Física do ensino médio · Grades 10–12

4Gravitação universal e peso

Solte uma maçã: ela cai. A Lua, a sessenta raios terrestres de altura, nunca parece cair. A grande intuição de Newton é que a Lua está caindo — cerca de 1.4 milímetro por segundo, exatamente o que prevê uma atração que enfraquece com o quadrado da distância. Uma fórmula, com uma constante universal, governa a maçã, a Lua, as marés e os planetas. O primeiro volume descreveu a gravitação com palavras; este capítulo a mede.

4.1 A lei da gravitação universal

Definição 4.1 (Força gravitacional)

Dois corpos quaisquer se atraem, sejam feitos do que forem e estejam à distância que estiverem. Essa atração é a força gravitacional, e o fenômeno é a gravitação. Ela não precisa de contato, nem de corda, nem de meio, e é mútua: cada corpo puxa o outro.

Teorema 4.2 (Lei da gravitação universal)

Dois corpos de massas $m_1$ e $m_2$ (em $\mathrm{kg}$ ), cujos centros estão a uma distância $d$ (em $\mathrm{m}$ ), atraem-se com duas forças dirigidas ao longo da reta que une os centros, cada uma apontando para o outro corpo, de mesmo módulo

F = G\,\frac{m_1 m_2}{d^2} \qquad \text{(em $\mathrm{N}$)},

em que $G$ é a mesma constante para todo par de corpos do universo.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 4.3 (De onde vem a lei)

Newton destilou essa lei do movimento observado dos planetas (as leis de Kepler); a dedução honesta é feita no volume do primeiro ano de graduação. O Capítulo 27 já porá a lei para trabalhar com satélites e planetas.

Definição 4.4 (A constante gravitacional)

A constante

G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}

é a constante gravitacional. O seu valor minúsculo é a razão pela qual a gravidade entre objetos do dia a dia é imperceptível: só quando pelo menos uma das massas é astronômica é que $G m_1 m_2 / d^2$ chega a alguma coisa.

As duas forças de um par gravitacional: ao longo da reta dos centros, em direção ao outro corpo, com o mesmo módulo F = G m_1 m_2 / d2 mesmo quando as massas são absurdamente diferentes. — As duas forças de um par gravitacional: ao longo da reta dos centros, em direção ao outro corpo, com o *mesmo* módulo $F = G m_1 m_2 / d^2$ mesmo quando as massas são absurdamente diferentes.

Observação 4.5 (Ler a fórmula)

Quatro traços merecem atenção.

Mútuas e iguais. A Terra puxa você com o seu peso — e você puxa a Terra exatamente com a mesma força. (A Terra apenas responde menos: ela é cerca de $10^{23}$ vezes mais pesada.)
Inverso do quadrado. Dobrar $d$ divide a força por $4$ ; afastar-se dez vezes mais divide-a por $100$ .
Distância entre centros. Para corpos esféricos — estrelas, planetas, balas de canhão — $d$ se mede de centro a centro, não de superfície a superfície.
As duas massas contam. Dobrar qualquer uma das massas dobra a força; a fórmula é simétrica em $m_1$ e $m_2$ .

Exemplo 4.6 (Dois amigos)

Dois amigos de $70\,\mathrm{kg}$ estão de pé com os centros a $1.0\,\mathrm{m}$ um do outro:

F = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{70 \times 70}{1.0^2} \approx 3.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}.

O peso de cada amigo é de cerca de $6.9 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ — dois bilhões de vezes maior. A atração mútua deles é real, mas impossível de sentir.

Exemplo 4.7 (A Terra segura a Lua)

Com $m_1 = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ (Terra), $m_2 = 7.35 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$ (Lua) e $d = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ :

F = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^2} \approx 2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}.

E a Lua puxa a Terra de volta com os mesmos $2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}$ — um puxão a que os oceanos respondem duas vezes por dia, na forma das marés.

Método 4.8 (Calcular uma força gravitacional)

Converta as massas para quilogramas e a distância de centro a centro para metros.
Aplique $F = G m_1 m_2 / d^2$ .
Confira a potência de dez separadamente dos algarismos, como no Capítulo 1: as forças gravitacionais vão de $10^{-7}$ newtons (duas pessoas a um metro) a $10^{22}$ newtons (Sol sobre a Terra), de modo que um expoente fora do lugar é fácil de pegar.

4.2 Peso e intensidade da gravidade

Definição 4.9 (Peso)

O peso $\vect P$ de um objeto na superfície de um astro (um planeta, uma lua, …) é a força gravitacional que o astro exerce sobre ele. Ele aponta para o centro do astro — a direção que chamamos de vertical — e se mede em newtons.

