Física do ensino médio · Grades 10–12

24Cinemática em duas dimensões

Observe um carro fazendo uma rotatória a constantes $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : o ponteiro não sai do lugar e, ainda assim, todo passageiro se sente puxado para o lado — o movimento está mudando, e não é a velocidade escalar. Um número por instante já não basta: o movimento no plano precisa de flechas. Este capítulo equipa um ponto móvel com três — posição, velocidade e aceleração — encadeadas pela derivada, e lê famílias inteiras de movimentos na geometria delas.

24.1 O vetor posição

O movimento só existe em relação a um referencial declarado — um corpo rígido mais um relógio (Capítulo 5). A novidade deste ano é a precisão: prenda ao referencial uma origem $O$ e dois eixos graduados perpendiculares $Ox$ e $Oy$ , e registre onde o ponto está a cada instante, como um par de funções.

Definição 24.1 (Vetor posição)

Num referencial equipado com uma origem $O$ e eixos $Ox$ e $Oy$ , o vetor posição de um ponto móvel $M$ no instante $t$ é $\vect{OM}(t)$ , de coordenadas $\bigl(x(t),\, y(t)\bigr)$ : duas funções do tempo, uma por eixo. A curva descrita por $M$ enquanto $t$ corre é a sua trajetória.

24.2 O vetor velocidade

Definição 24.2 (Vetor velocidade)

Ao longo de um intervalo curto o ponto se desloca de $\vect{OM}(t+\Delta t) - \vect{OM}(t)$ ; divida por $\Delta t$ e faça o intervalo encolher: é a derivada do seu curso de matemática, aplicada a cada coordenada. O vetor velocidade de $M$ é a derivada do seu vetor posição, $\vect v(t) = \bigl(x'(t),\, y'(t)\bigr)$ , em $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . A norma dele, $v = \sqrt{x'^2 + y'^2}$ , é a velocidade escalar — o único número que o velocímetro mostra.

Exemplo 24.3 (Um drone em voo nivelado)

Um drone voa com $x(t) = 4.0\,t$ e $y(t) = 3.0\,t$ (metros, segundos): trajetória sobre a reta $y = \tfrac34 x$ , velocidade $\vect v = (4.0, 3.0)$ em todos os instantes e velocidade escalar $\sqrt{4.0^2 + 3.0^2} = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , constante.

Proposição 24.4 (Tangente à trajetória)

A cada instante, $\vect v(t)$ é tangente à trajetória na posição atual de $M$ e aponta no sentido do movimento.

Demonstração. O deslocamento é uma corda da trajetória; à medida que $\Delta t$ encolhe, a direção da corda vira a da tangente. ∎

24.3 O vetor aceleração

Definição 24.5 (Vetor aceleração)

O vetor aceleração de $M$ é a derivada do seu vetor velocidade, $\vect a(t) = \bigl(v_x'(t),\, v_y'(t)\bigr) = \bigl(x''(t),\, y''(t)\bigr)$ , em $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : com que rapidez, e em que direção, o vetor velocidade está mudando naquele momento.

Observação 24.6 (Acelerar sem ganhar velocidade)

$\vect a \neq \vect 0$ sempre que o vetor velocidade muda — em comprimento ou em direção: um carro freando acelera (para trás); um carro fazendo curva a velocidade escalar constante acelera (para o lado). É essa a grandeza que as forças controlam (Capítulos 16 e 25).

Método 24.7 (Ler uma cronofotografia)

Uma cronofotografia registra as posições $M_0, M_1, M_2, \dots$ de um ponto móvel em intervalos de tempo iguais $\Delta t$ .

