Physics · Livro 2 · Grades 10–12

Física do ensino médio

Física do ensino médio · Grades 10–12

1Ordens de grandeza: medir o universo

A física começa onde termina a opinião: em uma medida. Mas as coisas que a física mede cobrem um intervalo absurdo — um núcleo atômico mede cerca de 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m} de ponta a ponta e o universo observável cerca de 1027 m10^{27}\,\mathrm{m}: um fator 104210^{42}, muito além do que qualquer imagem mental consegue abrigar. Este capítulo instala as ferramentas que domam esse intervalo — unidades, potências de dez, algarismos significativos — e dois hábitos usados em todas as páginas seguintes: escrever a unidade e verificar a ordem de grandeza.

1.1 As unidades: a gramática da medida

Definição 1.1 (Grandezas físicas e unidades do SI)

Uma grandeza física é uma propriedade do mundo que se pode medir: um comprimento, uma duração, uma massa. Medi-la é contar quantas vezes cabe nela uma grandeza de referência — a unidade. O Sistema Internacional de Unidades (SI) fixa sete unidades de base, das quais três governam este volume inteiro: o metro (m\mathrm{m}) para o comprimento, o quilograma (kg\mathrm{kg}) para a massa e o segundo (s\mathrm{s}) para o tempo. (As outras quatro — ampère, kelvin, mol, candela — entram em cena quando chegarem a eletricidade, o calor e a química.)

Observação 1.2 (Um número sem unidade não é um resultado)

“A distância é 384384” não diz nada: 384 mm384\,\mathrm{mm}, 384 km384\,\mathrm{km} e 384 Mm384\,\mathrm{Mm} são três mundos diferentes (o último é, por acaso, a distância até a Lua). Em 1999 a NASA perdeu o Mars Climate Orbiter, de 327327 milhões de dólares, porque um programa calculava as forças dos propulsores em libras-força e outro as lia como newtons. Regra da casa, desta linha até o fim do livro: todo número medido ou calculado carrega a sua unidade, em cada linha do cálculo.

Definição 1.3 (Prefixos do SI)

Um prefixo colado a uma unidade multiplica-a por uma potência de dez fixa:

femtof10−1510^{-15}centic10−210^{-2}
picop10−1210^{-12}quilok10310^{3}
nanon10−910^{-9}megaM10610^{6}
microμ\mu10−610^{-6}gigaG10910^{9}
milim10−310^{-3}teraT101210^{12}

Assim, 1 nm=10−9 m1\,\mathrm{nm} = 10^{-9}\,\mathrm{m} e 1 km=103 m1\,\mathrm{km} = 10^{3}\,\mathrm{m}.

Exemplo 1.4 (Ler os prefixos)

A luz verde tem comprimento de onda de cerca de 500 nm=5.00×10−7 m500\,\mathrm{nm} = 5.00 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}; um fio de cabelo humano tem cerca de 70 µm=7.0×10−5 m70\,\text{µ}\mathrm{m} = 7.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m} de espessura; a Lua orbita a 384 Mm=3.84×108 m384\,\mathrm{Mm} = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}. Uma gota de chuva tem massa de cerca de 30 mg=3.0×10−5 kg30\,\mathrm{mg} = 3.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{kg} — repare que a unidade de base do SI para a massa é a única das sete que já vem com prefixo.

1.2 Notação científica e algarismos significativos

Definição 1.5 (Notação científica)

Um número está em notação científica quando é escrito na forma

a×10n,1≤a<10,n inteiro.a \times 10^{n}, \qquad 1 \leq a < 10, \quad n \text{ inteiro.}

O fator aa é a mantissa e o inteiro nn é o expoente. Assim, 149 600 000=1.496×108149\,600\,000 = 1.496 \times 10^{8} e 0.000 52=5.2×10−40.000\,52 = 5.2 \times 10^{-4}.

Proposição 1.6 (Calcular com potências de dez)

Para quaisquer inteiros mm e nn:

10m×10n=10m+n,110n=10−n,(10m)n=10mn.10^{m} \times 10^{n} = 10^{m+n}, \qquad \frac{1}{10^{n}} = 10^{-n}, \qquad \left(10^{m}\right)^{n} = 10^{mn}.

Demonstração parcial. Para expoentes positivos, basta contar os fatores: 10m×10n10^{m} \times 10^{n} é um produto de m+nm + n dezes, e (10m)n(10^m)^n encadeia nn grupos de mm dezes. Escrever 10−n10^{-n} no lugar de 1/10n1/10^{n} é justamente a convenção que mantém a primeira regra válida para todos os inteiros: ela obriga 10n×10−n=100=110^{n} \times 10^{-n} = 10^{0} = 1. O volume de matemática correspondente estuda as regras dos expoentes por completo. ∎

Exemplo 1.7 (Multiplicar em notação científica)

Quantas Terras cabem no Sol, em massa? Com mSol=1.99×1030 kgm_{\text{Sol}} = 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg} e mTerra=5.97×1024 kgm_{\text{Terra}} = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}:

1.99×10305.97×1024=1.995.97×1030−24=0.333×106=3.33×105.\frac{1.99 \times 10^{30}}{5.97 \times 10^{24}} = \frac{1.99}{5.97} \times 10^{30-24} = 0.333 \times 10^{6} = 3.33 \times 10^{5}.

Mantissas e expoentes são tratados separadamente; a resposta final é renormalizada para que a mantissa volte a cair em [1,10)[1, 10).

Definição 1.8 (Algarismos significativos)

Os algarismos significativos de um número medido são os dígitos por que a medida realmente responde: todos os dígitos escritos, menos os zeros à esquerda. Os zeros à direita contam — 5.20×10−3 s5.20 \times 10^{-3}\,\mathrm{s} (três algarismos significativos) promete mais do que 5.2×10−3 s5.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{s} (dois). A notação científica mostra a contagem de relance: a mantissa carrega exatamente os algarismos significativos.

