Física do ensino médio · Grades 10–12

31Oscilações elétricas livres: RLC

Gire o botão pesado de um rádio de sótão e as estações desfilam diante do ponteiro: uma voz, violinos, chiado, outra voz. Atrás do painel não há motor nem computador — uma bobina, um capacitor cujas placas intercaladas o botão gira e um pedaço de fio de antena. Este capítulo liga os dois tanques de energia do capítulo anterior (Capítulo 30) frente a frente e encontra o pêndulo mais rápido já construído: carga indo e vindo, até milhões de vezes por segundo, num compasso que o botão escolhe.

31.1 Um pêndulo elétrico: o circuito LC

Carregue um capacitor $C$ à tensão $U_0$ — as placas dele guardam então $\pm Q_0$ com $Q_0 = C U_0$ — e, em $t = 0$ , chaveie-o sobre uma bobina ideal $L$ , de resistência nula. Nenhuma fonte em lugar algum da malha: o que quer que aconteça em seguida, o circuito faz sozinho.

O circuito LC: um capacitor carregado a Q_0, uma chave, uma bobina ideal. Fechar K deixa a carga escorrer pela bobina — e a bobina, que detesta mudança, não a deixa parar. — O circuito LC: um capacitor carregado a $Q_0$ , uma chave, uma bobina ideal. Fechar $K$ deixa a carga escorrer pela bobina — e a bobina, que detesta mudança, não a deixa parar.

Proposição 31.1 (A equação do LC)

Na malha LC ideal a carga $q(t)$ da placa de cima obedece a

L\,\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0, \qquad\text{ou seja,}\qquad \frac{d^2q}{dt^2} = -\frac{1}{LC}\,q .

Demonstração. Ao longo da malha as tensões somam zero (Proposição 12.4): $u_L + u_C = 0$ . O capacitor dá $u_C = q/C$ e a bobina, $u_L = L\,di/dt$ (Definição 30.10), com $i = dq/dt$ contando a carga que chega à placa de cima (Proposição 30.3); substitua. ∎

Teorema 31.2 (Oscilações livres do circuito LC)

Solto em $t = 0$ com $q(0) = Q_0$ e $i(0) = 0$ , o circuito oscila:

q(t) = Q_0 \cos\!\left(\frac{2\pi t}{T_0}\right), \qquad i(t) = -I_0 \sin\!\left(\frac{2\pi t}{T_0}\right), \qquad T_0 = 2\pi\sqrt{LC},

com corrente de pico $I_0 = 2\pi Q_0/T_0 = Q_0/\sqrt{LC}$ .

Demonstração. Verifique por substituição. Derivando, $i = dq/dt = -\frac{2\pi}{T_0} Q_0 \sin(2\pi t/T_0)$ — o $i(t)$ enunciado — e de novo $\frac{d^2q}{dt^2} = -(\frac{2\pi}{T_0})^2 q$ , que é igual a $-q/(LC)$ exatamente quando $(2\pi/T_0)^2 = 1/(LC)$ , ou seja, $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ . E $q(0) = Q_0$ , $i(0) = 0$ . Que nenhuma outra função se ajusta à equação e à partida fica admitido, exatamente como no caso da mola (Observação 28.9). ∎

Definição 31.3 (Período e frequência próprios)

O período próprio de um circuito LC é $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ ; a frequência própria dele é

f_0 = \frac{1}{T_0} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} .

Conferência dimensional: $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$ e $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$ , de modo que $LC$ carrega $\mathrm{s} \times \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}^{2}$ — $\sqrt{LC}$ é um tempo, como tem de ser.

Exemplo 31.4 (Primeiros números)

$L = 10\,\mathrm{mH}$ com $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ : $\sqrt{LC} = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$ , logo $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$ e $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{kHz}$ — um tom audível. $L = 1.0\,\mathrm{mH}$ com $C = 100\,\mathrm{pF}$ : $T_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{s}$ , $f_0 \approx 0.50\,\mathrm{MHz}$ — uma radiofrequência. Só o produto $LC$ fixa o compasso.

Observação 31.5 (Um quarto de período fora de compasso)

A corrente está um quarto de período defasada em relação à carga: $i = 0$ quando $q = \pm Q_0$ (placas cheias, escoamento se invertendo) e $i = \pm I_0$ quando $q = 0$ (placas vazias, escoamento a todo vapor) — exatamente o pêndulo, imóvel nos extremos e mais rápido embaixo.

