Physics · Livro 2 · Grades 10–12

Física do ensino médio

Física do ensino médio · Grades 10–12

10Lentes, imagens e o olho

Toda imagem nítida — no sensor de um celular, numa tela de cinema ou no fundo do seu próprio olho — vem do mesmo truque: um meio transparente curvo desvia os raios por refração (Capítulo 3) de modo que todos os raios que saem de um ponto voltem a se encontrar em outro. Este capítulo domina o truque: uma lente, três raios, uma fórmula — e depois o aponta para câmeras, óculos e a lente viva que lê esta frase.

10.1 Lentes convergentes e divergentes

Definição 10.1 (Lente delgada)

Uma lente é um meio transparente limitado por duas superfícies, pelo menos uma delas curva. Mais grossa no centro do que na borda, ela é convergente: raios paralelos são desviados uns em direção aos outros; mais grossa na borda, é divergente: eles se afastam. Uma lente delgada tem espessura desprezível: nós a desenhamos como um segmento com pontas de flecha para fora (convergente) ou para dentro (divergente). O seu centro OO é o centro óptico; a reta perpendicular que passa por OO é o eixo principal.

Definição 10.2 (Focos e distância focal)

Os raios que chegam paralelos ao eixo de uma lente convergente cruzam todos o eixo num único ponto atrás dela, o foco imagem F′F'; simetricamente, os raios que saem do foco objeto FF (à frente, com OF=OF′OF = OF') emergem paralelos ao eixo. A distância focal f′=OF′‾f' = \overline{OF'} é positiva para uma lente convergente; numa lente divergente, os raios paralelos emergem como se viessem de um ponto F′F' situado à frente da lente: f′<0f' < 0.

Definição 10.3 (Vergência)

A vergência de uma lente de distância focal f′f' (em metros) é C=1/f′C = 1/f', medida em dioptrias (símbolo D): 1 D=1 m−11~\text{D} = 1\,\mathrm{m}^{-1}; as lentes divergentes têm C<0C < 0. Os oculistas prescrevem em dioptrias: as vergências de lentes delgadas em contato simplesmente se somam (admitido aqui; deduzido no volume do primeiro ano de graduação).

Exemplo 10.4 (Ler uma receita)

Uma lente com f′=0.50 mf' = 0.50\,\mathrm{m} tem C=1/0.50=+2.0C = 1/0.50 = +2.0 D: convergente. Uma receita de −4.0-4.0 D significa f′=−0.25 mf' = -0.25\,\mathrm{m}: divergente, com distância focal de 25 cm25\,\mathrm{cm}.

10.2 Construir a imagem

Método 10.5 (Os três raios de construção)

Seja ABAB um objeto perpendicular ao eixo em AA. Entre todos os raios que saem da ponta BB, três têm caminho conhecido:

  1. o raio que passa pelo centro óptico OO segue em linha reta;
  2. o raio paralelo ao eixo emerge passando por F′F';
  3. o raio que passa por FF emerge paralelo ao eixo.

Dois quaisquer bastam: a interseção deles é o ponto imagem B′B', e a imagem A′B′A'B' fica perpendicular ao eixo em A′A'. Se os raios emergentes divergirem, os seus prolongamentos para trás (tracejados) se encontram num ponto de imagem virtual.

Os três raios de construção: objeto AB além de F, imagem A'B' real e invertida (aqui OA = -2f': do mesmo tamanho, = -1).
Os três raios de construção: objeto ABAB além de FF, imagem A′B′A'B' real e invertida (aqui OA‾=−2f′\overline{OA} = -2f': do mesmo tamanho, γ=−1\gamma = -1).

Definição 10.6 (Imagens reais e virtuais)

Uma imagem é real quando os raios emergentes passam efetivamente por ela: um anteparo colocado ali a recolhe; é virtual quando só os prolongamentos para trás se encontram: anteparo nenhum a recolhe, mas um olho que olhe para dentro da lente a vê perfeitamente bem. Uma lente convergente dá uma imagem real e invertida de qualquer objeto além de FF; deslize o objeto para dentro da distância focal e a imagem se torna virtual, direita e ampliada.

