Physics · Livro 2 · Grades 10–12

Física do ensino médio

Física do ensino médio · Grades 10–12

17Trabalho de uma força

Empurre um guarda-roupa pela sala e você trabalhou; empurre uma parede a tarde inteira e, digam o que disserem os seus músculos, a física conta zero. O trabalho é o que uma força entrega ao longo de um movimento — energia em trânsito (Capítulo 9), paga em joules. Este capítulo dá preço às forças do Capítulo 16 — puxões em ângulo, peso, atrito — e cronometra o ritmo do pagamento: a potência.

17.1 Trabalho de uma força constante

Definição 17.1 (Trabalho de uma força constante)

Uma força constante F→\vect F aplicada a um objeto que se move ao longo de um segmento retilíneo de AA até BB realiza o trabalho

WAB(F→)=F×AB×cos⁡θ,W_{AB}(\vect F) = F \times AB \times \cos\theta ,

em que FF é o módulo da força (em N\mathrm{N}), ABAB é o comprimento do deslocamento (em m\mathrm{m}) e θ\theta é o ângulo entre F→\vect F e AB→\vect{AB}. O trabalho se mede em joules (J\mathrm{J}): um joule é o trabalho de uma força de um newton ao longo de um metro na sua própria direção.

Observação 17.2

F×AB×cos⁡θF \times AB \times \cos\theta é exatamente o produto escalar F→⋅AB→\vect F \cdot \vect{AB} do volume de matemática deste ano. Só a componente Fcos⁡θF\cos\theta ao longo do movimento rende alguma coisa.

Só a projeção F da força sobre o deslocamento realiza trabalho: W_AB( F) = F × AB ×.
Só a projeção Fcos⁡θF\cos\theta da força sobre o deslocamento realiza trabalho: WAB(F→)=F×AB×cos⁡θW_{AB}(\vect F) = F \times AB \times \cos\theta.

Exemplo 17.3 (Mala na correia)

Um viajante arrasta uma mala por 300 m300\,\mathrm{m} num terminal, puxando a alça com F=40 NF = 40\,\mathrm{N} a θ=50∘\theta = 50{}^{\circ} do piso: W=40×300×cos⁡50∘≈7.7 kJW = 40 \times 300 \times \cos50{}^{\circ} \approx 7.7\,\mathrm{kJ}. Puxada na horizontal (θ=0\theta = 0), a mesma força entregaria 12 kJ12\,\mathrm{kJ}: um terço do puxão não levanta nada.

Definição 17.4 (Trabalho motor, resistente e nulo)

O sinal de cos⁡θ\cos\theta classifica toda força em três regimes:

  • θ<90∘\theta < 90{}^{\circ}: W>0W > 0, o trabalho é motor — a força injeta energia no movimento;
  • θ=90∘\theta = 90{}^{\circ}: W=0W = 0, a força não realiza trabalho algum, por maior que seja;
  • θ>90∘\theta > 90{}^{\circ}: W<0W < 0, o trabalho é resistente — a força drena energia. O caso puro é um freio, a 180∘180{}^{\circ}: 800 N800\,\mathrm{N} ao longo de 45 m45\,\mathrm{m} retiram 800×45×(−1)=−36 kJ800 \times 45 \times (-1) = -36\,\mathrm{kJ} de um carro, e os despejam em discos quentes.
Os três regimes — motor, nulo e resistente — pelo ângulo entre a força e o deslocamento (flecha vermelha). Os três regimes — motor, nulo e resistente — pelo ângulo entre a força e o deslocamento (flecha vermelha). Os três regimes — motor, nulo e resistente — pelo ângulo entre a força e o deslocamento (flecha vermelha).
Os três regimes — motor, nulo e resistente — pelo ângulo entre a força e o deslocamento (flecha vermelha).

17.2 O trabalho do peso

Proposição 17.5 (Trabalho do peso)

Quando um objeto de massa mm vai de AA (altitude zAz_A) até BB (altitude zBz_B) por qualquer caminho feito de segmentos retilíneos, o seu peso P→\vect P realiza o trabalho

WAB(P→)=mg (zA−zB)=± mgh,W_{AB}(\vect P) = mg\,(z_A - z_B) = \pm\, mgh ,

em que h=∣zA−zB∣h = \abs{z_A - z_B} é o desnível: +mgh+mgh na descida e −mgh-mgh na subida — só o desnível importa, e não o percurso.

