Physics · Livro 2 · Grades 10–12

Física do ensino médio

Física do ensino médio · Grades 10–12

35Relatividade restrita: a dilatação do tempo

Todo satélite de GPS carrega um relógio atômico bom até um segundo em três milhões de anos — e, antes do lançamento, os engenheiros o desafinam de propósito: deixado honesto, ele adiantaria 38 milionésimos de segundo por dia e, já amanhã à noite, o seu celular o colocaria a onze quilômetros de onde você está. O relógio não tem culpa — o próprio tempo corre de modo diferente para quem se move e para quem está parado: este capítulo acompanha Einstein de um fato teimoso até essa conclusão.

35.1 Uma velocidade se recusa a somar

As velocidades dependem do referencial e se compõem por adição (Capítulo 5): um passageiro que caminha a 4 km/h4\,\mathrm{km}/\mathrm{h} rumo à frente de um trem a 300 km/h300\,\mathrm{km}/\mathrm{h} passa pelo observador da beira dos trilhos a 304 km/h304\,\mathrm{km}/\mathrm{h}.

Definição 35.1 (Referencial inercial)

Um referencial inercial é um referencial (Capítulo 5) no qual um corpo livre de forças mantém velocidade constante: o solo, com boa aproximação, e todo referencial em movimento retilíneo uniforme em relação a ele.

Leve a regra ao extremo: o feixe do farol do trem deveria passar pelo observador do solo a c+300 km/hc + 300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}. Em 1887 Michelson e Morley compararam a velocidade da luz ao longo e através da corrida orbital de 30 km/s30\,\mathrm{km}/\mathrm{s} da Terra, caçando diferenças desse tipo; com precisão primorosa, não acharam nenhuma — o mesmo cc em todas as direções, em todas as estações. Einstein, em 1905, acreditou no experimento e reconstruiu o tempo e o espaço em torno dele, sobre dois postulados julgados pelas consequências deles — testadas há um século, sem uma única falha.

Teorema 35.2 (Os postulados da relatividade restrita)

  1. Princípio da relatividade: as leis da física assumem a mesma forma em todo referencial inercial; nenhum está “verdadeiramente em repouso”.
  2. Invariância de cc: a luz no vácuo viaja a c=3.00×108 m/sc = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} em todo referencial inercial, seja qual for o movimento da fonte ou do observador.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

35.2 Adeus ao “mesmo instante”

Proposição 35.3 (Relatividade da simultaneidade)

Dois eventos simultâneos num referencial inercial não são, em geral, simultâneos noutro: o “agora, em toda parte” depende do referencial.

Demonstração. O trem de Einstein. Dois raios caem nas duas pontas de um trem em movimento, chamuscando os trilhos. O observador da plataforma MM, a meio caminho entre as marcas, recebe os dois clarões juntos; cada um percorreu a mesma distância com a mesma velocidade cc, de modo que as quedas foram simultâneas. O passageiro M′M', no meio do trem, corre em direção ao clarão da frente, que o alcança primeiro; mas, no referencial dele, os dois clarões também percorreram distâncias iguais (meio trem) com a mesma velocidade cc — segundo postulado! — de modo que a queda da frente aconteceu antes. Cada veredito está correto no referencial dele; a discordância, de nanossegundos para um trem, é por que ninguém tinha percebido. ∎

O trem de Einstein: os clarões de A e de B chegam juntos a M; M' corre em direção ao clarão de B, encontra-o primeiro — e conclui que ele caiu antes.
O trem de Einstein: os clarões de AA e de BB chegam juntos a MM; M′M' corre em direção ao clarão de BB, encontra-o primeiro — e conclui que ele caiu antes.

35.3 O relógio de luz e o fator γ\gamma

Definição 35.4 (Evento, tempo próprio)

Um evento é um acontecimento num só lugar e num só instante — um tique, um clarão, um decaimento. Quando um único relógio está presente nos dois eventos, o intervalo que ele marca entre eles é o tempo próprio Δt0\Delta t_0. Um referencial no qual esse relógio se move mede um intervalo Δt\Delta t em geral diferente.