Carga e corrente do circuito LC livre: a corrente é máxima toda vez que a carga cruza o zero, um quarto de período fora de compasso.

31.2 A valsa das energias

Proposição 31.6 (Conservação da energia armazenada)

No circuito LC ideal a energia total armazenada (Proposição 30.15)

E \;=\; E_C + E_L \;=\; \frac{q^2}{2C} + \tfrac12\,L i^2 \;=\; \frac{Q_0^2}{2C} \;=\; \tfrac12\,L I_0^2

é constante: inteiramente no capacitor quando $q = \pm Q_0$ , inteiramente na bobina quando $i = \pm I_0$ .

Demonstração. Derive: $\frac{dE}{dt} = \frac{q}{C}\frac{dq}{dt} + Li\frac{di}{dt} = i\left(\frac{q}{C} + L\frac{d^2q}{dt^2}\right) = 0$ pela Proposição 31.1. O valor dela se lê em $t = 0$ (tudo no capacitor) e de novo no instante em que tudo é corrente, $q = 0$ — de onde $\tfrac12 L I_0^2 = Q_0^2/2C$ , recuperando $I_0 = Q_0/\sqrt{LC}$ só com energia. ∎

Um período da valsa: a energia vai e volta das placas para a bobina duas vezes por período, com a soma cravada em Q_02/2C — a mesmíssima figura do oscilador massa–mola, com outros rótulos. — Um período da valsa: a energia vai e volta das placas para a bobina duas vezes por período, com a soma cravada em $Q_0^2/2C$ — a mesmíssima figura do oscilador massa–mola, com outros rótulos.

Exemplo 31.7 (A valsa, medida)

$C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ carregado a $U_0 = 10\,\mathrm{V}$ , chaveado sobre $L = 10\,\mathrm{mH}$ : energia $E = \tfrac12 C U_0^2 = 5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$ , período $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$ e uma corrente de pico $I_0 = U_0\sqrt{C/L} = 0.10\,\mathrm{A}$ atingida um quarto de período ( $0.16\,\mathrm{ms}$ ) depois que a chave fecha.

31.3 Circuitos reais: oscilações amortecidas

Toda bobina real é enrolada com fio resistivo: a malha honesta é um circuito RLC série, e a resistência taxa a valsa.

Definição 31.8 (Regimes pseudoperiódico e aperiódico)

Num circuito RLC série o resistor dissipa energia por efeito Joule (Capítulo 12): as oscilações livres são amortecidas. Dois regimes, lidos num osciloscópio:

pseudoperiódico ( $R$ pequeno): o circuito ainda oscila dentro de um envelope que encolhe, com um tempo de repetição — o pseudoperíodo — próximo de $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ quando o amortecimento é fraco;
aperiódico ( $R$ grande): a carga volta rastejando a zero sem nunca passar do ponto — oscilação nenhuma.

O espelho exato do oscilador mecânico amortecido (Definição 28.12).

Os dois destinos de um circuito RLC real: oscilações que morrem dentro de um envelope exponencial (tracejado), ou um rastejo até zero sem oscilação alguma. Com amortecimento fraco, o pseudoperíodo continua T_0. — Os dois destinos de um circuito RLC real: oscilações que morrem dentro de um envelope exponencial (tracejado), ou um rastejo até zero sem oscilação alguma. Com amortecimento fraco, o pseudoperíodo continua $\approx T_0$ .

Observação 31.9 (Manter as oscilações)

Para manter a amplitude viva, injete no circuito exatamente a energia que a resistência queima, uma vez por ciclo e em compasso com o balanço: um amplificador faz pela malha RLC o que o empurrão do escapamento faz pelo pêndulo (Capítulo 28). Todo relógio de quartzo e todo transmissor de rádio é um oscilador mantido desse tipo, rodando na frequência própria $f_0$ dele.

