Física do ensino médio · Grades 10–12

19O núcleo e a radioatividade

Neste exato momento, uns oito mil núcleos atômicos explodem dentro do seu corpo a cada segundo. Nada os ataca: certos núcleos nascem instáveis, e cada um deles, cedo ou tarde, se transforma, arremessando um fragmento a uma boa fração da velocidade da luz. Este capítulo volta ao andar dos $10^{-15}$ metros do Capítulo 13 para ver que núcleos são frágeis, como eles se rompem e como a impaciência regular deles data cavernas e vigia tetos.

19.1 Núcleos, núcleons e isótopos

Definição 19.1 (Notação nuclear)

Um núcleo contém $Z$ prótons (de carga $+e$ cada) e $N$ nêutrons (sem carga), num total de $A = Z + N$ núcleons; ele se escreve ${}^{A}_{Z}\mathrm{X}$ , em que $\mathrm X$ é o símbolo químico, $Z$ é o número atômico e $A$ , o número de massa. Uma espécie especificada por $A$ e $Z$ é um nuclídeo; nuclídeos de mesmo $Z$ e $A$ diferentes são isótopos de um mesmo elemento: mesma química (a nuvem de elétrons só enxerga $Ze$ ), núcleos e estabilidade diferentes.

Exemplo 19.2 (Hidrogênio e carbono)

O hidrogênio tem três isótopos: ${}^{1}_{1}\mathrm{H}$ (um próton solitário), ${}^{2}_{1}\mathrm{H}$ (deutério: um próton e um nêutron) e o instável ${}^{3}_{1}\mathrm{H}$ (trítio: dois nêutrons). O carbono natural: quase todo ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$ ( $6$ prótons, $6$ nêutrons), $1.1\%$ de ${}^{13}_{6}\mathrm{C}$ e um átomo em $10^{12}$ do instável ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ ( $8$ nêutrons), herói do Exemplo 19.17.

19.2 Núcleos estáveis e instáveis

Proposição 19.3 (O vale de estabilidade)

Os nuclídeos estáveis ocupam uma faixa estreita do plano $(Z, N)$ : $N \approx Z$ para os núcleos leves e depois um excesso crescente de nêutrons, até $N \approx 1.5\,Z$ . Todo nuclídeo fora da faixa — nêutrons demais, prótons demais ou tamanho demais (acima do chumbo, $Z = 82$ , nuclídeo algum é verdadeiramente estável) — se transforma cedo ou tarde.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 19.4

Localizar a faixa com exatidão é mecânica quântica — assunto dos volumes de graduação. O padrão é o balanço do Capítulo 13: a cola forte liga apenas vizinhos, a repulsão de Coulomb atravessa o núcleo inteiro, e por isso os núcleos pesados precisam de cola extra de nêutrons; e, no entanto, um excesso de nêutrons também é instável (a interação fraca cuida disso).

Os nuclídeos estáveis se agarram a N = Z e depois derivam para o lado rico em nêutrons; acima da faixa um núcleo decai por -, abaixo dela por +, e além do bismuto por . — Os nuclídeos estáveis se agarram a $N = Z$ e depois derivam para o lado rico em nêutrons; acima da faixa um núcleo decai por $\beta^-$ , abaixo dela por $\beta^+$ , e além do bismuto por $\alpha$ .

Definição 19.5 (Radioatividade)

A radioatividade é a transformação espontânea de um núcleo instável em outro nuclídeo, com emissão de radiação. Ela é aleatória: nada anuncia qual núcleo decai em seguida, e pressão, temperatura ou química alguma consegue apressá-la ou atrasá-la; só populações grandes são previsíveis (Definição 19.14).

Observação 19.6 (Becquerel e os Curie)

Em 1896, Henri Becquerel descobriu que sais de urânio velam uma chapa fotográfica através de papel preto, dentro de uma gaveta fechada, sem energia fornecida alguma. Marie e Pierre Curie mostraram que o efeito é atômico, mediram-no e isolaram o polônio e o rádio, um milhão de vezes mais ativos. A palavra radioatividade é de Marie Curie; e dois prêmios Nobel também.

