Physics · Livro 2 · Grades 10–12

Física do ensino médio

Física do ensino médio · Grades 10–12

13As interações fundamentais

Esfregue um balão no cabelo e ele recolhe pedacinhos de papel — vencendo, com poucos centímetros quadrados de borracha, a atração gravitacional do planeta inteiro. Essa vitória fácil é a razão de os átomos se manterem inteiros e de os núcleos pesados acabarem se despedaçando (Capítulo 19). O universo funciona com exatamente quatro interações; este capítulo as apresenta, pesa umas contra as outras e atribui a cada uma o seu andar.

13.1 A matéria, do quark às galáxias

Definição 13.1 (A escada das estruturas)

A matéria é construída em andares, cada um montado a partir do de baixo: três quarks (pontuais, menores que 10−18 m10^{-18}\,\mathrm{m}) se ligam num núcleon — próton ou nêutron, com cerca de 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m} de diâmetro; os núcleons se empacotam num núcleo (de 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m} a 10−14 m10^{-14}\,\mathrm{m}); um núcleo mais a sua nuvem de elétrons é um átomo (10−10 m10^{-10}\,\mathrm{m}); os átomos se ligam em moléculas e cristais (de 10−9 m10^{-9}\,\mathrm{m} para cima), que se juntam em objetos do dia a dia (1 m1\,\mathrm{m}), planetas (107 m10^{7}\,\mathrm{m}), sistemas planetários (1011 m10^{11}\,\mathrm{m}), galáxias (1021 m10^{21}\,\mathrm{m}) e no universo observável (1026 m10^{26}\,\mathrm{m}).

Definição 13.2 (As quatro interações)

Uma interação fundamental é uma força não redutível a outras forças; existem exatamente quatro: a gravitação, a interação eletromagnética, a interação forte e a interação fraca.

Observação 13.3

Os andares são separados por vazios: um átomo é 10510^{5} vezes mais largo do que o seu núcleo — amplie o núcleo até uma bolinha de 1 cm1\,\mathrm{cm} e a nuvem de elétrons terá um quilômetro de diâmetro. Alguma coisa precisa manter esses andares rarefeitos unidos, e quase nunca é a gravidade.

A escada das estruturas num eixo de potências de dez: quarenta e quatro décadas separam o quark do universo observável. Tamanhos em metros.
A escada das estruturas num eixo de potências de dez: quarenta e quatro décadas separam o quark do universo observável. Tamanhos em metros.

13.2 Carga elétrica

Definição 13.4 (Carga elétrica)

A carga elétrica é a propriedade da matéria sobre a qual a interação eletromagnética age, assim como a massa é a propriedade sobre a qual a gravitação age. Ela é medida em coulombs (C\mathrm{C}) e vem em dois sinais, positivo e negativo, que se cancelam quando somados; cargas de mesmo sinal se repelem, e cargas de sinais opostos se atraem.

Definição 13.5 (Carga elementar)

A carga é granulada: toda carga observada é um múltiplo inteiro da carga elementar e=1.60×10−19 Ce = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}. O próton carrega +e+e, o elétron −e-e e o nêutron 00; uma carga qq contém N=∣q∣/eN = \abs{q}/e cargas elementares.

Proposição 13.6 (Conservação da carga)

A carga total de um sistema isolado nunca muda: a carga não é criada nem destruída, apenas transferida — na prática pelos elétrons, os portadores mais leves.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 13.7

Nunca se observou violação alguma; a razão profunda, uma simetria do eletromagnetismo, é dada nos volumes de graduação.

Definição 13.8 (Eletrização por atrito e por contato)

Esfregar dois isolantes arranca elétrons de um e os deposita no outro, deixando cargas opostas de mesmo módulo (eletrização por atrito); encostar um objeto carregado num neutro reparte a carga (eletrização por contato). Só os elétrons se movem; a carga total se conserva.

Exemplo 13.9 (Contar elétrons)

Um balão esfregado no cabelo adquire q=−1.6×10−8 Cq = -1.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{C}: ele ganhou N=1.6×10−8/1.6×10−19=1.0×1011N = 1.6 \times 10^{-8} / 1.6 \times 10^{-19} = 1.0 \times 10^{11} elétrons, e o cabelo ficou com exatamente +1.6×10−8 C+1.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{C}.

13.3 A lei de Coulomb

Teorema 13.10 (Lei de Coulomb)

Duas cargas pontuais q1q_1 e q2q_2 à distância dd exercem uma sobre a outra forças ao longo da reta que as une, de módulos iguais e sentidos opostos — repulsivas para sinais iguais, atrativas para sinais opostos — com

F=k ∣q1q2∣d2,k=8.99×109 N m2/C2.F = k\,\frac{\abs{q_1 q_2}}{d^{2}}, \qquad k = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 13.11

Coulomb estabeleceu a lei em 1785 medindo a torção de um fio fino de torção; por que o expoente é exatamente 22 é respondido nos volumes de graduação.