Método 1.9 (Quantos dígitos guardar)

Um resultado calculado não pode ser mais preciso do que os seus ingredientes.

  1. Em um produto ou em um quociente, guarde tantos algarismos significativos quantos tiver o fator menos preciso.
  2. Arredonde apenas a resposta final, nunca as etapas intermediárias.
  3. Na dúvida, três algarismos significativos são a precisão de trabalho deste livro.

Exemplo 1.10 (A circunferência da Terra)

O diâmetro da Terra é d=1.27×107 md = 1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m} (três algarismos significativos), de modo que a sua circunferência vale πd=3.141 59×1.27×107 m=3.99×107 m\pi d = 3.141\,59 \times 1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m} = 3.99 \times 10^{7}\,\mathrm{m} — três algarismos, e não os oito que a calculadora exibe. Escrever 39 898 227 m39\,898\,227\,\mathrm{m} seria alegar conhecer o planeta com precisão de um metro.

Uma régua em que cada passo igual multiplica por dez. Os traços pequenos são 200, 300, …, 900: uma década inteira se espreme em cada segmento. Nessa régua 300 pende para 102 e 7000 pende para 104 — as suas ordens de grandeza.
Uma régua em que cada passo igual multiplica por dez. Os traços pequenos são 200,300,…,900200, 300, \dots, 900: uma década inteira se espreme em cada segmento. Nessa régua 300300 pende para 10210^{2} e 70007000 pende para 10410^{4} — as suas ordens de grandeza.

1.3 A escada do universo

Definição 1.11 (Ordem de grandeza)

A ordem de grandeza de uma grandeza é a potência de dez mais próxima dela: escreva a grandeza como a×10na \times 10^{n} com 1≤a<101 \leq a < 10 e tome 10n10^{n} se a<5a < 5 e 10n+110^{n+1} se a≥5a \geq 5. (A convenção exata da fronteira nunca importa: uma afirmação de ordem de grandeza só vale mesmo a menos de um fator dez.)

Exemplo 1.12 (Ordens de grandeza)

Uma vida humana dura cerca de 8080 anos, ou seja, 80×3.16×107 s≈2.5×109 s80 \times 3.16 \times 10^{7}\,\mathrm{s} \approx 2.5 \times 10^{9}\,\mathrm{s}: ordem de grandeza 109 s10^{9}\,\mathrm{s} — alguns bilhões de segundos, gaste-os bem. Um ser humano tem 1.7 m1.7\,\mathrm{m} de altura: ordem 100 m10^{0}\,\mathrm{m}. O monte Everest, 8848 m8848\,\mathrm{m}: ordem 104 m10^{4}\,\mathrm{m}, já que 8.848≥58.848 \geq 5.

Empilhar essas estimativas por expoente produz a imagem mestra deste capítulo: uma escada em que cada degrau é um mundo dez vezes mais largo do que o de baixo.

A escada do universo, em metros: 42 potências de dez separam o núcleo atômico do universo observável, e o ser humano está a dez degraus do átomo, mas a vinte e sete do topo.
A escada do universo, em metros: 4242 potências de dez separam o núcleo atômico do universo observável, e o ser humano está a dez degraus do átomo, mas a vinte e sete do topo.

Acima do degrau da Terra os metros deixam de ser cômodos; a astronomia tem unidades próprias, ambas definidas a partir da própria escada.

Definição 1.13 (Unidade astronômica e ano-luz)

A unidade astronômica (1 au=1.496×1011 m1\,\mathrm{au} = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}) é a distância média entre a Terra e o Sol. O ano-luz (ly\mathrm{ly}) é a distância que a luz percorre em um ano. A luz se propaga no vácuo a

c=3.00×108 m/s,c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s},

a maior velocidade que a natureza permite — de modo que o ano-luz é uma distância, e não um tempo.

Distâncias a partir da Terra sobre a régua multiplicativa, com o tempo de viagem da luz em vermelho embaixo de cada uma: a Lua está a segundos-luz, os planetas a horas-luz, as estrelas a anos-luz.
Distâncias a partir da Terra sobre a régua multiplicativa, com o tempo de viagem da luz em vermelho embaixo de cada uma: a Lua está a segundos-luz, os planetas a horas-luz, as estrelas a anos-luz.

Exemplo 1.14 (O ano-luz em metros)

Um ano tem 365.25×24×3600=3.156×107 s365.25 \times 24 \times 3600 = 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s} (agradavelmente perto de π×107 s\pi \times 10^{7}\,\mathrm{s}). Portanto

1 ly=c×3.156×107 s=3.00×108 m/s×3.156×107 s=9.47×1015 m.1\,\mathrm{ly} = c \times 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m}.

Próxima Centauri, a estrela mais próxima depois do Sol, está a 4.2 ly≈4.0×1016 m4.2\,\mathrm{ly} \approx 4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}: a luz, que atravessa a distância Terra–Sol em oito minutos, leva mais de quatro anos para chegar de lá.

Método 1.15 (Conferir pela ordem de grandeza)

Antes de confiar em qualquer resultado calculado:

  1. arredonde cada dado de entrada para a sua ordem de grandeza;
  2. refaça a conta só com potências de dez, usando a Proposição 1.6 — isso leva segundos;
  3. compare: a resposta precisa tem de concordar com a estimativa a menos de um fator dez, mais ou menos, e a sua unidade tem de ser a certa. Se qualquer uma das duas conferências falhar, cace o erro antes de seguir adiante.

