Física do ensino médio · Grades 10–12

12Circuitos elétricos e potência

Acione um interruptor: uma lâmpada acende, porque um gerador a muitos quilômetros dali empurra carga por uma volta de cobre que passa pela sua parede. Os anos anteriores mapearam o circuito — corrente, tensão, lei de Ohm. Este capítulo o reabre com o livro-caixa do Capítulo 9: o que o medidor cobra, por que os fios finos esquentam, por que a rede trabalha a $400\,\mathrm{kV}$ .

12.1 Carga em movimento

Definição 12.1 (Corrente e o coulomb)

Uma corrente elétrica é um escoamento ordenado de carga (elétrons, num metal). A sua intensidade $I$ , em ampères ( $\mathrm{A}$ ), é a carga que atravessa uma seção do fio por segundo: uma corrente constante $I$ durante um tempo $t$ transporta a carga

q = I\,t ,

em coulombs ( $\mathrm{C}$ ), com $1\,\mathrm{C} = 1\,\mathrm{A}\,\mathrm{s}$ . A carga elementar vale $e = 1.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ . A corrente é medida por um amperímetro, ligado em série.

Exemplo 12.2 (Raio contra celular)

Uma descarga de raio carrega uns $3.0 \times 10^{4}\,\mathrm{A}$ por cerca de $1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$ : $q = 3.0\times10^{4} \times 10^{-4} = 3.0\,\mathrm{C}$ . O seu celular, a $2.0\,\mathrm{A}$ , move a mesma carga a cada $1.5$ segundo.

Definição 12.3 (Tensão e o volt)

A tensão $U$ entre dois pontos de um circuito, em volts ( $\mathrm{V}$ ), é a energia trocada por unidade de carga que viaja entre eles: $1\,\mathrm{V} = 1\,\mathrm{J}/\mathrm{C}$ , de modo que uma carga $q$ que atravessa um dispositivo sob tensão $U$ troca com ele a energia $E = qU$ . Um voltímetro, ligado em paralelo, a mede.

Proposição 12.4 (Leis dos circuitos)

Num circuito em regime permanente:

lei dos nós: as correntes que chegam a um nó somam o mesmo que as correntes que saem dele;
lei das tensões em série: as tensões ao longo de um caminho se somam: $U_{AC} = U_{AB} + U_{BC}$ ;
lei das tensões em paralelo: dois ramos que ligam os mesmos dois pontos suportam a mesma tensão.

Demonstração. Em regime permanente a carga não se acumula em lugar algum, de modo que o que entra num nó sai dele. A energia por coulomb é aditiva ao longo de um caminho e depende só dos seus extremos — e não do ramo escolhido entre eles. ∎

12.2 Lei de Ohm e associações de resistores

Definição 12.5 (Resistência)

A resistência de um condutor é a razão $R = U/I$ entre a tensão nos seus terminais e a corrente que o atravessa, medida em ohms ( $\Omega$ ): $1\,\Omega = 1\,\mathrm{V}/\mathrm{A}$ .

Proposição 12.6 (Lei de Ohm)

Para um condutor metálico mantido a temperatura fixa, $R$ é constante: tensão e corrente são proporcionais,

U = R\,I .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 12.7

Uma lei experimental, e não universal: um diodo, o filamento de uma lâmpada aquecida ou a sua própria pele não a obedecem. Por que os metais a obedecem é deduzido nos volumes de graduação.

Proposição 12.8 (Resistores em série e em paralelo)

Dois resistores em série equivalem a um único resistor $R_{\text{s}} = R_1 + R_2$ ; dois em paralelo, a um único resistor $R_{\text{p}}$ dado por

\frac{1}{R_{\text{p}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} , \qquad\text{ou seja,}\quad R_{\text{p}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} < \min(R_1, R_2) .

