Physics · Livro 2 · Grades 10–12

Física do ensino médio

Física do ensino médio · Grades 10–12

33Energia nuclear: fissão, fusão, E=mc2

Uma pastilha de combustível do tamanho de uma borracha de lápis cobre a eletricidade de uma casa por um ano; o mesmo serviço, a carvão, exige três toneladas. Lá em cima, o Sol paga pela luz do dia sumindo — quatro milhões de toneladas de si mesmo por segundo. Este capítulo abre o livro-caixa por trás das duas pechinchas: a própria massa é energia, e os núcleos (Capítulo 19) são onde ela é sacada.

33.1 Massa é energia

Teorema 33.1 (Equivalência massa–energia)

Um corpo de massa mm, só por existir, guarda a energia

E=mc2,c=3.00×108 m/s.E = m c^2, \qquad c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

Sempre que um sistema perde uma massa Δm\Delta m, ele libera a energia Δm c2\Delta m\, c^2 — seja qual for o mecanismo.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 33.2 (Einstein, 1905)

Esta é a relação de Einstein, admitida aqui; de onde ela vem é assunto do capítulo de relatividade restrita que fecha este ano (Capítulo 35). Repare na cotação: c2=9.00×1016 J/kgc^2 = 9.00 \times 10^{16}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg} — um erro de arredondamento de massa é uma fortuna de energia.

Definição 33.3 (Elétron-volt e unidade de massa atômica)

Duas unidades talhadas para o núcleo. O elétron-volt, a energia que um elétron ganha ao atravessar 1 V1\,\mathrm{V} (Capítulo 12): 1 eV=1.60×10−19 J1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}, 1 MeV=1.60×10−13 J1\,\mathrm{MeV} = 1.60 \times 10^{-13}\,\mathrm{J} — as ligações químicas negociam alguns eV\mathrm{eV}, e as reações nucleares, megaelétron-volts. E a unidade de massa atômica unificada, um doze avos da massa de um átomo de carbono-12: 1 u=1.660 54×10−27 kg1\,\mathrm{u} = 1.660\,54 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}, de energia equivalente 931.5 MeV931.5\,\mathrm{MeV} — 1 u=931.5 MeV/c21\,\mathrm{u} = 931.5\,\mathrm{MeV}/c^2.

Exemplo 33.4 (A fortuna adormecida)

Um quilograma de qualquer coisa, integralmente convertido, são 9.00×1016 J9.00 \times 10^{16}\,\mathrm{J} — três anos de produção de uma grande usina (1 GW1\,\mathrm{GW}). Ninguém percebeu antes de 1905 porque a física comum mal toca a massa: queimar um quilograma de carvão (3.0×107 J3.0 \times 10^{7}\,\mathrm{J}) o alivia em um terço de micrograma. Os núcleos, veremos, mexem uma parte em mil: ainda pouco, mas um milhão de vezes a química.

33.2 O defeito de massa

Definição 33.5 (Defeito de massa e energia de ligação)

Pese um núcleo ZAX{}^{A}_{Z}\mathrm{X} (massa mm) e depois pese separadamente os ZZ prótons e os A−ZA - Z nêutrons dele: as partes são mais pesadas do que o todo. A diferença

Δm=Z mp+(A−Z) mn−m>0,mp=1.007 28 u,  mn=1.008 66 u,\Delta m = Z\,m_p + (A - Z)\,m_n - m > 0, \qquad m_p = 1.007\,28\,\mathrm{u},\; m_n = 1.008\,66\,\mathrm{u},

é o defeito de massa; a energia de ligação Eb=Δm c2E_b = \Delta m\,c^2 é a energia necessária para desmontar o núcleo em núcleons livres — e, igualmente, a energia liberada quando ele é montado. Um núcleo ligado fica abaixo das partes dele.

Uma escada de energia: o núcleo ligado fica E_b abaixo dos núcleons separados dele — montá-lo libera E_b, desmontá-lo custa E_b.
Uma escada de energia: o núcleo ligado fica EbE_b abaixo dos núcleons separados dele — montá-lo libera EbE_b, desmontá-lo custa EbE_b.

Exemplo 33.6 (Hélio-4)

O núcleo 24He{}^{4}_{2}\mathrm{He} tem m=4.001 51 um = 4.001\,51\,\mathrm{u}; as partes dele: 2×1.00728+2×1.00866=4.031 88 u2 \times 1.00728 + 2 \times 1.00866 = 4.031\,88\,\mathrm{u}. Logo Δm=0.030 37 u\Delta m = 0.030\,37\,\mathrm{u} e Eb=0.03037×931.5≈28.3 MeVE_b = 0.03037 \times 931.5 \approx 28.3\,\mathrm{MeV}: o núcleo pesa 0.75%0.75\% menos do que as partes dele — a “uma parte em mil” do Exemplo 33.4.

Método 33.7 (Balanço energético de uma reação nuclear)

  1. Equilibre a equação: AA e ZZ totais conservados (Capítulo 19).
  2. Some as massas antes e depois, em u\mathrm{u} — guarde as cinco casas decimais.
  3. Δm=mantes−mdepois\Delta m = m_{\text{antes}} - m_{\text{depois}}, e então E=Δm (em u)×931.5 MeVE = \Delta m\,(\text{em u}) \times 931.5\,\mathrm{MeV}, levada embora como energia cinética dos produtos; negativa significa que a reação precisa ser paga.

