Física do ensino médio · Grades 10–12

20Ondas mecânicas

Sábado à noite, estádio cheio: uma ondulação de espectadores que se levantam varre as arquibancadas em menos de um minuto e, ainda assim, ninguém sai do lugar. O anel de uma pedrinha atravessa o lago enquanto a rolha apenas balança. Este capítulo estuda o próprio viajante — a onda — e os quatro números que a domam: velocidade, atraso, período e comprimento de onda — o bastante para ler um terremoto numa tira de papel.

20.1 A perturbação viaja, o meio fica

Definição 20.1 (Onda mecânica)

Uma onda mecânica é uma perturbação que se propaga num meio material — corda, água, ar, rocha — transportando energia sem transportar matéria: cada pedaço do meio oscila brevemente no lugar, passa o movimento adiante e volta a se acomodar.

Exemplo 20.2 (Sem transporte de matéria)

Na onda do estádio o “meio” é a torcida: o que viaja é o ato de se levantar, enquanto cada espectador continua no seu lugar. No lago, o anel se expande, mas uma rolha flutuante apenas balança no lugar.

Definição 20.3 (Ondas transversais e longitudinais)

Uma onda é transversal quando o meio se move perpendicularmente à propagação: uma corcova corre por uma corda sacudida enquanto cada ponto sobe e desce apenas. Ela é longitudinal quando o meio se move ao longo da propagação: uma zona de espiras comprimidas viaja por uma mola empurrada, com cada espira oscilando no lugar.

Transversal (corda): o meio se move perpendicularmente à propagação. Longitudinal (mola): as compressões viajam e as espiras oscilam no lugar.

Observação 20.4 (O som é longitudinal)

O som é a onda longitudinal por excelência: o ar comprimido — de pressão mais alta (Capítulo 7) — viaja da fonte ao tímpano; o Capítulo 21 é dedicado a ele. Os terremotos enviam os dois tipos: as ondas P comprimem a rocha e as ondas S a sacodem de lado.

20.2 Velocidade e atraso

Definição 20.5 (Velocidade de propagação)

A velocidade de propagação de uma onda é a distância percorrida pela perturbação dividida pelo tempo gasto: $v = d/t$ . Ela é a velocidade da forma que viaja, e não a do meio.

$Um pulso numa corda fotografado duas vezes: a crista avançou 2.4\, m em 0.30\, s, logo v = 8.0\, m/ s — a forma viaja, a corda fica.$

Um pulso numa corda fotografado duas vezes: a crista avançou

2.4\,\mathrm{m}

0.30\,\mathrm{s}

, logo

v = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}

— a forma viaja, a corda fica.

Proposição 20.6 (O meio fixa a velocidade)

Para perturbações pequenas, a velocidade de propagação depende só do meio, e não da forma ou do tamanho da perturbação. Numa corda esticada, $v$ cresce com a tensão e diminui com a massa por metro: bem esticada e leve é rápida; frouxa e pesada é lenta.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 20.7 (Onde mora a fórmula)

A fórmula exata da velocidade na corda é deduzida no volume do primeiro ano de graduação; neste ano bastam os fatos experimentais acima.

Exemplo 20.8 (Velocidades do som)

O som viaja a $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ no ar, $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ na água e $5900\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ no aço — quanto mais rígido, mais rápido. Daí o ouvido colado ao trilho dos filmes de faroeste: o aço anuncia o trem primeiro.

Definição 20.9 (Atraso)

Uma onda de velocidade $v$ alcança um ponto à distância $d$ depois do atraso $\tau = d/v$ : dois pontos separados por uma distância $d$ repetem o mesmo movimento, com o mais distante atrasado de $\tau$ — a medida por eco do Capítulo 8, lida ao contrário.

