Física do ensino médio · Grades 10–12

7Pressão: do esporte ao mergulho

Um esquiador desliza sobre a neve em que um caminhante afunda; um empurrão de $5\,\mathrm{N}$ enfia uma agulha num couro que um soco não consegue amassar. Mesmas forças, efeitos completamente diferentes: a grandeza que falta é a pressão, a força dividida pela área que a recebe. Este capítulo a define, segue-a piscina abaixo, barômetro acima, para dentro de uma seringa comprimida — e termina a quarenta metros sob o mar, onde ela se torna vital.

7.1 Pressão: força espalhada por uma área

Definição 7.1 (Pressão)

Quando uma força de módulo $F$ (em $\mathrm{N}$ ) pressiona perpendicularmente uma superfície de área $S$ (em $\mathrm{m}^{2}$ ), a pressão exercida sobre essa superfície é

P = \frac{F}{S}.

A sua unidade, o $\mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}$ , é o pascal ( $\mathrm{Pa}$ ) — uma unidade minúscula, o peso de uma maçã espalhado por um metro quadrado, de modo que na prática se usam o $\mathrm{kPa}$ e o $\mathrm{MPa}$ .

Exemplo 7.2 (Salto agulha contra raquete de neve)

Uma pessoa de $60\,\mathrm{kg}$ pesa $F = 60 \times 9.81 \approx 590\,\mathrm{N}$ . Sobre um único salto agulha de $1.0\,\mathrm{cm}^{2}$ = $1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}$ : $P = 590/1.0 \times 10^{-4} \approx 5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa} = 5.9\,\mathrm{MPa}$ . Sobre duas raquetes de neve de $0.20\,\mathrm{m}^{2}$ cada: $P = 590/0.40 \approx 1.5\,\mathrm{kPa}$ . O mesmo peso pressiona $4000$ vezes mais forte sob o salto: saltos marcam pisos de madeira, raquetes flutuam sobre a neve fofa.

A mesma força sobre duas áreas: é a pressão, e não a força, que decide se a superfície cede.

Observação 7.3 (Concentrar ou espalhar)

Uma agulha de costura empurrada com $5\,\mathrm{N}$ sobre uma ponta de $0.01\,\mathrm{mm}^{2}$ = $1 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}$ exerce $5 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa} = 500\,\mathrm{MPa}$ — o bastante para separar as fibras do couro. As ferramentas de furar concentram força; os projetos que sustentam carga (esquis, esteiras de trator, fundações) a espalham. O esporte é gestão aplicada de pressão: os patins mordem o gelo, os esquis deslizam sobre a neve.

7.2 Pressão num líquido em repouso

Por que a água pressiona mais forte lá embaixo? Isole uma coluna vertical imaginária de água, de seção $S$ , da superfície até a profundidade $h$ : volume $Sh$ , massa $\rho S h$ ( $\rho$ é a densidade do líquido, em $\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ), peso $\rho S h g$ . A base da coluna sustenta esse peso mais o empurrão $P_0 S$ da atmosfera sobre o topo. Dividindo a força total por $S$ : a pressão à profundidade $h$ deveria ser $P_0 + \rho g h$ — e é, em toda parte do líquido.

Teorema 7.4 (Pressão em função da profundidade)

Num líquido de densidade $\rho$ em repouso, aberto ao ar, a pressão à profundidade $h$ abaixo da superfície é

P = P_0 + \rho g h,

em que $P_0$ é a pressão atmosférica na superfície. A pressão depende só da profundidade, e não da forma do recipiente, e num dado ponto o líquido pressiona com a mesma intensidade em todas as direções.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 7.5

O argumento da coluna só torna a lei plausível; a dedução honesta (qualquer forma, todas as direções) está no volume do primeiro ano de graduação. O termo próprio da água, $\rho g h$ , é a pressão manométrica — o que o manômetro de um mergulhador exibe.