O espaçamento dos pontos revela a velocidade escalar: espaçamentos iguais, velocidade constante; abrindo, acelerando; fechando, freando.
A velocidade em $M_i$ é a corda simétrica, $\vect v_i \approx \vect{M_{i-1}M_{i+1}}/(2\,\Delta t)$ , desenhada em $M_i$ , tangente ao caminho pontilhado.
Para a aceleração em $M_i$ : copie $\vect v_{i-1}$ e $\vect v_{i+1}$ para $M_i$ e desenhe $\Delta\vect v = \vect v_{i+1} - \vect v_{i-1}$ , de ponta a ponta; então $\vect a_i \approx \Delta\vect v/(2\,\Delta t)$ .

Cronofotografia de uma bola arremessada: v_2 e v_4, construídos a partir das cordas, são copiados para M_3; a diferença deles, v, entrega a — vertical, para baixo. — Cronofotografia de uma bola arremessada: $\vect v_2$ e $\vect v_4$ , construídos a partir das cordas, são copiados para $M_3$ ; a diferença deles, $\Delta\vect v$ , entrega $\vect a$ — vertical, para baixo.

24.4 Movimentos retilíneos

Ao longo de uma reta basta um eixo: $x(t)$ , $v(t) = x'(t)$ e $a(t) = v'(t)$ , todos números com sinal.

Definição 24.8 (Movimento retilíneo uniforme)

Um movimento é retilíneo uniforme quando $\vect v$ é um vetor constante: trajetória reta, velocidade escalar constante, $\vect a = \vect 0$ . Então $x(t) = v\,t + x_0$ .

Proposição 24.9 (Movimento retilíneo uniformemente acelerado)

Se um ponto se move ao longo de $Ox$ com aceleração constante $a$ , partindo em $t = 0$ da posição $x_0$ com velocidade $v_0$ , então

v(t) = a\,t + v_0, \qquad x(t) = \tfrac12\,a\,t^2 + v_0\,t + x_0 .

Demonstração. $v$ é uma primitiva da constante $a$ : $v(t) = a t + C$ , e $t = 0$ obriga $C = v_0$ . Por sua vez, $x$ é uma primitiva de $a t + v_0$ : $x(t) = \tfrac12 a t^2 + v_0 t + C'$ , com $C' = x_0$ . ∎

Movimento uniformemente acelerado (a = 2.0\, m/ s2, v_0 = 1.0\, m/ s, x_0 = 0): cada gráfico é a derivada do de cima — uma parábola, a inclinação dela e a inclinação da inclinação. — Movimento uniformemente acelerado ( $a = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $v_0 = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $x_0 = 0$ ): cada gráfico é a derivada do de cima — uma parábola, a inclinação dela e a inclinação da inclinação.

Exemplo 24.10 (Distância de frenagem)

Um carro com velocidade escalar $v_0$ freia com desaceleração constante $a$ (aceleração $-a$ ). Ele para quando $v(t) = -a t + v_0 = 0$ , em $t_s = v_0/a$ , tendo percorrido $d = -\tfrac12 a t_s^2 + v_0 t_s = v_0^2/(2a)$ . O quadrado é a manchete da segurança viária: dobrar a velocidade quadruplica a distância de frenagem — com $a = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , são $16\,\mathrm{m}$ a partir de $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ e $64\,\mathrm{m}$ a partir de $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

24.5 Movimento circular uniforme e a base de Frenet

Definição 24.11 (Movimento circular uniforme)

Um movimento é circular uniforme quando a trajetória é um círculo de raio $R$ e a velocidade escalar $v$ é constante. O período $T$ é a duração de uma volta, e a frequência $f = 1/T$ (em $\mathrm{Hz}$ ) é o número de voltas por segundo: $v = 2\pi R/T = 2\pi R f$ .

Velocidade escalar constante — e, no entanto, a velocidade gira: existe uma aceleração. Para que lado, e de que tamanho?

Teorema 24.12 (Aceleração centrípeta)

Num movimento circular uniforme de raio $R$ e velocidade escalar $v$ , a aceleração — chamada de centrípeta — aponta do ponto móvel para o centro do círculo, com norma constante

a = \frac{v^2}{R}.