31.4 O gêmeo mecânico

Proposição 31.10 (O dicionário elétrico–mecânico)

A equação do LC é a equação massa–mola (Proposição 28.8) palavra por palavra:

circuito LC		carrinho massa–mola
[2pt] carga $q$	$\longleftrightarrow$	posição $x$
corrente $i = dq/dt$	$\longleftrightarrow$	velocidade $v = dx/dt$
indutância $L$	$\longleftrightarrow$	massa $m$
inverso da capacitância $1/C$	$\longleftrightarrow$	constante elástica $k$
resistência $R$	$\longleftrightarrow$	atrito
$L\,\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0$	$\longleftrightarrow$	$m\,\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$
[2pt] $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$	$\longleftrightarrow$	$T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$
[2pt] $E_C = q^2/2C$	$\longleftrightarrow$	$E_p = \tfrac12 kx^2$
$E_L = \tfrac12 Li^2$	$\longleftrightarrow$	$E_k = \tfrac12 mv^2$

Mesma equação, mesmas soluções: todo resultado sobre um dos osciladores se traduz na hora para a outra língua.

Demonstração. Compare a Proposição 31.1 com $m\,d^2x/dt^2 = -kx$ : substituir $q \to x$ , $L \to m$ e $1/C \to k$ transforma uma na outra, e $LC \to m/k$ transforma $2\pi\sqrt{LC}$ em $2\pi\sqrt{m/k}$ . ∎

Exemplo 31.11 (Sintonizar um rádio)

A antena joga um sussurro de todas as estações dentro de uma malha LC, mas só a que transmite perto de $f_0$ empurra em compasso e vai crescendo — ressonância (Definição 28.13). O botão gira as placas de um capacitor variável: mudar $C$ desloca $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$ , e o ponteiro entrega ao fone uma estação de cada vez. Do lado da transmissão, um oscilador mantido (Observação 31.9) fixa a frequência de transmissão; num relógio, um cristal de quartzo — um gêmeo mecânico de rigidez de tirar o fôlego — faz o mesmo papel.

31.5 Exercícios

Exercício 31.1 ★

Calcule $T_0$ e $f_0$ para (a) $L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ ; (b) $L = 1.0\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{pF}$ . Por que fator diferem as frequências?

Solução

Solução de Exercício 31.1.

(a) $\sqrt{LC} = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$ : $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$ , $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{kHz}$ . (b) $\sqrt{LC} = 3.16 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}$ : $T_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{s}$ , $f_0 \approx 0.50\,\mathrm{MHz}$ — um fator $\sqrt{10^5} \approx 316$ .

Exercício 31.2 ★

Usando $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$ e $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$ , mostre, unidade por unidade, que $\sqrt{LC}$ é um tempo. Por que o $2\pi$ não muda nada?

Solução

Solução de Exercício 31.2.

$LC$ : $(\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{s} \times \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s} \times \mathrm{s} = \mathrm{s}^{2}$ , de modo que $\sqrt{LC}$ está em segundos. $2\pi$ é um número puro — não tem dimensão para mudar.

Exercício 31.3 ★

Um capacitor de $470\,\mathrm{nF}$ é carregado a $6.0\,\mathrm{V}$ . Calcule $Q_0$ e a energia armazenada; descreva, sem calcular, o que acontece quando ele é chaveado sobre uma bobina ideal.

Solução

Solução de Exercício 31.3.

$Q_0 = CU_0 = 2.8\,\text{µ}\mathrm{C}$ ; $E = \tfrac12 CU_0^2 = \tfrac12 \times 4.7 \times 10^{-7} \times 36 \approx 8.5\,\text{µ}\mathrm{J}$ . A carga oscila em $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$ , com a corrente um quarto de período defasada, a energia indo e vindo entre as placas e a bobina, e o total constante.

Exercício 31.4 ★

Um circuito LC segue $q(t) = 2.0\cos(2\pi t/T_0)$ em microcoulombs, com $T_0 = 4.0\,\mathrm{ms}$ . Leia $Q_0$ ; calcule $f_0$ , $q(T_0/2)$ , $i(0)$ e a corrente de pico $I_0 = 2\pi Q_0/T_0$ .

Solução

Solução de Exercício 31.4.

$Q_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{C}$ ; $f_0 = 1/T_0 = 250\,\mathrm{Hz}$ ; $q(T_0/2) = -2.0\,\text{µ}\mathrm{C}$ ; $i(0) = 0$ (o cosseno tem tangente horizontal em $t=0$ ); $I_0 = 2\pi \times 2.0 \times 10^{-6}/4.0 \times 10^{-3} \approx 3.1\,\mathrm{mA}$ .