Teorema 35.5 (Dilatação do tempo)

Um relógio que se move com velocidade constante vv através de um referencial inercial é medido ali como atrasado: entre dois eventos no relógio,

Δt=γ Δt0,γ=11−v2/c2≥1.\Delta t = \gamma\, \Delta t_0, \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \geq 1 .

Demonstração. Construa o relógio mais simples imaginável: dois espelhos frente a frente, à distância LL, com um fóton quicando entre eles; uma ida e volta é um tique e, em repouso, um tique dura Δt0=2L/c\Delta t_0 = 2L/c. Agora parafuse o relógio numa nave que cruza com velocidade vv, com os espelhos perpendiculares ao movimento, e cronometre um tique a partir do solo: enquanto o fóton sobe, os espelhos deslizam para o lado, de modo que o fóton voa por um caminho inclinado — dois movimentos ao mesmo tempo, como o projétil do Capítulo 24. Se o tique dura Δt\Delta t, cada meio-tique avança v Δt/2v\,\Delta t/2 na horizontal e LL na vertical; e — o passo crucial — o segundo postulado fixa em cc a velocidade do fóton em relação ao solo, de modo que a meia trajetória inclinada mede c Δt/2c\,\Delta t/2. Por Pitágoras:

(c Δt2) ⁣2=L2+(v Δt2) ⁣2  ⟹  Δt=2L/c1−v2/c2=γ Δt0.\Bigl(\frac{c\,\Delta t}{2}\Bigr)^{\!2} = L^2 + \Bigl(\frac{v\,\Delta t}{2}\Bigr)^{\!2} \;\Longrightarrow\; \Delta t = \frac{2L/c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma\,\Delta t_0 .

E qualquer relógio que viaje ao lado dele — relógio de pulso, batimento cardíaco, núcleo que decai — precisa acompanhar o compasso, senão a comparação denunciaria o movimento da nave e violaria o primeiro postulado. ∎

O relógio de luz. Em repouso o fóton sobe L; do solo, ele voa a hipotenusa com o mesmo c — de modo que o tique precisa demorar mais. O relógio de luz. Em repouso o fóton sobe L; do solo, ele voa a hipotenusa com o mesmo c — de modo que o tique precisa demorar mais.
O relógio de luz. Em repouso o fóton sobe LL; do solo, ele voa a hipotenusa com o mesmo cc — de modo que o tique precisa demorar mais.

Exemplo 35.6 (Gama em números)

v/cv/c0.010.10.50.80.90.990.999
γ\gamma1.000051.0051.1551.6672.2947.0922.4

Nada acontece por páginas, e depois acontece tudo: γ\gamma abraça o 11 até um terço da velocidade da luz, passa de 22 perto de 0.9c0.9c e explode quando v→cv \to c.

= 1/√1 - v2/c2: indistinguível de 1 nas velocidades do dia a dia, divergindo na assíntota v = c — a velocidade que nenhum corpo com massa alcança.
γ=1/1−v2/c2\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}: indistinguível de 11 nas velocidades do dia a dia, divergindo na assíntota v=cv = c — a velocidade que nenhum corpo com massa alcança.

Observação 35.7 (Por que o dia a dia nunca percebeu)

Para v≪cv \ll c, escreva x=v2/c2x = v^2/c^2: como (1−x)(1+x)≈1(1-x)(1+x) \approx 1 e (1+x/2)2≈1+x(1 + x/2)^2 \approx 1 + x, obtemos γ≈1+v2/(2c2)\gamma \approx 1 + v^2/(2c^2). Um carro a 130 km/h130\,\mathrm{km}/\mathrm{h} tem γ−1≈7×10−15\gamma - 1 \approx 7 \times 10^{-15} (um segundo perdido a cada quatro milhões de anos de estrada); um jato consegue 3.5×10−133.5 \times 10^{-13}, um segundo a cada noventa mil anos no ar. Os nossos relógios eram simplesmente grosseiros demais.

