5Movimento relativo

Solução de Exercício 5.1.

Em relação ao vagão: em repouso. Em relação ao solo e à árvore: em movimento a $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Em relação ao trem que vem em sentido contrário: velocidades em sentidos opostos se somam, $100 + 100 = 200\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. No referencial do trem do passageiro, a árvore se move para trás a $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ao longo de uma reta.

Solução de Exercício 5.2.

$72 / 3.6 = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $108 / 3.6 = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $25 \times 3.6 = 90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$; $340 \times 3.6 = 1224\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Em cada par o valor em $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ é o maior, como a regra de conferência exige.

Solução de Exercício 5.3.

Ciclista: $v = \frac{36\,\mathrm{km}}{1.5\,\mathrm{h}} = 24\,\mathrm{km}/\mathrm{h} = 24/3.6 \approx 6.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Velocista: $v = \frac{100\,\mathrm{m}}{10.0\,\mathrm{s}} = 10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. O velocista é uma vez e meia mais rápido — mas só por dez segundos, enquanto o ciclista mantém o ritmo por uma hora e meia. Velocidades médias só se comparam com justiça em durações comparáveis.

Solução de Exercício 5.4.

Mesmo sentido: $1.4 + 0.9 = 2.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Contra a esteira: $1.4 - 0.9 = 0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Parado sobre a esteira: os $0.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ da própria esteira.

Solução de Exercício 5.5.

Caneta solta: o referencial do solo funciona, mas o referencial do trem é ainda melhor — nele a caneta simplesmente cai na vertical. Estação espacial: referencial geocêntrico (ela orbita a Terra como um todo, ignorando a rotação). Ano marciano: referencial heliocêntrico (Marte descreve um quase-círculo em volta do Sol). Corrida: referencial do solo (largada, chegada e cronômetro estão todos fixos ao solo).

Solução de Exercício 5.6.

1. $108/3.6 = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Para a frente: $30 + 1.5 = 31.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; para trás: $30 - 1.5 = 28.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

2. Em relação ao trem, o passageiro percorre $60\,\mathrm{m}$ a $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $t = 60/1.5 = 40\,\mathrm{s}$. Em relação ao solo, ele percorre $31.5 \times 40 = 1260\,\mathrm{m}$ — os $1200\,\mathrm{m}$ transportados pelo trem mais os $60\,\mathrm{m}$ caminhados, como a regra de composição prevê.

Solução de Exercício 5.7.

1. Rio abaixo: $5.0 + 2.0 = 7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, logo $t_1 = 420/7.0 = 60\,\mathrm{s}$. Rio acima: $5.0 - 2.0 = 3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, logo $t_2 = 420/3.0 = 140\,\mathrm{s}$.

2. Velocidade média: $v = \frac{840}{60 + 140} = \frac{840}{200} = 4.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s} < 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. A ajuda e o estorvo da correnteza são iguais em velocidade, mas não em tempo: o barco passa $140\,\mathrm{s}$ sendo freado e apenas $60\,\mathrm{s}$ sendo ajudado, de modo que o trecho lento domina a média.

Solução de Exercício 5.8.

1. Sentidos opostos: no referencial de A, B se aproxima a $25 + 20 = 45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. O cruzamento se completa quando B tiver deslizado pelo comprimento combinado $180 + 90 = 270\,\mathrm{m}$: $t = 270/45 = 6.0\,\mathrm{s}$.

2. Mesmo sentido: velocidade relativa $25 - 20 = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, e $t = 270/5.0 = 54\,\mathrm{s}$ — nove vezes mais, e é por isso que ultrapassar um caminhão parece não acabar nunca.

Solução de Exercício 5.9.

Referencial do ciclista: um círculo (o círculo do aro, centrado no cubo). Referencial do solo: uma cicloide — uma sequência de arcadas, uma por volta da roda. Referencial da própria válvula: a válvula está em repouso, um único ponto. O cubo no referencial do solo: uma reta horizontal à altura de um raio de roda.