Cargas de mesmo sinal se repelem (à esquerda) e cargas de sinais opostos se atraem (à direita); as duas forças têm sempre módulos iguais e sentidos opostos. Cargas de mesmo sinal se repelem (à esquerda) e cargas de sinais opostos se atraem (à direita); as duas forças têm sempre módulos iguais e sentidos opostos.
Cargas de mesmo sinal se repelem (à esquerda) e cargas de sinais opostos se atraem (à direita); as duas forças têm sempre módulos iguais e sentidos opostos.

Observação 13.12 (Uma gêmea formal da gravitação)

A lei de Coulomb é, símbolo por símbolo, a lei da gravitação universal (Capítulo 4) com cargas no lugar das massas:

fontemassa mmcarga qq
leiF=G m1m2d2F = G\,\dfrac{m_1 m_2}{d^2}F=k ∣q1q2∣d2F = k\,\dfrac{\abs{q_1 q_2}}{d^2}
[1.5ex] constanteG=6.67×10−11 N m2/kg2G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}k=8.99×109 N m2/C2k = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}
sinalsempre atrativaatrativa ou repulsiva

As duas diferenças comandam tudo o que vem abaixo: a eletricidade é esmagadoramente mais forte, e só ela consegue se cancelar.

Exemplo 13.13 (Dois prótons, as duas forças ao mesmo tempo)

Dois prótons (mp=1.67×10−27 kgm_p = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}) estão a d=1.0×10−15 md = 1.0 \times 10^{-15}\,\mathrm{m} — vizinhos nucleares. Repulsão elétrica:

FE=8.99×109×(1.60×10−19)2(1.0×10−15)2≈2.3×102 NF_E = 8.99 \times 10^{9} \times \frac{(1.60 \times 10^{-19})^{2}}{(1.0 \times 10^{-15})^{2}} \approx 2.3 \times 10^{2}\,\mathrm{N}

— o peso de uma mala de 2323 quilos, carregado por uma partícula de 10−2710^{-27} quilograma. Atração gravitacional: FG=6.67×10−11×(1.67×10−27)2/(1.0×10−15)2≈1.9×10−34 NF_G = 6.67 \times 10^{-11} \times (1.67 \times 10^{-27})^{2} / (1.0 \times 10^{-15})^{2} \approx 1.9 \times 10^{-34}\,\mathrm{N}. A razão FE/FG=ke2/(Gmp2)≈1.2×1036F_E / F_G = k e^{2} / (G m_p^{2}) \approx 1.2 \times 10^{36} não depende da distância (d2d^{2} se cancela): entre partículas elementares, a gravidade é 103610^{36} vezes fraca demais para contar — a qualquer distância.

13.4 As interações forte e fraca

O exemplo deixa um escândalo: um núcleo de hélio guarda dois prótons que se repelem com dezenas de newtons — e, ainda assim, o hélio existe.

Definição 13.14 (A interação forte)

A interação forte liga os quarks em núcleons e os núcleons em núcleos. A 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m} ela é atrativa e muito mais forte do que a repulsão elétrica (milhares de newtons entre núcleons); além de alguns 10−1510^{-15} metros ela desaparece: o seu alcance é de cerca de 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m}. Ela agarra prótons e nêutrons do mesmo jeito e ignora a carga.

O cabo de guerra dentro de um núcleo: a 10-15 m a atração forte (milhares de newtons) vence a repulsão elétrica.
O cabo de guerra dentro de um núcleo: a 10−1510^{-15} m a atração forte (milhares de newtons) vence a repulsão elétrica.

Observação 13.15 (Por que os núcleos existem — e por que os pesados cedem)

As duas forças do núcleo escalam de modos diferentes. A cola forte tem alcance curto: um núcleon se liga apenas aos seus poucos vizinhos dentro de 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m}. A repulsão elétrica tem alcance longo: cada próton empurra todos os outros prótons. À medida que os núcleos crescem, a repulsão se acumula mais depressa do que a cola: núcleos pesados precisam de nêutrons extras (cola sem carga) e, acima de uns 8080 prótons, nem isso basta — os núcleos mais pesados vivem de tempo emprestado (Capítulo 19).

Definição 13.16 (A interação fraca)

A interação fraca, de alcance ainda mais curto, permite que um nêutron se transforme em próton (e vice-versa): é ela que comanda a radioatividade β\beta do Capítulo 19.