35.4 O veredito do experimento

Exemplo 35.8 (Os múons chegam ao solo)

Os raios cósmicos que atingem a alta atmosfera criam múons — partículas de vida curta, de tempo de vida próprio Δt0=2.2 µs\Delta t_0 = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s} — a uns 15 km15\,\mathrm{km} de altura, movendo-se a quase cc. Sem relatividade, um múon cobre c Δt0≈660 mc\,\Delta t_0 \approx 660\,\mathrm{m} por tempo de vida: a descida leva uns 2323 tempos de vida, e a fração sobrevivente e−23≈10−10\mathrm{e}^{-23} \approx 10^{-10} deveria tornar os múons ao nível do mar raríssimos. E, no entanto, os detectores contam cerca de um por centímetro quadrado por minuto. A dilatação do tempo resolve o caso: chegando com γ≈30\gamma \approx 30, os múons vivem 30×2.2 µs=66 µs30 \times 2.2\,\text{µ}\mathrm{s} = 66\,\text{µ}\mathrm{s} nos nossos relógios — alcance ≈20 km\approx 20\,\mathrm{km}, a atmosfera inteira.

A viagem do múon: um tempo de vida clássico se extingue 660\, m abaixo da altitude de nascimento; o tempo de vida dilatado atravessa a atmosfera.
A viagem do múon: um tempo de vida clássico se extingue 660 m660\,\mathrm{m} abaixo da altitude de nascimento; o tempo de vida dilatado atravessa a atmosfera.

As confirmações se acumulam. Em 1971 Hafele e Keating levaram relógios atômicos de césio (Capítulo 28) em voos comerciais ao redor do mundo; no pouso, eles diferiam dos relógios de solo pelas frações de microssegundo previstas. Os aceleradores apostam na dilatação diariamente, com as partículas deles impulsionadas a γ\gamma na casa dos milhares e sobrevivendo a voltas que classicamente jamais completariam. E o GPS é um experimento em andamento, com preço fechado.

Observação 35.9 (A conta relativística do GPS)

Um satélite de GPS orbita a cerca de 3.9 km/s3.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}, de modo que a relatividade restrita atrasa o relógio dele em uns 7 µs7\,\text{µ}\mathrm{s} por dia. A gravidade, mais fraca na altitude, age no sentido contrário e vence: a relatividade geral (a teoria da gravitação de Einstein, contada nos volumes universitários) o adianta em cerca de 45 µs45\,\text{µ}\mathrm{s} por dia; no líquido, 38 µs38\,\text{µ}\mathrm{s} de adiantamento por dia. O posicionamento converte leituras de relógio em distâncias à velocidade cc: um dia sem correção borraria as posições em c×38 µs≈11 kmc \times 38\,\text{µ}\mathrm{s} \approx 11\,\mathrm{km} — daí os relógios desafinados do parágrafo de abertura.

Proposição 35.10 (Contração dos comprimentos)

Um corpo de comprimento L0L_0 no referencial de repouso dele é medido mais curto ao longo da direção de movimento num referencial em que ele se move com velocidade vv: L=L0/γL = L_0/\gamma.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 35.11 (A versão do próprio múon)

A contração dos comprimentos é o outro lado da dilatação do tempo (deduzida com honestidade nos volumes universitários): o relógio do múon bate normalmente no referencial dele, mas a atmosfera que sobe correndo está contraída a 15 km/30=500 m15\,\mathrm{km}/30 = 500\,\mathrm{m}, atravessados bem dentro de 2.2 µs2.2\,\text{µ}\mathrm{s} — os dois referenciais concordam que o múon chega ao solo.

35.5 Massa, energia e o mundo clássico reencontrado

Teorema 35.12 (Equivalência massa–energia)

Um corpo de massa mm possui, só pela massa dele, a energia

E=mc2.E = m c^2 .

A massa é uma forma concentrada de energia; a energia, reciprocamente, tem massa.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 35.13 (Onde você já a encontrou)

Este é o livro-caixa por trás da energia nuclear (Capítulo 33): o defeito de massa de uma reação, vezes c2c^2, é a energia liberada. Um grama de massa são 9.0×1013 J9.0 \times 10^{13}\,\mathrm{J} — a produção de um dia inteiro de uma grande usina. A dedução honesta pertence aos volumes universitários; os reatores e as estrelas funcionam com ela de qualquer maneira.

