Física do ensino médio · Grades 10–12

23O efeito Doppler

Uma ambulância se aproxima, sirene ligada, e passa direto — e nesse instante a nota desliza audivelmente para baixo, embora o motorista não tenha mexido em nada. A sirene é honesta; a onda não é: o movimento a comprime à frente e a estica atrás. Este capítulo mede essa compressão e depois cavalga a mesma ideia das sirenes aos radares de trânsito, ao sangue numa artéria e até um planeta traído por uma oscilação na luz de uma estrela.

23.1 O efeito

Definição 23.1 (Efeito Doppler)

O efeito Doppler é a mudança da frequência recebida de uma onda quando fonte e receptor se movem um em relação ao outro: a frequência recebida $f'$ é maior do que a frequência emitida $f$ enquanto eles se aproximam, menor enquanto se afastam, e igual a $f$ apenas enquanto a distância entre eles momentaneamente para de mudar.

Observação 23.2 (Altura, não intensidade)

Duas coisas mudam quando a ambulância passa. A intensidade sonora cresce e diminui porque a onda se espalha com a distância (Capítulo 21); a altura se desloca por causa da velocidade de aproximação ou de afastamento, e cai bruscamente na passagem. A intensidade diz “a que distância”; a altura diz “a que velocidade”.

23.2 Uma fonte em movimento: frentes de onda amontoadas

A imagem-chave: uma vez que uma crista deixa a fonte, ela passa a pertencer ao meio. Cada crista se expande como um círculo com a velocidade $v$ da onda (Capítulo 20), centrado no ponto em que foi emitida — o meio não sabe nem se importa que a fonte tenha seguido em frente.

Proposição 23.3 (Fonte em movimento)

Uma fonte emite cristas com período $T$ (frequência $f = 1/T$ ) enquanto se move em linha reta com velocidade $v_s < v$ através de um meio no qual a onda viaja com velocidade $v$ . Um observador em repouso no meio recebe

\lambda' = (v \mp v_s)\,T, \qquad f' = f\,\frac{v}{v \mp v_s},

com os sinais de cima para uma fonte que se aproxima e os de baixo para uma que se afasta.

Demonstração. Entre duas cristas, a primeira avança $vT$ enquanto a fonte avança $v_s T$ . À frente, a segunda crista é portanto emitida $v_s T$ mais perto da primeira, com $\lambda' = (v - v_s)T$ ; atrás, esse mesmo $v_s T$ é somado. As cristas então passam por um observador em repouso com a velocidade $v$ do meio, uma a cada $\lambda'/v$ segundos, e por isso $f' = v/\lambda' = f v/(v \mp v_s)$ . ∎

Frentes de onda de uma fonte que se move para a direita: cada círculo é centrado no ponto em que foi emitido (os pontos cinzas), de modo que as cristas se amontoam à frente, ' = (v - v_s)T, e se esticam atrás, ' = (v + v_s)T. — Frentes de onda de uma fonte que se move para a direita: cada círculo é centrado no ponto em que foi emitido (os pontos cinzas), de modo que as cristas se amontoam à frente, $\lambda' = (v - v_s)T$ , e se esticam atrás, $\lambda' = (v + v_s)T$ .

Exemplo 23.4 (A ambulância, em números)

Uma sirene de $f = 700\,\mathrm{Hz}$ se aproxima a $v_s = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; tome $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ no ar (Capítulo 21). Aproximando-se: $f' = 700 \times 340/315 \approx 756\,\mathrm{Hz}$ ; afastando-se: $f' = 700 \times 340/365 \approx 652\,\mathrm{Hz}$ . A passagem derruba a altura em $104\,\mathrm{Hz}$ — uma razão $\approx 1.16$ , cerca de dois semitons e meio, inconfundível para qualquer ouvido.

Observação 23.5 (O que o movimento não muda)

A onda continua viajando com velocidade $v$ : só o meio fixa a velocidade (Capítulo 20). O movimento da fonte comprime comprimentos de onda, nunca velocidades. E a compressão tem limite: à medida que $v_s \to v$ , as cristas da frente se empilham umas sobre as outras e $f' \to \infty$ — é o engarrafamento de frentes de onda que um avião supersônico arrasta como onda de choque.

