Física do ensino médio · Grades 10–12

21Som e acústica

Toque a corda grave de um violão: a sala se enche de um lá grave e, ainda assim, nada viajou até o seu ouvido além de ar comprimido e esticado. Este capítulo acompanha esse padrão — a velocidade dele, como a frequência vira altura e a potência vira intensidade sonora, e por que uma mesma nota soa diferente em cada instrumento.

21.1 O som é uma onda de pressão

Definição 21.1 (Onda sonora)

Uma onda sonora é uma onda mecânica de pressão (Capítulo 20): uma superfície que vibra cria compressões (uma leve sobrepressão) e rarefações (subpressão) que viajam. As porções de ar oscilam ao longo da direção de propagação (o som é longitudinal), e um meio é indispensável: um sino sob uma campânula de vácuo emudece (Capítulo 8).

Um alto-falante gera uma onda longitudinal: as porções de ar se agrupam em compressões separadas por um comprimento de onda = v/f. — Um alto-falante gera uma onda longitudinal: as porções de ar se agrupam em compressões separadas por um comprimento de onda $\lambda = v/f$ .

Proposição 21.2 (Velocidade do som)

O som viaja a cerca de $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ no ar a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ na água e $5000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ no aço: quanto mais rígido o meio, mais rápido.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 21.3 (Ar quente é mais rápido)

Esses são valores medidos; prevê-los é assunto do volume do primeiro ano de graduação. O som fica mais rápido em ar mais quente ( $331\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ ) — e é por isso que os sopros desafinam à medida que a sala esquenta.

Exemplo 21.4 (Os tamanhos dos sons)

A relação $\lambda = v/f$ dimensiona qualquer som: no ar, um ronco de $20\,\mathrm{Hz}$ ocupa $340/20 = 17\,\mathrm{m}$ — um prédio — e um chiado de $20\,\mathrm{kHz}$ cabe em $1.7\,\mathrm{cm}$ ; os do tamanho de um metro contornam portas e esquinas com facilidade.

21.2 Altura, intensidade sonora e o ouvido

Definição 21.5 (Altura e intensidade sonora)

A altura é a percepção da frequência: quanto maior $f$ , mais aguda a nota; o lá de concerto vale $440\,\mathrm{Hz}$ , e dobrar $f$ sobe a nota uma oitava. A intensidade sonora é a percepção da amplitude: quanto mais forte a oscilação de pressão, mais alto o som; a amplificação muda a intensidade, e não a altura.

Observação 21.6 (A janela do ouvido)

A audição cobre de cerca de $20\,\mathrm{Hz}$ a $20\,\mathrm{kHz}$ (Capítulo 8); abaixo está o infrassom, acima o ultrassom — morcegos a $50\,\mathrm{kHz}$ , sondas médicas em megahertz. Um piano amostra só o meio: $27.5\text{ to }4186\,\mathrm{Hz}$ .

21.3 Intensidade sonora e a escala de decibéis

Definição 21.7 (Intensidade sonora)

A intensidade sonora $I$ é a potência acústica que atravessa um metro quadrado voltado para a onda: $I = P/S$ , em $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . O som audível mais fraco tem cerca de $I_0 = 1.0 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; a dor começa perto de $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .

Proposição 21.8 (Atenuação em inverso do quadrado)

Uma fonte pequena que irradia uma potência $P$ igualmente em todas as direções dá, à distância $r$ , $I = P/(4\pi r^2) \propto 1/r^2$ : dobrar a distância divide a intensidade por quatro.

Demonstração. Toda a potência $P$ atravessa a esfera de área $4\pi r^2$ ; divida. ∎

Definição 21.9 (Nível sonoro)

O ouvido cobre doze potências de dez, e por isso as intensidades são dadas em escala logarítmica. O nível sonoro de $I$ é

L = 10 \log_{10}(I/I_0), \qquad I_0 = 1.0 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2},

em decibéis ( $\mathrm{dB}$ ): limiar de audição em $0\,\mathrm{dB}$ , dor perto de $120\,\mathrm{dB}$ .

