Física do ensino médio · Grades 10–12

25As leis de Newton

Contrabandeie uma balança de banheiro para dentro de um elevador. Quando a cabine arranca para cima, o ponteiro marca três quilogramas a mais; perto do último andar, marca a menos; entre as duas coisas, a pura verdade — a bordo nada mudou além do movimento. Este capítulo enuncia as três leis por trás desse ponteiro e as forja no método que governa toda a mecânica: escolha um sistema, desenhe as forças dele, projete $\sum \vect F = m\vect a$ .

25.1 Quantidade de movimento e a primeira lei tornada exata

Definição 25.1 (Quantidade de movimento)

A quantidade de movimento de um corpo de massa $m$ ( $\mathrm{kg}$ ) que se move com velocidade $\vect v$ é o vetor

\vect p = m \vect v \qquad (\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}):

a velocidade, ponderada pela massa; para um sistema, a soma vetorial sobre as partes dele.

Definição 25.2 (Referencial inercial)

Um referencial inercial é aquele em que todo corpo isolado — sem forças, ou com forças que se compensam — se move em linha reta com velocidade constante (Capítulo 6). O solo é um deles com excelente precisão, assim como qualquer cabine em movimento retilíneo uniforme sobre ele; um trem freando ou um carrossel girando não são: ali, a bagagem solta acelera sem que ninguém a empurre.

Teorema 25.3 (Primeira lei de Newton)

Num referencial inercial, a quantidade de movimento de um sistema isolado não muda: $\vect p$ é constante, ou seja, $d\vect p/dt = \vect 0$ .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 25.4 (A inércia, afiada duas vezes)

É o princípio da inércia do Capítulo 6, promovido duas vezes: ele diz onde vale — define os referenciais inerciais como aqueles em que vale — e protege um vetor, $m\vect v$ , cuja contabilidade rende no fim do capítulo.

25.2 A segunda lei de Newton

Teorema 25.5 (Segunda lei de Newton)

Num referencial inercial, a força resultante sobre um corpo é igual à taxa de variação da sua quantidade de movimento; para massa constante, como $\vect p = m\vect v$ ,

\sum \vect F = \frac{d\vect p}{dt} = m\,\frac{d\vect v}{dt} = m \vect a .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 25.6 (Uma lei da natureza e a unidade dela)

Não há demonstração: esta é uma lei da natureza, pesada contra a experiência por três séculos. O ano passado (Capítulo 16) deu a sombra dela, $\Delta v \propto F\,\Delta t/m$ ; a derivada (Capítulo 24) a torna exata a cada instante — as letras miúdas esperam no volume do primeiro ano de graduação. A força ganha uma unidade, $\mathrm{N} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; e um corpo sujeito apenas ao seu peso obedece a $m\vect a = m\vect g$ : toda massa cai com $\vect a = \vect g$ , e $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg} = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — as duas leituras são uma só.

Exemplo 25.7 (Força média, sem precisar de detalhes)

Um carro de $1300\,\mathrm{kg}$ vai do repouso a $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $27.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) em $8.0\,\mathrm{s}$ : seja qual for a história instante a instante, a força resultante média é $\Delta p/\Delta t = 1300 \times 27.8/8.0 \approx 4.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — a quantidade de movimento transforma uma pergunta sobre forças numa contabilidade de antes e depois.

25.3 A terceira lei de Newton

Teorema 25.8 (Terceira lei de Newton)

Se um corpo $A$ exerce uma força $\vect F_{A \to B}$ sobre um corpo $B$ , então $B$ exerce sobre $A$ a força $\vect F_{B \to A} = -\vect F_{A \to B}$ : mesma reta de ação, mesmo módulo, sentidos opostos — a cada instante, qualquer que seja o movimento, por contato ou a distância.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Exemplo 25.9 (O livro, a mesa e a Terra)

Um livro repousa sobre uma mesa: duas interações, dois pares. Gravitacional: a Terra puxa o livro para baixo ( $\vect P$ ), o livro puxa a Terra para cima. De contato: a mesa empurra o livro para cima ( $\vect N$ ), o livro pressiona a mesa para baixo. Caminhar é o mesmo negócio: empurre o chão para trás; a reação dele é a única força que impulsiona você para a frente.