Exemplo 7.6 (Dez metros de água)

Em água doce ( $\rho = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ), a $h = 10\,\mathrm{m}$ : $\rho g h = 1000 \times 9.81 \times 10 \approx 98\,\mathrm{kPa}$ , logo $P = 101 + 98 \approx 199\,\mathrm{kPa}$ . Dez metros de água somam quase exatamente uma atmosfera: é a regra prática do mergulhador, uma atmosfera a mais a cada dez metros.

Água doce em repouso: a pressão cresce linearmente com a profundidade, uma atmosfera a mais a cada dez metros.

7.3 O oceano de ar

Definição 7.7 (Pressão atmosférica)

Vivemos no fundo de um oceano de ar, cujo peso cria a pressão atmosférica, ao nível do mar

P_0 \approx 101\,\mathrm{kPa} = 1.01 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}.

Sobre cada centímetro quadrado isso vale $F = 1.01 \times 10^{5} \times 1 \times 10^{-4} \approx 10\,\mathrm{N}$ : o peso de uma massa de um quilograma sobre cada $\mathrm{cm}^{2}$ da sua pele, da sua escrivaninha, de tudo.

Exemplo 7.8 (A carga invisível)

Uma folha A4 ( $21.0\,\mathrm{cm}$ $\times$ $29.7\,\mathrm{cm}$ , logo $S \approx 0.0624\,\mathrm{m}^{2}$ ) recebe do ar acima dela $F = 1.01 \times 10^{5} \times 0.0624 \approx 6.3 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — o peso de um carro pequeno. Nada se rasga: o ar de baixo empurra para cima com a mesma intensidade. Só percebemos a atmosfera quando um dos lados a perde — uma ventosa, um canudo, a cabine de um avião.

Observação 7.9 (O barômetro de Torricelli)

Em 1643, Torricelli inverteu um tubo selado de mercúrio sobre uma cuba de mercúrio. A coluna desceu até a altura em que $\rho g h = P_0$ : $h = 1.01 \times 10^{5}/(13600 \times 9.81) \approx 0.76\,\mathrm{m}$ , deixando acima dela o primeiro vácuo já produzido. A altura acompanha o tempo e diminui com a altitude: um barômetro pesa o ar que está acima de você (com água seriam necessários $10.3\,\mathrm{m}$ : Exercício 7.9).

7.4 Gases: bombardeio e lei de Boyle

Um gás também pressiona o seu recipiente: ele é um enxame de moléculas em movimento desordenado incessante, cada colisão dá à parede um empurrãozinho para fora, e bilhões de bilhões de impactos por segundo se fundem na força constante que medimos como pressão do gás. Comprima o gás até metade do volume: as moléculas batem com o dobro da frequência, de modo que a pressão deveria dobrar. E dobra.

Proposição 7.10 (Lei de Boyle)

Para uma quantidade fixa de gás mantida a temperatura constante, pressão e volume são inversamente proporcionais:

P \, V = \text{constante}, \qquad\text{ou seja,}\qquad P_1 V_1 = P_2 V_2 .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 7.11

Neste nível trata-se de um fato experimental — o volume do primeiro ano de graduação a deduz a partir da imagem das colisões. A experiência (uma seringa de ar selada, um sensor de pressão, $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ):

$V$ ( $\mathrm{mL}$ )	60	50	40	30	20
$P$ ( $\mathrm{kPa}$ )	100	120	150	200	300
$P \times V$ ( $\mathrm{kPa}\,\mathrm{mL}$ )	6000	6000	6000	6000	6000

Os dados da seringa caem sobre a hipérbole P = 6000/V: divida o volume pela metade e a pressão dobra. — Os dados da seringa caem sobre a hipérbole $P = 6000/V$ : divida o volume pela metade e a pressão dobra.

Exemplo 7.12 (Uma seringa comprimida)

O ar ocupa $4.0\,\mathrm{L}$ a $100\,\mathrm{kPa}$ ; comprimido devagar (para que a temperatura fique constante) até $250\,\mathrm{kPa}$ , ele ocupa $V_2 = P_1 V_1 / P_2 = 400/250 = 1.6\,\mathrm{L}$ .