Observação 35.14 (Newton não estava errado)

Faça v≪cv \ll c: γ→1\gamma \to 1, os tempos concordam, os comprimentos se descontraem, a simultaneidade vira absoluta — e a mecânica dos últimos três anos reaparece, intacta, como o limite de baixa velocidade. A relatividade não demoliu Newton; ela traçou a fronteira do império dele. É assim que a física cresce: refinando teorias, cada uma nova devolvendo a antiga como caso-limite.

35.6 Exercícios

Exercício 35.1 ★

Calcule γ\gamma, com três algarismos significativos, para v=0.1cv = 0.1c, 0.6c0.6c, 0.8c0.8c e 0.995c0.995c.

Solução

Solução de Exercício 35.1.

γ=1/1−(v/c)2\gamma = 1/\sqrt{1 - (v/c)^2}: 1.011.01 (0.1c0.1c); 1.251.25 (0.6c0.6c); 1.671.67 (0.8c0.8c); 10.010.0 (0.995c0.995c).

Exercício 35.2 ★

Uma nave viaja a 0.6c0.6c; o metrônomo dela bate a cada 10.0 s10.0\,\mathrm{s} pelo relógio de bordo. Que intervalo o solo mede? Qual é o tempo próprio, e por quê?

Solução

Solução de Exercício 35.2.

γ=1.25\gamma = 1.25, de modo que o solo mede 1.25×10.0=12.5 s1.25 \times 10.0 = 12.5\,\mathrm{s}. Os 10.0 s10.0\,\mathrm{s} da nave são o tempo próprio: o metrônomo (um único relógio) está presente nas duas batidas.

Exercício 35.3 ★

Com que velocidade (como fração de cc) tem-se γ=2\gamma = 2? E γ=10\gamma = 10?

Solução

Solução de Exercício 35.3.

v=c1−1/γ2v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}: γ=2\gamma = 2 dá v=0.866cv = 0.866c; γ=10\gamma = 10 dá v=0.995cv = 0.995c.

Exercício 35.4 ★

Um carro anda a 130 km/h130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}. Calcule v/cv/c e depois γ−1\gamma - 1 (Observação 35.7); por quanto tempo ele precisa rodar para o relógio dele ficar 1 s1\,\mathrm{s} atrás?

Solução

Solução de Exercício 35.4.

v=36.1 m/sv = 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}, v/c=1.2×10−7v/c = 1.2 \times 10^{-7}; γ−1≈(1.2×10−7)2/2≈7.2×10−15\gamma - 1 \approx (1.2 \times 10^{-7})^2/2 \approx 7.2 \times 10^{-15}. Um segundo de atraso depois de 1/7.2×10−15≈1.4×1014 s1/7.2 \times 10^{-15} \approx 1.4 \times 10^{14}\,\mathrm{s} — cerca de quatro milhões de anos de estrada.

Exercício 35.5 ★

No experimento do trem de Einstein, explique — citando o postulado usado — por que o passageiro conclui que a queda da frente veio primeiro, e por que nenhum dos dois observadores está enganado.

Solução

Solução de Exercício 35.5.

O passageiro corre em direção ao clarão da frente, que por isso o alcança primeiro; pelo segundo postulado, os dois clarões viajam com a mesma velocidade cc pelas distâncias iguais de meio trem no referencial dele, de modo que uma chegada mais cedo significa uma queda mais cedo. A simultaneidade depende do referencial: cada veredito está correto no referencial dele.

Exercício 35.6 ★★

Os píons carregados vivem Δt0=2.6×10−8 s\Delta t_0 = 2.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}. Um feixe deixa um acelerador a 0.99c0.99c. Calcule γ\gamma, o tempo de vida no laboratório, o alcance clássico v Δt0v\,\Delta t_0 e o alcance médio real.