Proposição 4.10 (Peso na superfície de um astro)

Na superfície de um astro esférico de massa $M$ e raio $R$ , um objeto de massa $m$ tem peso

P = m\,g, \qquad\text{em que}\qquad g = \frac{G M}{R^2}

depende só do astro, e não do objeto.

Demonstração. O centro do objeto e o centro do astro estão a uma distância $R$ , de modo que a lei da gravitação universal (Teorema 4.2) dá $P = G M m / R^2 = m \times \left(G M / R^2\right)$ . O parêntese é o mesmo para todo objeto na superfície: chame-o de $g$ . ∎

Definição 4.11 (Intensidade do campo gravitacional)

A grandeza $g = G M / R^2$ , em newtons por quilograma, é a intensidade do campo gravitacional na superfície do astro: o astro puxa cada quilograma com $g$ newtons. Na Terra, $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .

Exemplo 4.12 (Calcular $g$ )

Para a Terra ( $M = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ , $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ):

g = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{(6.37 \times 10^{6})^2} = \frac{3.98 \times 10^{14}}{4.06 \times 10^{13}} \approx 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}.

Para a Lua ( $M = 7.35 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$ , $R = 1.74 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ) a mesma conta dá $g_{\text{Lua}} \approx 1.62\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ — seis vezes menos: a Lua é muito mais leve, e ser menor não compensa. Para Marte, $g_{\text{Marte}} \approx 3.73\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .

Intensidade do campo gravitacional na superfície de quatro mundos: o mesmo pacote de açúcar de 1\, kg pesa 1.6\, N na Lua e 25\, N em Júpiter. — Intensidade do campo gravitacional na superfície de quatro mundos: o mesmo pacote de açúcar de $1\,\mathrm{kg}$ pesa $1.6\,\mathrm{N}$ na Lua e $25\,\mathrm{N}$ em Júpiter.

“Para baixo” é uma noção local: em cada ponto do globo o vetor peso aponta para o centro O. Dois caminhantes antípodas estão os dois em pé — com os pés voltados um para o outro. — “Para baixo” é uma noção local: em cada ponto do globo o vetor peso aponta para o centro $O$ . Dois caminhantes antípodas estão os dois em pé — com os pés voltados um para o outro.

Observação 4.13 (Por que os astronautas saltitam)

Um astronauta de massa $120\,\mathrm{kg}$ (corpo mais traje) pesa $120 \times 9.81 \approx 1180\,\mathrm{N}$ na Terra, mas apenas $120 \times 1.62 \approx 194\,\mathrm{N}$ na Lua. Músculos treinados sob $1180\,\mathrm{N}$ passam a carregar de repente um sexto da carga: daí o famoso andar lunar lento e aos saltos. A massa — e com ela o esforço necessário para parar ou virar — não muda, e é por isso que os astronautas lunares caíam com tanta frequência.

4.3 Massa ou peso? A balança de pratos e o dinamômetro

A linguagem cotidiana diz que um saco de farinha “pesa três quilos”. A física parte essa frase em duas.

Observação 4.14 (Massa não é peso)

A massa $m$ mede a quantidade de matéria, em quilogramas. É uma propriedade só do objeto: a mesma na Terra, na Lua ou à deriva no espaço profundo.
O peso $P = mg$ é uma força, em newtons, exercida por um astro sobre o objeto. Ele muda de astro para astro com $g$ — e se apaga longe de todo astro.

Confundi-los é inofensivo na feira e fatal num problema de física: o quilograma não é unidade de força.

Método 4.15 (A balança de pratos e o dinamômetro)

Uma balança de pratos compara o objeto com massas padrão: os pesos dos dois pratos são multiplicados pelo mesmo $g$ , de modo que a comparação mede a massa — mesmo veredito em qualquer astro.
Um dinamômetro mede a força que estica a sua mola: ele lê o peso, em newtons, e a sua leitura muda de astro para astro. Para recuperar a massa, divida pela intensidade local do campo: $m = P/g$ .

Exemplo 4.16 (Farinha na Lua)

Um saco de $3.0\,\mathrm{kg}$ de farinha equilibra $3.0\,\mathrm{kg}$ de massas padrão na Terra e na Lua. Um dinamômetro, porém, marca $3.0 \times 9.81 \approx 29\,\mathrm{N}$ na Terra e $3.0 \times 1.62 \approx 4.9\,\mathrm{N}$ na Lua. Um comerciante que vendesse “por newton” na Lua entregaria seis vezes mais farinha — o comércio, como a ciência, funciona com massa.