13.5 Quem manda em cada andar

Método 13.17 (Auditar uma escala)

Para descobrir que interação manda numa estrutura de tamanho dd, confira o alcance e o cancelamento:

  1. d≤10−14 md \leq 10^{-14}\,\mathrm{m}: manda a interação forte — ela vence a repulsão elétrica, e a gravidade está 103610^{36} fora de combate.
  2. dos átomos às montanhas (de 10−10 m10^{-10}\,\mathrm{m} a 104 m10^{4}\,\mathrm{m}): a força forte está fora de alcance; manda a interação eletromagnética — ligações, coesão, atrito, contato.
  3. planetas e além (d≥106 md \geq 10^{6}\,\mathrm{m}): a matéria é neutra com precisão fantástica, de modo que a eletricidade se cancela sozinha; a massa tem um único sinal e sempre se soma — a gravitação manda no céu.

A interação fraca não domina andar algum: ela não liga nada, mas arbitra transformações (o decaimento β\beta).

Quem manda onde: a forte nos núcleos, a eletromagnética dos átomos às montanhas, a gravitação dos planetas em diante. Tamanhos em metros.
Quem manda onde: a forte nos núcleos, a eletromagnética dos átomos às montanhas, a gravitação dos planetas em diante. Tamanhos em metros.

13.6 Exercícios

Exercício 13.1 ★

Dê a ordem de grandeza de cada tamanho e o seu andar na escada: próton 1.7×10−15 m1.7 \times 10^{-15}\,\mathrm{m}; molécula de água 2.8×10−10 m2.8 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}; grão de areia 2×10−4 m2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}; Terra 1.3×107 m1.3 \times 10^{7}\,\mathrm{m}; Via Láctea 9.5×1020 m9.5 \times 10^{20}\,\mathrm{m}.

Solução

Solução de Exercício 13.1.

Próton: 10−1510^{-15} (andar do núcleon); molécula de água: 10−1010^{-10} (andar da molécula — moléculas isoladas ficam em tamanhos atômicos); areia: 10−410^{-4} (matéria do dia a dia); Terra: 10710^{7} (planeta); Via Láctea: 102110^{21} (galáxia). Tudo em metros.

Exercício 13.2 ★

Um balão esfregado no cabelo carrega q=−4.8×10−9 Cq = -4.8 \times 10^{-9}\,\mathrm{C}. Ele ganhou ou perdeu elétrons, e quantos? Qual é a carga do cabelo depois disso, e que lei diz isso?

Solução

Solução de Exercício 13.2.

Carga negativa: ele ganhou N=4.8×10−9/1.6×10−19=3.0×1010N = 4.8 \times 10^{-9}/1.6 \times 10^{-19} = 3.0 \times 10^{10} elétrons. O cabelo carrega +4.8×10−9 C+4.8 \times 10^{-9}\,\mathrm{C}, pela conservação da carga (Proposição 13.6).

Exercício 13.3 ★

As cargas q1=2.0×10−6 Cq_1 = 2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C} e q2=−3.0×10−6 Cq_2 = -3.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C} estão a 30 cm30\,\mathrm{cm} uma da outra. Calcule a força; atrativa ou repulsiva? Compare as forças sobre q1q_1 e sobre q2q_2.

Solução

Solução de Exercício 13.3.

F=8.99×109×2.0×10−6×3.0×10−60.302=5.39×10−20.090≈0.60 NF = 8.99 \times 10^{9} \times \dfrac{2.0 \times 10^{-6} \times 3.0 \times 10^{-6}}{0.30^2} = \dfrac{5.39 \times 10^{-2}}{0.090} \approx 0.60\,\mathrm{N}, atrativa (sinais opostos). As duas forças têm o mesmo módulo e sentidos opostos.

Exercício 13.4 ★

Duas cargas se atraem com uma força F0F_0. Em que ela se transforma se: a distância dobra; a distância é dividida por 33; uma das cargas dobra; as duas cargas e a distância dobram?

Solução

Solução de Exercício 13.4.

F0/4F_0/4; 9F09F_0; 2F02F_0; F0F_0 (numerador ×4\times 4, denominador ×4\times 4).

Exercício 13.5 ★

Nomeie a interação responsável por: (a) a Lua orbitando a Terra; (b) a coesão de um cristal de sal; (c) a coesão de um núcleo de hélio; (d) o decaimento β\beta do carbono-14; (e) o balão do Exercício 13.2 grudando numa parede.

Solução

Solução de Exercício 13.5.

(a) gravitação; (b) eletromagnética; (c) forte; (d) fraca; (e) eletromagnética.

