Física do ensino médio · Grades 10–12

34O mundo quântico: fótons e níveis de energia

Uma lâmpada de calor infravermelha pode banhar a sua pele a noite inteira sem marcá-la; dez minutos do sol rarefeito da montanha deixam uma queimadura. A lâmpada entrega muito mais energia — mas não é energia que marca a pele. A luz, mostra este capítulo, chega em grãos, e só um grão que bate com força suficiente faz química: um grão ultravioleta rompe uma ligação que um bilhão de grãos infravermelhos apenas aquecem. Siga os grãos e um século se abre: metais vazando elétrons, átomos cantando em linhas espectrais, elétrons interferindo como ondas.

34.1 A luz chega em grãos: o fóton

Definição 34.1 (O fóton)

A luz de frequência $\nu$ troca energia com a matéria apenas em grãos inteiros chamados fótons, cada um de energia

E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}, \qquad h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s},

onde $h$ é a constante de Planck (Planck, 1900; Einstein, 1905) e $\lambda$ , o comprimento de onda no vácuo. A intensidade de um feixe mede o número de fótons por segundo; a energia de cada grão é fixada só pela frequência.

Notação 34.2 (O elétron-volt)

A física atômica usa o elétron-volt, $1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ : a energia que uma carga elementar ganha ao atravessar $1\,\mathrm{V}$ (Capítulo 14). Prático: $E \,(\mathrm{eV}) \approx 1240/\lambda\,(\mathrm{nm})$ .

Uma só escala para a família eletromagnética (): comprimento de onda (em cima), energia por fóton hc/ (em azul), dos grãos de rádio de um microelétron-volt aos grãos gama de MeV do — e ainda assim um apontador de 1.0\, mW despeja 3 × 1015 grãos por segundo: a luz do dia a dia escorre tão lisa quanto areia derramada. — Uma só escala para a família eletromagnética (Capítulo 22): comprimento de onda (em cima), energia por fóton $hc/\lambda$ (em azul), dos grãos de rádio de um microelétron-volt aos grãos gama de $\mathrm{MeV}$ do Capítulo 19 — e ainda assim um apontador de $1.0\,\mathrm{mW}$ despeja $3 \times 10^{15}$ grãos por segundo: a luz do dia a dia escorre tão lisa quanto areia derramada.

34.2 O efeito fotoelétrico

Ilumine uma placa metálica limpa no vácuo e elétrons saltam para fora — o efeito fotoelétrico. As regras dele quebraram a física clássica.

Proposição 34.3 (O que o experimento mostra)

Para cada metal existe uma frequência de corte $\nu_0$ :

abaixo de $\nu_0$ , elétron algum sai, por mais intensa que seja a luz;
acima de $\nu_0$ , a emissão começa sem atraso, por mais fraca que ela seja;
a intensidade eleva o número de elétrons por segundo, e não a energia cinética máxima deles; a frequência eleva $E_{k,\max}$ .

Nada disso cabe numa onda contínua, com a qual qualquer cor deveria conseguir carregar — ao longo de meses, sob luz fraca (Exercício 34.14) — e cuja intensidade deveria fixar a energia dos elétrons: as três previsões falham.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Teorema 34.4 (Relação fotoelétrica de Einstein)

Um elétron precisa de pelo menos a função trabalho $W_0$ do metal para escapar da superfície dele. Um fóton é absorvido inteiro por um elétron, de modo que

h\nu = W_0 + E_{k,\max}, \qquad \text{e portanto } \nu_0 = \frac{W_0}{h}.

Demonstração. Contabilidade de energia: entra $h\nu$ , gasta-se $W_0$ na saída e o resto é cinético — no máximo $h\nu - W_0$ , e menos para elétrons que partem de mais fundo. Abaixo de $\nu_0$ um grão não consegue pagar o pedágio de saída, seja qual for o número deles. ∎

Definição 34.5 (Potencial de corte)

Para medir $E_{k,\max}$ , uma tensão reversa freia os elétrons (Capítulo 14); o potencial de corte $U_s$ é a menor tensão que anula a corrente: os elétrons mais rápidos por pouco não conseguem atravessar, de modo que $E_{k,\max} = e\,U_s$ .

