Física do ensino médio · Grades 10–12

8Sinais e ondas

Toda mensagem que você já recebeu chegou como um sinal: uma voz pressionada contra o seu tímpano, esta página que lhe chegou como um tremular de rádio. Por trás da variedade está uma única ideia — uma grandeza física que varia no tempo — e um único conjunto de ferramentas: período, frequência, amplitude e a arte de cronometrar um atraso. Com ele, um barco mede o fundo do mar e um médico conta batimentos.

8.1 Os sinais carregam informação

Definição 8.1 (Sinal)

Um sinal é uma grandeza física que varia no tempo para carregar informação: a pressão do ar no seu tímpano, a tensão nos terminais de um microfone, o brilho da luz numa fibra óptica. Para estudar um sinal, registre-o em função do tempo e leia a informação na curva.

Numa ligação telefônica a mesma informação troca de portador várias vezes: pressão no ar, depois tensão no microfone, depois rádio na antena — e o caminho inverso na outra ponta. Um único vocabulário dá conta de todos eles; este capítulo o constrói.

8.2 Sinais periódicos

Definição 8.2 (Sinal periódico, período)

Um sinal é periódico quando se repete de forma idêntica em intervalos regulares. O período $T$ é a duração de um ciclo completo, em segundos.

Definição 8.3 (Frequência)

A frequência de um sinal periódico é o número de ciclos por segundo:

f = \frac{1}{T} .

A sua unidade, um ciclo por segundo, é o hertz ( $\mathrm{Hz}$ ), com os múltiplos habituais $\mathrm{kHz}$ , $\mathrm{MHz}$ , $\mathrm{GHz}$ .

Definição 8.4 (Amplitude)

A amplitude de um sinal periódico é o seu afastamento máximo em relação ao valor de repouso. Para uma tensão que oscila simetricamente em torno de zero, a amplitude é o valor de pico; de crista a vale mede-se o dobro da amplitude (o valor de pico a pico).

Exemplo 8.5 (Rede elétrica e lá de concerto)

A tensão da rede elétrica oscila a $f = 50\,\mathrm{Hz}$ : o seu período é $T = 1/f = 0.020\,\mathrm{s} = 20\,\mathrm{ms}$ . O lá de concerto de uma orquestra é um sinal de pressão a $440\,\mathrm{Hz}$ : um ciclo dura $T = 1/440 = 2.3\,\mathrm{ms}$ . Frequência maior, ciclo mais curto: $f$ e $T$ são inversos um do outro.

Um sinal periódico: o padrão se repete a cada T segundos, e a amplitude é o afastamento máximo em relação ao valor de repouso. — Um sinal periódico: o padrão se repete a cada $T$ segundos, e a amplitude é o afastamento máximo em relação ao valor de repouso.

8.3 Ler um oscilograma

Definição 8.6 (Osciloscópio)

Um osciloscópio traça uma tensão em função do tempo; a curva na sua tela quadriculada é um oscilograma. Dois ajustes convertem divisões da tela em valores físicos: a base de tempo (segundos por divisão horizontal) e o ganho vertical (volts por divisão vertical).

Método 8.7 (Da tela para os números)

Conte as divisões horizontais ocupadas por um ciclo completo (de crista a crista é o mais seguro); multiplique pela base de tempo para obter $T$ , e depois $f = 1/T$ .
Conte as divisões verticais da linha central até uma crista e multiplique pelo ganho para obter a amplitude (de crista a vale obtém-se o valor de pico a pico: divida pela metade).

Exemplo 8.8 (Uma leitura completa)

No oscilograma abaixo, a base de tempo é $5\,\mathrm{ms}$ por divisão e o ganho, $2\,\mathrm{V}$ por divisão. Um ciclo ocupa $4.0$ divisões: $T = 4.0 \times 5\,\mathrm{ms} = 20\,\mathrm{ms}$ e $f = 1/0.020\,\mathrm{s} = 50\,\mathrm{Hz}$ — a rede elétrica de novo. Uma crista fica $3.0$ divisões acima do eixo: a amplitude é $3.0 \times 2\,\mathrm{V} = 6.0\,\mathrm{V}$ .