Um livro, duas interações, quatro flechas: o par gravitacional (a Terra puxa o livro, o livro puxa a Terra) e o par de contato (a mesa empurra o livro, o livro pressiona a mesa). P e N não são parceiros: eles agem sobre o mesmo livro — e se cancelam apenas porque a aceleração dele é nula. — Um livro, duas interações, quatro flechas: o par gravitacional (a Terra puxa o livro, o livro puxa a Terra) e o par de contato (a mesa empurra o livro, o livro pressiona a mesa). $\vect P$ e $\vect N$ *não* são parceiros: eles agem sobre o mesmo livro — e se cancelam apenas porque a aceleração dele é nula.

25.4 O método: escolher, desenhar, projetar

Método 25.10 (Resolver um problema de dinâmica)

Sistema: nomeie o corpo (ou o conjunto de corpos) estudado.
Referencial: escolha um referencial inercial e eixos adequados ao movimento — eixos da rampa, ou a base de Frenet para uma curva (Capítulo 24).
Inventário: liste todas as forças — o peso e depois uma força por contato, nada além disso — e desenhe o diagrama de corpo livre: um ponto, uma flecha por força.
Projete: escreva $\sum \vect F = m\vect a$ e projete em cada eixo.
Resolva e confira: unidades, sinais, casos-limite ( $\mu \to 0$ , $\alpha \to 0$ , …).

Definição 25.11 (Força normal e atrito)

Uma superfície age sobre um corpo por meio de duas componentes: a força normal $\vect N$ , perpendicular à superfície, e o atrito $\vect f$ , tangencial. A experiência dá as leis do atrito: enquanto o corpo não desliza, o atrito estático se ajusta até um teto, $f_s \leq \mu_s N$ ; uma vez que ele desliza, o atrito cinético vale $f_k = \mu_k N$ , contra o deslizamento. Os coeficientes de atrito $\mu_s$ e $\mu_k$ ( $\mu_k \leq \mu_s$ ) dependem apenas dos dois materiais.

Exemplo 25.12 (A rampa, duas vezes)

Um bloco desliza por uma rampa de ângulo $\alpha$ ; eixos: $x$ rampa abaixo, $y$ perpendicular. Em $y$ : $N = mg\cos\alpha$ . Em $x$ , sem atrito: $ma = mg\sin\alpha$ , logo $a = g\sin\alpha$ — sem a massa; em $\alpha = 30^\circ$ , $a = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Com atrito cinético: $a = g(\sin\alpha - \mu_k\cos\alpha)$ ; para $\mu_k = 0.20$ , $a = 9.81\,(0.500 - 0.173) = 3.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . E ele só ficou parado antes disso enquanto o atrito estático necessário coube sob o seu teto: $\tan\alpha \leq \mu_s$ .

Diagrama de corpo livre na rampa: peso P, força normal N e atrito f rampa acima, para um bloco que desliza para baixo. Os eixos ao longo da rampa e perpendicular a ela decompõem P em mg e mg (tracejados). — Diagrama de corpo livre na rampa: peso $\vect P$ , força normal $\vect N$ e atrito $\vect f$ rampa acima, para um bloco que desliza para baixo. Os eixos ao longo da rampa e perpendicular a ela decompõem $\vect P$ em $mg\sin\alpha$ e $mg\cos\alpha$ (tracejados).

Definição 25.13 (Peso aparente)

O peso aparente de um corpo é a força normal entre ele e o seu apoio — o que uma balança sob ele marca.

Exemplo 25.14 (O elevador)

Um passageiro de $70\,\mathrm{kg}$ está sobre uma balança num elevador de aceleração vertical $a_z$ (positiva para cima): $N - mg = ma_z$ , logo $N = m(g + a_z)$ . Puxando para cima a $a_z = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $792\,\mathrm{N}$ , mais pesado; freando perto do topo: $582\,\mathrm{N}$ , mais leve; cruzeiro estável: $mg = 687\,\mathrm{N}$ — a primeira lei; em queda livre, $a_z = -g$ : $N = 0$ , ausência de peso sobre uma balança.

