Física do ensino médio · Grades 10–12

26Queda livre e lançamento de projéteis

Todo jato de uma mangueira de jardim desenha a mesma curva no ar. E também uma bola de basquete rumo à cesta, um saltador em distância, uma bala de canhão: qualquer corpo abandonado ao seu peso. Este capítulo conquista essa curva — uma parábola — a partir da segunda lei de Newton em duas linhas de cálculo, lê nela o ponto mais alto, o tempo de voo e o alcance, e depois deixa o ar voltar para ver o que ele estraga.

26.1 Queda livre

Definição 26.1 (Queda livre)

Um corpo está em queda livre quando a única força que age sobre ele é o seu peso $\vect P = m\vect g$ : sem apoio, sem fio, com resistência do ar desprezível. Uma pedra solta, ou uma bola que já deixou a mão, está em queda livre com boa precisão — e “queda” inclui a subida.

Teorema 26.2 (Lei da queda livre de Galileu)

Em queda livre, todos os corpos compartilham a mesma aceleração, seja qual for a massa deles:

\vect a = \vect g, \qquad g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2},

dirigida verticalmente para baixo: a intensidade de campo $9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ do Capítulo 4 na outra roupa dela, $\mathrm{N}/\mathrm{kg} = \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Demonstração. A segunda lei de Newton (Capítulo 25) com o peso como única força: $m\vect a = m\vect g$ , e a massa se cancela. Martelo e pena diferem apenas por causa do ar. ∎

Proposição 26.3 (Queda vertical a partir do repouso)

Solto do repouso, com a profundidade de queda $h$ contada para baixo a partir do ponto de soltura, um corpo em queda livre obedece a

a = g, \qquad v = g t, \qquad h = \tfrac12\, g t^2 .

Demonstração. $v(t)$ é a primitiva da constante $a = g$ que se anula em $t = 0$ (Capítulo 24); $h(t)$ é a de $v = gt$ que se anula em $t = 0$ . ∎

Exemplo 26.4 (Ordens de grandeza)

Após $1$ , $2$ , $3$ segundos de queda livre: $v = 9.8$ , $19.6$ , $29.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $35$ , $71$ , $106\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ) e $h = 4.9$ , $19.6$ , $44.1\,\mathrm{m}$ . De um telhado de $30\,\mathrm{m}$ : $t = \sqrt{2h/g} \approx 2.5\,\mathrm{s}$ , chegando a $24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ $\approx 87\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Os tempos crescem como $\sqrt h$ — e, passados alguns segundos, o ar se recusa a continuar desprezível (última seção).

Exemplo 26.5 (Lançamento vertical)

Lançado verticalmente para cima com $v_0$ , eixo $Oy$ para cima a partir da mão: as mesmas duas primitivas dão $v = v_0 - gt$ e $y = v_0 t - \tfrac12 gt^2$ . O ponto mais alto, onde $v = 0$ , vem em $t = v_0/g$ , na altura $h = v_0^2/2g$ — a resposta energética $v_0 = \sqrt{2gh}$ do Capítulo 18 lida ao contrário; lançado para baixo, $v_0$ troca de sinal. Para $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : ponto mais alto a $11.5\,\mathrm{m}$ em $1.53\,\mathrm{s}$ , de volta em $3.06\,\mathrm{s}$ , a $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

26.2 O projétil: uma lei, duas primitivas

Definição 26.6 (Projétil)

Um projétil é um corpo lançado com uma velocidade $\vect v_0$ e depois entregue à queda livre. Eixos no ponto de lançamento: $Ox$ horizontal no plano vertical de $\vect v_0$ , $Oy$ vertical para cima; o ângulo de lançamento $\alpha$ de $\vect v_0$ acima da horizontal fixa as coordenadas dele, $(v_0\cos\alpha,\; v_0\sin\alpha)$ .