Um oscilograma, com base de tempo 5\, ms/div e ganho 2\, V/div: um ciclo ocupa 4.0 divisões (T = 20\, ms, f = 50\, Hz) e a crista fica 3.0 divisões acima (amplitude 6.0\, V). — Um oscilograma, com base de tempo $5\,\mathrm{ms}$ /div e ganho $2\,\mathrm{V}$ /div: um ciclo ocupa $4.0$ divisões ( $T = 20\,\mathrm{ms}$ , $f = 50\,\mathrm{Hz}$ ) e a crista fica $3.0$ divisões acima (amplitude $6.0\,\mathrm{V}$ ).

8.4 Sinais sonoros e eletromagnéticos

Definição 8.9 (Som)

O som é um sinal de pressão: um objeto que vibra — corda, membrana, cordas vocais — empurra o ar ritmicamente, e as compressões viajam para longe a cerca de $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Um microfone converte a pressão que chega numa tensão; o tímpano, em impulsos nervosos. O som precisa de um meio: um sino tocado dentro de uma campânula de vácuo emudece à medida que o ar é bombeado para fora.

Definição 8.10 (Onda)

Uma perturbação que se propaga — o padrão de compressões de um som, a ondulação num lago, um pulso de rádio — é uma onda. O meio, quando existe, fica no lugar: cada porção de água balança onde está enquanto a ondulação atravessa o lago. A geometria das ondas — comprimento de onda, interferência, difração — é retomada num capítulo posterior; este capítulo só precisa das velocidades delas.

Definição 8.11 (Ultrassom e infrassom)

O ouvido humano escuta o som entre cerca de $20\,\mathrm{Hz}$ e $20\,\mathrm{kHz}$ (o teto baixa com a idade). O som acima de $20\,\mathrm{kHz}$ é ultrassom — morcegos caçam a $50\,\mathrm{kHz}$ e os aparelhos médicos formam imagens do corpo a alguns megahertz. O som abaixo de $20\,\mathrm{Hz}$ é infrassom, sentido por elefantes e sismógrafos.

Proposição 8.12 (Sinais eletromagnéticos)

O rádio, o Wi-Fi e a luz são sinais eletromagnéticos: uma única família, todos viajando pelo vácuo — sem precisar de meio — e todos com uma única velocidade, a velocidade da luz do Capítulo 3,

c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \quad \text{(praticamente a mesma no ar).}

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 8.13

Aqui isso é um fato experimental — a luz do Sol atravessa $150$ milhões de quilômetros de espaço vazio; ela é honestamente deduzida no volume do segundo ano de graduação a partir das leis da eletricidade e do magnetismo. Guarde o contraste: o som é uma vibração do meio e morre sem ele; um sinal eletromagnético carrega o seu próprio campo através do vácuo, um milhão de vezes mais rápido.

Frequências sonoras em escala logarítmica (cada passo × 10). O ouvido escuta de 20\, Hz a 20\, kHz; abaixo está o infrassom, acima está o ultrassom. — Frequências sonoras em escala logarítmica (cada passo $\times 10$ ). O ouvido escuta de $20\,\mathrm{Hz}$ a $20\,\mathrm{kHz}$ ; abaixo está o infrassom, acima está o ultrassom.

8.5 Ecos: distâncias a partir de atrasos

Um sinal que se propaga com velocidade $v$ percorre $d = v\,t$ num tempo $t$ : todo atraso é uma distância disfarçada. Melhor ainda, envie um pulso curto contra um obstáculo e cronometre o seu eco — a ida e volta cobre $2d$ .

Método 8.14 (Medir distâncias por eco)

Envie um pulso curto; meça o tempo $t$ de ida e volta do eco.
Tome a velocidade $v$ do sinal no meio atravessado.
O pulso cobriu $2d = v\,t$ , logo $d = \dfrac{v\,t}{2}$ .

Pulsos de som na água fazem o sonar ( $v \approx 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ); pulsos de rádio no ar fazem o radar ( $v = c$ ); pulsos de ultrassom no corpo fazem o aparelho de ultrassonografia ( $v \approx 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ nos tecidos moles).