Proposição 20.10 (Superposição sem interação)

Onde duas ondas se superpõem, o deslocamento do meio é, a cada instante, a soma dos deslocamentos que cada uma provocaria sozinha; depois de se cruzarem, cada onda segue inalterada — o que é deduzido no volume do segundo ano de graduação a partir da linearidade das equações de movimento.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Exemplo 20.11 (Pulsos que se cruzam)

Envie uma corcova para cima de cada ponta de uma corda: onde elas se encontram, a corda sobe por um instante até a soma das duas alturas; e depois emergem duas corcovas intactas — como duas conversas que se cruzam e chegam a quem as escuta.

20.3 Ondas periódicas: a dupla periodicidade

Definição 20.12 (Onda periódica)

Quando a fonte repete o seu movimento com período $T$ e frequência $f = 1/T$ (Capítulo 8), ela alimenta o meio com uma onda periódica: cada ponto repete o seu próprio movimento com período $T$ , atrasado em relação aos vizinhos pelo atraso de percurso.

Definição 20.13 (Comprimento de onda)

Um instantâneo de uma onda periódica mostra um padrão que se repete no espaço; o período espacial dele — de crista a crista — é o comprimento de onda $\lambda$ , em metros. Uma onda periódica é duplamente periódica: com período $T$ no tempo em cada ponto e período $\lambda$ no espaço em cada instante.

Teorema 20.14 (A relação fundamental das ondas)

Uma onda periódica de velocidade $v$ , período $T$ e frequência $f$ tem comprimento de onda $\lambda = v\,T = v/f$ .

Demonstração. Durante um período o padrão desliza para a frente por $v\,T$ ; mas a fonte — e portanto cada ponto — está então de volta ao seu estado inicial, de modo que o padrão deslizado coincide com o original: a distância de repetição é $v\,T$ . ∎

A mesma senoide duas vezes: o instantâneo se repete a cada no espaço, e o sinal num ponto se repete a cada T no tempo; = v\,T. — A mesma senoide duas vezes: o instantâneo se repete a cada $\lambda$ no espaço, e o sinal num ponto se repete a cada $T$ no tempo; $\lambda = v\,T$ .

Observação 20.15 (A frequência pertence à fonte)

Ao passar de um meio para outro — o som do ar para a água — uma onda conserva a sua frequência, ditada pela fonte, enquanto a velocidade dela muda; por $\lambda = v/f$ , o comprimento de onda muda junto.

Exemplo 20.16 (O lá de concerto, no ar e debaixo d’água)

O lá de concerto de $440\,\mathrm{Hz}$ do Capítulo 8 tem comprimento de onda $340/440 = 0.77\,\mathrm{m}$ no ar e $1500/440 = 3.4\,\mathrm{m}$ na água: a mesma nota, esticada pelo meio mais rápido.

Definição 20.17 (Em fase e em oposição de fase)

Dois pontos separados por um número inteiro de comprimentos de onda, $d = k\lambda$ , se movem de forma idêntica a cada instante: eles estão em fase. Pontos separados por $d = (k + \tfrac12)\lambda$ se movem sempre de modo oposto — crista contra vale: eles estão em oposição de fase.

Método 20.18 (Ler a dupla periodicidade)

Num registro $y(t)$ feito num ponto fixo, leia $T$ de crista a crista; $f = 1/T$ .
Num instantâneo $y(x)$ tirado num instante fixo, leia $\lambda$ de crista a crista.
Deduza $v = \lambda/T = \lambda f$ ; confira contra uma cronometragem direta $v = d/\tau$ , quando houver.
Nunca confunda os dois gráficos: um eixo carrega segundos, o outro carrega metros.

20.4 Frentes de onda e atenuação

Definição 20.19 (Frente de onda)

Uma frente de onda é uma linha (ou superfície) de pontos que a onda alcança no mesmo instante — uma linha de crista no lago. A partir de uma fonte pontual as frentes de onda são círculos que se expandem; longe de qualquer fonte elas são quase retas. A onda se propaga perpendicularmente às suas frentes de onda, com cristas sucessivas separadas por $\lambda$ .