Objeto dentro da distância focal (a configuração de lupa): os prolongamentos para trás constroem uma imagem A'B' virtual, direita e ampliada.
Objeto dentro da distância focal (a configuração de lupa): os prolongamentos para trás constroem uma imagem A′B′A'B' virtual, direita e ampliada.

10.3 Uma fórmula: a relação de conjugação

As construções mostram onde está a imagem; uma fórmula a calcula. Oriente o eixo no sentido da luz e use medidas algébricas: OA‾\overline{OA} é a coordenada de AA em relação a OO (negativa para um objeto real à frente); as alturas AB‾\overline{AB} contam positivas para cima.

Teorema 10.7 (Relação de conjugação das lentes delgadas)

Através de uma lente delgada de distância focal f′f', um ponto objeto AA do eixo tem imagem no ponto A′A', com

1OA′‾−1OA‾=1f′=C.\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'} = C .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 10.8

A relação decorre da lei de Snell aplicada a raios próximos do eixo; a dedução — e os limites do modelo de lente delgada — são feitos com honestidade no volume do primeiro ano de graduação.

Definição 10.9 (Aumento)

O aumento da imagem é

γ=A′B′‾AB‾=OA′‾OA‾.\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} .

∣γ∣\abs{\gamma} compara os tamanhos e o seu sinal compara as orientações (γ<0\gamma < 0: invertida); o sinal de OA′‾\overline{OA'} informa a natureza (positivo: real, atrás da lente; negativo: virtual, à frente).

Exemplo 10.10 (A fórmula em ação)

Um objeto está 30 cm30\,\mathrm{cm} à frente de uma lente convergente com f′=10 cmf' = 10\,\mathrm{cm}: OA‾=−30 cm\overline{OA} = -30\,\mathrm{cm}, logo

1OA′‾=110−130=115,OA′‾=+15 cm,γ=15−30=−0.50:\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{1}{15}, \qquad \overline{OA'} = +15\,\mathrm{cm}, \qquad \gamma = \frac{15}{-30} = -0.50 :

uma imagem real 15 cm15\,\mathrm{cm} atrás da lente, invertida, com metade do tamanho — exatamente o que os três raios desenham.

10.4 O olho

Definição 10.11 (O olho como sistema óptico)

Opticamente, o olho é uma lente convergente diante de um anteparo: a córnea e o cristalino agem como uma única lente convergente de distância focal ajustável; a retina, cerca de 17 mm17\,\mathrm{mm} atrás, é o anteparo fixo. O foco é obtido apertando a lente, e não deslocando-a como numa câmera: a acomodação é a variação de f′f' produzida pelos músculos ciliares. O ponto mais próximo visto com nitidez com acomodação máxima é o ponto próximo — cerca de 25 cm25\,\mathrm{cm} para o olho padrão — e o mais distante, em repouso, é o ponto remoto (o infinito, para o olho padrão).

Acomodação: para focalizar um objeto próximo sobre a mesma retina, o cristalino se abaúla — a sua vergência aumenta. Acomodação: para focalizar um objeto próximo sobre a mesma retina, o cristalino se abaúla — a sua vergência aumenta.
Acomodação: para focalizar um objeto próximo sobre a mesma retina, o cristalino se abaúla — a sua vergência aumenta.

Exemplo 10.12 (A vergência do seu olho)

A retina fica em OA′‾=+0.017 m\overline{OA'} = +0.017\,\mathrm{m}. Objeto distante (1/OA‾≈01/\overline{OA} \approx 0): C=1/0.017≈59C = 1/0.017 \approx 59 D. Ponto próximo (OA‾=−0.25 m\overline{OA} = -0.25\,\mathrm{m}): C=1/0.017+1/0.25≈63C = 1/0.017 + 1/0.25 \approx 63 D. Ler custa cerca de 44 D: o olho é uma lente de 5959 D com um ajuste fino embutido de +4+4 D.

10.5 Defeitos, correções e a lupa

Definição 10.13 (Miopia e hipermetropia)

Um olho míope é convergente demais para o seu comprimento: os raios paralelos focalizam antes da retina, os objetos distantes ficam borrados, e o ponto remoto fica a distância finita; uma lente divergente de óculos o corrige. Um olho hipermetrope não é convergente o bastante: os objetos próximos focalizariam atrás da retina e o ponto próximo se afasta; uma lente convergente o corrige. O envelhecimento enrijece o cristalino (presbiopia), reduzindo a acomodação — e o remédio é o mesmo: óculos de leitura.