Exercício 31.5 ★

Em que instantes do ciclo a energia está inteiramente no capacitor? E inteiramente na bobina? Qual é a contrapartida mecânica de cada momento para um pêndulo?

Solução

Solução de Exercício 31.5.

Tudo no capacitor quando $q = \pm Q_0$ e $i = 0$ ( $t = 0$ , $T_0/2$ , $T_0$ , …): os extremos do pêndulo. Tudo na bobina quando $q = 0$ e $i = \pm I_0$ ( $t = T_0/4$ , $3T_0/4$ , …): o ponto mais baixo e mais rápido do pêndulo.

Exercício 31.6 ★★

Verifique por substituição que $q(t) = Q_0\cos(2\pi t/T_0)$ satisfaz $L\,d^2q/dt^2 + q/C = 0$ exatamente quando $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .

Solução

Solução de Exercício 31.6.

$d^2q/dt^2 = -(2\pi/T_0)^2\,Q_0\cos(2\pi t/T_0) = -(2\pi/T_0)^2 q$ , logo $L\,d^2q/dt^2 + q/C = q\,[\,1/C - L(2\pi/T_0)^2\,] = 0$ para todo $t$ exatamente quando $(2\pi/T_0)^2 = 1/(LC)$ , ou seja, $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .

Exercício 31.7 ★★

Uma estação de ondas longas transmite a $198\,\mathrm{kHz}$ . Com $C = 220\,\mathrm{pF}$ , que indutância sintoniza nela?

Solução

Solução de Exercício 31.7.

$L = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 C} = \dfrac{1}{39.5 \times (1.98 \times 10^{5})^2 \times 2.2 \times 10^{-10}} \approx 2.9\,\mathrm{mH}$ .

Exercício 31.8 ★★

$C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ carregado a $10\,\mathrm{V}$ se descarrega em $L = 10\,\mathrm{mH}$ . Calcule a energia armazenada, a corrente de pico (pela conservação da energia) e o instante em que ela é atingida pela primeira vez.

Solução

Solução de Exercício 31.8.

$E = \tfrac12 CU_0^2 = 5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$ ; $\tfrac12 LI_0^2 = E$ dá $I_0 = \sqrt{2E/L} = \sqrt{1.0 \times 10^{-2}} = 0.10\,\mathrm{A}$ , atingida pela primeira vez em $T_0/4 = \tfrac14 \times 0.63\,\mathrm{ms} \approx 0.16\,\mathrm{ms}$ .

Exercício 31.9 ★★

Explique por que $E_C$ e $E_L$ oscilam na frequência $2f_0$ , e não $f_0$ . Mostre que em $t = T_0/8$ (partindo de $q = Q_0$ ) a energia está dividida exatamente ao meio.

Solução

Solução de Exercício 31.9.

$E_C \propto \cos^2(2\pi t/T_0)$ , e $\cos^2$ se repete a cada meia volta: dois enchimentos do capacitor por período, e portanto $2f_0$ . Em $t = T_0/8$ a fase é $\pi/4$ : $\cos^2(\pi/4) = \tfrac12$ , logo $E_C = E_L = E/2$ .

Exercício 31.10 ★★

Num oscilograma de um circuito RLC fracamente amortecido, máximos sucessivos marcam $4.0\,\mathrm{V}$ e depois $3.0\,\mathrm{V}$ . Supondo que a razão permaneça constante, preveja o sexto máximo depois do de $4.0\,\mathrm{V}$ . Que fração da energia sobrevive a cada pseudoperíodo? E o que se pode dizer do pseudoperíodo em si?

Solução

Solução de Exercício 31.10.

Razão $3.0/4.0 = 0.75$ por pseudoperíodo: sexto máximo $4.0 \times 0.75^6 \approx 0.71\,\mathrm{V}$ . A energia é proporcional ao quadrado da amplitude: sobrevivem $0.75^2 \approx 56\%$ a cada período. O pseudoperíodo continua $\approx T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ : o amortecimento fraco encolhe a amplitude, quase não o compasso.