Demonstração. Centre os eixos no centro do círculo e ponha $\omega = v/R$ , de modo que o arco $v t$ subentende o ângulo $\omega t$ : a posição é $x(t) = R\cos(\omega t)$ , $y(t) = R\sin(\omega t)$ . Derivando, $\vect v = (-R\omega\sin(\omega t),\, R\omega\cos(\omega t))$ , de norma constante $R\omega = v$ ; derivando outra vez, $\vect a = -\omega^2\,\vect{OM}$ : oposto ao vetor posição — em direção ao centro — e de norma $\omega^2 R = v^2/R$ . ∎

Movimento circular uniforme: v tangente e de comprimento fixo; a apontado para o centro e de comprimento fixo v2/R — girando a velocidade para sempre, sem nunca esticá-la. — Movimento circular uniforme: $\vect v$ tangente e de comprimento fixo; $\vect a$ apontado para o centro e de comprimento fixo $v^2/R$ — girando a velocidade para sempre, sem nunca esticá-la.

Definição 24.13 (Base de Frenet)

A base de Frenet na posição atual de um ponto sobre um caminho curvo é o par de vetores unitários perpendiculares $(\vect{u_t}, \vect{u_n})$ : $\vect{u_t}$ tangente, no sentido do movimento; $\vect{u_n}$ normal, apontando para o centro do círculo de raio $R$ que melhor se ajusta à curva ali.

Proposição 24.14 (Aceleração na base de Frenet)

Ao longo de qualquer caminho plano de raio local $R$ , percorrido com velocidade escalar $v(t)$ ,

\vect a = a_t\,\vect{u_t} + a_n\,\vect{u_n}, \qquad a_t = \frac{\dd v}{\dd t}, \qquad a_n = \frac{v^2}{R}:

a aceleração tangencial $a_t$ muda a velocidade escalar; a aceleração normal $a_n$ gira a velocidade.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 24.15 (Onde mora a demonstração)

Demonstramos os extremos: $a_t$ puro numa reta (Proposição 24.9) e $a_n$ puro num círculo (Teorema 24.12); a decomposição geral é deduzida no volume do primeiro ano de graduação.

Exemplo 24.16 (Frear entrando na curva)

Um carro entra numa curva de raio $R = 50\,\mathrm{m}$ a $v = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ enquanto freia a $\dd v/\dd t = -3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $a_t = -3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $a_n = 15^2/50 = 4.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , de modo que $a = \sqrt{3.0^2 + 4.5^2} \approx 5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , apontando para trás e para dentro da curva. Os pneus precisam fornecer as duas coisas ao mesmo tempo — e é por isso que os pilotos de corrida freiam antes da curva.

24.6 Exercícios

Exercício 24.1 ★

Para $x(t) = 3.0\,t$ e $y(t) = 4.0\,t$ (metros, segundos), dê $\vect v$ , a velocidade escalar, a trajetória e a classe do movimento.

Solução

Solução de Exercício 24.1.

$\vect v = (3.0, 4.0)$ , constante; velocidade escalar $\sqrt{3.0^2 + 4.0^2} = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Trajetória: a reta $y = \tfrac43 x$ . Vetor velocidade constante: movimento retilíneo uniforme.

Exercício 24.2 ★

Numa cronofotografia feita a cada $0.10\,\mathrm{s}$ , os pontos estão sobre uma reta, igualmente espaçados de $0.35\,\mathrm{m}$ . Identifique o movimento e calcule a velocidade escalar. O que espaçamentos que se abrem indicariam?

Solução

Solução de Exercício 24.2.

Reta, com espaçamentos iguais: retilíneo uniforme; $v = 0.35/0.10 = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Espaçamentos que se abrem significariam velocidade escalar crescente.

Exercício 24.3 ★

Para $x(t) = 2.0\,t^2$ ao longo de $Ox$ (metros, segundos), obtenha $v(t)$ e $a(t)$ , nomeie a classe do movimento e calcule a velocidade escalar em $t = 3.0\,\mathrm{s}$ .