Exemplo 8.15 (Sonar)

O sonar de um navio emite um pulso e o eco do fundo do mar volta depois de $t = 0.80\,\mathrm{s}$ : a profundidade é $d = \frac{1500 \times 0.80}{2} = 600\,\mathrm{m}$ . Esquecer o fator $2$ dobra o oceano.

Um pulso de sonar desce e volta: o atraso medido t cobre 2d, de modo que a profundidade vale d = v\,t/2 com v 1500\, m/ s na água do mar. — Um pulso de sonar desce e volta: o atraso medido $t$ cobre $2d$ , de modo que a profundidade vale $d = v\,t/2$ com $v \approx 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ na água do mar.

Exemplo 8.16 (Radar)

Um radar de aeroporto recebe o eco de um avião $0.30\,\mathrm{ms}$ depois do pulso: $d = \frac{3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}}{2} = 45\,\mathrm{km}$ . Como $c$ é tão grande, o radar vive de relógios de microssegundo: cronometrar a luz é trabalho de precisão.

Exemplo 8.17 (O coração como sinal)

Cada batimento cardíaco envia um pequeno pulso de tensão pelo tórax; eletrodos o registram como o eletrocardiograma (ECG), um sinal quase periódico. Se os picos altos estão a $T = 0.75\,\mathrm{s}$ um do outro, o coração bate a $f = 1/0.75 = 1.33\,\mathrm{Hz}$ , ou seja, $1.33 \times 60 = 80$ batimentos por minuto: ler $T$ num traçado é o modo como o cardiologista toma o seu pulso.

8.6 Exercícios

Exercício 8.1 ★

Calcule a frequência do sinal periódico de período (a) $T = 20\,\mathrm{ms}$ ; (b) $T = 4.0\,\mathrm{ms}$ ; (c) $T = 50\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

Solução

Solução de Exercício 8.1.

$f = 1/T$ : (a) $1/0.020\,\mathrm{s} = 50\,\mathrm{Hz}$ ; (b) $1/4.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{s} = 250\,\mathrm{Hz}$ ; (c) $1/5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{s} = 20\,\mathrm{kHz}$ .

Exercício 8.2 ★

Calcule o período (a) da rede elétrica de $50\,\mathrm{Hz}$ ; (b) de um lá de concerto de $440\,\mathrm{Hz}$ ; (c) de um sinal de Wi-Fi de $2.4\,\mathrm{GHz}$ .

Solução

Solução de Exercício 8.2.

$T = 1/f$ : (a) $20\,\mathrm{ms}$ ; (b) $1/440 = 2.3\,\mathrm{ms}$ ; (c) $1/2.4 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz} = 0.42\,\mathrm{ns}$ .

Exercício 8.3 ★

Classifique como infrassom, som audível ou ultrassom: $12\,\mathrm{Hz}$ ; $440\,\mathrm{Hz}$ ; $18\,\mathrm{kHz}$ ; $40\,\mathrm{kHz}$ (um sensor de estacionamento); $5\,\mathrm{MHz}$ (uma sonda médica).

Solução

Solução de Exercício 8.3.

$12\,\mathrm{Hz}$ : infrassom. $440\,\mathrm{Hz}$ e $18\,\mathrm{kHz}$ : audíveis (a segunda, só para ouvidos jovens). $40\,\mathrm{kHz}$ e $5\,\mathrm{MHz}$ : ultrassom.

Exercício 8.4 ★

Num osciloscópio ajustado em $2\,\mathrm{ms}$ por divisão e $0.5\,\mathrm{V}$ por divisão, um ciclo ocupa $5.0$ divisões e uma crista fica $4.0$ divisões acima do eixo. Encontre $T$ , $f$ e a amplitude.

Solução

Solução de Exercício 8.4.

$T = 5.0 \times 2\,\mathrm{ms} = 10\,\mathrm{ms}$ , logo $f = 100\,\mathrm{Hz}$ ; amplitude $4.0 \times 0.5\,\mathrm{V} = 2.0\,\mathrm{V}$ .