Teorema 26.7 (Equações do movimento)

Um projétil lançado da origem com velocidade escalar $v_0$ e ângulo $\alpha$ tem $\vect a = (0,\,-g)$ a cada instante, logo

\vect v(t) = \bigl(v_0\cos\alpha,\; v_0\sin\alpha - g t\bigr), \qquad \begin{cases} x(t) = v_0\cos\alpha\; t,\\[2pt] y(t) = v_0\sin\alpha\; t - \tfrac12\, g t^2 . \end{cases}

Demonstração. A segunda lei de Newton dá $\vect a = \vect g = (0,-g)$ . Primitivas eixo a eixo: $\vect v(t)$ a partir de $\vect a$ com valor inicial $(v_0\cos\alpha,\, v_0\sin\alpha)$ , e depois a posição a partir de $\vect v$ , saindo de $(0,0)$ . ∎

Proposição 26.8 (Independência dos dois movimentos)

O movimento horizontal é uniforme — $v_x$ nunca muda — e o movimento vertical é exatamente o lançamento vertical da seção anterior: nenhuma das equações menciona a coordenada da outra. Em particular, uma bola disparada horizontalmente e uma bola solta no mesmo instante da mesma altura permanecem lado a lado — elas chegam ao chão juntas.

Demonstração. Na Teorema 26.7, $x(t)$ envolve apenas $v_0\cos\alpha$ , e $y(t)$ apenas $v_0\sin\alpha$ e $g$ ; as duas bolas têm $v_y(0) = 0$ , de modo que as duas obedecem a $h = \tfrac12 gt^2$ . ∎

Uma bola solta, outra disparada horizontalmente no mesmo instante: em cada instante t_1, t_2, t_3, a mesma altura — a velocidade não atrasa nada. — Uma bola solta, outra disparada horizontalmente no mesmo instante: em cada instante $t_1$ , $t_2$ , $t_3$ , a mesma altura — a velocidade não atrasa nada.

Observação 26.9 (O macaco que se solta)

Um tratador mira o dardo exatamente no macaco, que larga o galho no instante do disparo. Má ideia: dardo e macaco caem cada um $\tfrac12 gt^2$ abaixo das posições que teriam sem gravidade — a linha de mira, o galho — de modo que eles se encontram exatamente, seja qual for a velocidade do dardo (Exercício 26.15).

26.3 A parábola, lida por inteiro

Teorema 26.10 (Trajetória)

Eliminando $t$ entre $x(t)$ e $y(t)$ : a trajetória de um projétil ( $0 \leq \alpha < 90{}^{\circ}$ ) é a parábola de concavidade para baixo

y = x\tan\alpha \;-\; \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2\alpha}\, x^2 .

Demonstração. $t = x/(v_0\cos\alpha)$ , substituído em $y(t)$ da Teorema 26.7. ∎

A velocidade ao longo do voo: v_x nunca muda; v_y encolhe, se anula no ponto mais alto e se inverte — a flecha tomba, e a parábola acompanha. — A velocidade ao longo do voo: $\vect v_x$ nunca muda; $\vect v_y$ encolhe, se anula no ponto mais alto e se inverte — a flecha tomba, e a parábola acompanha.

Definição 26.11 (Alcance)

Para um projétil sobre terreno plano, o alcance $R$ é a distância horizontal percorrida quando ele volta à altura de lançamento; o tempo de voo $t_f$ é a duração dessa viagem.

Proposição 26.12 (Ponto mais alto, tempo de voo, alcance)

Sobre terreno plano, com $0 < \alpha < 90{}^{\circ}$ :

t_f = \frac{2 v_0 \sin\alpha}{g}, \qquad h_{\text{max}} = \frac{(v_0\sin\alpha)^2}{2g} \ \ \text{atingido em } t_f/2, \qquad R = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}.

O alcance é máximo em $\alpha = 45{}^{\circ}$ , onde $R = v_0^2/g$ ; ângulos complementares $\alpha$ e $90{}^{\circ} - \alpha$ dão o mesmo alcance.

Demonstração. $y = 0$ dá $t\,(v_0\sin\alpha - \tfrac12 gt) = 0$ : o lançamento, e $t_f$ . O ponto mais alto, $v_y = 0$ , fica em $t = v_0\sin\alpha/g = t_f/2$ ; substitua em $y(t)$ . Então $R = x(t_f) = 2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha/g = v_0^2\sin(2\alpha)/g$ . O seno é máximo em $2\alpha = 90{}^{\circ}$ , e $\sin\bigl(2(90{}^{\circ}-\alpha)\bigr) = \sin(180{}^{\circ} - 2\alpha) = \sin(2\alpha)$ . ∎

Mesma velocidade de lançamento v_0 = 10\, m/ s, cinco ângulos: 45 lança mais longe; os pares (15,75) e (30,60) caem no mesmo ponto — um rasante e rápido, o outro alto e lento. — Mesma velocidade de lançamento $v_0 = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , cinco ângulos: $45{}^{\circ}$ lança mais longe; os pares ( $15{}^{\circ}$ , $75{}^{\circ}$ ) e ( $30{}^{\circ}$ , $60{}^{\circ}$ ) caem no mesmo ponto — um rasante e rápido, o outro alto e lento.