23.3 Um observador em movimento e o atalho de baixa velocidade

Proposição 23.6 (Observador em movimento)

Um observador se move com velocidade $v_o$ em linha reta em direção a uma fonte em repouso no meio (ou afastando-se dela). A frequência recebida é

f' = f\left(1 \pm \frac{v_o}{v}\right) \quad (+\ \text{aproximando-se},\ -\ \text{afastando-se}).

Demonstração. O padrão de ondas em si não é perturbado: cristas separadas por $\lambda = vT$ viajam com velocidade $v$ . Um observador que corre ao encontro delas as cruza com velocidade relativa $v + v_o$ , uma a cada $\lambda/(v + v_o)$ segundos: $f' = (v + v_o)/\lambda = f(1 + v_o/v)$ . Correndo para longe, $v - v_o$ . ∎

Definição 23.7 (Velocidade radial)

A velocidade radial $v_r$ de uma fonte em relação a um observador é a componente da velocidade relativa deles ao longo da reta que os une — a taxa com que a distância encolhe ou cresce. Só essa componente desloca a frequência; o movimento transversal à linha de visada não dá deslocamento algum nesta ordem de aproximação.

Proposição 23.8 (Baixa velocidade: uma fórmula para todos)

Quando a velocidade radial é pequena, $v_r \ll v$ , já não importa quem se move:

\frac{\Delta f}{f} = \frac{f' - f}{f} \approx +\frac{v_r}{v} \ \text{(aproximação)}, \qquad \frac{\Delta f}{f} \approx -\frac{v_r}{v} \ \text{(afastamento)}.

Demonstração. As fórmulas do observador já são exatamente $1 \pm v_o/v$ . Para a fonte, escreva $x = v_s/v$ : a identidade $\frac{1}{1 - x} = 1 + x + \frac{x^2}{1 - x}$ mostra que $f'/f$ difere de $1 + x$ por um termo de ordem $x^2$ — para $x = 0.1$ , uma correção de $1\%$ sobre um deslocamento de $10\%$ . Em primeira ordem, as quatro fórmulas colapsam em $1 \pm v_r/v$ . ∎

Frequência escutada quando uma sirene de 440\, Hz passa a 15\, m/ s a 8\, m do microfone: patamares em fv/(v v_s), com o f verdadeiro (pontilhado) cruzado essencialmente na aproximação máxima, onde o movimento é puramente transversal. — Frequência escutada quando uma sirene de $440\,\mathrm{Hz}$ passa a $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $8\,\mathrm{m}$ do microfone: patamares em $fv/(v \mp v_s)$ , com o $f$ verdadeiro (pontilhado) cruzado essencialmente na aproximação máxima, onde o movimento é puramente transversal.

Método 23.9 (Ler uma passagem)

O registro de uma fonte que passa mostra dois patamares: $f_1$ (aproximação) e $f_2$ (afastamento). Então

f = \frac{2 f_1 f_2}{f_1 + f_2}, \qquad v_s = v\,\frac{f_1 - f_2}{f_1 + f_2}.

De fato, $f_1 + f_2 = \frac{2fv^2}{v^2 - v_s^2}$ e $f_1 - f_2 = \frac{2fv\,v_s}{v^2 - v_s^2}$ : divida para obter $v_s$ e calcule $2f_1 f_2/(f_1 + f_2)$ para obter $f$ . Duas leituras de frequência entregam tanto a altura verdadeira quanto a velocidade — sem cronômetro e sem régua.

23.4 Ecos que medem velocidade

Rebata uma onda num alvo em movimento e o efeito Doppler ataca duas vezes.

Proposição 23.10 (A reflexão dobra o deslocamento)

Uma onda de frequência $f$ é enviada contra um refletor que se aproxima de frente com velocidade $u \ll v$ . O eco volta com

f' = f\,\frac{v + u}{v - u}, \qquad \text{e portanto} \qquad \Delta f \approx \frac{2u}{v}\,f .