E_k, = eU_s medido contra a frequência (sódio): uma reta de inclinação h, cortando o eixo em _0; extrapolada (tracejado), ela revela -W_0 em = 0. — $E_{k,\max} = eU_s$ medido contra a frequência (sódio): uma reta de inclinação $h$ , cortando o eixo em $\nu_0$ ; extrapolada (tracejado), ela revela $-W_0$ em $\nu = 0$ .

Método 34.6 (Medir a constante de Planck)

Ilumine uma célula fotoelétrica através de filtros de comprimentos de onda conhecidos; calcule cada $\nu = c/\lambda$ ; registre cada potencial de corte.
Trace $E_{k,\max} = eU_s$ contra $\nu$ : Einstein promete a reta $h\nu - W_0$ .
Leia a inclinação: ela é $h$ ; os interceptos dão $\nu_0$ e $-W_0$ .

34.3 Níveis de energia: por que os átomos emitem linhas

Definição 34.7 (Níveis de energia)

A energia de um elétron ligado num átomo é quantizada: restrita a uma escada discreta de níveis de energia $E_1 < E_2 < \dots < 0$ , contados negativos a partir do elétron livre. O degrau mais baixo é o estado fundamental, e os outros são estados excitados; chegar a $0$ é a ionização.

Proposição 34.8 (A escada do hidrogênio)

Os níveis de energia do átomo de hidrogênio são

E_n = -\frac{13.6\,\mathrm{eV}}{n^2}, \qquad n = 1, 2, 3, \dots

de modo que $E_1 = -13.6\,\mathrm{eV}$ , $E_2 = -3.40\,\mathrm{eV}$ , $E_3 = -1.51\,\mathrm{eV}$ , $E_4 = -0.85\,\mathrm{eV}$ , amontoando-se rumo a $0$ .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 34.9 (De onde vem a escada)

Por que esses números é mecânica quântica, guardada para os volumes universitários — assim como a fórmula de de Broglie: a onda de matéria do elétron (Definição 34.15, adiante) precisa se fechar sobre si mesma em torno do núcleo, e só certos comprimentos de onda cabem — como uma corda de violão, um átomo tem um conjunto discreto de notas.

Teorema 34.10 (O fóton de uma transição)

Um átomo muda de nível apenas emitindo ou absorvendo um fóton que carrega exatamente a diferença: cair do nível $p$ para um nível mais baixo $n$ emite $h\nu = E_p - E_n$ ; subir de $n$ até $p$ absorve essa mesma energia.

Demonstração. Conservação da energia, um grão de cada vez: o fóton é a única moeda que a luz aceita, e os livros do átomo precisam fechar. ∎

Observação 34.11 (Espectros de linhas explicados)

Aqui está a resposta prometida pelo Capítulo 2: um gás quente emite apenas as frequências $(E_p - E_n)/h$ da escada dele — um código de barras de linhas brilhantes — e um gás frio rouba exatamente essas frequências da luz branca, imprimindo linhas escuras de absorção que casam com elas. Cada elemento tem a escada dele, e portanto o código de barras dele — é assim que lemos a luz das estrelas.

Exemplo 34.12 (As linhas visíveis do hidrogênio)

As transições que terminam em $n = 2$ caem no visível. Com $E \,(\mathrm{eV}) = 1240/\lambda\,(\mathrm{nm})$ : $3 \to 2$ : $1.89\,\mathrm{eV}$ , $656\,\mathrm{nm}$ (vermelho); $4 \to 2$ : $2.55\,\mathrm{eV}$ , $486\,\mathrm{nm}$ (verde-azulado); $5 \to 2$ : $2.86\,\mathrm{eV}$ , $434\,\mathrm{nm}$ (violeta). As transições para $n = 1$ passam de $10\,\mathrm{eV}$ : todas ultravioleta.

A escada do hidrogênio, em escala: as linhas visíveis terminam todas em n = 2; a queda até o estado fundamental é ultravioleta profundo. — A escada do hidrogênio, em escala: as linhas visíveis terminam todas em $n = 2$ ; a queda até o estado fundamental é ultravioleta profundo.

Observação 34.13 (Lasers, num fôlego só)

Um fóton de exatamente $E_p - E_n$ que passe por um átomo excitado pode provocá-lo a emitir um fóton idêntico — mesma energia, mesma direção, em compasso. Mantenha mais átomos em cima do que embaixo e um fóton vira uma avalanche de clones: emissão estimulada — e um laser é pouco mais do que isso.