7.5 Mergulho: a pressão posta a trabalhar

Método 7.13 (Pressão absoluta em profundidade)

Para um mergulhador à profundidade $h$ no mar ( $\rho \approx 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , de modo que $\rho g h \approx 101\,\mathrm{kPa}$ a cada $10\,\mathrm{m}$ ), calcule $P = P_0 + \rho g h$ — e, na lei de Boyle, use sempre essa pressão absoluta, nunca só o termo manométrico. Um mergulhador está sob $2$ atmosferas a $10\,\mathrm{m}$ , $3$ a $20\,\mathrm{m}$ e $5$ a $40\,\mathrm{m}$ .

Pressão absoluta no mar: uma atmosfera na superfície, mais uma a cada dez metros.

Observação 7.14 (Nunca prenda a respiração)

Um regulador entrega ar à pressão ambiente: os pulmões se enchem normalmente em qualquer profundidade. Mas encha $6.0\,\mathrm{L}$ a $20\,\mathrm{m}$ ( $302\,\mathrm{kPa}$ ), prenda essa respiração e suba: Boyle exige $6.0 \times 302/101 \approx 18\,\mathrm{L}$ — três vezes o que um tórax comporta, e os pulmões se rasgam bem antes disso, mesmo com poucos metros de subida. Daí a primeira regra do mergulho autônomo: nunca prenda a respiração na subida — continue respirando e o ar em expansão simplesmente sai. Uma apneísta está segura: o ar dela foi tomado na superfície, de modo que, na subida, ele apenas volta a se expandir até o volume original.

Observação 7.15 (Descompressão)

Respirar ar a alta pressão também dissolve nitrogênio extra no sangue, como o gás numa garrafa de refrigerante fechada; suba rápido demais e ele efervesce em bolhas dentro do corpo — é a doença descompressiva. Daí a subida lenta (cerca de $10\,\mathrm{m}$ por minuto) e as paradas rasas, que deixam o gás sair sem alarde pelos pulmões. A teoria espera o volume do primeiro ano de graduação; a regra de conduta é de todo mergulhador.

7.6 Exercícios

Exercício 7.1 ★

Um engradado de $600\,\mathrm{N}$ apoia-se sobre uma face de $0.50\,\mathrm{m} \times 0.30\,\mathrm{m}$ e depois sobre uma face de $0.30\,\mathrm{m} \times 0.20\,\mathrm{m}$ . Calcule as duas pressões sobre o chão. Que orientação é melhor sobre areia fofa?

Solução

Solução de Exercício 7.1.

Face grande: $S = 0.15\,\mathrm{m}^{2}$ , $P = 600/0.15 = 4.0\,\mathrm{kPa}$ . Face pequena: $S = 0.060\,\mathrm{m}^{2}$ , $P = 10\,\mathrm{kPa}$ . Na areia, a face grande: pressão menor, menos afundamento.

Exercício 7.2 ★

Exprima $0.25\,\mathrm{MPa}$ em $\mathrm{kPa}$ e em $\mathrm{Pa}$ . Qual pressiona mais forte: $3.0\,\mathrm{N}$ sobre $2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ ou $60\,\mathrm{N}$ sobre $500\,\mathrm{cm}^{2}$ ?

Solução

Solução de Exercício 7.2.

$0.25\,\mathrm{MPa} = 250\,\mathrm{kPa} = 2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ . $3.0/2.0 \times 10^{-4} = 15\,\mathrm{kPa}$ vence $60/0.050 = 1.2\,\mathrm{kPa}$ : a força pequena pressiona mais forte.

Exercício 7.3 ★

Calcule a pressão manométrica $\rho g h$ e a pressão absoluta no fundo de uma piscina de $3.0\,\mathrm{m}$ de profundidade ( $\rho = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $P_0 = 101\,\mathrm{kPa}$ ).

Solução

Solução de Exercício 7.3.

$\rho g h = 1000 \times 9.81 \times 3.0 \approx 29\,\mathrm{kPa}$ ; absoluta $P = 101 + 29 = 130\,\mathrm{kPa}$ .