Exercício 13.6 ★★

Os dois prótons de um núcleo de hélio estão a d=2.0×10−15 md = 2.0 \times 10^{-15}\,\mathrm{m} (mp=1.67×10−27 kgm_p = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}). Calcule a repulsão elétrica entre eles, a atração gravitacional e a razão. O que mantém o núcleo inteiro?

Solução

Solução de Exercício 13.6.

FE=8.99×109×(1.60×10−19)2/(2.0×10−15)2=2.30×10−28/4.0×10−30≈58 NF_E = 8.99 \times 10^{9} \times (1.60 \times 10^{-19})^2/(2.0 \times 10^{-15})^2 = 2.30 \times 10^{-28}/4.0 \times 10^{-30} \approx 58\,\mathrm{N}; FG=6.67×10−11×(1.67×10−27)2/4.0×10−30≈4.7×10−35 NF_G = 6.67 \times 10^{-11} \times (1.67 \times 10^{-27})^2/4.0 \times 10^{-30} \approx 4.7 \times 10^{-35}\,\mathrm{N}. Razão FE/FG≈1.2×1036F_E/F_G \approx 1.2 \times 10^{36}. A interação forte segura o núcleo; a gravidade é irrelevante.

Exercício 13.7 ★★

Num átomo de hidrogênio, o elétron (me=9.11×10−31 kgm_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}) fica a d=5.3×10−11 md = 5.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{m} do próton (mp=1.67×10−27 kgm_p = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}). Calcule as forças elétrica e gravitacional entre eles e a razão. O que mantém os átomos unidos?

Solução

Solução de Exercício 13.7.

FE=2.30×10−28/(5.3×10−11)2=2.30×10−28/2.81×10−21≈8.2×10−8 NF_E = 2.30 \times 10^{-28}/(5.3 \times 10^{-11})^2 = 2.30 \times 10^{-28}/2.81 \times 10^{-21} \approx 8.2 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}; FG=6.67×10−11×1.67×10−27×9.11×10−31/2.81×10−21≈3.6×10−47 NF_G = 6.67 \times 10^{-11} \times 1.67 \times 10^{-27} \times 9.11 \times 10^{-31} / 2.81 \times 10^{-21} \approx 3.6 \times 10^{-47}\,\mathrm{N}. Razão ≈2.3×1039\approx 2.3 \times 10^{39}: é a interação eletromagnética que mantém os átomos unidos.

Exercício 13.8 ★★

A esfera A carrega qA=8.0×10−9 Cq_A = 8.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{C}; uma esfera B idêntica está neutra. Elas são encostadas uma na outra e depois separadas por 10 cm10\,\mathrm{cm}. Que carga cada uma leva (confira a conservação da carga)? Calcule a força entre elas — atrativa ou repulsiva?

Solução

Solução de Exercício 13.8.

Por contato a carga se reparte: qA=qB=4.0×10−9 Cq_A = q_B = 4.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{C} (o total continua 8.0×10−9 C8.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{C}). Então F=8.99×109×(4.0×10−9)2/0.102=1.4×10−5 NF = 8.99 \times 10^{9} \times (4.0 \times 10^{-9})^2/0.10^2 = 1.4 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}, repulsiva (sinais iguais).

Exercício 13.9 ★★

Duas cargas idênticas q=1.0×10−6 Cq = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C} se repelem com 0.90 N0.90\,\mathrm{N}: a que distância estão? Onde a força cai para 0.10 N0.10\,\mathrm{N}?

Solução

Solução de Exercício 13.9.

d=kq2/F=8.99×109×1.0×10−12/0.90≈0.10 md = \sqrt{k q^2/F} = \sqrt{8.99 \times 10^{9} \times 1.0 \times 10^{-12}/0.90} \approx 0.10\,\mathrm{m}. Uma força 99 vezes menor exige uma distância 33 vezes maior: d=0.30 md = 0.30\,\mathrm{m}.

Exercício 13.10 ★★

Dois prótons em moléculas vizinhas estão a d=1.0×10−10 md = 1.0 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}. Calcule a repulsão elétrica entre eles. Com o que a interação forte contribui a essa distância? Que interação liga as moléculas?

Solução

Solução de Exercício 13.10.

F=2.30×10−28/(1.0×10−10)2=2.3×10−8 NF = 2.30 \times 10^{-28}/(1.0 \times 10^{-10})^2 = 2.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}. A interação forte não contribui com nada: 10−1010^{-10} m é 10510^{5} vezes o alcance dela. As moléculas são ligadas pela interação eletromagnética.