34.4 Ondas de matéria

Proposição 34.14 (Os elétrons interferem)

Mande elétrons um a um por uma fenda dupla (Capítulo 22): cada um chega como um ponto nítido — uma partícula. Mas, à medida que milhares se acumulam, os pontos desenham franjas de interferência: cada elétron, sozinho, passa como onda pelas duas fendas. Cristais também difratam feixes de elétrons (Davisson e Germer, 1927).

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Um elétron, um ponto; milhares, franjas. Onde o próximo ponto cai é aleatório — como o decaimento de um núcleo () — mas a onda fixa a probabilidade: franja clara, provável; escura, quase nunca. O acaso individual governado por uma onda exata: o coração da física quântica. — Um elétron, um ponto; milhares, franjas. Onde o próximo ponto cai é aleatório — como o decaimento de um núcleo (Capítulo 19) — mas a onda fixa a *probabilidade*: franja clara, provável; escura, quase nunca. O acaso individual governado por uma onda exata: o coração da física quântica.

Definição 34.15 (Comprimento de onda de de Broglie)

Toda partícula de quantidade de movimento $p = mv$ viaja como uma onda de matéria de comprimento de onda de de Broglie

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Exemplo 34.16 (Por que você nunca difrata)

Um elétron acelerado por $100\,\mathrm{V}$ tem $E_k = 1.60 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ e $p = \sqrt{2m_e E_k} = 5.4 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , de modo que $\lambda \approx 0.12\,\mathrm{nm}$ — o espaçamento dos átomos num cristal, que por isso funciona como a fenda dupla dele. Uma bola de tênis de $58\,\mathrm{g}$ a $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\lambda = 6.63\times10^{-34}/1.45 \approx 4.6 \times 10^{-34}\,\mathrm{m}$ , umas $10^{19}$ vezes menor do que um núcleo — fenda alguma jamais a mostrará em franjas. O $h$ é tão pequeno que a granulosidade quântica só vem à tona na escala do átomo.

Exemplo 34.17 (O microscópio eletrônico)

A difração proíbe resolver detalhes muito menores do que o comprimento de onda usado (Capítulo 22): a luz visível para perto de $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Elétrons a $10\,\mathrm{kV}$ têm $\lambda \approx 12\,\mathrm{pm}$ — dezenas de milhares de vezes menor: os microscópios eletrônicos fotografam vírus, a maquinaria da célula e até átomos isolados. A onda de matéria entregou à física um olho novo.

34.5 Exercícios

Exercício 34.1 ★

Um apontador laser verde emite $1.0\,\mathrm{mW}$ em $530\,\mathrm{nm}$ . Calcule a energia de um fóton em joules e em elétron-volts, e depois os fótons por segundo.

Solução

Solução de Exercício 34.1.

$E = hc/\lambda = 1.99 \times 10^{-25}/5.30 \times 10^{-7} = 3.75 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 2.35\,\mathrm{eV}$ . $N = 1.0 \times 10^{-3}/3.75 \times 10^{-19} \approx 2.7 \times 10^{15}$ fótons por segundo.

Exercício 34.2 ★

Uma estação de FM transmite a $100\,\mathrm{MHz}$ . Calcule a energia do fóton dela em $\mathrm{eV}$ e compare com a de um fóton visível: por que a granulosidade do rádio é indetectável?

Solução

Solução de Exercício 34.2.

$E = h\nu = 6.63\times10^{-34} \times 10^{8} = 6.63 \times 10^{-26}\,\mathrm{J} \approx 4.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ — cerca de cinco milhões de vezes menos do que um fóton visível. Qualquer sinal de rádio detectável envolve tantos fótons por segundo que o fluxo é perfeitamente liso.

Exercício 34.3 ★

O césio tem $W_0 = 1.9\,\mathrm{eV}$ . Calcule a frequência e o comprimento de onda de corte dele. Um laser vermelho de $633\,\mathrm{nm}$ arranca elétrons do césio — e, se arranca, com que energia cinética máxima?

Solução

Solução de Exercício 34.3.

$\nu_0 = W_0/h = 3.04 \times 10^{-19}/6.63 \times 10^{-34} \approx 4.6 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $\lambda_0 = c/\nu_0 \approx 654\,\mathrm{nm}$ . Em $633\,\mathrm{nm}$ , $E = 1240/633 = 1.96\,\mathrm{eV} > 1.9\,\mathrm{eV}$ : sim, por pouco, com $E_{k,\max} \approx 0.06\,\mathrm{eV} \approx 1 \times 10^{-20}\,\mathrm{J}$ .