Exercício 7.4 ★

O ar ocupa $4.0\,\mathrm{L}$ a $100\,\mathrm{kPa}$ , com temperatura constante. Qual é o seu volume a $250\,\mathrm{kPa}$ ? E a $50\,\mathrm{kPa}$ ?

Solução

Solução de Exercício 7.4.

$V_2 = 100 \times 4.0 / 250 = 1.6\,\mathrm{L}$ ; a $50\,\mathrm{kPa}$ , $V_2 = 400/50 = 8.0\,\mathrm{L}$ .

Exercício 7.5 ★

Uma patinadora de $65\,\mathrm{kg}$ desliza sobre uma única lâmina de área de contato $12\,\mathrm{cm}^{2}$ e depois fica de pé sobre solas que somam $360\,\mathrm{cm}^{2}$ . Calcule as duas pressões e a razão entre elas.

Solução

Solução de Exercício 7.5.

$F = 65 \times 9.81 \approx 638\,\mathrm{N}$ . Lâmina: $638/1.2 \times 10^{-3} \approx 5.3 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa} = 530\,\mathrm{kPa}$ . Solas: $638/0.036 \approx 18\,\mathrm{kPa}$ . Razão $\approx 30$ : a lâmina morde o gelo, as solas não.

Exercício 7.6 ★★

Um polegar empurra uma tachinha com $20\,\mathrm{N}$ . A cabeça tem área $1.2\,\mathrm{cm}^{2}$ e a ponta, $0.010\,\mathrm{mm}^{2}$ . Calcule as pressões sobre o polegar e sobre a parede; por que só a parede é perfurada?

Solução

Solução de Exercício 7.6.

Polegar: $20/1.2 \times 10^{-4} \approx 1.7 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa} = 170\,\mathrm{kPa}$ . Parede: $20/1.0 \times 10^{-8} = 2.0 \times 10^{9}\,\mathrm{Pa}$ . Os mesmos $20\,\mathrm{N}$ agem sobre uma área $12\,000$ vezes menor na ponta, de modo que só ali a pressão supera o que o material aguenta.

Exercício 7.7 ★★

Uma escotilha de submarino de área $0.50\,\mathrm{m}^{2}$ está a $30\,\mathrm{m}$ de profundidade em água do mar ( $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ); por dentro, o ar está à pressão atmosférica. Calcule a força resultante que a mantém fechada e a massa cujo peso é igual a ela.

Solução

Solução de Exercício 7.7.

$\Delta P = \rho g h = 1025 \times 9.81 \times 30 \approx 3.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ , logo $F = 3.0 \times 10^{5} \times 0.50 \approx 1.5 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$ — o peso de $F/g \approx 1.5 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$ , quinze toneladas. Tripulação nenhuma abre isso para fora contra o mar.

Exercício 7.8 ★★

Um sensor a $5.00\,\mathrm{m}$ de profundidade num líquido desconhecido marca uma pressão manométrica de $66.2\,\mathrm{kPa}$ . Encontre a densidade. É água doce?

Solução

Solução de Exercício 7.8.

$\rho = \dfrac{P}{g h} = \dfrac{66.2 \times 10^{3}}{9.81 \times 5.00} \approx 1350\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ . Não é água doce ( $1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ): é um líquido bem mais denso, por exemplo uma salmoura concentrada.

Exercício 7.9 ★★

Que altura teria o barômetro de Torricelli com água ( $\rho = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) em vez de mercúrio ( $\rho = 13\,600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ )? Obtenha as duas alturas de $\rho g h = P_0$ ; por que o mercúrio venceu?

Solução

Solução de Exercício 7.9.

$h = P_0/(\rho g)$ : água, $1.01 \times 10^{5}/9810 \approx 10.3\,\mathrm{m}$ ; mercúrio, $1.01 \times 10^{5}/(13600 \times 9.81) \approx 0.76\,\mathrm{m}$ . Um tubo de $76\,\mathrm{cm}$ cabe numa mesa; um barômetro de água de $10\,\mathrm{m}$ precisa de uma caixa de escada — a densidade do mercúrio venceu.

