Física do ensino médio · Grades 10–12

3Refração da luz

Mergulhe um canudo num copo de água: ele parece quebrado na linha da água. Piscinas são sempre mais fundas do que parecem, diamantes lançam fogo colorido a partir de uma pedra incolor, e a frase que você está lendo provavelmente atravessou um oceano dentro de um fio de vidro mais fino do que um cabelo. Uma única lei explica as quatro coisas — uma igualdade entre dois senos, encontrada por Snell em 1621, depois de quinze séculos de físicos encarando tabelas de ângulos sem enxergar o padrão.

3.1 Reflexão: uma lembrança

Num meio transparente e homogêneo, a luz se propaga em linha reta — os raios do Capítulo 2. Na fronteira entre dois meios, parte da luz volta (reflexão) e parte atravessa (refração). As duas obedecem a leis geométricas exatas, enunciadas com uma convenção: os ângulos são medidos a partir da normal, nunca a partir da superfície.

Definição 3.1 (Normal e ângulo de incidência)

No ponto em que um raio encontra uma superfície, a normal é a reta perpendicular à superfície nesse ponto. O ângulo de incidência $i_1$ é o ângulo entre o raio incidente e a normal; os ângulos de reflexão e de refração são medidos a partir da normal do mesmo modo.

Proposição 3.2 (Lei da reflexão)

O raio refletido está no plano que contém o raio incidente e a normal, do outro lado da normal, e o ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência:

i_1' = i_1 .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Exemplo 3.3 (Ler os ângulos corretamente)

Um feixe de laser atinge um espelho “a $35^\circ$ ” — medidos a partir da superfície do espelho, como os feixes costumam ser descritos. O ângulo de incidência é $90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ , de modo que o raio refletido também sai a $55^\circ$ da normal, e o feixe gira $180^\circ - 2 \times 55^\circ = 70^\circ$ . Esquecer a convenção da normal é o erro mais comum deste capítulo; ele custa $90^\circ$ todas as vezes.

3.2 Refração e índice de refração

Segure um lápis num copo pela metade: ele parece partido na superfície. A luz vinda da parte submersa muda de direção ao sair da água, e o olho — que supõe raios retos — reconstrói a ponta num lugar onde ela não está.

Definição 3.4 (Refração)

A refração é a mudança de direção da luz ao atravessar a fronteira entre dois meios transparentes. O raio no segundo meio é o raio refratado, e o seu ângulo com a normal é o ângulo de refração $i_2$ .

A refração acontece porque a luz tem velocidades diferentes em meios diferentes; cada material é caracterizado pelo quanto retarda a luz.

Definição 3.5 (Índice de refração)

O índice de refração de um meio transparente é a razão

n = \frac{c}{v},

em que $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ é a velocidade da luz no vácuo e $v$ , a sua velocidade no meio. Como $v \leq c$ , o índice satisfaz $n \geq 1$ ; ele não tem unidade. Alguns valores úteis:

meio	ar	água	acrílico	vidro	diamante
$n$	$1.0003$	$1.33$	$1.49$	$1.50$	$2.42$

Exemplo 3.6 (Velocidade da luz na água)

Na água, $v = \dfrac{c}{n} = \dfrac{3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}{1.33} = 2.26 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . No diamante, a luz se arrasta a $3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/2.42 = 1.24 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — menos da metade da sua velocidade no vácuo. Para o ar, $n = 1.0003$ altera a velocidade em $0.03\%$ : neste capítulo tratamos o ar como vácuo e tomamos $n_{\text{ar}} = 1.00$ .

Teorema 3.7 (Lei de Snell da refração)

O raio refratado está no plano do raio incidente e da normal, do outro lado da normal, e os ângulos de incidência e de refração satisfazem

n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2 ,

em que $n_1$ e $n_2$ são os índices de refração dos dois meios. O caminho é reversível: a luz que percorre o raio refratado no sentido contrário sai ao longo do raio incidente.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 3.8

As leis da reflexão e da refração são enunciadas aqui como fatos experimentais. Elas são honestamente deduzidas no volume do primeiro ano de graduação, onde a luz é tratada como onda: as duas leis — e a própria fórmula $n = c/v$ — decorrem então do fato de a onda ficar mais lenta no meio mais denso.

Raios incidente (azul), refletido (cinza) e refratado (vermelho). Todos os ângulos são medidos a partir da normal (tracejada); ao entrar no meio mais denso (n_2 > n_1), o raio se aproxima da normal. — Raios incidente (azul), refletido (cinza) e refratado (vermelho). Todos os ângulos são medidos a partir da normal (tracejada); ao entrar no meio mais denso ( $n_2 > n_1$ ), o raio se aproxima da normal.

Exemplo 3.9 (Do ar para a água)

Um raio atinge um lago calmo com $i_1 = 30^\circ$ . Com $n_1 = 1.00$ e $n_2 = 1.33$ :

\sin i_2 = \frac{n_1 \sin i_1}{n_2} = \frac{\sin 30^\circ}{1.33} = \frac{0.500}{1.33} = 0.376, \qquad i_2 = 22.1^\circ .