Exemplo 26.13 (Tiro de meta)

Um goleiro chuta a $v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\alpha = 45{}^{\circ}$ : $R = 25^2/9.81 \approx 64\,\mathrm{m}$ ; os chutes reais caem mais perto de $55\,\mathrm{m}$ — é a mordida do ar.

Método 26.14 (Contabilidade de um projétil)

Eixos no ponto de lançamento, $Ox$ horizontal, $Oy$ para cima; coordenadas de $\vect v_0$ .
Confirme a queda livre (só o peso): então $\vect a = (0,-g)$ ; duas primitivas, com as condições iniciais a cada vez.
Pergunta sobre um lugar: elimine $t$ (trajetória). Sobre um instante: mantenha $t$ .
Dicionário: ponto mais alto $\Leftrightarrow v_y = 0$ ; altura de lançamento $\Leftrightarrow y = 0$ ; muro a $d \Leftrightarrow x = d$ ; chão $\ell$ abaixo $\Leftrightarrow y = -\ell$ .
Bom senso: voo simétrico em torno do ponto mais alto; $R \leq v_0^2/g$ ; o ar só encurta.

26.4 O que o ar muda

Definição 26.15 (Velocidade limite)

A resistência do ar se opõe à velocidade e cresce com ela. Um corpo em queda, portanto, acelera apenas até que o arrasto equilibre o peso; a partir daí $\vect a = \vect 0$ : ele cai com uma velocidade limite constante.

Exemplo 26.16 (Ordens de grandeza da velocidade limite)

Um paraquedista de corpo aberto: cerca de $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $200\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ). Uma gota de chuva: cerca de $9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — no vácuo, $2000\,\mathrm{m}$ de queda a entregariam a $\sqrt{2gh} \approx 2.0 \times 10^{2}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Uma pena: cerca de $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , atingida em alguns centímetros — o segredo da lentidão dela: ela passa a queda inteira na velocidade limite; o martelo nem chega perto da sua.

Observação 26.17 (Balística de verdade)

O arrasto empurra contra a velocidade ao longo de todo o voo: o alcance encurta, o ponto mais alto baixa e a simetria se quebra — a descida mais íngreme do que a subida, e os tiros longos visivelmente aquém da parábola. O tratamento honesto e quantitativo é uma equação diferencial resolvida no volume do primeiro ano de graduação; este ano, a parábola é o modelo certo para projéteis densos e de velocidade moderada — uma bola de basquete a $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , e não uma bola de golfe a $70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

O mesmo lançamento, com e sem ar: o arrasto apara o alcance e o ponto mais alto e faz o projétil cair mais íngreme do que decolou — a simetria da parábola é a primeira baixa.

26.5 Exercícios

Exercício 26.1 ★

Uma pedra solta de uma ponte atinge a água $2.0\,\mathrm{s}$ depois: qual é a altura da ponte e a velocidade de impacto em $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e em $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?

Solução

Solução de Exercício 26.1.

$h = \tfrac12 \times 9.81 \times 2.0^2 = 19.6\,\mathrm{m}$ ; $v = gt = 19.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Exercício 26.2 ★

Na Lua, um astronauta soltou juntos um martelo e uma pena: eles chegaram juntos. Por quê — e por que a pena perde tão feio na Terra?

Solução

Solução de Exercício 26.2.

Não há ar na Lua: os dois em queda livre, e $m\vect a = m\vect g$ dá $\vect a = \vect g$ para qualquer massa. Na Terra, o arrasto sobre a pena é comparável ao peso minúsculo dela: ela desce com uma velocidade limite de cerca de $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , enquanto o martelo mal percebe o ar.

Exercício 26.3 ★

Desprezando o ar, calcule o tempo de queda e a velocidade de chegada de $1.0\,\mathrm{m}$ , $10\,\mathrm{m}$ e $100\,\mathrm{m}$ . Como os tempos crescem com a altura?