Exercício 7.10 ★★

Usando os dados da seringa da Proposição 7.10 ( $PV = 6000\,\mathrm{kPa}\,\mathrm{mL}$ ), preveja o volume a $240\,\mathrm{kPa}$ e a pressão a $75\,\mathrm{mL}$ . Que curva é $P$ em função de $V$ ? E $P$ em função de $1/V$ ?

Solução

Solução de Exercício 7.10.

$V = 6000/240 = 25\,\mathrm{mL}$ ; $P = 6000/75 = 80\,\mathrm{kPa}$ . $P$ em função de $V$ é uma hipérbole; $P$ em função de $1/V$ é uma reta pela origem, de coeficiente angular $6000\,\mathrm{kPa}\,\mathrm{mL}$ .

Exercício 7.11 ★★

Um mergulhador a $20\,\mathrm{m}$ solta uma bolha de volume $0.50\,\mathrm{cm}^{3}$ . Qual é o volume dela logo abaixo da superfície? (Temperatura constante; a água do mar acrescenta $101\,\mathrm{kPa}$ a cada $10\,\mathrm{m}$ .)

Solução

Solução de Exercício 7.11.

A $20\,\mathrm{m}$ : $P = 101 + 2 \times 101 = 303\,\mathrm{kPa}$ , três atmosferas. Na superfície, $V = 0.50 \times 303/101 = 1.5\,\mathrm{cm}^{3}$ : a bolha triplica.

Exercício 7.12 ★★★

Uma ventosa de área $12\,\mathrm{cm}^{2}$ é pressionada contra um teto.

Vácuo perfeito por dentro: que força a atmosfera exerce sobre a ventosa, e que massa pendurada ela consegue sustentar?
Uma ventosa real mantém $20\,\mathrm{kPa}$ de ar por dentro. Que massa agora?

Solução

Solução de Exercício 7.12.

1. $F = 1.01 \times 10^{5} \times 1.2 \times 10^{-3} \approx 121\,\mathrm{N}$ , sustentando $m = 121/9.81 \approx 12\,\mathrm{kg}$ .

2. $\Delta P = 101 - 20 = 81\,\mathrm{kPa}$ : $F = 8.1 \times 10^{4} \times 1.2 \times 10^{-3} \approx 97\,\mathrm{N}$ , cerca de $9.9\,\mathrm{kg}$ .

Exercício 7.13 ★★★

Um cilindro de mergulho contém $12\,\mathrm{L}$ de ar a $200\,\mathrm{bar}$ ( $1\,\mathrm{bar}$ = $100\,\mathrm{kPa}$ $\approx 1$ atmosfera); $50\,\mathrm{bar}$ precisam ficar de reserva. Um mergulhador respira $15\,\mathrm{L}$ por minuto à pressão ambiente. Quantos litros de ar à pressão da superfície são utilizáveis? Quanto tempo o cilindro dura a $30\,\mathrm{m}$ (pressão absoluta $\approx 4\,\mathrm{bar}$ )? E a $10\,\mathrm{m}$ ?

Solução

Solução de Exercício 7.13.

Boyle: $12 \times (200 - 50) = 1800\,\mathrm{L}$ de ar à pressão da superfície são utilizáveis. A $30\,\mathrm{m}$ cada respiração é tomada a $4\,\mathrm{bar}$ , de modo que $15\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ à pressão ambiente custam $15 \times 4 = 60\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ de ar da superfície: $1800/60 = 30\,\mathrm{min}$ . A $10\,\mathrm{m}$ ( $2\,\mathrm{bar}$ ): $30\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ , logo $60\,\mathrm{min}$ . A profundidade se paga em ar.