Demonstração. Em série: a mesma corrente $I$ atravessa os dois e as tensões se somam (Proposição 12.4), logo $U = (R_1 + R_2)\,I$ . Em paralelo: os dois ficam sob a mesma tensão $U$ e as correntes se somam, logo $I = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2}$ . ∎

Série (à esquerda): uma corrente, as tensões se somam. Paralelo (à direita): uma tensão, as correntes se somam.

Exemplo 12.9 (Resistência equivalente)

$R_1 = 100\,\Omega$ e $R_2 = 150\,\Omega$ : em série, $250\,\Omega$ ; em paralelo, $\frac{100 \times 150}{250} = 60\,\Omega$ — menos do que qualquer um dos dois: a corrente ganhou uma segunda estrada.

12.3 Energia e potência num circuito

Proposição 12.10 (Potência elétrica)

Um dispositivo sob tensão $U$ atravessado por uma corrente $I$ recebe energia à taxa

P = U\,I , \qquad\text{ou seja,}\quad E = U\,I\,t \ \text{num tempo } t .

Demonstração. Num tempo $t$ a carga $q = It$ atravessa o dispositivo (Definição 12.1) e cada coulomb lhe entrega $U$ joules (Definição 12.3): $E = qU = UIt$ . ∎

Proposição 12.11 (Potência num resistor)

Um resistor $R$ percorrido por uma corrente $I$ dissipa

P = R\,I^2 = \frac{U^2}{R} .

Demonstração. Substitua a lei de Ohm em $P = UI$ : $P = (RI)I = RI^2 = U(U/R) = U^2/R$ . ∎

Exemplo 12.12 (Ler uma placa de identificação)

Uma chaleira elétrica com a marcação “ $230\,\mathrm{V}$ – $2200\,\mathrm{W}$ ” puxa $I = P/U = 2200/230 = 9.6\,\mathrm{A}$ e tem resistência $R = U^2/P = 230^2/2200 = 24\,\Omega$ . Ligada por $150\,\mathrm{s}$ ela usa $E = 2200 \times 150 = 3.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J} \approx 0.09\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ — cerca de dois centavos.

Observação 12.13 (Joules e quilowatt-horas)

O medidor conta quilowatt-horas (Definição 9.17): $1\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} = 3.6 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ . Os joules são a unidade do físico; os quilowatt-horas dão preço às contas.

Potências de eletrodomésticos num eixo logarítmico: tudo o que aquece (em vermelho) vive um fator dez acima de tudo o que calcula ou ilumina (em azul).

12.4 O efeito Joule: da torradeira à torre de transmissão

Definição 12.14 (Efeito Joule)

A dissipação $P = RI^2$ que transforma energia elétrica em calor em todo resistor é o efeito Joule. Aquecedores, chaleiras, torradeiras e as lâmpadas de antigamente são resistores por projeto; um fusível é um fio fino calibrado para derreter — abrindo o circuito — quando a corrente ultrapassa o valor nominal dele.

Exemplo 12.15 (Por que as torres trabalham em alta tensão)

Um povoado precisa de $P = 100\,\mathrm{kW}$ através de uma linha de resistência $R_\ell = 5.0\,\Omega$ . Entregue a $U = 500\,\mathrm{V}$ : $I = P/U = 200\,\mathrm{A}$ e a linha desperdiça $R_\ell I^2 = 200\,\mathrm{kW}$ — o dobro da entrega: absurdo. A $U = 20\,\mathrm{kV}$ : $I = 5.0\,\mathrm{A}$ e $R_\ell I^2 = 125\,\mathrm{W}$ . Quarenta vezes menos corrente, $1600$ vezes menos perda.

A entrega do : elevar U com P = UI fixo encolhe I, e a perda cai com I2. — A entrega do Exemplo 12.15: elevar $U$ com $P = UI$ fixo encolhe $I$ , e a perda cai com $I^2$ .