Exercício 31.11 ★★

Um circuito LC tem $L = 0.50\,\mathrm{H}$ e $C = 20\,\text{µ}\mathrm{F}$ . Calcule $T_0$ ; e depois, usando o dicionário (Proposição 31.10), encontre a constante elástica $k$ que dá a um carrinho de $0.50\,\mathrm{kg}$ o mesmo período, e confira.

Solução

Solução de Exercício 31.11.

$T_0 = 2\pi\sqrt{0.50 \times 2.0 \times 10^{-5}} = 2\pi \times 3.16 \times 10^{-3} \approx 20\,\mathrm{ms}$ . Pelo dicionário: $k = m/(LC) = 0.50/1.0 \times 10^{-5} = 5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; conferindo, $2\pi\sqrt{m/k} = 2\pi\sqrt{1.0 \times 10^{-5}}$ — os mesmos $20\,\mathrm{ms}$ .

Exercício 31.12 ★★★

Um sintonizador usa $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ e um capacitor variável que varre de $50\text{ to }500\,\mathrm{pF}$ . Calcule as duas frequências extremas. Mostre que $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$ , de modo que dez vezes em $C$ dá apenas $\sqrt{10} \approx 3.2$ em frequência.

Solução

Solução de Exercício 31.12.

$C = 500\,\mathrm{pF}$ : $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{1.0 \times 10^{-13}}) \approx 0.50\,\mathrm{MHz}$ ; $C = 50\,\mathrm{pF}$ : $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{MHz}$ . Com $L$ fixo, $f_0 = (2\pi\sqrt{L})^{-1} C^{-1/2} \propto 1/\sqrt{C}$ : dez vezes em $C$ , apenas $\sqrt{10} \approx 3.2$ em $f_0$ — como se encontrou.

Exercício 31.13 ★★★

Uma bobina real faz o circuito perder $5.0\%$ da energia dele a cada pseudoperíodo. Depois de quantos períodos a energia caiu à metade? Qual é a amplitude então, como fração da inicial? A $f_0 = 1.0\,\mathrm{MHz}$ , quanto tempo é isso em microssegundos?

Solução

Solução de Exercício 31.13.

$0.95^n = \tfrac12$ : $n = \ln 2/\lvert\ln 0.95\rvert \approx 13.5$ , ou seja, uns $14$ períodos. A amplitude é proporcional a $\sqrt{E}$ : cai para $1/\sqrt{2} \approx 0.71$ da inicial. A $1.0\,\mathrm{MHz}$ , $T_0 = 1.0\,\text{µ}\mathrm{s}$ : cerca de $14\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

Exercício 31.14 ★★★

O oscilador de um relógio armazena $E = 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{J}$ e perde $2.0\%$ disso por ciclo, a $f_0 = 32\,768\,\mathrm{Hz}$ . Que potência média o circuito de manutenção precisa fornecer? Por que o empurrão tem de chegar em compasso com a oscilação?

Solução

Solução de Exercício 31.14.

Perda por ciclo $0.020 \times 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{J} = 2.0 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$ , a $32\,768$ ciclos por segundo: $P = 32\,768 \times 2.0 \times 10^{-11} \approx 6.6 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}$ — menos de um microwatt, anos com uma pilha-botão. Em compasso porque só um empurrão na fase certa acrescenta energia (ressonância); fora de compasso, ele frearia o balanço.

Exercício 31.15 ★★★

Depois de cada borda de um sinal quadrado, a fiação de um experimentador “repica” a $25\,\mathrm{MHz}$ ; a indutância parasita é de cerca de $1.0\,\text{µ}\mathrm{H}$ . Estime a capacitância parasita responsável. Para que regime um pequeno resistor em série deveria empurrar o circuito, e por que isso cura o repique?

Solução

Solução de Exercício 31.15.

$C = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 L} = \dfrac{1}{39.5 \times (2.5 \times 10^{7})^2 \times 1.0 \times 10^{-6}} \approx 41\,\mathrm{pF}$ . O resistor deve empurrar a malha para o regime aperiódico: a carga então se acomoda sem passar do ponto — sem oscilação, sem repique.

