Física do ensino médio · Grades 10–12

29Trabalho e energia mecânica

Deixe uma bolinha de gude cair numa saladeira: ela mergulha, passa do fundo, sobe até a altura de partida, hesita e volta — e cada inversão pode ser prevista a partir de uma curva (o perfil da tigela) e de uma reta horizontal (a energia da bolinha), sem resolver nenhuma equação do movimento. O ano passado precificou forças em linhas retas (Capítulo 17) e equilibrou energia cinética contra energia potencial (Capítulo 18); este ano a contabilidade vai a todos os lugares: caminhos curvos, molas, paisagens lidas de relance.

29.1 Trabalho ao longo de um caminho qualquer

Definição 29.1 (Trabalho ao longo de um caminho)

Seja uma força $\vect F$ agindo sobre um corpo que se move por um caminho qualquer de $A$ até $B$ : corte o caminho em deslocamentos $\vect{\dd\ell}$ tão curtos que cada um seja reto e $\vect F$ mal mude ao longo dele. Cada passo rende o pequeno trabalho $\scal{F}{\dd\ell} = F\,\dd\ell\cos\theta$ (Capítulo 17), e o trabalho ao longo do caminho é a soma deles, $W_{AB}(\vect F) = \sum \scal{F}{\dd\ell}$ — que, num caminho reto com força constante, se reduz ao $F \times AB \times \cos\theta$ do ano passado.

Um caminho curvo é uma linha quebrada de muitos passos curtos: cada rende F\,; o trabalho é a soma. — Um caminho curvo é uma linha quebrada de muitos passos curtos: cada $\vect{\dd\ell}$ rende $F\,\dd\ell\cos\theta$ ; o trabalho é a soma.

Proposição 29.2 (Trabalho do peso, por qualquer caminho)

Ao longo de qualquer caminho de $A$ (altitude $z_A$ ) até $B$ (altitude $z_B$ ), o peso de uma massa $m$ realiza o trabalho $W_{AB}(\vect P) = mg\,(z_A - z_B)$ : entra o desnível, nunca a rota.

Demonstração. Cada passo curto contribui com $mg \times (\text{pequeno desnível})$ (o cálculo em segmentos retos do ano passado); os desníveis se telescopam em $z_A - z_B$ . O caso curvo, admitido então, está entregue. ∎

Definição 29.3 (Forças conservativas e não conservativas)

Uma força é conservativa se o trabalho dela entre dois pontos é o mesmo por qualquer caminho (nulo em toda ida e volta), e não conservativa em caso contrário. O peso e a força de uma mola (próxima seção): conservativas. O atrito de deslizamento não é: oposto ao movimento, ele realiza $W = -fL$ num caminho de comprimento $L$ — um pedágio por metro, jamais reembolsado.

Exemplo 29.4 (Duas trilhas até o refúgio)

Uma caminhante de $75\,\mathrm{kg}$ ganha $300\,\mathrm{m}$ por uma trilha íngreme de $800\,\mathrm{m}$ ou por $2.4\,\mathrm{km}$ de curvas em ziguezague. O peso cobra $-75 \times 9.81 \times 300 \approx -2.2 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ nas duas; uma força de atrito de $30\,\mathrm{N}$ , $-2.4 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ numa e $-7.2 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ na outra. O peso devolve na descida; a conta do atrito virou calor, nos dois sentidos.

29.2 Energia potencial

Definição 29.5 (Energia potencial)

A cada força conservativa se associa uma energia potencial $E_p$ , um número que depende apenas da posição, definido por $W_{AB} = E_p(A) - E_p(B)$ : trabalho entregue é energia potencial gasta. Fixar $E_p = 0$ num ponto de referência escolhido a fixa em todo lugar; a escolha desloca todos os valores por uma constante que se cancela em toda diferença. Para o peso, isso devolve o $E_p = mgz$ do ano passado, agora válido por qualquer caminho. O atrito não pode ter $E_p$ algum: uma conta que depende da rota não é diferença de números dos extremos — só as forças conservativas armazenam de modo recuperável, exatamente o que o nome conserva.

Proposição 29.6 (Energia potencial elástica)

Uma mola de constante elástica $k$ ( $\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ) esticada ou comprimida de $x$ puxa de volta com a força $F = kx$ (Capítulo 28); o trabalho que ela entrega ao voltar ao repouso — a energia potencial elástica dela — é $E_p = \tfrac12\, k x^2$ .