19.3 Alfa, beta, gama

Definição 19.7 (As três radiações históricas)

Três radiações, batizadas antes que alguém soubesse o que elas eram:

alfa ( $\alpha$ ): um núcleo de hélio ${}^{4}_{2}\mathrm{He}$ ejetado inteiro — pesado, com carga dupla, barrado por uma folha de papel ou por centímetros de ar;
beta ( $\beta^-$ ): um elétron ${}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ criado no núcleo e ejetado — leve, rápido, barrado por milímetros de alumínio;
gama ( $\gamma$ ): radiação eletromagnética, muito mais energética do que a luz — nunca barrada por completo, apenas atenuada: um centímetro de chumbo absorve metade.

A morre no papel e a - em milímetros de alumínio; a é apenas afinada, mesmo pelo chumbo. — A $\alpha$ morre no papel e a $\beta^-$ em milímetros de alumínio; a $\gamma$ é apenas afinada, mesmo pelo chumbo.

Proposição 19.8 (Conservação nas equações nucleares)

Em toda transformação nuclear, o número de massa total $A$ e a carga total — a soma dos índices inferiores, contando $-1$ para um elétron emitido — são os mesmos antes e depois.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 19.9

A conservação da carga já governava o Capítulo 13; a conservação de $A$ diz que os núcleons são apenas convertidos, nunca criados nem destruídos — uma contabilidade honesta, para os volumes de graduação.

Método 19.10 (Equilibrar uma equação de decaimento)

Escreva todos os atores com os dois rótulos: $\alpha = {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ , $\beta^- = {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ , $\beta^+ = {}^{0}_{+1}\mathrm{e}$ ; um $\gamma$ carrega $A = Z = 0$ .
Iguale as somas dos $A$ e depois as dos $Z$ (Proposição 19.8); resolva e leia o elemento-filho pelo seu $Z$ na tabela periódica.

Exemplo 19.11 (Um decaimento alfa)

O rádio-226, o rádio dos Curie, é um emissor $\alpha$ : ${}^{226}_{88}\mathrm{Ra} \to {}^{A}_{Z}\mathrm{Y} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ obriga $A = 226 - 4 = 222$ e $Z = 88 - 2 = 86$ ; o elemento $86$ é o radônio, logo ${}^{226}_{88}\mathrm{Ra} \to {}^{222}_{86}\mathrm{Rn} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ — o gás radioativo dos porões sem ventilação.

Exemplo 19.12 (Um decaimento beta-menos)

O carbono-14 fica acima da faixa ( $8$ nêutrons contra $6$ prótons): ${}^{14}_{6}\mathrm{C} \to {}^{14}_{7}\mathrm{N} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ . Conferindo: $14 = 14 + 0$ e $6 = 7 - 1$ ; um nêutron virou um próton mais o elétron ejetado — a interação fraca em ação.

Observação 19.13 (Beta-mais e gama)

Abaixo da faixa, o decaimento espelhado $\beta^+$ transforma um próton em um nêutron mais um pósitron ${}^{0}_{+1}\mathrm{e}$ , a antipartícula do elétron: ${}^{18}_{9}\mathrm{F} \to {}^{18}_{8}\mathrm{O} + {}^{0}_{+1}\mathrm{e}$ , o burro de carga dos exames PET. E, depois da maioria dos decaimentos, o núcleo-filho, que nasce trepidando, se acomoda emitindo um $\gamma$ por cima.

Os primeiros passos da cadeia do urânio-238; mais onze decaimentos ( e -) terminam no estável 206_82 Pb. — Os primeiros passos da cadeia do urânio-238; mais onze decaimentos ( $\alpha$ e $\beta^-$ ) terminam no estável ${}^{206}_{82}\mathrm{Pb}$ .