Demonstração. Num único segmento retilíneo ABAB, o peso (módulo mgmg, dirigido para baixo) faz um ângulo θ\theta com AB→\vect{AB}, e ABcos⁡θAB\cos\theta é justamente a projeção do deslocamento sobre a vertical descendente: zA−zBz_A - z_B. Logo, W=mg×ABcos⁡θ=mg (zA−zB)W = mg \times AB\cos\theta = mg\,(z_A - z_B). Numa sequência de segmentos os trabalhos se somam e os desníveis se telescopam: mg(zA−zC)+mg(zC−zB)=mg(zA−zB)mg(z_A - z_C) + mg(z_C - z_B) = mg(z_A - z_B). ∎

Proposição 17.6 (Qualquer caminho)

A mesma fórmula vale ao longo de qualquer caminho curvo de AA até BB.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 17.7

É plausível — uma curva está tão perto quanto queiramos de uma linha quebrada de muitos segmentos curtos —, mas tornar honesto esse “tão perto quanto queiramos” é cálculo, feito no Capítulo 29.

Reto (azul) ou sinuoso (verde), todo caminho de A até B desce o mesmo h: o peso realiza +mgh nos dois.
Reto (azul) ou sinuoso (verde), todo caminho de AA até BB desce o mesmo hh: o peso realiza +mgh+mgh nos dois.

Exemplo 17.8 (Caminhante)

Um caminhante de 78 kg78\,\mathrm{kg} (mochila incluída) sobe 450 m450\,\mathrm{m}, por qualquer trilha: W(P→)=−78×9.81×450≈−344 kJW(\vect P) = -78 \times 9.81 \times 450 \approx -344\,\mathrm{kJ}, e exatamente +344 kJ+344\,\mathrm{kJ} na descida, sejam quais forem os desvios.

17.3 O trabalho do atrito

Proposição 17.9 (Trabalho do atrito de deslizamento)

Uma força de atrito de módulo constante ff, a cada instante oposta ao movimento, realiza o trabalho W=−fLW = -fL ao longo de um caminho de comprimento total LL: sempre resistente e proporcional ao comprimento do caminho percorrido — e não ao deslocamento.

Demonstração. Em cada pedacinho retilíneo a força está a 180∘180{}^{\circ} do movimento, contribuindo com −f×(o comprimento dele)-f \times (\text{o comprimento dele}); os pedaços somam −fL-fL. Um caminho curvo é picado em pedacinhos do mesmo jeito, com o limite admitido como no caso do peso (Observação 17.7). ∎

Observação 17.10 (Atrito contra peso: a grande divisão)

O trabalho do peso esquece o caminho; o do atrito é um pedágio por metro. Numa ida e volta o peso fecha em zero — o que ele toma na subida devolve na descida —, enquanto o atrito cobra −fL-fL em cada trecho e não devolve nada: o trabalho do peso pode ser armazenado e recuperado (energia potencial, Capítulo 18), e o do atrito se perde como calor.

Exemplo 17.11 (Ida e volta)

Um engradado desliza 5.0 m5.0\,\mathrm{m} pelo piso e 5.0 m5.0\,\mathrm{m} de volta, contra f=60 Nf = 60\,\mathrm{N}: o atrito realiza −60×10=−600 J-60 \times 10 = -600\,\mathrm{J}, embora o engradado termine onde começou. Peso e força normal, perpendiculares ao movimento: zero o tempo todo.

Observação 17.12 (E uma mola?)

Uma mola puxa com mais força quanto mais esticada estiver: a força dela não é constante e a Definição 17.1 não se aplica. Calcular o trabalho dela significa cortar o alongamento em passos infinitesimais e somar — cálculo, entregue no Capítulo 29.

17.4 Potência

Definição 17.13 (Potência)

A potência de uma força é o ritmo com que ela realiza trabalho, P=W/ΔtP = W/\Delta t, em watts (W=J/s\mathrm{W} = \mathrm{J}/\mathrm{s}) — o mesmo watt do Capítulo 12. Uma unidade anterior ao SI sobrevive nas placas dos motores: o cavalo-vapor, 1 hp=736 W1\,\mathrm{hp} = 736\,\mathrm{W}.