Demonstração. Dois deslocamentos em série. Como observador em movimento, o refletor recebe $f(1 + u/v)$ ; ao reemitir o que recebe, ele passa a ser uma fonte em movimento, de modo que o eco chega com $f' = f(1 + u/v)/(1 - u/v) \approx f(1 + 2u/v)$ para $u \ll v$ . ∎

Exemplo 23.11 (O radar de trânsito)

Um radar de trânsito emite micro-ondas em $f = 24.15\,\mathrm{GHz}$ ( $v = c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) e superpõe o eco à onda emitida; o batimento (Capítulo 21) toca diretamente $\Delta f = 2uf/c \approx 161\,\mathrm{Hz}$ por $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ de velocidade do carro — uma frequência de áudio trivialmente mensurável esculpida numa portadora de $24\,\mathrm{GHz}$ . O fator $2$ não é opcional: esquecê-lo beneficia todo motorista pela metade.

Exemplo 23.12 (Ultrassom Doppler)

Uma sonda médica envia ultrassom de $f = 5.0\,\mathrm{MHz}$ para dentro de uma artéria ( $v \approx 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ nos tecidos); os glóbulos vermelhos o refletem. Sangue a $u = 0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ devolve $\Delta f = 2 \times 0.50 \times 5.0 \times 10^{6}/1540 \approx 3.2\,\mathrm{kHz}$ — um batimento audível: o cardiologista literalmente escuta o sangue acelerar a cada batida do coração e depois mede $u$ a partir de $\Delta f$ .

23.5 Doppler na luz das estrelas

A luz é uma onda (Capítulo 22), e o espectro dela é riscado por linhas nítidas em comprimentos de onda fixados por cada elemento químico (Capítulo 2) — uma régua calibrada em laboratório e impressa em cada estrela.

Definição 23.13 (Desvio para o vermelho e para o azul)

Quando as linhas espectrais de uma fonte aparecem em comprimentos de onda maiores do que no laboratório, o espectro está desviado para o vermelho; quando aparecem menores, ele está desviado para o azul — deslocado em direção à ponta vermelha ou azul do espectro visível.

Proposição 23.14 (Desvio Doppler da luz)

Para uma fonte que se afasta com velocidade radial $v_r \ll c$ , todo comprimento de onda é observado esticado por

\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{\lambda' - \lambda}{\lambda} \approx \frac{v_r}{c} \quad \text{(desvio para o vermelho)},

e comprimido pela mesma quantidade, $\Delta\lambda/\lambda \approx -v_r/c$ , para uma fonte que se aproxima (desvio para o azul).

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 23.15 (Onde mora a fórmula honesta)

A luz não precisa de meio, de modo que a dedução feita para o som não pode ser copiada — não existe “em repouso no meio”. A fórmula exata vem da relatividade restrita, mais adiante neste ano (Capítulo 35); as correções são de ordem $(v_r/c)^2$ , desprezíveis para aviões, estrelas e galáxias próximas. Abaixo usamos a fórmula de baixa velocidade de consciência limpa.

A mesma linha do hidrogênio em três espectros: em 656.30\, nm no laboratório, desviada para o azul numa estrela que se aproxima e para o vermelho numa que se afasta. O desvio, lido contra a referência tracejada, dá a velocidade radial. — A mesma linha do hidrogênio em três espectros: em $656.30\,\mathrm{nm}$ no laboratório, desviada para o azul numa estrela que se aproxima e para o vermelho numa que se afasta. O desvio, lido contra a referência tracejada, dá a velocidade radial.

Exemplo 23.16 (Pesar a fuga de uma estrela)

No espectro da estrela brilhante Vega, a linha do hidrogênio de comprimento de onda de laboratório $656.30\,\mathrm{nm}$ é medida em $656.27\,\mathrm{nm}$ : $\Delta\lambda = -0.03\,\mathrm{nm}$ , um desvio para o azul, de modo que Vega se aproxima a $v_r = c\,|\Delta\lambda|/\lambda \approx 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — $14\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , lidos num desvio de uma parte em vinte mil.