Observação 1.16 (Por que se dar ao trabalho)

Uma calculadora informa sem pestanejar que uma maçã tem massa 4×108 kg4 \times 10^{8}\,\mathrm{kg} — ela não tem como saber. Nenhuma fórmula denuncia o absurdo; o hábito denuncia. O físico estima primeiro e calcula depois: a estimativa pega vírgulas fora do lugar, unidades trocadas e frações invertidas, os três erros por trás da maioria das respostas erradas em qualquer nível.

1.4 Medida e incerteza

Nenhum instrumento lê o valor verdadeiro. Uma medida só é honesta quando informa também o quanto pode estar errada.

Definição 1.17 (Incerteza absoluta e incerteza relativa)

Uma medida de uma grandeza xx se enuncia como

x=xm±Δx,x = x_{\text{m}} \pm \Delta x ,

em que xmx_{\text{m}} é o valor medido e a incerteza absoluta Δx>0\Delta x > 0, na mesma unidade, limita o erro plausível: afirma-se que o valor verdadeiro está entre xm−Δxx_{\text{m}} - \Delta x e xm+Δxx_{\text{m}} + \Delta x. A incerteza relativa é a razão Δx/xm\Delta x / x_{\text{m}}, em geral dada em porcentagem; é ela que a palavra “preciso” mede.

Método 1.18 (Ler um instrumento graduado)

Para uma régua, uma proveta, um mostrador:

  1. leia a graduação mais próxima da marca, com o olho perpendicular à escala (um olhar de viés desloca a leitura);
  2. tome como incerteza absoluta pelo menos metade da menor graduação — mais, se a borda do objeto ou a superfície do líquido estiver difusa;
  3. escreva o resultado como xm±Δxx_{\text{m}} \pm \Delta x com a sua unidade, e não guarde nenhum dígito além do duvidoso.
Leitura de uma régua milimetrada: a ponta da barra cai mais perto da graduação de 127\, mm, e a faixa sombreada de meia graduação de cada lado é a afirmação honesta.
Leitura de uma régua milimetrada: a ponta da barra cai mais perto da graduação de 127 mm127\,\mathrm{mm}, e a faixa sombreada de meia graduação de cada lado é a afirmação honesta.

Exemplo 1.19 (Precisão relativa)

A leitura acima tem incerteza relativa 0.5127≈0.4%\frac{0.5}{127} \approx 0.4\%. A mesma régua, medindo um parafuso de 12 mm12\,\mathrm{mm}, dá 0.512≈4%\frac{0.5}{12} \approx 4\%: o instrumento idêntico é dez vezes menos preciso no objeto pequeno. A precisão é uma propriedade da medida, não da ferramenta.

Observação 1.20 (Absoluta pequena, relativa enorme — e vice-versa)

Estações a laser medem a distância Terra–Lua, 3.84×108 m3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}, com cerca de ±3 cm\pm3\,\mathrm{cm}: uma incerteza relativa de 10−1010^{-10}, uma das medidas mais finas já feitas — e com um erro absoluto de que régua nenhuma se gabaria. Pergunte sempre relativa a quê: o par (Δx, Δx/xm)(\Delta x,\ \Delta x / x_{\text{m}}) conta a história inteira, e cada um dos dois números, sozinho, pode enganar.

1.5 Exercícios

Exercício 1.1 ★

Converta para metros, em notação científica:

  1. 750 nm750\,\mathrm{nm} (comprimento de onda da luz vermelha);
  2. 2.5 km2.5\,\mathrm{km};
  3. 3.2 µm3.2\,\text{µ}\mathrm{m} (uma bactéria do solo);
  4. 0.15 Tm0.15\,\mathrm{Tm} (a distância Terra–Sol, num disfarce incomum).
Solução

Solução de Exercício 1.1.

1. 750 nm=750×10−9 m=7.50×10−7 m750\,\mathrm{nm} = 750 \times 10^{-9}\,\mathrm{m} = 7.50 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}. 2. 2.5 km=2.5×103 m2.5\,\mathrm{km} = 2.5 \times 10^{3}\,\mathrm{m}. 3. 3.2 µm=3.2×10−6 m3.2\,\text{µ}\mathrm{m} = 3.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}. 4. 0.15 Tm=0.15×1012 m=1.5×1011 m0.15\,\mathrm{Tm} = 0.15 \times 10^{12}\,\mathrm{m} = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m} — uma unidade astronômica.

Exercício 1.2 ★

Escreva em notação científica e dê o número de algarismos significativos:

  1. a distância Terra–Sol, 149 600 000 km149\,600\,000\,\mathrm{km}, em metros;
  2. o diâmetro de um átomo de hidrogênio, 0.000 000 000 106 m0.000\,000\,000\,106\,\mathrm{m};
  3. a população mundial, cerca de 8 100 000 0008\,100\,000\,000;
  4. uma duração de 0.005 20 s0.005\,20\,\mathrm{s}.
Solução

Solução de Exercício 1.2.

1. 149 600 000 km=1.496×1011 m149\,600\,000\,\mathrm{km} = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}: 44 algarismos significativos. 2. 1.06×10−10 m1.06 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}: 33 algarismos significativos (os zeros à esquerda nunca contam). 3. 8.1×1098.1 \times 10^{9}: 22 algarismos significativos. 4. 5.20×10−3 s5.20 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}: 33 algarismos significativos (o zero à direita é uma promessa).

Exercício 1.3 ★

Calcule sem calculadora, dando cada resultado em notação científica:

(3×108)×(2×10−5),8×1044×10−3,(5×106)2,(4×10−3)×(3×10−9)6×10−7.(3\times10^{8})\times(2\times10^{-5}), \qquad \frac{8\times10^{4}}{4\times10^{-3}}, \qquad (5\times10^{6})^{2}, \qquad \frac{(4\times10^{-3})\times(3\times10^{-9})}{6\times10^{-7}} .
Solução

Solução de Exercício 1.3.