Exercício 13.11 ★★

Cada uma de duas moedas contém cerca de 102310^{23} elétrons. Transfira um elétron em cada milhão de uma para a outra e coloque as moedas a 1.0 m1.0\,\mathrm{m} uma da outra. Calcule a carga de cada moeda e depois a força. Ela é igual ao peso de que massa? Conclua sobre a neutralidade da matéria do dia a dia.

Solução

Solução de Exercício 13.11.

q=1023/106×1.6×10−19=1.6×10−2 Cq = 10^{23}/10^{6} \times 1.6 \times 10^{-19} = 1.6 \times 10^{-2}\,\mathrm{C} em cada moeda. F=8.99×109×(1.6×10−2)2/1.02≈2.3×106 NF = 8.99 \times 10^{9} \times (1.6 \times 10^{-2})^2/1.0^2 \approx 2.3 \times 10^{6}\,\mathrm{N} — o peso de 2.3×106/9.81≈2.3×105 kg2.3 \times 10^{6}/9.81 \approx 2.3 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}, um trem de carga carregado, a partir de um milionésimo dos elétrons. A matéria do dia a dia precisa ser (e é) neutra com precisão muito melhor do que uma parte em um milhão.

Exercício 13.12 ★★★

Um núcleo de urânio tem diâmetro 1.4×10−14 m1.4 \times 10^{-14}\,\mathrm{m} e 9292 prótons. Calcule a repulsão entre dois prótons em extremidades opostas. A interação forte consegue ligar esse par — por que não? Quantos pares de prótons se repelem? Por que os núcleos pesados precisam de nêutrons extras, e por que, acima de certo tamanho, nem os nêutrons os salvam?

Solução

Solução de Exercício 13.12.

F=2.30×10−28/(1.4×10−14)2=2.30×10−28/1.96×10−28≈1.2 NF = 2.30 \times 10^{-28}/(1.4 \times 10^{-14})^2 = 2.30 \times 10^{-28}/1.96 \times 10^{-28} \approx 1.2\,\mathrm{N} — ainda enorme nessa escala. Não: eles estão a 1414 vezes o alcance da força forte; cada um só está colado aos seus vizinhos mais próximos. Pares: 92×912=4186\frac{92 \times 91}{2} = 4186, todos se repelindo a qualquer distância, enquanto a cola não cresce com o tamanho. Os nêutrons acrescentam atração sem repulsão e diluem os prótons; mas a repulsão cresce com o quadrado do número de prótons e a cola só com o número de vizinhos, de modo que, acima de uns 8080 prótons, orçamento de nêutron algum fecha as contas — esses núcleos decaem (Capítulo 19).

Exercício 13.13 ★★★

Duas bolinhas de massa 1.0 g1.0\,\mathrm{g} pendem de fios de 50 cm50\,\mathrm{cm} presos no mesmo ponto. Recebendo a mesma carga qq, elas se acomodam a 6.0 cm6.0\,\mathrm{cm} uma da outra. Cada bolinha está em equilíbrio sob o seu peso, a tensão do fio e a força elétrica: mostre que F=mgtan⁡θF = mg\tan\theta (θ\theta: ângulo do fio com a vertical) e que, aqui, tan⁡θ≈0.060\tan\theta \approx 0.060. Calcule FF, depois qq e depois o número de cargas elementares transferidas.

Solução

Solução de Exercício 13.13.

Equilíbrio: na vertical Tcos⁡θ=mgT\cos\theta = mg, na horizontal Tsin⁡θ=FT\sin\theta = F, logo F=mgtan⁡θF = mg\tan\theta. Aqui sin⁡θ=3.0/50=0.060\sin\theta = 3.0/50 = 0.060 e, para ângulos pequenos, tan⁡θ≈sin⁡θ=0.060\tan\theta \approx \sin\theta = 0.060. Então F=1.0×10−3×9.81×0.060≈5.9×10−4 NF = 1.0 \times 10^{-3} \times 9.81 \times 0.060 \approx 5.9 \times 10^{-4}\,\mathrm{N}; q=dF/k=0.060×5.9×10−4/8.99×109≈1.54×10−8 Cq = d\sqrt{F/k} = 0.060 \times \sqrt{5.9 \times 10^{-4}/8.99 \times 10^{9}} \approx 1.54 \times 10^{-8}\,\mathrm{C}; N=1.54×10−8/1.6×10−19≈9.6×1010N = 1.54 \times 10^{-8}/1.6 \times 10^{-19} \approx 9.6 \times 10^{10} cargas elementares.

Exercício 13.14 ★★★

Dados: MT=5.97×1024 kgM_T = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}, ML=7.35×1022 kgM_L = 7.35 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}, distância Terra–Lua d=3.84×108 md = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}. Calcule a força gravitacional Terra–Lua. A gravidade é desligada: que cargas +Q+Q na Terra e −Q-Q na Lua mantêm a mesma atração? A quantos elétrons corresponde QQ, e quanto eles pesam (me=9.11×10−31 kgm_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg})? Comente.