Exemplo 23.17 (Estrelas que oscilam: binárias e exoplanetas)

Quando duas estrelas orbitam uma à outra, as linhas delas balançam periodicamente entre o azul e o vermelho — uma binária espectroscópica, com órbitas medidas sem que o par jamais seja resolvido. Um planeta faz o mesmo com a sua estrela, de forma tênue: os dois circulam o centro de massa comum, de modo que a velocidade radial da estrela oscila por algumas dezenas de $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — um desvio $\Delta\lambda/\lambda \sim 10^{-7}$ . Detectá-lo foi o modo como se encontrou o primeiro planeta em torno de uma estrela parecida com o Sol; o problema de fim de semana refaz essa descoberta, com números e tudo.

Observação 23.18 (Desvios das galáxias)

Os espectros das galáxias distantes estão todos desviados para o vermelho, e quanto mais distante, mais desviado: as distâncias do universo estão se esticando. Para as galáxias próximas, $v_r = c\,\Delta\lambda/\lambda$ dá a velocidade de afastamento; para as mais distantes, os desvios superam o que a fórmula de baixa velocidade consegue tratar com honestidade, e a contabilidade é retomada a partir do Capítulo 35 e nos volumes de graduação.

23.6 Exercícios

Exercício 23.1 ★

A sirene de um caminhão de bombeiros emite em $700\,\mathrm{Hz}$ e ele anda a $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ). Calcule a frequência escutada por um pedestre (a) à frente dele; (b) atrás dele. (c) O que o motorista escuta?

Solução

Solução de Exercício 23.1.

(a) $f' = 700 \times 340/315 \approx 756\,\mathrm{Hz}$ . (b) $f' = 700 \times 340/365 \approx 652\,\mathrm{Hz}$ . (c) $700\,\mathrm{Hz}$ : motorista e sirene se movem juntos, e a distância entre eles nunca muda.

Exercício 23.2 ★

Um amigo afirma: “a altura cai quando a ambulância se afasta porque o som fica mais fraco com a distância”. Separe os dois efeitos que estão sendo confundidos e diga de que cada um depende.

Solução

Solução de Exercício 23.2.

A intensidade sonora diminui porque a onda se espalha — ela depende da distância. A altura cai da aproximação para o afastamento — é o efeito Doppler, que depende da velocidade com que a distância muda. Dois efeitos independentes.

Exercício 23.3 ★

Um ciclista pedala a $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ direto em direção a uma sirene parada que emite em $700\,\mathrm{Hz}$ . Que frequência ele escuta? E pedalando para longe? Que fórmula se aplica, e por que não a da fonte em movimento?

Solução

Solução de Exercício 23.3.

Observador em movimento: $f' = 700\,(1 + 6.0/340) \approx 712\,\mathrm{Hz}$ ; pedalando para longe, $700\,(1 - 6.0/340) \approx 688\,\mathrm{Hz}$ . A sirene está em repouso no ar, de modo que o padrão de ondas não é perturbado; só o observador corre através dele.

Exercício 23.4 ★

A buzina de um trem emite em $400\,\mathrm{Hz}$ enquanto o trem anda a $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Calcule o comprimento de onda à frente do trem, atrás dele e com o trem parado. Que observador recebe cada um?

Solução

Solução de Exercício 23.4.

À frente: $\lambda' = 310/400 = 0.775\,\mathrm{m}$ ; atrás: $370/400 = 0.925\,\mathrm{m}$ ; em repouso: $340/400 = 0.85\,\mathrm{m}$ . O comprimento de onda curto alcança quem o trem se aproxima, e o longo, quem ele deixa para trás.

Exercício 23.5 ★

Um celular tocando um tom de $440\,\mathrm{Hz}$ é levado por um corredor a $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Use a fórmula de baixa velocidade para estimar o desvio escutado por alguém de quem o corredor se aproxima. Compare com um semitom (cerca de $6\%$ em frequência): um músico perceberia?

Solução

Solução de Exercício 23.5.

$\Delta f/f \approx 5.0/340 \approx 1.5\%$ : $\Delta f \approx 6.5\,\mathrm{Hz}$ , ou seja, cerca de $446\,\mathrm{Hz}$ — um quarto de semitom. Um músico perceberia, por pouco.

Exercício 23.6 ★★

Um morcego voa a $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ direto contra uma parede, emitindo em $50.0\,\mathrm{kHz}$ . Mostre que o eco que ele escuta volta com $f' = f(v + v_b)/(v - v_b)$ e depois calcule $f'$ e o desvio. Por que essa é a fórmula do radar de trânsito disfarçada?