Proposição 17.14 (Potência com velocidade constante)

Se o objeto se move com velocidade escalar constante vv, uma força constante F→\vect F a um ângulo θ\theta do movimento entrega a potência P=Fvcos⁡θP = F v \cos\theta — em particular, P=FvP = Fv para uma força ao longo do movimento.

Demonstração. Num tempo Δt\Delta t o objeto percorre d=v Δtd = v\,\Delta t, de modo que W=F×v Δt×cos⁡θW = F \times v\,\Delta t \times \cos\theta; divida por Δt\Delta t. ∎

Exemplo 17.15 (Guindaste)

Um guindaste iça um palete de 600 kg600\,\mathrm{kg} a constantes 0.90 m/s0.90\,\mathrm{m}/\mathrm{s}: a força do cabo é igual ao peso, mg=5.89×103 Nmg = 5.89 \times 10^{3}\,\mathrm{N}, logo P=Fv=5890×0.90≈5.3 kW≈7.2 hpP = Fv = 5890 \times 0.90 \approx 5.3\,\mathrm{kW} \approx 7.2\,\mathrm{hp} — uma parelha de sete cavalos dentro de uma caixa de aço.

Método 17.16 (Subir com menos força: o ziguezague)

Para elevar uma carga a uma altura hh com uma força limitada:

  1. A conta está fixada: pela Proposição 17.5, qualquer rota até o topo custa o trabalho mghmgh.
  2. Estique o caminho: numa rampa de comprimento LL a força necessária (com velocidade constante, deixando o atrito de lado) vale F=mgh/LF = mgh/L — dobre o comprimento e reduza a força à metade.
  3. Pague a sobretaxa: o atrito cobra por metro (Proposição 17.9), acrescentando fLfL.

As estradas de montanha ziguezagueiam pelo passo 2: mesma altura, menos força, mesmo trabalho.

Puxar 1200\, kg até h = 300\, m: o produto F × L = mgh = 3.53\, MJ está fixado, de modo que a estrada troca comprimento por força (veja o ).
Puxar 1200 kg1200\,\mathrm{kg} até h=300 mh = 300\,\mathrm{m}: o produto F×L=mgh=3.53 MJF \times L = mgh = 3.53\,\mathrm{MJ} está fixado, de modo que a estrada troca comprimento por força (veja o Exercício 17.12).

17.5 Exercícios

Exercício 17.1 ★

Uma força constante F=40 NF = 40\,\mathrm{N} age ao longo de um deslocamento retilíneo de 50 m50\,\mathrm{m}: calcule o seu trabalho para θ=0∘\theta = 0{}^{\circ}, 60∘60{}^{\circ}, 90∘90{}^{\circ} e 120∘120{}^{\circ}.

Solução

Solução de Exercício 17.1.

W=40×50×cos⁡θW = 40 \times 50 \times \cos\theta: +2000 J+2000\,\mathrm{J}; +1000 J+1000\,\mathrm{J}; 00; −1000 J-1000\,\mathrm{J}.

Exercício 17.2 ★

Uma caixa de ferramentas de 12 kg12\,\mathrm{kg} é baixada 2.5 m2.5\,\mathrm{m} de uma van e, mais tarde, içada de volta. Qual é o trabalho do peso dela em cada caso?

Solução

Solução de Exercício 17.2.

mgh=12×9.81×2.5=294 Jmgh = 12 \times 9.81 \times 2.5 = 294\,\mathrm{J}: baixada, +294 J+294\,\mathrm{J} (peso no sentido da descida); içada, −294 J-294\,\mathrm{J}.

Exercício 17.3 ★

Motor, resistente ou nulo? (a) o peso de uma maçã em queda; (b) o peso de uma bola em ascensão; (c) a força normal sobre uma caixa que desliza; (d) o atrito sobre uma bicicleta que freia; (e) a tensão do fio sobre a massa de um pêndulo que oscila.

Solução

Solução de Exercício 17.3.

(a) motor; (b) resistente; (c) nulo (perpendicular); (d) resistente; (e) nulo — a tensão do fio permanece perpendicular ao movimento da massa.

Exercício 17.4 ★

Um guindaste levanta 600 kg600\,\mathrm{kg} em 25 m25\,\mathrm{m} com velocidade constante. Qual é o trabalho da força de içamento e o do peso? Qual é a soma deles, e por quê?