Solução

Solução de Exercício 13.14.

F=6.67×10−11×5.97×1024×7.35×1022/(3.84×108)2=2.93×1037/1.47×1017≈2.0×1020 NF = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22} / (3.84 \times 10^{8})^2 = 2.93 \times 10^{37}/1.47 \times 10^{17} \approx 2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}. Impondo kQ2/d2=FkQ^2/d^2 = F: Q=dF/k=3.84×108×2.0×1020/8.99×109≈5.7×1013 CQ = d\sqrt{F/k} = 3.84 \times 10^{8} \times \sqrt{2.0 \times 10^{20}/8.99 \times 10^{9}} \approx 5.7 \times 10^{13}\,\mathrm{C}. Isso são N=5.7×1013/1.6×10−19≈3.6×1032N = 5.7 \times 10^{13}/1.6 \times 10^{-19} \approx 3.6 \times 10^{32} elétrons, de massa 3.6×1032×9.11×10−31≈3.2×102 kg3.6 \times 10^{32} \times 9.11 \times 10^{-31} \approx 3.2 \times 10^{2}\,\mathrm{kg}: algumas centenas de quilogramas de elétrons fariam o trabalho de 7.35×1022 kg7.35 \times 10^{22}\,\mathrm{kg} de Lua — a força da eletricidade e a fraqueza da gravidade num único número.

Exercício 13.15 ★★★

Num cristal de sal, os íons Na+^{+} e Cl−^{-} (cargas ±e\pm e) estão a d=2.8×10−10 md = 2.8 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}; um íon Cl−^{-} tem massa 5.9×10−26 kg5.9 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}. Calcule a força entre íons vizinhos e o peso de um íon Cl−^{-}; dê a razão. Depois explique como a gravidade vence em grande escala — montanha nenhuma passa de 104 m10^{4}\,\mathrm{m} — embora cada ligação a supere por quinze ordens de grandeza.

Solução

Solução de Exercício 13.15.

F=2.30×10−28/(2.8×10−10)2=2.30×10−28/7.84×10−20≈2.9×10−9 NF = 2.30 \times 10^{-28}/(2.8 \times 10^{-10})^2 = 2.30 \times 10^{-28}/7.84 \times 10^{-20} \approx 2.9 \times 10^{-9}\,\mathrm{N}; peso P=5.9×10−26×9.81≈5.8×10−25 NP = 5.9 \times 10^{-26} \times 9.81 \approx 5.8 \times 10^{-25}\,\mathrm{N}; razão F/P≈5×1015F/P \approx 5 \times 10^{15}. Cada ligação tem uma força fixa, mas o peso cresce com toda a massa que está por cima: empilhe rocha e a carga sobre a camada de baixo cresce sem limite, enquanto as ligações dela não. Por volta de 104 m10^{4}\,\mathrm{m} de rocha a carga esmaga as ligações elétricas — a gravidade vence não pela força por partícula, mas por se somar quando a carga se cancela.

13.7 Problema: a auditoria das quatro forças

Problema 13.1

Problema de fim de semana — por que o mundo não desaba nem se desfaz: as quatro interações auditadas andar por andar, até a neutralidade da matéria em duas partes em 101810^{18}

Os átomos não implodem, os núcleos em geral se seguram e a Lua nem cai nem escapa; este problema audita quem merece o crédito. Dados: e=1.60×10−19 Ce = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}, k=8.99×109 N m2/C2k = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}, G=6.67×10−11 N m2/kg2G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}, mp=1.67×10−27 kgm_p = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}, me=9.11×10−31 kgm_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}, MT=5.97×1024 kgM_T = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}, ML=7.35×1022 kgM_L = 7.35 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}, distância Terra–Lua 3.84×108 m3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}.

Parte I — A escada.

  1. Liste os andares da escada, do quark à galáxia, com uma ordem de grandeza de tamanho para cada um.
  2. Maquete: o núcleo vira uma bolinha de 1 cm1\,\mathrm{cm}; qual é a largura do átomo?
  3. Que fração do volume de um átomo o seu núcleo ocupa?
  4. Um fio de cabelo tem 70 µm70\,\text{µ}\mathrm{m} de espessura. Quantos átomos o atravessam?
  5. Quantas potências de dez separam o teto do quark (10−18 m10^{-18}\,\mathrm{m}) de uma galáxia (1021 m10^{21}\,\mathrm{m})?

Parte II — O andar elétrico.