Proposição 21.10 (Aritmética dos decibéis)

Multiplicar $I$ por $k$ acrescenta $10\log_{10}k$ decibéis. Em particular, $\times 10$ acrescenta $10\,\mathrm{dB}$ ; $\times 2$ acrescenta $10\log_{10}2 \approx 3.0\,\mathrm{dB}$ ; $N$ fontes idênticas e incoerentes somam intensidades, nunca níveis, resultando em $L_1 + 10\log_{10}N$ ; e dobrar a distância a uma fonte pequena ( $I$ dividida por quatro) retira cerca de $6.0\,\mathrm{dB}$ .

Demonstração. $10\log_{10}(kI/I_0) = 10\log_{10}(I/I_0) + 10\log_{10}k$ ; para a distância, use a Proposição 21.8 com $k = 1/4$ . ∎

Método 21.11 (Trabalhar em decibéis)

$L = 10\log_{10}(I/I_0)$ ; de volta: $I = I_0 \times 10^{L/10}$ .
Nunca some níveis: converta em intensidades, some e converta de volta — ou use $+3\,\mathrm{dB}$ por duplicação e $+10\,\mathrm{dB}$ por fator dez.
Cada duplicação da distância a uma fonte pequena custa $6\,\mathrm{dB}$ .

Uma escada de níveis do dia a dia: cada degrau de 20\, dB é um salto de cem vezes na intensidade; acima de 85\, dB (zona vermelha) a exposição danifica a audição. — Uma escada de níveis do dia a dia: cada degrau de $20\,\mathrm{dB}$ é um salto de cem vezes na intensidade; acima de $85\,\mathrm{dB}$ (zona vermelha) a exposição danifica a audição.

Observação 21.12 (Danos à audição)

A perda auditiva é uma dose: $85\,\mathrm{dB}$ é seguro por oito horas, e cada $3\,\mathrm{dB}$ a mais — uma duplicação de intensidade — reduz o tempo seguro à metade; as células ciliadas perdidas não voltam a crescer.

21.4 Timbre e harmônicos

Definição 21.13 (Harmônicos)

Um som periódico de frequência $f_1$ — a fundamental — é, em geral, uma soma de senoides nas frequências $f_n = n f_1$ , com $n = 1, 2, 3, \dots$ , os seus harmônicos. Um som reduzido à sua fundamental é um som puro, como o de um diapasão.

Definição 21.14 (Espectro e timbre)

O espectro de um som é o diagrama de barras dos seus harmônicos: uma barra por $f_n$ , com altura igual à intensidade daquele harmônico. O ouvido escuta $f_1$ como a altura da nota e a mistura de intensidades como o timbre — a cor do som: instrumentos que tocam a mesma nota compartilham $f_1$ e diferem apenas nos espectros.

O mesmo lá (220\, Hz): formas de onda (em cima) e espectros (embaixo) — mesma fundamental e mesma altura; a escada de harmônicos do violino é o timbre dele. — O mesmo lá ( $220\,\mathrm{Hz}$ ): formas de onda (em cima) e espectros (embaixo) — mesma fundamental e mesma altura; a escada de harmônicos do violino é o timbre dele.

Exemplo 21.15 (Por que você reconhece quem liga)

O lá de uma flauta é quase um som puro; um violino que toque com o arco os mesmos $220\,\mathrm{Hz}$ acrescenta harmônicos fortes em $440\,\mathrm{Hz}\text{, }660\,\mathrm{Hz}\text{ and }880\,\mathrm{Hz}$ . Mesma altura e mesma intensidade e, ainda assim, ninguém os confunde: uma voz também é um espectro que você conhece de cor.