Exemplo 25.15 (Dois blocos e uma roldana)

Um bloco $m_1 = 4.0\,\mathrm{kg}$ sobre uma mesa sem atrito é amarrado por uma corda leve, passando por uma roldana ideal, a um bloco pendurado $m_2 = 1.0\,\mathrm{kg}$ . A corda transmite a mesma tensão $T$ nas duas pontas; os blocos compartilham um único módulo de aceleração $a$ . Uma segunda lei para cada um, ao longo do respectivo movimento: $m_1 a = T$ e $m_2 a = m_2 g - T$ , logo $a = m_2\,g/(m_1 + m_2) = 1.96\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ e $T = m_1 a = 7.8\,\mathrm{N}$ — menor do que $m_2 g = 9.8\,\mathrm{N}$ , como tem de ser para que $m_2$ acelere para baixo.

Dois blocos, uma corda leve, uma roldana ideal: a mesma tensão T puxa as duas pontas e os blocos compartilham um único módulo de aceleração — uma segunda lei para cada, duas equações, duas incógnitas. — Dois blocos, uma corda leve, uma roldana ideal: a mesma tensão $T$ puxa as duas pontas e os blocos compartilham um único módulo de aceleração — uma segunda lei para cada, duas equações, duas incógnitas.

Exemplo 25.16 (A curva plana)

Um carro de massa $m$ faz uma curva plana de raio $R$ com velocidade escalar constante $v$ . Na base de Frenet (Capítulo 24) a aceleração é puramente normal, $a_N = v^2/R$ , apontada para o centro. Na vertical, $N = mg$ ; na horizontal, a única força centrípeta disponível é o atrito estático da pista sobre os pneus: $f = mv^2/R \leq \mu_s N = \mu_s mg$ , logo $v \leq \sqrt{\mu_s\, g R}$ , seja qual for a massa. Para $R = 90\,\mathrm{m}$ em pista seca ( $\mu_s = 0.70$ ): $v_{\max} \approx 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $89\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ); no gelo o teto desaba — o Exercício 25.13 sobreleva a pista, e o Exercício 25.10 faz a mesma projeção pendurada num fio.

Um carro numa curva plana com velocidade escalar constante: de cima (à esquerda) a velocidade é tangente e a força resultante aponta para o centro; de trás (à direita) N equilibra P, e o atrito estático lateral da pista é toda a força centrípeta. — Um carro numa curva plana com velocidade escalar constante: de cima (à esquerda) a velocidade é tangente e a força resultante aponta para o centro; de trás (à direita) $\vect N$ equilibra $\vect P$ , e o atrito estático lateral da pista é toda a força centrípeta.

25.5 Sistemas isolados: a quantidade de movimento se conserva

Proposição 25.17 (Conservação da quantidade de movimento)

Para dois corpos cujas forças externas se anulam ou se compensam, a quantidade de movimento total $\vect p_1 + \vect p_2$ é constante, sejam quais forem as forças que eles exerçam um sobre o outro.

Demonstração. Some as duas segundas leis: $\frac{d}{dt}(\vect p_1 + \vect p_2) = \vect F_{2 \to 1} + \vect F_{1 \to 2} + \vect F_{\text{ext}}$ : o par interno se cancela pela terceira lei, e $\vect F_{\text{ext}} = \vect 0$ por hipótese. ∎

Exemplo 25.18 (Recuo)

Uma patinadora de $60\,\mathrm{kg}$ em repouso sobre gelo liso arremessa horizontalmente uma bola medicinal de $4.0\,\mathrm{kg}$ a $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Antes: $\vect p = \vect 0$ ; depois: $0 = 60\,V + 4.0 \times 6.0$ , logo $V = -0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — ela desliza para trás. Nada externo a empurrou: foi a bola (terceira lei), e as contas continuam fechando em zero.