Definição 20.20 (Atenuação)

A diminuição da amplitude de uma onda à medida que ela se propaga é a sua atenuação. Duas causas se somam: a energia de uma frente de onda circular se reparte por uma crista cada vez mais longa, e o meio absorve um pouco durante a passagem. As frentes retas escapam da primeira causa — e é por isso que a ondulação de uma tempestade distante consegue atravessar um oceano.

Frentes de onda circulares, separadas por um comprimento de onda, enfraquecem à medida que a energia se espalha por cristas mais longas; as frentes retas (à direita) enfraquecem devagar.

20.5 Exercícios

Exercício 20.1 ★

Uma onda de estádio percorre o anel de $320\,\mathrm{m}$ das arquibancadas em $40\,\mathrm{s}$ . (a) Calcule a velocidade dela. (b) Algum espectador dá a volta no anel? O que dá? (c) Cada espectador se levanta $1.5\,\mathrm{s}$ depois do vizinho a $12\,\mathrm{m}$ : confira a coerência.

Solução

Solução de Exercício 20.1.

(a) $v = 320/40 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) Espectador algum se desloca ao longo do anel: o que viaja é a perturbação (o ato de se levantar), e não a torcida. (c) $12/1.5 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — coerente.

Exercício 20.2 ★

Transversal ou longitudinal? (a) um pulso numa corda sacudida para cima e para baixo; (b) uma compressão enviada ao longo de uma mola; (c) o som no ar; (d) uma ondulação num lago (a superfície balança na vertical, o anel viaja na horizontal); (e) as ondas sísmicas P (que comprimem na direção do percurso) e S (que sacodem de lado).

Solução

Solução de Exercício 20.2.

(a) transversal; (b) longitudinal; (c) longitudinal; (d) transversal; (e) P longitudinal, S transversal.

Exercício 20.3 ★

O trovão chega $4.0\,\mathrm{s}$ depois do clarão. (a) A que distância caiu o raio ( $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ )? (b) Um mergulhador escuta o mesmo atraso entre um clarão e um estrondo submarino ( $v = 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): a que distância está essa fonte? (c) O que é preciso saber antes de transformar um atraso em distância?

Solução

Solução de Exercício 20.3.

(a) $d = 340 \times 4.0 \approx 1.4\,\mathrm{km}$ . (b) $1500 \times 4.0 = 6.0\,\mathrm{km}$ . (c) A velocidade de propagação no meio atravessado.

Exercício 20.4 ★

Calcule o comprimento de onda de um som de $440\,\mathrm{Hz}$ no ar e na água. Quando o som passa do ar para a água, quais entre $f$ , $v$ e $\lambda$ mudam, e qual fica fixo?

Solução

Solução de Exercício 20.4.

$\lambda = v/f$ : $340/440 = 0.77\,\mathrm{m}$ no ar e $1500/440 = 3.4\,\mathrm{m}$ na água. A frequência fica fixa (a fonte a dita); $v$ e $\lambda$ mudam os dois.

Exercício 20.5 ★

Num lago, cristas vizinhas de uma ondulação estão a $12\,\mathrm{cm}$ uma da outra e os anéis avançam a $0.30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Encontre o comprimento de onda, o período e a frequência da onda.

Solução

Solução de Exercício 20.5.

$\lambda = 12\,\mathrm{cm}$ ; $T = \lambda/v = 0.12/0.30 = 0.40\,\mathrm{s}$ ; $f = 1/T = 2.5\,\mathrm{Hz}$ .

Exercício 20.6 ★★

Um pulso numa corda longa é fotografado duas vezes, com $0.30\,\mathrm{s}$ de intervalo: a crista dele fica em $x = 1.0\,\mathrm{m}$ e depois em $3.4\,\mathrm{m}$ . (a) Qual é a velocidade? (b) Quando o pulso alcança a parede em $x = 7.0\,\mathrm{m}$ ? (c) Uma fita amarrada em $x = 5.0\,\mathrm{m}$ : qual é o movimento dela na passagem do pulso?

