atmosfera: hidrogênio; cor aparente: branco-azulada. Tudo isso lido de um único feixe de luz, com um prisma, um catálogo de linhas de laboratório e uma divisão. O “nunca” de Comte foi decretado em 1835 e expirou em 1859: durou vinte e quatro anos.