21.5 A corda que vibra

Definição 21.16 (Onda estacionária)

Uma onda confinada entre as extremidades fixas de uma corda pode se acomodar numa onda estacionária: uma oscilação no lugar, com pontos imóveis — os nós — alternando com pontos de oscilação máxima — os ventres. Nada mais viaja; a corda vibra num padrão fixo.

Proposição 21.17 (Modos de uma corda)

Uma corda de comprimento $L$ , fixa nas duas pontas e percorrida por ondas de velocidade $v$ , vibra de modo estável apenas em padrões que encaixam um número inteiro $n$ de meios comprimentos de onda entre os nós impostos nas extremidades:

\lambda_n = \frac{2L}{n}, \quad f_n = n\,\frac{v}{2L} = n f_1, \quad n = 1, 2, 3, \dots

O modo mais baixo, $f_1 = v/(2L)$ , é a fundamental; os outros são exatamente os harmônicos dela.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 21.18 (Onde mora a demonstração honesta)

Que as ondas confinadas escolhem exatamente esses modos decorre da superposição da onda com as suas reflexões, um cálculo feito no volume do primeiro ano de graduação. A geometria convence: as duas pontas têm de permanecer paradas, de modo que um número inteiro de meios comprimentos de onda precisa caber ali.

Os três primeiros modos de uma corda fixa nas duas pontas: n meios comprimentos de onda cabem em L, de modo que _n = 2L/n e f_n = nf_1. — Os três primeiros modos de uma corda fixa nas duas pontas: $n$ meios comprimentos de onda cabem em $L$ , de modo que $\lambda_n = 2L/n$ e $f_n = nf_1$ .

Exemplo 21.19 (A corda lá de um violino)

A corda lá de um violino tem $L = 32.8\,\mathrm{cm}$ e soa $f_1 = 440\,\mathrm{Hz}$ : as ondas correm por ela a $v = 2Lf_1 = 2 \times 0.328 \times 440 \approx 289\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — fixada pela tensão e pela massa, e afinada pela cravelha. Pressionar um dedo encurta $L$ e eleva todos os $f_n$ de uma vez: o espectro inteiro desliza para cima.

Observação 21.20 (Por que os instrumentos diferem)

O modo de excitar a corda — dedilhada, com arco, percutida — fixa quanto de cada modo está presente, e o corpo do instrumento amplifica uns harmônicos mais do que outros; excitação e corpo fixam o espectro, e por isso o mesmo $f_1$ sai de um violão, de um violino e de um piano soando como cada um deles.

21.6 Exercícios

Exercício 21.1 ★

No ar ( $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ), encontre o comprimento de onda (a) de uma nota grave de $55\,\mathrm{Hz}$ ; (b) de um bipe de $1.0\,\mathrm{kHz}$ ; (c) de um zumbido de $15\,\mathrm{kHz}$ . Compare o maior com o menor.

Solução

Solução de Exercício 21.1.

$\lambda = v/f$ : (a) $340/55 \approx 6.2\,\mathrm{m}$ ; (b) $0.34\,\mathrm{m}$ ; (c) $2.3\,\mathrm{cm}$ . Razão $15000/55 \approx 270$ .

Exercício 21.2 ★

Classifique como infrassom, som audível ou ultrassom: $8\,\mathrm{Hz}$ ; $100\,\mathrm{Hz}$ ; $15\,\mathrm{kHz}$ ; $40\,\mathrm{kHz}$ ; $3\,\mathrm{MHz}$ . Entre os audíveis, qual soa mais grave?

Solução

Solução de Exercício 21.2.

Infrassom: $8\,\mathrm{Hz}$ . Audíveis: $100\,\mathrm{Hz}$ e $15\,\mathrm{kHz}$ . Ultrassom: $40\,\mathrm{kHz}$ e $3\,\mathrm{MHz}$ . Mais grave: $100\,\mathrm{Hz}$ (frequência menor).

Exercício 21.3 ★

Um operário bate num trilho a $1.0\,\mathrm{km}$ de distância. Calcule os tempos de percurso no aço e no ar. O que escuta quem tem um ouvido encostado no trilho?