Solução

Solução de Exercício 23.6.

A parede recebe $f\,v/(v - v_b)$ (fonte em movimento); o morcego, observador em movimento que se aproxima do eco, escuta $(1 + v_b/v)$ vezes isso: $f' = f(v + v_b)/(v - v_b) = 50.0 \times 346/334 \approx 51.8\,\mathrm{kHz}$ , um desvio de $+1.8\,\mathrm{kHz}$ . É o deslocamento duplo do radar de trânsito com os papéis de emissor e refletor trocados: só a velocidade de aproximação importa.

Exercício 23.7 ★★

Um radar de $24.15\,\mathrm{GHz}$ mede um batimento de $4.0\,\mathrm{kHz}$ de um carro que se aproxima. Encontre a velocidade do carro em $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e em $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Que batimento daria um carro a exatamente $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?

Solução

Solução de Exercício 23.7.

$u = c\,\Delta f/(2f) = 3.00 \times 10^{8} \times 4000/(2 \times 24.15 \times 10^{9}) \approx 24.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 89\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . A $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): $\Delta f = 2 \times 13.9 \times 24.15 \times 10^{9}/3.00 \times 10^{8} \approx 2.2\,\mathrm{kHz}$ .

Exercício 23.8 ★★

Uma sonda de ultrassom Doppler de $5.0\,\mathrm{MHz}$ apontada ao longo de uma artéria ( $v = 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ nos tecidos) escuta um batimento de $2.6\,\mathrm{kHz}$ . Encontre a velocidade do sangue. Por que a sonda precisa ser inclinada ao longo do fluxo, e não perpendicularmente a ele?

Solução

Solução de Exercício 23.8.

$u = v\,\Delta f/(2f) = 1540 \times 2600/1.0 \times 10^{7} \approx 0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Um fluxo perpendicular tem velocidade radial nula, e portanto desvio algum.

Exercício 23.9 ★★

Tome $f = 1000\,\mathrm{Hz}$ , $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e uma velocidade de aproximação de $34\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Calcule $f'$ exatamente quando (a) a fonte se move; (b) o observador se move. Compare os dois com a previsão de baixa velocidade $f(1 + v_r/v)$ e explique o tamanho da discrepância.

Solução

Solução de Exercício 23.9.

(a) Fonte: $f' = 1000 \times 340/306 \approx 1111\,\mathrm{Hz}$ . (b) Observador: $f' = 1000 \times 1.1 = 1100\,\mathrm{Hz}$ . A fórmula de baixa velocidade prevê $1100\,\mathrm{Hz}$ : exata para o observador e $11\,\mathrm{Hz}$ abaixo para a fonte — é a correção de ordem $x^2$ , $1\%$ de $f$ para $x = 0.1$ .

Exercício 23.10 ★★

O registro de uma motoneta passando por um microfone mostra patamares em $465\,\mathrm{Hz}$ e $415\,\mathrm{Hz}$ . Usando o Método 23.9, encontre a frequência verdadeira da buzina e a velocidade da motoneta em $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Por que a frequência verdadeira não é a média das duas?

Solução

Solução de Exercício 23.10.

$f = 2 \times 465 \times 415/880 \approx 439\,\mathrm{Hz}$ ; $v_s = 340 \times 50/880 \approx 19.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 70\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . O $f$ verdadeiro é a média harmônica: a aproximação eleva a frequência mais do que o afastamento a reduz, e por isso $f$ fica abaixo da média aritmética ( $440\,\mathrm{Hz}$ ).

Exercício 23.11 ★★

No espectro de uma estrela, a linha do hidrogênio de comprimento de onda de laboratório $656.3\,\mathrm{nm}$ é observada em $656.5\,\mathrm{nm}$ . Desvio para o vermelho ou para o azul? Calcule a velocidade radial da estrela e o sentido dela.

Solução

Solução de Exercício 23.11.