Observação 25.19 (Como um foguete empurra o nada)

Um foguete é uma máquina de arremessar massa. A cada segundo os motores dele lançam uma leva de gás para trás; o gás leva embora quantidade de movimento para trás, de modo que o foguete ganha a mesma quantidade para a frente — uma propulsão constante, aproximadamente a massa expelida por segundo vezes a velocidade de ejeção. O foguete empurra o próprio jato de escape, e não o ar: ele funciona melhor no espaço vazio.

25.6 Exercícios

Exercício 25.1 ★

Calcule a quantidade de movimento (a) de um velocista de $70\,\mathrm{kg}$ a $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; (b) de um carro de $1300\,\mathrm{kg}$ a $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; (c) de uma bala de $8.0\,\mathrm{g}$ a $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Ordene-as. Por que a mais veloz fica em último?

Solução

Solução de Exercício 25.1.

(a) $p = 70 \times 10 = 7.0 \times 10^{2}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) $v = 13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $p \approx 1.8 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) $p = 0.0080 \times 800 = 6.4\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Carro $>$ velocista $>$ bala: cinco ordens de grandeza de massa são mais do que a velocidade consegue comprar.

Exercício 25.2 ★

Um passageiro de $70\,\mathrm{kg}$ está sobre uma balança num elevador. O que ela marca quando a cabine (a) acelera para cima a $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; (b) sobe a constantes $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; (c) acelera para baixo a $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ? Que lei resolve o item (b)?

Solução

Solução de Exercício 25.2.

$N = m(g + a_z)$ : (a) $70 \times 11.01 = 771\,\mathrm{N}$ ; (b) $a_z = 0$ , logo $N = mg = 687\,\mathrm{N}$ — a primeira lei: velocidade constante, forças que se compensam; (c) $70 \times 8.61 = 603\,\mathrm{N}$ .

Exercício 25.3 ★

Um bloco é solto numa rampa sem atrito de ângulo $30^\circ$ . Calcule a aceleração dele e depois a velocidade após deslizar $3.0\,\mathrm{m}$ . Para onde foi a massa?

Solução

Solução de Exercício 25.3.

$a = g\sin 30^\circ = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $v = \sqrt{2 \times 4.905 \times 3.0} = 5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . A massa se cancela entre $ma$ e $mg\sin\alpha$ .

Exercício 25.4 ★

Uma bola de tênis de $58\,\mathrm{g}$ chega a $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e é devolvida pela mesma reta a $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; o contato dura $5.0\,\mathrm{ms}$ . Calcule a variação da quantidade de movimento e a força média das cordas; compare essa força com o peso da bola.

Solução

Solução de Exercício 25.4.

Inversão: $\Delta p = 0.058 \times (25 + 15) = 2.3\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $F = 2.32/0.0050 = 4.6 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ — cerca de $800$ vezes o peso de $0.57\,\mathrm{N}$ , e é por isso que a gravidade é ignorada durante o contato.

Exercício 25.5 ★

Um livro repousa sobre uma mesa. Nomeie as duas forças que agem sobre o livro e, para cada uma, o par de ação e reação dela (que corpo? que sentido?). Por que o peso do livro e o empurrão da mesa não são parceiros um do outro?

Solução

Solução de Exercício 25.5.

Peso (a Terra sobre o livro, para baixo): parceiro = o livro puxa a Terra, para cima. Força normal (a mesa sobre o livro, para cima): parceiro = o livro pressiona a mesa, para baixo. O peso e a normal agem sobre o mesmo corpo e pertencem a duas interações diferentes — iguais aqui apenas porque $\vect a = \vect 0$ .

Exercício 25.6 ★★

Um engradado de $50\,\mathrm{kg}$ está num piso horizontal, com $\mu_s = 0.45$ e $\mu_k = 0.35$ . (a) Que empurrão horizontal o coloca em movimento? (b) Se esse empurrão for mantido, qual é a aceleração dele? (c) Que empurrão o mantém em movimento com velocidade constante?

Solução

Solução de Exercício 25.6.