Exercício 8.5 ★

Você vê o relâmpago e, $6.0\,\mathrm{s}$ depois, ouve o trovão. A que distância ele caiu ( $v_{\text{som}} = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ )? Por que se pode desprezar o tempo de percurso da luz?

Solução

Solução de Exercício 8.5.

$d = 340 \times 6.0 = 2040\,\mathrm{m} \approx 2.0\,\mathrm{km}$ . A luz cobre isso em $2040/(3.00\times10^{8}) \approx 7\,\text{µ}\mathrm{s}$ , um milhão de vezes menos do que $6.0\,\mathrm{s}$ : o clarão marca o instante da descarga.

Exercício 8.6 ★★

Um eco de sonar volta do fundo do mar depois de $0.60\,\mathrm{s}$ ( $v = 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ na água do mar). Por que o produto $v\,t$ precisa ser dividido pela metade? Calcule a profundidade. Quanto tempo o eco levaria sobre uma fossa de $1200\,\mathrm{m}$ de profundidade?

Solução

Solução de Exercício 8.6.

O som desce e volta, cobrindo $2d$ : $d = \frac{1500 \times 0.60}{2} = 450\,\mathrm{m}$ . Sobre a fossa: $t = 2d/v = 2 \times 1200/1500 = 1.6\,\mathrm{s}$ .

Exercício 8.7 ★★

Um radar de aeroporto recebe o eco de um avião depois de $0.24\,\mathrm{ms}$ e, exatamente $1.0\,\mathrm{s}$ mais tarde, um segundo eco depois de $0.238\,\mathrm{ms}$ . Calcule as duas distâncias e depois a velocidade do avião. Ele está se aproximando?

Solução

Solução de Exercício 8.7.

$d_1 = \frac{3.00\times10^{8} \times 2.4\times10^{-4}}{2} = 36.0\,\mathrm{km}$ e $d_2 = 35.7\,\mathrm{km}$ : o avião percorreu $300\,\mathrm{m}$ em $1.0\,\mathrm{s}$ , logo $v = 300\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 1100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , e está se aproximando.

Exercício 8.8 ★★

Um ECG é impresso a $25\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; os picos altos estão a $20\,\mathrm{mm}$ um do outro. Encontre o período e a frequência cardíaca em batimentos por minuto. Taquicardia significa mais de $100$ batimentos por minuto: abaixo de que espaçamento entre picos ela aparece nesse papel?

Solução

Solução de Exercício 8.8.

$T = 20\,\mathrm{mm}/25\,\mathrm{mm}/\mathrm{s} = 0.80\,\mathrm{s}$ , logo $f = 1.25\,\mathrm{Hz}$ : $75$ batimentos por minuto. Para $100$ batimentos por minuto, $T = 0.60\,\mathrm{s}$ , ou seja, $25 \times 0.60 = 15\,\mathrm{mm}$ : a taquicardia aparece abaixo de $15\,\mathrm{mm}$ .

Exercício 8.9 ★★

Você precisa exibir um sinal de $200\,\mathrm{Hz}$ e amplitude $3.0\,\mathrm{V}$ numa tela de $10$ divisões horizontais e $8$ verticais ( $4$ acima da linha central). Escolha uma base de tempo que mostre cerca de dois ciclos completos e um ganho que use quase toda a tela sem cortar o sinal.

Solução

Solução de Exercício 8.9.

$T = 1/200 = 5.0\,\mathrm{ms}$ ; dois ciclos duram $10\,\mathrm{ms}$ , espalhados por $10$ divisões: base de tempo de $1\,\mathrm{ms}$ por divisão. A crista tem de caber em $4$ divisões: ganho de pelo menos $3.0/4 = 0.75\,\mathrm{V}$ por divisão — tome $1\,\mathrm{V}$ por divisão (crista a $3.0$ divisões de altura).

Exercício 8.10 ★★

Uma sonda médica envia um pulso de ultrassom para dentro do abdome ( $v = 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ nos tecidos moles) e escuta ecos depois de $40\,\text{µ}\mathrm{s}$ (parede anterior de um órgão) e $60\,\text{µ}\mathrm{s}$ (parede posterior). Encontre a profundidade de cada parede e a espessura do órgão.