33.3 A curva que governa o universo

Definição 33.8 (Energia de ligação por núcleon)

A coesão se compara com justiça pela energia de ligação por núcleon, Eb/AE_b/A, o custo médio de extrair um núcleon: 28.3/4≈7.1 MeV28.3/4 \approx 7.1\,\mathrm{MeV} para o hélio-4.

Proposição 33.9 (O pico do ferro, e dois caminhos de descida)

Traçada contra AA, a energia de ligação por núcleon sobe abruptamente pelos núcleos leves, atinge o máximo perto do ferro, 2656Fe{}^{56}_{26}\mathrm{Fe}, em cerca de 8.8 MeV8.8\,\mathrm{MeV} por núcleon, e depois escorrega suavemente até uns 7.6 MeV7.6\,\mathrm{MeV} no urânio: o ferro é o núcleo mais fortemente ligado da natureza. Uma reação libera energia exatamente quando os produtos dela ficam mais acima na curva; duas estratégias opostas, portanto, pagam as duas, e as duas caminham em direção ao ferro — quebrar os núcleos mais pesados e fundir os mais leves.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 33.10 (Por que um pico)

O cabo de guerra do Capítulo 13: a cola forte prende apenas os vizinhos em contato, e a repulsão de Coulomb atravessa o núcleo inteiro — os núcleos pequenos são quase só superfície, os grandes quase só repulsão, e o ferro é o compromisso. A contabilidade honesta mora nos volumes universitários.

Energia de ligação por núcleon: subida abrupta, pico do ferro, longa descida — a fusão sobe pela esquerda, a fissão pela direita, e as duas liberam energia.
Energia de ligação por núcleon: subida abrupta, pico do ferro, longa descida — a fusão sobe pela esquerda, a fissão pela direita, e as duas liberam energia.

33.4 A fissão e a reação em cadeia

Definição 33.11 (Fissão)

A fissão é a quebra de um núcleo pesado em dois fragmentos de tamanho médio. O urânio-235 é físsil: um nêutron lento, absorvido, deixa o núcleo tão agitado que ele se rasga em dois, cuspindo dois ou três nêutrons novos — 01n+92235U→dois fragmentos+2–3  01n{}^{1}_{0}\mathrm{n} + {}^{235}_{92}\mathrm{U} \to \text{dois fragmentos} + 2\text{--}3\;{}^{1}_{0}\mathrm{n}, com o par variando de fissão para fissão.

Exemplo 33.12 (Uma fissão, pesada)

Uma rota frequente, pelo Método 33.7:

01n+92235U⟶3894Sr+54140Xe+2 01n.{}^{1}_{0}\mathrm{n} + {}^{235}_{92}\mathrm{U} \longrightarrow {}^{94}_{38}\mathrm{Sr} + {}^{140}_{54}\mathrm{Xe} + 2\,{}^{1}_{0}\mathrm{n}.

Antes: 1.00866+234.99350=236.002 16 u1.00866 + 234.99350 = 236.002\,16\,\mathrm{u}. Depois: 93.89450+139.89200+2×1.00866=235.803 82 u93.89450 + 139.89200 + 2 \times 1.00866 = 235.803\,82\,\mathrm{u}. Logo Δm=0.198 34 u\Delta m = 0.198\,34\,\mathrm{u} e E≈185 MeVE \approx 185\,\mathrm{MeV}; contando os decaimentos posteriores dos fragmentos radioativos (Capítulo 32), cada fissão vale cerca de 200 MeV200\,\mathrm{MeV} — alguns eV\mathrm{eV} compram um átomo de carvão.

Definição 33.13 (Reação em cadeia e massa crítica)

Cada fissão é acesa por um nêutron e liberta dois ou três: num bloco grande o bastante, eles atingem outros núcleos e a reação se alimenta sozinha — uma reação em cadeia. Num bloco pequeno, a maioria dos nêutrons escapa antes pela superfície; a quantidade mínima que sustenta a cadeia é a massa crítica — abaixo dela a cadeia falha, acima dela cada geração se multiplica: o princípio da bomba.

Uma reação em cadeia: um nêutron quebra um núcleo, e os três nêutrons libertados quebram outros três — um reator deixa exatamente um seguir adiante.
Uma reação em cadeia: um nêutron quebra um núcleo, e os três nêutrons libertados quebram outros três — um reator deixa exatamente um seguir adiante.

Definição 33.14 (O reator, domado)

Um reator de potência segura a cadeia em exatamente um nêutron por fissão. O combustível: pastilhas de urânio moderadamente enriquecidas em urânio-235. O moderador (água comum, em geral) freia por colisões os nêutrons rápidos da fissão — nêutrons lentos são muito melhores para disparar a fissão seguinte; as barras de controle (boro, cádmio) devoram nêutrons — enfiadas, a cadeia morre; retiradas, ela acelera. A agitação dos fragmentos vira calor, depois vapor, depois eletricidade (Capítulo 9).