Solução

Solução de Exercício 26.3.

$t = \sqrt{2h/g} = 0.45$ , $1.4$ , $4.5\,\mathrm{s}$ ; $v = gt = 4.4$ , $14$ , $44\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Os tempos crescem como $\sqrt h$ : $\times 100$ na altura é apenas $\times 10$ no tempo.

Exercício 26.4 ★

Uma bola é lançada verticalmente para cima a $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : qual é a altura e o instante do ponto mais alto, o tempo total até voltar à mão e a velocidade de retorno?

Solução

Solução de Exercício 26.4.

$h = v_0^2/2g = 11.5\,\mathrm{m}$ em $t = v_0/g = 1.53\,\mathrm{s}$ ; de volta em $3.06\,\mathrm{s}$ , de novo a $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (simetria).

Exercício 26.5 ★

Uma bolinha de gude rola para fora de uma mesa de $0.80\,\mathrm{m}$ de altura a $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Calcule o tempo de queda e a distância do ponto de chegada até a borda. O tempo de queda depende da velocidade da bolinha?

Solução

Solução de Exercício 26.5.

$t = \sqrt{2 \times 0.80/9.81} = 0.40\,\mathrm{s}$ ; $x = 2.5 \times 0.40 = 1.0\,\mathrm{m}$ . Não: o tempo de queda pertence apenas ao movimento vertical (independência).

Exercício 26.6 ★★

Na figura dos cinco ângulos do curso: que pares de ângulos de lançamento compartilham o alcance, e que ângulo vence? Para um alcance abaixo do máximo, qual dos dois ângulos possíveis voa por mais tempo? Justifique com $t_f$ .

Solução

Solução de Exercício 26.6.

$(15{}^{\circ},75{}^{\circ})$ e $(30{}^{\circ},60{}^{\circ})$ compartilham o alcance; $45{}^{\circ}$ vence. O mais íngreme de um par complementar voa por mais tempo: $t_f = 2v_0\sin\alpha/g$ cresce com $\alpha$ .

Exercício 26.7 ★★

De uma sacada a $20\,\mathrm{m}$ uma bola é lançada verticalmente para baixo a $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Calcule o tempo até o chão e a velocidade de impacto; confira a última com um balanço de energia (Capítulo 18).

Solução

Solução de Exercício 26.7.

$4.905\,t^2 + 5.0\,t - 20 = 0$ dá $t = (-5 + \sqrt{25 + 392.4})/9.81 = 1.57\,\mathrm{s}$ ; $v = 5.0 + 9.81 \times 1.57 = 20.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Pela energia: $v = \sqrt{5.0^2 + 2 \times 9.81 \times 20} = 20.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — o mesmo.

Exercício 26.8 ★★

Um projétil parte do solo plano a $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\alpha = 30{}^{\circ}$ : tempo de voo, altura do ponto mais alto e alcance?

Solução

Solução de Exercício 26.8.

$t_f = 2 \times 40 \times \sin30{}^{\circ}/9.81 = 4.1\,\mathrm{s}$ ; $h = (40\sin30{}^{\circ})^2/(2 \times 9.81) = 20.4\,\mathrm{m}$ ; $R = 40^2 \sin60{}^{\circ}/9.81 = 1.4 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ .

Exercício 26.9 ★★

Modele um saltador em distância como um projétil: impulsão a $10.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\alpha = 20{}^{\circ}$ . Calcule o alcance; os campeões saltam quase $9\,\mathrm{m}$ — aponte dois ingredientes que o modelo pontual deixa de fora.

Solução

Solução de Exercício 26.9.

$R = 10.5^2\sin40{}^{\circ}/9.81 \approx 7.2\,\mathrm{m}$ . Ficaram de fora: o centro de massa decola alto (corpo estendido) e aterrissa baixo e bem à frente (pernas jogadas para diante), e o saltador não é um ponto — os $1.7\,\mathrm{m}$ que faltam moram nessa geometria, e não na parábola.

Exercício 26.10 ★★

A $1.2\,\mathrm{m}$ acima de um solo plano, uma bala é solta e outra idêntica é disparada horizontalmente a $300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Qual chega primeiro? Calcule o tempo de queda e a distância de chegada da bala disparada. Que princípio está sendo testado?