19.4 Meia-vida e atividade

Definição 19.14 (Meia-vida)

A meia-vida $T_{1/2}$ de um nuclídeo é o tempo ao fim do qual metade de qualquer amostra grande já decaiu. Cada meia-vida adicional reduz o restante à metade: de $N_0$ núcleos, sobram $N_0/2$ em $T_{1/2}$ , $N_0/4$ em $2\,T_{1/2}$ , $N_0/8$ em $3\,T_{1/2}$ e $N_0/2^{\,n}$ depois de $n$ meias-vidas.

Observação 19.15

Aleatoriedade para um núcleo, relojoaria para $10^{23}$ : uma multidão imensa de jogadores de cara ou coroa, imprevisíveis um a um, com metade eliminada a cada rodada. Interpolar entre meias-vidas inteiras exige a função exponencial — no ano que vem, junto com o volume de matemática.

Exemplo 19.16 (Vinte potências de dez)

polônio-214	$\alpha$	$1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$	elo da cadeia do rádio
tecnécio-99m	$\gamma$	$6.0$ horas	exames de imagem
amerício-241	$\alpha$	$432$ anos	detectores de fumaça
carbono-14	$\beta^-$	$5700$ anos	arqueologia
potássio-40	$\beta$	$1.25 \times 10^{9}$ anos	em toda banana
urânio-238	$\alpha$	$4.5 \times 10^{9}$ anos	calor interno da Terra

Exemplo 19.17 (Datação por carbono-14)

A matéria viva troca carbono com a atmosfera e, por isso, guarda a proporção atmosférica de carbono-14; na morte a reposição para e a proporção cai à metade a cada $5700$ anos. O carvão de uma caverna pintada mostra um quarto da proporção viva: um quarto é a metade da metade, de modo que o fogo queimou duas meias-vidas atrás, ou seja, $2 \times 5700 = 11\,400$ anos.

Definição 19.18 (Atividade)

A atividade $\mathcal A$ de uma amostra é o seu número de decaimentos por segundo, medida em becquerels: $1\,\mathrm{Bq} = 1$ decaimento por segundo. Menos núcleos sobreviventes significam menos decaimentos, de modo que a atividade também cai à metade a cada meia-vida.

A escada das metades: depois de n meias-vidas a atividade vale A_0/2\,n — um oitavo depois de três, um milésimo depois de dez. — A escada das metades: depois de $n$ meias-vidas a atividade vale $\mathcal A_0/2^{\,n}$ — um oitavo depois de três, um milésimo depois de dez.

Exemplo 19.19 (Ordens de grandeza)

Tudo é ligeiramente radioativo. Uma banana: cerca de $15\,\mathrm{Bq}$ (potássio-40). Um corpo humano: cerca de $8000\,\mathrm{Bq}$ — o gancho deste capítulo, o equivalente a umas quinhentas bananas. Um metro cúbico de granito: em torno de $3 \times 10^{6}\,\mathrm{Bq}$ (urânio e a cadeia dele, de onde vem o radônio dos porões). Uma injeção de tecnécio: cerca de $5 \times 10^{8}\,\mathrm{Bq}$ , que desaparecem em poucos dias.

19.5 Serventias e perigos

Exemplo 19.20 (Três carreiras de um núcleo instável)

Medicina: o tecnécio-99m, emissor $\gamma$ puro com $T_{1/2} = 6$ horas, é fixado a uma molécula que o órgão-alvo absorve; uma câmera filma os $\gamma$ de fora, e no dia seguinte o marcador já praticamente sumiu — enquanto a radioterapia inverte a lógica, concentrando feixes para destruir um tumor. Datação: o carbono-14 para madeira, osso e tecido até uns $50\,000$ anos; o urânio-238 para rochas — e para a Terra, com $4.5 \times 10^{9}$ anos. Detectores de fumaça: uma pontinha de amerício-241 ioniza o ar de uma câmara pequena, deixando circular uma corrente minúscula; a fumaça sufoca a corrente e o alarme dispara — e as partículas $\alpha$ morrem em centímetros de ar.