Demonstração. A força restauradora age ao longo do movimento, de modo que $\sum F\,\dd\ell$ é a área sob o gráfico $F$ – $x$ : um triângulo de base $x$ e altura $kx$ , de área $\tfrac12 x \times kx$ . A força em cada alongamento é a mesma na ida e na volta: trabalho fixado pelos extremos, força da mola conservativa, $E_p$ bem definida. ∎

A força da mola cresce com o alongamento; a energia armazenada é a área sob a reta: um triângulo, 1/2 × x × kx. — A força da mola cresce com o alongamento; a energia armazenada é a área sob a reta: um triângulo, $\tfrac12 \times x \times kx$ .

29.3 Os dois teoremas da energia

Teorema 29.7 (Teorema da energia cinética)

Para qualquer movimento de um corpo de massa $m$ de $A$ até $B$ — curvo, em laço, em três dimensões —

\Delta E_k = E_k(B) - E_k(A) = \sum W_{AB}(\vect F),

com a soma percorrendo todas as forças que agem sobre o corpo.

Demonstração. Como $v^2 = \scal{v}{v}$ , a regra do produto da matemática deste ano dá a derivada de $v^2$ como $2\,\scal{a}{v}$ , de modo que $\dd E_k/\dd t = m\,\scal{a}{v} = \scal{F_{\text{tot}}}{v}$ pela segunda lei de Newton (Capítulo 25). Num $\dd t$ curto o corpo se desloca $\vect{\dd\ell} = \vect v\,\dd t$ : $E_k$ ganha o pequeno trabalho da Definição 29.1; somar os passos soma os trabalhos — o enunciado admitido no ano passado, agora conquistado por inteiro. ∎

Proposição 29.8 (Potência instantânea)

A cada instante uma força $\vect F$ sobre um corpo de velocidade $\vect v$ entrega a potência $P = \scal{F}{v} = Fv\cos\theta$ , e $\dd E_k/\dd t$ é a soma das potências de todas as forças: a fórmula de velocidade constante do ano passado, exata a cada instante de qualquer movimento.

Demonstração. Leia na demonstração anterior: cada força injeta $\scal{F}{\dd\ell} = \scal{F}{v}\,\dd t$ em $E_k$ durante $\dd t$ . ∎

Teorema 29.9 (Teorema da energia mecânica)

Seja $E_m = E_k + E_p$ , onde $E_p$ reúne as energias potenciais de todas as forças conservativas em ação. Então, por qualquer caminho,

\Delta E_m = W_{AB}(\text{forças não conservativas}),

e $E_m$ se conserva sempre que as forças não conservativas não realizam trabalho.

Demonstração. Divida o teorema da energia cinética: $\Delta E_k = W_{\text{cons}} + W_{\text{nc}} = -\Delta E_p + W_{\text{nc}}$ ; passe $\Delta E_p$ para o outro lado. ∎

Exemplo 29.10 (O pêndulo, desta vez com honestidade)

Um corpo de pêndulo num fio de comprimento $L = 2.5\,\mathrm{m}$ é solto em repouso a $45{}^{\circ}$ da vertical. A tensão, perpendicular ao movimento, não tem potência; o peso é conservativo: $E_m$ se conserva sobre o arco curvo, o que no ano passado só podia ser conferido. O corpo parte $h = L(1 - \cos45{}^{\circ}) = 0.73\,\mathrm{m}$ acima, de modo que embaixo $v = \sqrt{2gh} \approx 3.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Método 29.11 (Auditoria energética de um movimento qualquer)

Escolha o sistema e liste as forças sobre ele.
Classifique: perpendicular ao movimento $\to$ trabalho nulo; conservativa $\to$ uma $E_p$ dentro de $E_m$ ; o resto $\to$ $W_{\text{nc}}$ (atrito de deslizamento: $-fL$ , com $L$ o comprimento do caminho).
Escreva $\Delta E_m = W_{\text{nc}}$ entre o ponto dos dados e o ponto da pergunta; resolva. A energia responde “com que velocidade, a que altura”; só o tempo e a aceleração precisam das leis de Newton.