Solução

Solução de Exercício 35.6.

γ=1/1−0.992=7.09\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.99^2} = 7.09; tempo de vida no laboratório 7.09×2.6×10−8=1.8×10−7 s7.09 \times 2.6 \times 10^{-8} = 1.8 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}. Alcance clássico 0.99×3.00×108×2.6×10−8≈7.7 m0.99 \times 3.00 \times 10^{8} \times 2.6 \times 10^{-8} \approx 7.7\,\mathrm{m}; real 7.09×7.7≈55 m7.09 \times 7.7 \approx 55\,\mathrm{m}.

Exercício 35.7 ★★

Na curva de γ\gamma, leia as velocidades que dão γ=1.5\gamma = 1.5 e γ=3\gamma = 3 (confira por cálculo). O que a assíntota vertical em v=cv = c diz sobre acelerar um corpo com massa?

Solução

Solução de Exercício 35.7.

γ=1.5\gamma = 1.5 em v=c1−1/2.25≈0.75cv = c\sqrt{1 - 1/2.25} \approx 0.75c; γ=3\gamma = 3 em ≈0.94c\approx 0.94c. A assíntota: γ\gamma (e o custo energético de mais velocidade) diverge quando v→cv \to c — esforço finito algum leva um corpo com massa à velocidade da luz.

Exercício 35.8 ★★

Um relógio de luz tem espelhos a L=1.5 mL = 1.5\,\mathrm{m} um do outro. Calcule o tique dele em repouso e depois o tique medido do solo quando ele viaja a 0.8c0.8c.

Solução

Solução de Exercício 35.8.

Δt0=2L/c=3.0/3.00×108=1.0×10−8 s\Delta t_0 = 2L/c = 3.0/3.00 \times 10^{8} = 1.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}; a 0.8c0.8c, γ=5/3\gamma = 5/3, logo Δt=1.7×10−8 s\Delta t = 1.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}.

Exercício 35.9 ★★

Quem mede o tempo próprio entre: (a) dois tiques de um relógio de pulso — quem o usa ou quem passa? (b) o nascimento e o decaimento de um múon — o múon ou o laboratório? (c) a partida da Terra e a chegada a Marte — a piloto ou o controle da missão?

Solução

Solução de Exercício 35.9.

O tempo próprio pertence ao relógio presente nos dois eventos: (a) quem usa o relógio; (b) o múon; (c) a piloto — só a nave está tanto na partida quanto na chegada.

Exercício 35.10 ★★

A estação espacial orbita a 7.7 km/s7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}. Calcule γ−1≈v2/2c2\gamma - 1 \approx v^2/2c^2 e depois de quanto o relógio de uma astronauta fica atrás de um relógio de solo após seis meses (1.58×107 s1.58 \times 10^{7}\,\mathrm{s}).

Solução

Solução de Exercício 35.10.

γ−1≈77002/(2×9.0×1016)≈3.3×10−10\gamma - 1 \approx 7700^2/(2 \times 9.0 \times 10^{16}) \approx 3.3 \times 10^{-10}; ao longo de 1.58×107 s1.58 \times 10^{7}\,\mathrm{s} a astronauta fica atrás 3.3×10−10×1.58×107≈5.2×10−3 s3.3 \times 10^{-10} \times 1.58 \times 10^{7} \approx 5.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{s} — cerca de cinco milissegundos mais jovem.

Exercício 35.11 ★★

Calcule o conteúdo energético E=mc2E = mc^2 de 1.0 g1.0\,\mathrm{g} de matéria. Compare-o com a produção diária de uma usina de 1.0 GW1.0\,\mathrm{GW} e com a energia cinética de 8.5×105 J8.5 \times 10^{5}\,\mathrm{J} de um carro a 130 km/h130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}.

Solução

Solução de Exercício 35.11.