Exemplo 10.14 (Receitar para um míope)

Um olho míope tem o ponto remoto a 50 cm50\,\mathrm{cm}: a lente corretora precisa mostrar os objetos distantes no ponto remoto — objeto no infinito, imagem em OA′‾=−0.50 m\overline{OA'} = -0.50\,\mathrm{m} (virtual, à frente). Então 1/f′=1/OA′‾1/f' = 1/\overline{OA'}: f′=−0.50 mf' = -0.50\,\mathrm{m}, C=−2.0C = -2.0 D; o olho relaxado olha para essa imagem virtual e a vê com nitidez.

Um olho míope focaliza os raios paralelos antes da retina (ponto vermelho); uma lente divergente leva o foco até a retina. Um olho míope focaliza os raios paralelos antes da retina (ponto vermelho); uma lente divergente leva o foco até a retina.
Um olho míope focaliza os raios paralelos antes da retina (ponto vermelho); uma lente divergente leva o foco até a retina.

Definição 10.15 (A lupa)

Uma lupa é uma lente convergente de distância focal curta usada com o objeto dentro da distância focal: a imagem é virtual, direita e ampliada (Definição 10.6), e o olho a observa confortavelmente longe.

Exemplo 10.16 (A lupa do joalheiro)

Lupa com f′=5.0 cmf' = 5.0\,\mathrm{cm}, pedra a 4.0 cm4.0\,\mathrm{cm}: 1/OA′‾=1/5.0−1/4.0=−1/201/\overline{OA'} = 1/5.0 - 1/4.0 = -1/20, logo OA′‾=−20 cm\overline{OA'} = -20\,\mathrm{cm} e γ=(−20)/(−4.0)=+5.0\gamma = (-20)/(-4.0) = +5.0: uma imagem virtual, direita, cinco vezes maior, a confortáveis 20 cm20\,\mathrm{cm} da lente.

10.6 Exercícios

Exercício 10.1 ★

Calcule as vergências para f′=50 cmf' = 50\,\mathrm{cm}, −20 cm-20\,\mathrm{cm} e 4.0 mm4.0\,\mathrm{mm}, e depois a distância focal de uma lente de +8.0+8.0 D.

Solução

Solução de Exercício 10.1.

C=1/0.50=+2.0C = 1/0.50 = +2.0 D; 1/(−0.20)=−5.01/(-0.20) = -5.0 D; 1/0.0040=+2501/0.0040 = +250 D. Uma lente de +8.0+8.0 D: f′=1/8.0=0.125 m=12.5 cmf' = 1/8.0 = 0.125\,\mathrm{m} = 12.5\,\mathrm{cm}.

Exercício 10.2 ★

Uma lente é mais grossa nas bordas do que no centro. Convergente ou divergente? Ela pode servir de lupa? O que você vê ao segurá-la sobre uma página impressa?

Solução

Solução de Exercício 10.2.

Divergente (f′<0f' < 0). Não: para qualquer distância dd do objeto, γ=f′/(f′−d)\gamma = f'/(f' - d) (mostrado no Exercício 10.15) fica entre 00 e 11 — a imagem é sempre virtual, direita e reduzida. A letra impressa aparece direita e encolhida, nunca ampliada.

Exercício 10.3 ★

Uma lente convergente tem f′=10 cmf' = 10\,\mathrm{cm}; um objeto está 20 cm20\,\mathrm{cm} à frente dela. Construa a imagem com dois dos três raios e depois confira a sua posição e o seu tamanho com a relação de conjugação.

Solução

Solução de Exercício 10.3.

O objeto está em 2f′2f'; os raios central e paralelo se cruzam 20 cm20\,\mathrm{cm} atrás da lente. Conferindo: 1/OA′‾=1/10−1/20=1/201/\overline{OA'} = 1/10 - 1/20 = 1/20, logo OA′‾=+20 cm\overline{OA'} = +20\,\mathrm{cm} e γ=20/(−20)=−1\gamma = 20/(-20) = -1: real, invertida e do mesmo tamanho — como no desenho.