Exercício 7.14 ★★★

Os pulmões de uma apneísta comportam $6.0\,\mathrm{L}$ na superfície e não podem encolher abaixo do volume residual de $1.5\,\mathrm{L}$ . A que profundidade no mar ( $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) esse limite é alcançado? (Já se declarou que esse era o limite do mergulho em apneia; hoje os recordes passam de $100\,\mathrm{m}$ , com o sangue deslocando-se para o tórax e ocupando o volume que falta.)

Solução

Solução de Exercício 7.14.

$P = P_0 \dfrac{V_0}{V} = 101 \times \dfrac{6.0}{1.5} = 404\,\mathrm{kPa}$ . Com $\rho g \approx 10.1\,\mathrm{kPa}/\mathrm{m}$ , $h = (404 - 101)/10.1 \approx 30\,\mathrm{m}$ .

Exercício 7.15 ★★★

Num elevador hidráulico, um líquido transmite a pressão sem alteração de um pistão pequeno ( $s = 2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ ) a um pistão grande ( $S = 400\,\mathrm{cm}^{2}$ ) que sustenta um carro de $1200\,\mathrm{kg}$ .

Que força sobre o pistão pequeno mantém o carro suspenso? Que pressão o líquido carrega?
Para levantar o carro $2.0\,\mathrm{cm}$ , que distância o pistão pequeno precisa percorrer? Compare o trabalho realizado em cada pistão.

Solução

Solução de Exercício 7.15.

1. Peso $F = 1200 \times 9.81 \approx 1.18 \times 10^{4}\,\mathrm{N}$ ; pressão $P = F/S = 1.18 \times 10^{4}/0.040 \approx 2.9 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ; pistão pequeno: $f = P s = 2.9 \times 10^{5} \times 2.0 \times 10^{-4} \approx 59\,\mathrm{N}$ — a força fica dividida por $S/s = 200$ .

2. O volume de líquido se conserva: $400 \times 2.0 = 800\,\mathrm{cm}^{3}$ têm de vir do cilindro pequeno, que percorre $800/2.0 = 400\,\mathrm{cm} = 4.0\,\mathrm{m}$ . Trabalho: $59 \times 4.0 \approx 235\,\mathrm{J}$ de um lado, $1.18 \times 10^{4} \times 0.020 \approx 235\,\mathrm{J}$ do outro — o elevador troca distância por força, nunca trabalho.

7.7 Problema: uma respiração para descer, uma para subir

Problema 7.1

Problema de fim de semana — uma respiração para descer e uma para subir: a física de um mergulho em apneia e de uma subida com cilindro, do aperto da máscara à regra de que os últimos dez metros são os mais perigosos

Lena mergulha em apneia: uma respiração na superfície, descida até $30\,\mathrm{m}$ e volta. Marco mergulha ao lado dela com cilindro, respirando do equipamento. Mesmo mar ( $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ , $P_0 = 101\,\mathrm{kPa}$ ), os mesmos pulmões de $6.0\,\mathrm{L}$ , perigos opostos — tudo governado por $P = P_0 + \rho g h$ e $PV$ = constante (temperatura constante o tempo todo).

Parte I — O peso da água.

Calcule $\rho g$ para a água do mar em $\mathrm{kPa}$ por metro e confira a regra prática: uma atmosfera a cada $10\,\mathrm{m}$ .
Calcule a pressão absoluta a $10\,\mathrm{m}$ , $20\,\mathrm{m}$ , $30\,\mathrm{m}$ e $40\,\mathrm{m}$ .
Exprima cada uma como múltiplo da pressão na superfície.
A máscara de Lena cobre $150\,\mathrm{cm}^{2}$ . A $30\,\mathrm{m}$ , se o ar dentro dela ainda estivesse à pressão da superfície, que força resultante a água exerceria? (Os mergulhadores expiram pelo nariz para dentro da máscara justamente para evitar esse aperto de máscara.)
Um tímpano tem área de cerca de $0.60\,\mathrm{cm}^{2}$ . Calcule a força resultante sobre ele a $3.0\,\mathrm{m}$ se o ouvido médio ficar à pressão da superfície; por que os ouvidos doem já numa simples piscina, e o que a “compensação” precisa alcançar?