Observação 19.21 (Dose e o sievert)

A radiação arranca elétrons de moléculas e pode danificar o DNA. O dano biológico é acompanhado pela dose, em sieverts ( $\mathrm{Sv}$ ), que pondera a energia depositada por quilograma de tecido pelo quanto cada radiação é danosa. Três regras: distância, blindagem ( $\alpha$ : a pele basta — a não ser que o emissor seja inalado, o crime do radônio; $\beta$ : alumínio; $\gamma$ : chumbo) e tempo. A dosimetria propriamente dita é material de graduação.

19.6 Exercícios

Exercício 19.1 ★

Dê o número de prótons e de nêutrons de ${}^{16}_{8}\mathrm{O}$ , ${}^{27}_{13}\mathrm{Al}$ , ${}^{60}_{27}\mathrm{Co}$ , ${}^{235}_{92}\mathrm{U}$ e ${}^{3}_{1}\mathrm{H}$ .

Solução

Solução de Exercício 19.1.

${}^{16}_{8}\mathrm{O}$ : $8$ p, $8$ n; ${}^{27}_{13}\mathrm{Al}$ : $13$ p, $14$ n; ${}^{60}_{27}\mathrm{Co}$ : $27$ p, $33$ n; ${}^{235}_{92}\mathrm{U}$ : $92$ p, $143$ n; ${}^{3}_{1}\mathrm{H}$ : $1$ p, $2$ n. (Em cada caso, $N = A - Z$ .)

Exercício 19.2 ★

Entre ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ , ${}^{14}_{7}\mathrm{N}$ , ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$ , ${}^{13}_{6}\mathrm{C}$ e ${}^{16}_{8}\mathrm{O}$ , quais são isótopos uns dos outros? Por que ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ e ${}^{14}_{7}\mathrm{N}$ não são isótopos, apesar de terem números de massa iguais?

Solução

Solução de Exercício 19.2.

Os três carbonos ( $Z = 6$ ) são isótopos uns dos outros. ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ e ${}^{14}_{7}\mathrm{N}$ compartilham $A = 14$ , mas não $Z$ : são elementos diferentes (nuvens de elétrons diferentes), logo não são isótopos.

Exercício 19.3 ★

O polônio-210, ${}^{210}_{84}\mathrm{Po}$ , é um emissor $\alpha$ . Escreva a equação de decaimento e nomeie o núcleo-filho ( $Z = 81$ : tálio; $82$ : chumbo; $83$ : bismuto).

Solução

Solução de Exercício 19.3.

$A = 210 - 4 = 206$ , $Z = 84 - 2 = 82$ : ${}^{210}_{84}\mathrm{Po} \to {}^{206}_{82}\mathrm{Pb} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ — o núcleo-filho é o chumbo-206.

Exercício 19.4 ★

Escreva as equações de decaimento $\beta^-$ do cobalto-60 ( ${}^{60}_{27}\mathrm{Co}$ ) e do iodo-131 ( ${}^{131}_{53}\mathrm{I}$ ); filhos: $Z = 28$ , níquel; $Z = 54$ , xenônio.

Solução

Solução de Exercício 19.4.

${}^{60}_{27}\mathrm{Co} \to {}^{60}_{28}\mathrm{Ni} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ e ${}^{131}_{53}\mathrm{I} \to {}^{131}_{54}\mathrm{Xe} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ : $A$ não muda e $Z$ sobe uma unidade.

Exercício 19.5 ★

Uma fonte de iodo-131 ( $T_{1/2} = 8.0$ dias) tem atividade $800\,\mathrm{MBq}$ hoje. Qual é a atividade dela depois de $16$ dias? E depois de $32$ dias?

Solução

Solução de Exercício 19.5.

$16$ dias $= 2\,T_{1/2}$ : $800/4 = 200\,\mathrm{MBq}$ . $32$ dias $= 4\,T_{1/2}$ : $800/16 = 50\,\mathrm{MBq}$ .