Solução

Solução de Exercício 26.10.

Juntas: as duas têm $v_y(0) = 0$ , logo o mesmo $t = \sqrt{2 \times 1.2/9.81} = 0.49\,\mathrm{s}$ ; a disparada cai a $300 \times 0.49 \approx 1.5 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ de distância. Testa-se a independência dos movimentos horizontal e vertical.

Exercício 26.11 ★★

Mostre algebricamente que $\alpha$ e $90{}^{\circ} - \alpha$ compartilham o alcance e depois encontre os dois ângulos que fazem um projétil de $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ cair a $50\,\mathrm{m}$ de distância.

Solução

Solução de Exercício 26.11.

$\sin\bigl(2(90{}^{\circ}-\alpha)\bigr) = \sin(180{}^{\circ}-2\alpha) = \sin(2\alpha)$ : mesmo $R$ . Aqui $\sin(2\alpha) = gR/v_0^2 = 9.81 \times 50/625 = 0.785$ : $\alpha = 25.9{}^{\circ}$ ou $64.1{}^{\circ}$ .

Exercício 26.12 ★★★

A água sai de uma mangueira de jardim a $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : qual é o maior alcance horizontal? E a maior altura vertical? E os dois ângulos do bico que regam um canteiro a $5.0\,\mathrm{m}$ de distância?

Solução

Solução de Exercício 26.12.

$R_{\max} = v_0^2/g = 6.5\,\mathrm{m}$ (a $45{}^{\circ}$ ); $h_{\max} = v_0^2/2g = 3.3\,\mathrm{m}$ (na vertical). $\sin(2\alpha) = 9.81 \times 5.0/64 = 0.766$ : $\alpha = 25.0{}^{\circ}$ ou $65.0{}^{\circ}$ .

Exercício 26.13 ★★★

Uma bola é chutada do solo a $18\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\alpha = 35{}^{\circ}$ , na direção de uma cerca viva de $4.0\,\mathrm{m}$ a $15\,\mathrm{m}$ de distância. Usando a equação da trajetória, decida se ela passa por cima, e por quanto.

Solução

Solução de Exercício 26.13.

$y(15) = 15\tan35{}^{\circ} - \dfrac{9.81 \times 15^2} {2 \times 18^2 \cos^235{}^{\circ}} = 10.5 - 5.1 = 5.4\,\mathrm{m}$ : ela passa cerca de $1.4\,\mathrm{m}$ acima da cerca de $4.0\,\mathrm{m}$ .

Exercício 26.14 ★★★

Um paraquedista de $80\,\mathrm{kg}$ cai de corpo aberto com velocidade limite de $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (a) Qual é a força de arrasto? (b) Esboce a forma de $v(t)$ desde o salto. (c) Uma gota de chuva cai de $2.0\,\mathrm{km}$ : qual seria a velocidade de chegada no vácuo, comparada com os $9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ reais dela?

Solução

Solução de Exercício 26.14.

(a) O arrasto equilibra o peso: $80 \times 9.81 \approx 7.8 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ . (b) $v(t)$ sobe com inclinação cada vez menor e estabiliza em $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) No vácuo: $\sqrt{2 \times 9.81 \times 2000} \approx 2.0 \times 10^{2}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , vinte vezes os $9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ reais — as gotas de chuva passam quase toda a queda na velocidade limite.

Exercício 26.15 ★★★

O macaco que se solta, demonstrado: um dardo parte da origem mirando exatamente um macaco à distância $D$ e à altura $H$ ( $\tan\alpha = H/D$ ), que se solta em $t = 0$ . Mostre que, quando o dardo chega a $x = D$ , a altura dele é igual à do macaco — seja qual for $v_0$ .

Solução

Solução de Exercício 26.15.

Em $t^* = D/(v_0\cos\alpha)$ o dardo está na altura $v_0\sin\alpha\, t^* - \tfrac12 g t^{*2} = D\tan\alpha - \tfrac12 g t^{*2} = H - \tfrac12 g t^{*2}$ , exatamente o $y = H - \tfrac12 g t^{*2}$ do macaco que se soltou. Os dois pendem $\tfrac12 gt^2$ abaixo dos pontos que ocupariam sem gravidade — eles se encontram para qualquer $v_0$ .