Exemplo 33.15 (Um grão de pimenta contra um caminhão)

Um grama de urânio-235 guarda N=1.0×10−3/(235×1.660 54×10−27)≈2.56×1021N = 1.0 \times 10^{-3} / (235 \times 1.660\,54 \times 10^{-27}) \approx 2.56 \times 10^{21} núcleos; a 200 MeV=3.2×10−11 J200\,\mathrm{MeV} = 3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{J} cada um, fissioná-los todos rende cerca de 8.2×1010 J8.2 \times 10^{10}\,\mathrm{J} — a energia química de 8.2×1010/3.0×107≈2.7×103 kg8.2 \times 10^{10} / 3.0 \times 10^{7} \approx 2.7 \times 10^{3}\,\mathrm{kg} de carvão: um grão de pimenta contra três toneladas.

33.5 Fusão: o fogo do próprio Sol

Definição 33.16 (Fusão)

A fusão é a junção de dois núcleos leves num núcleo mais pesado e mais fortemente ligado. A reação mais acessível casa o deutério com o trítio, os isótopos pesados do hidrogênio (Capítulo 19):

12H+13H⟶24He+01n.{}^{2}_{1}\mathrm{H} + {}^{3}_{1}\mathrm{H} \longrightarrow {}^{4}_{2}\mathrm{He} + {}^{1}_{0}\mathrm{n}.

Exemplo 33.17 (D–T, pesada)

Antes: 2.01355+3.01550=5.029 05 u2.01355 + 3.01550 = 5.029\,05\,\mathrm{u}; depois: 4.00151+1.00866=5.010 17 u4.00151 + 1.00866 = 5.010\,17\,\mathrm{u}; logo Δm=0.018 88 u\Delta m = 0.018\,88\,\mathrm{u} e E≈17.6 MeVE \approx 17.6\,\mathrm{MeV}, quatro quintos dela no nêutron — menos do que uma fissão, mas a partir de cinco núcleons em vez de 236236: cerca de 3.4×1014 J3.4 \times 10^{14}\,\mathrm{J} por quilograma de combustível, quatro vezes a fissão. O hélio-4 (Exemplo 33.6) é, de novo, a cinza.

Definição 33.18 (A barreira de Coulomb)

Dois núcleos são ambos positivos: para se tocar, precisam primeiro escalar a colina da repulsão elétrica deles (Capítulo 14) — a barreira de Coulomb. Só perto de 1×108 K1 \times 10^{8}\,\mathrm{K} as colisões carregam a energia para atravessá-la; o combustível é então um plasma de núcleos nus e elétrons. A fissão não paga pedágio algum desse tipo: o gatilho dela, o nêutron, é neutro, e funciona a frio.

Exemplo 33.19 (O Sol funciona com ela)

O núcleo do Sol, a 1.5×107 K1.5 \times 10^{7}\,\mathrm{K}, funde hidrogênio comum passo a passo — a cadeia próton–próton, de efeito líquido 4 11H→24He+2 +10e+radiac¸a˜o4\,{}^{1}_{1}\mathrm{H} \to {}^{4}_{2}\mathrm{He} + 2\,{}^{0}_{+1}\mathrm{e} + \text{radiação}, cerca de 26 MeV26\,\mathrm{MeV} por hélio: 0.7%0.7\% da massa do hidrogênio sai como energia. A luz do Sol cujo espectro lemos no Capítulo 2 é essa massa, chegando oito minutos atrasada; toda estrela brilha caminhando pela curva em direção ao ferro.

Observação 33.20 (ITER: engarrafar uma estrela)

Nenhum sólido segura um plasma a 1.5×108 K1.5 \times 10^{8}\,\mathrm{K}; um tokamak o enjaula num campo magnético (Capítulo 15), uma rosquinha de linhas de campo ao longo das quais as partículas carregadas espiralam sem tocar a parede; o ITER, construído para liberar dez vezes a potência de aquecimento dele, é o passo atual. Quebre o confinamento e o plasma esfria e para em segundos: nada de reação em cadeia, nada de massa crítica — o difícil não é apagar o fogo, e sim mantê-lo aceso.

Exemplo 33.21 (A escada de energia, por quilograma)

Energia por quilograma de combustível: carvão, 3.0×107 J3.0 \times 10^{7}\,\mathrm{J}; urânio-235 por fissão, 8.2×1013 J8.2 \times 10^{13}\,\mathrm{J}; deutério–trítio por fusão, 3.4×1014 J3.4 \times 10^{14}\,\mathrm{J}; conversão total (E=mc2E = mc^2), 9.0×1016 J9.0 \times 10^{16}\,\mathrm{J}. Seis ordens de grandeza separam a química do núcleo — a razão pela qual um reator é reabastecido por caminhão e uma usina a carvão, por composição ferroviária.

33.6 Exercícios

Exercício 33.1 ★

Converta: (a) 1 eV1\,\mathrm{eV} e 1 MeV1\,\mathrm{MeV} em joules; (b) os 200 MeV200\,\mathrm{MeV} de uma fissão em joules; (c) confira, a partir de 1 u=1.660 54×10−27 kg1\,\mathrm{u} = 1.660\,54 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}, que o equivalente energético dela fica perto de 931.5 MeV931.5\,\mathrm{MeV}.

Solução

Solução de Exercício 33.1.