4.4 Cair em volta da Terra: o canhão de Newton

Lance uma pedra horizontalmente: a gravidade curva a sua trajetória num arco e ela cai a alguns metros de distância. Lance-a mais rápido: ela cai mais longe. A experiência de pensamento de Newton leva a ideia ao limite. A Terra é redonda, e a sua superfície desce cerca de $5\,\mathrm{m}$ abaixo da horizontal a cada $8\,\mathrm{km}$ percorridos; um corpo em queda livre desce $4.9\,\mathrm{m}$ no primeiro segundo (o Capítulo 26 estabelecerá isso). Logo, um projétil que rase a Terra a $8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ cai exatamente tão depressa quanto o chão se curva embaixo dele: ele cai para sempre sem nunca aterrissar.

Definição 4.17 (Satélite e órbita)

Um satélite de um astro é um corpo que cai em volta do astro sem jamais alcançar a sua superfície; a trajetória que ele repete é a sua órbita.

O canhão de Newton: disparada cada vez mais rápido do alto de uma montanha, a bala cai cada vez mais longe — até que, a cerca de 7.9\, km/ s, o chão se curva tão depressa quanto a bala cai, e ela entra em órbita. — O canhão de Newton: disparada cada vez mais rápido do alto de uma montanha, a bala cai cada vez mais longe — até que, a cerca de $7.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , o chão se curva tão depressa quanto a bala cai, e ela entra em órbita.

Observação 4.18 (A Lua é uma pedra caindo)

A Lua é o satélite natural da Terra: ela cai em nossa direção cerca de $1.4\,\mathrm{mm}$ por segundo, e o seu movimento lateral a leva em volta antes que ela consiga se aproximar mais (o Exercício 4.15 deixa você refazer a própria verificação de Newton desse número). Os astronautas de uma estação em órbita estão na mesma queda livre da sua nave — é isso, e não uma ausência de gravidade, que os faz flutuar. A gravitação molda toda trajetória, do arco da pedra à elipse do planeta; a história quantitativa das órbitas é contada no Capítulo 27.

Notação 4.19 (Ficha de dados)

Salvo indicação em contrário no enunciado, use $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ e:

	massa ( $\mathrm{kg}$ )	raio ( $\mathrm{m}$ )	$g$ ( $\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ )
Terra	$5.97 \times 10^{24}$	$6.37 \times 10^{6}$	9.81
Lua	$7.35 \times 10^{22}$	$1.74 \times 10^{6}$	1.62
Marte	$6.42 \times 10^{23}$	$3.39 \times 10^{6}$	3.73
Sol	$1.99 \times 10^{30}$	—	—

Distância Terra–Lua: $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ; distância Terra–Sol: $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ (de centro a centro).

4.5 Exercícios

Exercício 4.1 ★

Dois dançarinos de $60\,\mathrm{kg}$ se abraçam com os centros a $0.80\,\mathrm{m}$ um do outro.

Calcule a atração gravitacional mútua deles.
Compare-a com o peso de um mosquito de $2.5\,\mathrm{mg}$ .

Solução

Solução de Exercício 4.1.

1. $F = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{60 \times 60}{0.80^2} = \dfrac{2.40 \times 10^{-7}}{0.64} \approx 3.8 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}$ .

2. O peso do mosquito é $P = 2.5 \times 10^{-6} \times 9.81 \approx 2.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ — cerca de $65$ vezes maior do que a atração mútua dos dançarinos. A gravidade entre pessoas é mais fraca do que o peso de um mosquito.

Exercício 4.2 ★

Uma estudante tem massa de $55\,\mathrm{kg}$ .

Calcule o peso dela na Terra.
Ela viaja até a Lua. Quais são a massa e o peso dela lá?

Solução

Solução de Exercício 4.2.

1. $P = mg = 55 \times 9.81 \approx 5.4 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ .

2. A massa dela não muda: $55\,\mathrm{kg}$ (mesma quantidade de matéria). O peso passa a $P = 55 \times 1.62 \approx 89\,\mathrm{N}$ — seis vezes menos.

Exercício 4.3 ★

A partir da ficha de dados, recalcule a intensidade do campo gravitacional na superfície de Marte.
Um jipe-robô de $900\,\mathrm{kg}$ é enviado para lá. Calcule o peso dele em Marte e o peso dele na Terra.

Solução

Solução de Exercício 4.3.

1. $g_{\text{Marte}} = \dfrac{G M}{R^2} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.42 \times 10^{23}}{(3.39 \times 10^{6})^2} = \dfrac{4.28 \times 10^{13}}{1.15 \times 10^{13}} \approx 3.73\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .

2. Em Marte: $P = 900 \times 3.73 \approx 3.4 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ . Na Terra: $P = 900 \times 9.81 \approx 8.8 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — o jipe-robô pesa cerca de $2.6$ vezes menos em Marte, com a mesma massa.

Exercício 4.4 ★

Usando a ficha de dados, calcule a força exercida pela Terra sobre a Lua. Que força a Lua exerce sobre a Terra?