29.4 Diagramas de energia

Definição 29.12 (Diagrama de energia, pontos de retorno)

Para um movimento ao longo de um eixo $x$ com $E_m$ conservada, o diagrama de energia traça a curva $E_p(x)$ e a reta horizontal $E_m$ . Como $E_k = E_m - E_p \geq 0$ , o movimento fica confinado ao trecho em que a curva está abaixo da reta; a distância entre as duas é $E_k$ , lida diretamente. Num ponto de retorno, onde a curva encontra a reta, $v = 0$ e o movimento se inverte.

Um diagrama de energia, lido sem resolver nada: com a energia E_m o corpo oscila entre x_1 e x_2, mais rápido onde a distância é maior; com E_m' ele passa por cima da colina e escapa. — Um diagrama de energia, lido sem resolver nada: com a energia $E_m$ o corpo oscila entre $x_1$ e $x_2$ , mais rápido onde a distância é maior; com $E_m'$ ele passa por cima da colina e escapa.

Proposição 29.13 (Força a partir da paisagem; equilíbrios)

A força conservativa ao longo de $x$ é menos a inclinação de $E_p$ : $F = -\,\dd E_p/\dd x$ — ela aponta ladeira abaixo no diagrama e se anula onde a tangente é horizontal: um equilíbrio. Um mínimo de $E_p$ é estável — o corpo afastado é empurrado de volta, uma bola num vale; um máximo é instável — ele é empurrado para longe, uma bola no alto de uma colina.

Demonstração. Num passo pequeno $\dd x$ a força realiza $F\,\dd x = E_p(x) - E_p(x + \dd x) = -\dd E_p$ ; divida por $\dd x$ . A descida dos dois lados de um vale aponta para dentro; em torno do alto de uma colina, para fora. ∎

Observação 29.14 (Oscilações e escape)

As pequenas oscilações do Capítulo 28 vivem no fundo dos vales de $E_p$ . E, longe da Terra, a gravidade enfraquece: a curva $E_p(r)$ sobe cada vez mais devagar em direção a um teto finito (a área sob o gráfico da força que encolhe é finita). Um foguete cujo $E_m$ alcance o teto nunca encontra um ponto de retorno: ele escapa — cerca de $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ a partir do solo (Exercício 29.13); abaixo disso ele fica preso. O próprio teto é calculado no volume do primeiro ano de graduação.

Exemplo 29.15 (O looping)

Uma bolinha solta da altura $H$ chega embalada a um looping vertical de raio $R$ . A dinâmica circular (Capítulo 25) exige $v_{\text{alto}}^2 \geq gR$ no alto — o dado emprestado pelo problema da montanha-russa do ano passado, agora nosso. A conservação do repouso em $H$ até o alto (altura $2R$ ) dá $v_{\text{alto}}^2 = 2g(H - 2R)$ , logo $H \geq \tfrac52 R$ : meio raio acima do topo do looping, seja qual for a massa — um pouco mais no mundo real, que raspa.

O looping: a soltura fica meio raio acima do topo, de modo que a E_k que sobra mantém a bolinha pressionada contra o trilho (v_ alto2 = gR). — O looping: a soltura fica meio raio acima do topo, de modo que a $E_k$ que sobra mantém a bolinha pressionada contra o trilho ( $v_{\text{alto}}^2 = gR$ ).

29.5 Exercícios

Exercício 29.1 ★

Uma mola de constante elástica $k = 200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ é esticada de $5.0\,\mathrm{cm}$ . Calcule a energia armazenada; no que ela se transforma se o alongamento dobrar? Quanto custam os segundos $5.0\,\mathrm{cm}$ ?

Solução

Solução de Exercício 29.1.

$E_p = \tfrac12 \times 200 \times 0.050^2 = 0.25\,\mathrm{J}$ . Com o alongamento dobrado: $\times 4$ , ou seja, $1.0\,\mathrm{J}$ . Os segundos $5.0\,\mathrm{cm}$ sozinhos custam $1.0 - 0.25 = 0.75\,\mathrm{J}$ — a força ali é maior.

Exercício 29.2 ★

Um drone de $0.90\,\mathrm{kg}$ voa por uma rota sinuosa de um terraço a $z = 12\,\mathrm{m}$ até uma sacada a $z = 30\,\mathrm{m}$ . Qual é o trabalho do peso dele? E pela subida em linha reta? E na ida e volta?

Solução

Solução de Exercício 29.2.