Solução

Solução de Exercício 17.4.

Velocidade constante: força de içamento =mg=5.89×103 N= mg = 5.89 \times 10^{3}\,\mathrm{N}, logo Wic¸amento=5886×25≈+147 kJW_{\text{içamento}} = 5886 \times 25 \approx +147\,\mathrm{kJ} e W(P→)=−147 kJW(\vect P) = -147\,\mathrm{kJ}. Soma nula: com velocidade constante as forças se equilibram (Capítulo 16), de modo que os trabalhos delas se cancelam.

Exercício 17.5 ★

O motor de uma escada rolante realiza 90 kJ90\,\mathrm{kJ} de trabalho a cada minuto. Qual é a potência dele em watts? E em cavalos-vapor?

Solução

Solução de Exercício 17.5.

P=9.0×104/60=1.5 kWP = 9.0 \times 10^{4}/60 = 1.5\,\mathrm{kW}; 1500/736≈2.0 hp1500/736 \approx 2.0\,\mathrm{hp}.

Exercício 17.6 ★★

Um trenó é rebocado por 200 m200\,\mathrm{m} por uma corda de tensão 120 N120\,\mathrm{N} a 30∘30{}^{\circ} acima da neve; o atrito vale 45 N45\,\mathrm{N}. Qual é o trabalho de cada uma das quatro forças (corda, atrito, peso, normal) e o total?

Solução

Solução de Exercício 17.6.

Corda: 120×200×cos⁡30∘≈+20.8 kJ120 \times 200 \times \cos30{}^{\circ} \approx +20.8\,\mathrm{kJ}; atrito: −45×200=−9.0 kJ-45 \times 200 = -9.0\,\mathrm{kJ}; peso e força normal, perpendiculares: 00. Total +11.8 kJ+11.8\,\mathrm{kJ}: o trenó ganha velocidade.

Exercício 17.7 ★★

Um ciclista pedala a constantes 25 km/h25\,\mathrm{km}/\mathrm{h} contra um arrasto total de 18 N18\,\mathrm{N}. Qual é a potência entregue? E o trabalho realizado em uma hora?

Solução

Solução de Exercício 17.7.

v=25/3.6=6.94 m/sv = 25/3.6 = 6.94\,\mathrm{m}/\mathrm{s}; P=Fv=18×6.94≈125 WP = Fv = 18 \times 6.94 \approx 125\,\mathrm{W}. Em uma hora, W=P Δt=125×3600=450 kJW = P\,\Delta t = 125 \times 3600 = 450\,\mathrm{kJ} (o que dá no mesmo: 18×25 000 m18 \times 25\,000\,\mathrm{m}).

Exercício 17.8 ★★

Um esquiador de 65 kg65\,\mathrm{kg} desce 120 m120\,\mathrm{m} de altura, por uma pista íngreme de 800 m800\,\mathrm{m} ou por uma trilha suave de 1500 m1500\,\mathrm{m}; o atrito nos esquis é de 30 N30\,\mathrm{N} nas duas. Qual é o trabalho do peso e o do atrito em cada rota? Que trabalho se importa com a rota?

Solução

Solução de Exercício 17.8.

Peso, nas duas rotas: +65×9.81×120≈+76.5 kJ+65 \times 9.81 \times 120 \approx +76.5\,\mathrm{kJ} (só o desnível). Atrito: −30×800=−24 kJ-30 \times 800 = -24\,\mathrm{kJ} na pista e −30×1500=−45 kJ-30 \times 1500 = -45\,\mathrm{kJ} na trilha. Só o atrito se importa com a rota.

Exercício 17.9 ★★

Uma caixa de 20 kg20\,\mathrm{kg} é empurrada 4.0 m4.0\,\mathrm{m} rampa acima, com inclinação de 25∘25{}^{\circ}, com velocidade constante e contra 30 N30\,\mathrm{N} de atrito. Calcule os trabalhos do peso e do atrito e, em seguida (a partir da velocidade constante), o trabalho e o módulo do empurrão, paralelo à rampa.

Solução

Solução de Exercício 17.9.