Exercício 19.6 ★★

Quatro radiações atravessam um campo magnético forte e depois anteparos. Identifique cada uma: (a) barrada pelo papel, mal desviada pelo campo; (b) atravessa o papel, é barrada por $4\,\mathrm{mm}$ de alumínio, fortemente desviada; (c) atravessa os dois, só é atenuada pelo chumbo, não é desviada; (d) como a (b), mas desviada para o outro lado.

Solução

Solução de Exercício 19.6.

(a) $\alpha$ (pesada, e por isso mal desviada); (b) $\beta^-$ ; (c) $\gamma$ (neutra, penetrante); (d) $\beta^+$ (pósitron: tão leve quanto a (b), com carga oposta).

Exercício 19.7 ★★

O radônio-222 ( ${}^{222}_{86}\mathrm{Rn}$ ) abre uma cadeia rápida: um decaimento $\alpha$ , depois outro $\alpha$ , depois um $\beta^-$ . Escreva as três equações ( $Z = 82$ : chumbo; $83$ : bismuto; $84$ : polônio).

Solução

Solução de Exercício 19.7.

${}^{222}_{86}\mathrm{Rn} \to {}^{218}_{84}\mathrm{Po} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ ; ${}^{218}_{84}\mathrm{Po} \to {}^{214}_{82}\mathrm{Pb} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ ; ${}^{214}_{82}\mathrm{Pb} \to {}^{214}_{83}\mathrm{Bi} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ .

Exercício 19.8 ★★

O flúor-18, ${}^{18}_{9}\mathrm{F}$ , é o marcador dos exames PET; o flúor estável é ${}^{19}_{9}\mathrm{F}$ . De que lado da faixa de estabilidade ele está? Preveja o modo de decaimento dele e escreva a equação ( $Z = 8$ : oxigênio).

Solução

Solução de Exercício 19.8.

O flúor-18 tem $9$ nêutrons onde o flúor-19 estável tem $10$ : é pobre em nêutrons, está abaixo da faixa, logo $\beta^+$ : ${}^{18}_{9}\mathrm{F} \to {}^{18}_{8}\mathrm{O} + {}^{0}_{+1}\mathrm{e}$ .

Exercício 19.9 ★★

Um paciente recebe $500\,\mathrm{MBq}$ de tecnécio-99m ( $T_{1/2} = 6.0$ horas) às 08:00. Qual é a atividade às 08:00 da manhã seguinte? Depois de quantas horas ela cai pela primeira vez abaixo de $1\,\mathrm{MBq}$ ?

Solução

Solução de Exercício 19.9.

$24$ horas $= 4\,T_{1/2}$ : $500/16 \approx 31\,\mathrm{MBq}$ . Como $2^9 = 512$ , nove meias-vidas levam a $500/512 < 1\,\mathrm{MBq}$ : depois de $9 \times 6 = 54\,\mathrm{h}$ .

Exercício 19.10 ★★

Um osso de uma turfeira mostra uma proporção de carbono-14 igual a um oitavo da de um osso vivo ( $T_{1/2} = 5700$ anos). Que idade tem o osso? E por que o carbono-14 é inútil para datar ossos de dinossauro (idade de cerca de $10^{8}$ anos)?

Solução

Solução de Exercício 19.10.

$\frac18 = \frac1{2^3}$ : três meias-vidas, $3 \times 5700 = 17\,100$ anos. Um osso de dinossauro tem cerca de $17\,500$ meias-vidas de idade: resta uma fração $1/2^{17500}$ — nem um átomo de carbono-14 (um grama de carbono guarda apenas cerca de $5 \times 10^{22}$ átomos).

Exercício 19.11 ★★

Usando o vale de estabilidade, preveja o modo de decaimento ( $\alpha$ , $\beta^-$ ou $\beta^+$ ) de ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ , ${}^{11}_{6}\mathrm{C}$ e ${}^{238}_{92}\mathrm{U}$ , justificando cada um em uma linha (carbono estável: ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$ , ${}^{13}_{6}\mathrm{C}$ ).

Solução

Solução de Exercício 19.11.