E=1.0×10−3×(3.00×108)2=9.0×1013 JE = 1.0 \times 10^{-3} \times (3.00 \times 10^{8})^2 = 9.0 \times 10^{13}\,\mathrm{J}. Uma usina de 1.0 GW1.0\,\mathrm{GW} entrega 1.0×109×86400≈8.6×1013 J1.0 \times 10^{9} \times 86400 \approx 8.6 \times 10^{13}\,\mathrm{J} por dia — um grama é um dia de produção dela — e 9.0×1013/8.5×105≈1089.0 \times 10^{13}/8.5 \times 10^{5} \approx 10^{8}: cem milhões de carros em velocidade.

Exercício 35.12 ★★★

Mostre, a partir de γ=1/1−v2/c2\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}, que v=c1−1/γ2v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}; deduza a velocidade dos múons de γ=30\gamma = 30, com cinco algarismos significativos em unidades de cc.

Solução

Solução de Exercício 35.12.

Eleve ao quadrado e inverta: γ2(1−v2/c2)=1\gamma^2(1 - v^2/c^2) = 1, logo v2/c2=1−1/γ2v^2/c^2 = 1 - 1/\gamma^2 e, portanto, v=c1−1/γ2v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}. Para γ=30\gamma = 30: v=c1−1/900=0.99944cv = c\sqrt{1 - 1/900} = 0.99944c.

Exercício 35.13 ★★★

Reconte a viagem do múon a partir do referencial dele: que espessura tem a atmosfera com γ=30\gamma = 30, quanto tempo ela leva para passar a 0.99944c0.99944c e isso cabe dentro de um tempo de vida próprio?

Solução

Solução de Exercício 35.13.

Espessura contraída L=15 km/30=500 mL = 15\,\mathrm{km}/30 = 500\,\mathrm{m}; tempo de passagem 500/(0.99944×3.00×108)≈1.7×10−6 s<2.2 µs500/(0.99944 \times 3.00 \times 10^{8}) \approx 1.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{s} < 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}. Os dois referenciais concordam que o múon chega ao solo — um culpa um tempo de vida esticado, o outro uma atmosfera encolhida.

Exercício 35.14 ★★★

Um acelerador linear empurra elétrons até γ=1.0×105\gamma = 1.0 \times 10^{5} ao longo de um tubo de 3.2 km3.2\,\mathrm{km}. Quanto tempo a viagem leva no laboratório? E no referencial do elétron, e que “comprimento” o tubo tem ali?

Solução

Solução de Exercício 35.14.

Laboratório: 3200/3.00×108≈1.1×10−5 s3200/3.00 \times 10^{8} \approx 1.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{s} (velocidade ≈c\approx c). Referencial do elétron: o tubo está contraído a 3200/1.0×105=3.2 cm3200/1.0 \times 10^{5} = 3.2\,\mathrm{cm}, atravessado em 1.1×10−5/1.0×105≈1.1×10−10 s1.1 \times 10^{-5}/1.0 \times 10^{5} \approx 1.1 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}.

Exercício 35.15 ★★★

Proxima Centauri fica a 4.24.2 anos-luz de distância (um ano-luz é a distância que a luz cobre em um ano). Uma sonda viaja até lá a 0.9c0.9c: quanto tempo a viagem leva no calendário da Terra e no relógio da sonda?

Solução

Solução de Exercício 35.15.

Terra: 4.2/0.9≈4.7 anos4.2/0.9 \approx 4.7\,\mathrm{anos}. Com γ=1/1−0.81=2.29\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.81} = 2.29, o relógio da sonda registra 4.7/2.29≈2.0 anos4.7/2.29 \approx 2.0\,\mathrm{anos}.

35.7 Problema: o múon e a irmã gêmea

Problema 35.1

Problema de fim de semana — a viagem do múon e a irmã gêmea da astronauta: uma partícula que sobrevive ao próprio relógio, um relógio de luz reconstruído, uma viajante mais jovem do que a gêmea e a contabilidade que mantém o GPS honesto

Dados: tempo de vida próprio do múon Δt0=2.2 µs\Delta t_0 = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}; múons nascidos a cerca de 15 km15\,\mathrm{km} de altura, a quase cc; fluxo ao nível do mar de cerca de um múon por cm2\mathrm{cm}^{2} por minuto; c=3.00×108 m/sc = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

Parte I — A chegada impossível do múon.