(a) 1 eV=1.60×10−19 J1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}; 1 MeV=1.60×10−13 J1\,\mathrm{MeV} = 1.60 \times 10^{-13}\,\mathrm{J}. (b) 200×1.60×10−13=3.2×10−11 J200 \times 1.60 \times 10^{-13} = 3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}. (c) E=1.660 54×10−27×9.00×1016=1.49×10−10 J=1.49×10−10/1.60×10−13≈9.3×102 MeVE = 1.660\,54 \times 10^{-27} \times 9.00 \times 10^{16} = 1.49 \times 10^{-10}\,\mathrm{J} = 1.49 \times 10^{-10}/1.60 \times 10^{-13} \approx 9.3 \times 10^{2}\,\mathrm{MeV} — os 931.5 MeV931.5\,\mathrm{MeV} do curso, a menos do nosso cc arredondado.

Exercício 33.2 ★

Um cubo de açúcar tem massa de 6.0 g6.0\,\mathrm{g}: calcule o valor completo E=mc2E = mc^2 dele. Uma casa consome 10 kW h=3.6×107 J10\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} = 3.6 \times 10^{7}\,\mathrm{J} por dia — por quantos anos o cubo, integralmente convertido, a alimentaria?

Solução

Solução de Exercício 33.2.

E=6.0×10−3×9.00×1016=5.4×1014 JE = 6.0 \times 10^{-3} \times 9.00 \times 10^{16} = 5.4 \times 10^{14}\,\mathrm{J}; 5.4×1014/3.6×107=1.5×1075.4 \times 10^{14}/3.6 \times 10^{7} = 1.5 \times 10^{7} dias ≈4.1×104\approx 4.1 \times 10^{4} anos — quarenta milênios com um cubo de açúcar.

Exercício 33.3 ★

O núcleo de carbono-12 tem massa 11.996 71 u11.996\,71\,\mathrm{u}: calcule o defeito de massa dele, a energia de ligação em MeV\mathrm{MeV} e a energia de ligação por núcleon (mp=1.007 28 um_p = 1.007\,28\,\mathrm{u}, mn=1.008 66 um_n = 1.008\,66\,\mathrm{u}).

Solução

Solução de Exercício 33.3.

Δm=6×1.00728+6×1.00866−11.99671=0.098 93 u\Delta m = 6 \times 1.00728 + 6 \times 1.00866 - 11.99671 = 0.098\,93\,\mathrm{u}; Eb=0.09893×931.5≈92.2 MeVE_b = 0.09893 \times 931.5 \approx 92.2\,\mathrm{MeV}; Eb/A≈7.68 MeVE_b/A \approx 7.68\,\mathrm{MeV} por núcleon.

Exercício 33.4 ★

Complete cada fissão, dando AA, ZZ e o elemento (Z=36Z = 36: criptônio; Z=52Z = 52: telúrio): (a) 01n+92235U→56144Ba+ZAX+3 01n{}^{1}_{0}\mathrm{n} + {}^{235}_{92}\mathrm{U} \to {}^{144}_{56}\mathrm{Ba} + {}^{A}_{Z}\mathrm{X} + 3\,{}^{1}_{0}\mathrm{n}; (b) 01n+92235U→4097Zr+ZAY+2 01n{}^{1}_{0}\mathrm{n} + {}^{235}_{92}\mathrm{U} \to {}^{97}_{40}\mathrm{Zr} + {}^{A}_{Z}\mathrm{Y} + 2\,{}^{1}_{0}\mathrm{n}.

Solução

Solução de Exercício 33.4.

(a) A=236−144−3=89A = 236 - 144 - 3 = 89, Z=92−56=36Z = 92 - 56 = 36: 3689Kr{}^{89}_{36}\mathrm{Kr}, criptônio. (b) A=236−97−2=137A = 236 - 97 - 2 = 137, Z=92−40=52Z = 92 - 40 = 52: 52137Te{}^{137}_{52}\mathrm{Te}, telúrio.

Exercício 33.5 ★

Leia a curva da Proposição 33.9: estime Eb/AE_b/A para o hélio-4, o carbono-12, o ferro-56 e o urânio-235. Qual é o mais fortemente ligado? Qual poderia liberar energia por fissão, e qual, por fusão?

Solução

Solução de Exercício 33.5.

Cerca de 7.17.1, 7.77.7, 8.88.8 e 7.6 MeV7.6\,\mathrm{MeV} por núcleon; o ferro-56 é o mais ligado. O urânio pode liberar energia por fissão, e o hélio-4 e o carbono-12, por fusão — os dois movimentos sobem em direção ao ferro; o ferro em si não tem para onde ir.

Exercício 33.6 ★★

O dêuteron 12H{}^{2}_{1}\mathrm{H} tem massa 2.013 55 u2.013\,55\,\mathrm{u}: calcule a energia de ligação dele em MeV\mathrm{MeV}. Uma ligação química vale alguns eV\mathrm{eV} — por que fator a “ligação” nuclear a supera?

Solução

Solução de Exercício 33.6.

Δm=1.00728+1.00866−2.01355=0.002 39 u\Delta m = 1.00728 + 1.00866 - 2.01355 = 0.002\,39\,\mathrm{u}, logo Eb≈2.23 MeVE_b \approx 2.23\,\mathrm{MeV} — cerca de um milhão de vezes os poucos eV\mathrm{eV} de uma ligação química.