Subida h=4.0sin⁡25∘=1.69 mh = 4.0\sin25{}^{\circ} = 1.69\,\mathrm{m}: W(P→)=−20×9.81×1.69≈−332 JW(\vect P) = -20 \times 9.81 \times 1.69 \approx -332\,\mathrm{J}; Wf=−30×4.0=−120 JW_f = -30 \times 4.0 = -120\,\mathrm{J}. Velocidade constante: trabalho total nulo, logo Wempurra˜o=+452 JW_{\text{empurrão}} = +452\,\mathrm{J} e F=452/4.0≈113 NF = 452/4.0 \approx 113\,\mathrm{N}.

Exercício 17.10 ★★

Um carro segue a 130 km/h130\,\mathrm{km}/\mathrm{h} com o motor entregando 50 kW50\,\mathrm{kW} às rodas. Que força resistente total ele enfrenta?

Solução

Solução de Exercício 17.10.

v=130/3.6=36.1 m/sv = 130/3.6 = 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}; velocidade constante, logo F=P/v=5.0×104/36.1≈1.4 kNF = P/v = 5.0 \times 10^{4}/36.1 \approx 1.4\,\mathrm{kN}.

Exercício 17.11 ★★

Um cavalo de canal reboca uma barcaça a 1.0 m/s1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}, com a corda de tensão 800 N800\,\mathrm{N} fazendo 20∘20{}^{\circ} com o caminho de sirga. Calcule a potência do cavalo, em watts e em cavalos-vapor. Comente.

Solução

Solução de Exercício 17.11.

P=Fvcos⁡θ=800×1.0×cos⁡20∘≈752 WP = Fv\cos\theta = 800 \times 1.0 \times \cos20{}^{\circ} \approx 752\,\mathrm{W}; em cavalos-vapor, 752/736≈1.02752/736 \approx 1.02 — quase exatamente o que um cavalo forte sustenta, a comparação sobre a qual Watt construiu a sua unidade.

Exercício 17.12 ★★★

Um carro de 1200 kg1200\,\mathrm{kg} sobe h=300 mh = 300\,\mathrm{m} até um passo, por uma trilha reta de 20%20\% de inclinação ou por uma estrada em ziguezague de 6%6\% (inclinação =sin⁡α= \sin\alpha). Desprezando o atrito, com velocidade constante, calcule para cada rota o comprimento, a força necessária ao longo da rampa e o trabalho dela. Conclua em uma frase.

Solução

Solução de Exercício 17.12.

Comprimentos L=h/inclinac¸a˜oL = h/\text{inclinação}: 1500 m1500\,\mathrm{m} e 5000 m5000\,\mathrm{m}. Forças F=mg×inclinac¸a˜oF = mg \times \text{inclinação}: 1200×9.81×0.20≈2.35 kN1200 \times 9.81 \times 0.20 \approx 2.35\,\mathrm{kN} e 0.71 kN0.71\,\mathrm{kN}. Trabalhos FLFL: 2354×1500≈3.53 MJ2354 \times 1500 \approx 3.53\,\mathrm{MJ} e 706×5000≈3.53 MJ706 \times 5000 \approx 3.53\,\mathrm{MJ} — os dois iguais a mghmgh: a estrada troca força por comprimento, jamais por trabalho.

Exercício 17.13 ★★★

Um guincho ergue 250 kg250\,\mathrm{kg} de telhas 15 m15\,\mathrm{m} por um andaime a constantes 0.40 m/s0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}. Calcule o trabalho da força do cabo, a duração, a potência mecânica (duas vezes: W/ΔtW/\Delta t e FvFv) e a potência elétrica consumida com 70%70\% de rendimento do motor.

Solução

Solução de Exercício 17.13.

F=mg=2.45×103 NF = mg = 2.45 \times 10^{3}\,\mathrm{N}; W=2453×15≈36.8 kJW = 2453 \times 15 \approx 36.8\,\mathrm{kJ}; Δt=15/0.40=37.5 s\Delta t = 15/0.40 = 37.5\,\mathrm{s}; P=36800/37.5≈981 W=2453×0.40P = 36800/37.5 \approx 981\,\mathrm{W} = 2453 \times 0.40 (FvFv concorda); elétrica: 981/0.70≈1.4 kW981/0.70 \approx 1.4\,\mathrm{kW}.