Solução

Solução de Exercício 4.4.

F = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^2} = \frac{2.93 \times 10^{37}}{1.47 \times 10^{17}} \approx 2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}.

A Lua exerce sobre a Terra uma força de mesmo módulo, $2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}$ , em sentido oposto: a gravitação é mútua.

Exercício 4.5 ★

Dois corpos se atraem com uma força $F_0$ . Em que a força se transforma se:

a distância entre os centros é dobrada;
a distância é reduzida à metade;
as duas massas são dobradas (mesma distância);
uma das massas é triplicada e a distância é triplicada?

Solução

Solução de Exercício 4.5.

1. Distância dobrada: $d^2$ fica multiplicado por $4$ , logo $F = F_0/4$ .

2. Distância pela metade: $F = 4F_0$ .

3. As duas massas dobradas: $m_1 m_2$ fica multiplicado por $4$ , logo $F = 4F_0$ .

4. Numerador $\times 3$ , denominador $\times 9$ : $F = F_0/3$ .

Exercício 4.6 ★★

Dois superpetroleiros carregados, de $5.0 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}$ cada, estão atracados com os centros a $100\,\mathrm{m}$ um do outro.

Calcule a atração gravitacional mútua deles.
Que massa tem, na Terra, peso igual a essa força?
A força é surpreendentemente grande — e ainda assim os petroleiros não mostram inclinação alguma a se aproximar. Calcule a aceleração $a = F/m$ que ela dá a um dos navios e comente.

Solução

Solução de Exercício 4.6.

1. $F = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{(5.0 \times 10^{8})^2}{100^2} = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{2.5 \times 10^{17}}{1.0 \times 10^{4}} \approx 1.7 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ .

2. $m = F/g = 1667/9.81 \approx 1.7 \times 10^{2}\,\mathrm{kg}$ : os dois navios se atraem com o peso de uma motocicleta grande.

3. $a = F/m = 1.7 \times 10^{3}/5.0 \times 10^{8} \approx 3.3 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Mesmo sem oposição, os petroleiros levariam cerca de cinco dias para atingir a velocidade de uma caminhada; na prática, a resistência da água e as amarras engolem a atração por completo.

Exercício 4.7 ★★

Uma loja lunar vende um saco de $3.0\,\mathrm{kg}$ de arroz.

O que indicam, para esse saco, uma balança de pratos e um dinamômetro na Terra? E na Lua?
Um cliente paga por “ $3.0\,\mathrm{kg}$ ”. Que instrumento garante um negócio justo em qualquer mundo, e por quê?

Solução

Solução de Exercício 4.7.

1. A balança de pratos indica $3.0\,\mathrm{kg}$ nos dois mundos: o saco e as massas padrão têm os seus pesos divididos pelo mesmo fator, de modo que a comparação não muda. O dinamômetro lê o peso: $3.0 \times 9.81 \approx 29\,\mathrm{N}$ na Terra e $3.0 \times 1.62 \approx 4.9\,\mathrm{N}$ na Lua.

2. A balança: ela mede a massa, que é o que o cliente está comprando. Um dinamômetro calibrado em “quilogramas” na Terra marcaria $4.9/9.81 \approx 0.50\,\mathrm{kg}$ para o mesmo saco na Lua — o lojista entregaria seis sacos pelo preço de um.

Exercício 4.8 ★★

A Estação Espacial Internacional voa a uma altitude de $400\,\mathrm{km}$ .

Calcule a intensidade do campo gravitacional da Terra nessa altitude. (Cuidado: qual é a distância até o centro da Terra?)
Exprima-a como porcentagem do valor na superfície.
Os astronautas a bordo flutuam. Concilie isso com a sua resposta.

Solução

Solução de Exercício 4.8.

1. Distância até o centro: $d = R + h = 6.37 \times 10^{6} + 4.0 \times 10^{5} = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ . Então $g = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{(6.77 \times 10^{6})^2} = \dfrac{3.98 \times 10^{14}}{4.58 \times 10^{13}} \approx 8.69\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .

2. $8.69/9.81 \approx 89\%$ do valor na superfície.

3. A gravidade está quase com força total lá em cima: os astronautas flutuam porque a estação e tudo o que há dentro dela estão caindo juntos em volta da Terra (queda livre), e não porque a gravidade tenha desaparecido.

Exercício 4.9 ★★

Na superfície de Vênus, $g = 8.87\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ , e o raio do planeta é $6.05 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ . Deduza a massa de Vênus e compare-a com a da Terra.

Solução

Solução de Exercício 4.9.