${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ : $8$ nêutrons contra $6$ ou $7$ no carbono estável, acima da faixa, logo $\beta^-$ . ${}^{11}_{6}\mathrm{C}$ : $5$ nêutrons, pobre em nêutrons, logo $\beta^+$ . ${}^{238}_{92}\mathrm{U}$ : $Z = 92 > 83$ , pesado demais, logo $\alpha$ .

Exercício 19.12 ★★★

A cadeia do urânio-238 termina, muitos passos depois, no estável ${}^{206}_{82}\mathrm{Pb}$ ; cada passo é um $\alpha$ ou um $\beta^-$ . Usando só a conservação de $A$ , encontre o número de passos $\alpha$ ; e depois, com a conservação de $Z$ , o número de passos $\beta^-$ .

Solução

Solução de Exercício 19.12.

Só o $\alpha$ muda $A$ : $238 - 206 = 32 = 4x$ , logo $x = 8$ decaimentos alfa. Eles retiram $16$ de $Z$ : $92 - 16 + y = 82$ dá $y = 6$ decaimentos beta-menos.

Exercício 19.13 ★★★

A fonte de cobalto-60 de um hospital ( $T_{1/2} = 5.3$ anos) tem atividade $6.4\,\mathrm{TBq}$ ; as normas permitem o descarte abaixo de $0.1\,\mathrm{TBq}$ . Depois de quantos anos ela pode ser descartada?

Solução

Solução de Exercício 19.13.

$6.4/0.1 = 64 = 2^{6}$ : seis meias-vidas, $6 \times 5.3 = 31.8 \approx 32$ anos de armazenamento blindado.

Exercício 19.14 ★★★

A atividade do seu corpo é de cerca de $8000\,\mathrm{Bq}$ . Quantos núcleos seus decaem por dia? E ao longo de uma vida de $80$ anos? Uma banana acrescenta cerca de $15\,\mathrm{Bq}$ enquanto você a digere: comente, em uma frase, as manchetes que temem cada becquerel.

Solução

Solução de Exercício 19.14.

Por dia: $8000 \times 86400 \approx 6.9 \times 10^{8}$ decaimentos. Em $80$ anos: $6.9 \times 10^{8} \times 365 \times 80 \approx 2 \times 10^{13}$ . A vida sempre funcionou com esse pano de fundo — um becquerel é um átomo por segundo entre os $\sim 10^{27}$ do corpo; a unidade é minúscula, e uma contagem de becquerels de aparência assustadora pode valer umas poucas bananas.

Exercício 19.15 ★★★

Um detector de fumaça guarda $0.2\,\text{µ}\mathrm{g}$ de amerício-241 ( $T_{1/2} = 432$ anos), de atividade em torno de $25\,\mathrm{kBq}$ . Quantos decaimentos isso dá por dia? Depois de dez anos de serviço, o amerício decaiu bem menos do que a metade, cerca da metade, ou bem mais — e é o esgotamento da fonte que faz os detectores serem trocados? Por fim, por que essa fonte $\alpha$ é inofensiva no teto e, ainda assim, perigosa se a cápsula for triturada e o pó, inalado?

Solução

Solução de Exercício 19.15.

$25\,000 \times 86400 \approx 2.2 \times 10^{9}$ decaimentos por dia. Dez anos são $10/432 \approx 2\%$ de uma meia-vida: bem menos do que a metade decaiu, de modo que são a eletrônica e a poeira, e não a fonte, que obrigam à substituição. Do lado de fora, as partículas $\alpha$ morrem no ar da câmara e no invólucro; já o pó inalado estaciona o emissor nos pulmões, onde cada $\alpha$ despeja a sua energia em tecido vivo — uma dose grande (em sieverts) a partir de uma atividade modesta.