  1. Num átomo de hidrogênio, o elétron fica a d=5.3×10−11 md = 5.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{m} do próton: calcule a força elétrica entre eles.
  2. Calcule a força gravitacional entre eles e a razão entre as duas. Qual delas mantém o átomo unido?
  3. O que muda se a gravidade for desligada dentro dos átomos? E se for a eletricidade?
  4. Por que as forças de “contato” do dia a dia — o piso empurrando os seus pés, o atrito — são eletromagnéticas disfarçadas?
  5. Cada uma de duas moedas contém cerca de 102310^{23} elétrons. Transfira um elétron em cada bilhão de uma para a outra e coloque-as a 1.0 m1.0\,\mathrm{m}: calcule as cargas e a força. Conclusão?
  6. Que interação manda nos andares de 10−10 m10^{-10}\,\mathrm{m} a 104 m10^{4}\,\mathrm{m}, e por que a interação forte não concorre?

Parte III — O andar nuclear.

  1. Dois prótons estão a 1.0×10−15 m1.0 \times 10^{-15}\,\mathrm{m} num núcleo: calcule a repulsão elétrica entre eles.
  2. Sem nada a conter, que aceleração essa força daria a um próton? Compare com gg.
  3. Liste as três propriedades de que a interação forte precisa para explicar por que os núcleos existem, por que os nêutrons também são agarrados e por que os núcleos são minúsculos.
  4. Num núcleo de urânio (diâmetro 1.4×10−14 m1.4 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}, 9292 prótons), calcule a repulsão entre dois prótons em extremidades opostas. A interação forte consegue ligar esse par diretamente? Explique por que a repulsão vence à medida que os núcleos crescem e para que servem os nêutrons.
  5. Em uma frase, como prometido: o que faz a interação fraca?

Parte IV — O andar astronômico e o veredito.

  1. Calcule a força gravitacional entre a Terra e a Lua.
  2. A Terra contém cerca de 1.8×10511.8 \times 10^{51} prótons (e outros tantos elétrons), e a Lua, cerca de 2.2×10492.2 \times 10^{49}. Que fração ff da carga de prótons de cada corpo, deixada sem cancelamento, faria a força elétrica igualar a gravitacional?
  3. Por que a gravitação, a fraquinha da questão 7, manda na astronomia? Duas razões.
  4. Veredito — uma frase por andar (núcleo, do átomo à montanha, planeta e acima): o que o mantém unido? Depois responda ao título: por que o mundo não desaba nem se desfaz?
Solução

Solução de Problema 13.1.

1. Quark <10−18 m< 10^{-18}\,\mathrm{m}; núcleon 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m}; núcleo 10−1510^{-15}–10−14 m10^{-14}\,\mathrm{m}; átomo 10−10 m10^{-10}\,\mathrm{m}; molécula 10−9 m10^{-9}\,\mathrm{m}; objeto do dia a dia 1 m1\,\mathrm{m}; planeta 107 m10^{7}\,\mathrm{m}; sistema planetário 1011 m10^{11}\,\mathrm{m}; galáxia 1021 m10^{21}\,\mathrm{m}.

2. Fator de escala 10510^{5}: o átomo fica com 1 cm×105=1 km1\,\mathrm{cm} \times 10^{5} = 1\,\mathrm{km} de largura.

3. (10−15/10−10)3=10−15(10^{-15}/10^{-10})^3 = 10^{-15}: a matéria é 99.999 999 999 999 9 %99.999\,999\,999\,999\,9\,\% vazia.

4. 7×10−5/10−10=7×1057 \times 10^{-5}/10^{-10} = 7 \times 10^{5} átomos — cerca de um milhão ao longo de um fio de cabelo.

5. De 10−1810^{-18} a 102110^{21}: 3939 potências de dez.

6. FE=8.99×109×(1.60×10−19)2/(5.3×10−11)2≈8.2×10−8 NF_E = 8.99 \times 10^{9} \times (1.60 \times 10^{-19})^2 / (5.3 \times 10^{-11})^2 \approx 8.2 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}.

7. FG=6.67×10−11×1.67×10−27×9.11×10−31/(5.3×10−11)2≈3.6×10−47 NF_G = 6.67 \times 10^{-11} \times 1.67 \times 10^{-27} \times 9.11 \times 10^{-31}/(5.3 \times 10^{-11})^2 \approx 3.6 \times 10^{-47}\,\mathrm{N}; razão FE/FG≈2.3×1039F_E/F_G \approx 2.3 \times 10^{39}. A eletricidade segura o átomo; a gravidade é espectadora.