Mantissas e expoentes separadamente (Proposição 1.6):

3×2×108−5=6×103,84×104−(−3)=2×107,3 \times 2 \times 10^{8-5} = 6 \times 10^{3}, \qquad \tfrac{8}{4} \times 10^{4-(-3)} = 2 \times 10^{7},
52×1012=2.5×1013,4×36×10−3−9+7=2×10−5.5^{2} \times 10^{12} = 2.5 \times 10^{13}, \qquad \tfrac{4 \times 3}{6} \times 10^{-3-9+7} = 2 \times 10^{-5} .

Exercício 1.4 ★

Dê a ordem de grandeza, com a sua unidade, de: uma altura humana de 1.7 m1.7\,\mathrm{m}; o monte Everest, 8848 m8848\,\mathrm{m}; uma bactéria E. coli, 2×10−6 m2 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}; a massa da Terra, 5.97×1024 kg5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}.

Solução

Solução de Exercício 1.4.

Humano: 1.7<51.7 < 5, ordem 100 m10^{0}\,\mathrm{m}. Everest: 8848 m=8.848×103 m8848\,\mathrm{m} = 8.848 \times 10^{3}\,\mathrm{m} e 8.848≥58.848 \geq 5: ordem 104 m10^{4}\,\mathrm{m}. Bactéria: ordem 10−6 m10^{-6}\,\mathrm{m}. Terra: 5.97≥55.97 \geq 5, ordem 1025 kg10^{25}\,\mathrm{kg}.

Exercício 1.5 ★

Uma régua é graduada em milímetros. Você mede um lápis e obtém 127 mm127\,\mathrm{mm}.

  1. Enuncie o resultado com a sua incerteza absoluta.
  2. Calcule a incerteza relativa.
  3. A mesma régua mede uma borracha de 12 mm12\,\mathrm{mm}. Qual das duas medidas é a mais precisa, e por que fator?
Solução

Solução de Exercício 1.5.

1. Meia graduação: L=(127.0±0.5) mmL = (127.0 \pm 0.5)\,\mathrm{mm}. 2. ΔL/L=0.5/127≈0.4%\Delta L / L = 0.5/127 \approx 0.4\%. 3. Borracha: 0.5/12≈4%0.5/12 \approx 4\%. A medida do lápis é cerca de dez vezes mais precisa — mesma régua, mesma incerteza absoluta, objeto dez vezes mais comprido.

Exercício 1.6 ★★

Usando c=3.00×108 m/sc = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} e 1 ly=9.47×1015 m1\,\mathrm{ly} = 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m}:

  1. Exprima em metros as distâncias até Próxima Centauri (4.24 ly4.24\,\mathrm{ly}) e até Sirius (8.6 ly8.6\,\mathrm{ly}).
  2. A sonda Voyager 1 está a cerca de 2.4×1013 m2.4 \times 10^{13}\,\mathrm{m} da Terra. Quanto tempo leva o seu sinal de rádio, que viaja a cc, para chegar até nós? Exprima a resposta em horas.
Solução

Solução de Exercício 1.6.

1. Próxima: 4.24×9.47×1015 m=4.01×1016 m4.24 \times 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 4.01 \times 10^{16}\,\mathrm{m}. Sirius: 8.6×9.47×1015 m=8.1×1016 m8.6 \times 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 8.1 \times 10^{16}\,\mathrm{m} (dois algarismos significativos, como o dado de entrada). 2. t=d/c=2.4×1013 m/3.00×108 m/s=8.0×104 st = d/c = 2.4 \times 10^{13}\,\mathrm{m} / 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 8.0 \times 10^{4}\,\mathrm{s}, ou seja, 8.0×104/3600≈22 h8.0 \times 10^{4}/3600 \approx 22\,\mathrm{h}: quase um dia inteiro para cada mensagem da sonda.

Exercício 1.7 ★★

Quanto tempo a luz leva para chegar à Terra vinda da Lua (3.84×108 m3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}), do Sol (1.496×1011 m1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}) e de Netuno (4.50×1012 m4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m})? Dê cada resposta em uma unidade sensata e complete a frase: “Quando você olha para Netuno, vê-o como ele era…”

Solução

Solução de Exercício 1.7.

t=d/ct = d/c em cada caso. Lua: 3.84×108 m/3.00×108 m/s=1.28 s3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.28\,\mathrm{s}. Sol: 1.496×1011 m/3.00×108 m/s=499 s≈8.3 min1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 499\,\mathrm{s} \approx 8.3\,\mathrm{min}. Netuno: 4.50×1012 m/3.00×108 m/s=1.50×104 s≈4.2 h4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.50 \times 10^{4}\,\mathrm{s} \approx 4.2\,\mathrm{h}. Quando você olha para Netuno, vê-o como ele era há cerca de quatro horas — todo telescópio é uma máquina do tempo modesta.

Exercício 1.8 ★★

Uma resma de 500500 folhas de papel, medida com uma régua milimetrada, tem 52.0 mm52.0\,\mathrm{mm} de espessura, com incerteza ±0.5 mm\pm0.5\,\mathrm{mm}.

  1. Deduza a espessura de uma folha, com a sua incerteza absoluta.
  2. Qual é a incerteza relativa dessa espessura?
  3. Por que medir a resma é enormemente melhor do que medir uma folha diretamente com a mesma régua? Quantifique.
Solução

Solução de Exercício 1.8.