Exercício 34.4 ★

Usando $E_n = -13.6/n^2$ $\mathrm{eV}$ , calcule a energia e o comprimento de onda do fóton emitido na transição $3 \to 2$ do hidrogênio. Qual é a cor dele?

Solução

Solução de Exercício 34.4.

$E_3 - E_2 = -1.51 + 3.40 = 1.89\,\mathrm{eV}$ ; $\lambda = 1240/1.89 \approx 656\,\mathrm{nm}$ : a linha vermelha.

Exercício 34.5 ★

No gráfico de $E_{k,\max}$ contra $\nu$ do curso, leia a frequência de corte e a função trabalho do sódio (em $\mathrm{eV}$ ); que constante é a inclinação?

Solução

Solução de Exercício 34.5.

$\nu_0 \approx 5.6 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $W_0 = h\nu_0 \approx 3.7 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 2.3\,\mathrm{eV}$ (o intercepto $-W_0$ ). A inclinação é a constante de Planck $h$ .

Exercício 34.6 ★★

Luz de comprimento de onda $400\,\mathrm{nm}$ incide sobre potássio ( $W_0 = 2.3\,\mathrm{eV}$ ). Calcule a energia do fóton, a energia cinética máxima dos elétrons (em $\mathrm{eV}$ e em joules) e o potencial de corte.

Solução

Solução de Exercício 34.6.

$E = 1240/400 = 3.10\,\mathrm{eV}$ ; $E_{k,\max} = 3.10 - 2.3 = 0.80\,\mathrm{eV} = 1.3 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ ; $U_s = E_{k,\max}/e = 0.80\,\mathrm{V}$ .

Exercício 34.7 ★★

Uma célula fotoelétrica é iluminada acima do corte. O que acontece com (a) a corrente e (b) o potencial de corte quando a intensidade é dobrada com a frequência fixa? E quando a frequência é elevada? Que fato contradiz a imagem ondulatória, e por quê?

Solução

Solução de Exercício 34.7.

Intensidade dobrada: a corrente dobra (o dobro de fótons) e $U_s$ não muda (mesma energia por fóton). Frequência elevada: $U_s$ sobe, pois $E_{k,\max} = h\nu - W_0$ . A imagem ondulatória amarra a energia dos elétrons à intensidade, e não à frequência — exatamente o que não se observa.

Exercício 34.8 ★★

Que energia mínima de fóton ioniza um átomo de hidrogênio a partir do estado fundamental? E a partir de $n = 2$ ? Calcule os dois comprimentos de onda de corte e nomeie os domínios espectrais deles.

Solução

Solução de Exercício 34.8.

A partir de $n = 1$ : $13.6\,\mathrm{eV}$ , $\lambda = 1240/13.6 \approx 91\,\mathrm{nm}$ , ultravioleta distante. A partir de $n = 2$ : $3.40\,\mathrm{eV}$ , $\lambda \approx 365\,\mathrm{nm}$ , ultravioleta próximo.

Exercício 34.9 ★★

Luz branca atravessa um frasco de hidrogênio frio (todos os átomos no estado fundamental). Explique por que o espectro transmitido não mostra linha escura alguma no visível, e ainda assim as linhas de absorção de Balmer aparecem nos espectros de estrelas quentes.

Solução

Solução de Exercício 34.9.

Do estado fundamental o menor salto custa $E_2 - E_1 = 10.2\,\mathrm{eV}$ ( $122\,\mathrm{nm}$ ): toda linha de absorção é ultravioleta, nenhuma é visível. Numa atmosfera estelar quente as colisões mantêm alguns átomos em $n = 2$ , de onde fótons visíveis de Balmer ( $1.89\text{ to }3.40\,\mathrm{eV}$ ) podem ser absorvidos.

Exercício 34.10 ★★

Calcule o comprimento de onda de de Broglie (a) de um elétron acelerado por $100\,\mathrm{V}$ ; (b) de uma mosca de $0.10\,\mathrm{g}$ a $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Compare cada um com o tamanho de um átomo ( $\sim 10^{-10}\,\mathrm{m}$ ); conclua.