19.7 Problema: a múmia, o reator e o detector de fumaça

Problema 19.1

Problema de fim de semana — três carreiras de um núcleo instável: uma múmia datada por metades, a árvore genealógica do urânio equilibrada, um detector de fumaça auditado e por que as estrelas tinham de ser mortais

Três núcleos instáveis, três empregos: o carbono-14 carimba a data de toda planta e todo animal morto, o urânio-238 aquece um planeta por dentro e o amerício-241 vigia tetos. Dados: $T_{1/2} = 5700$ anos (C-14), $4.5 \times 10^{9}$ anos (U-238) e $432$ anos (Am-241); o carbono vivo mostra $13.6$ decaimentos por minuto por grama; números atômicos: N $7$ , O $8$ , Pb $82$ , Bi $83$ , Po $84$ , Rn $86$ , Ra $88$ , Th $90$ , Pa $91$ , U $92$ , Np $93$ , Am $95$ .

Parte I — A múmia.

Dê a composição (prótons, nêutrons) de ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$ e de ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ . Por que a química deles é idêntica num corpo?
Por que a proporção de carbono-14 é constante num corpo vivo, e por que ela começa a cair na morte?
Escreva a equação de decaimento do carbono-14. A radiação dele escaparia através das faixas de linho da múmia?
Um grama de carbono do linho mostra $6.8$ decaimentos por minuto. Que fração da taxa viva é essa? Date a múmia.
Uma segunda “múmia”, joia de uma coleção particular, mostra $13.2$ decaimentos por minuto por grama. Veredito?
Estime a taxa de uma amostra com dez meias-vidas de idade e explique por que a datação por carbono se apaga além de uns $57\,000$ anos.

Parte II — O reator sob o campo.

Dê a composição de ${}^{238}_{92}\mathrm{U}$ . Por que os núcleos pesados precisam de um excedente tão grande de nêutrons?
Escreva a equação do decaimento $\alpha$ dele.
O núcleo-filho decai então por $\beta^-$ , e o neto por $\beta^-$ de novo. Escreva as duas equações. Que elemento reaparece?
A cadeia termina em ${}^{206}_{82}\mathrm{Pb}$ . Conte os passos $\alpha$ dela e depois os passos $\beta^-$ .
A Terra se formou há $4.5 \times 10^{9}$ anos. Que fração do urânio-238 primordial dela resta hoje? E daqui a mais $5$ bilhões de anos?
Em uma frase: o que esse calor de decaimento enterrado alimenta na superfície? (Pense em vulcões e em continentes à deriva.)

Parte III — O detector de fumaça.

Escreva a equação do decaimento $\alpha$ de ${}^{241}_{95}\mathrm{Am}$ .
A atividade dele é $33\,\mathrm{kBq}$ : quantos decaimentos por segundo? E por dia?
Explique o detector: o que as partículas $\alpha$ fazem com o ar da câmara, e o que a fumaça muda?
Por que um emissor $\alpha$ é a escolha certa aqui — e um emissor $\gamma$ de mesma atividade seria a pior de todas?
Depois de uma meia-vida ( $432$ anos!) a atividade seria $16.5\,\mathrm{kBq}$ ; o manual pede a substituição depois de dez anos. A fonte é o elo fraco?

Parte IV — Por que as estrelas tinham de ser mortais.

Estrelas moribundas forjaram e espalharam todos os elementos mais pesados do que o hélio. Que fração do urânio-238 forjado há $9 \times 10^{9}$ anos sobrevive hoje? Por que a abundância que resta na Terra torna o planeta muito mais jovem do que as estrelas mais antigas?
O calor interno radioativo da Terra move o vulcanismo e a tectônica de placas, e mantém o núcleo em agitação produzindo o escudo magnético do Capítulo 15. Como seria um planeta feito só de átomos estáveis?
Em uma linha, como poesia e como contabilidade: onde os seus átomos foram forjados, e o que ainda aquece o chão sob os seus pés?

Solução

Solução de Problema 19.1.

1. ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$ : $6$ p, $6$ n; ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ : $6$ p, $8$ n. A química só enxerga a nuvem de elétrons, fixada por $Z = 6$ : comportamento idêntico.