Observação 12.16 (A regra de ferro da rede)

Com a potência entregue $P = UI$ fixa, a perda na linha $R_\ell I^2 = R_\ell P^2/U^2$ cai com o quadrado da tensão de transporte. Daí: elevar a tensão ( $400\,\mathrm{kV}$ ) para viajar e abaixá-la ( $230\,\mathrm{V}$ ) para conviver com ela.

Observação 12.17 (Segurança doméstica)

Uma linha de $230\,\mathrm{V}$ protegida por um fusível de $16\,\mathrm{A}$ fornece no máximo $230 \times 16 \approx 3.7\,\mathrm{kW}$ : duas chaleiras ao mesmo tempo derretem o fusível — que é, por projeto, o elo mais fino e mais fraco, e muito mais barato do que um incêndio dentro da parede.

12.5 Baterias reais: força eletromotriz

Definição 12.18 (Fem e resistência interna)

Uma bateria converte energia química em energia elétrica. A sua força eletromotriz (fem) $\mathcal{E}$ , em volts, é a energia que ela entrega a cada coulomb que a atravessa; a sua resistência interna $r$ dá conta do efeito Joule dentro da sua própria química. Modelo: uma fonte ideal $\mathcal{E}$ em série com $r$ (o $\mathcal{E}$ cursivo: $E$ é energia).

Proposição 12.19 (Tensão nos terminais)

Uma bateria que fornece uma corrente $I$ apresenta nos seus terminais

U = \mathcal{E} - r\,I .

Demonstração. A química fornece $\mathcal{E}I$ , a resistência interna come $rI^2$ e o circuito recebe $UI$ : a conservação da energia (Capítulo 9) dá $UI = \mathcal{E}I - rI^2$ . ∎

Exemplo 12.20 (Uma bateria sob carga)

Uma bateria ( $\mathcal{E} = 9.0\,\mathrm{V}$ , $r = 1.0\,\Omega$ ) alimenta uma lâmpada de resistência $R = 8.0\,\Omega$ . A malha obedece a $\mathcal{E} = rI + RI$ , logo $I = \mathcal{E}/(R + r) = 1.0\,\mathrm{A}$ e $U = 9.0 - 1.0 \times 1.0 = 8.0\,\mathrm{V}$ : a lâmpada recebe $8.0\,\mathrm{W}$ enquanto a bateria desperdiça $1.0\,\mathrm{W}$ se aquecendo.

Característica de descarga da bateria do : os pontos medidos ficam sobre a reta U = E - rI, de coeficiente angular -r = -1.0\, V/ A. — Característica de descarga da bateria do Exemplo 12.20: os pontos medidos ficam sobre a reta $U = \mathcal{E} - rI$ , de coeficiente angular $-r = -1.0\,\mathrm{V}/\mathrm{A}$ .

Observação 12.21 (Receptores)

Um motor ou uma bateria em carga fazem a conversão ao contrário: eles absorvem sob $U = \mathcal{E}' + r'I$ , convertendo $\mathcal{E}'I$ em movimento ou em química e perdendo $r'I^2$ . As fontes empurram; os receptores empurram de volta.

Exemplo 12.22 (Rendimento de uma bateria)

O rendimento (Definição 9.12) da descarga acima: útil $UI = 8.0\,\mathrm{W}$ de $\mathcal{E}I = 9.0\,\mathrm{W}$ , logo $\eta = U/\mathcal{E} = 8/9 \approx 0.89$ — e ele cai à medida que a corrente sobe: bateria que trabalha muito esquenta.

12.6 Exercícios

Exercício 12.1 ★

A bateria de um celular carrega com uma corrente constante de $2.0\,\mathrm{A}$ por $90\,\mathrm{min}$ . Que carga passa pelo cabo, em coulombs? Quantas cargas elementares isso representa ( $e = 1.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ )?

Solução

Solução de Exercício 12.1.

$q = It = 2.0 \times 90 \times 60 = 1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{C}$ . Número de cargas elementares: $q/e = 1.08\times10^{4}/1.6\times10^{-19} \approx 6.8 \times 10^{22}$ .