De $g = GM/R^2$ ,

M = \frac{g R^2}{G} = \frac{8.87 \times (6.05 \times 10^{6})^2}{6.67 \times 10^{-11}} = \frac{3.25 \times 10^{14}}{6.67 \times 10^{-11}} \approx 4.87 \times 10^{24}\,\mathrm{kg},

cerca de $0.8$ vez a massa da Terra — Vênus é quase a gêmea da Terra em tamanho e em massa.

Exercício 4.10 ★★

Calcule a força exercida pelo Sol sobre $1.0\,\mathrm{kg}$ de água do mar e, em seguida, a força exercida pela Lua sobre esse mesmo quilograma.
O Sol puxa mais forte — por que fator?
E ainda assim a Lua domina as marés. A maré é comandada não pelo puxão em si, mas pela diferença entre os puxões nos lados próximo e distante da Terra. Explique, sem calcular, por que a Lua, mais próxima, consegue vencer o Sol, mais distante, nesse critério.

Solução

Solução de Exercício 4.10.

1. Sol: $F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 1.99 \times 10^{30}}{(1.496 \times 10^{11})^2} \approx 5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}$ . Lua: $F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^2} \approx 3.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ .

2. O Sol puxa cerca de $5.9 \times 10^{-3}/3.3 \times 10^{-5} \approx 180$ vezes mais forte.

3. O diâmetro da Terra é uma fração muito maior da distância Terra–Lua ( $\approx 3\%$ ) do que da distância Terra–Sol ( $\approx 0.01\%$ ), de modo que o puxão da Lua varia muito mais do lado próximo ao lado distante do globo. As marés se alimentam dessa diferença — e aí a Lua ganha.

Exercício 4.11 ★★

Um planeta tem o dobro da massa da Terra e o dobro do seu raio. Exprima a intensidade do campo na sua superfície em função do $g$ terrestre e depois em $\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .
Que raio precisaria ter um planeta de massa igual à da Terra para que a intensidade do campo na sua superfície fosse $2g$ ?

Solução

Solução de Exercício 4.11.

1. $g' = \dfrac{G (2M)}{(2R)^2} = \dfrac{2}{4}\,\dfrac{GM}{R^2} = \dfrac{g}{2} \approx 4.9\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ : o raio dobrado vence a massa dobrada.

2. Precisamos de $\dfrac{GM}{R'^2} = 2\,\dfrac{GM}{R^2}$ , logo $R'^2 = R^2/2$ e $R' = R/\sqrt{2} \approx 4.5 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ — cerca de $4500\,\mathrm{km}$ .

Exercício 4.12 ★★★

Em algum ponto da reta Terra–Lua os dois puxões sobre uma sonda espacial se cancelam. Seja $x$ a distância do centro da Terra a esse ponto e $D$ a distância Terra–Lua.

Mostre que, nesse ponto, $\left(\dfrac{x}{D - x}\right)^{2} = \dfrac{M_{\text{Terra}}}{M_{\text{Lua}}}$ .
Deduza $x$ . Que fração da viagem até a Lua isso representa?

Solução

Solução de Exercício 4.12.

1. Puxões por quilograma iguais: $\dfrac{G M_{\text{Terra}}}{x^2} = \dfrac{G M_{\text{Lua}}}{(D-x)^2}$ . Multiplicando cruzado e dividindo por $G$ : $\left(\dfrac{x}{D-x}\right)^2 = \dfrac{M_{\text{Terra}}}{M_{\text{Lua}}}$ .

2. $\dfrac{x}{D-x} = \sqrt{\dfrac{5.97 \times 10^{24}}{7.35 \times 10^{22}}} = \sqrt{81.2} \approx 9.0$ , logo $x = 9.0\,(D - x)$ , ou seja, $x = \dfrac{9.0}{10.0}\,D \approx 0.90 \times 3.84 \times 10^{8} \approx 3.5 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ . O ponto de equilíbrio fica a $90\%$ do caminho até a Lua: o puxão da Terra domina quase a viagem inteira.

Exercício 4.13 ★★★

O canhão de Newton, com números. Um projétil rasa a Terra horizontalmente com velocidade $v$ .

Depois de $x = 8.0\,\mathrm{km}$ de percurso horizontal, a Terra esférica “desceu” de uma altura $h$ que satisfaz $(R + h)^2 = R^2 + x^2$ . Usando $(R + h)^2 \approx R^2 + 2Rh$ para $h$ pequeno, mostre que $h \approx x^2 / (2R)$ e calcule $h$ .
Um corpo em queda livre desce $4.9\,\mathrm{m}$ no primeiro segundo. Compare com $h$ e deduza a velocidade com que o projétil nunca aterrissa.
Calcule a duração de uma órbita completa a essa velocidade, rasando a superfície.

Solução

Solução de Exercício 4.13.