Solução

Solução de Exercício 20.6.

(a) $v = 2.4/0.30 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) A partir da primeira foto, a crista tem $6.0\,\mathrm{m}$ a percorrer: $t = 6.0/8.0 = 0.75\,\mathrm{s}$ depois dela. (c) A fita sobe e desce, puramente na transversal, e continua em $x = 5.0\,\mathrm{m}$ : a corda não viaja.

Exercício 20.7 ★★

Dois pulsos para cima, de alturas $3.0\,\mathrm{cm}$ e $2.0\,\mathrm{cm}$ , viajam um em direção ao outro a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ cada, com as cristas a $4.0\,\mathrm{m}$ uma da outra. (a) Quando as cristas coincidem? (b) Qual é a altura máxima da corda nesse instante? (c) E se o pulso menor for para baixo? (d) Como fica a corda logo depois?

Solução

Solução de Exercício 20.7.

(a) Velocidade de aproximação $4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para uma separação de $4.0\,\mathrm{m}$ : $t = 1.0\,\mathrm{s}$ . (b) Superposição: $3.0 + 2.0 = 5.0\,\mathrm{cm}$ . (c) $3.0 - 2.0 = 1.0\,\mathrm{cm}$ . (d) Dois pulsos intactos emergem e seguem inalterados, como se nunca tivessem se encontrado.

Exercício 20.8 ★★

(a) Dois varais suportam a mesma tensão; envia-se um pulso por cada um. Qual é mais rápido: o fino ou o grosso? Por quê? (b) Um violonista aperta uma corda: o que acontece com a velocidade da onda? (c) Sacudir com o dobro da força (um pulso mais alto) faz o pulso viajar mais rápido?

Solução

Solução de Exercício 20.8.

(a) O fino: menos massa por metro à mesma tensão significa onda mais rápida. (b) Ela aumenta (tensão maior). (c) Não: a velocidade depende só do meio, e não do tamanho do pulso.

Exercício 20.9 ★★

Um operário bate num trilho a $1.8\,\mathrm{km}$ de distância; você escuta com um ouvido no aço. Calcule os tempos de chegada pelo trilho ( $5900\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) e pelo ar ( $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ), e o intervalo entre as duas batidas.

Solução

Solução de Exercício 20.9.

Trilho: $1800/5900 \approx 0.31\,\mathrm{s}$ ; ar: $1800/340 \approx 5.3\,\mathrm{s}$ ; intervalo $\approx 5.0\,\mathrm{s}$ .

Exercício 20.10 ★★

Uma corda conduz uma onda periódica de comprimento de onda $24\,\mathrm{cm}$ . Em fase, em oposição de fase ou nem uma coisa nem outra, para separações de (a) $48\,\mathrm{cm}$ ; (b) $12\,\mathrm{cm}$ ; (c) $36\,\mathrm{cm}$ ; (d) $30\,\mathrm{cm}$ ; (e) $6.0\,\mathrm{cm}$ ?

Solução

Solução de Exercício 20.10.

Com $\lambda = 24\,\mathrm{cm}$ : (a) $2\lambda$ , em fase; (b) $\lambda/2$ , oposição; (c) $\tfrac32\lambda$ , oposição; (d) $1.25\lambda$ , nem uma coisa nem outra; (e) $\lambda/4$ , nem uma coisa nem outra.

Exercício 20.11 ★★

Um terremoto envia ondas P a $6.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ e ondas S a $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , ambas de período $2.0\,\mathrm{s}$ . Calcule os dois comprimentos de onda, compare-os com um edifício e explique por que um bairro inteiro sobe e desce quase junto.

Solução

Solução de Exercício 20.11.

$\lambda_P = 6.0 \times 2.0 = 12\,\mathrm{km}$ ; $\lambda_S = 3.5 \times 2.0 = 7.0\,\mathrm{km}$ — centenas de vezes o tamanho de um edifício. Pontos muito mais próximos do que $\lambda$ estão quase em fase, de modo que o bairro inteiro se move junto.