Exercício 12.2 ★

Um resistor de $220\,\Omega$ sob $12\,\mathrm{V}$ : que corrente circula? Uma resistência de aquecimento puxa $0.50\,\mathrm{A}$ sob $230\,\mathrm{V}$ : qual é a sua resistência?

Solução

Solução de Exercício 12.2.

$I = U/R = 12/220 = 0.055\,\mathrm{A} = 55\,\mathrm{mA}$ ; $R = U/I = 230/0.50 = 460\,\Omega$ .

Exercício 12.3 ★

Calcule a resistência equivalente de $R_1 = 120\,\Omega$ e $R_2 = 60\,\Omega$ em série e depois em paralelo. Qual delas é menor do que as duas, e por quê?

Solução

Solução de Exercício 12.3.

Série: $120 + 60 = 180\,\Omega$ . Paralelo: $\frac{120 \times 60}{180} = 40\,\Omega$ — menor do que as duas: mesma tensão, mas a corrente ganha um segundo caminho, de modo que a corrente total é maior e a resistência, menor.

Exercício 12.4 ★

Um ferro de passar de viagem puxa $8.7\,\mathrm{A}$ sob $230\,\mathrm{V}$ . Calcule a sua potência e, em seguida, a energia que ele usa em $4.0\,\mathrm{min}$ , em joules e em quilowatt-horas.

Solução

Solução de Exercício 12.4.

$P = UI = 230 \times 8.7 = 2.0\,\mathrm{kW}$ . Em $t = 240\,\mathrm{s}$ : $E = Pt = 2000 \times 240 = 4.8 \times 10^{5}\,\mathrm{J} = 4.8\times10^{5}/3.6 \times10^{6} \approx 0.13\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ .

Exercício 12.5 ★

O carregador de um notebook entrega $60\,\mathrm{W}$ durante $5.0\,\mathrm{h}$ por dia: qual é a energia diária em quilowatt-horas e em joules, e o custo a $0.25$ euros por $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ?

Solução

Solução de Exercício 12.5.

$E = 60 \times 5.0 = 300\,\mathrm{W}\,\mathrm{h} = 0.30\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} = 0.30 \times 3.6\times10^{6} = 1.1 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ . Custo: $0.30 \times 0.25 = 0.075$ euros por dia.

Exercício 12.6 ★★

Um aquecedor elétrico tem valores nominais de $1200\,\mathrm{W}$ sob $230\,\mathrm{V}$ .

Calcule a sua resistência e a corrente que ele puxa.
Ligado (com a mesma resistência) a uma rede de $115\,\mathrm{V}$ , que potência ele entrega? Por que não a metade?

Solução

Solução de Exercício 12.6.

1. $R = U^2/P = 230^2/1200 = 44\,\Omega$ ; $I = P/U = 1200/230 = 5.2\,\mathrm{A}$ .

2. $P' = U'^2/R = 115^2/44.1 = 300\,\mathrm{W}$ : um quarto, e não a metade, porque reduzir $U$ à metade também reduz $I$ à metade, e $P = UI \propto U^2$ .

Exercício 12.7 ★★

$R_1 = 40\,\Omega$ e $R_2 = 20\,\Omega$ em série sob $12\,\mathrm{V}$ . Calcule a corrente, a tensão em cada resistor e a potência dissipada em cada um; confira que as potências somam $UI$ .

Solução

Solução de Exercício 12.7.

$R_{\text{s}} = 60\,\Omega$ , logo $I = 12/60 = 0.20\,\mathrm{A}$ . $U_1 = R_1 I = 8.0\,\mathrm{V}$ , $U_2 = 4.0\,\mathrm{V}$ (soma $12\,\mathrm{V}$ ); $P_1 = U_1 I = 1.6\,\mathrm{W}$ , $P_2 = 0.8\,\mathrm{W}$ : total $2.4\,\mathrm{W}$ $= UI = 12 \times 0.20$ , como tinha de ser.