Solução

Solução de Exercício 34.10.

(a) $E_k = 1.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ , $p = \sqrt{2m_e E_k} = 5.4 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\lambda = h/p \approx 1.2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ — do tamanho de um átomo: os cristais o difratam. (b) $p = 1.0 \times 10^{-4} \times 1.0 = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\lambda \approx 6.6 \times 10^{-30}\,\mathrm{m}$ — $10^{20}$ vezes menor do que um átomo: a onda da mosca é para sempre invisível.

Exercício 34.11 ★★

Um olho adaptado ao escuro responde a cerca de $90$ fótons de luz de $505\,\mathrm{nm}$ . Calcule essa energia, compare-a com a energia cinética de um mosquito de $2.5\,\mathrm{mg}$ voando a $0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e interprete a razão.

Solução

Solução de Exercício 34.11.

Um fóton: $1.99 \times 10^{-25}/5.05 \times 10^{-7} = 3.94 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ ; noventa: $\approx 3.5 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ . O mosquito: $\tfrac12 \times 2.5 \times 10^{-6} \times 0.50^2 = 3.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{J}$ — $10^{10}$ vezes mais. O olho trabalha a cem grãos do limite absoluto: quase um contador de fótons.

Exercício 34.12 ★★★

Uma célula fotoelétrica dá $U_s = 1.19\,\mathrm{V}$ em $405\,\mathrm{nm}$ e $U_s = 0.40\,\mathrm{V}$ em $546\,\mathrm{nm}$ . A partir desses dois pontos, meça $h$ e depois a função trabalho em $\mathrm{eV}$ . Que metal deste capítulo é o cátodo?

Solução

Solução de Exercício 34.12.

$\nu_1 = 7.41 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $\nu_2 = 5.49 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $h = e\,\Delta U_s/\Delta\nu = 1.60 \times 10^{-19} \times 0.79 / 1.91 \times 10^{14} \approx 6.6 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ . $W_0 = h\nu_2 - eU_{s,2} = 3.63 \times 10^{-19} - 0.64 \times 10^{-19} = 3.0 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 1.9\,\mathrm{eV}$ : césio.

Exercício 34.13 ★★★

Uma lâmpada de hidrogênio mostra linhas em $486\,\mathrm{nm}$ e $434\,\mathrm{nm}$ . Converta cada uma numa energia de fóton e identifique as duas transições casando diferenças dos níveis $E_n = -13.6/n^2$ $\mathrm{eV}$ .

Solução

Solução de Exercício 34.13.

$1240/486 = 2.55\,\mathrm{eV} = E_4 - E_2 = 3.40 - 0.85$ : transição $4 \to 2$ . $1240/434 = 2.86\,\mathrm{eV} = E_5 - E_2 = 3.40 - 0.54$ : transição $5 \to 2$ .

Exercício 34.14 ★★★

Estimativa clássica do atraso: luz fraca, de intensidade $1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , incide sobre potássio ( $W_0 = 2.3\,\mathrm{eV}$ ). Se um átomo coletasse apenas a energia que atravessa a seção reta dele (raio $1.0 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ ), quanto tempo levaria para juntar $W_0$ ? Compare com o atraso observado (menos de $10^{-9}\,\mathrm{s}$ ).

Solução

Solução de Exercício 34.14.

Seção reta $\pi r^2 \approx 3.1 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}^{2}$ , potência coletada $3.1 \times 10^{-26}\,\mathrm{W}$ ; $t = 3.7 \times 10^{-19}/3.1 \times 10^{-26} \approx 1.2 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ — quatro meses, contra menos de um nanossegundo observado. A energia não pode estar espalhada pela frente de onda: ela viaja concentrada, em grãos.

Exercício 34.15 ★★★

Num microscópio eletrônico os elétrons são acelerados por $5.0\,\mathrm{kV}$ . Calcule o comprimento de onda de de Broglie deles, compare-o com o da luz verde ( $550\,\mathrm{nm}$ ) e explique, pela difração (Capítulo 22), por que isso compra resolução.

Solução

Solução de Exercício 34.15.

$E_k = 8.0 \times 10^{-16}\,\mathrm{J}$ , $p = \sqrt{2m_e E_k} = 3.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\lambda = h/p \approx 1.7 \times 10^{-11}\,\mathrm{m} = 17\,\mathrm{pm}$ — cerca de $3 \times 10^{4}$ vezes menor do que $550\,\mathrm{nm}$ . A difração borra detalhes menores do que $\sim\lambda$ , de modo que encolher $\lambda$ por $10^4$ compra $10^4$ em resolução.