1. Uma folha: 52.0 mm/500=0.104 mm=1.04×10−4 m52.0\,\mathrm{mm}/500 = 0.104\,\mathrm{mm} = 1.04 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}. A incerteza também se divide: 0.5 mm/500=0.001 mm0.5\,\mathrm{mm}/500 = 0.001\,\mathrm{mm}, de modo que t=(104±1) µmt = (104 \pm 1)\,\text{µ}\mathrm{m}. 2. 1/104≈1%1/104 \approx 1\%. 3. Medir uma folha diretamente daria (0.1±0.5) mm(0.1 \pm 0.5)\,\mathrm{mm}: uma incerteza relativa de cerca de 500%500\% — a régua nem sequer consegue provar que a folha existe. Empilhar 500500 folhas multiplica o comprimento medido por 500500 enquanto a incerteza absoluta da régua fica fixa: a incerteza relativa encolhe nesse mesmo fator 500500.

Exercício 1.9 ★★

Tome 2×10−10 m2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} como diâmetro de um átomo. Quantos átomos, lado a lado, cobrem: uma bactéria de 2.0 µm2.0\,\text{µ}\mathrm{m}; um fio de cabelo de 70 µm70\,\text{µ}\mathrm{m}; um ser humano de 1.7 m1.7\,\mathrm{m}? Dê também a última resposta como ordem de grandeza.

Solução

Solução de Exercício 1.9.

Divida cada comprimento por 2×10−10 m2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}. Bactéria: 2.0×10−6 m/2×10−10 m=1.0×1042.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 1.0 \times 10^{4} átomos. Cabelo: 7.0×10−5 m/2×10−10 m=3.5×1057.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 3.5 \times 10^{5}. Humano: 1.7/2×10−10=8.5×1091.7/2 \times 10^{-10} = 8.5 \times 10^{9}, ordem de grandeza 101010^{10}: dez bilhões de átomos da cabeça aos pés.

Exercício 1.10 ★★

Uma maquete representa o Sol (diâmetro 1.39×109 m1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m}) por uma bola de futebol de diâmetro 22 cm22\,\mathrm{cm}.

  1. Calcule o fator de escala da maquete.
  2. Encontre o diâmetro da Terra na maquete (1.27×107 m1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m}) e a sua distância à bola (distância real 1.496×1011 m1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}).
  3. A que distância da Terra da maquete fica a Lua da maquete (distância real 3.84×108 m3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m})? E a que distância fica Netuno da maquete (distância real 4.50×1012 m4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m})?
Solução

Solução de Exercício 1.10.

1. s=0.22 m/1.39×109 m=1.58×10−10s = 0.22\,\mathrm{m}/1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m} = 1.58 \times 10^{-10}. 2. Terra: 1.27×107 m×1.58×10−10=2.0×10−3 m=2.0 mm1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} = 2.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m} = 2.0\,\mathrm{mm} — um grão de pimenta — orbitando a 1.496×1011 m×1.58×10−10=23.7 m≈24 m1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} = 23.7\,\mathrm{m} \approx 24\,\mathrm{m} da bola. 3. Lua: 3.84×108 m×1.58×10−10=6.1 cm3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} = 6.1\,\mathrm{cm} do grão de pimenta. Netuno: 4.50×1012 m×1.58×10−10≈710 m4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} \approx 710\,\mathrm{m}: a maquete não cabe no pátio da escola.

Exercício 1.11 ★★

Algarismos significativos em ação.

  1. Uma folha A4 mede 21.0 cm21.0\,\mathrm{cm} por 29.7 cm29.7\,\mathrm{cm}. Dê a sua área com o número correto de algarismos significativos.
  2. Um velocista percorre 100.0 m100.0\,\mathrm{m} em 12.3 s12.3\,\mathrm{s}. Dê a velocidade média corretamente arredondada.
  3. Explique em uma frase o que haveria de desonesto em anunciar a área como 623.70 cm2623.70\,\mathrm{cm}^{2}.
Solução

Solução de Exercício 1.11.

1. 21.0×29.7=623.7 cm221.0 \times 29.7 = 623.7\,\mathrm{cm}^{2}, arredondado para os três algarismos significativos dos dados: 624 cm2624\,\mathrm{cm}^{2}. 2. v=100.0 m/12.3 s=8.13 m/sv = 100.0\,\mathrm{m}/12.3\,\mathrm{s} = 8.13\,\mathrm{m}/\mathrm{s} (três algarismos, fixados pelo tempo). 3. Cinco algarismos significativos alegariam conhecer a área com precisão de 0.01 cm20.01\,\mathrm{cm}^{2}, precisão que dados de nível milimétrico jamais entregaram — uma casa decimal forjada continua sendo uma falsificação.

Exercício 1.12 ★★★

Uma gota de óleo de volume 1.0 mm31.0\,\mathrm{mm}^{3} é depositada sobre água parada e se espalha num filme circular de diâmetro 1.1 m1.1\,\mathrm{m} — um filme que capítulos posteriores mostrarão ter a espessura de uma única molécula.

  1. Calcule a área do filme e, em seguida, a sua espessura.
  2. Deduza uma ordem de grandeza para o tamanho de uma molécula e confira-a com o degrau do átomo na escada.

(Essa experiência de fundo de envelope, tentada pela primeira vez por Benjamin Franklin num lago de Londres, foi uma das primeiras medidas honestas que a humanidade fez do mundo molecular.)

Solução

Solução de Exercício 1.12.

1. Raio r=0.55 mr = 0.55\,\mathrm{m}, área A=πr2=π×0.552≈0.95 m2A = \pi r^{2} = \pi \times 0.55^{2} \approx 0.95\,\mathrm{m}^{2}. Volume V=1.0 mm3=1.0×10−9 m3V = 1.0\,\mathrm{mm}^{3} = 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{3}, e um filme é (área) ×\times (espessura), logo

e=VA=1.0×10−9 m30.95 m2=1.1×10−9 m.e = \frac{V}{A} = \frac{1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{3}}{0.95\,\mathrm{m}^{2}} = 1.1 \times 10^{-9}\,\mathrm{m} .