Exercício 17.14 ★★★

Um guarda-roupa é arrastado contra f=140 Nf = 140\,\mathrm{N} de atrito de um canto da sala até o canto oposto: em linha reta pela diagonal de 6.0 m6.0\,\mathrm{m}, ou 3.6 m3.6\,\mathrm{m} e depois 4.8 m4.8\,\mathrm{m} ao longo das paredes. Qual é o trabalho do atrito em cada rota, e depois numa ida e volta pela diagonal? O que o peso faz nessa ida e volta, e que diferença profunda entre as duas forças isso expõe?

Solução

Solução de Exercício 17.14.

Diagonal: −140×6.0=−840 J-140 \times 6.0 = -840\,\mathrm{J}; paredes: −140×8.4≈−1.18 kJ-140 \times 8.4 \approx -1.18\,\mathrm{kJ}; ida e volta: −140×12=−1.68 kJ-140 \times 12 = -1.68\,\mathrm{kJ}. O peso realiza trabalho nulo na ida e volta (sem desnível líquido). O trabalho do atrito depende do caminho e nunca devolve; o do peso depende só dos extremos (Observação 17.10).

Exercício 17.15 ★★★

Um ciclista (80 kg80\,\mathrm{kg} com a bicicleta) sobe um passo: 600 m600\,\mathrm{m} de altura ao longo de 12 km12\,\mathrm{km} de estrada, a constantes 15 km/h15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}, contra 14 N14\,\mathrm{N} de arrasto e resistência de rolamento. Calcule o trabalho fornecido contra a gravidade, contra o atrito e ao todo; a duração da subida; e a potência média, em watts e em cavalos-vapor.

Solução

Solução de Exercício 17.15.

Gravidade: 80×9.81×600≈471 kJ80 \times 9.81 \times 600 \approx 471\,\mathrm{kJ}; atrito: 14×12000=168 kJ14 \times 12000 = 168\,\mathrm{kJ}; total 639 kJ639\,\mathrm{kJ}. v=4.17 m/sv = 4.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}, logo Δt=12000/4.17=2880 s=48 min\Delta t = 12000/4.17 = 2880\,\mathrm{s} = 48\,\mathrm{min} e P=6.39×105/2880≈222 W≈0.30 hpP = 6.39 \times 10^{5}/2880 \approx 222\,\mathrm{W} \approx 0.30\,\mathrm{hp} — um amador forte, um terço de cavalo.

17.6 Problema: o dia da mudança

Problema 17.1

Problema de fim de semana — a física paga por joule: um dia de arrastar, içar e subir curvas fechadas, terminando com a humilhante descoberta do que uma chaleira acha do trabalho honesto

Uma equipe de mudanças esvazia um depósito, sobe a carga até um apartamento de terceiro andar e depois leva a van até um povoado no alto de um morro. Cada tarefa tem preço em joules; a chaleira da cozinha vai auditar o dia. Caixas: 30 kg30\,\mathrm{kg}.

Parte I — Pelo piso do depósito. Uma caixa é empurrada com uma força horizontal F=110 NF = 110\,\mathrm{N} por d=8.0 md = 8.0\,\mathrm{m}; o atrito de deslizamento vale f=95 Nf = 95\,\mathrm{N}.

  1. Calcule o trabalho do empurrão.
  2. Calcule o trabalho do atrito, o do peso e o da força normal (justifique os zeros).
  3. Qual é o trabalho total sobre a caixa e o significado do sinal dele (a caixa partiu do repouso)? Que empurrão mantém a velocidade constante (Capítulo 16)?
  4. O canto oposto pode ser alcançado pela diagonal de 10.0 m10.0\,\mathrm{m} ou por duas paredes (6.0 m6.0\,\mathrm{m} e depois 8.0 m8.0\,\mathrm{m}). Qual é o trabalho do atrito em cada rota?
  5. Numa ida e volta pela diagonal, calcule o trabalho do atrito e o trabalho do peso. Que força devolve?

Parte II — Até o terceiro andar (h=9.0 mh = 9.0\,\mathrm{m}).