Exercício 10.4 ★

Um objeto está 24 cm24\,\mathrm{cm} à frente de uma lente convergente com f′=8.0 cmf' = 8.0\,\mathrm{cm}. Calcule OA′‾\overline{OA'} e γ\gamma, e descreva a imagem (natureza, orientação, tamanho).

Solução

Solução de Exercício 10.4.

1/OA′‾=1/8.0−1/24=1/121/\overline{OA'} = 1/8.0 - 1/24 = 1/12: OA′‾=+12 cm\overline{OA'} = +12\,\mathrm{cm}, γ=12/(−24)=−0.50\gamma = 12/(-24) = -0.50. Imagem real 12 cm12\,\mathrm{cm} atrás da lente, invertida, com metade do tamanho.

Exercício 10.5 ★

No olho: o que forma a lente convergente? O que faz o papel do anteparo? O que muda durante a acomodação — e o que não pode mudar? Defina o ponto próximo do olho padrão.

Solução

Solução de Exercício 10.5.

A córnea e o cristalino formam a lente convergente; a retina é o anteparo. A acomodação muda a distância focal (a vergência) do cristalino; a distância lente–retina não pode mudar. Ponto próximo: o ponto mais próximo visto com nitidez com acomodação máxima — 25 cm25\,\mathrm{cm} para o olho padrão.

Exercício 10.6 ★★

A objetiva de uma câmera tem f′=50 mmf' = 50\,\mathrm{mm}. Onde fica o sensor quando ela está focalizada numa paisagem distante? Calcule a distância lente–sensor para um objeto a 3.0 m3.0\,\mathrm{m} e o curso entre os dois ajustes.

Solução

Solução de Exercício 10.6.

Paisagem: sensor no plano focal, a 50 mm50\,\mathrm{mm} da lente. A 3.0 m3.0\,\mathrm{m}: 1/OA′‾=1/50−1/3000=59/30001/\overline{OA'} = 1/50 - 1/3000 = 59/3000, logo OA′‾≈50.8 mm\overline{OA'} \approx 50.8\,\mathrm{mm}. Curso: cerca de 0.8 mm0.8\,\mathrm{mm}.

Exercício 10.7 ★★

Uma lupa tem f′=6.0 cmf' = 6.0\,\mathrm{cm}; um selo está 5.0 cm5.0\,\mathrm{cm} abaixo dela. Qual é a posição, a natureza, a orientação e o aumento da imagem?

Solução

Solução de Exercício 10.7.

1/OA′‾=1/6.0−1/5.0=−1/301/\overline{OA'} = 1/6.0 - 1/5.0 = -1/30: OA′‾=−30 cm\overline{OA'} = -30\,\mathrm{cm} — virtual, direita, γ=(−30)/(−5.0)=+6.0\gamma = (-30)/(-5.0) = +6.0: seis vezes o selo, 30 cm30\,\mathrm{cm} acima da lente.

Exercício 10.8 ★★

Um objeto e um anteparo estão de frente um para o outro; uma lente convergente entre eles dá uma imagem nítida quando os dois estão a 40 cm40\,\mathrm{cm} da lente. Calcule f′f' e γ\gamma. Por que essa imagem simétrica tem de ter exatamente o mesmo tamanho do objeto?

Solução

Solução de Exercício 10.8.

1/f′=1/40+1/40=1/201/f' = 1/40 + 1/40 = 1/20: f′=20 cmf' = 20\,\mathrm{cm}; γ=40/(−40)=−1\gamma = 40/(-40) = -1. A simetria obriga ∣OA′‾∣=∣OA‾∣\abs{\overline{OA'}} = \abs{\overline{OA}} e, portanto, ∣γ∣=1\abs{\gamma} = 1; a imagem é real e invertida, logo γ=−1\gamma = -1: exatamente do mesmo tamanho.

Exercício 10.9 ★★

Um objeto está 50 cm50\,\mathrm{cm} à frente de uma lente divergente com f′=−25 cmf' = -25\,\mathrm{cm}. Calcule OA′‾\overline{OA'} e γ\gamma; descreva a imagem. Por que os olhos de um míope parecem um pouco menores através dos óculos dele?

Solução

Solução de Exercício 10.9.