1. Desenvolvendo: $R^2 + 2Rh + h^2 = R^2 + x^2$ ; como $h$ é minúsculo comparado com $R$ , descartamos $h^2$ : $2Rh \approx x^2$ , logo $h \approx \dfrac{x^2}{2R} = \dfrac{(8.0 \times 10^{3})^2}{2 \times 6.37 \times 10^{6}} = \dfrac{6.4 \times 10^{7}}{1.27 \times 10^{7}} \approx 5.0\,\mathrm{m}$ .

2. Em um segundo o projétil cai $4.9\,\mathrm{m}$ — quase exatamente os $5.0\,\mathrm{m}$ que o chão desce ao longo de $8.0\,\mathrm{km}$ . Logo, a $v \approx 8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ a queda nunca alcança o chão: o projétil entra em órbita.

3. $T = \dfrac{2\pi R}{v} = \dfrac{2\pi \times 6.37 \times 10^{6}}{8.0 \times 10^{3}} \approx 5.0 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 83\,\mathrm{min}$ — perto dos cerca de $90\,\mathrm{min}$ dos satélites reais de órbita baixa, que voam um pouco mais alto.

Exercício 4.14 ★★★

Uma estrela de nêutrons comprime $M = 2.8 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ (1.4 vez a massa do Sol) num raio de $12\,\mathrm{km}$ .

Calcule a intensidade do campo gravitacional na sua superfície.
Quanto pesaria lá um ser humano de $70\,\mathrm{kg}$ ? Compare com o peso dele na Terra.
Qual é, lá, o peso de um grão de areia de $1.0\,\mathrm{mg}$ ? Que massa tem esse peso na Terra?

Solução

Solução de Exercício 4.14.

1. $g = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 2.8 \times 10^{30}} {(1.2 \times 10^{4})^2} = \dfrac{1.87 \times 10^{20}}{1.44 \times 10^{8}} \approx 1.3 \times 10^{12}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}.$

2. $P = 70 \times 1.3 \times 10^{12} \approx 9.1 \times 10^{13}\,\mathrm{N}$ , contra $6.9 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ na Terra: cerca de $1.3 \times 10^{11}$ vezes mais. Estrutura alguma feita de átomos sobrevive de pé ali.

3. $P = 1.0 \times 10^{-6} \times 1.3 \times 10^{12} \approx 1.3 \times 10^{6}\,\mathrm{N}$ . Na Terra isso é o peso de $m = 1.3 \times 10^{6}/9.81 \approx 1.3 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}$ — um grão de areia pesando tanto quanto uma locomotiva de cem toneladas.

Exercício 4.15 ★★★

O teste da Lua, de Newton (1666). O raio da órbita da Lua é de cerca de $60$ raios terrestres.

Por que fator o puxão da Terra por quilograma é mais fraco na Lua do que na superfície da Terra, se a gravidade segue o inverso do quadrado?
Perto da superfície, um corpo em queda desce $4.9\,\mathrm{m}$ no primeiro segundo. Quanto a Lua deveria cair em direção à Terra a cada segundo?
Confira contra a órbita: a Lua percorre o seu círculo de raio $d = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ em $T = 27.3$ dias. Calcule a sua velocidade $v$ , a distância $x$ que ela cobre em um segundo e depois a queda $h \approx x^2/(2d)$ (como no Exercício 4.13).
Compare as respostas das questões 2 e 3 e diga o que Newton concluiu.

Solução

Solução de Exercício 4.15.

1. A distância é $60$ vezes maior, de modo que o puxão por quilograma é $60^2 = 3600$ vezes mais fraco.

2. A queda em um segundo escala do mesmo jeito: $4.9/3600 \approx 1.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}$ — cerca de $1.4\,\mathrm{mm}$ .

3. $T = 27.3 \times 86\,400\,\mathrm{s} = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ , logo $v = \dfrac{2\pi \times 3.84 \times 10^{8}}{2.36 \times 10^{6}} \approx 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , e $x = 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ em um segundo. A queda vale $h \approx \dfrac{x^2}{2d} = \dfrac{(1.02 \times 10^{3})^2}{2 \times 3.84 \times 10^{8}} \approx 1.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}$ .

4. Os dois números concordam: a Lua cai em direção à Terra, a cada segundo, exatamente o que prevê a gravidade em inverso do quadrado, calibrada numa maçã em queda. Newton concluiu que a força que segura a Lua é a força que derruba a maçã — a gravidade é universal.

4.6 Problema: pesar a Terra

Problema 4.1

Problema de fim de semana — de duas esferas de chumbo num galpão até a massa da Terra e depois a do Sol: quanto vale uma constantezinha medida uma única vez

Em 1798, Henry Cavendish suspendeu de um fio fino uma haste leve que carregava duas esferinhas de chumbo, aproximou duas esferas grandes de chumbo e mediu a torção quase inexistente do fio. Os jornais disseram que ele havia pesado a Terra — e tinham razão: conhecido $G$ , o próprio $g$ da Terra e o seu raio entregam a massa dela, e a órbita anual da Terra entrega a do Sol. Este problema refaz a cadeia inteira. Use a ficha de dados o tempo todo.