O raio se aproxima da normal, como sempre faz ao entrar num meio mais lento ( $n_2 > n_1$ ). Ao sair da água, a mesma conta corre ao contrário e o raio se afasta da normal.

Método 3.10 (Resolver um problema de refração)

Desenhe a superfície, a normal e o raio; identifique $n_1$ (meio do raio incidente) e $n_2$ .
Verifique se os ângulos dados estão medidos a partir da normal; converta-os se estiverem medidos a partir da superfície.
Escreva $n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2$ e isole o seno desconhecido; obtenha o ângulo com o arco-seno da calculadora, como no volume de matemática.
Confira: o raio se aproxima da normal se $n_2 > n_1$ e se afasta dela se $n_2 < n_1$ , e $\sin i_2$ tem de sair entre $0$ e $1$ .

A experiência por trás da lei cabe numa mesa: um semidisco de acrílico, um transferidor, um laser. Os pares brutos de ângulos $(i_1, i_2)$ parecem irregulares — Ptolomeu os tabulou por volta do ano 150 e concluiu, erradamente, que $i_2$ era proporcional a $i_1$ . Ponha em gráfico seno contra seno e os dados se endireitam numa reta pela origem de coeficiente angular $n_1/n_2$ : essa reta é a lei de Snell.

Medidas do ar para a água, de i_1 = 10 a 70: em gráfico de seno contra seno, os dados se alinham numa reta pela origem de coeficiente angular 1/1.33. — Medidas do ar para a água, de $i_1 = 10^\circ$ a $70^\circ$ : em gráfico de seno contra seno, os dados se alinham numa reta pela origem de coeficiente angular $1/1.33$ .

Proposição 3.11 (Profundidade aparente)

Um objeto a uma profundidade $d$ sob a água, visto de cima sob ângulos pequenos, parece estar na profundidade aparente

d' = \frac{d}{n} ,

em que $n$ é o índice da água. Uma piscina de $1.20\,\mathrm{m}$ de profundidade parece ter apenas $1.20/1.33 = 0.90\,\mathrm{m}$ — uma causa clássica de mergulhos imprudentes.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 3.12

A fórmula decorre da lei de Snell aplicada aos raios quase verticais que chegam ao olho; a dedução é feita no volume do primeiro ano de graduação. O sentido do efeito não precisa de fórmula: os raios que saem da água se afastam da normal, de modo que o olho os prolonga para trás até um ponto mais alto do que o objeto.

3.3 Dispersão: uma lei por cor

Um prisma transforma a luz branca do Sol num arco-íris, como mostraram os espectros do Capítulo 2. A refração explica por quê: o índice de refração de um meio não é exatamente o mesmo para todas as cores.

Definição 3.13 (Dispersão)

Um meio é dispersivo quando o seu índice de refração depende do comprimento de onda da luz. No vidro e na água, $n$ é ligeiramente maior para a luz azul (comprimento de onda curto) do que para a vermelha (comprimento de onda longo) — e por isso o azul se desvia mais.

Exemplo 3.14 (Duas cores, uma superfície)

Um feixe de luz branca atinge vidro crown com $i_1 = 60^\circ$ . Para esse vidro, $n_{\text{vermelho}} = 1.51$ e $n_{\text{azul}} = 1.53$ . Lei de Snell, uma vez por cor:

\sin i_{\text{vermelho}} = \frac{\sin 60^\circ}{1.51} = 0.574, \quad i_{\text{vermelho}} = 35.0^\circ ; \qquad \sin i_{\text{azul}} = \frac{\sin 60^\circ}{1.53} = 0.566, \quad i_{\text{azul}} = 34.5^\circ .

Uma única superfície separa a luz branca por meio grau — invisível numa vidraça, mas um prisma refrata duas vezes no mesmo sentido de rotação, alarga o leque, e a poucos metros de distância as cores estão a centímetros umas das outras.

Observação 3.15

O arco-íris é a mesma conta feita dentro de uma gota de chuva: a luz do Sol refrata ao entrar na gota, reflete na parede do fundo e refrata de novo na saída. O índice da água vai de $1.331$ (vermelho) a $1.343$ (azul), de modo que cada cor sai com o seu próprio ângulo — e não há dois observadores que vejam o mesmo arco-íris.

3.4 Reflexão total

A lei de Snell contém uma armadilha. Indo da água para o ar, o raio refratado se afasta da normal: $\sin i_2 = 1.33 \sin i_1 > \sin i_1$ . Aumente $i_1$ e a fórmula logo exige $\sin i_2 > 1$ , coisa que ângulo nenhum entrega. A refração simplesmente deixa de acontecer.

Definição 3.16 (Ângulo limite e reflexão total)

Seja luz propagando-se num meio de índice $n_1$ em direção a um meio de índice menor $n_2 < n_1$ . O ângulo limite $i_c$ é o ângulo de incidência para o qual o raio refratado rasa a superfície ( $i_2 = 90^\circ$ ). Para $i_1 > i_c$ não existe raio refratado: a superfície reflete toda a luz de volta para o primeiro meio, seguindo a lei da reflexão. Isso é a reflexão total.