Exercício 33.7 ★★

Pese a fissão 01n+92235U→56144Ba+3689Kr+3 01n{}^{1}_{0}\mathrm{n} + {}^{235}_{92}\mathrm{U} \to {}^{144}_{56}\mathrm{Ba} + {}^{89}_{36}\mathrm{Kr} + 3\,{}^{1}_{0}\mathrm{n}: massas 234.993 50 u234.993\,50\,\mathrm{u} (U), 143.892 20 u143.892\,20\,\mathrm{u} (Ba), 88.897 90 u88.897\,90\,\mathrm{u} (Kr), 1.008 66 u1.008\,66\,\mathrm{u} (n). Qual é a energia liberada, em MeV\mathrm{MeV} e em joules?

Solução

Solução de Exercício 33.7.

Antes: 236.002 16 u236.002\,16\,\mathrm{u}; depois: 143.89220+88.89790+3×1.00866=235.816 08 u143.89220 + 88.89790 + 3 \times 1.00866 = 235.816\,08\,\mathrm{u}; Δm=0.186 08 u\Delta m = 0.186\,08\,\mathrm{u}, logo E≈173 MeV=173×1.60×10−13≈2.8×10−11 JE \approx 173\,\mathrm{MeV} = 173 \times 1.60 \times 10^{-13} \approx 2.8 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}.

Exercício 33.8 ★★

Outra fusão: 12H+12H→23He+01n{}^{2}_{1}\mathrm{H} + {}^{2}_{1}\mathrm{H} \to {}^{3}_{2}\mathrm{He} + {}^{1}_{0}\mathrm{n}, com m(23He)=3.014 93 um({}^{3}_{2}\mathrm{He}) = 3.014\,93\,\mathrm{u}. Calcule a energia liberada. Por que ela é tão menor do que a de D–T? (Pense em onde cada produto fica na curva.)

Solução

Solução de Exercício 33.8.

Δm=2×2.01355−3.01493−1.00866=0.003 51 u\Delta m = 2 \times 2.01355 - 3.01493 - 1.00866 = 0.003\,51\,\mathrm{u}: E≈3.27 MeVE \approx 3.27\,\mathrm{MeV}. A D–T fabrica hélio-4, anomalamente ligado (7.1 MeV7.1\,\mathrm{MeV} por núcleon); o hélio-3 fica bem mais abaixo na curva, de modo que o degrau libera muito menos.

Exercício 33.9 ★★

Explique, em poucas linhas cada: (a) por que a fissão não precisa de aquecimento enquanto a fusão exige cerca de 1×108 K1 \times 10^{8}\,\mathrm{K}; (b) como o Sol se vira com “apenas” 1.5×107 K1.5 \times 10^{7}\,\mathrm{K} (o tamanho da multidão, os membros mais rápidos dela); (c) por que uma usina de fusão não pode disparar sem controle como uma reação em cadeia.

Solução

Solução de Exercício 33.9.

(a) O nêutron é neutro: não há barreira de Coulomb, e a fissão dispara a frio. Os núcleos que se fundem são ambos positivos e precisam escalar a barreira, de modo que só uma agitação de ∼1×108 K\sim 1 \times 10^{8}\,\mathrm{K} dá colisões violentas o bastante. (b) O núcleo do Sol guarda um número astronômico de prótons; os raros mais rápidos da multidão é que se fundem, e o Sol tem bilhões de anos de sobra — uma queima lenta é exatamente o que uma estrela quer. (c) Não há avalanche de nêutrons: cada fusão é paga pela própria colisão dela, e qualquer perda de confinamento esfria o plasma e apaga o fogo.

Exercício 33.10 ★★

A reação líquida do Sol transforma quatro prótons (mp=1.007 28 um_p = 1.007\,28\,\mathrm{u}) num núcleo de hélio-4 (4.001 51 u4.001\,51\,\mathrm{u}): calcule a energia por hélio produzido, em MeV\mathrm{MeV}, e a fração da massa inicial convertida.

Solução

Solução de Exercício 33.10.

Δm=4×1.00728−4.00151=0.027 61 u\Delta m = 4 \times 1.00728 - 4.00151 = 0.027\,61\,\mathrm{u}, logo E≈25.7 MeVE \approx 25.7\,\mathrm{MeV}; fração 0.02761/4.02912≈0.7%0.02761/4.02912 \approx 0.7\% da massa.

Exercício 33.11 ★★

Num reator moderado a água: (a) o que faz o moderador, e por que a cadeia precisa dele? (b) E as barras de controle? (c) A água de refrigeração é o moderador: por que perdê-la tende a sufocar a cadeia, em vez de acelerá-la?

Solução

Solução de Exercício 33.11.

(a) Ele freia por colisões os nêutrons da fissão; nêutrons lentos têm probabilidade muito maior de fissionar o urânio-235, e por isso a cadeia precisa deles. (b) Elas absorvem nêutrons, segurando a cadeia em um nêutron por fissão — enfiadas, ela morre. (c) Sem água, sem moderação: os nêutrons ficam rápidos, erram, e a cadeia se sufoca — o projeto falha para o lado “desligado”.