Comprimento de onda maior: desvio para o vermelho, e a estrela se afasta. $v_r = c\,\Delta\lambda/\lambda = 3.00 \times 10^{8} \times 0.2/656.3 \approx 9.1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 91\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

Exercício 23.12 ★★★

Uma estrela oscila a $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ por causa de um planeta invisível. Calcule a amplitude da oscilação em comprimento de onda de uma linha de $500\,\mathrm{nm}$ , como comprimento e como fração de $\lambda$ . Ordem de grandeza: por que a caça a planetas teve de esperar por espectrógrafos estáveis a uma parte em $10^{7}$ ?

Solução

Solução de Exercício 23.12.

$\Delta\lambda = \lambda K/c = 500 \times 55/3.00 \times 10^{8} \approx 9.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{nm}$ ; $\Delta\lambda/\lambda = 55/3.00 \times 10^{8} \approx 1.8 \times 10^{-7}$ . O sinal inteiro são duas partes em dez milhões: um espectrógrafo que derive mais do que $10^{-7}$ o soterra.

Exercício 23.13 ★★★

Toda linha do espectro de uma galáxia aparece esticada em $2.4\%$ . Calcule a velocidade de afastamento dela. Os astrônomos constatam que essas velocidades crescem em proporção à distância, em todas as direções do céu: que quadro isso sugere? A fórmula de baixa velocidade ainda é confiável aqui?

Solução

Solução de Exercício 23.13.

$v_r = 0.024\,c \approx 7.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Velocidades proporcionais à distância, iguais em todas as direções: todas as distâncias se esticando de modo uniforme — um universo em expansão sem centro privilegiado. A $2.4\%$ , as correções são de ordem $(v_r/c)^2 \approx 6 \times 10^{-4}$ : ainda confiável.

Exercício 23.14 ★★★

O Sol gira: uma borda do disco dele se aproxima de nós a cerca de $2.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ enquanto a outra se afasta com a mesma velocidade. O que isso faz com a linha de $656.3\,\mathrm{nm}$ na luz do disco inteiro — desloca-a ou alarga-a? Calcule o efeito em $\mathrm{nm}$ .

Solução

Solução de Exercício 23.14.

As duas bordas se deslocam em sentidos opostos, de modo que a linha média do disco fica alargada, e não deslocada: largura total $2\lambda v/c = 2 \times 656.3 \times 2.0 \times 10^{3}/3.00 \times 10^{8} \approx 8.8 \times 10^{-3}\,\mathrm{nm}$ (cerca de $\pm4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{nm}$ ).

Exercício 23.15 ★★★

Uma viatura policial a $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , com sirene de $700\,\mathrm{Hz}$ , persegue um caminhão que anda a $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ no mesmo sentido. (a) Justifique $f' = f(v - v_o)/(v - v_s)$ para o motorista do caminhão. (b) Calcule $f'$ . (c) Mostre que, se o caminhão igualasse a velocidade da viatura, o desvio se anularia, e diga por que isso é exatamente o que se espera.

Solução

Solução de Exercício 23.15.

(a) À frente da viatura as cristas ficam espaçadas de $(v - v_s)T$ ; o caminhão foge com $v_o$ e as cruza com velocidade relativa $v - v_o$ : $f' = (v - v_o)/\bigl((v - v_s)T\bigr) = f(v - v_o)/(v - v_s)$ . (b) $f' = 700 \times 310/300 \approx 723\,\mathrm{Hz}$ . (c) $v_o = v_s$ dá $f' = f$ : a separação é constante, e nenhuma mudança de distância significa desvio Doppler nenhum, por definição.

23.7 Problema: a caça a um exoplaneta

Problema 23.1

Problema de fim de semana — a caça a um exoplaneta: a buzina de um trem calibra o ouvido, um radar de trânsito ensaia o deslocamento duplo e, no domingo à noite, o espectro de uma estrela, oscilando por uma parte em cinco milhões, já pesou um planeta que ninguém jamais viu

Um clube de astronomia passa um fim de semana com uma única ideia — o desvio Doppler — ensaiada na Terra e depois apontada para uma estrela parecida com o Sol. Dados: $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para o som no ar, $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ ; a estrela tem massa $M = 2.0 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ . Admitido, da mecânica das órbitas circulares (Capítulo 27): um planeta de massa $m$ numa órbita circular de raio $r$ tem período e velocidade dados por $r^3 = \frac{G M P^2}{4\pi^2}$ e $V = \frac{2\pi r}{P}$ , e a estrela, circulando o centro de massa comum, oscila com velocidade $K = \frac{m}{M}\,V$ .