Exercício 12.8 ★★

$R_1 = 60\,\Omega$ e $R_2 = 30\,\Omega$ em paralelo sob $12\,\mathrm{V}$ . Calcule a corrente de cada ramo, a corrente total e a resistência equivalente de dois modos.

Solução

Solução de Exercício 12.8.

$I_1 = 12/60 = 0.20\,\mathrm{A}$ , $I_2 = 12/30 = 0.40\,\mathrm{A}$ , total $I = 0.60\,\mathrm{A}$ . Equivalente: $R = U/I = 12/0.60 = 20\,\Omega$ , e de fato $\frac{60 \times 30}{60 + 30} = 20\,\Omega$ .

Exercício 12.9 ★★

Uma bateria fornece $U = 5.5\,\mathrm{V}$ com $I = 0.50\,\mathrm{A}$ e $U = 4.0\,\mathrm{V}$ com $I = 2.0\,\mathrm{A}$ . Encontre a sua fem $\mathcal{E}$ e a sua resistência interna $r$ , e depois a corrente de curto-circuito $\mathcal{E}/r$ .

Solução

Solução de Exercício 12.9.

$\mathcal{E} - 0.50\,r = 5.5$ e $\mathcal{E} - 2.0\,r = 4.0$ ; subtraindo, $1.5\,r = 1.5$ , logo $r = 1.0\,\Omega$ e $\mathcal{E} = 6.0\,\mathrm{V}$ . Curto-circuito: $\mathcal{E}/r = 6.0\,\mathrm{A}$ .

Exercício 12.10 ★★

Uma linha de cozinha de $230\,\mathrm{V}$ é protegida por um fusível de $16\,\mathrm{A}$ . Uma chaleira de $2.2\,\mathrm{kW}$ e uma torradeira de $1.0\,\mathrm{kW}$ funcionam juntas: o fusível aguenta? Alguém acrescenta um aquecedor de $1.5\,\mathrm{kW}$ : mostre que ele queima.

Solução

Solução de Exercício 12.10.

Chaleira $2200/230 = 9.6\,\mathrm{A}$ , torradeira $1000/230 = 4.3\,\mathrm{A}$ : total $13.9\,\mathrm{A}$ $< 16\,\mathrm{A}$ , o fusível aguenta. Aquecedor $1500/230 = 6.5\,\mathrm{A}$ : total $20.4\,\mathrm{A}$ $> 16\,\mathrm{A}$ , ele queima (o que dá no mesmo: $4.7\,\mathrm{kW} > 230 \times 16 \approx 3.7\,\mathrm{kW}$ ).

Exercício 12.11 ★★

Uma oficina precisa de $10\,\mathrm{kW}$ através de um cabo de alimentação de resistência $2.0\,\Omega$ . Calcule a corrente e a perda por efeito Joule se a potência for entregue a $200\,\mathrm{V}$ e depois a $4.0\,\mathrm{kV}$ . Compare as duas perdas e explique a razão entre elas.

Solução

Solução de Exercício 12.11.

A $200\,\mathrm{V}$ : $I = 10^4/200 = 50\,\mathrm{A}$ , perda $RI^2 = 2.0 \times 50^2 = 5.0\,\mathrm{kW}$ — metade da entrega. A $4.0\,\mathrm{kV}$ : $I = 2.5\,\mathrm{A}$ , perda $2.0 \times 2.5^2 = 12.5\,\mathrm{W}$ . Razão $400 = 20^2$ : vinte vezes a tensão significa vinte vezes menos corrente, e a perda vai com $I^2$ .

Exercício 12.12 ★★★

Usando os três, e sempre os três, resistores idênticos de $60\,\Omega$ , liste todas as resistências equivalentes distintas (série, paralelo, mistas); calcule cada uma.