Exercício 33.12 ★★★

Uma cadeia sem controle dobra a cada geração. Partindo de uma fissão, mais ou menos quantas gerações até que os 2.56×10212.56 \times 10^{21} núcleos de um grama de urânio-235 tenham se quebrado (210≈1032^{10} \approx 10^{3})? A uns 10 ns10\,\mathrm{ns} por geração, quanto tempo é isso — e por que, então, a criticalidade é guardada com tanto cuidado?

Solução

Solução de Exercício 33.12.

As fissões dobram a cada geração, de modo que depois de nn gerações cerca de 2n2^n núcleos se quebraram; 2n=2.56×1021≈2×(103)7≈2712^{n} = 2.56 \times 10^{21} \approx 2 \times (10^{3})^{7} \approx 2^{71} dá n≈71n \approx 71. Tempo: 71×10 ns≈0.7 µs71 \times 10\,\mathrm{ns} \approx 0.7\,\text{µ}\mathrm{s} — um grama de combustível, o equivalente a três toneladas de carvão, em menos de um microssegundo: a criticalidade é um precipício, não uma ladeira.

Exercício 33.13 ★★★

Poderíamos minerar energia fissionando ferro? Pese 2656Fe→2 1428Si{}^{56}_{26}\mathrm{Fe} \to 2\,{}^{28}_{14}\mathrm{Si}, com m(Fe)=55.920 66 um(\mathrm{Fe}) = 55.920\,66\,\mathrm{u} e m(Si)=27.969 24 um(\mathrm{Si}) = 27.969\,24\,\mathrm{u}. Calcule Δm\Delta m e conclua, em termos da curva, por que o ferro é cinza nuclear: combustível de nada.

Solução

Solução de Exercício 33.13.

Δm=55.92066−2×27.96924=−0.017 82 u\Delta m = 55.92066 - 2 \times 27.96924 = -0.017\,82\,\mathrm{u}: E≈−16.6 MeVE \approx -16.6\,\mathrm{MeV} — a quebra absorve energia. O ferro fica no pico: fissioná-lo ou fundi-lo desce a ladeira da ligação nos dois casos, e os dois custam energia. Ele é a cinza de todo fogo nuclear.

Exercício 33.14 ★★★

A partir de m(2656Fe)=55.920 66 um({}^{56}_{26}\mathrm{Fe}) = 55.920\,66\,\mathrm{u} e m(92235U)=234.993 50 um({}^{235}_{92}\mathrm{U}) = 234.993\,50\,\mathrm{u}, calcule Eb/AE_b/A para os dois (mp=1.007 28 um_p = 1.007\,28\,\mathrm{u}, mn=1.008 66 um_n = 1.008\,66\,\mathrm{u}). Os fragmentos de fissão ficam perto de 8.5 MeV8.5\,\mathrm{MeV} por núcleon: estime, a partir dos dois níveis, a energia de uma fissão e compare com o Exemplo 33.12.

Solução

Solução de Exercício 33.14.

Fe: Δm=26×1.00728+30×1.00866−55.92066=0.528 42 u\Delta m = 26 \times 1.00728 + 30 \times 1.00866 - 55.92066 = 0.528\,42\,\mathrm{u}, Eb≈492 MeVE_b \approx 492\,\mathrm{MeV}, Eb/A≈8.79 MeVE_b/A \approx 8.79\,\mathrm{MeV}. U: Δm=92×1.00728+143×1.00866−234.99350=1.914 64 u\Delta m = 92 \times 1.00728 + 143 \times 1.00866 - 234.99350 = 1.914\,64\,\mathrm{u}, Eb≈1784 MeVE_b \approx 1784\,\mathrm{MeV}, Eb/A≈7.59 MeVE_b/A \approx 7.59\,\mathrm{MeV}. Reempacotar 235235 núcleons a 8.5 MeV8.5\,\mathrm{MeV} em vez de 7.59 MeV7.59\,\mathrm{MeV} rende 235×0.9≈2×102 MeV235 \times 0.9 \approx 2 \times 10^{2}\,\mathrm{MeV} — os 185185–200200 do exemplo resolvido.

Exercício 33.15 ★★★

O ITER mira 500 MW500\,\mathrm{MW} de potência de fusão. A 17.6 MeV17.6\,\mathrm{MeV} por reação D–T (5.029 u5.029\,\mathrm{u} de combustível consumidos), encontre as reações por segundo e depois o combustível queimado por dia. Uma fornalha a carvão de 500 MW500\,\mathrm{MW} queima cerca de 1.4×106 kg1.4 \times 10^{6}\,\mathrm{kg} por dia: compare.

Solução

Solução de Exercício 33.15.

5.0×108/2.82×10−12≈1.8×10205.0 \times 10^{8}/2.82 \times 10^{-12} \approx 1.8 \times 10^{20} reações por segundo; vazão de massa 1.8×1020×5.029×1.660 54×10−27≈1.5×10−6 kg/s1.8 \times 10^{20} \times 5.029 \times 1.660\,54 \times 10^{-27} \approx 1.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}, ou seja, cerca de 0.13 kg0.13\,\mathrm{kg} por dia — contra 1.4×1061.4 \times 10^{6} quilogramas de carvão: dez milhões para um.