26.6 Problema: a cesta no estouro do cronômetro

Problema 26.1

Problema de fim de semana — a cesta no estouro do cronômetro: um lance livre dissecado flecha por flecha, a bola passando centímetros acima dos dedos do marcador, um arremesso de quadra inteira pesado contra o que um braço consegue dar, um balão por cima da tabela — e um veredito sobre o arremesso mais teatral do esporte

O aro de uma cesta de basquete é um anel horizontal a $3.05\,\mathrm{m}$ do piso; Nora solta todo arremesso a $2.00\,\mathrm{m}$ , de modo que, com os eixos no ponto de soltura ( $Ox$ horizontal em direção à cesta, $Oy$ para cima), o centro do aro fica $1.05\,\mathrm{m}$ acima da origem. O ar é desprezado, salvo onde se disser o contrário.

Parte I — O lance livre. Nora arremessa de $d = 4.20\,\mathrm{m}$ (na horizontal) com ângulo de lançamento $\alpha = 50{}^{\circ}$ .

Que forças agem depois da soltura? Dê $\vect a$ , citando a lei usada.
Deduza as coordenadas de $\vect v(t)$ .
Deduza $x(t)$ e $y(t)$ .
Elimine $t$ para obter a trajetória $y(x)$ .
A bola precisa passar pelo centro do aro, $y(d) = 1.05\,\mathrm{m}$ : resolva para $v_0$ , em $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e em $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Parte II — Por cima dos dedos, dentro do anel.

Quanto tempo a bola leva para chegar ao aro?
Calcule o instante e a altura do ponto mais alto; verifique que a bola já está descendo no aro.
Um marcador a $0.90\,\mathrm{m}$ à frente de Nora estica os dedos até $2.60\,\mathrm{m}$ . Por quanto a bola passa acima deles?
Calcule $v_x$ e $v_y$ no aro, a velocidade escalar ali e o ângulo da velocidade abaixo da horizontal.
Por que a bola precisa chegar descendo — e por que íngreme?

Parte III — O arremesso de quadra inteira. Com o cronômetro prestes a soar, Nora está a $26.0\,\mathrm{m}$ do aro do outro lado.

A subida de $1.05\,\mathrm{m}$ é pequena diante de $26.0\,\mathrm{m}$ : justifique um modelo de terreno plano e deduza o tempo de voo a partir de $y(t_f) = 0$ .
Deduza $R = v_0^2\sin(2\alpha)/g$ e o ângulo de maior alcance.
Calcule o $v_0$ necessário para cobrir $26.0\,\mathrm{m}$ em $\alpha = 45{}^{\circ}$ .
Uma jogadora forte consegue arremessar uma bola de basquete a cerca de $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Qual é o alcance máximo dela — o arremesso é humanamente viável?
A $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , encontre os dois ângulos que fazem a bola cair a $26.0\,\mathrm{m}$ de distância, e os tempos de voo deles: com $2.0\,\mathrm{s}$ no relógio, qual bate o cronômetro?

Parte IV — O balão por cima da tabela. De trás da linha de fundo Nora solta um balão: soltura a $6.0\,\mathrm{m}$ do centro do aro, $\alpha = 75{}^{\circ}$ ; o plano da tabela cruza o arremesso dela $0.45\,\mathrm{m}$ antes do centro do aro, com a borda superior a $3.95\,\mathrm{m}$ do piso.

Encontre o $v_0$ que faz a bola cair pelo centro do aro.
Calcule a altura da bola no plano da tabela ( $x = 5.55\,\mathrm{m}$ ): ela passa por cima da borda superior, e por quanto?
Calcule a altura do ponto mais alto e o tempo de voo — por que a torcida adora isso?
Qualitativamente, o que a resistência do ar muda nesses três arremessos, e qual deles ela mais ameaça?
O veredito da cesta no estouro do cronômetro, em duas frases: compare a velocidade que o arremesso de quadra inteira exige com a que um braço fornece, dê a margem e julgue — possível ou lenda?

Solução

Solução de Problema 26.1.

1. Só o peso (ar desprezado); pela segunda lei de Newton: $m\vect a = m\vect g$ , logo $\vect a = (0,\,-g)$ .

2. $v_x = v_0\cos\alpha$ , $v_y = v_0\sin\alpha - gt$ .