$N = mg = 490\,\mathrm{N}$ . (a) $F > \mu_s N = 221\,\mathrm{N}$ . (b) $a = (220.7 - 0.35 \times 490.5)/50 = 0.98\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . (c) $F = \mu_k N = 172\,\mathrm{N}$ .

Exercício 25.7 ★★

O mesmo engradado é colocado numa rampa de inclinação ajustável ( $\mu_s = 0.45$ , $\mu_k = 0.35$ ). (a) Em que ângulo ele começa a deslizar? (b) A $30^\circ$ , calcule a aceleração dele. (c) Uma vez iniciado o movimento no ângulo do item (a), ele continua acelerando? Por quê?

Solução

Solução de Exercício 25.7.

(a) Desliza quando $\tan\alpha > \mu_s$ : $\alpha = \arctan 0.45 \approx 24^\circ$ . (b) $a = g(\sin 30^\circ - 0.35\cos 30^\circ) = 9.81 \times 0.197 = 1.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . (c) Sim: uma vez deslizando, o atrito cai para $\mu_k < \mu_s$ , de modo que $a = g\cos\alpha\,(\tan\alpha - \mu_k) \approx 0.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} > 0$ .

Exercício 25.8 ★★

Um bloco de $3.0\,\mathrm{kg}$ sobre uma mesa sem atrito é amarrado, por uma roldana ideal, a um bloco pendurado de $2.0\,\mathrm{kg}$ . Calcule a aceleração e a tensão. Por que a tensão tinha de sair menor do que o peso do bloco pendurado?

Solução

Solução de Exercício 25.8.

$a = m_2 g/(m_1 + m_2) = 19.62/5.0 = 3.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $T = m_1 a = 11.8\,\mathrm{N}$ . O bloco pendurado acelera para baixo, de modo que a força resultante sobre ele aponta para baixo: $T$ tem de ficar abaixo de $m_2 g$ .

Exercício 25.9 ★★

Uma curva de raio $50\,\mathrm{m}$ é plana. Calcule a velocidade máxima de um carro para $\mu_s = 0.70$ (pista seca) e $0.40$ (molhada), em $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Por que a resposta vale igualmente para uma motoneta e para um caminhão?

Solução

Solução de Exercício 25.9.

$v_{\max} = \sqrt{\mu_s g R}$ : seca $\sqrt{0.70 \times 9.81 \times 50} = 18.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 67\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; molhada $14.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Tanto $mv^2/R$ quanto $\mu_s mg$ carregam $m$ : ela se cancela.

Exercício 25.10 ★★

Uma massa de $0.30\,\mathrm{kg}$ num fio de $1.2\,\mathrm{m}$ descreve um círculo horizontal, com o fio mantendo constantes $25^\circ$ com a vertical (um pêndulo cônico). Projete a segunda lei na vertical e depois ao longo do raio: calcule a tensão e a velocidade.

Solução

Solução de Exercício 25.10.

Vertical: $T\cos\theta = mg$ , logo $T = 2.943/\cos 25^\circ = 3.2\,\mathrm{N}$ . Raio $R = L\sin\theta = 0.507\,\mathrm{m}$ ; radial: $T\sin\theta = mv^2/R$ , logo $v = \sqrt{gR\tan\theta} = \sqrt{9.81 \times 0.507 \times 0.466} = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercício 25.11 ★★

Um pacote de $5.0\,\mathrm{kg}$ viaja sobre uma balança num elevador de carga; as leituras:

fase	$0\text{ to }2\,\mathrm{s}$	$2\text{ to }8\,\mathrm{s}$	$8\text{ to }10\,\mathrm{s}$
balança ( $\mathrm{N}$ )	54.0	49.0	44.1

Calcule a aceleração em cada fase e descreva um percurso possível. O elevador poderia estar descendo o tempo todo?

Solução

Solução de Exercício 25.11.