33.7 Problema: alimentar uma cidade

Problema 33.1

Problema de fim de semana — alimentar uma cidade: um gigawatt constante para meio milhão de pessoas, comprado de quatro maneiras — pastilhas de urânio, composições de carvão, uma piscina de água do mar, a própria substância do Sol — com o mesmo quilograma de massa sumida escondido sob todas as quatro

Uma cidade de 500 000500\,000 habitantes consome uma potência elétrica constante P=1.0 GWP = 1.0\,\mathrm{GW}; as usinas dela, seja qual for o combustível, transformam calor em eletricidade com rendimento de 33%33\% (Capítulo 9). Dados: uma fissão de urânio-235, 200 MeV200\,\mathrm{MeV} ao todo; carvão, 3.0×107 J/kg3.0 \times 10^{7}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}; uma fusão D–T, 17.6 MeV17.6\,\mathrm{MeV} a partir de 5.029 u5.029\,\mathrm{u} de combustível; 1 u=1.660 54×10−27 kg1\,\mathrm{u} = 1.660\,54 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}; 1 eV=1.60×10−19 J1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}; um ano =3.16×107 s= 3.16 \times 10^{7}\,\mathrm{s}; o Sol: 3.9×1026 W3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W}, 2.0×1030 kg2.0 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}; um metro cúbico de água do mar guarda cerca de 33 g33\,\mathrm{g} de deutério.

Parte I — A usina de fissão.

  1. Que potência térmica o reator precisa entregar?
  2. Exprima a energia de uma fissão em joules.
  3. Quantas fissões por segundo movem a cidade?
  4. Qual é a massa de um núcleo de urânio-235 (A=235A = 235) e, em seguida, o urânio-235 consumido por segundo?
  5. Deduza o urânio-235 consumido em um ano, em quilogramas.
  6. O combustível é enriquecido a 4.0%4.0\% de urânio-235: que massa um ano exige, e ela cabe num único caminhão?

Parte II — O balanço do carvão.

  1. Calcule a energia térmica que a cidade consome em um ano.
  2. Que massa de carvão a entrega?
  3. Calcule a razão (massa de carvão)/(massa de urânio-235) para um ano e confira-a contra a escada do Exemplo 33.21.
  4. Um trem de carga puxa 3.0×106 kg3.0 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}: quantos trens por ano, e por dia? Em uma frase: imagine as duas linhas de abastecimento.

Parte III — O sonho da fusão.

  1. Exprima a energia de uma fusão D–T em joules.
  2. Calcule a energia liberada por quilograma de combustível D–T; compare com a escada.
  3. Que massa de combustível D–T cobre o ano da cidade? E que massa disso é deutério (2.0142.014 dos 5.029 u5.029\,\mathrm{u})?
  4. Que volume de água do mar contém esse deutério? Compare com uma piscina olímpica, cerca de 2.5×103 m32.5 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{3}. (O trítio é gerado a partir do lítio.)
  5. Por que essa usina não tem massa crítica nem reação em cadeia a temer? O que é, então, a parte difícil?

Parte IV — A estrela que paga em massa.

  1. A partir de E=mc2E = mc^2, que massa o Sol converte a cada segundo?
  2. Que massa por segundo, e por ano, qualquer fonte de 3.0 GW3.0\,\mathrm{GW} térmicos precisa converter? Confira que os três combustíveis entregam essa mesma massa.
  3. Que massa total o Sol já irradiou nos 4.5×1094.5 \times 10^{9} anos dele, e que fração do Sol é isso?
  4. A fusão consegue explorar cerca de 0.07%0.07\% da massa do Sol (a parcela queimável do núcleo dele): estime a vida total dele como estrela, e o que resta.
  5. Feche a auditoria em três frases: um ano da cidade em toneladas de carvão, em quilogramas de urânio-235 e em quilogramas de combustível D–T — e o quilograma de massa que, em todos os cenários, virou a luz da cidade.
Solução

Solução de Problema 33.1.

1. Pth=1.0×109/0.33≈3.0 GWP_{\text{th}} = 1.0 \times 10^{9}/0.33 \approx 3.0\,\mathrm{GW}.

2. 200×1.60×10−13=3.2×10−11 J200 \times 1.60 \times 10^{-13} = 3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}.

3. 3.0×109/3.2×10−11≈9.4×10193.0 \times 10^{9}/3.2 \times 10^{-11} \approx 9.4 \times 10^{19} fissões por segundo.

4. mU=235×1.660 54×10−27=3.90×10−25 kgm_{\mathrm U} = 235 \times 1.660\,54 \times 10^{-27} = 3.90 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}; 9.4×1019×3.90×10−25≈3.7×10−5 kg/s9.4 \times 10^{19} \times 3.90 \times 10^{-25} \approx 3.7 \times 10^{-5}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s} — uns quarenta microgramas por segundo.

5. 3.7×10−5×3.16×107≈1.2×103 kg3.7 \times 10^{-5} \times 3.16 \times 10^{7} \approx 1.2 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}: cerca de 1.21.2 tonelada de urânio-235 por ano.