Solução

Solução de Exercício 8.10.

$d = v\,t/2$ : parede anterior, $\frac{1540 \times 4.0\times10^{-5}}{2} = 3.1\,\mathrm{cm}$ ; parede posterior, $\frac{1540 \times 6.0\times10^{-5}}{2} = 4.6\,\mathrm{cm}$ ; espessura de cerca de $1.5\,\mathrm{cm}$ .

Exercício 8.11 ★★

Um show é transmitido ao vivo. Quem escuta primeiro uma batida de bateria: um ouvinte a $30\,\mathrm{m}$ do palco ou um ouvinte de rádio a $3000\,\mathrm{km}$ ? Por quanto?

Solução

Solução de Exercício 8.11.

Som: $30/340 = 0.088\,\mathrm{s}$ . Rádio: $3.0\times10^{6}/(3.00\times10^{8}) = 0.010\,\mathrm{s}$ . O ouvinte de rádio, mais distante, escuta a bateria primeiro, por cerca de $78\,\mathrm{ms}$ .

Exercício 8.12 ★★★

Um morcego emite pulsos de ultrassom de $3.0\,\mathrm{ms}$ de duração e não consegue escutar um eco enquanto ainda está emitindo. Abaixo de que distância uma mariposa é indetectável? Qual é o atraso do eco para uma mariposa a $1.7\,\mathrm{m}$ ? Por que o morcego precisa encurtar os seus pulsos na aproximação final?

Solução

Solução de Exercício 8.12.

Enquanto emite por $3.0\,\mathrm{ms}$ , o morcego fica surdo a ecos, ou seja, a tudo que esteja a menos de $d = \frac{340 \times 3.0\times10^{-3}}{2} = 0.51\,\mathrm{m}$ . Mariposa a $1.7\,\mathrm{m}$ : $t = 2 \times 1.7/340 = 10\,\mathrm{ms}$ . À medida que se aproxima, o eco volta cada vez mais cedo; o pulso tem de terminar antes que ele chegue, e por isso precisa encurtar.

Exercício 8.13 ★★★

Você bate palma de frente para um paredão e ouve o eco $1.5\,\mathrm{s}$ depois. A que distância está o paredão? Você caminha $100\,\mathrm{m}$ em linha reta na direção dele: qual é o novo atraso? O ouvido deixa de separar palma e eco abaixo de cerca de $0.1\,\mathrm{s}$ : dentro de que distância o eco some dentro da palma?

Solução

Solução de Exercício 8.13.

$d = \frac{340 \times 1.5}{2} = 255\,\mathrm{m}$ . A $155\,\mathrm{m}$ : $t = 2 \times 155/340 = 0.91\,\mathrm{s}$ . Eco e palma se fundem quando $t < 0.1\,\mathrm{s}$ , ou seja, dentro de $d < \frac{340 \times 0.1}{2} = 17\,\mathrm{m}$ .

Exercício 8.14 ★★★

Com $5\,\mathrm{ms}$ por divisão, um ciclo de um sinal ocupa $3.0$ divisões de uma tela de $10$ divisões.

Encontre $T$ e $f$ .
A base de tempo é mudada para $2\,\mathrm{ms}$ por divisão: quantas divisões um ciclo ocupa agora?
Quantos ciclos completos cabem na tela em cada ajuste?

Solução

Solução de Exercício 8.14.

1. $T = 3.0 \times 5\,\mathrm{ms} = 15\,\mathrm{ms}$ , $f = 1/0.015 \approx 67\,\mathrm{Hz}$ . 2. $15\,\mathrm{ms}/2\,\mathrm{ms} = 7.5$ divisões. 3. A tela mostra $50\,\mathrm{ms}$ e depois $20\,\mathrm{ms}$ : $3$ ciclos completos ( $50/15 = 3.3$ ) e depois $1$ ( $20/15 = 1.3$ ).

Exercício 8.15 ★★★

Um “ping” mede o tempo de ida e volta de um pacote de internet até um servidor a $1200\,\mathrm{km}$ . Qual é o menor tempo de ida e volta concebível (sinais a $c$ )? Numa fibra óptica a luz viaja a cerca de $2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : refaça a conta. O ping medido é de $40\,\mathrm{ms}$ : dê duas razões pelas quais ele supera as suas respostas.