1/OA′‾=−1/25−1/50=−3/501/\overline{OA'} = -1/25 - 1/50 = -3/50: OA′‾≈−16.7 cm\overline{OA'} \approx -16.7\,\mathrm{cm}, γ=(−16.7)/(−50)=+0.33\gamma = (-16.7)/(-50) = +0.33: virtual, direita, com um terço do tamanho. Os óculos de um míope são divergentes: tudo o que se vê através deles — inclusive, de fora, os olhos de quem os usa — fica reduzido.

Exercício 10.10 ★★

Um olho míope tem o ponto remoto a 40 cm40\,\mathrm{cm}. Que vergência a lente corretora precisa ter, e onde ela coloca a imagem de uma montanha distante? Por que a montanha é então vista sem esforço?

Solução

Solução de Exercício 10.10.

Imagem do infinito no ponto remoto: f′=−0.40 mf' = -0.40\,\mathrm{m}, logo C=−2.5C = -2.5 D. A imagem da montanha fica 40 cm40\,\mathrm{cm} à frente da lente — exatamente no ponto remoto, que o olho relaxado vê com nitidez e sem acomodação alguma.

Exercício 10.11 ★★

Um leitor présbita tem o ponto próximo a 80 cm80\,\mathrm{cm}, mas quer ler a 25 cm25\,\mathrm{cm}: os óculos precisam formar, de uma página a 25 cm25\,\mathrm{cm}, uma página virtual a 80 cm80\,\mathrm{cm}. Calcule a vergência necessária.

Solução

Solução de Exercício 10.11.

C=1/OA′‾−1/OA‾=1/(−0.80)−1/(−0.25)=−1.25+4.00=+2.75C = 1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/(-0.80) - 1/(-0.25) = -1.25 + 4.00 = +2.75 D.

Exercício 10.12 ★★★

Um projetor precisa lançar a imagem de um slide, com aumento γ=−50\gamma = -50, sobre uma tela a 5.1 m5.1\,\mathrm{m} do slide.

  1. Encontre OA‾\overline{OA} e OA′‾\overline{OA'}, sabendo que OA′‾−OA‾=5.1 m\overline{OA'} - \overline{OA} = 5.1\,\mathrm{m}.
  2. Deduza a distância focal da lente de projeção.
  3. Qual é a altura da imagem de um slide de 24 mm24\,\mathrm{mm} de altura?
Solução

Solução de Exercício 10.12.

1. γ=OA′‾/OA‾=−50\gamma = \overline{OA'}/\overline{OA} = -50 dá OA′‾=−50 OA‾\overline{OA'} = -50\,\overline{OA}; com OA′‾−OA‾=5.1 m\overline{OA'} - \overline{OA} = 5.1\,\mathrm{m}, −51 OA‾=5.1 m-51\,\overline{OA} = 5.1\,\mathrm{m}: OA‾=−0.10 m\overline{OA} = -0.10\,\mathrm{m} e OA′‾=+5.0 m\overline{OA'} = +5.0\,\mathrm{m}.

2. 1/f′=1/5.0+1/0.10=10.21/f' = 1/5.0 + 1/0.10 = 10.2: f′≈9.8 cmf' \approx 9.8\,\mathrm{cm}.

3. 50×24 mm=1.2 m50 \times 24\,\mathrm{mm} = 1.2\,\mathrm{m}, invertida — e é por isso que os slides são colocados de cabeça para baixo.

Exercício 10.13 ★★★

A retina fica 17 mm17\,\mathrm{mm} atrás da lente do olho.

  1. Calcule a vergência do olho focalizado no infinito e depois no ponto próximo padrão (25 cm25\,\mathrm{cm}). Deduza a amplitude de acomodação do olho padrão.
  2. Um olho mais velho tem o ponto próximo a 1.0 m1.0\,\mathrm{m}. Calcule a sua amplitude e a fração da amplitude padrão que resta.
Solução

Solução de Exercício 10.13.

1. C∞=1/0.017≈59C_\infty = 1/0.017 \approx 59 D; C25=1/0.017+1/0.25≈63C_{25} = 1/0.017 + 1/0.25 \approx 63 D. Amplitude: 1/0.25=4.01/0.25 = 4.0 D.