Parte I — Sexta-feira: a passagem de nível. Um trem passa com velocidade constante, buzina ligada; um celular registra $f_1 = 471\,\mathrm{Hz}$ enquanto ele se aproxima e $f_2 = 411\,\mathrm{Hz}$ depois que ele passa.

Explique, com a imagem das frentes de onda amontoadas, por que $f_1 > f_2$ embora a buzina nunca mude.
Escreva as duas equações que ligam $f_1$ e $f_2$ à frequência verdadeira $f$ e à velocidade $u$ do trem.
Mostre que $u = v\,\dfrac{f_1 - f_2}{f_1 + f_2}$ e calcule-a em $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e em $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
Mostre que $f = \dfrac{2 f_1 f_2}{f_1 + f_2}$ e calcule-a. Por que $f$ fica ligeiramente abaixo da média de $f_1$ e $f_2$ ?
Calcule os comprimentos de onda à frente e atrás do trem, e o comprimento de onda com o trem parado.

Parte II — Sábado: o radar de trânsito. Uma patrulha de trânsito demonstra o seu radar: $f = 24.125\,\mathrm{GHz}$ , e o aparelho lê o batimento entre a onda emitida e o eco.

Explique por que o eco de um carro em movimento é deslocado duas vezes — nomeie o papel que o carro faz em cada deslocamento.
Mostre que, para um carro de velocidade $u \ll c$ , o batimento vale $\Delta f \approx \dfrac{2u}{c}\,f$ .
Um carro devolve $\Delta f = 3.55\,\mathrm{kHz}$ : calcule $u$ .
Converta para $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ e compare com o limite de $80\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ali sinalizado.
Quantos hertz de batimento correspondem a $1\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ? Comente: o que torna tão fácil medir um desvio relativo tão minúsculo de uma onda de $24\,\mathrm{GHz}$ ?

Parte III — Domingo: a estrela que oscila. O clube baixa a velocidade radial medida de uma estrela parecida com o Sol, noite após noite, no gráfico abaixo.

A velocidade radial da estrela ao longo de doze noites: uma senoide limpa — a assinatura de um corpo numa órbita circular, vista de perfil.

O que é efetivamente medido, noite após noite, no espectro da estrela? Enuncie a relação usada para transformar isso em $v_r$ .
Leia na curva a amplitude $K$ e o período $P$ da oscilação.
Calcule a oscilação correspondente $\Delta\lambda$ de uma linha de $550\,\mathrm{nm}$ , e $\Delta\lambda/\lambda$ . Compare com a Parte I: quanto mais difícil é essa medida do que a do trem?
Por que um planeta invisível faz a estrela oscilar? O que a forma senoidal indica sobre a órbita?
Por que esse método mede apenas a parte radial do movimento da estrela, e o que se veria se a órbita estivesse de frente para nós?

Parte IV — Domingo à noite: pesar o invisível. Tome a órbita como circular e vista de perfil, de modo que $K$ seja a velocidade orbital completa da estrela.

A partir de $P$ e da relação admitida $r^3 = G M P^2/(4\pi^2)$ , calcule o raio orbital $r$ do planeta. Compare-o com a distância Terra–Sol, $1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ .
Calcule a velocidade orbital do planeta, $V = 2\pi r/P$ .
A partir de $K = (m/M)\,V$ , calcule a massa $m$ do planeta.
Compare $m$ com Júpiter ( $1.9 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$ ) e com a Terra ( $6.0 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ ), e $r$ com a distância Sol–Mercúrio ( $5.8 \times 10^{10}\,\mathrm{m}$ ). Que tipo de mundo é esse?
Se a órbita fosse inclinada em vez de vista de perfil, a massa verdadeira seria maior ou menor do que o seu valor? Conclua em uma frase: o que um desvio periódico de uma parte em cinco milhões acabou de entregar?

Solução

Solução de Problema 23.1.