34.6 Problema: o laboratório de física do painel solar

Problema 34.1

Problema de fim de semana — o laboratório de física do painel solar: os $10^{21}$ grãos que um telhado bebe a cada segundo, uma célula fotoelétrica que mede a constante de Planck, uma lâmpada de hidrogênio lida linha a linha — um fim de semana, um $h$

A sua turma instrumenta o painel solar do telhado da escola por um fim de semana. Dados: irradiância solar ao meio-dia $1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; comprimento de onda solar médio $550\,\mathrm{nm}$ ; área do painel $1.0\,\mathrm{m}^{2}$ , rendimento $20\%$ ; o dia entrega o equivalente a $5.0\,\mathrm{h}$ de sol pleno.

Parte I — Contabilidade de fótons.

Calcule a energia de um fóton solar médio, em joules e em elétron-volts.
Deduza o número de fótons que atingem o painel por segundo ao meio-dia.
Calcule a potência elétrica do painel ao meio-dia e depois a energia produzida ao longo do dia, em $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ .
A corrente do painel parece perfeitamente lisa. Usando a questão 2, explique por que a chegada grão a grão é invisível.
A luz do Sol carrega mais energia infravermelha do que ultravioleta e, ainda assim, só a ultravioleta queima a pele (ligações de $3\text{ to }4\,\mathrm{eV}$ ). Explique em termos de grãos.

Parte II — Medir $h$ com a célula fotoelétrica do kit. A célula fotoelétrica do kit tem um cátodo desconhecido. Os filtros dão:

$\lambda$ ( $\mathrm{nm}$ )	365	405	436	546
$U_s$ ( $\mathrm{V}$ )	1.50	1.16	0.94	0.37

O que o potencial de corte mede? Relacione $U_s$ , $\nu$ , $W_0$ e $h$ .
Converta os quatro comprimentos de onda em frequências (em $10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ).
Por que traçar $eU_s$ contra $\nu$ deve dar uma reta? Verifique o alinhamento dos pontos.
A partir dos pontos extremos, calcule a inclinação: o seu $h$ medido.
Deduza a função trabalho do cátodo (em $\mathrm{eV}$ ), a frequência de corte e o comprimento de onda de corte.
Que parte da luz do Sol conseguiria arrancar elétrons desse cátodo — e que metade do espectro é inútil para ele?
Compare o seu $h$ com $6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ : qual é o erro relativo, em porcentagem?

Parte III — A lâmpada de hidrogênio de calibração. A escala de comprimentos de onda do kit é conferida contra uma lâmpada de hidrogênio, $E_n = -13.6/n^2$ $\mathrm{eV}$ .

Calcule $E_2$ , $E_3$ , $E_4$ e $E_5$ .
Calcule as energias dos fótons das transições $3 \to 2$ , $4 \to 2$ e $5 \to 2$ .
Deduza os três comprimentos de onda e dê a cor de cada linha.
Por que a lâmpada emite linhas em vez de um arco-íris contínuo? Em uma frase, nomeando a ideia-chave.
O hidrogênio da lâmpada conseguiria absorver luz em $500\,\mathrm{nm}$ ? Justifique com a escada.

Parte IV — Inspecionar as células: a onda do elétron. Microfissuras numa célula ficam muito abaixo do alcance de $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ dos microscópios ópticos; o microscópio eletrônico de varredura do laboratório opera a $10\,\mathrm{kV}$ .

Calcule a velocidade dos elétrons; verifique que ela fica abaixo de $0.25\,c$ (fórmula clássica).
Calcule a quantidade de movimento e o comprimento de onda de de Broglie deles.
A resolução acompanha o comprimento de onda: calcule o ganho em relação à luz verde ( $550\,\mathrm{nm}$ ); conclua com os dois números do fim de semana — o seu $h$ e esse ganho.

Solução

Solução de Problema 34.1.

1. $E = hc/\lambda = 1.99 \times 10^{-25}/5.50 \times 10^{-7} = 3.62 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 2.26\,\mathrm{eV}$ .

2. $N = 1.0 \times 10^{3}/3.62 \times 10^{-19} \approx 2.8 \times 10^{21}$ fótons por segundo.