2. Amplitude =1/1.0=1.0= 1/1.0 = 1.0 D: resta um quarto (25%25\%) dos 4.04.0 D do olho padrão.

Exercício 10.14 ★★★

Uma lupa vendida como “×3\times 3” tem a distância focal dada por 3=0.25/f′3 = 0.25/f' (f′f' em metros).

  1. Calcule f′f'.
  2. Onde um objeto precisa ficar para que a sua imagem virtual se situe 25 cm25\,\mathrm{cm} à frente da lente? Calcule γ\gamma; compare com o ×3\times 3 anunciado.
Solução

Solução de Exercício 10.14.

1. f′=0.25/3≈0.083 m=8.3 cmf' = 0.25/3 \approx 0.083\,\mathrm{m} = 8.3\,\mathrm{cm}.

2. OA′‾=−25 cm\overline{OA'} = -25\,\mathrm{cm}: 1/OA‾=−1/25−3/25=−4/251/\overline{OA} = -1/25 - 3/25 = -4/25, logo OA‾=−6.25 cm\overline{OA} = -6.25\,\mathrm{cm} e γ=(−25)/(−6.25)=+4.0\gamma = (-25)/(-6.25) = +4.0 — melhor do que o ×3\times 3 anunciado, que supõe a imagem no infinito; puxá-la até o ponto próximo ganha uma unidade.

Exercício 10.15 ★★★

Um objeto real está à distância d>0d > 0 à frente de uma lente convergente (OA‾=−d\overline{OA} = -d, f′>0f' > 0). Mostre que OA′‾=f′dd−f′\overline{OA'} = \frac{f'd}{d - f'} e γ=f′f′−d\gamma = \frac{f'}{f' - d}. Deduza: real e invertida quando d>f′d > f'; virtual, direita e ampliada (γ>1\gamma > 1) quando 0<d<f′0 < d < f' — toda lente convergente é uma lupa, se usada perto o suficiente.

Solução

Solução de Exercício 10.15.

1/OA′‾=1/f′−1/d=(d−f′)/(f′d)1/\overline{OA'} = 1/f' - 1/d = (d - f')/(f'd), logo OA′‾=f′d/(d−f′)\overline{OA'} = f'd/(d - f') e γ=OA′‾/(−d)=f′/(f′−d)\gamma = \overline{OA'}/(-d) = f'/(f' - d). Se d>f′d > f': OA′‾>0\overline{OA'} > 0 (real) e γ<0\gamma < 0 (invertida). Se 0<d<f′0 < d < f': OA′‾<0\overline{OA'} < 0 (virtual) e γ=f′/(f′−d)>1\gamma = f'/(f' - d) > 1: direita e ampliada — a configuração de lupa.

10.7 Problema: uma fórmula, três instrumentos

Problema 10.1

Problema de fim de semana — a mesma relação de conjugação focaliza uma câmera, receita óculos de leitura, projeta uma lupa e mede o zoom embutido no seu próprio olho

Um fotógrafo ajusta uma objetiva de 50 mm50\,\mathrm{mm}, uma avó segura o jornal a distância de braço, um joalheiro se debruça sobre um diamante: uma linha de álgebra, 1/OA′‾−1/OA‾=1/f′1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/f' (Teorema 10.7), governa os três ofícios — e depois o próprio olho.

Parte I — Uma fórmula. Uma lente convergente tem f′=20 cmf' = 20\,\mathrm{cm}.

  1. Um objeto a 60 cm60\,\mathrm{cm}: calcule OA′‾\overline{OA'} e γ\gamma; descreva a imagem.
  2. Mova o objeto para 30 cm30\,\mathrm{cm}; recalcule. O que foi trocado em relação à questão 1? (Os percursos da luz são reversíveis.)
  3. Mova-o para 10 cm10\,\mathrm{cm}, dentro de f′f': recalcule e descreva.
  4. Resuma: à medida que o objeto vem de muito longe até FF, e depois o ultrapassa, como a imagem se desloca e muda de natureza?
  5. Mostre que um objeto muito distante (1/OA‾≈01/\overline{OA} \approx 0) sempre tem imagem no plano focal: OA′‾=f′\overline{OA'} = f'.