Solução

Solução de Exercício 24.3.

$v(t) = 4.0\,t$ , $a = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : aceleração constante, movimento retilíneo uniformemente acelerado. $v(3.0) = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercício 24.4 ★

Um cavalinho de carrossel percorre um círculo de raio $4.5\,\mathrm{m}$ , uma volta a cada $8.0\,\mathrm{s}$ : calcule a frequência, a velocidade escalar e a aceleração (norma e direção).

Solução

Solução de Exercício 24.4.

$f = 1/8.0 = 0.125\,\mathrm{Hz}$ ; $v = 2\pi \times 4.5/8.0 \approx 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a = v^2/R = 3.53^2/4.5 \approx 2.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , apontando para o eixo do carrossel.

Exercício 24.5 ★

Um gráfico de $v(t)$ sobe em linha reta de $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em $t = 0$ até $10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em $t = 4.0\,\mathrm{s}$ . Leia a aceleração e depois a distância percorrida (área sob o gráfico).

Solução

Solução de Exercício 24.5.

Inclinação: $a = (10.0 - 2.0)/4.0 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Área (trapézio): $d = \tfrac12 (2.0 + 10.0) \times 4.0 = 24\,\mathrm{m}$ .

Exercício 24.6 ★★

Um trem de alta velocidade faz uma curva de raio $6.0\,\mathrm{km}$ a $320\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Calcule $a_n$ e compare-a com $g$ ; por que as linhas de alta velocidade precisam evitar curvas fechadas, mesmo perfeitamente inclinadas?

Solução

Solução de Exercício 24.6.

$v = 88.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $a_n = 88.9^2/6000 \approx 1.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 0.13\,g$ . Como $a_n = v^2/R$ , um $v$ alto exige um $R$ enorme para manter aceitável a aceleração lateral (e a força sobre a via e sobre os passageiros) — a inclinação da via muda quem a fornece, e não o tamanho dela.

Exercício 24.7 ★★

Um carrinho num trilho reto tem $x(t) = -1.2\,t^2 + 8.0\,t + 3.0$ (metros, segundos). Encontre $v(t)$ e $a$ , o instante e a posição da inversão de sentido, e descreva o movimento antes e depois.

Solução

Solução de Exercício 24.7.

$v(t) = -2.4\,t + 8.0$ ; $a = -2.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , constante. Inversão em $v = 0$ : $t = 8.0/2.4 \approx 3.3\,\mathrm{s}$ , em $x \approx 16.3\,\mathrm{m}$ . Antes: para a frente, freando; depois: para trás, ganhando velocidade — uniformemente acelerado o tempo todo.

Exercício 24.8 ★★

Uma cronofotografia ao longo de uma reta, a cada $\Delta t = 0.20\,\mathrm{s}$ , dá $x = 0$ , $0.10$ , $0.28$ , $0.54$ e $0.88\,\mathrm{m}$ . Estime a velocidade nos três pontos interiores (Método 24.7) e depois a aceleração; conclua.

Solução

Solução de Exercício 24.8.

$v_1 = 0.28/0.40 = 0.70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_2 = (0.54 - 0.10)/0.40 = 1.10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_3 = (0.88 - 0.28)/0.40 = 1.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . A velocidade ganha $0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a cada $0.20\,\mathrm{s}$ : $a = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , constante — retilíneo uniformemente acelerado.

Exercício 24.9 ★★

A Lua orbita a Terra num quase-círculo de raio $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ em $27.3\,\mathrm{d}$ . Calcule a velocidade escalar e a aceleração centrípeta dela; compare a segunda com $g$ , sabendo que a Lua está a cerca de $60$ raios terrestres (Capítulo 4).

Solução

Solução de Exercício 24.9.

$T = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ : $v = 2\pi \times 3.84 \times 10^{8}/2.36 \times 10^{6} \approx 1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_n = v^2/R \approx 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Razão: $g/a_n \approx 3600 = 60^2$ — a gravidade, diluída pelo inverso do quadrado da distância (Capítulo 4), explica exatamente a curva da Lua.