2. Uma molécula é da ordem de 10−9 m10^{-9}\,\mathrm{m} — um degrau acima do 10−10 m10^{-10}\,\mathrm{m} do átomo, coerente com a molécula ser um pequeno agrupamento de átomos. A colher de óleo de Franklin acalmou meio hectare de lago e, sem que ele soubesse, mediu o nanômetro.

Exercício 1.13 ★★★

Estime o número de batimentos cardíacos de uma vida humana. Enuncie as suas hipóteses (frequência cardíaca em repouso, duração da vida), mantenha a aritmética em potências de dez e um dígito de mantissa, e dê a resposta final apenas como ordem de grandeza. Por que dá-la com quatro algarismos significativos não faria sentido?

Solução

Solução de Exercício 1.13.

Hipóteses: cerca de 7070 batimentos por minuto em repouso, uma vida de 8080 anos. Por dia: 70×60×24≈1×10570 \times 60 \times 24 \approx 1 \times 10^{5} batimentos. Por ano: 1×105×365≈4×1071 \times 10^{5} \times 365 \approx 4 \times 10^{7}. Por vida: 4×107×80≈3×1094 \times 10^{7} \times 80 \approx 3 \times 10^{9} — ordem de grandeza 10910^{9}, alguns bilhões de batimentos. Quatro algarismos significativos fingiriam conhecer uma frequência cardíaca, minuto a minuto, durante oitenta anos: os dados de entrada são palpites de ordem de grandeza, e nenhuma saída supera as suas entradas (Método 1.9).

Exercício 1.14 ★★★

Uma folha de papel tem 0.10 mm0.10\,\mathrm{mm} de espessura, e cada dobra duplica a espessura da pilha. Usando 210≈1032^{10} \approx 10^{3}:

  1. Depois de quantas dobras a pilha ultrapassaria o monte Everest (8848 m8848\,\mathrm{m})?
  2. Depois de quantas dobras ela alcançaria a Lua (3.84×108 m3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m})?
  3. Na prática, uma folha não se dobra mais do que umas sete vezes. Isso invalida a aritmética ou apenas a experiência?
Solução

Solução de Exercício 1.14.

Depois de nn dobras a espessura vale 2n×1.0×10−4 m2^{n} \times 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}. 1. É preciso 2n≥8848/1.0×10−4=8.8×1072^{n} \geq 8848/1.0 \times 10^{-4} = 8.8 \times 10^{7}. Como 226≈6.7×1072^{26} \approx 6.7 \times 10^{7} não basta e 227≈1.3×1082^{27} \approx 1.3 \times 10^{8} basta: 2727 dobras (pilha ≈13 km\approx 13\,\mathrm{km}). 2. É preciso 2n≥3.84×10122^{n} \geq 3.84 \times 10^{12}: 241≈2.2×10122^{41} \approx 2.2 \times 10^{12} fica aquém, 242≈4.4×10122^{42} \approx 4.4 \times 10^{12} alcança — 4242 dobras, pilha de 4.4×108 m4.4 \times 10^{8}\,\mathrm{m}, folgadamente além da Lua. 3. Só a experiência: cada dobra reduz a área pela metade e, depois de sete dobras, a pilha é mais grossa do que larga. A aritmética da duplicação fica intacta — o crescimento exponencial simplesmente ultrapassa o que o papel (e a intuição) conseguem acompanhar.

Exercício 1.15 ★★★

A telemetria a laser dá a distância Terra–Lua como 3.84×108 m±3 cm3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m} \pm 3\,\mathrm{cm}; uma boa régua dá uma mesa como 1.000 m±1 mm1.000\,\mathrm{m} \pm 1\,\mathrm{mm}.

  1. Calcule as duas incertezas relativas. Qual medida é a mais precisa, e por que fator?
  2. Com que incerteza absoluta seria preciso medir a mesa para igualar a precisão relativa da medida da Lua? Compare esse comprimento com o tamanho de um átomo e conclua com o devido respeito.
Solução

Solução de Exercício 1.15.

1. Lua: 0.03 m/3.84×108 m=7.8×10−110.03\,\mathrm{m}/3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m} = 7.8 \times 10^{-11}. Mesa: 0.001 m/1.000 m=1.0×10−30.001\,\mathrm{m}/1.000\,\mathrm{m} = 1.0 \times 10^{-3}. A medida da Lua é mais precisa por um fator 1.0×10−3/7.8×10−11≈1.3×1071.0 \times 10^{-3}/7.8 \times 10^{-11} \approx 1.3 \times 10^{7} — mais de dez milhões. 2. Igualar 7.8×10−117.8 \times 10^{-11} numa mesa de um metro exige Δx=7.8×10−11 m\Delta x = 7.8 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}, menor do que um átomo (≈10−10 m\approx 10^{-10}\,\mathrm{m}): a borda da mesa nem sequer está definida com essa nitidez. Em termos relativos, a distância Terra–Lua medida a laser é uma das medidas mais finas que a nossa espécie possui.