6. 1.2×103/0.040≈2.9×104 kg1.2 \times 10^{3}/0.040 \approx 2.9 \times 10^{4}\,\mathrm{kg} — umas 2929 toneladas de combustível: um caminhão pesado, uma vez por ano.

7. 3.0×109×3.16×107≈9.5×1016 J3.0 \times 10^{9} \times 3.16 \times 10^{7} \approx 9.5 \times 10^{16}\,\mathrm{J}.

8. 9.5×1016/3.0×107≈3.2×109 kg9.5 \times 10^{16}/3.0 \times 10^{7} \approx 3.2 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}: 3.23.2 milhões de toneladas de carvão.

9. 3.2×109/1.2×103≈2.7×1063.2 \times 10^{9}/1.2 \times 10^{3} \approx 2.7 \times 10^{6} — o 8.2×1013/3.0×1078.2 \times 10^{13}/3.0 \times 10^{7} da escada, como tem de ser.

10. 3.2×109/3.0×106≈10603.2 \times 10^{9}/3.0 \times 10^{6} \approx 1060 trens por ano, aproximadamente três por dia: um trem de carvão ao amanhecer, ao meio-dia e ao anoitecer para sempre, contra um caminhão a cada primavera.

11. 17.6×1.60×10−13=2.82×10−12 J17.6 \times 1.60 \times 10^{-13} = 2.82 \times 10^{-12}\,\mathrm{J}.

12. Um par pesa 5.029×1.660 54×10−27=8.35×10−27 kg5.029 \times 1.660\,54 \times 10^{-27} = 8.35 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}: 2.82×10−12/8.35×10−27≈3.4×1014 J/kg2.82 \times 10^{-12}/8.35 \times 10^{-27} \approx 3.4 \times 10^{14}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg} — o degrau da fusão na escada.

13. 9.5×1016/3.4×1014≈2.8×102 kg9.5 \times 10^{16}/3.4 \times 10^{14} \approx 2.8 \times 10^{2}\,\mathrm{kg} de D–T; a parcela de deutério é 280×2.014/5.029≈1.1×102 kg280 \times 2.014/5.029 \approx 1.1 \times 10^{2}\,\mathrm{kg}.

14. 1.1×102/3.3×10−2≈3.4×103 m31.1 \times 10^{2}/3.3 \times 10^{-2} \approx 3.4 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{3} de água do mar — cerca de uma piscina e meia para o ano inteiro da cidade.

15. Nada se multiplica: nenhum nêutron acende a fusão seguinte, e perder o confinamento esfria o plasma e o para em segundos. A parte difícil é o oposto — segurar 1.5×108 K1.5 \times 10^{8}\,\mathrm{K} juntos por tempo suficiente para queimar.

16. 3.9×1026/9.00×1016≈4.3×109 kg/s3.9 \times 10^{26}/9.00 \times 10^{16} \approx 4.3 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}: quatro milhões de toneladas por segundo.

17. 3.0×109/9.00×1016≈3.3×10−8 kg/s3.0 \times 10^{9}/9.00 \times 10^{16} \approx 3.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}, ou seja, 3.3×10−8×3.16×107≈1.0 kg3.3 \times 10^{-8} \times 3.16 \times 10^{7} \approx 1.0\,\mathrm{kg} por ano — e sim: 1.2×103 kg×0.00085≈11.2 \times 10^{3}\,\mathrm{kg} \times 0.00085 \approx 1, 3.2×109×3.3×10−10≈13.2 \times 10^{9} \times 3.3 \times 10^{-10} \approx 1, 280×0.00375≈1280 \times 0.00375 \approx 1. Todo combustível entrega o mesmo quilograma; eles diferem apenas em quanta carga é preciso para carregá-lo.

18. 4.3×109×3.16×107×4.5×109≈6.1×1026 kg4.3 \times 10^{9} \times 3.16 \times 10^{7} \times 4.5 \times 10^{9} \approx 6.1 \times 10^{26}\,\mathrm{kg} — apenas 6.1×1026/2.0×1030≈3×10−46.1 \times 10^{26}/2.0 \times 10^{30} \approx 3 \times 10^{-4}, três partes em dez mil.

19. Massa convertível 0.0007×2.0×1030=1.4×1027 kg0.0007 \times 2.0 \times 10^{30} = 1.4 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}, que vale 1.4×1027×9.00×1016≈1.3×1044 J1.4 \times 10^{27} \times 9.00 \times 10^{16} \approx 1.3 \times 10^{44}\,\mathrm{J}; a 3.9×1026 W3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W} isso dura 1.3×1044/3.9×1026≈3.2×1017 s≈1.0×10101.3 \times 10^{44}/3.9 \times 10^{26} \approx 3.2 \times 10^{17}\,\mathrm{s} \approx 1.0 \times 10^{10} anos — dez bilhões, dos quais restam uns cinco bilhões.

20. Um ano da cidade: 3.23.2 milhões de toneladas de carvão, ou 1.2×1031.2 \times 10^{3} quilogramas de urânio-235, ou 2.8×1022.8 \times 10^{2} quilogramas de combustível D–T tirados de uma piscina e meia de água do mar. Sob todos os livros-caixa, o mesmo lançamento: um quilograma de massa, sumido. O E=mc2E = mc^2 não liga para qual combustível o carrega — só para o tamanho do caminhão necessário.