Exercício 24.10 ★★

O tambor de uma máquina de lavar, de raio $25\,\mathrm{cm}$ , gira a $1200$ rotações por minuto. Calcule $f$ , $T$ , a velocidade escalar na borda e a aceleração na borda em múltiplos de $g$ . Por que a roupa fica grudada enquanto a água sai?

Solução

Solução de Exercício 24.10.

$f = 1200/60 = 20\,\mathrm{Hz}$ , $T = 0.050\,\mathrm{s}$ ; $v = 2\pi R f = 2\pi \times 0.25 \times 20 \approx 31\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_n = v^2/R \approx 3.9 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 400\,g$ . A parede do tambor fornece o $a_n$ da roupa; pelos furos nada empurra a água para dentro, e por isso ela sai pela tangente.

Exercício 24.11 ★★

Um carro a $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ freia com $a = 7.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ constante: calcule o tempo de parada e a distância de frenagem, e esboce $v(t)$ .

Solução

Solução de Exercício 24.11.

$v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $t_s = 25/7.5 \approx 3.3\,\mathrm{s}$ ; $d = v_0^2/(2a) = 625/15 \approx 42\,\mathrm{m}$ . Gráfico: um segmento de reta descendo de $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ até $0$ em $t_s$ .

Exercício 24.12 ★★★

Para $x(t) = R\cos(\omega t)$ e $y(t) = R\sin(\omega t)$ : calcule $\vect v$ ; verifique que a velocidade escalar é a constante $R\omega$ e que $\vect v \perp \vect{OM}$ ; calcule $\vect a$ , mostre que ele vale $-\omega^2\,\vect{OM}$ e recupere $a = v^2/R$ .

Solução

Solução de Exercício 24.12.

$\vect v = (-R\omega\sin\omega t,\, R\omega\cos\omega t)$ , de norma constante $R\omega$ ; o produto escalar dele com $\vect{OM}$ se anula, de modo que ele é perpendicular ao raio e, portanto, tangente. Derivando de novo, $\vect a = -\omega^2\vect{OM}$ : em direção a $O$ , de norma $\omega^2 R = (v/R)^2 R = v^2/R$ .

Exercício 24.13 ★★★

Uma motocicleta entra numa curva de raio $80\,\mathrm{m}$ a $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , freando a $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Calcule $a_t$ , $a_n$ , a norma de $\vect a$ e o ângulo dele com a direção do movimento. Os pneus aderem até $7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ no total: o piloto está dentro do limite?

Solução

Solução de Exercício 24.13.

$a_t = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (para trás), $a_n = 20^2/80 = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $a = \sqrt{2.5^2 + 5.0^2} \approx 5.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; ângulo com a direção do movimento: $\theta = 180^\circ - \arctan(5.0/2.5) \approx 117^\circ$ (ou seja, $63^\circ$ a partir de exatamente para trás). $5.6 < 7.0$ : dentro da aderência, com pouca folga.

Exercício 24.14 ★★★

Um metrô acelera do repouso a $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ até $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , segue em velocidade de cruzeiro por $40\,\mathrm{s}$ e depois freia a $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ até parar. Calcule a duração e o comprimento de cada fase, a distância total e a velocidade média. Esboce $v(t)$ e confira a distância como uma área.

Solução

Solução de Exercício 24.14.

Arrancada: $t_1 = 20/1.2 \approx 17\,\mathrm{s}$ , $d_1 = 20^2/(2 \times 1.2) \approx 167\,\mathrm{m}$ . Cruzeiro: $40\,\mathrm{s}$ , $800\,\mathrm{m}$ . Frenagem: $t_3 = 20/1.5 \approx 13\,\mathrm{s}$ , $d_3 = 400/3.0 \approx 133\,\mathrm{m}$ . Total: $1.1 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ em $70\,\mathrm{s}$ ; média $1100/70 \approx 16\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $57\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ). O $v(t)$ é um trapézio cuja área, $\tfrac12(70 + 40) \times 20 = 1100\,\mathrm{m}$ , confere com o total.