1.6 Problema: do átomo a Andrômeda

Problema 1.1

Problema de fim de semana — um único grão de areia dimensiona o átomo, o Sistema Solar, a galáxia e o universo observável, e localiza você na escada entre eles

Um grão de areia é o objeto mais humilde da física, e neste fim de semana ele faz hora extra: primeiro contamos os seus átomos, depois encolhemos o Sol até o tamanho dele e medimos o cosmos a passos, em seguida deixamos a luz fazer a topografia e, por fim, contamos os átomos de você. Dados, usados o tempo todo: diâmetro do grão 0.5 mm0.5\,\mathrm{mm}; diâmetro do átomo 2.5×10−10 m2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}; densidade da areia 2500 kg/m32500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}; diâmetros: Sol 1.39×109 m1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m}, Terra 1.27×107 m1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m}, Via Láctea 9.5×1020 m9.5 \times 10^{20}\,\mathrm{m}, universo observável 8.8×1026 m8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m}; distâncias até nós: Lua 3.84×108 m3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}, Sol 1.496×1011 m1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}, Netuno 4.5×1012 m4.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m}, Próxima Centauri 4.0×1016 m4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}, galáxia de Andrômeda 2.4×1022 m2.4 \times 10^{22}\,\mathrm{m}; c=3.00×108 m/sc = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}; uma molécula de água tem massa 3.0×10−26 kg3.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg} e contém três átomos.

Parte I — Anatomia do grão.

  1. Escreva o diâmetro do grão e o diâmetro do átomo em metros, em notação científica, e diga de qual prefixo do SI cada um está mais perto.
  2. Quantos átomos cabem lado a lado ao longo de um diâmetro do grão?
  3. Modele o grão como um cubo de aresta 0.5 mm0.5\,\mathrm{mm} empacotado com átomos. Estime o número de átomos do grão, como ordem de grandeza.
  4. Calcule o volume desse cubo e, em seguida, a massa do grão. Exprima a massa em miligramas.
  5. Confira o modelo: divida a massa do grão pelo seu número de átomos e compare com a ordem de grandeza conhecida das massas atômicas (alguns 10−26 kg10^{-26}\,\mathrm{kg}). Veredito?

Parte II — O Sol como grão de areia. Construímos uma maquete do cosmos em que o Sol é o grão: cada tamanho da maquete é o tamanho real multiplicado por um fator ss.

  1. Calcule o fator de escala ss.
  2. Na maquete, encontre o diâmetro da Terra e a sua distância ao grão-Sol. Que objeto do mundo da Parte I tem, mais ou menos, o tamanho da Terra da maquete?
  3. A que distância do grão orbita o Netuno da maquete? Que móvel comportaria o sistema planetário inteiro?
  4. A que distância está a Próxima Centauri da maquete?
  5. Dois grãos de areia, a 14 km14\,\mathrm{km} um do outro, e praticamente nada no meio: diga em uma ou duas frases o que a maquete revela sobre o quanto a galáxia é vazia.

Parte III — A luz faz a topografia.

  1. Quanto tempo a luz leva para atravessar o grão de areia real?
  2. Quanto tempo a luz leva para chegar até nós vinda da Lua e vinda do Sol?
  3. Recalcule o ano-luz em metros a partir de cc e da duração do ano, e verifique que a distância até Próxima que consta dos dados corresponde a cerca de 4.2 ly4.2\,\mathrm{ly}.
  4. Converta a distância até Andrômeda em anos-luz. Aproximadamente quando partiu de Andrômeda a luz que agora entra no seu olho, e o que andava sobre a Terra naquele momento?
  5. Que distância a luz percorre em um nanossegundo? Um processador com relógio de 3 GHz3\,\mathrm{GHz} inicia uma operação a cada terço de nanossegundo: explique em uma frase por que um computador rápido tem de ser um computador pequeno.

Parte IV — Você, entre o átomo e Andrômeda.

  1. Um ser humano é, grosso modo, 70 kg70\,\mathrm{kg} de água. Usando os dados, estime a massa média de um átomo na água e, em seguida, o número de átomos de um ser humano.
  2. Compare essa contagem com a dos átomos do grão (questão 3) e com as cerca de 2×10232\times10^{23} estrelas do universo observável. Dê os dois fatores.
  3. Na escada, você está mais perto do átomo ou do universo observável? Compare as razões (voceˆ)/(aˊtomo)\text{(você)}/\text{(átomo)} e (universo)/(voceˆ)\text{(universo)}/\text{(você)}, tomando 1.7 m1.7\,\mathrm{m} para você.
  4. Encontre o tamanho xx que fica exatamente no meio da escada, entre o núcleo (10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m}) e o universo observável: xx tem de satisfazer x/10−15=1026.9/xx / 10^{-15} = 10^{26.9} / x (usando 8.8×1026 m≈1026.9 m8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m} \approx 10^{26.9}\,\mathrm{m}). Que objeto do Sistema Solar tem, por acaso, justamente esse tamanho?
  5. O desfecho. Encolha o universo observável pelo fator ss da Parte II, de modo que o Sol seja um grão de areia. Dê o diâmetro do universo da maquete em metros e depois em unidades astronômicas, e conclua em uma frase: mesmo com cada estrela virando um grão de areia, o universo transborda de toda escala humana — só as potências de dez o seguram.
Solução

Solução de Problema 1.1.

1. Grão: 0.5 mm=5×10−4 m0.5\,\mathrm{mm} = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}, na escala do mili; átomo: 2.5×10−10 m=0.25 nm2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 0.25\,\mathrm{nm}, na escala do nano.

2. 5×10−4 m/2.5×10−10 m=2.0×1065 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 2.0 \times 10^{6}: dois milhões de átomos de ponta a ponta.

3. Um cubo de 2×1062 \times 10^{6} átomos por aresta contém (2×106)3=8×1018(2\times10^{6})^{3} = 8 \times 10^{18} átomos: ordem de grandeza 101910^{19}.

4. V=(5×10−4 m)3=1.25×10−10 m3V = (5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m})^{3} = 1.25 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{3}, logo m=ρV=2500 kg/m3×1.25×10−10 m3=3.1×10−7 kg=0.31 mgm = \rho V = 2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} \times 1.25 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{3} = 3.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{kg} = 0.31\,\mathrm{mg}.