$a_z = (N - mg)/m$ com $mg = 49.05\,\mathrm{N}$ : $+1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $0$ , $-1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Por exemplo, uma subida: ganhar velocidade, cruzeiro, frear. Sim: entrando já em descida, as mesmas leituras significam frear, cruzeiro e voltar a ganhar velocidade descendo — a balança marca aceleração, e não velocidade.

Exercício 25.12 ★★★

Uma patinadora de $60\,\mathrm{kg}$ em repouso sobre gelo liso arremessa horizontalmente uma bola de $4.0\,\mathrm{kg}$ . (a) A bola parte a $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em relação ao solo: qual é a velocidade de recuo dela? (b) Os $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ são agora medidos em relação a ela: recalcule as duas velocidades. (c) Que força a empurrou para trás?

Solução

Solução de Exercício 25.12.

(a) $0 = 60V + 4.0 \times 8.0$ : $V = -0.53\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) A bola vai a $8.0 + V$ em relação ao solo: $0 = 60V + 4.0(8.0 + V)$ , logo $V = -32/64 = -0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e a bola voa a $7.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) O empurrão da bola nas mãos dela — o parceiro, pela terceira lei, do arremesso.

Exercício 25.13 ★★★

Uma curva de rodovia de raio $80\,\mathrm{m}$ é projetada para $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sem qualquer ajuda do atrito. Mostre que a pista precisa ser sobrelevada no ângulo $\theta$ dado por $\tan\theta = v^2/(gR)$ e calcule-o. O que o atrito precisa fazer com um carro que faça a curva mais devagar — ou mais rápido?

Solução

Solução de Exercício 25.13.

Sem atrito: $N\cos\theta = mg$ (vertical) e $N\sin\theta = mv^2/R$ (radial); dividindo, $\tan\theta = v^2/(gR) = 400/784.8$ : $\theta \approx 27^\circ$ . Mais devagar: o carro tende a escorregar rampa abaixo, e o atrito precisa apontar rampa acima; mais rápido: o contrário.

Exercício 25.14 ★★★

Os motores de um foguete ejetam $250\,\mathrm{kg}$ de gás por segundo a $2500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (a) Quanta quantidade de movimento sai por segundo — que propulsão os gases devolvem? (b) O foguete tem $5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$ na ignição: qual é o peso dele? E a aceleração de decolagem? (c) Por que o motor funciona igualmente bem no espaço vazio?

Solução

Solução de Exercício 25.14.

(a) $250 \times 2500 = 6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ por segundo: propulsão de $6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$ . (b) $P = 4.9 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$ ; $a = (6.25 - 4.905) \times 10^5 / 5.0 \times 10^{4} = 2.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . (c) Ele empurra o próprio jato de escape (terceira lei), e não o ar.

Exercício 25.15 ★★★

Um bloco de $4.0\,\mathrm{kg}$ numa mesa ( $\mu_s = 0.35$ , $\mu_k = 0.25$ ) é amarrado, por uma roldana ideal, a uma massa pendurada $m_2$ . (a) Qual é o $m_2$ mínimo que inicia o movimento? (b) Para $m_2 = 2.0\,\mathrm{kg}$ , calcule a aceleração e a tensão. (c) Verifique que $\mu_k = 0$ recupera a fórmula sem atrito do Exercício 25.8.

Solução

Solução de Exercício 25.15.

(a) $m_2 g > \mu_s m_1 g$ : $m_2 > 0.35 \times 4.0 = 1.4\,\mathrm{kg}$ . (b) $a = (m_2 - \mu_k m_1)\,g/(m_1 + m_2) = 1.0 \times 9.81/6.0 = 1.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $T = m_2(g - a) = 16.4\,\mathrm{N}$ . (c) $\mu_k = 0$ dá $a = m_2 g/(m_1 + m_2)$ : a fórmula do Exercício 25.8.