Solução

Solução de Exercício 8.15.

1. $t = 2 \times 1.2\times10^{6}/(3.00\times10^{8}) = 8.0\,\mathrm{ms}$ . 2. $2 \times 1.2\times10^{6}/(2.0\times10^{8}) = 12\,\mathrm{ms}$ . 3. A fibra não corre em linha reta entre as duas máquinas, e cada roteador e servidor do caminho acrescenta um atraso de processamento.

8.7 Problema: o sonar, a tempestade e o cardiograma

Problema 8.1

Problema de fim de semana — ler os sinais do mundo: uma única lei, $d = v\,t$ , mede a distância de uma tempestade, mapeia um fundo de mar, conta um batimento cardíaco e revela como funciona o GPS

Um barco de pesca trabalha ao longo de uma noite de tempestade: relâmpagos no horizonte, o sonar varrendo o fundo, o coração do mestre na tira de papel do médico, um receptor de GPS escutando satélites. Quatro instrumentos, uma lei. Tome $v_{\text{som}} = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ no ar, $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ na água do mar e $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Parte I — A tempestade.

Um clarão; o trovão vem $9.0\,\mathrm{s}$ depois. A que distância ele está?
Calcule o tempo de percurso da luz nessa distância e justifique tratar o clarão como instantâneo.
Os marinheiros contam os segundos entre o clarão e o trovão e dividem por três para obter quilômetros. Justifique a regra.
Cinco minutos depois, um clarão dá $6.0\,\mathrm{s}$ . A que distância agora? Encontre a velocidade média de aproximação da tempestade em $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e em $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
O trovão ronca em vez de estalar: o canal do relâmpago tem quilômetros de comprimento, de modo que as suas partes estão a distâncias diferentes. Se o canal se estende de $2.0\,\mathrm{km}$ a $5.0\,\mathrm{km}$ do barco, quanto tempo dura o ronco?

Parte II — O sonar.

O sonar emite um pulso; o fundo responde em $0.90\,\mathrm{s}$ . Qual é a profundidade?
Sobre a plataforma continental o eco encurta para $0.20\,\mathrm{s}$ . Qual é a profundidade?
Um pulso devolve dois ecos, em $0.16\,\mathrm{s}$ e $0.20\,\mathrm{s}$ . Interprete-os; a que altura do fundo nada o cardume?
O sonar emite um pulso a cada $0.50\,\mathrm{s}$ . Qual é a maior profundidade que ele pode medir sem confusão, e o que dá errado além dela?
No ar, o mesmo atraso de $0.60\,\mathrm{s}$ significaria que distância? Moral: o que é preciso saber antes de transformar um atraso em distância?

Parte III — O cardiograma.

Os picos do ECG do mestre estão a $0.86\,\mathrm{s}$ um do outro. Qual é a frequência? E os batimentos por minuto?
A tira avança a $25\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ . Que espaçamento entre picos o médico mediu?
Depois de recolher as redes, o espaçamento é de $15\,\mathrm{mm}$ . Qual é a nova frequência cardíaca?
O jovem marinheiro, remador treinado, fica em repouso a $50$ batimentos por minuto. Qual é o período? E o espaçamento na tira?
Um ECG é rigorosamente periódico? O que, então, o médico lê no traçado?

Parte IV — De volta para casa pela luz.

O barco chama o porto pelo rádio, a $50\,\mathrm{km}$ . Quanto tempo a mensagem leva? Quanto tempo o som levaria?
Um satélite de GPS orbita a cerca de $20\,200\,\mathrm{km}$ de altitude. Quanto tempo o seu sinal leva para chegar ao barco?
O GPS transforma tempo em posição. Que erro de distância um erro de relógio de $1.0\,\text{µ}\mathrm{s}$ provoca? Que precisão de cronometragem uma localização com $3.0\,\mathrm{m}$ de erro exige?
Por que não poderia existir um GPS baseado em som, nem mesmo em princípio?
Final: liste as três velocidades usadas nesta noite e a única lei por trás dos quatro instrumentos, e enuncie em uma frase o hábito de medir distâncias por atraso.