$W = mg(z_A - z_B) = 0.90 \times 9.81 \times (12 - 30) \approx -1.6 \times 10^{2}\,\mathrm{J}$ , seja qual for a rota — o mesmo pela subida reta. Na ida e volta: $0\,\mathrm{J}$ (força conservativa).

Exercício 29.3 ★

Conservativa, não conservativa ou sem trabalho? Justifique a partir dos caminhos: (a) o peso; (b) a força de uma mola; (c) o atrito de deslizamento; (d) a força normal sobre uma caixa que desliza; (e) o arrasto do ar.

Solução

Solução de Exercício 29.3.

(a), (b) conservativas: trabalho fixado pelos extremos (desnível de altitude; alongamento). (c), (e) não conservativas: $-fL$ e o arrasto cobram por metro percorrido. (d) sem trabalho: sempre perpendicular ao movimento.

Exercício 29.4 ★

Um pêndulo de comprimento $2.0\,\mathrm{m}$ é solto em repouso a $60{}^{\circ}$ da vertical. Encontre a velocidade dele no ponto mais baixo. Por que a tensão do fio nunca entra no balanço?

Solução

Solução de Exercício 29.4.

$h = L(1 - \cos60{}^{\circ}) = 1.0\,\mathrm{m}$ ; $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 1.0} \approx 4.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . A tensão é perpendicular ao movimento a cada instante: potência nula, trabalho nulo.

Exercício 29.5 ★

Uma ciclista anda a $9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ no plano, entregando $250\,\mathrm{W}$ : que força resistiva total ela combate? Subindo a $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ com a mesma potência: que força ela vence?

Solução

Solução de Exercício 29.5.

$F = P/v = 250/9.0 \approx 28\,\mathrm{N}$ . A $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $F = 250/5.0 = 50\,\mathrm{N}$ (na maior parte, a componente do peso ao longo da subida).

Exercício 29.6 ★★

A mola de um lançador de brinquedo ( $k = 450\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ) é comprimida de $8.0\,\mathrm{cm}$ atrás de um dardo de $20\,\mathrm{g}$ . Encontre a energia armazenada, a velocidade de lançamento e a altura atingida se ele for disparado verticalmente para cima (sem ar).

Solução

Solução de Exercício 29.6.

$E_p = \tfrac12 \times 450 \times 0.080^2 = 1.44\,\mathrm{J}$ ; $v = \sqrt{2 \times 1.44/0.020} = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $h = E_p/mg = 1.44/(0.020 \times 9.81) \approx 7.3\,\mathrm{m}$ .

Exercício 29.7 ★★

Esticando um elástico, um estudante mede $F = 0$ , $3.0$ , $7.0$ , $12.0$ , $18.0\,\mathrm{N}$ em $x = 0$ , $2.0$ , $4.0$ , $6.0$ , $8.0\,\mathrm{cm}$ . Estime a energia armazenada por áreas de trapézios; compare com $\tfrac12 kx^2$ , tomando $k = F/x$ no fim. Por que elas diferem?

Solução

Solução de Exercício 29.7.

Trapézios (passos de $2.0\,\mathrm{cm}$ ): $(0.03 + 0.10 + 0.19 + 0.30) = 0.62\,\mathrm{J}$ . Modelo de reta: $k = 18.0/0.080 = 225\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ , $\tfrac12 kx^2 = 0.72\,\mathrm{J}$ . A curva medida afunda abaixo da reta para $x$ pequeno, de modo que a área verdadeira é menor.

Exercício 29.8 ★★

Um trenó com condutor de $55\,\mathrm{kg}$ parte do repouso, desce $8.0\,\mathrm{m}$ ao longo de uma pista curva de $25\,\mathrm{m}$ e chega a $9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Quanta energia mecânica se perdeu? Qual é a força de atrito média? Por que a forma exata da pista é irrelevante?

Solução

Solução de Exercício 29.8.

$\Delta E_m = \tfrac12 \times 55 \times 9.0^2 - 55 \times 9.81 \times 8.0 = 2228 - 4316 \approx -2.1 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$ ; $f = 2089/25 \approx 84\,\mathrm{N}$ . O peso é conservativo e a força normal não trabalha: entram apenas o desnível e o comprimento do caminho, e não a forma dele.