  1. Sem relatividade, que distância um múon percorre em um tempo de vida?
  2. Quantos tempos de vida a descida de 15 km15\,\mathrm{km} leva, então?
  3. Depois de nn tempos de vida sobrevive uma fração e−n\mathrm{e}^{-n}: estime-a, confronte-a com o fluxo medido e dê o veredito sobre a física clássica em uma frase.
  4. Esses múons, de fato, chegam com γ≈30\gamma \approx 30. Calcule o tempo de vida deles medido do solo e o alcance resultante.
  5. Calcule a velocidade deles, usando v=c1−1/γ2v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}, com cinco algarismos significativos em unidades de cc.

Parte II — O relógio de luz, reconstruído. Um relógio de luz (L=1.5 mL = 1.5\,\mathrm{m}) viaja numa nave a v=0.6cv = 0.6c.

  1. Calcule o tique Δt0\Delta t_0 lido a bordo.
  2. Visto do solo, um tique dura Δt\Delta t: dê o avanço horizontal por meio-tique, a subida vertical do fóton e — nomeando o postulado que a fixa — o comprimento da meia trajetória inclinada.
  3. Aplique Pitágoras ao triângulo do meio-tique e resolva para Δt\Delta t, mostrando que Δt=γ Δt0\Delta t = \gamma\,\Delta t_0.
  4. Calcule γ\gamma e Δt\Delta t numericamente.
  5. Que observador mede o tempo próprio entre dois tiques? Justifique pela definição.

Parte III — A viajante e a irmã gêmea. Uma astronauta deixa a irmã gêmea na Terra para uma viagem de ida e volta a 0.8c0.8c; os relógios da Terra cronometram a viagem inteira em 10.0 anos10.0\,\mathrm{anos}.

  1. Calcule γ\gamma em 0.8c0.8c (fração exata e depois decimal).
  2. Quanto tempo passa no relógio da astronauta?
  3. A que distância (no referencial da Terra, em anos-luz) ficava o ponto de retorno?
  4. Qual é a diferença de idade no reencontro, e qual das gêmeas é a mais jovem?
  5. “Mas o movimento é relativo — a astronauta poderia alegar que foi a Terra que viajou!” Resolva a objeção em uma frase.

Parte IV — A conta do GPS. Um satélite de GPS orbita com raio r=2.66×107 mr = 2.66 \times 10^{7}\,\mathrm{m} e período T=12 hT = 12\,\mathrm{h}.

  1. Calcule a velocidade orbital dele, v=2πr/Tv = 2\pi r/T.
  2. Calcule γ−1≈v2/2c2\gamma - 1 \approx v^2/2c^2.
  3. Deduza, em microssegundos, quanto o relógio do satélite fica atrás dos relógios de solo por dia (86 400 s86\,400\,\mathrm{s}).
  4. Se apenas esse desvio ficasse sem correção, as posições erram por c×c \times (desvio): calcule o erro depois de um dia.
  5. A gravidade, mais fraca na altitude, faz o relógio adiantar em 45 µs45\,\text{µ}\mathrm{s} por dia (relatividade geral): calcule o desvio líquido e o erro de posição diário em quilômetros — o número que obriga os engenheiros a desafinar todo relógio de GPS.
Solução

Solução de Problema 35.1.

1. c Δt0=3.00×108×2.2×10−6≈660 mc\,\Delta t_0 = 3.00 \times 10^{8} \times 2.2 \times 10^{-6} \approx 660\,\mathrm{m}.

2. 15 000/660≈2315\,000/660 \approx 23 tempos de vida.

3. e−23≈10−10\mathrm{e}^{-23} \approx 10^{-10}: menos de um múon em dez bilhões deveria chegar, e no entanto o fluxo é de um por cm2\mathrm{cm}^{2} por minuto — a física clássica é frontalmente desmentida pelo céu.