Solução

Solução de Problema 8.1.

1. $d = 340 \times 9.0 = 3060\,\mathrm{m} \approx 3.1\,\mathrm{km}$ .

2. $3060/(3.00\times10^{8}) \approx 10\,\text{µ}\mathrm{s}$ , um milhão de vezes mais curto do que $9.0\,\mathrm{s}$ : o clarão marca o instante da descarga.

3. Em $3\,\mathrm{s}$ o som cobre $340 \times 3 = 1020\,\mathrm{m} \approx 1\,\mathrm{km}$ : segundos divididos por três dão quilômetros.

4. $d = 340 \times 6.0 = 2040\,\mathrm{m}$ . A tempestade encurtou $1020\,\mathrm{m}$ em $300\,\mathrm{s}$ : $v = 3.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 12\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , rumo ao barco.

5. A ponta mais próxima é ouvida depois de $2000/340 = 5.9\,\mathrm{s}$ e a mais distante depois de $5000/340 = 14.7\,\mathrm{s}$ : o ronco dura cerca de $8.8\,\mathrm{s}$ .

6. $d = 1500 \times 0.90/2 = 675\,\mathrm{m}$ .

7. $d = 1500 \times 0.20/2 = 150\,\mathrm{m}$ .

8. Dois obstáculos: um cardume a $1500 \times 0.16/2 = 120\,\mathrm{m}$ e o fundo a $150\,\mathrm{m}$ . O cardume nada $30\,\mathrm{m}$ acima do fundo.

9. O eco tem de voltar antes do pulso seguinte: $d_{\max} = 1500 \times 0.50/2 = 375\,\mathrm{m}$ . De água mais funda o eco chega depois do pulso seguinte e é atribuído a ele: a tela mostra um fundo falso, raso demais.

10. No ar, $340 \times 0.60/2 = 102\,\mathrm{m}$ em vez de $450\,\mathrm{m}$ . Um atraso só vira distância depois que se conhece o portador e a velocidade dele no meio atravessado.

11. $f = 1/0.86 = 1.16\,\mathrm{Hz}$ , ou seja, $1.16 \times 60 \approx 70$ batimentos por minuto.

12. $25 \times 0.86 = 21.5\,\mathrm{mm}$ .

13. $T = 15/25 = 0.60\,\mathrm{s}$ : $100$ batimentos por minuto.

14. $T = 60/50 = 1.2\,\mathrm{s}$ ; espaçamento $25 \times 1.2 = 30\,\mathrm{mm}$ .

15. Não: o período varia de batimento para batimento com o esforço, a respiração e o estresse. O médico lê o período (a frequência), a sua regularidade e a forma de cada ciclo — o diagnóstico está no sinal.

16. Rádio: $5.0\times10^{4}/(3.00\times10^{8}) = 0.17\,\mathrm{ms}$ — instantâneo para os sentidos humanos. Som: $50\,000/340 \approx 147\,\mathrm{s}$ , dois minutos e meio.

17. $t = 2.02\times10^{7}/(3.00\times10^{8}) = 67\,\mathrm{ms}$ .

18. $c \times 1.0\,\text{µ}\mathrm{s} = 300\,\mathrm{m}$ . Para uma localização com $3.0\,\mathrm{m}$ : $3.0/(3.00\times10^{8}) = 10\,\mathrm{ns}$ — e é por isso que os satélites de GPS carregam relógios atômicos.

19. Os satélites estão no vácuo, e o som precisa de um meio: sinal nenhum sairia do satélite. (Mesmo concedendo ar em todo o caminho, $20\,200\,\mathrm{km}$ a $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dão mais de $16\,\mathrm{h}$ — uma posição com horas de atraso.)

20. $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (som no ar), $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (som na água do mar) e $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (rádio e luz); a lei é $d = v\,t$ , dividida pela metade quando se trata de eco. O hábito: conheça o seu portador, conheça a velocidade dele no meio, cronometre o atraso — um atraso é uma distância disfarçada.