Parte I — A força mais fraca de todas.

O ferro da torre Eiffel tem massa de cerca de $7.3 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}$ . Um turista de $55\,\mathrm{kg}$ está a $100\,\mathrm{m}$ do seu centro de massa. Calcule o puxão da torre sobre o turista.
Compare-o com o peso de um grão de areia de $1.0\,\mathrm{mg}$ .
Exercício de proporcionalidade: o que acontece com uma força gravitacional se (a) a distância é multiplicada por $10$ ; (b) as duas massas são multiplicadas por $1000$ ; (c) as duas massas e a distância são multiplicadas por $1000$ ?
Calcule o puxão da Terra sobre um objeto de $1.00\,\mathrm{kg}$ na sua superfície, a partir de $M$ , $R$ e $G$ . Que nome e que símbolo do dia a dia esse número carrega?
A gravidade é de longe a mais fraca interação que você já encontrou — e, mesmo assim, governa o universo. Explique em uma ou duas frases por que o puxão da Terra sobre você domina o do seu vizinho.

Parte II — A balança de Cavendish. Na balança de torção, uma esfera grande de massa $m_1 = 158\,\mathrm{kg}$ atrai uma pequena de massa $m_2 = 0.73\,\mathrm{kg}$ ; os centros delas estão a $d = 0.23\,\mathrm{m}$ .

Com o valor moderno de $G$ , calcule a força entre as duas esferas.
Calcule o peso da esfera pequena e a razão entre as duas forças. Por que Cavendish precisou de um fio de torção em vez de uma balança comum?
A torção medida por Cavendish corresponde (em unidades modernas) a $F = 1.47 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}$ . Deduza o valor de $G$ que ele obteve e compare-o com o de hoje.
Com $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ , $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ e $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , deduza a massa da Terra. (É este o passo que os jornais celebraram.)
Deduza a densidade média da Terra $\rho = M / V$ , com $V = \frac43 \pi R^3$ . As rochas de superfície têm densidades em torno de $2.7 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : o que a comparação revela sobre o interior profundo?

Parte III — Outros mundos.

A partir da ficha de dados, recalcule a intensidade do campo na superfície da Lua.
Na Terra, um bom impulso eleva o seu centro de massa em $0.50\,\mathrm{m}$ . Para o mesmo impulso, a altura alcançada é inversamente proporcional a $g$ (como o capítulo de energia, Capítulo 9, justificará). A que altura o mesmo salto leva você na Lua?
Mercúrio: $M = 3.30 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$ , $R = 2.44 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ . Calcule a intensidade do campo na sua superfície e compare com Marte. Mercúrio é bem menor do que Marte — como os dois valores podem estar tão próximos?
A que altitude acima da superfície da Terra a intensidade do campo caiu à metade do seu valor na superfície?
A que distância do centro da Terra o puxão terrestre por quilograma cai ao valor da superfície da Lua, $1.62\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ ? Exprima-a em raios terrestres.

Parte IV — Pesar o Sol. A Terra percorre uma órbita quase circular de raio $d = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ em um ano, $T = 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ . Admita (isso é demonstrado no Capítulo 27) que um corpo numa trajetória circular de raio $d$ com velocidade $v$ precisa de um puxão de $v^2/d$ newtons por quilograma em direção ao centro.

Calcule a velocidade orbital $v$ da Terra.
Deduza o puxão por quilograma que o Sol exerce sobre a Terra.
Esse puxão vale também $G M_{\text{Sol}} / d^2$ . Deduza a massa do Sol.
Quantas Terras isso representa? Compare $M_{\text{Sol}}$ com $M_{\text{Terra}}$ .
Final. As esferas de Cavendish, a Terra, o Sol: uma única constante $G$ serviu para os três. Diga em uma frase o que a palavra universal em “gravitação universal” nos comprou neste problema.

Solução

Solução de Problema 4.1.

1. $F = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{7.3 \times 10^{6} \times 55}{100^2} \approx 2.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}$ .

2. O grão de areia pesa $1.0 \times 10^{-6} \times 9.81 \approx 9.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}$ : a torre Eiffel inteira puxa o turista cerca de $3.7$ vezes menos do que o peso de um grão de areia.

3. (a) Distância $\times 10$ : força dividida por $100$ . (b) As duas massas $\times 1000$ : força multiplicada por $10^6$ . (c) Massas $\times 1000$ e distância $\times 1000$ : $10^6 / 10^6$ — a força não muda.