1. Cada crista se expande a partir do ponto em que foi emitida: as cristas se amontoam à frente da buzina em movimento e se esticam atrás dela, de modo que o celular que se aproxima as cruza mais depressa ( $f_1$ ) do que o que se afasta ( $f_2$ ).

2. $f_1 = f\,\dfrac{v}{v - u}$ , $f_2 = f\,\dfrac{v}{v + u}$ .

3. $f_1 - f_2 = \frac{2fv\,u}{v^2 - u^2}$ e $f_1 + f_2 = \frac{2fv^2}{v^2 - u^2}$ ; dividindo, $u = v\,\frac{f_1 - f_2}{f_1 + f_2} = 340 \times 60/882 \approx 23\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 83\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

4. $\dfrac{2f_1 f_2}{f_1 + f_2} = f$ (o fator comum se cancela): $f = 2 \times 471 \times 411/882 \approx 439\,\mathrm{Hz}$ — a média harmônica, abaixo da média $441\,\mathrm{Hz}$ porque a aproximação eleva $f$ mais do que o afastamento o reduz.

5. À frente: $(v - u)/f = 316.9/439 \approx 0.72\,\mathrm{m}$ ; atrás: $363.1/439 \approx 0.83\,\mathrm{m}$ ; em repouso: $340/439 \approx 0.77\,\mathrm{m}$ .

6. Uma vez como observador em movimento que recebe a onda, e outra como fonte em movimento que reemite o que recebeu.

7. $f' = f\,(1 + u/c)/(1 - u/c) \approx f(1 + 2u/c)$ , logo $\Delta f = f' - f \approx \dfrac{2u}{c}\,f$ .

8. $u = c\,\Delta f/(2f) = 3.00 \times 10^{8} \times 3550/(2 \times 24.125 \times 10^{9}) \approx 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

9. $22.1 \times 3.6 \approx 79\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : logo abaixo do limite de $80\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

10. $\Delta f = 2f/(3.6\,c) \approx 45\,\mathrm{Hz}$ por $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Bater o eco contra a onda emitida deixa apenas a diferença: uma frequência de áudio, contada trivialmente, embora seja uma fração $10^{-7}$ da portadora.

11. Os comprimentos de onda de linhas espectrais conhecidas, noite após noite; e depois $v_r = c\,\Delta\lambda/\lambda$ .

12. $K = 55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $P = 4.2\,\mathrm{d}$ .

13. $\Delta\lambda = 550 \times 55/3.00 \times 10^{8} \approx 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{nm}$ , $\Delta\lambda/\lambda \approx 1.8 \times 10^{-7}$ — uma parte em cinco milhões, umas $4 \times 10^{5}$ vezes menor do que o desvio de $7\%$ do trem.

14. Estrela e planeta se atraem igualmente, de modo que os dois orbitam o centro de massa comum: a estrela não pode ficar parada. Um $v_r$ senoidal é um movimento circular uniforme visto de perfil — uma órbita circular.

15. Só a componente na linha de visada muda a distância estrela–Terra e, portanto, o comprimento de onda. De frente, $v_r = 0$ o tempo todo: sinal nenhum.

16. $P = 3.63 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$ : $r^3 = 6.67 \times 10^{-11} \times 2.0 \times 10^{30} \times (3.63 \times 10^{5})^2/(4\pi^2) \approx 4.4 \times 10^{29}$ , logo $r \approx 7.6 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$ — cerca de $1/20$ da distância Terra–Sol.

17. $V = 2\pi r/P = 2\pi \times 7.6 \times 10^{9}/3.63 \times 10^{5} \approx 1.3 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

18. $m = M K/V = 2.0 \times 10^{30} \times 55/1.3 \times 10^{5} \approx 8.3 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}$ .

19. Cerca de $0.4$ massa de Júpiter ( $\approx 140$ Terras), orbitando $8$ vezes mais perto do que Mercúrio: um gigante gasoso assando contra a sua estrela — um “Júpiter quente”.

20. Uma inclinação esconde parte do movimento: o $K$ medido é só a parcela radial, de modo que a massa verdadeira é maior — $8.3 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}$ é um mínimo. Um desvio periódico de uma parte em cinco milhões acabou de entregar a órbita, a velocidade e a massa mínima de um planeta que ninguém jamais viu.