Solução de Exercício 5.10.

1. $v = \frac{40\,000\,\mathrm{km}}{24\,\mathrm{h}} \approx 1.7 \times 10^{3}\,\mathrm{km}/\mathrm{h} = 1667/3.6 \approx 463\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — mais rápido do que o som.

2. Não a sentimos porque tudo à nossa volta — solo, ar, edifícios — compartilha exatamente o mesmo movimento, de modo que nada se move em relação a nós (e o princípio da inércia, Capítulo 6, explicará por que um movimento uniforme compartilhado é indetectável por dentro). “O Sol nasce” é o relato no referencial do solo e “a Terra gira” é o relato no referencial geocêntrico de uma única e mesma observação.

Solução de Exercício 5.11.

Seja $L$ o comprimento da escada. Velocidade da escada: $L/60$; velocidade de caminhada: $L/90$. Caminhando na escada em movimento, as velocidades se somam:

de modo que a subida leva $36\,\mathrm{s}$. (Não é a média de $60$ e $90$: as velocidades se somam, os tempos não.)

Solução de Exercício 5.12.

1. Para uma distância $d$ em cada sentido: $t = \frac{d}{60} + \frac{d}{90} = d\,\frac{3 + 2}{180} = \frac{d}{36}$, logo $v = \frac{2d}{d/36} = 72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

2. O ingênuo $75$ tira a média das duas velocidades como se o motorista tivesse passado tempos iguais em cada uma; na verdade as distâncias é que são iguais, de modo que o trecho mais lento dura mais ($\frac{d}{60} > \frac{d}{90}$) e puxa a média para perto de $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. A velocidade média é a distância total dividida pelo tempo total — e nada mais.

Solução de Exercício 5.13.

1. No referencial do primeiro ciclista, o segundo se aproxima em linha reta a $15 + 20 = 35\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, a partir de $35\,\mathrm{km}$ de distância: eles se encontram depois de exatamente $1.0\,\mathrm{h}$.

2. O primeiro pedalou $15 \times 1 = 15\,\mathrm{km}$ e o segundo, $20 \times 1 = 20\,\mathrm{km}$ — ao todo $35\,\mathrm{km}$, como tinha de ser.

3. Mesmo sentido: velocidade de aproximação $20 - 15 = 5\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, logo a perseguição dura $35/5 = 7\,\mathrm{h}$.

Solução de Exercício 5.14.

1. A correnteza empurra o nadador ao longo do rio, não através dele: os dois movimentos se compõem de modo independente, e o avanço em direção à outra margem se faz a $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ qualquer que seja a deriva. Tempo de travessia: $t = 60/1.2 = 50\,\mathrm{s}$.

2. Deriva: $0.9 \times 50 = 45\,\mathrm{m}$ rio abaixo.

3. A velocidade no referencial do solo é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos $1.2$ e $0.9$: $v = \sqrt{1.2^2 + 0.9^2} = \sqrt{2.25} = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (um triângulo $3$–$4$–$5$ multiplicado por $0.3$). Comprimento do caminho: $1.5 \times 50 = 75\,\mathrm{m}$ — ou diretamente $\sqrt{60^2 + 45^2} = 75\,\mathrm{m}$.

Solução de Exercício 5.15.

1. $v = \frac{2\pi \times 1.50 \times 10^{11}}{3.16 \times 10^{7}} = \frac{9.42 \times 10^{11}}{3.16 \times 10^{7}} \approx 2.98 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

2. $30 / 0.46 \approx 65$: a Terra nos leva em volta do Sol cerca de sessenta e cinco vezes mais depressa do que nos gira em torno do seu eixo.

3. No referencial geocêntrico, o caminho aparente de Marte combina o movimento orbital dele com o da Terra e, quando a Terra, mais rápida, ultrapassa Marte, a combinação corre para trás por algumas semanas. No referencial heliocêntrico os dois planetas simplesmente circulam o Sol em ritmos regulares — a “volta para trás” não é um movimento de Marte, mas um artefato do referencial.