Proposição 3.17 (Fórmula do ângulo limite)

Para $n_1 > n_2$ ,

\sin i_c = \frac{n_2}{n_1} .

Demonstração. Faça $i_2 = 90^\circ$ na lei de Snell: $n_1 \sin i_c = n_2 \sin 90^\circ = n_2$ . Para $i_1 > i_c$ , a lei de Snell exigiria $\sin i_2 = \frac{n_1}{n_2}\sin i_1 > 1$ : não existe direção refratada. (Que a luz seja então refletida inteiramente — e não absorvida — é um fato experimental, confirmado pela teoria ondulatória do volume do primeiro ano de graduação.) ∎

Da água para o ar, com incidência crescente: refração afastando-se da normal, depois um raio refratado rasando a superfície no ângulo limite, depois reflexão total — a superfície virou um espelho perfeito.

Exemplo 3.18 (Três ângulos limites)

Em direção ao ar: para a água, $\sin i_c = 1/1.33 = 0.752$ , logo $i_c = 48.8^\circ$ ; para o vidro, $\sin i_c = 1/1.50$ , logo $i_c = 41.8^\circ$ ; para o diamante, $\sin i_c = 1/2.42 = 0.413$ , logo $i_c = 24.4^\circ$ . Quanto maior o índice, mais estreito o cone de escape: no diamante, todo raio a mais de $24.4^\circ$ da normal de uma faceta fica preso — o segredo do seu brilho, dissecado no Problema 3.1.

3.5 Fibras ópticas

A reflexão total transforma um fio de vidro num cano para a luz: um raio que entra quase paralelo ao eixo atinge a parede muito além do ângulo limite, reflete sem perda, e faz isso milhões de vezes por quilômetro sem vazar.

Definição 3.19 (Fibra óptica)

Uma fibra óptica é um fio fino de vidro feito de um núcleo de índice $n_1$ envolvido por uma casca de índice ligeiramente menor $n_2 < n_1$ . A luz injetada numa das pontas viaja ao longo do núcleo por reflexões totais sucessivas na fronteira núcleo–casca.

Luz guiada ao longo do núcleo de uma fibra por reflexão total (ângulos de ricochete muito exagerados: os raios reais rasam a parede a mais de 80 da normal). — Luz guiada ao longo do núcleo de uma fibra por reflexão total (ângulos de ricochete muito exagerados: os raios reais rasam a parede a mais de $80^\circ$ da normal).

Exemplo 3.20 (Uma fibra em números)

Com $n_1 = 1.48$ e $n_2 = 1.46$ ,

\sin i_c = \frac{1.46}{1.48} = 0.986, \qquad i_c = 80.6^\circ :

só os raios a menos de cerca de $9^\circ$ do eixo são guiados — o que está ótimo, já que é exatamente assim que a luz do laser é injetada. Dentro do núcleo a luz viaja a $v = c/1.48 = 2.03 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : um pulso atravessa uma fibra de $100\,\mathrm{km}$ em cerca de meio milissegundo.

Observação 3.21 (Ordem de grandeza dos enlaces de dados)

Os cabos submarinos — feixes de algumas dezenas de fibras no fundo do oceano — carregam quase todo o tráfego intercontinental. Uma única fibra moderna transporta da ordem de $10^{13}$ bits por segundo enviando muitos comprimentos de onda ao mesmo tempo; um cabo inteiro chega a $10^{14}$ bits por segundo, com um amplificador a cada $80\,\mathrm{km}$ , mais ou menos. Os satélites, para efeito de comparação, cuidam de uma pequena fração de um por cento do tráfego.

3.6 Exercícios

Exercício 3.1 ★

Um feixe de laser atinge um espelho plano a $25^\circ$ da superfície do espelho. Dê o ângulo de incidência, o ângulo de reflexão e o ângulo entre os feixes incidente e refletido.

Solução

Solução de Exercício 3.1.

Os ângulos se medem a partir da normal: o ângulo de incidência é $90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$ , de modo que o ângulo de reflexão também é $65^\circ$ . Os feixes incidente e refletido formam entre si um ângulo de $2 \times 65^\circ = 130^\circ$ .

Exercício 3.2 ★

Calcule a velocidade da luz na água ( $n = 1.33$ ) e no diamante ( $n = 2.42$ ).
Num certo sólido, a luz viaja a $1.97 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Calcule o seu índice de refração e identifique o material.

Solução

Solução de Exercício 3.2.

1. $v = c/n$ : na água, $v = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/1.33 = 2.26 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; no diamante, $v = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/2.42 = 1.24 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

2. $n = \dfrac{c}{v} = \dfrac{3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}} {1.97 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}} = 1.52$ : vidro.

Exercício 3.3 ★

Um raio no ar atinge um bloco de vidro ( $n = 1.50$ ) com $i_1 = 40^\circ$ . Calcule o ângulo de refração. Com que ângulo um raio que se propaga dentro do vidro teria de atingir a superfície para sair no ar a $40^\circ$ ?