3. $P = 0.20 \times 1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{W} = 200\,\mathrm{W}$ ; $E = 200 \times 5.0 = 1.0\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ( $3.6 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ ).

4. Com $10^{21}$ grãos por segundo, a tremulação estatística é fantasticamente pequena: a granulosidade se promedia numa corrente perfeitamente lisa, como areia derramada depressa escorre feito água.

5. O dano exige um grão de $3\text{ to }4\,\mathrm{eV}$ : os grãos ultravioleta se qualificam, e os infravermelhos ( $\sim 0.1\,\mathrm{eV}$ ) nunca — número nenhum substitui a pancada por grão.

6. $U_s$ é a tensão reversa que por pouco detém os elétrons mais rápidos: $eU_s = E_{k,\max} = h\nu - W_0$ .

7. $\nu = c/\lambda$ : $8.22$ , $7.41$ , $6.88$ e $5.49$ $\times\,10^{14}\,\mathrm{Hz}$ .

8. $eU_s = h\nu - W_0$ é afim em $\nu$ , com inclinação $h$ . Inclinações sucessivas: $(0.94 - 0.37)/1.39 = 0.41$ e $(1.50 - 0.94)/1.34 = 0.42$ $\mathrm{eV}$ por $10^{14}\,\mathrm{Hz}$ — os três pontos se alinham.

9. $h = e(U_{s,1}-U_{s,4})/(\nu_1-\nu_4) = 1.60 \times 10^{-19} \times 1.13/2.72 \times 10^{14} = 6.64 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ .

10. Em $546\,\mathrm{nm}$ : $W_0 = h\nu - eU_s = 3.64 \times 10^{-19} - 0.59 \times 10^{-19} = 3.05 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 1.90\,\mathrm{eV}$ ; $\nu_0 = W_0/h = 4.60 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $\lambda_0 \approx 653\,\mathrm{nm}$ .

11. Só $\lambda < 653\,\mathrm{nm}$ arranca elétrons: o visível do violeta ao vermelho e o ultravioleta. Todo o lado infravermelho — grosso modo metade da energia do Sol — é inútil para esse cátodo.

12. $(6.64 - 6.63)/6.63 \approx 0.2\%$ — uma medida de laboratório escolar de uma constante universal com dois por mil de erro.

13. $E_2 = -3.40\,\mathrm{eV}$ , $E_3 = -1.51\,\mathrm{eV}$ , $E_4 = -0.85\,\mathrm{eV}$ , $E_5 = -0.54\,\mathrm{eV}$ .

14. $3 \to 2$ : $1.89\,\mathrm{eV}$ ; $4 \to 2$ : $2.55\,\mathrm{eV}$ ; $5 \to 2$ : $2.86\,\mathrm{eV}$ .

15. $\lambda = 1240/E$ : $656\,\mathrm{nm}$ (vermelho), $486\,\mathrm{nm}$ (verde-azulado), $434\,\mathrm{nm}$ (violeta).

16. As energias do átomo são quantizadas, de modo que ele só pode emitir as diferenças discretas $E_p - E_n$ : uma escada faz linhas, e não um arco-íris.

17. Não: $500\,\mathrm{nm}$ significa $2.48\,\mathrm{eV}$ , que não casa com diferença de nível alguma (a partir de $E_2$ , para cima, dá $1.89$ , $2.55$ , $2.86$ e $3.40\,\mathrm{eV}$ ; a partir de $E_1$ , tudo custa pelo menos $10.2\,\mathrm{eV}$ ) — o gás é transparente ali.

18. $eU = \tfrac12 m_e v^2$ : $v = \sqrt{2 \times 1.60 \times 10^{-19} \times 1.0 \times 10^{4}/9.11 \times 10^{-31}} \approx 5.9 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 0.20\,c$ — tratamento clássico aceitável.

19. $p = m_e v = 5.4 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\lambda = h/p = 1.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{m} = 12\,\mathrm{pm}$ .

20. Ganho $= 5.50 \times 10^{-7}/1.23 \times 10^{-11} \approx 4.5 \times 10^{4}$ . Os dois números do fim de semana: $h = 6.64 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , medido com $0.2\%$ de erro usando filtros e um voltímetro, e um microscópio quarenta e cinco mil vezes mais nítido porque os elétrons ondulam.