4. Tempo de vida no solo 30×2.2 µs=66 µs30 \times 2.2\,\text{µ}\mathrm{s} = 66\,\text{µ}\mathrm{s}; alcance ≈3.00×108×6.6×10−5≈20 km>15 km\approx 3.00 \times 10^{8} \times 6.6 \times 10^{-5} \approx 20\,\mathrm{km} > 15\,\mathrm{km}: a chegada está explicada.

5. v=c1−1/900=0.99944cv = c\sqrt{1 - 1/900} = 0.99944c.

6. Δt0=2L/c=3.0/3.00×108=1.0×10−8 s\Delta t_0 = 2L/c = 3.0/3.00 \times 10^{8} = 1.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}.

7. Horizontal v Δt/2v\,\Delta t/2; vertical LL; a meia trajetória inclinada mede c Δt/2c\,\Delta t/2 porque o segundo postulado fixa em cc a velocidade do fóton também no referencial do solo.

8. (c Δt/2)2=L2+(v Δt/2)2(c\,\Delta t/2)^2 = L^2 + (v\,\Delta t/2)^2 dá Δt2(c2−v2)=4L2\Delta t^2(c^2 - v^2) = 4L^2, logo Δt=(2L/c)/1−v2/c2=γ Δt0\Delta t = (2L/c)/\sqrt{1 - v^2/c^2} = \gamma\,\Delta t_0.

9. γ=1/1−0.36=1.25\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.36} = 1.25; Δt=1.25×10−8 s\Delta t = 1.25 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}.

10. O da nave: o único relógio dela está presente nos dois tiques, de modo que ele marca o tempo próprio; o solo precisa de dois relógios sincronizados.

11. γ=1/1−0.64=1/0.6=5/3≈1.67\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.64} = 1/0.6 = 5/3 \approx 1.67.

12. 10.0/(5/3)=6.0 anos10.0/(5/3) = 6.0\,\mathrm{anos}.

13. Ida de 5.0 anos5.0\,\mathrm{anos} a 0.8c0.8c: 4.04.0 anos-luz.

14. 10.0−6.0=4.0 anos10.0 - 6.0 = 4.0\,\mathrm{anos}: a astronauta está quatro anos mais jovem do que a irmã gêmea.

15. A situação não é simétrica: só a astronauta dá meia-volta — ela acelera e troca de referencial inercial, enquanto a gêmea da Terra permanece em um só — de modo que só o relógio dela registra o tempo menor.

16. v=2π×2.66×107/43 200≈3.9×103 m/sv = 2\pi \times 2.66 \times 10^{7}/43\,200 \approx 3.9 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

17. γ−1≈(3.87×103)2/(2×9.0×1016)≈8.3×10−11\gamma - 1 \approx (3.87 \times 10^{3})^2/(2 \times 9.0 \times 10^{16}) \approx 8.3 \times 10^{-11}.

18. 8.3×10−11×86 400≈7.2×10−6 s=7.2 µs8.3 \times 10^{-11} \times 86\,400 \approx 7.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{s} = 7.2\,\text{µ}\mathrm{s} de atraso por dia.

19. c×7.2×10−6≈2.2 kmc \times 7.2 \times 10^{-6} \approx 2.2\,\mathrm{km} de erro de posição por dia.

20. Desvio líquido 45−7.2≈38 µs45 - 7.2 \approx 38\,\text{µ}\mathrm{s} de adiantamento por dia; erro c×38×10−6≈11 kmc \times 38 \times 10^{-6} \approx 11\,\mathrm{km} por dia — a conta relativística que todo relógio de GPS paga adiantado, desafinado no solo para bater certo em órbita.

Aqui termina a física da escola — não a física. Nos volumes universitários, a mecânica volta armada de cálculo; a eletricidade e o magnetismo se revelam uma estrutura só, na qual a luz, e a própria relatividade, estavam escondidas o tempo todo; o mundo quântico, entrevisto no capítulo anterior, vira uma teoria da matéria em pleno funcionamento. Cada teoria será obrigada, como a relatividade, a devolver o que você agora sabe na forma de um caso-limite. Leve isso adiante: é a parte que não vai mudar.