  1. Calcule o trabalho do peso numa caixa erguida até o apartamento. Que trabalho a equipe precisa fornecer, no mínimo?
  2. Carregada escada acima por um carregador de 70 kg70\,\mathrm{kg}, a gravidade cobra pelo carregador e pela caixa: qual é o trabalho total contra a gravidade e a fração efetivamente gasta com a caixa?
  3. Uma rampa para carrinho tem 30 m30\,\mathrm{m} de comprimento para a mesma subida de 9.0 m9.0\,\mathrm{m}, com 40 N40\,\mathrm{N} de atrito de rolamento. Com velocidade constante, calcule o empurrão necessário ao longo da rampa e o trabalho dele.
  4. Compare a rampa com um içamento vertical direto: força necessária e trabalho realizado. O que a rampa compra, e a que preço?
  5. Um sistema de corda e roldana ergue a caixa a 0.50 m/s0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}. Qual é a duração e a potência mecânica?
  6. Recupere essa potência como P=FvP = Fv. O motor do guincho tem 60%60\% de rendimento: qual é a potência elétrica consumida?

Parte III — A estrada em ziguezague. A van carregada (3500 kg3500\,\mathrm{kg}) precisa chegar a um povoado 240 m240\,\mathrm{m} acima do vale: pela ladeira reta, 1.0 km1.0\,\mathrm{km} a 24%24\% de inclinação, ou pela estrada asfaltada, 8.0 km8.0\,\mathrm{km} a 3.0%3.0\% (inclinação =sin⁡α= \sin\alpha).

  1. Confira que as duas rotas sobem os mesmos 240 m240\,\mathrm{m}.
  2. Com velocidade constante e desprezando o atrito, calcule a força motriz necessária em cada rota.
  3. Qual é o trabalho da força motriz em cada rota? Compare com mghmgh.
  4. A resistência de rolamento vale 400 N400\,\mathrm{N} nas duas: calcule o trabalho extra em cada rota. Quanto custa o conforto do ziguezague?
  5. A 36 km/h36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}, calcule a potência de motor necessária em cada rota (em kW\mathrm{kW} e em hp\mathrm{hp}). Por que as estradas ziguezagueiam?

Parte IV — O balanço do dia.

  1. A equipe arrasta 6060 caixas pelo piso (com o empurrão da questão 1) e iça as 6060 pelos 9.0 m9.0\,\mathrm{m} (questão 6). Qual é o trabalho mecânico total entregue às caixas?
  2. Acrescente o próprio corpo de quem sobe a escada: 2020 viagens de subida a 70 kg70\,\mathrm{kg} (as devoluções da descida vão para joelhos doloridos, e não para o balanço). Qual é o total do dia?
  3. A equipe trabalhou 8.08.0 horas: qual é a potência mecânica média? Quanto tempo a chaleira de 2.0 kW2.0\,\mathrm{kW} levaria para gastar a mesma energia?
  4. Final: em duas frases, diga o que o joule paga — e o que não paga (a parede empurrada a tarde inteira, a caixa segurada imóvel) — e por que as equipes de mudança têm guinchos, rampas e estradas em ziguezague em vez de músculos maiores.
Solução

Solução de Problema 17.1.

1. W=110×8.0=+880 JW = 110 \times 8.0 = +880\,\mathrm{J}.

2. Atrito: −95×8.0=−760 J-95 \times 8.0 = -760\,\mathrm{J}. Peso e força normal são perpendiculares ao movimento: zero cada um.

3. Total +120 J+120\,\mathrm{J}: trabalho motor líquido, e a caixa ganha velocidade. Um empurrão de 95 N95\,\mathrm{N} equilibra o atrito — força resultante nula, velocidade constante, trabalho total nulo.

4. Diagonal: −95×10.0=−950 J-95 \times 10.0 = -950\,\mathrm{J}; paredes: −95×14.0=−1.33 kJ-95 \times 14.0 = -1.33\,\mathrm{kJ}: o atrito cobra por metro.

5. Atrito: −95×20.0=−1.9 kJ-95 \times 20.0 = -1.9\,\mathrm{kJ}; peso: 00 (sem desnível líquido). Só o peso devolve.

6. W(P→)=−30×9.81×9.0=−2.65 kJW(\vect P) = -30 \times 9.81 \times 9.0 = -2.65\,\mathrm{kJ}; a equipe precisa fornecer pelo menos +2.65 kJ+2.65\,\mathrm{kJ}.

7. (70+30)×9.81×9.0=8.83 kJ(70 + 30) \times 9.81 \times 9.0 = 8.83\,\mathrm{kJ}; a fatia da caixa é 2.65/8.83≈30%2.65/8.83 \approx 30\% — carregar é, sobretudo, transportar a si mesmo.