2. Comer e respirar renovam constantemente o carbono de um corpo vivo na proporção atmosférica; na morte a reposição para e o decaimento segue sem oposição.

3. ${}^{14}_{6}\mathrm{C} \to {}^{14}_{7}\mathrm{N} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ ( $\beta^-$ ). Esses $\beta$ são fracos: as camadas de linho os barram, e por isso quase nada escapa da múmia — e é por isso que se mede uma pequena amostra de carbono retirada do próprio objeto.

4. $6.8/13.6 = \frac12$ : uma meia-vida. A múmia tem cerca de $5700$ anos.

5. $13.2/13.6 \approx 0.97$ : o linho é essencialmente moderno — no máximo com alguns séculos. Uma falsificação.

6. $13.6/2^{10} = 13.6/1024 \approx 0.013$ decaimento por minuto — uma contagem a cada $75$ minutos por grama, afogada na radiação de fundo natural. Dez meias-vidas, cerca de $57\,000$ anos, é o horizonte prático.

7. $92$ prótons e $146$ nêutrons. A repulsão de Coulomb age entre todos os pares de prótons, de ponta a ponta do núcleo, enquanto a cola forte liga só os vizinhos: os núcleos pesados só sobrevivem com um excedente de nêutrons, que é cola sem repulsão.

8. ${}^{238}_{92}\mathrm{U} \to {}^{234}_{90}\mathrm{Th} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ .

9. ${}^{234}_{90}\mathrm{Th} \to {}^{234}_{91}\mathrm{Pa} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ e depois ${}^{234}_{91}\mathrm{Pa} \to {}^{234}_{92}\mathrm{U} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ : o urânio reaparece, como urânio-234.

10. Pelo $A$ : $238 - 206 = 32$ , logo $8$ passos $\alpha$ ; pelo $Z$ : $92 - 16 + y = 82$ , logo $6$ passos $\beta^-$ .

11. $4.5 \times 10^{9}$ anos são uma meia-vida: resta $\frac12$ . Mais cinco bilhões de anos $\approx$ mais uma meia-vida: cerca de $\frac14$ .

12. Ele move vulcões, a tectônica de placas (continentes à deriva, terremotos) e o calor geotérmico: a geologia de superfície de um planeta aquecido por dentro.

13. ${}^{241}_{95}\mathrm{Am} \to {}^{237}_{93}\mathrm{Np} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ .

14. $3.3 \times 10^{4}$ decaimentos por segundo; $33\,000 \times 86400 \approx 2.9 \times 10^{9}$ por dia.

15. Cada $\alpha$ ioniza o ar que atravessa; os íons conduzem uma corrente minúscula entre os eletrodos da câmara. As partículas de fumaça capturam os íons, a corrente cai e o alarme dispara.

16. As partículas $\alpha$ gastam toda a sua energia dentro da câmara e nenhuma escapa do invólucro: ionização máxima, vazamento nulo. Uma fonte $\gamma$ de mesma atividade quase não ionizaria o ar da câmara e, em compensação, irradiaria o cômodo inteiro.

17. Dez anos são $10/432 \approx 2\%$ de uma meia-vida: a atividade fica essencialmente inalterada. Os elos fracos são a poeira, os insetos e a eletrônica — o núcleo sobrevive ao aparelho.

18. $9 \times 10^{9}$ anos $= 2$ meias-vidas: sobrevive $\frac14$ . O urânio da Terra ainda é abundante, de modo que ele foi forjado no máximo há algumas meias-vidas — o planeta se condensou de cinzas estelares recentes, bilhões de anos depois das primeiras estrelas.

19. Geologicamente morto: interior frio, sem vulcanismo nem tectônica de placas para reciclar ar e rocha, e sem um núcleo em agitação — e, portanto, sem escudo magnético contra o vento solar.

20. Cada átomo seu além do hélio foi forjado numa estrela moribunda, e os restos instáveis daquela forja ainda aquecem o chão em que você pisa: poeira de estrelas, mantida viva pela própria meia-vida.