25.7 Problema: o teleférico

Problema 25.1

Problema de fim de semana — certificar o teleférico: a tensão que a rampa exige em repouso, a sobretaxa da partida, o alívio sobre a torre, o preço de uma parada de emergência — e o único número que a placa da cabine pode prometer

Um teleférico de montanha — cabine mais carro, de massa vazia $M_0 = 2.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ — rola sobre um cabo carregador inclinado a $\alpha = 30^\circ$ , puxado por um cabo tractor paralelo à rampa com tensão $\vect T$ . O atrito de rolamento é desprezível; o piso da cabine permanece horizontal o tempo todo. A cabine tem lugar para $25$ passageiros de massa média $80\,\mathrm{kg}$ ; você é o engenheiro que certifica. Salvo indicação em contrário, a cabine está cheia: $M = 4.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ .

Parte I — Em repouso na rampa.

Escolha o sistema; diga por que o referencial da montanha serve como referencial inercial; faça o inventário das três forças, com os sentidos.
Que lei governa a espera? Projete-a ao longo da rampa e perpendicularmente a ela para exprimir $T$ e a força normal $N$ do cabo carregador.
Calcule $T$ e $N$ .
Recalcule $T$ para a cabine vazia. Por que $T$ é proporcional à massa total?
O cabo tractor arrebenta, com os freios soltos: mostre que a aceleração de descida descontrolada vale $g \sin\alpha$ , com a cabine cheia ou vazia, e calcule-a.

Parte II — A partida. O guincho acelera a cabine cheia a $a = 0.60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ rampa acima até ela atingir a velocidade de cruzeiro $v = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exprima e calcule a tensão $T'$ durante essa fase.
Em que fração a partida eleva a tensão acima do valor de repouso?
Quanto dura a fase, e ao longo de que distância?
Uma passageira de $80\,\mathrm{kg}$ está de pé no piso horizontal. Projete a segunda lei na vertical para exprimir e calcular o peso aparente dela; compare com $mg$ .
Que força a acelera horizontalmente, e de que tamanho? Por que os passageiros se inclinam?

Parte III — Sobre a torre. A constantes $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , o cabo carregador se curva sobre uma torre de apoio ao longo de um arco circular vertical de raio $R = 40\,\mathrm{m}$ ; no alto, a velocidade é horizontal.

Na base de Frenet no alto (Capítulo 24), dê as duas componentes da aceleração, com os valores delas.
Projete a segunda lei ao longo da normal para exprimir e calcular a força normal $N'$ do cabo sobre o carro.
A mesma pergunta para o peso aparente da passageira no alto: em que fração ela fica mais leve?
Com que velocidade $N'$ se anularia? Compare com a velocidade de cruzeiro e comente.
Que força o carro exerce sobre o cabo sobre a torre — que lei diz isso, com que módulo e que sentido?

Parte IV — Frenagem, um salto e a placa.

No trecho horizontal de chegada, uma parada de emergência leva a cabine cheia de $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ao repouso em $1.5\,\mathrm{s}$ : leia $\sum \vect F = d\vect p/dt$ como média ao longo da parada para calcular a força de frenagem.
Que força horizontal precisa parar uma passageira de $80\,\mathrm{kg}$ , e o atrito estático entre sapato e piso ( $\mu_s = 0.40$ ) consegue fornecê-la? Conclua.
Na plataforma, com os freios soltos, a cabine vazia fica pendurada e imóvel; o último passageiro ( $80\,\mathrm{kg}$ ) salta horizontalmente a $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em relação à cabine. Calcule a velocidade de recuo da cabine e a velocidade do passageiro em relação ao solo.
Em uma frase: que dispositivo de propulsão vive desse princípio de recuo, e o que fixa a propulsão dele?
Certificação. O cabo tractor rompe a $100\,\mathrm{kN}$ ; as normas limitam a tensão de trabalho a um quinto disso. Mostre que o pior caso encontrado acima é a partida, deduza a massa total máxima e imprima a placa: quantos passageiros de $80\,\mathrm{kg}$ podem viajar? Confira o coeficiente de segurança.

Solução

Solução de Problema 25.1.

1. Sistema: cabine $+$ carro ( $+$ passageiros). A montanha é fixa ao solo, inercial com excelente precisão. Forças: o peso $M\vect g$ (para baixo), a força normal $\vect N$ do cabo carregador (perpendicular a ele) e a tensão $\vect T$ do cabo tractor (rampa acima).