Exercício 29.9 ★★

Uma pista de bolinhas tem um looping de raio $20\,\mathrm{cm}$ . Encontre a altura mínima de soltura (do repouso, sem atrito). Solta de $60\,\mathrm{cm}$ : qual é a velocidade no topo do looping e a razão $v_{\text{alto}}^2/(gR)$ ? Por que uma pista real precisa de um lançamento ainda mais alto?

Solução

Solução de Exercício 29.9.

$H_{\min} = \tfrac52 R = 0.50\,\mathrm{m}$ . De $60\,\mathrm{cm}$ : $v_{\text{alto}} = \sqrt{2 \times 9.81 \times (0.60 - 0.40)} \approx 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , e $v_{\text{alto}}^2/(gR) = 2.0$ — o dobro do mínimo. O atrito raspa energia o tempo todo, e por isso as pistas reais precisam de altura extra.

Exercício 29.10 ★★

Uma conta de $100\,\mathrm{g}$ desliza sem atrito ao longo de um eixo, com $E_p(x) = 8.0\,x^2$ (em joules, com $x$ em metros) e $E_m = 2.0\,\mathrm{J}$ . Quais são os pontos de retorno? E a velocidade máxima? Que tipo de movimento é esse?

Solução

Solução de Exercício 29.10.

Pontos de retorno: $8.0\,x^2 = 2.0$ , $x = \pm0.50\,\mathrm{m}$ . Velocidade máxima em $x = 0$ : $v = \sqrt{2 \times 2.0/0.100} \approx 6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Uma oscilação de vaivém num poço parabólico — a $E_p$ do oscilador massa–mola tem exatamente essa forma.

Exercício 29.11 ★★

Um carro de $1200\,\mathrm{kg}$ a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ é parado por uma mola de para-choque de constante elástica $k = 6.0 \times 10^{5}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . Encontre a compressão máxima. A $4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : por que ela não é quatro vezes maior, se a energia quadruplica?

Solução

Solução de Exercício 29.11.

$\tfrac12 kx^2 = \tfrac12 mv^2$ : $x = v\sqrt{m/k} = 2.0\sqrt{1200/6.0 \times 10^{5}} \approx 8.9\,\mathrm{cm}$ . A $4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $18\,\mathrm{cm}$ — o dobro, e não o quádruplo: a energia quadruplica, mas $E_p$ cresce como $x^2$ , de modo que $x$ apenas dobra.

Exercício 29.12 ★★★

Um carrinho de $0.50\,\mathrm{kg}$ rola numa pista cuja $E_p(x)$ tem um alto de colina de $6.0\,\mathrm{J}$ ( $x = 0$ ) e um vale de $2.0\,\mathrm{J}$ ( $x = 1.5\,\mathrm{m}$ ). (a) Chegando pela esquerda com $E_m = 5.0\,\mathrm{J}$ : ele passa? O que acontece em vez disso? (b) Com $E_m = 7.0\,\mathrm{J}$ : quais são as velocidades no alto e no vale? (c) Quais são os equilíbrios?

Solução

Solução de Exercício 29.12.

(a) $E_m = 5.0\,\mathrm{J} < 6.0\,\mathrm{J}$ : ele não consegue passar; para na encosta onde $E_p = 5.0\,\mathrm{J}$ e volta rolando. (b) No alto: $E_k = 1.0\,\mathrm{J}$ , $v = \sqrt{2 \times 1.0/0.50} = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; no vale: $E_k = 5.0\,\mathrm{J}$ , $v \approx 4.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) $x = 0$ : instável (máximo); $x = 1.5\,\mathrm{m}$ : estável (mínimo).

Exercício 29.13 ★★★

Admitindo que arrastar uma massa $m$ do solo até arbitrariamente longe custa $mgR_E$ , com $R_E = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ (a área finita sob o gráfico da gravidade que enfraquece), calcule a velocidade de escape da Terra. Por que ela é a mesma para uma sonda e para um seixo? E um lançamento logo abaixo dela?

Solução

Solução de Exercício 29.13.

$\tfrac12 mv^2 = mgR_E$ : $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 6.37 \times 10^{6}} \approx 1.12 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Todo termo é proporcional a $m$ : sonda e seixo por igual. Logo abaixo dela, o lançamento ainda sobe enormemente longe, encontra um ponto de retorno e cai de volta: preso.