8. Sem gravidade: nada de mensurável muda (ela está 103910^{39} abaixo). Sem eletricidade: nem átomos, nem moléculas, nem matéria alguma.

9. O “contato” é a repulsão elétrica entre as nuvens de elétrons de átomos aproximados até cerca de 10−10 m10^{-10}\,\mathrm{m}: nada nunca se toca de fato. A reação do piso e o atrito são a lei de Coulomb em escala macroscópica.

10. q=1023×10−9×1.6×10−19=1.6×10−5 Cq = 10^{23} \times 10^{-9} \times 1.6 \times 10^{-19} = 1.6 \times 10^{-5}\,\mathrm{C} em cada uma; F=8.99×109×(1.6×10−5)2≈2.3 NF = 8.99 \times 10^{9} \times (1.6 \times 10^{-5})^2 \approx 2.3\,\mathrm{N} — uma força claramente visível a partir de um elétron em cada bilhão. A matéria do dia a dia é neutra com precisão muito melhor do que 10−910^{-9}.

11. A interação eletromagnética. A força forte está fora de alcance além de cerca de 10−14 m10^{-14}\,\mathrm{m} — 10410^{4} vezes menos do que um único átomo.

12. F=8.99×109×(1.60×10−19)2/(1.0×10−15)2≈2.3×102 NF = 8.99 \times 10^{9} \times (1.60 \times 10^{-19})^2 / (1.0 \times 10^{-15})^2 \approx 2.3 \times 10^{2}\,\mathrm{N}.

13. a=F/mp=230/1.67×10−27≈1.4×1029 m/s2a = F/m_p = 230/1.67 \times 10^{-27} \approx 1.4 \times 10^{29}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}, cerca de 1.4×10281.4 \times 10^{28} vezes gg: força alguma do dia a dia chega perto.

14. Mais forte do que 230 N230\,\mathrm{N} a 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m} (os núcleos existem); agindo igualmente sobre prótons e nêutrons, cega à carga (os nêutrons também são agarrados); alcance de cerca de 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m} (os núcleos continuam minúsculos — a cola não alcança mais longe).

15. F=2.30×10−28/(1.4×10−14)2≈1.2 NF = 2.30 \times 10^{-28}/(1.4 \times 10^{-14})^2 \approx 1.2\,\mathrm{N}. Não: são 1414 vezes o alcance. A repulsão age em todos os 92×912=4186\frac{92\times91}{2} = 4186 pares de prótons; a cola liga só os vizinhos mais próximos, de modo que o crescimento favorece a repulsão. Os nêutrons acrescentam cola e espaçamento sem acrescentar repulsão — até que, acima de uns 8080 prótons, mistura alguma equilibra e o núcleo decai.

16. A interação fraca transforma um nêutron em próton (e vice-versa), provocando o decaimento β\beta — ela transforma; nunca liga.

17. F=6.67×10−11×5.97×1024×7.35×1022/(3.84×108)2≈2.0×1020 NF = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22}/(3.84 \times 10^{8})^2 \approx 2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}.

18. QT=1.8×1051×1.6×10−19=2.9×1032 CQ_T = 1.8 \times 10^{51} \times 1.6 \times 10^{-19} = 2.9 \times 10^{32}\,\mathrm{C}, QL=3.5×1030 CQ_L = 3.5 \times 10^{30}\,\mathrm{C}. Igualar as forças significa f2 k QTQL=GMTMLf^2\,k\,Q_T Q_L = G M_T M_L:

f=2.93×10378.99×109×2.9×1032×3.5×1030=3.2×10−36≈1.8×10−18:f = \sqrt{\frac{2.93 \times 10^{37}}{8.99 \times 10^{9} \times 2.9 \times 10^{32} \times 3.5 \times 10^{30}}} = \sqrt{3.2 \times 10^{-36}} \approx 1.8 \times 10^{-18} :

um desequilíbrio de duas partes em 101810^{18} cancelaria a gravidade.

19. A carga vem em dois sinais e se cancela (a questão 18 mostra com que perfeição), de modo que a força mais forte se desliga sozinha em grande escala; a massa tem um único sinal, soma para sempre e nada a blinda.

20. Núcleo: a interação forte vence no braço a repulsão dos prótons a 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m}. Do átomo à montanha: a interação eletromagnética liga os elétrons aos núcleos e os átomos uns aos outros. Planeta e acima: a gravitação, sem oposição depois que a carga se cancela, segura planetas, órbitas e galáxias. O mundo não desaba porque cada andar é escorado por um ligante mais rígido do que a carga, e não se desfaz porque a matéria é neutra a cerca de 10−1810^{-18} — de modo que cada escala tem exatamente uma força no comando, e ela é atrativa onde precisa ser.