Solução

Solução de Exercício 3.3.

$\sin i_2 = \dfrac{\sin 40^\circ}{1.50} = \dfrac{0.643}{1.50} = 0.429$ , logo $i_2 = 25.4^\circ$ . Pela reversibilidade dos percursos luminosos, um raio dentro do vidro que atinja a superfície a $25.4^\circ$ sai para o ar exatamente a $40^\circ$ .

Exercício 3.4 ★

A luz do Sol chega à superfície de um lago a $55^\circ$ da vertical. Calcule o ângulo do raio refratado e diga se o raio se aproxima da normal ou se afasta dela — com a razão em uma palavra.

Solução

Solução de Exercício 3.4.

$\sin i_2 = \dfrac{\sin 55^\circ}{1.33} = \dfrac{0.819}{1.33} = 0.616$ , logo $i_2 = 38.0^\circ$ . O raio se aproxima da normal, porque a água é o meio mais lento ( $n_2 > n_1$ ).

Exercício 3.5 ★

Para identificar um líquido transparente, envia-se um raio sobre a sua superfície com $i_1 = 45^\circ$ ; o raio refratado é medido em $i_2 = 32^\circ$ . Calcule o índice de refração e identifique o líquido na tabela da Definição 3.5.

Solução

Solução de Exercício 3.5.

$n = \dfrac{\sin 45^\circ}{\sin 32^\circ} = \dfrac{0.707}{0.530} = 1.33$ : o líquido é água.

Exercício 3.6 ★★

Um semidisco de um plástico transparente fornece as medidas a seguir:

$i_1$	$20^\circ$	$30^\circ$	$40^\circ$	$50^\circ$	$60^\circ$
$i_2$	$13.5^\circ$	$19.5^\circ$	$25.5^\circ$	$31.0^\circ$	$35.5^\circ$

Calcule $\dfrac{\sin i_1}{\sin i_2}$ para cada par. O que você observa?
Deduza o índice de refração do plástico e identifique-o.
Por que traçar $\sin i_2$ contra $\sin i_1$ é um teste melhor da lei de Snell do que traçar $i_2$ contra $i_1$ ?

Solução

Solução de Exercício 3.6.

1. As cinco razões são

\frac{0.342}{0.233} = 1.47,\quad \frac{0.500}{0.334} = 1.50,\quad \frac{0.643}{0.431} = 1.49,\quad \frac{0.766}{0.515} = 1.49,\quad \frac{0.866}{0.581} = 1.49 :

constantes dentro do erro de medida — a lei de Snell.

2. $n \approx 1.49$ : acrílico.

3. A lei de Snell prevê $\sin i_2 = \sin i_1 / n$ : seno contra seno, os dados têm de se alinhar numa reta pela origem, o que uma régua confere de relance. Traçando ângulo contra ângulo, os dados caem sobre uma curva; em ângulos pequenos a curva fica enganosamente perto de uma reta, e foi exatamente isso que enganou Ptolomeu.

Exercício 3.7 ★★

Calcule o ângulo limite em direção ao ar para a água, para o vidro ( $n = 1.50$ ) e para o diamante. Depois explique, com a lei de Snell, por que não existe ângulo limite para a luz que vai do ar para a água.

Solução

Solução de Exercício 3.7.

$\sin i_c = n_2/n_1$ com $n_2 = 1.00$ : água $\sin i_c = 1/1.33 = 0.752$ , $i_c = 48.8^\circ$ ; vidro $\sin i_c = 1/1.50 = 0.667$ , $i_c = 41.8^\circ$ ; diamante $\sin i_c = 1/2.42 = 0.413$ , $i_c = 24.4^\circ$ .

Do ar para a água, $\sin i_2 = \sin i_1/1.33 \leq 1/1.33 < 1$ para toda incidência: sempre existe ângulo refratado, de modo que nada de especial acontece — a reflexão total precisa de $n_1 > n_2$ .

Exercício 3.8 ★★

Uma piscina tem $2.0\,\mathrm{m}$ de profundidade. Que profundidade percebe um nadador de pé na borda?
Uma garça mira um peixe que nada $40\,\mathrm{cm}$ abaixo da superfície. A que profundidade o peixe aparece, e a garça deve atacar acima, sobre ou abaixo da imagem que vê?

Solução

Solução de Exercício 3.8.

1. $d' = \dfrac{d}{n} = \dfrac{2.0\,\mathrm{m}}{1.33} = 1.5\,\mathrm{m}$ .

2. O peixe aparece a $40\,\mathrm{cm}/1.33 = 30\,\mathrm{cm}$ : a imagem está acima do peixe, e por isso a garça tem de atacar abaixo da imagem que vê. As garças, sem o peso da lei de Snell, aprendem isso por tentativa e erro.

Exercício 3.9 ★★

Um raio atinge uma vidraça ( $n = 1.50$ , faces paralelas) a $50^\circ$ .