Exercício 20.12 ★★★

Um registro da altura da água numa boia mostra cristas a cada $0.50\,\mathrm{s}$ ; uma foto aérea mostra cristas a $0.75\,\mathrm{m}$ uma da outra. (a) Encontre $T$ e $f$ . (b) Encontre $\lambda$ . (c) Deduza a velocidade. (d) A boia está sobre uma crista em $t = 0$ : quando estará de novo? (e) Um ponto a $1.875\,\mathrm{m}$ está em fase com a boia, em oposição de fase, ou nem uma coisa nem outra?

Solução

Solução de Exercício 20.12.

(a) $T = 0.50\,\mathrm{s}$ , $f = 2.0\,\mathrm{Hz}$ . (b) $\lambda = 0.75\,\mathrm{m}$ . (c) $v = \lambda/T = 0.75/0.50 = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (d) Em $t = T = 0.50\,\mathrm{s}$ . (e) $1.875/0.75 = 2.5$ comprimentos de onda $= (2 + \tfrac12)\lambda$ : oposição de fase.

Exercício 20.13 ★★★

Uma boia ancorada completa $10$ oscilações inteiras em $80\,\mathrm{s}$ numa ondulação regular cujas cristas estão a $120\,\mathrm{m}$ umas das outras. (a) Encontre o período e a frequência. (b) Encontre a velocidade da ondulação, em $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e em $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . (c) Quanto tempo uma crista que agora está na boia leva para chegar à praia a $900\,\mathrm{m}$ ? (d) A boia é levada até a praia junto com ela?

Solução

Solução de Exercício 20.13.

(a) $T = 80/10 = 8.0\,\mathrm{s}$ , $f = 0.125\,\mathrm{Hz}$ . (b) $v = \lambda/T = 120/8.0 = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . (c) $t = 900/15 = 60\,\mathrm{s}$ . (d) Não: as ondas não transportam matéria — a boia ancorada só balança.

Exercício 20.14 ★★★

Dois pulsos idênticos, um para cima e outro para baixo, viajam um em direção ao outro a $3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ cada, com os centros a $6.0\,\mathrm{m}$ um do outro. (a) Quando os centros deles coincidem, e como fica a corda nesse instante? (b) A corda está então em repouso? Para onde foi a energia? (c) O que acontece em seguida? (d) Por que “momentaneamente plana” não significa “não há nada ali”?

Solução

Solução de Exercício 20.14.

(a) Aproximando-se a $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ao longo de $6.0\,\mathrm{m}$ : $t = 1.0\,\mathrm{s}$ ; os deslocamentos opostos se cancelam — a corda fica momentaneamente plana. (b) Não: os pontos dela estão em movimento (as velocidades transversais se somam, em vez de se cancelar); a energia é toda cinética. (c) Os dois pulsos reaparecem e seguem inalterados. (d) A corda plana carrega velocidade e, portanto, energia: a onda está momentaneamente guardada no movimento, e não na forma.

Exercício 20.15 ★★★

A ondulação de uma pedrinha se espalha num lago parado. (a) Calcule o comprimento da crista em $r = 0.50\,\mathrm{m}$ e em $r = 8.0\,\mathrm{m}$ ; qual é o fator de crescimento? (b) A energia da crista se conserva aproximadamente: o que acontece com a energia por metro e com a amplitude? (c) Por que uma ondulação de frente reta se atenua muito menos? (d) E a onda do estádio, nada?

Solução

Solução de Exercício 20.15.

(a) $2\pi r$ : $3.1\,\mathrm{m}$ e $50\,\mathrm{m}$ — $\times 16$ . (b) A energia por metro cai por $16$ , de modo que a amplitude diminui (a energia cresce com a amplitude). (c) As frentes retas não se alongam: sobra apenas a absorção. (d) O meio é ativo: cada espectador se levanta com a sua própria energia muscular, reabastecendo a onda.