Solução

Solução de Exercício 12.12.

Quatro arranjos: os três em série, $3 \times 60 = 180\,\Omega$ ; os três em paralelo, $60/3 = 20\,\Omega$ ; um em série com dois em paralelo, $60 + 30 = 90\,\Omega$ ; um em paralelo com dois em série, $\frac{60 \times 120}{180} = 40\,\Omega$ .

Exercício 12.13 ★★★

Uma bateria ( $\mathcal{E} = 4.5\,\mathrm{V}$ , $r = 1.5\,\Omega$ ) alimenta um resistor $R = 6.0\,\Omega$ .

Calcule $I$ , $U$ , a potência útil em $R$ , a potência perdida em $r$ e o rendimento.
Mostre que a potência recebida por um $R$ variável, $P = \mathcal{E}^2 R/(R+r)^2$ , é máxima quando $R = r$ (dica: $(R+r)^2/R = (R-r)^2/R + 4r$ ), e calcule esse máximo.

Solução

Solução de Exercício 12.13.

1. $I = \mathcal{E}/(R + r) = 4.5/7.5 = 0.60\,\mathrm{A}$ ; $U = RI = 3.6\,\mathrm{V}$ ; potência útil $P = UI = 2.2\,\mathrm{W}$ ; perdida $rI^2 = 1.5 \times 0.60^2 = 0.54\,\mathrm{W}$ ; $\eta = U/\mathcal{E} = 3.6/4.5 = 0.80$ .

2. Pela dica, $P = \mathcal{E}^2 \big/ \big[(R - r)^2/R + 4r\big]$ ; o colchete é mínimo ( $= 4r$ ) exatamente quando $R = r$ , logo $P_{\max} = \mathcal{E}^2/(4r) = 4.5^2/6.0 = 3.4\,\mathrm{W}$ .

Exercício 12.14 ★★★

Uma chaleira de $2.2\,\mathrm{kW}$ e rendimento $0.90$ leva $1.0\,\mathrm{kg}$ de água de $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ até a fervura (aquecer água custa $4180\,\mathrm{J}$ por quilograma e por grau). Calcule o calor necessário, a energia elétrica consumida, o tempo de aquecimento e o custo a $0.25$ euros por $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ .

Solução

Solução de Exercício 12.14.

Calor: $Q = 1.0 \times 4180 \times (100 - 20) = 3.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ . Elétrica: $E = Q/0.90 = 3.7 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ . Tempo: $t = E/P = 3.7\times10^{5}/2200 \approx 170\,\mathrm{s}$ , menos de três minutos. Custo: $3.7\times10^{5}/3.6\times10^{6} \approx 0.10\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ , cerca de $2.6$ centavos.

Exercício 12.15 ★★★

Uma bateria de carro: $\mathcal{E} = 12.7\,\mathrm{V}$ , $r = 0.020\,\Omega$ , capacidade $60\,\mathrm{A}\,\mathrm{h}$ .

Converta a capacidade em coulombs e estime a energia armazenada ( $E \approx \mathcal{E} q$ ) em joules e em quilowatt-horas.
O motor de arranque puxa $150\,\mathrm{A}$ : calcule a tensão nos terminais, a potência entregue e a potência perdida por dentro.
Explique por que os faróis enfraquecem enquanto o motor dá a partida.

Solução

Solução de Exercício 12.15.

1. $q = 60 \times 3600 = 2.2 \times 10^{5}\,\mathrm{C}$ ; $E \approx \mathcal{E}q = 12.7 \times 2.16\times10^{5} = 2.7 \times 10^{6}\,\mathrm{J} \approx 0.76\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ .

2. $U = 12.7 - 0.020 \times 150 = 9.7\,\mathrm{V}$ ; entregue $UI = 1.5\,\mathrm{kW}$ ; perdida $rI^2 = 0.020 \times 150^2 = 450\,\mathrm{W}$ .