Solução

Solução de Exercício 21.3.

Aço: $1000/5000 = 0.20\,\mathrm{s}$ ; ar: $1000/340 \approx 2.9\,\mathrm{s}$ . Duas batidas, a $2.7\,\mathrm{s}$ uma da outra — a do trilho primeiro.

Exercício 21.4 ★

(a) Qual é o nível sonoro para $I = 1.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ? (b) Qual é a intensidade a $60\,\mathrm{dB}$ ? (c) Cite um som do dia a dia perto de cada nível.

Solução

Solução de Exercício 21.4.

(a) $L = 10\log_{10}10^{7} = 70\,\mathrm{dB}$ . (b) $I = 10^{-12} \times 10^{6} = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . (c) $70\,\mathrm{dB}$ : um aspirador de pó; $60\,\mathrm{dB}$ : uma conversa.

Exercício 21.5 ★

A corda sol de um violino soa $f_1 = 196\,\mathrm{Hz}$ : dê os três harmônicos seguintes. Por que um apito de $12\,\mathrm{kHz}$ , por mais rico que seja na fonte, chega ao ouvido como um som puro?

Solução

Solução de Exercício 21.5.

$392\,\mathrm{Hz}\text{, }588\,\mathrm{Hz}\text{ and }784\,\mathrm{Hz}$ . Os harmônicos mais altos dele ( $n \ge 2$ ) começam em $24\,\mathrm{kHz}$ , acima do teto audível: só a fundamental de $12\,\mathrm{kHz}$ é escutada.

Exercício 21.6 ★★

Uma sirene irradia $P = 0.50\,\mathrm{W}$ igualmente em todas as direções. Calcule a intensidade e o nível sonoro a $5.0\,\mathrm{m}$ .

Solução

Solução de Exercício 21.6.

$I = 0.50/(4\pi \times 25) \approx 1.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $L = 10\log_{10}(1.6 \times 10^{9}) \approx 92\,\mathrm{dB}$ .

Exercício 21.7 ★★

Um violino dá $68\,\mathrm{dB}$ na sua poltrona. Que nível dão dois? E quatro? Quantos violinos seriam necessários para chegar a $78\,\mathrm{dB}$ ?

Solução

Solução de Exercício 21.7.

Dois: $+3\,\mathrm{dB} \to 71\,\mathrm{dB}$ ; quatro: $74\,\mathrm{dB}$ . $+10\,\mathrm{dB}$ exige $\times 10$ na intensidade: $10$ violinos.

Exercício 21.8 ★★

O nível é de $95\,\mathrm{dB}$ a $2.0\,\mathrm{m}$ de um alto-falante pequeno. Preveja o nível a $8.0\,\mathrm{m}$ : fica abaixo da marca de $85\,\mathrm{dB}$ ?

Solução

Solução de Exercício 21.8.

$r \times 4$ : $I \div 16$ , ou seja, $-12\,\mathrm{dB}$ : $83\,\mathrm{dB}$ . Sim — logo abaixo da marca de $85\,\mathrm{dB}$ .

Exercício 21.9 ★★

Uma nota de $440\,\mathrm{Hz}$ passa do ar para a água. Calcule o comprimento de onda dela em cada meio. O mergulhador escuta a mesma altura: que grandeza é fixada pela fonte, e qual se ajusta?

Solução

Solução de Exercício 21.9.

Ar: $340/440 \approx 0.77\,\mathrm{m}$ ; água: $1500/440 \approx 3.4\,\mathrm{m}$ . A fonte fixa a frequência; o comprimento de onda $\lambda = v/f$ se ajusta ao meio.

Exercício 21.10 ★★

Um espectro mostra picos em $130\,\mathrm{Hz}\text{, }260\,\mathrm{Hz}\text{, }390\,\mathrm{Hz}\text{ and }520\,\mathrm{Hz}$ de alturas decrescentes: qual é a fundamental? Outro instrumento toca a mesma nota com a mesma intensidade: o que é igual no espectro dele e o que é diferente?