20.6 Problema: ler um sismograma

Problema 20.1

Problema de fim de semana — ler um sismograma: duas ondas disparam de uma falha rompida, três círculos fixam o epicentro e uma terceira onda, lenta, dá o aviso a um litoral

Turno da noite num observatório sismológico. Às 09:14:32 a agulha da estação A salta: primeiro tremidas rápidas e agudas, depois oscilações mais lentas e mais largas. Um terremoto rompeu rocha em algum lugar; duas ondas disparam pela crosta: as ondas P, compressões a $v_P = 6.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , e as ondas S, um sacolejo lateral a $v_S = 3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

Parte I — Duas ondas, um relógio.

A partir das descrições acima, classifique as ondas P e S como transversais ou longitudinais.
Que onda chega primeiro a cada estação? Calcule os tempos de percurso das duas ao longo de $d = 120\,\mathrm{km}$ .
Mostre que o intervalo entre as chegadas P e S vale $\Delta t = d\,(1/v_S - 1/v_P)$ e calcule-o para $d = 120\,\mathrm{km}$ .
Deduza a regra de medida do sismólogo, $d = \dfrac{v_P\,v_S}{v_P - v_S}\,\Delta t$ , e mostre que o coeficiente vale cerca de $8.4\,\mathrm{km}$ por segundo de intervalo.
Por que o intervalo cresce com a distância — e por que isso é um presente para uma estação que nunca viu o terremoto começar?

Parte II — Círculos no mapa.

A estação A mede $\Delta t_A = 25\,\mathrm{s}$ . A que distância de A está o epicentro?
Explique por que essa leitura sozinha coloca o epicentro sobre um círculo, e não num ponto.
As estações B e C medem $\Delta t_B = 15\,\mathrm{s}$ e $\Delta t_C = 32\,\mathrm{s}$ : quais são as distâncias delas até o epicentro?
Explique como os três círculos juntos fixam o epicentro.
A onda P chegou a A às 09:14:32. Calcule o tempo de percurso dela desde o epicentro e o instante de origem do terremoto.

Parte III — A onda que atravessa o oceano. Os três círculos se encontram no mar: a falha rompeu sob o fundo oceânico e pôs a coluna de água em movimento. As ondas longas em água profunda viajam a uma velocidade fixada pela profundidade — cerca de $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em mar aberto e cerca de $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ perto de uma praia (admitido aqui; a fórmula é deduzida no volume do primeiro ano de graduação). Um porto fica a $D = 600\,\mathrm{km}$ do epicentro.

Converta $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ e cite um veículo de velocidade de cruzeiro comparável.
Quanto tempo o tsunami leva para chegar ao porto?
O sismômetro do próprio porto sente a onda P primeiro. Depois de quanto tempo? Se o alarme tocar nesse instante, quanto tempo de aviso o litoral ganha antes do tsunami?
Em alto-mar o período do tsunami é de cerca de $15\,\mathrm{min}$ . Calcule o comprimento de onda dele ali e explique por que um navio não o percebe.
Ao se aproximar da praia, a velocidade cai para $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ enquanto o período fica fixo. Calcule o novo comprimento de onda. O que precisa acontecer com a onda enquanto ela se comprime?

Parte IV — Energia e o relatório. Um terremoto forte libera da ordem de $1 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ , levados embora pelas ondas.

Calcule o comprimento de uma frente de onda circular a $10\,\mathrm{km}$ do epicentro e depois a $210\,\mathrm{km}$ ; por que fator ela cresceu?
Deduza por que o tremor enfraquece com a distância mesmo numa crosta sem perdas — e nomeie a segunda causa que uma crosta real acrescenta.
Um líquido não resiste ao cisalhamento. As estações do lado oposto registram a onda P, mas nenhuma onda S: o que isso revela sobre o núcleo da Terra?
O trem de alta velocidade do capítulo de energia do ano anterior (Capítulo 18) carrega cerca de $1.5 \times 10^{9}\,\mathrm{J}$ de energia cinética: a quantos trens desses correspondem $1 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ ?
O relatório, em duas frases: onde e quando foi o terremoto, e quanto tempo de aviso o porto teve? Dê os três números.