Calcule o ângulo de refração na primeira face.
O raio refratado atinge a segunda face por dentro, com o mesmo ângulo. Calcule o ângulo de saída e compare-o com $50^\circ$ .
O que faz, então, uma vidraça grossa à direção e à posição de um raio que a atravessa?

Solução

Solução de Exercício 3.9.

1. $\sin r = \dfrac{\sin 50^\circ}{1.50} = \dfrac{0.766}{1.50} = 0.511$ , logo $r = 30.7^\circ$ .

2. Do vidro para o ar a $30.7^\circ$ : $\sin i_2 = 1.50 \times 0.511 = 0.766$ , logo $i_2 = 50^\circ$ — o ângulo de saída é igual ao de entrada.

3. As duas refrações se desfazem mutuamente: o raio sai paralelo à sua direção original, apenas deslocado lateralmente. É por isso que uma vidraça não distorce a cena, apenas a translada (imperceptivelmente).

Exercício 3.10 ★★

Luz branca atinge um bloco de vidro flint a $55^\circ$ . Para esse vidro, $n_{\text{vermelho}} = 1.61$ e $n_{\text{azul}} = 1.66$ . Calcule os ângulos de refração dos raios vermelho e azul e o ângulo entre eles. Que cor termina mais perto da normal?

Solução

Solução de Exercício 3.10.

$\sin 55^\circ = 0.819$ . Vermelho: $\sin i_2 = 0.819/1.61 = 0.509$ , $i_2 = 30.6^\circ$ . Azul: $\sin i_2 = 0.819/1.66 = 0.493$ , $i_2 = 29.6^\circ$ . As duas cores ficam separadas por $1.0^\circ$ ; o azul, com índice maior, desvia mais e acaba mais perto da normal.

Exercício 3.11 ★★

Uma fibra óptica tem núcleo de índice $1.48$ e casca de índice $1.46$ .

Calcule o ângulo limite na fronteira núcleo–casca.
Um raio guiado ricocheteia exatamente no ângulo limite. Mostre que, ao longo de $1.0\,\mathrm{km}$ de fibra reta, ele percorre cerca de $14\,\mathrm{m}$ a mais do que um raio que segue direto pelo eixo.

Solução

Solução de Exercício 3.11.

1. $\sin i_c = \dfrac{1.46}{1.48} = 0.986$ , logo $i_c = 80.6^\circ$ .

2. Um raio a $i_c$ da normal faz $90^\circ - i_c$ com o eixo, de modo que o seu percurso ao longo de um comprimento axial $L$ vale $\dfrac{L}{\sin i_c}$ :

1000\,\mathrm{m} \times \frac{1.48}{1.46} = 1013.7\,\mathrm{m},

cerca de $14\,\mathrm{m}$ a mais do que o raio axial.

Exercício 3.12 ★★★

O olho de um mergulhador está $2.0\,\mathrm{m}$ abaixo de uma superfície perfeitamente calma. Por causa da refração, o mergulhador vê o céu inteiro comprimido num disco luminoso bem acima da sua cabeça — a janela de Snell.

Explique por que a luz vinda do horizonte chega ao olho do mergulhador no ângulo limite da água, $48.8^\circ$ da vertical.
Calcule o raio do disco luminoso na superfície, usando a tangente no triângulo retângulo olho–vertical–borda do disco.
O que o mergulhador vê na superfície fora do disco?

Solução

Solução de Exercício 3.12.

1. A luz que vem rasante do horizonte chega com $i_1$ próximo de $90^\circ$ ; ela refrata para $\sin i_2 = \sin 90^\circ / 1.33 = 0.752$ , ou seja, $i_2 = 48.8^\circ$ — o ângulo limite, como a reversibilidade exige. Os raios de todo o céu chegam, portanto, ao olho dentro de um cone de semiabertura $48.8^\circ$ .

2. A borda do disco é onde esse cone encontra a superfície:

r = d \tan i_c = 2.0\,\mathrm{m} \times \tan 48.8^\circ = 2.0\,\mathrm{m} \times 1.14 = 2.3\,\mathrm{m}.

3. Fora do disco, a luz vinda de baixo atinge a superfície além do ângulo limite e é totalmente refletida: o mergulhador vê um espelho prateado que mostra o fundo da piscina.

Exercício 3.13 ★★★

Um prisma tem ângulos $30^\circ$ , $60^\circ$ , $90^\circ$ . Um feixe fino de luz branca entra perpendicularmente por um dos lados adjacentes ao ângulo reto, atravessa sem desvio e atinge a face longa por dentro com $i_1 = 30^\circ$ . Para esse vidro, $n_{\text{vermelho}} = 1.51$ e $n_{\text{azul}} = 1.53$ .

Calcule os ângulos de saída dos raios vermelho e azul e a largura angular do leque entre eles.
O prisma é substituído por um prisma $45^\circ$ – $45^\circ$ – $90^\circ$ , de modo que o ângulo de incidência interno passa a $45^\circ$ . Mostre que nenhuma luz sai pela face longa.

Solução

Solução de Exercício 3.13.