2. Em repouso, a primeira lei: $\sum \vect F = \vect 0$ . Ao longo da rampa: $T = Mg\sin\alpha$ ; perpendicularmente: $N = Mg\cos\alpha$ .

3. $T = 4000 \times 9.81 \times 0.500 = 19.6\,\mathrm{kN}$ ; $N = 4000 \times 9.81 \times 0.866 = 34.0\,\mathrm{kN}$ .

4. Vazia: $T = 9.8\,\mathrm{kN}$ . Toda força do equilíbrio é proporcional a $M$ , e portanto $T$ também é.

5. Ao longo da rampa, $Ma = Mg\sin\alpha$ : $M$ se cancela, $a = g\sin\alpha = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ rampa abaixo.

6. $T' = M(g\sin\alpha + a) = 4000 \times 5.505 = 22.0\,\mathrm{kN}$ .

7. $a/(g\sin\alpha) = 0.60/4.905 \approx 12\%$ .

8. $t = v/a = 10\,\mathrm{s}$ ; $d = v^2/(2a) = 30\,\mathrm{m}$ .

9. Componente vertical de $\vect a$ : $a\sin\alpha = 0.30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , logo $N = m(g + a\sin\alpha) = 80 \times 10.11 = 809\,\mathrm{N}$ contra $mg = 785\,\mathrm{N}$ : $3\%$ mais pesada.

10. O atrito estático do piso, horizontal: $ma\cos\alpha = 80 \times 0.52 \approx 42\,\mathrm{N}$ . Inclinar-se faz o empurrão total do piso passar pelo centro de massa dela, e assim ele não a derruba.

11. $a_T = dv/dt = 0$ (velocidade escalar constante); $a_N = v^2/R = 36/40 = 0.90\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , apontada para o centro — verticalmente para baixo no alto.

12. Eixo normal (para baixo positivo): $Mg - N' = Mv^2/R$ , logo $N' = M(g - v^2/R) = 4000 \times 8.91 = 35.6\,\mathrm{kN}$ .

13. $N = m(g - v^2/R) = 80 \times 8.91 = 713\,\mathrm{N}$ : mais leve em $v^2/(gR) = 0.90/9.81 \approx 9\%$ .

14. $N' = 0$ em $v = \sqrt{gR} = 19.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — mais do que o triplo do cruzeiro: o carro corre sobre o cabo com larga margem.

15. Terceira lei de Newton: $35.6\,\mathrm{kN}$ , pressionando para baixo sobre o cabo (e portanto sobre a torre) — um pouco menos do que o peso em repouso, aliviado pelo voo curvo.

16. $F = \Delta p/\Delta t = 4000 \times 6.0/1.5 = 16\,\mathrm{kN}$ , contra o movimento ( $a = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

17. $f = ma = 80 \times 4.0 = 320\,\mathrm{N}$ ; o teto é $\mu_s mg = 0.40 \times 785 = 314\,\mathrm{N} < 320\,\mathrm{N}$ : os pés sozinhos escorregam — segure no corrimão.

18. $0 = M_0 V + m(v_{\text{rel}} + V)$ : $V = -80 \times 2.5/2080 = -0.096\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; o passageiro se move a $2.5 - 0.096 \approx 2.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em relação ao solo.

19. O foguete: a propulsão dele é fixada pela massa expelida por segundo vezes a velocidade de ejeção em relação a ele.

20. A maior tensão encontrada é a da partida, $T' = M \times 5.505\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ (o repouso dá $Mg\sin\alpha$ , e o alto da torre, menos ainda). Teto: $T' \leq 20\,\mathrm{kN}$ , logo $M \leq 20000/5.505 = 3.63 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ : carga útil de $1.63 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ , ou seja, $20$ passageiros de $80\,\mathrm{kg}$ (e não $25$ ). Placa: 20 pessoas; então $M = 3.6 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ , $T' = 19.8\,\mathrm{kN}$ , coeficiente de segurança $100/19.8 \approx 5.1 \geq 5$ .