Exercício 29.14 ★★★

Um carrinho de $250\,\mathrm{g}$ oscila numa mola ( $k = 40\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ) com amplitude de $6.0\,\mathrm{cm}$ (Capítulo 28). Qual é a energia total? E a velocidade máxima? E as posições em que $E_k = E_p$ ?

Solução

Solução de Exercício 29.14.

$E_m = \tfrac12 kA^2 = \tfrac12 \times 40 \times 0.060^2 = 7.2 \times 10^{-2}\,\mathrm{J}$ ; $v_{\max} = \sqrt{2E_m/m} = \sqrt{2 \times 0.072/0.250} \approx 0.76\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $E_k = E_p$ onde $\tfrac12 kx^2 = E_m/2$ : $x = \pm A/\sqrt 2 \approx \pm4.2\,\mathrm{cm}$ .

Exercício 29.15 ★★★

Um saltador com vara corre a $9.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Estime a altura que o centro de massa dele ganha se a vara converter toda a energia cinética, e a altura do sarrafo transposto (com o centro de massa partindo de $1.0\,\mathrm{m}$ ). O recorde é de cerca de $6.3\,\mathrm{m}$ : o que a estimativa captura e o que ela deixa de fora?

Solução

Solução de Exercício 29.15.

$h = v^2/2g = 9.5^2/19.62 \approx 4.6\,\mathrm{m}$ ; sarrafo $\approx 4.6 + 1.0 = 5.6\,\mathrm{m}$ . O recorde é mais alto: os saltadores acrescentam trabalho com braços e pernas sobre a vara que verga. Mas a estimativa energética fixa a escala — nenhum salto de velocista chegará a $10\,\mathrm{m}$ .

29.6 Problema: o salto de esqui

Problema 29.1

Problema de fim de semana — o salto de esqui: uma rampa de impulso auditada por um radar, um voo em queda livre, a geometria gentil de uma aterrissagem íngreme e a torre que um projetista precisa comprar quando o atrito manda a conta

Um saltador de esqui olímpico ( $m = 70\,\mathrm{kg}$ , esquis incluídos) parte do repouso de um portão $H = 45\,\mathrm{m}$ acima da mesa de saída, desliza $L = 90\,\mathrm{m}$ de rampa de impulso curva e deixa a mesa horizontalmente; ali um radar marca $v_0 = 26\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . O ponto de aterrissagem fica $h = 40\,\mathrm{m}$ mais baixo, numa encosta de $35{}^{\circ}$ . As Partes II e III desprezam a resistência do ar.

Parte I — A rampa de impulso.

Preveja a velocidade de saída sem atrito; por que a curvatura da rampa é irrelevante?
Com a referência na mesa: calcule $E_m$ no portão e na saída.
Calcule $\Delta E_m$ ; que teorema nomeia os culpados, e quem são eles?
Deduza a força resistiva média (neve mais ar) ao longo da descida.
Que fração de $E_m$ se perde? Por que encerar os esquis e se agachar?

Parte II — O voo.

Só o peso age durante o voo: que movimento do Capítulo 26 é esse? Quais são as componentes da velocidade na aterrissagem?
Calcule a velocidade de aterrissagem duas vezes: pelas componentes e pela conservação de $E_m$ . E em $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?
Calcule o tempo de voo e a distância horizontal percorrida.
Saltadores reais cavalgam o ar como uma asa e voam muito mais longe: o ar pode aumentar a velocidade de aterrissagem? Argumente com o teorema da energia mecânica.

Parte III — A aterrissagem.

Calcule o ângulo da velocidade de aterrissagem abaixo da horizontal.
Decomponha-a em componentes paralela e perpendicular à encosta.
As pernas absorvem apenas a parte perpendicular: calcule essa energia cinética; compare-a com a total.
Um terreno plano absorveria tudo: a que queda vertical equivale cada aterrissagem ( $h_{\text{eq}} = v_\perp^2/2g$ e, respectivamente, $v^2/2g$ )?
Em uma frase: por que as rampas de aterrissagem são íngremes e curvas?

Parte IV — A torre do projetista. Uma rampa menor precisa de saída a apenas $v_0' = 24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; a rampa de impulso reta dela desce a $35{}^{\circ}$ , de modo que uma altura de portão $H'$ significa um comprimento de pista $H'/\sin35{}^{\circ}$ ; mesmo arrasto de $80\,\mathrm{N}$ .