1. Vermelho: $\sin i_2 = 1.51 \times \sin 30^\circ = 0.755$ , logo $i_2 = 49.0^\circ$ . Azul: $\sin i_2 = 1.53 \times 0.500 = 0.765$ , logo $i_2 = 49.9^\circ$ . O feixe branco se abre em leque por $49.9^\circ - 49.0^\circ = 0.9^\circ$ — um espectro de prisma a partir de uma única refração.

2. A $45^\circ$ : $\sin i_2 = 1.51 \times 0.707 = 1.07 > 1$ (e $1.53 \times 0.707 = 1.08$ para o azul). Não existe ângulo refratado para nenhuma das cores: o ângulo limite vale $\arcsin(1/1.51) = 41.5^\circ < 45^\circ$ , de modo que a face longa reflete totalmente o feixe inteiro.

Exercício 3.14 ★★★

Os periscópios dobram a luz com prismas de vidro $45^\circ$ – $45^\circ$ – $90^\circ$ ( $n = 1.50$ ): o feixe entra perpendicularmente por uma face curta e atinge a face longa por dentro a $45^\circ$ .

Mostre que a face longa age como um espelho perfeito. Por que isso é melhor do que um espelho metálico, que absorve alguns por cento a cada reflexão?
O periscópio se inunda e a face longa fica agora em contato com a água. Calcule o novo ângulo limite da fronteira vidro–água e mostre que o espelho falha.
Com que ângulo a luz da questão 2 sai do prisma para a água?

Solução

Solução de Exercício 3.14.

1. Ângulo limite vidro–ar: $\sin i_c = 1/1.50$ , logo $i_c = 41.8^\circ < 45^\circ$ : o feixe é totalmente refletido — $100\%$ da luz, sem revestimento algum para se deteriorar. Um espelho metálico perde alguns por cento a cada reflexão, e um periscópio precisa de duas.

2. Vidro–água: $\sin i_c = \dfrac{1.33}{1.50} = 0.887$ , logo $i_c = 62.5^\circ$ . Agora $45^\circ < i_c$ : a incidência está abaixo da limite, a maior parte da luz refrata para fora, na água, e o espelho — logo, a imagem — falha.

3. $\sin i_2 = \dfrac{1.50}{1.33} \times \sin 45^\circ = 1.128 \times 0.707 = 0.798$ , logo $i_2 = 52.9^\circ$ dentro da água.

Exercício 3.15 ★★★

Um cabo transatlântico percorre $6200\,\mathrm{km}$ de fibra (índice do núcleo $1.47$ ) entre Londres e Nova York.

Calcule a velocidade da luz no núcleo e o tempo de percurso de um pulso em um sentido.
Uma onda de rádio viaja a $c$ . Quanto tempo ela levaria na mesma distância, e quanto tempo de ida e volta o vidro da fibra custa em comparação com o rádio?
Algumas empresas financeiras pagam fortunas para cortar milissegundos desse enlace. Proponha dois modos físicos distintos de fazer a luz chegar mais cedo.

Solução

Solução de Exercício 3.15.

1. $v = \dfrac{3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}{1.47} = 2.04 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , logo

t = \frac{6.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}}{2.04 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}} = 30.4\,\mathrm{ms} \approx 30\,\mathrm{ms}.

2. Rádio: $t = 6.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 20.7\,\mathrm{ms}$ . O vidro custa $30.4 - 20.7 = 9.7\,\mathrm{ms}$ em cada sentido, cerca de $19\,\mathrm{ms}$ por ida e volta.

3. Baixar o índice — fibras de núcleo oco guiam a luz pelo ar ( $n \approx 1.00$ ), e os enlaces de micro-ondas pela atmosfera fazem o mesmo — ou encurtar o caminho: um cabo lançado mais perto da rota de círculo máximo entre as duas cidades. As duas coisas são efetivamente vendidas, a preços por milissegundo.

3.7 Problema: o diamante, a piscina e a fibra

Problema 3.1

Problema de fim de semana — três vidas da lei de Snell: uma piscina que mente sobre a própria profundidade, uma pedra lapidada de modo que a luz não consiga sair, e o oceano de sessenta milissegundos por baixo da internet

Uma igualdade de dois senos, três carreiras. Numa piscina, ela engana os seus olhos quanto à profundidade e espreme o céu inteiro num círculo. Num diamante, levada ao limite, ela se recusa a deixar a luz sair — e os joalheiros lapidam pedras em torno dessa recusa há séculos. Sob o Atlântico, ela guia pulsos de laser dentro de um fio de vidro e fixa o limite de velocidade da internet global. Este problema percorre as três vidas em ordem, com a mesma lei todas as vezes.

Parte I — Aquecimento.