3. Os faróis estão ligados aos terminais: durante a partida a tensão nos terminais cai de $12.7$ para $9.7\,\mathrm{V}$ , de modo que eles recebem menos potência e enfraquecem.

12.7 Problema: da barragem à torradeira

Problema 12.1

Problema de fim de semana — a viagem de mil quilômetros de um quilowatt-hora, da água que cai ao pão que doura, com a conta completa do trajeto

Uma barragem de montanha guarda água $200\,\mathrm{m}$ acima das suas turbinas, que engolem $50\,\mathrm{m}^{3}$ — $5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$ — por segundo; turbina e alternador convertem com rendimento $0.90$ . Através de uma linha de resistência total $R_\ell = 32\,\Omega$ ( $1000\,\mathrm{km}$ de ida e volta), a usina alimenta uma cidade onde a sua torradeira de $900\,\mathrm{W}$ espera sob $230\,\mathrm{V}$ . O alternador entrega $20\,\mathrm{kV}$ ; transformadores (rendimento $0.99$ cada) convertem tensões à vontade. A eletricidade é vendida a $0.25$ euros por $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ; $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .

Parte I — Na barragem.

Quanta energia potencial a água em queda libera a cada segundo? Deduza a potência disponível para as turbinas.
Que potência elétrica sai do alternador?
A $20\,\mathrm{kV}$ , direto do alternador, que corrente circula?
Calcule a perda por efeito Joule $R_\ell I^2$ com essa corrente e compare-a com a saída da usina. Conclua.
A potência da cidade $P = UI$ é fixada pela demanda. Qual é o único modo de encolher $I$ , e que dispositivo faz isso?

Parte II — Na linha.

Um transformador, tratado como sem perdas nesta questão, eleva os $88\,\mathrm{MW}$ a $400\,\mathrm{kV}$ : que corrente circula agora?
Calcule a nova perda na linha, em megawatts.
Que fração da saída da usina se perde na linha?
Mostre que a fração perdida vale $R_\ell P/U^2$ e verifique que isso explica o fator entre as questões 4 e 7.
Calcule a queda de tensão $R_\ell I$ ao longo da linha a $400\,\mathrm{kV}$ . Isso é coerente com a questão 8?

Parte III — Na cozinha.

Converta $1\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ em joules; o que o medidor multiplica?
Calcule a corrente e a resistência da torradeira sob $230\,\mathrm{V}$ .
Três minutos de torrada: a energia em joules e em quilowatt-horas, e o preço dela.
A torradeira dissipa $RI^2$ : explique em uma frase por que a mesma fórmula é a perda na linha e o produto na cozinha.
A torradeira divide um fusível de $16\,\mathrm{A}$ com uma chaleira de $2.2\,\mathrm{kW}$ : o fusível aguenta? Um aquecedor de $2.0\,\mathrm{kW}$ se junta: e agora?

Parte IV — A auditoria.

A fiação da própria casa, de resistência $0.05\,\Omega$ , conduz os $13.5\,\mathrm{A}$ da questão 15: calcule a perda e a fração dela nos cerca de $3.1\,\mathrm{kW}$ entregues.
Encadeie os rendimentos (turbina–alternador, elevação, linha, abaixamento, fiação da casa) num único rendimento global da rede.
Quantos quilogramas (e quantos metros cúbicos) de água da barragem precisam cair para que um quilowatt-hora chegue à sua torradeira?
Avalie a fração perdida $R_\ell P/U^2$ da questão 9 em $U = 20\,\mathrm{kV}$ . O que significa um valor acima de $1$ ?
O desfecho — o preço da distância: em duas frases, quanto um quilowatt-hora de torrada custa à montanha, que fração morre no caminho e qual é o único truque que torna tudo possível.

Solução

Solução de Problema 12.1.