Parte II — Uma respiração para descer. Lena deixa a superfície com $6.0\,\mathrm{L}$ de ar nos pulmões.

Usando a lei de Boyle com pressões absolutas, calcule o volume pulmonar dela a $10\,\mathrm{m}$ , $20\,\mathrm{m}$ e $30\,\mathrm{m}$ .
A que profundidade o volume pulmonar dela cai à metade?
O volume pulmonar é proporcional à profundidade? Descreva a curva de $V$ em função da pressão absoluta $P$ .
O volume residual dela é $1.5\,\mathrm{L}$ : os pulmões não encolhem mais do que isso. Mostre que esse limite é alcançado perto de $30\,\mathrm{m}$ .
Ainda assim, os recordes de apneia passam de $100\,\mathrm{m}$ : o que preenche o volume que falta? (Que outra coisa pode fluir para o tórax?)

Parte III — Uma respiração para subir. A $30\,\mathrm{m}$ , o regulador de Marco enche os seus pulmões de $6.0\,\mathrm{L}$ .

A que pressão o regulador entrega esse ar? Quantas vezes mais denso ele é do que o ar da superfície?
Marco entra em pânico, prende a respiração e sobe até $10\,\mathrm{m}$ : que volume o ar preso nele exige ali?
E que volume na superfície — quantas vezes a capacidade dele?
Enuncie a primeira regra do mergulhador autônomo e diga por que respirar normalmente elimina o perigo.
Lena também prende a respiração de $30\,\mathrm{m}$ até a superfície e, ainda assim, os pulmões dela estão perfeitamente seguros. Explique a assimetria.

Parte IV — Bolhas e os últimos dez metros.

Marco solta uma bolha de $1.0\,\mathrm{cm}^{3}$ a $40\,\mathrm{m}$ . Calcule o volume dela a $30\,\mathrm{m}$ , $20\,\mathrm{m}$ , $10\,\mathrm{m}$ e logo abaixo da superfície.
Para cada etapa de $10\,\mathrm{m}$ da subida, calcule o fator de crescimento da bolha. Onde o crescimento é mais rápido?
Os mergulhadores sobem no máximo $10\,\mathrm{m}$ por minuto: quanto tempo desde $40\,\mathrm{m}$ , e em que minuto qualquer gás preso ou dissolvido se expande mais?
Em profundidade, o sangue de Marco dissolve nitrogênio extra, como o gás numa garrafa de refrigerante fechada. O que uma subida rápida demais provoca, e como a subida lenta e uma parada de segurança a $5\,\mathrm{m}$ evitam isso?
Desfecho: em uma frase cada, dê o veredito da apneísta, o veredito do mergulhador autônomo e a razão quantificada pela qual os últimos dez metros de qualquer subida merecem o maior respeito.

Solução

Solução de Problema 7.1.

1. $\rho g = 1025 \times 9.81 \approx 10.1\,\mathrm{kPa}$ por metro, de modo que $10\,\mathrm{m}$ de água do mar acrescentam $\approx 101\,\mathrm{kPa}$ : uma atmosfera a cada dez metros, quase exatamente.

2. $P = 101 + 10.1\,h$ : $202\,\mathrm{kPa}$ a $10\,\mathrm{m}$ , $302\,\mathrm{kPa}$ a $20\,\mathrm{m}$ , $403\,\mathrm{kPa}$ a $30\,\mathrm{m}$ e $503\,\mathrm{kPa}$ a $40\,\mathrm{m}$ .

3. $2.0$ , $3.0$ , $4.0$ e $5.0$ vezes $P_0$ .

4. $\Delta P = 403 - 101 = 302\,\mathrm{kPa}$ sobre $0.015\,\mathrm{m}^{2}$ : $F = 3.02 \times 10^{5} \times 0.015 \approx 4.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — o peso de quase meia tonelada sobre o rosto.