Calcule a velocidade da luz na água ( $n = 1.33$ ) e no diamante ( $n = 2.42$ ). Por que fator o diamante retarda a luz?
Um raio no ar atinge um lago com $i_1 = 40^\circ$ . Calcule o ângulo de refração.
Um raio na água atinge a superfície por baixo a $28.9^\circ$ . Com que ângulo ele sai para o ar? Enuncie o princípio que isso ilustra.
Calcule o ângulo limite da fronteira água–ar e descreva o que acontece com um raio submerso que atinge a superfície a $60^\circ$ .
O índice do ar é $1.0003$ . Calcule a velocidade da luz no ar e justifique a aproximação $n_{\text{ar}} = 1.00$ usada o tempo todo.

Parte II — A piscina.

Uma piscina tem $3.0\,\mathrm{m}$ de profundidade. Usando a fórmula da profundidade aparente (Proposição 3.11), calcule a profundidade que uma pessoa de pé acima dela percebe.
Explique, com um esboço de dois raios (descrito em palavras), por que uma moeda no fundo parece subir: o que fazem os raios que saem da água, e onde o olho coloca a interseção deles?
O olho de um mergulhador está a $3.0\,\mathrm{m}$ . Calcule o raio da janela de Snell — o disco luminoso através do qual o mergulhador vê o céu inteiro (Exercício 3.12).
Uma lâmpada no fundo envia raios para cima a $30^\circ$ , $45^\circ$ e $50^\circ$ da vertical. Para cada raio, diga se ele escapa e com que ângulo, ou o que acontece em vez disso.
Um pescador de arpão na margem mira um peixe. O golpe deve ser dirigido acima, sobre ou abaixo da imagem do peixe — e o peixe, olhando de volta, vê o pescador deslocado também?

Parte III — O diamante.

Calcule o ângulo limite do diamante ( $n = 2.42$ ) em direção ao ar e compare-o com o do vidro ( $n = 1.52$ ), que é $41.1^\circ$ .
Um raio dentro da pedra atinge uma faceta a $30^\circ$ da normal dela. O que acontece no diamante? E na imitação de vidro? Explique em uma frase por que a lapidação de um diamante, combinada com o seu minúsculo ângulo limite, produz o brilho.
O diamante também é fortemente dispersivo: $n_{\text{vermelho}} = 2.41$ , $n_{\text{azul}} = 2.45$ . Luz branca entra por uma faceta a $45^\circ$ ; calcule o ângulo de refração de cada cor e a separação angular.
Mais adiante, os raios vermelho e azul chegam a uma faceta de saída, por dentro, a $17.0^\circ$ . Calcule os dois ângulos de saída e a abertura do leque emergente. Compare com a separação na entrada: o que acontece com a dispersão perto do ângulo limite?
Uma gota de água ( $n = 1.33$ ) recobre uma faceta. Calcule o novo ângulo limite da fronteira diamante–água, decida o destino do raio de $30^\circ$ da questão 12 e explique por que os joalheiros mantêm os diamantes escrupulosamente limpos.

Parte IV — A fibra.

Uma fibra tem núcleo de índice $1.48$ e casca de índice $1.46$ . Calcule o ângulo limite na fronteira núcleo–casca.
Um fio de vidro nu no ar teria ângulo limite de $42.5^\circ$ — aparentemente muito melhor. Dê duas razões para se usar a casca mesmo assim. (Pense em poeira, arranhões e no que tocar a superfície faria com a reflexão total.)
Calcule a velocidade da luz no núcleo e, em seguida, o tempo de percurso de um pulso, em um sentido, ao longo de $6000\,\mathrm{km}$ de fibra.
Um raio que ricocheteia exatamente no ângulo limite percorre $1/\sin i_c$ vezes o comprimento do eixo. Calcule a distância extra ao longo dos $6000\,\mathrm{km}$ e o tempo extra que ela custa.
O desfecho. Um par de fibras moderno carrega cerca de $10^{13}$ bits por segundo, e este livro tem cerca de $2.4 \times 10^8$ bits. Calcule o tempo de ida e volta (“ping”) através do oceano e o número de cópias deste livro que a fibra move por segundo — e diga então, em uma frase, o que a lei de Snell faz pela internet.

Solução

Solução de Problema 3.1.

1. $v_{\text{água}} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/1.33 = 2.26 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_{\text{diamante}} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/2.42 = 1.24 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — o diamante retarda a luz pelo fator $n = 2.42$ .

2. $\sin i_2 = \sin 40^\circ / 1.33 = 0.643/1.33 = 0.483$ , logo $i_2 = 28.9^\circ$ .

3. $\sin i_2 = 1.33 \times \sin 28.9^\circ = 1.33 \times 0.483 = 0.643$ , logo $i_2 = 40^\circ$ : a luz refaz o seu próprio caminho — reversibilidade dos raios luminosos.

4. $\sin i_c = 1/1.33 = 0.752$ , logo $i_c = 48.8^\circ$ . A $60^\circ > i_c$ , a lei de Snell exigiria $\sin i_2 = 1.33 \sin 60^\circ = 1.15 > 1$ : não há raio refratado; a superfície reflete totalmente a luz de volta para baixo.

5. $v = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/1.0003 = 2.999 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : a luz no ar é mais lenta do que no vácuo em $0.03\%$ , muito abaixo da precisão das nossas medidas de ângulo, de modo que $n_{\text{ar}} = 1.00$ é inofensivo.