Parte II — O fotógrafo. Uma objetiva de câmera tem f′=50 mmf' = 50\,\mathrm{mm}; o sensor, de 24 mm24\,\mathrm{mm} de altura, pode ser deslocado em relação à lente.

  1. Onde fica o sensor quando ela está focalizada numa paisagem distante?
  2. Agora um rosto a 1.0 m1.0\,\mathrm{m}: calcule a nova distância lente–sensor e o curso a partir do ajuste da paisagem.
  3. O mecanismo permite no máximo 55 mm55\,\mathrm{mm} de distância lente–sensor. Calcule a distância mínima de focalização.
  4. Nessa focalização mais próxima, calcule γ\gamma. A imagem de um rosto de 20 cm20\,\mathrm{cm} cabe no sensor?
  5. “Macro” em tamanho real significa γ=−1\gamma = -1: onde precisam estar o objeto e o sensor, e por que isso exige uma objetiva especial?

Parte III — A avó. Com a idade o ponto próximo se afasta: o da avó está a 1.0 m1.0\,\mathrm{m}.

  1. Explique o jornal a distância de braço.
  2. Para ler a 25 cm25\,\mathrm{cm}, os óculos dela precisam transformar uma página a 25 cm25\,\mathrm{cm} numa imagem virtual a 1.0 m1.0\,\mathrm{m}: calcule a vergência necessária.
  3. Calcule γ\gamma. A imagem é quatro vezes maior e, ainda assim, não parece maior: explique, comparando tamanhos e distâncias.
  4. Mostre que a letra impressa só fica nítida entre 25 cm25\,\mathrm{cm} e f′≈33 cmf' \approx 33\,\mathrm{cm}. E um objeto distante visto através dos óculos?
  5. Deduza em uma frase por que existem lentes bifocais.

Parte IV — O joalheiro e o zoom do próprio olho. A lupa do joalheiro tem f′=5.0 cmf' = 5.0\,\mathrm{cm}; o ponto próximo dele está a 25 cm25\,\mathrm{cm}; a retina dele fica 17 mm17\,\mathrm{mm} atrás da lente do olho.

  1. Uma pedra 4.0 cm4.0\,\mathrm{cm} abaixo da lupa: posição, natureza e aumento?
  2. Onde a pedra precisa ficar para que a sua imagem caia no ponto próximo dele, e qual é então o γ\gamma?
  3. Por que os joalheiros experientes preferem colocar a pedra exatamente em FF (imagem no infinito)?
  4. Agora só o olho: calcule a sua vergência olhando um objeto distante e depois um objeto a 25 cm25\,\mathrm{cm}: quantas dioptrias de acomodação?
  5. Converta as duas vergências em distâncias focais: de quanto, em milímetros e em porcentagem, o olho muda a sua própria distância focal — o zoom que a câmera fez com curso mecânico e que a avó remendou com +3+3 D?
Solução

Solução de Problema 10.1.

1. 1/OA′‾=1/20−1/60=1/301/\overline{OA'} = 1/20 - 1/60 = 1/30: OA′‾=+30 cm\overline{OA'} = +30\,\mathrm{cm}, γ=−0.50\gamma = -0.50 — real, invertida, com metade do tamanho.

2. OA′‾=+60 cm\overline{OA'} = +60\,\mathrm{cm}, γ=−2\gamma = -2: as posições 30 cm30\,\mathrm{cm} e 60 cm60\,\mathrm{cm} trocaram de papel e os aumentos são inversos um do outro — a luz invertida percorre o mesmo caminho.

3. 1/OA′‾=1/20−1/10=−1/201/\overline{OA'} = 1/20 - 1/10 = -1/20: OA′‾=−20 cm\overline{OA'} = -20\,\mathrm{cm}, γ=+2\gamma = +2 — virtual, direita, duplicada.

4. Partindo do infinito, a imagem começa no plano focal; à medida que o objeto se aproxima de FF, a imagem real e invertida se afasta rumo ao infinito e cresce; dentro de f′f' ela se torna virtual, direita e ampliada, à frente da lente.

5. 1/OA‾≈01/\overline{OA} \approx 0 deixa 1/OA′‾=1/f′1/\overline{OA'} = 1/f': OA′‾=f′\overline{OA'} = f', o plano focal.