5. Massa por átomo: 3.1×10−7 kg/(8×1018)=3.9×10−26 kg3.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{kg}/(8\times10^{18}) = 3.9 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg} — bem dentro da faixa dos “alguns 10−26 kg10^{-26}\,\mathrm{kg}”. O cubo ingênuo de átomos reproduz massas atômicas reais: o modelo passa na conferência (Método 1.15) com louvor.

6. s=5×10−4 m/1.39×109 m=3.6×10−13s = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m} = 3.6 \times 10^{-13}.

7. Terra da maquete: diâmetro 1.27×107 m×3.6×10−13=4.6×10−6 m1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 4.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{m} — o tamanho de uma bactéria — à distância 1.496×1011 m×3.6×10−13=5.4 cm1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 5.4\,\mathrm{cm} do grão: a Terra é um micróbio a cinco centímetros de um grão de areia.

8. 4.5×1012 m×3.6×10−13=1.6 m4.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 1.6\,\mathrm{m}: o sistema planetário inteiro orbita dentro de uma mesa de jantar.

9. 4.0×1016 m×3.6×10−13=1.4×104 m=14 km4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{m} = 14\,\mathrm{km}.

10. A estrela mais próxima do nosso Sistema Solar de mesa é outro grão de areia a quatorze quilômetros de distância, com essencialmente nada no meio: a galáxia é esmagadoramente espaço vazio, e é por isso que colisões entre estrelas são quase inauditas.

11. t=5×10−4 m/3.00×108 m/s=1.7×10−12 st = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.7 \times 10^{-12}\,\mathrm{s} — menos de dois picossegundos.

12. Lua: 3.84×108 m/3.00×108 m/s=1.28 s3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.28\,\mathrm{s}. Sol: 1.496×1011 m/3.00×108 m/s=499 s≈8.3 min1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 499\,\mathrm{s} \approx 8.3\,\mathrm{min}: a luz do Sol tem sempre oito minutos de idade.

13. Um ano vale 365.25×86400=3.156×107 s365.25 \times 86400 = 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}, logo 1 ly=3.00×108 m/s×3.156×107 s=9.47×1015 m1\,\mathrm{ly} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m}; então 4.0×1016 m/9.47×1015 m=4.24.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}/9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 4.2: a distância dos dados corresponde de fato a cerca de 4.2 ly4.2\,\mathrm{ly}.

14. 2.4×1022 m/9.47×1015 m=2.5×1062.4 \times 10^{22}\,\mathrm{m}/9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 2.5 \times 10^{6}: dois milhões e meio de anos-luz. Essa luz deixou Andrômeda há cerca de 2.52.5 milhões de anos, quando os primeiros membros do gênero Homo aprendiam a lascar pedras — e nenhum Homo sapiens existia ainda em lugar algum.

15. 3.00×108 m/s×1×10−9 s=0.30 m3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 1 \times 10^{-9}\,\mathrm{s} = 0.30\,\mathrm{m}. Em um terço de nanossegundo um sinal cobre no máximo uns 10 cm10\,\mathrm{cm}, de modo que quaisquer duas partes da máquina que precisem conversar dentro de um mesmo ciclo de relógio têm de ficar a menos de dez centímetros uma da outra: a velocidade limita o tamanho.

16. Átomo médio na água: 3.0×10−26 kg/3=1.0×10−26 kg3.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}/3 = 1.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}. Número de átomos: 70 kg/1.0×10−26 kg=7×102770\,\mathrm{kg}/1.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg} = 7 \times 10^{27}.

17. Contra o grão: 7×1027/8×1018≈1097 \times 10^{27}/8 \times 10^{18} \approx 10^{9} — você contém átomos equivalentes a um bilhão de grãos. Contra as estrelas: 7×1027/2×1023=3.5×1047 \times 10^{27}/2 \times 10^{23} = 3.5 \times 10^{4} — os seus átomos são mais numerosos do que todas as estrelas do universo observável na proporção de trinta e cinco mil para um.

18. (voceˆ)/(aˊtomo)=1.7 m/2.5×10−10 m≈7×109≈1010\text{(você)}/\text{(átomo)} = 1.7\,\mathrm{m}/2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} \approx 7 \times 10^{9} \approx 10^{10}, enquanto (universo)/(voceˆ)=8.8×1026 m/1.7 m≈5×1026\text{(universo)}/\text{(você)} = 8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m}/1.7\,\mathrm{m} \approx 5 \times 10^{26}. Na escada, você está cerca de dez degraus acima do átomo e quase vinte e sete abaixo do universo: multiplicativamente, o ser humano vive bem perto dos seus átomos.

19. A condição dá x2=10−15×1026.9=1011.9x^{2} = 10^{-15} \times 10^{26.9} = 10^{11.9}, logo x=105.95≈9×105 m≈900 kmx = 10^{5.95} \approx 9 \times 10^{5}\,\mathrm{m} \approx 900\,\mathrm{km} — quase exatamente o diâmetro de Ceres, o maior asteroide (≈940 km\approx 940\,\mathrm{km}). Bem no meio da escada, entre um núcleo e o cosmos, fica um modesto planeta anão.

20. 8.8×1026 m×3.6×10−13=3.2×1014 m8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 3.2 \times 10^{14}\,\mathrm{m}, ou seja, 3.2×1014 m/1.496×1011 m≈2.1×1033.2 \times 10^{14}\,\mathrm{m}/1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m} \approx 2.1 \times 10^{3} unidades astronômicas. O desfecho: encolha o cosmos até que o Sol seja um grão de areia, e o universo observável ainda cobre duas mil vezes a distância Terra–Sol real — maquete nenhuma traz o universo à escala humana; só as potências de dez o carregam.