5. $\Delta P = 10.1 \times 3.0 \approx 30\,\mathrm{kPa}$ ; $F = 3.0 \times 10^{4} \times 6.0 \times 10^{-5} \approx 1.8\,\mathrm{N}$ — um dedo apertado contra o tímpano, já na profundidade de uma piscina. Compensar é empurrar ar para o ouvido médio até que a pressão interna iguale a da água.

6. $V = 6.0 \, P_0/P$ : $6.0 \times 101/202 = 3.0\,\mathrm{L}$ ; $606/302 = 2.0\,\mathrm{L}$ ; $606/403 = 1.5\,\mathrm{L}$ .

7. Cai à metade quando $P = 2P_0$ , ou seja, a $10\,\mathrm{m}$ — já no primeiro trecho do mergulho.

8. Não: $V = 606/P$ é uma hipérbole na pressão absoluta (e é $P$ , não $h$ , o que a lei de Boyle enxerga); cada $10\,\mathrm{m}$ a mais retira menos volume do que os anteriores.

9. $V = 1.5\,\mathrm{L}$ exige $P = 101 \times 6.0/1.5 = 404\,\mathrm{kPa}$ , ou seja, $h = 303/10.1 \approx 30\,\mathrm{m}$ (Exercício 7.14).

10. O sangue: o plasma se desloca para os vasos do tórax, é incompressível e ocupa o volume que o ar já não preenche.

11. À pressão ambiente, $403\,\mathrm{kPa}$ . Por Boyle, o mesmo ar a $101\,\mathrm{kPa}$ ocuparia $4$ vezes o volume: ele é $4.0$ vezes mais denso do que o ar da superfície.

12. $V = 6.0 \times 403/202 \approx 12\,\mathrm{L}$ — o dobro, depois de apenas $20\,\mathrm{m}$ de subida.

13. $V = 6.0 \times 403/101 \approx 24\,\mathrm{L}$ : quatro vezes a capacidade pulmonar dele.

14. Nunca prenda a respiração na subida. Com as vias aéreas abertas, o ar em expansão sai pelo regulador, e o volume pulmonar nunca ultrapassa $6.0\,\mathrm{L}$ .

15. Os $1.5\,\mathrm{L}$ de Lena a $30\,\mathrm{m}$ são os seus $6.0\,\mathrm{L}$ de superfície comprimidos: na subida eles se reexpandem até exatamente $6.0\,\mathrm{L}$ , e não mais. Já os $6.0\,\mathrm{L}$ de Marco foram tomados a $403\,\mathrm{kPa}$ : há $24\,\mathrm{L}$ de ar de superfície dentro deles.

16. $V = 1.0 \times 503/P$ : $1.25\,\mathrm{cm}^{3}$ a $30\,\mathrm{m}$ , $1.67\,\mathrm{cm}^{3}$ a $20\,\mathrm{m}$ , $2.49\,\mathrm{cm}^{3}$ a $10\,\mathrm{m}$ e $4.98\,\mathrm{cm}^{3}$ na superfície.

17. Fatores por etapa: $503/403 = 1.25$ , depois $1.33$ , $1.49$ e $202/101 = 2.0$ nos últimos dez metros — o crescimento acelera à medida que a superfície se aproxima.

18. $40/10 = 4.0\,\mathrm{min}$ . O último minuto: de $10\,\mathrm{m}$ até a superfície a pressão absoluta cai à metade, a maior queda relativa de toda a subida.

19. Uma subida rápida deixa o nitrogênio dissolvido efervescer em bolhas dentro do sangue e das articulações (doença descompressiva); subir devagar e fazer uma pausa perto de $5\,\mathrm{m}$ mantém o gás dissolvido tempo suficiente para que ele saia sem alarde pelos pulmões.

20. Apneísta: o ar dela apenas volta ao volume original — Boyle a protege. Mergulhador autônomo: o ar tomado em profundidade se multiplica na subida — respire, nunca prenda. E os últimos dez metros dobram todo volume aprisionado ( $\times 2.0$ , contra $\times 1.25$ lá embaixo, a $40\,\mathrm{m}$ ): quanto mais perto da superfície, mais devagar você deve se aproximar dela.