Solução

Solução de Exercício 21.10.

$f_1 = 130\,\mathrm{Hz}$ (o espaçamento dos picos). Igual: as posições das barras, $nf_1$ (mesma altura), e a intensidade total; diferente: as alturas das barras — a mistura que faz o timbre.

Exercício 21.11 ★★

Uma corda de violão de $65.0\,\mathrm{cm}$ soa $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$ . Encontre a velocidade da onda e depois os comprimentos vibrantes que dão a oitava ( $220\,\mathrm{Hz}$ ) e a quinta ( $165\,\mathrm{Hz}$ ).

Solução

Solução de Exercício 21.11.

$v = 2Lf_1 = 2 \times 0.650 \times 110 = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Oitava: $L' = v/(2 \times 220) = L/2 = 32.5\,\mathrm{cm}$ ; quinta: $L' = 143/330 \approx 43.3\,\mathrm{cm} = 2L/3$ .

Exercício 21.12 ★★★

Uma sonda médica envia ultrassom de $5.0\,\mathrm{MHz}$ para dentro de tecido mole ( $v = 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): qual é o comprimento de onda? Ecos voltam depois de $26\,\text{µ}\mathrm{s}$ e $58\,\text{µ}\mathrm{s}$ das duas paredes de um órgão: encontre as profundidades delas e a espessura do órgão.

Solução

Solução de Exercício 21.12.

$\lambda = 1540/5.0 \times 10^{6} \approx 0.31\,\mathrm{mm}$ . Profundidade $= vt/2$ : $1540 \times 26 \times 10^{-6}/2 \approx 2.0\,\mathrm{cm}$ e $1540 \times 58 \times 10^{-6}/2 \approx 4.5\,\mathrm{cm}$ ; espessura $\approx 2.5\,\mathrm{cm}$ .

Exercício 21.13 ★★★

Um palco ao ar livre produz $110\,\mathrm{dB}$ a $3.0\,\mathrm{m}$ . Tratando-o como fonte pequena, a que distância o nível cai para $85\,\mathrm{dB}$ ? Dê duas razões pelas quais a distância real difere.

Solução

Solução de Exercício 21.13.

$-25\,\mathrm{dB}$ significa $I \div 10^{2.5} \approx 316$ , logo $r \times \sqrt{316} \approx 17.8$ : $r \approx 3.0 \times 17.8 \approx 53\,\mathrm{m}$ . Salas reais diferem: as reflexões do chão e das paredes acrescentam intensidade, enquanto o ar e o público a absorvem (e o palco não é uma fonte pontual isotrópica).

Exercício 21.14 ★★★

Encontre a razão entre o limiar da dor ( $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ) e $I_0$ . Tomando o tímpano como $0.5\,\mathrm{cm}^{2}$ , calcule a potência recebida em cada limiar; comente o ouvido como detector.

Solução

Solução de Exercício 21.14.

$1/10^{-12} = 10^{12}$ . Tímpano de $S = 5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}$ : potência recebida de $5 \times 10^{-17}\,\mathrm{W}$ no limiar e de $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ na dor — o ouvido detecta dezenas de attowatts e continua funcionando com um trilhão de vezes mais: um detector com doze décadas de faixa dinâmica.

Exercício 21.15 ★★★

Cada alto-falante idêntico de um festival dá, sozinho, $80\,\mathrm{dB}$ na mesa de som. Que nível dão $2$ ? E $10$ ? E $100$ ? Quanto custa cada $10\,\mathrm{dB}$ adicional — e o que isso diz sobre disputas de volume?

Solução

Solução de Exercício 21.15.