Exercício 24.15 ★★★

Um satélite geoestacionário gira num raio de $4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ a partir do centro da Terra, com período $86\,164\,\mathrm{s}$ . Calcule a velocidade escalar e a aceleração centrípeta dele. O que a fornece, e por que o satélite fica pairando sobre um ponto fixo do equador (Capítulo 27)?

Solução

Solução de Exercício 24.15.

$v = 2\pi \times 4.22 \times 10^{7}/86\,164 \approx 3.1 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_n = v^2/R \approx 0.22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Quem a fornece é a gravidade da Terra àquela distância; o período é igual ao período de rotação da Terra, de modo que satélite e solo giram juntos e ele fica pairando sobre um ponto do equador (Capítulo 27).

24.7 Problema: o laudo do acidente

Problema 24.1

Problema de fim de semana — o laudo do acidente: um vídeo de câmera de bordo lido quadro a quadro, uma lei de frenagem reconstruída a partir das marcas de derrapagem, uma rotatória que testemunha sobre a aderência e um veredito em quilômetros por hora

Um carro atinge uma van que saiu de uma rua transversal; ninguém se machuca, mas as seguradoras discordam. O perito tem imagens de uma câmera aérea (um quadro a cada $0.50\,\mathrm{s}$ ), marcas de derrapagem medidas e a câmera de bordo do carro. O limite de velocidade é $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Parte I — Ler o filme. Os quadros anteriores a qualquer reação dão, ao longo da estrada reta:

$t$ ( $\mathrm{s}$ )	0.00	0.50	1.00	1.50	2.00
$x$ ( $\mathrm{m}$ )	0.0	9.0	18.0	27.0	36.0

Por que o laudo precisa nomear primeiro um referencial e eixos? Quais são usados aqui?
Calcule a velocidade média em cada um dos quatro intervalos.
Que classe de movimento é essa? Justifique pela tabela.
Dê a velocidade $v_0$ do carro em $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e em $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
Qual é a aceleração ao longo desses dois segundos?

Parte II — As marcas de derrapagem. Testes de pneus nesse asfalto seco dão uma desaceleração de frenagem constante $a = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; as marcas de derrapagem têm $d_b = 27\,\mathrm{m}$ de comprimento. Tome $t = 0$ e $x = 0$ no início da frenagem, com velocidade desconhecida $v_B$ .

Por primitivas, escreva $v(t)$ e $x(t)$ durante a frenagem.
Exprima o tempo de parada $t_s$ ; mostre que $d_b = v_B^2/(2a)$ .
Deduza $v_B$ a partir das marcas de derrapagem. É coerente com a Parte I?
O tempo de reação é $1.0\,\mathrm{s}$ : calcule a distância de reação e a distância total de parada.
Explique, a partir da questão 7, por que dobrar a velocidade quadruplica a distância de frenagem; calcule $d_b$ a exatamente $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Parte III — A rotatória testemunha. Um pouco antes, a câmera de bordo mostra o carro percorrendo uma faixa de rotatória de raio $R = 12.5\,\mathrm{m}$ com velocidade escalar constante, um quarto de volta em $2.5\,\mathrm{s}$ . A pista consegue fornecer no máximo $a_n = \mu g$ , com $\mu = 0.70$ .

A velocidade escalar ali é constante — e a velocidade? O carro está acelerando? Explique.
Calcule a velocidade escalar do carro na rotatória.
Calcule a aceleração centrípeta dele (norma e direção).
Calcule a velocidade máxima sem derrapagem. O carro estava dentro dela?
Dê o período e a frequência de uma volta completa nessa velocidade.

Parte IV — O veredito. A van apareceu $D = 41\,\mathrm{m}$ à frente do carro no instante em que o motorista começou a reagir.