4. $F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 1.00}{(6.37 \times 10^{6})^2} \approx 9.81\,\mathrm{N}$ : o peso de um quilograma — é exatamente a intensidade do campo $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .

5. A gravidade é fraca por quilograma, mas só sabe atrair, de modo que os puxões de todos os $5.97 \times 10^{24}$ quilogramas da Terra se somam na mesma direção — e uma massa astronômica ganha de uma massa de vizinho por vinte e duas potências de dez.

6. $F = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{158 \times 0.73}{0.23^2} = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{115.3}{0.0529} \approx 1.5 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}$ .

7. A esfera pequena pesa $0.73 \times 9.81 \approx 7.2\,\mathrm{N}$ — cerca de $5 \times 10^{7}$ vezes a atração a ser detectada. Balança de prato nenhuma resolve uma parte em cinquenta milhões; um fio de torção fino, que se torce visivelmente sob torques da ordem do nanonewton, resolve.

8. $G = \dfrac{F d^2}{m_1 m_2} = \dfrac{1.47 \times 10^{-7} \times 0.0529}{115.3} \approx 6.74 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ — a cerca de $1\%$ do valor moderno $6.67 \times 10^{-11}$ , obtido num galpão de madeira em 1798.

9. De $g = G M / R^2$ :

M = \frac{g R^2}{G} = \frac{9.81 \times (6.37 \times 10^{6})^2}{6.67 \times 10^{-11}} \approx 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}.

Seis milhões de bilhões de bilhões de quilogramas: a Terra, pesada.

10. $V = \frac43 \pi R^3 = \frac43 \pi (6.37 \times 10^{6})^3 \approx 1.08 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{3}$ , logo $\rho = 5.97 \times 10^{24}/1.08 \times 10^{21} \approx 5.5 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ — o dobro da densidade da rocha de superfície. O interior tem de esconder algo muito mais denso do que granito: a Terra tem um núcleo pesado, de ferro.

11. $g_{\text{Lua}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.35 \times 10^{22}}{(1.74 \times 10^{6})^2} = \dfrac{4.90 \times 10^{12}} {3.03 \times 10^{12}} \approx 1.62\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .

12. Altura $\propto 1/g$ : $h = 0.50 \times \dfrac{9.81}{1.62} \approx 3.0\,\mathrm{m}$ — um salto parado por cima de uma cesta de basquete, em câmera lenta.

13. $g_{\text{Mercúrio}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 3.30 \times 10^{23}}{(2.44 \times 10^{6})^2} = \dfrac{2.20 \times 10^{13}} {5.95 \times 10^{12}} \approx 3.70\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ — quase exatamente os $3.73\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ de Marte. Mercúrio tem menos massa, mas o seu raio menor (um $R^2$ menor embaixo) compensa: é um mundo muito mais denso.

14. Metade da intensidade do campo exige $(R + h)^2 = 2 R^2$ , logo $R + h = R\sqrt{2}$ e $h = (\sqrt{2} - 1) R \approx 0.414 \times 6.37 \times 10^{6} \approx 2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ — cerca de $2600\,\mathrm{km}$ de altitude.

15. $\dfrac{G M_{\text{Terra}}}{d^2} = 1.62$ dá $d = \sqrt{\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{1.62}} = \sqrt{2.46 \times 10^{14}} \approx 1.57 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx 2.5$ raios terrestres. A apenas um raio e meio acima do solo, a Terra já não puxa mais forte do que a superfície da Lua.

16. $v = \dfrac{2\pi d}{T} = \dfrac{2\pi \times 1.496 \times 10^{11}}{3.156 \times 10^{7}} \approx 2.98 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — trinta quilômetros a cada segundo.

17. $\dfrac{v^2}{d} = \dfrac{(2.98 \times 10^{4})^2}{1.496 \times 10^{11}} \approx 5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ : o Sol puxa cada quilograma da Terra com cerca de seis milinewtons.

18. $\dfrac{G M_{\text{Sol}}}{d^2} = \dfrac{v^2}{d}$ dá

M_{\text{Sol}} = \frac{v^2 d}{G} = \frac{8.87 \times 10^{8} \times 1.496 \times 10^{11}}{6.67 \times 10^{-11}} \approx 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}.

19. $\dfrac{1.99 \times 10^{30}}{5.97 \times 10^{24}} \approx 3.3 \times 10^{5}$ : o Sol é um terço de milhão de Terras.

20. Como o mesmo $G$ governa todo par de massas, medi-lo uma só vez entre duas esferas de chumbo num galpão nos permitiu colocar na balança primeiro o planeta sob os nossos pés e depois a estrela que orbitamos — é isso que a palavra universal vale.