Calcule a altura do portão que um projetista sem atrito construiria.
Escreva o teorema da energia mecânica, do portão até a mesa, para $H'$ .
Resolva para $H'$ .
Em que porcentagem o atrito ergueu a torre?
A massa não se cancela mais: recalcule $H'$ para uma saltadora de $60\,\mathrm{kg}$ . Quem precisa da torre mais alta, e por quê?
O arremate: a torre anunciada e a fatia dela que cabe ao atrito.

Solução

Solução de Problema 29.1.

1. $v = \sqrt{2gH} = \sqrt{2 \times 9.81 \times 45} \approx 29.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : peso conservativo, força normal sem trabalho — o perfil sai da conta.

2. Portão: $E_m = mgH = 70 \times 9.81 \times 45 \approx 3.09 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ . Saída: $E_m = \tfrac12 \times 70 \times 26^2 \approx 2.37 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ .

3. $\Delta E_m \approx -7.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$ ; o teorema da energia mecânica cobra isso das forças não conservativas: o atrito da neve e o arrasto do ar.

4. $f = 7.2 \times 10^{3}/90 \approx 80\,\mathrm{N}$ .

5. $7.2 \times 10^{3}/3.09 \times 10^{4} \approx 23\%$ . A cera abaixa $f$ e o agachamento abaixa o arrasto: os dois encolhem $fL$ , o único termo negociável.

6. Queda livre com velocidade inicial horizontal — um lançamento de projétil. $v_x = 26\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_y = \sqrt{2 \times 9.81 \times 40} \approx 28.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

7. $v = \sqrt{26^2 + 28.0^2} = \sqrt{1461} \approx 38.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; pela energia: $v = \sqrt{v_0^2 + 2gh} = \sqrt{676 + 785}$ — idêntico. Cerca de $138\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

8. $t = v_y/g = 28.0/9.81 \approx 2.9\,\mathrm{s}$ ; $d = v_0 t \approx 74\,\mathrm{m}$ .

9. Não. A sustentação é perpendicular à velocidade (não trabalha) e o arrasto se opõe a ela (trabalho negativo): $\Delta E_m \leq 0$ , de modo que a velocidade real de aterrissagem só pode ser menor — o ar estica o voo, ele não o alimenta.

10. $\alpha = \arctan(28.0/26) \approx 47{}^{\circ}$ abaixo da horizontal.

11. Ângulo com a encosta: $47 - 35 = 12{}^{\circ}$ . $v_\parallel = 38.2\cos12{}^{\circ} \approx 37.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_\perp = 38.2\sin12{}^{\circ} \approx 7.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

12. Absorvida: $\tfrac12 \times 70 \times 7.9^2 \approx 2.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$ , contra $\tfrac12 \times 70 \times 38.2^2 \approx 5.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ no total: cerca de $4\%$ .

13. $h_{\text{eq}} = 7.9^2/19.62 \approx 3.2\,\mathrm{m}$ — um salto ousado de um muro. No plano: $38.2^2/19.62 \approx 74\,\mathrm{m}$ — insobrevivível.

14. Uma encosta paralela à trajetória do voo mantém $v_\perp$ pequena, de modo que as pernas absorvem metros, e não a montanha inteira de energia cinética.

15. $H'_0 = v_0'^2/2g = 576/19.62 \approx 29.4\,\mathrm{m}$ .

16. $mgH' - f\,\dfrac{H'}{\sin35{}^{\circ}} = \tfrac12 m v_0'^2$ .

17. $H' = \dfrac{\tfrac12 \times 70 \times 576} {686.7 - 80/0.574} = \dfrac{20\,160}{547} \approx 37\,\mathrm{m}$ .

18. $36.8/29.4 \approx 1.25$ : uma sobretaxa de $25\%$ .

19. Para $60\,\mathrm{kg}$ : $H' = 17\,280/(588.6 - 139.5) \approx 38.5\,\mathrm{m}$ . A saltadora mais leve precisa da torre mais alta: a conta do atrito $fL$ é a mesma, mas o orçamento de energia $mgH'$ dela é menor.

20. Anuncie uma torre de $37\,\mathrm{m}$ para $24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ de saída — e confesse que um quarto dela, uns $7\,\mathrm{m}$ de concreto, é a sobretaxa que o atrito cobra do sonho sem atrito.