$2$ : $83\,\mathrm{dB}$ ; $10$ : $90\,\mathrm{dB}$ ; $100$ : $100\,\mathrm{dB}$ . Cada $10\,\mathrm{dB}$ adicional custa dez vezes mais alto-falantes: as disputas de volume são exponencialmente caras (e perigosas muito antes de serem vencidas).

21.7 Problema: a oficina do luthier

Problema 21.1

Problema de fim de semana — a oficina do luthier: uma corda de violão marcada traste a traste, os harmônicos dela afinados num timbre, um recital mantido abaixo da linha de perigo e uma caça por ultrassom a um defeito na madeira

Um luthier está terminando um violão. A corda lá dele tem comprimento vibrante $L = 65.0\,\mathrm{cm}$ e precisa soar $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$ . Tome $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para o som no ar e admita $f_1 = v/(2L)$ (Proposição 21.17), com $v$ sendo a velocidade da onda na corda.

Parte I — Marcar o braço.

Calcule a velocidade $v$ da onda na corda.
Calcule o comprimento de onda da fundamental na corda e depois o comprimento de onda do som de $110\,\mathrm{Hz}$ no ar. Por que eles diferem, com a mesma frequência?
A oitava ( $220\,\mathrm{Hz}$ ): que comprimento vibrante a dá? Onde o décimo segundo traste precisa ficar, como fração de $L$ ?
A quinta ( $165\,\mathrm{Hz}$ ): que comprimento vibrante a dá?
Cada traste eleva a nota um semitom, um fator $2^{1/12}$ . Verifique com logaritmos quantos semitons separam $110\,\mathrm{Hz}$ de $220\,\mathrm{Hz}$ ; qual é o comprimento no primeiro traste?

Parte II — Harmônicos e timbre.

Liste os cinco primeiros harmônicos da corda lá solta.
O lá de um violinista soa $440\,\mathrm{Hz}$ . Que harmônico da corda do violão é esse, e que intervalo musical o separa da fundamental? E $330\,\mathrm{Hz}$ ?
O luthier dedilha perto do cavalete e depois sobre a escala: mesma altura, cor diferente. Explique com os espectros.
Um toque leve no ponto médio durante o dedilhado impõe um nó ali. Que harmônicos sobrevivem, e que altura se escuta?
Quantos harmônicos da corda solta caem, em princípio, dentro da faixa audível?

Parte III — O recital. No primeiro concerto do violão, cada instrumento irradia uma potência acústica $P = 6.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}$ como fonte pequena, igualmente em todas as direções.

Calcule a intensidade a $r = 3.0\,\mathrm{m}$ de um instrumento.
Deduza o nível sonoro ali.
Um quarteto toca: que nível quatro instrumentos desses dão no mesmo ponto? Por que não é quatro vezes o nível?
Doze instrumentos tocam: qual é o nível a $3.0\,\mathrm{m}$ ?
A que distância um ouvinte precisa se sentar para que o conjunto caia a $85\,\mathrm{dB}$ ?
Regra de segurança: $85\,\mathrm{dB}$ é seguro por oito horas, e cada $3\,\mathrm{dB}$ reduz o tempo seguro à metade. Quanto tempo o ouvinte da primeira fila da questão 14 pode ficar em segurança?

Parte IV — O defeito na madeira. Antes de envernizar, o luthier examina um bloco de braço de $45\,\mathrm{mm}$ de espessura com um aparelho de $2.0\,\mathrm{MHz}$ ; nessa madeira, tome $v = 5.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Calcule o comprimento de onda do ultrassom na madeira. Por que uma onda que caça defeitos precisa ser ultrassônica em vez de audível?
Calcule o atraso do eco vindo da face de trás do bloco.
Um eco chega depois de $7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ : a que profundidade está o defeito?
Escreva a ficha da oficina: velocidade da onda na corda, comprimentos no décimo segundo e no primeiro traste, distância segura de escuta e profundidade do defeito.

Solução

Solução de Problema 21.1.