De quanto, em $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ e em porcentagem, a velocidade antes da frenagem excedeu o limite?
Calcule a velocidade do carro no impacto.
Refaça a conta de parada a exatamente $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ (mesma reação, mesma frenagem): o carro para, e com que margem?
Dê a fórmula geral da distância de parada $d(v)$ ; por que a velocidade entra duas vezes — uma linearmente e outra ao quadrado?
O veredito, em uma frase com os números: a que velocidade o motorista estava, e o acidente teria acontecido no limite?

Solução

Solução de Problema 24.1.

1. O movimento é relativo (Capítulo 5): toda posição e toda velocidade precisam nomear o seu referencial. Aqui: o referencial do solo (a estrada), com $x$ ao longo da estrada a partir da posição do primeiro quadro.

2. Em cada intervalo: $9.0/0.50 = 18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — quatro valores iguais.

3. Estrada reta, deslocamentos iguais em tempos iguais: movimento retilíneo uniforme.

4. $v_0 = 18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 64.8\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

5. $\vect a = \vect 0$ .

6. $v(t) = -a\,t + v_B$ ; $x(t) = -\tfrac12 a t^2 + v_B\,t$ .

7. $v(t_s) = 0$ dá $t_s = v_B/a$ ; então $d_b = -\tfrac12 a (v_B/a)^2 + v_B^2/a = v_B^2/(2a)$ .

8. $v_B = \sqrt{2 a d_b} = \sqrt{2 \times 6.0 \times 27} = \sqrt{324} = 18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — exatamente a velocidade filmada: o motorista não reduziu antes de frear.

9. Reação: $18.0 \times 1.0 = 18\,\mathrm{m}$ ; total $18 + 27 = 45\,\mathrm{m}$ .

10. $d_b = v_B^2/(2a) \propto v_B^2$ : dobrar $v_B$ multiplica $d_b$ por $4$ . A $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): $d_b = 13.9^2/12.0 \approx 16\,\mathrm{m}$ .

11. A velocidade escalar é constante, mas a direção da velocidade gira: $\vect v$ não é constante, de modo que o carro está acelerando.

12. Quarto de volta: $2\pi R/4 = 19.6\,\mathrm{m}$ ; $v = 19.6/2.5 \approx 7.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $28\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ).

13. $a_n = 7.85^2/12.5 \approx 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , em direção ao centro da rotatória.

14. $a_{\max} = \mu g = 0.70 \times 9.81 \approx 6.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $v_{\max} = \sqrt{\mu g R} = \sqrt{6.87 \times 12.5} \approx 9.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $33\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ). $7.9 < 9.3$ : dentro da aderência — coerente com a faixa limpa, sem derrapagem.

15. $T = 2\pi R/v = 78.5/7.85 \approx 10.0\,\mathrm{s}; f = 0.10\,\mathrm{Hz}$ .

16. $64.8 - 50 \approx 15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ acima — cerca de $30\%$ acima do limite.

17. A frenagem age ao longo de $41 - 18 = 23\,\mathrm{m}$ : $v^2 = v_B^2 - 2ad = 324 - 2 \times 6.0 \times 23 = 48$ , logo $v \approx 6.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ no impacto.

18. A $13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $13.9 \times 1.0 + 13.9^2/12.0 = 13.9 + 16.1 = 30.0\,\mathrm{m} < 41\,\mathrm{m}$ — o carro para $11\,\mathrm{m}$ antes da van.

19. $d(v) = v\,t_r + v^2/(2a)$ : uma vez linearmente (a reação cobre $v t_r$ antes de os freios agirem) e outra ao quadrado (a parcela cinética $v^2/(2a)$ ) — e é por isso que excessos moderados custam de modo desproporcional.

20. A câmera de bordo e as marcas de derrapagem concordam: $65\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ numa zona de $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; no limite legal o carro teria parado $11\,\mathrm{m}$ antes da van — o acidente são os $15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ a mais.