Solução

Solução de Problema 20.1.

1. As P comprimem na direção do percurso: longitudinais; as S sacodem de lado: transversais.

2. A P, mais rápida, chega primeiro em toda parte. $t_P = 120/6.0 = 20\,\mathrm{s}$ ; $t_S = 120/3.5 \approx 34\,\mathrm{s}$ .

3. $\Delta t = d/v_S - d/v_P = d\,(1/v_S - 1/v_P)$ ; para $120\,\mathrm{km}$ : $34.3 - 20 \approx 14\,\mathrm{s}$ .

4. Isolando $d$ : $d = \dfrac{v_P v_S}{v_P - v_S}\,\Delta t = \dfrac{6.0 \times 3.5}{2.5}\,\Delta t = 8.4\,\mathrm{km}$ por segundo de intervalo.

5. $\Delta t \propto d$ : o registro de uma única estação dá a distância dela até o epicentro sem que se conheça o instante de origem.

6. $d_A = 8.4 \times 25 = 2.1 \times 10^{2}\,\mathrm{km}$ .

7. O intervalo dá uma distância, não uma direção: o epicentro fica em algum ponto do círculo de raio $d_A$ em torno de A.

8. $d_B = 8.4 \times 15 = 1.3 \times 10^{2}\,\mathrm{km}$ ; $d_C = 8.4 \times 32 \approx 2.7 \times 10^{2}\,\mathrm{km}$ .

9. Dois círculos se encontram em dois pontos; o terceiro seleciona um deles: a interseção comum é o epicentro.

10. $t_P = 210/6.0 = 35\,\mathrm{s}$ : o terremoto começou às $09{:}14{:}32 - 35\,\mathrm{s} = 09{:}13{:}57$ .

11. $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 720\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — um avião de passageiros em velocidade de cruzeiro.

12. $t = 6.0 \times 10^{5}/200 = 3.0 \times 10^{3}\,\mathrm{s} = 50\,\mathrm{min}$ .

13. $t_P = 600/6.0 = 100\,\mathrm{s}$ . Aviso: $3000 - 100 = 2.9 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 48\,\mathrm{min}$ .

14. $\lambda = vT = 200 \times 900 = 1.8 \times 10^{5}\,\mathrm{m} = 180\,\mathrm{km}$ : um metro, mais ou menos, de elevação espalhado por $180\,\mathrm{km}$ — o navio sobe uma rampa imperceptível ao longo de vários minutos.

15. $\lambda = 10 \times 900 = 9.0\,\mathrm{km}$ : a onda se comprime vinte vezes, a sua energia se espreme num comprimento menor, e por isso a altura dela tem de crescer — o tsunami se empina na costa.

16. $2\pi r$ : $63\,\mathrm{km}$ e depois $\approx 1.3 \times 10^{3}\,\mathrm{km}$ — $\times 21$ .

17. A mesma energia se reparte por uma frente $21$ vezes mais longa, de modo que a amplitude cai mesmo numa crosta sem perdas; uma crosta real acrescenta a absorção.

18. As ondas S, de cisalhamento transversal, não atravessam um líquido: a sombra das ondas S mostra que o núcleo (externo) é líquido.

19. $1 \times 10^{15}/1.5 \times 10^{9} \approx 6.7 \times 10^{5}$ : cerca de setecentos mil trens a plena velocidade.

20. O terremoto ocorreu às $09{:}13{:}57$ , no mar, no cruzamento dos três círculos, a $210\,\mathrm{km}$ da estação A. O alarme da onda P do porto tocou $100\,\mathrm{s}$ depois da origem, cerca de $48\,\mathrm{min}$ antes da chegada do tsunami.