3. $x = v_0\cos\alpha\, t$ , $y = v_0\sin\alpha\, t - \tfrac12 gt^2$ .

4. $t = x/(v_0\cos\alpha)$ : $y = x\tan\alpha - g x^2/(2v_0^2\cos^2\alpha)$ .

5. $v_0^2 = \dfrac{g d^2}{2\cos^2\alpha\,(d\tan\alpha - 1.05)} = \dfrac{173.0}{0.826 \times 3.96} = 52.9$ : $v_0 = 7.28\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 26\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

6. $t = d/(v_0\cos\alpha) = 4.20/4.68 = 0.90\,\mathrm{s}$ .

7. Ponto mais alto em $t = v_0\sin\alpha/g = 0.57\,\mathrm{s}$ , à altura $2.00 + (v_0\sin\alpha)^2/2g = 2.00 + 1.58 = 3.58\,\mathrm{m}$ ; $0.57 < 0.90$ : descendo no aro.

8. $y(0.90) = 0.90\tan50{}^{\circ} - 0.182 = 0.89\,\mathrm{m}$ acima da soltura, ou seja, $2.89\,\mathrm{m}$ acima do piso: $0.29\,\mathrm{m}$ acima dos dedos.

9. $v_x = 4.68\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_y = 5.57 - 9.81 \times 0.90 = -3.24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v = 5.69\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , a $\arctan(3.24/4.68) = 34.7{}^{\circ}$ abaixo da horizontal.

10. O aro é um anel horizontal: a bola precisa cruzar o plano dele vindo de cima. Quanto mais íngreme a entrada, maior parece a abertura do anel ao longo da velocidade — mais margem de erro.

11. $1.05/26.0 = 4\%$ : desprezível. $y(t_f) = 0$ dá $t_f\,(v_0\sin\alpha - \tfrac12 g t_f) = 0$ , logo $t_f = 2v_0\sin\alpha/g$ .

12. $R = v_0\cos\alpha\, t_f = v_0^2\sin(2\alpha)/g$ ; máximo em $\alpha = 45{}^{\circ}$ .

13. $v_0 = \sqrt{gR} = \sqrt{9.81 \times 26.0} = 16.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 57\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

14. $R_{\max} = 17.5^2/9.81 = 31.2\,\mathrm{m} > 26.0\,\mathrm{m}$ : viável, com $5\,\mathrm{m}$ de alcance de sobra.

15. $\sin(2\alpha) = 255.1/306.3 = 0.833$ : $\alpha = 28.2{}^{\circ}$ ou $61.8{}^{\circ}$ ; tempos de voo $2v_0\sin\alpha/g = 1.69\,\mathrm{s}$ e $3.14\,\mathrm{s}$ . Só o arremesso rasante bate o cronômetro de $2.0\,\mathrm{s}$ .

16. $v_0^2 = \dfrac{9.81 \times 36}{2\cos^275{}^{\circ}\, (6.0\tan75{}^{\circ} - 1.05)} = \dfrac{353.2}{2.86} = 123.5$ : $v_0 = 11.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

17. $y(5.55) = 5.55\tan75{}^{\circ} - 18.26 = 2.45\,\mathrm{m}$ acima da soltura, ou seja, $4.45\,\mathrm{m}$ acima do piso: $0.50\,\mathrm{m}$ acima da borda superior da tabela.

18. Ponto mais alto a $2.00 + (11.1\sin75{}^{\circ})^2/2g \approx 7.9\,\mathrm{m}$ ; voo de $6.0/(11.1\cos75{}^{\circ}) = 2.1\,\mathrm{s}$ — dois segundos inteiros com a bola pendurada a $8\,\mathrm{m}$ de altura.

19. O arrasto encurta todo arremesso e torna a descida mais íngreme; o efeito cresce com a velocidade, de modo que o arremesso de quadra inteira a $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ é o mais castigado — o alcance real dele fica alguns metros aquém de $31\,\mathrm{m}$ , comendo a margem.

20. O veredito da cesta no estouro do cronômetro: o arremesso de $26.0\,\mathrm{m}$ exige $16.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e um braço fornece cerca de $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , uma margem de alcance de $5\,\mathrm{m}$ ( $\approx 20\%$ ) que a resistência do ar apara, mas não apaga. Possível — e é exatamente por isso que, algumas vezes por temporada, ela entra.