8. sin⁡α=9.0/30=0.30\sin\alpha = 9.0/30 = 0.30: F=mgsin⁡α+f=88.3+40=128 NF = mg\sin\alpha + f = 88.3 + 40 = 128\,\mathrm{N}; W=128×30=3.85 kJW = 128 \times 30 = 3.85\,\mathrm{kJ} (=2.65+1.2= 2.65 + 1.2).

9. Içamento vertical: F=mg=294 NF = mg = 294\,\mathrm{N}, W=2.65 kJW = 2.65\,\mathrm{kJ}. A rampa compra uma força menor (128128 contra 294 N294\,\mathrm{N}) ao preço de mais trabalho: o pedágio de 1.2 kJ1.2\,\mathrm{kJ} do atrito.

10. Δt=9.0/0.50=18 s\Delta t = 9.0/0.50 = 18\,\mathrm{s}; P=2649/18≈147 WP = 2649/18 \approx 147\,\mathrm{W}.

11. P=Fv=294×0.50=147 WP = Fv = 294 \times 0.50 = 147\,\mathrm{W} — o mesmo. Elétrica: 147/0.60≈245 W147/0.60 \approx 245\,\mathrm{W}.

12. 1000×0.24=240 m1000 \times 0.24 = 240\,\mathrm{m} e 8000×0.030=240 m8000 \times 0.030 = 240\,\mathrm{m}: o mesmo cume.

13. F=mg×inclinac¸a˜oF = mg \times \text{inclinação}: ladeira, 3500×9.81×0.24≈8.2 kN3500 \times 9.81 \times 0.24 \approx 8.2\,\mathrm{kN}; estrada, ≈1.0 kN\approx 1.0\,\mathrm{kN}.

14. 8240×1000≈8.24 MJ8240 \times 1000 \approx 8.24\,\mathrm{MJ} e 1030×8000≈8.24 MJ1030 \times 8000 \approx 8.24\,\mathrm{MJ} — os dois iguais a mgh=3500×9.81×240mgh = 3500 \times 9.81 \times 240.

15. Resistência de rolamento: 400×1000=0.40 MJ400 \times 1000 = 0.40\,\mathrm{MJ} contra 400×8000=3.2 MJ400 \times 8000 = 3.2\,\mathrm{MJ}: o conforto da estrada suave custa 2.8 MJ2.8\,\mathrm{MJ} de atrito extra.

16. v=10 m/sv = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}. Estrada: (1030+400)×10=14.3 kW≈19 hp(1030 + 400) \times 10 = 14.3\,\mathrm{kW} \approx 19\,\mathrm{hp}; ladeira: (8240+400)×10=86.4 kW≈117 hp(8240 + 400) \times 10 = 86.4\,\mathrm{kW} \approx 117\,\mathrm{hp} — fora do alcance de uma van carregada. As estradas ziguezagueiam para que motores (e pneus) modestos consigam subir: o mesmo trabalho, espalhado.

17. Por caixa: 880+2649=3.53 kJ880 + 2649 = 3.53\,\mathrm{kJ}; para 6060 caixas, 60×3529≈212 kJ60 \times 3529 \approx 212\,\mathrm{kJ}.

18. Escada: 20×70×9.81×9.0≈124 kJ20 \times 70 \times 9.81 \times 9.0 \approx 124\,\mathrm{kJ}. Total do dia ≈336 kJ=0.34 MJ\approx 336\,\mathrm{kJ} = 0.34\,\mathrm{MJ}.

19. P=3.36×105/28800≈12 WP = 3.36 \times 10^{5}/28800 \approx 12\,\mathrm{W}. A chaleira: 3.36×105/2000=168 s3.36 \times 10^{5}/2000 = 168\,\mathrm{s} — menos de três minutos para o trabalho do dia inteiro.

20. O joule paga pela força entregue ao longo de um movimento — e nada pela parede empurrada ou pela caixa segurada, por mais extenuantes que sejam (os músculos queimam energia química mesmo realizando trabalho mecânico nulo). Como a potência humana é de algumas dezenas de watts, as equipes de mudança deixam que as máquinas remodelem a força — guincho, rampa, ziguezague — enquanto a conta mghmgh nunca muda.