6. $d' = 3.0\,\mathrm{m}/1.33 = 2.3\,\mathrm{m}$ : a piscina esconde $70\,\mathrm{cm}$ de si mesma.

7. Dois raios que saem da moeda refratam na superfície, afastando-se da normal, e portanto divergem mais acentuadamente acima da água do que abaixo. O olho prolonga os dois raios emergentes para trás em linha reta; eles se cruzam acima da moeda, e é nesse cruzamento que o olho coloca a imagem.

8. $r = d \tan i_c = 3.0\,\mathrm{m} \times \tan 48.8^\circ = 3.0\,\mathrm{m} \times 1.14 = 3.4\,\mathrm{m}$ : um disco de cerca de $6.9\,\mathrm{m}$ de diâmetro abriga o céu inteiro.

9. A $30^\circ$ : $\sin i_2 = 1.33 \times 0.500 = 0.665$ , o raio sai a $41.7^\circ$ . A $45^\circ$ : $\sin i_2 = 1.33 \times 0.707 = 0.940$ , ele sai a $70.1^\circ$ , quase rasante. A $50^\circ$ : $1.33 \times 0.766 = 1.02 > 1$ — reflexão total, o raio mergulha de volta na piscina.

10. A imagem está acima do peixe real (Proposição 3.11), então mire abaixo dela. E sim: o peixe também vê o pescador deslocado, espremido em direção à vertical dentro da janela de Snell — cada um vê o outro onde o outro não está.

11. Diamante: $\sin i_c = 1/2.42 = 0.413$ , logo $i_c = 24.4^\circ$ , contra $41.1^\circ$ do vidro: o cone de escape do diamante não tem nem metade da largura.

12. No diamante, $30^\circ > 24.4^\circ$ : reflexão total, o raio fica na pedra. No vidro, $30^\circ < 41.1^\circ$ : o raio vaza pelo fundo. As facetas de uma lapidação brilhante são anguladas de modo que a luz que entra quase sempre as atinge além de $24.4^\circ$ e ricocheteia até sair para cima, em direção ao olho — já uma imitação de vidro, com o seu cone de escape largo, simplesmente deixa a luz cair para fora.

13. $\sin 45^\circ = 0.707$ . Vermelho: $0.707/2.41 = 0.293$ , logo $i_2 = 17.1^\circ$ . Azul: $0.707/2.45 = 0.289$ , logo $i_2 = 16.8^\circ$ . Separação na entrada: cerca de $0.3^\circ$ .

14. $\sin 17.0^\circ = 0.292$ . Vermelho: $\sin i_2 = 2.41 \times 0.292 = 0.705$ , logo $i_2 = 44.8^\circ$ . Azul: $\sin i_2 = 2.45 \times 0.292 = 0.716$ , logo $i_2 = 45.8^\circ$ . O leque tem agora $1.0^\circ$ de abertura: a refração de saída, trabalhando perto do ângulo limite, esticou em três vezes a separação de $0.3^\circ$ da entrada. Esse jato esticado de cores é o fogo do diamante.

15. Diamante–água: $\sin i_c = 1.33/2.42 = 0.550$ , logo $i_c = 33.3^\circ$ . O raio de $30^\circ$ , preso quando a faceta dava para o ar, agora escapa ( $30^\circ < 33.3^\circ$ ) para o filme de água: toda gota, impressão digital ou película de gordura eleva o índice externo, alarga o cone de escape e drena o brilho — daí o pano do joalheiro.

16. $\sin i_c = \dfrac{1.46}{1.48} = 0.986$ , logo $i_c = 80.6^\circ$ .

17. A reflexão total acontece na superfície, de modo que a superfície tem de permanecer perfeita: num fio nu, cada grão de poeira, arranhão, gota de água ou dedo encostado eleva o índice externo naquele ponto e sangra luz para fora. A casca enterra o espelho dentro de vidro limpo, onde nada o alcança — e, de brinde, protege mecanicamente o núcleo fino como um fio de cabelo.

18. $v = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/1.48 = 2.03 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , logo

t = \frac{6.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}}{2.03 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}} = 29.6\,\mathrm{ms} \approx 30\,\mathrm{ms}.

19. Fator de percurso $1/\sin i_c = 1.48/1.46 = 1.0137$ : no pior caso, $6000\,\mathrm{km} \times 0.0137 \approx 82\,\mathrm{km}$ de vidro extra, custando $8.2 \times 10^{4}\,\mathrm{m} / 2.03 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 0.4\,\mathrm{ms}$ — o ziguezague sai praticamente de graça.

20. Ping: $2 \times (29.6 + 0.4) \approx 60\,\mathrm{ms}$ . Vazão: $\dfrac{10^{13}}{2.4 \times 10^8} \approx 40\,000$ cópias deste livro por segundo. Em uma frase: ao prender a luz dentro do vidro por reflexão total, a lei de Snell carrega uma biblioteca através do oceano a cada segundo, sessenta milissegundos na ida e na volta.