6. No plano focal, 50 mm50\,\mathrm{mm} atrás da lente.

7. 1/OA′‾=1/50−1/1000=19/10001/\overline{OA'} = 1/50 - 1/1000 = 19/1000: OA′‾≈52.6 mm\overline{OA'} \approx 52.6\,\mathrm{mm}; curso ≈2.6 mm\approx 2.6\,\mathrm{mm}.

8. 1/OA‾=1/55−1/50=−1/5501/\overline{OA} = 1/55 - 1/50 = -1/550: distância mínima de focalização 550 mm550\,\mathrm{mm} = 55 cm55\,\mathrm{cm}.

9. γ=55/(−550)=−0.10\gamma = 55/(-550) = -0.10: o rosto tem imagem de 20 mm20\,\mathrm{mm}, cabendo com folga no sensor de 24 mm24\,\mathrm{mm}.

10. γ=−1\gamma = -1 obriga OA′‾=−OA‾\overline{OA'} = -\overline{OA}, logo 2/OA′‾=1/f′2/\overline{OA'} = 1/f': objeto a 100 mm100\,\mathrm{mm} (=2f′= 2f') à frente e sensor a 100 mm100\,\mathrm{mm} atrás — o dobro do ajuste de paisagem, muito além do mecanismo de 55 mm55\,\mathrm{mm}; as objetivas macro fornecem o curso extra.

11. Tudo o que estiver mais perto do que o ponto próximo dela (1.0 m1.0\,\mathrm{m}) fica borrado: os braços esticados aproximam a página de 1.0 m1.0\,\mathrm{m} o máximo possível — nítida, ainda que pequena.

12. C=1/(−1.0)−1/(−0.25)=−1.0+4.0=+3.0C = 1/(-1.0) - 1/(-0.25) = -1.0 + 4.0 = +3.0 D.

13. γ=(−1.0)/(−0.25)=+4.0\gamma = (-1.0)/(-0.25) = +4.0: quatro vezes maior, mas quatro vezes mais longe — o mesmo tamanho angular; o ganho não é de tamanho, e sim de nitidez, já que a imagem agora está no ponto próximo dela.

14. Para ficar nítida, a imagem precisa estar além de 1.0 m1.0\,\mathrm{m}: da página a 25 cm25\,\mathrm{cm} (imagem a 1.0 m1.0\,\mathrm{m}) até a página a f′=1/3.0≈0.33 mf' = 1/3.0 \approx 0.33\,\mathrm{m} (imagem no infinito). Um objeto distante tem imagem 33 cm33\,\mathrm{cm} atrás dos óculos — uma imagem real que o olho não consegue usar: o mundo distante fica borrado.

15. Daí as lentes bifocais: a correção de leitura na metade de baixo da lente e nenhuma correção (ou a de longe) na metade de cima.

16. 1/OA′‾=1/5.0−1/4.0=−1/201/\overline{OA'} = 1/5.0 - 1/4.0 = -1/20: OA′‾=−20 cm\overline{OA'} = -20\,\mathrm{cm}, virtual, direita, γ=+5.0\gamma = +5.0.

17. 1/OA‾=−1/25−1/5.0=−6/251/\overline{OA} = -1/25 - 1/5.0 = -6/25: OA‾≈−4.2 cm\overline{OA} \approx -4.2\,\mathrm{cm}; γ=(−25)/(−25/6)=+6.0\gamma = (-25)/(-25/6) = +6.0.

18. Pedra em FF: imagem no infinito, observada com acomodação nula — horas de exame sem cansaço visual.

19. C∞=1/0.017≈59C_\infty = 1/0.017 \approx 59 D; C25=1/0.017+1/0.25≈63C_{25} = 1/0.017 + 1/0.25 \approx 63 D: cerca de 44 D de acomodação.

20. f′=1/58.8≈17.0 mmf' = 1/58.8 \approx 17.0\,\mathrm{mm} contra 1/62.8≈15.9 mm1/62.8 \approx 15.9\,\mathrm{mm}: cerca de 1.1 mm1.1\,\mathrm{mm}, uns 6%6\% — o zoom embutido que a câmera imitou com 2.6 mm2.6\,\mathrm{mm} de curso e que a avó remendou com +3+3 D.