1. A cada segundo, $E_p = mgh = 5.0\times10^{4} \times 9.81 \times 200 = 9.8 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ : potência disponível de $98\,\mathrm{MW}$ .

2. $0.90 \times 98 = 88\,\mathrm{MW}$ .

3. $I = P/U = 8.8\times10^{7}/2.0\times10^{4} = 4.4 \times 10^{3}\,\mathrm{A}$ .

4. $R_\ell I^2 = 32 \times (4.4\times10^{3})^2 \approx 6.2 \times 10^{8}\,\mathrm{W} = 620\,\mathrm{MW}$ — sete vezes a saída da usina: transmitir a $20\,\mathrm{kV}$ é impossível.

5. Com $P = UI$ fixo, só elevar $U$ encolhe $I$ : um transformador.

6. $I = 8.8\times10^{7}/4.0\times10^{5} = 220\,\mathrm{A}$ .

7. $R_\ell I^2 = 32 \times 220^2 \approx 1.6\,\mathrm{MW}$ .

8. $1.6/88 \approx 0.018$ : cerca de $1.8\%$ .

9. Fração $= R_\ell I^2/P = R_\ell (P/U)^2/P = R_\ell P/U^2 \propto 1/U^2$ : de $20\,\mathrm{kV}$ para $400\,\mathrm{kV}$ ela cai por $20^2 = 400$ , e de fato $620\,\mathrm{MW}/400 \approx 1.6\,\mathrm{MW}$ .

10. $R_\ell I = 32 \times 220 \approx 7.1\,\mathrm{kV}$ : $1.8\%$ de $400\,\mathrm{kV}$ , a mesma fração da questão 8, já que $R_\ell I/U = R_\ell I^2/UI$ .

11. $1\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} = 3.6 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ : o medidor multiplica a potência consumida pelo tempo de consumo, e soma tudo.

12. $I = 900/230 = 3.9\,\mathrm{A}$ ; $R = U^2/P = 230^2/900 \approx 59\,\Omega$ .

13. $E = 900 \times 180 = 1.6 \times 10^{5}\,\mathrm{J} = 0.045\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ : cerca de $1.1$ centavo.

14. A física de $RI^2$ é idêntica; só o propósito muda — na linha o calor é indesejado; na torradeira, o calor é o produto.

15. $3.9 + 9.6 = 13.5\,\mathrm{A} < 16\,\mathrm{A}$ : aguenta. Aquecedor $2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$ : total $22.2\,\mathrm{A} > 16\,\mathrm{A}$ , o fusível queima.

16. $0.05 \times 13.5^2 = 9.1\,\mathrm{W}$ : $9.1/3100 \approx 0.3\%$ da potência entregue — desprezível em fios curtos.

17. $\eta = 0.90 \times 0.99 \times 0.982 \times 0.99 \times 0.997 \approx 0.86$ .

18. Um quilowatt-hora de torrada exige $3.6\times10^{6}/0.86 \approx 4.2 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ lá em cima: $m = E/(gh) = 4.2\times10^{6}/(9.81 \times 200) \approx 2.1 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ , cerca de $2.1\,\mathrm{m}^{3}$ de água.

19. $R_\ell P/U^2 = 32 \times 8.8\times10^{7}/(2.0\times 10^{4})^2 \approx 7$ . Uma “fração” acima de $1$ significa que a linha dissiparia mais do que transporta: a entrega simplesmente não pode acontecer nessa tensão.

20. Um quilowatt-hora de torrada custa à montanha cerca de duas toneladas — $2.1\,\mathrm{m}^{3}$ — de água caindo $200\,\mathrm{m}$ , e uns $14\%$ da energia morrem no caminho, sobretudo nas turbinas e nos transformadores (menos de $2\%$ nos $1000\,\mathrm{km}$ de linha). O único truque que torna a viagem possível é o transformador: elevar a tensão a $400\,\mathrm{kV}$ divide a corrente por $20$ e a perda por efeito Joule por $400$ .