1. $v = 2Lf_1 = 2 \times 0.650 \times 110 = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

2. Na corda, $\lambda_1 = 2L = 1.30\,\mathrm{m}$ ; no ar, $\lambda = 340/110 \approx 3.1\,\mathrm{m}$ . Mesmo $f$ , mas $\lambda = v/f$ e as velocidades das ondas são diferentes.

3. $L' = v/(2 \times 220) = L/2 = 32.5\,\mathrm{cm}$ : o décimo segundo traste fica no ponto médio, a $L/2$ do cavalete.

4. $L' = 143/(2 \times 165) \approx 43.3\,\mathrm{cm} = 2L/3$ .

5. $\log(220/110)/\log 2^{1/12} = 12$ semitons — doze trastes até a oitava. Primeiro traste: $L_1 = L/2^{1/12} = 65.0/1.059 \approx 61.4\,\mathrm{cm}$ .

6. $110\,\mathrm{Hz}\text{, }220\,\mathrm{Hz}\text{, }330\,\mathrm{Hz}\text{, }440\,\mathrm{Hz}\text{ and }550\,\mathrm{Hz}$ .

7. $440\,\mathrm{Hz} = 4f_1$ : o quarto harmônico, duas oitavas acima. $330\,\mathrm{Hz} = 3f_1$ : o terceiro harmônico, uma oitava mais uma quinta.

8. A posição do dedilhado fixa a mistura de modos: perto do cavalete os harmônicos agudos ficam fortes (espectro brilhante), e sobre a escala a fundamental domina (som mais macio). Mesmo $f_1$ , logo mesma altura — espectro diferente, timbre diferente.

9. Só sobrevivem os harmônicos que têm um nó no ponto médio: os pares, $220\,\mathrm{Hz}\text{, }440\,\mathrm{Hz}\text{ and }660\,\mathrm{Hz}$ , …A altura salta uma oitava, para $220\,\mathrm{Hz}$ .

10. $nf_1 \le 20\,\mathrm{kHz}$ : $n \le 20000/110 = 181.8$ , logo $181$ harmônicos.

11. $I = P/(4\pi r^2) = 6.0 \times 10^{-3}/(4\pi \times 9.0) \approx 5.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .

12. $L = 10\log_{10}(5.3 \times 10^{7}) \approx 77\,\mathrm{dB}$ .

13. $I \times 4$ : $+6\,\mathrm{dB} \to 83\,\mathrm{dB}$ . Os níveis são logaritmos: as intensidades se somam, os níveis não.

14. $+10\log_{10}12 \approx +10.8\,\mathrm{dB} \to 88\,\mathrm{dB}$ .

15. Alvo $I = I_0 \times 10^{8.5} \approx 3.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ com $12P = 7.2 \times 10^{-2}\,\mathrm{W}$ : $r = \sqrt{12P/(4\pi I)} \approx \sqrt{18.1} \approx 4.3\,\mathrm{m}$ .

16. $88\,\mathrm{dB}$ são $+3\,\mathrm{dB}$ acima do limite de oito horas: o tempo seguro cai à metade uma vez — quatro horas. O recital cabe.

17. $\lambda = 5000/2.0 \times 10^{6} = 2.5\,\mathrm{mm}$ . Uma onda só reflete em defeitos com pelo menos, mais ou menos, um comprimento de onda de tamanho: o som audível na madeira tem $\lambda$ de dezenas de centímetros e contorna por difração qualquer defeito pequeno.

18. $t = 2d/v = 2 \times 0.045/5000 = 18\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

19. $d = vt/2 = 5000 \times 7.2 \times 10^{-6}/2 = 18\,\mathrm{mm}$ .

20. A ficha: $v = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ na corda; trastes em $32.5\,\mathrm{cm}$ (décimo segundo) e $61.4\,\mathrm{cm}$ (primeiro); conjunto seguro além de $\approx 4.3\,\mathrm{m}$ ; defeito a $18\,\mathrm{mm}$ de profundidade — quatro números, um capítulo.