31.6 Problema: montar um rádio de galena

Problema 31.1

Problema de fim de semana — montar um rádio de galena: uma bobina, um capacitor variável, um diodo e um fone — sem pilha, sem amplificador, e o jornal da noite chega com a energia da própria onda

Um kit do sótão dos avós: uma bobina $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ enrolada num tubo de papelão, um capacitor variável cujas placas giram de $20\,\mathrm{pF}$ a $480\,\mathrm{pF}$ , um diodo de cristal, um fone de ouvido e $20\,\mathrm{m}$ de fio de antena. As estações a pegar transmitem entre $530\,\mathrm{kHz}$ e $1700\,\mathrm{kHz}$ .

Parte I — A malha de sintonia.

O capacitor, carregado, é deixado descarregar na bobina: escreva a lei das malhas e transforme-a na equação diferencial de $q(t)$ .
Verifique por substituição que $q(t) = Q_0\cos(2\pi t/T_0)$ a resolve, desde que $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .
Confira por análise dimensional que $\sqrt{LC}$ é um tempo.
Botão ajustado em $C = 330\,\mathrm{pF}$ : calcule $T_0$ e $f_0$ . A malha está sintonizada dentro da faixa?
Encontre a capacitância que sintoniza exatamente $1.00\,\mathrm{MHz}$ .

Parte II — O capacitor variável.

Calcule a capacitância necessária para $530\,\mathrm{kHz}$ .
Calcule a capacitância necessária para $1700\,\mathrm{kHz}$ .
Calcule as duas frequências que o capacitor de $20\text{ to }480\,\mathrm{pF}$ do kit de fato alcança. Ele cobre a faixa inteira?
Mostre que $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$ com $L$ fixo; por que fator $C$ precisa mudar para dobrar $f_0$ ?
As placas se abrem linearmente, de modo que $C$ cai de forma uniforme conforme o botão gira. Explique por que as estações então se amontoam numa das pontas do dial — e em qual delas.

Parte III — Energia e amortecimento. Sintonizada em $1.00\,\mathrm{MHz}$ ( $C = 127\,\mathrm{pF}$ ), a antena carrega por um instante o capacitor a $U_0 = 20\,\mathrm{mV}$ .

Calcule a carga $Q_0$ e a energia armazenada $E$ .
Calcule a corrente de pico $I_0$ , usando a conservação da energia.
A resistência da bobina dissipa $4.0\%$ da energia armazenada por ciclo: depois de quantos ciclos a energia caiu à metade?
Quanto tempo é isso em microssegundos? Por que esse “repique” sozinho não consegue tocar o jornal da noite?
Explique por que a onda que chega mantém a malha balançando apenas quando ela está sintonizada naquela estação — e o que mantém a oscilação no transmissor (Observação 31.9).

Parte IV — O gêmeo mecânico.

Usando o dicionário (Proposição 31.10) com um carrinho de massa $m = 0.20\,\mathrm{kg}$ , calcule a constante elástica $k$ da mola que corresponde ao circuito sintonizado.
Uma mola dura de carro tem $k \approx 5 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . Comente: um sistema massa–mola de bancada consegue oscilar em megahertz?
Fique, em vez disso, com um $k = 100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ razoável: que massa oscila a $1.00\,\mathrm{MHz}$ ?
Que objeto real é um oscilador mecânico assim, leve como pluma e ultrarrígido, e onde você o encontrou antes, este ano (Capítulo 28)?
Ficha técnica, em uma frase: a faixa que o seu rádio varre, a capacitância que pega $1.00\,\mathrm{MHz}$ , quanto dura um repique solitário e o que toca o jornal assim mesmo.

Solução

Solução de Problema 31.1.

1. Lei das malhas: $u_L + u_C = 0$ , com $u_C = q/C$ , $u_L = L\,di/dt$ e $i = dq/dt$ : $L\,d^2q/dt^2 + q/C = 0$ .

2. $d^2q/dt^2 = -(2\pi/T_0)^2 q$ , de modo que a equação fica $q\,[\,1/C - L(2\pi/T_0)^2\,] = 0$ , verdadeira para todo $t$ exatamente quando $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .

3. $LC$ : $(\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{s} \times \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}^{2}$ — $\sqrt{LC}$ é um tempo.

4. $LC = 6.6 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}^{2}$ : $T_0 = 2\pi \times 2.57 \times 10^{-7} \approx 1.6\,\text{µ}\mathrm{s}$ , $f_0 \approx 620\,\mathrm{kHz}$ — dentro de $530\text{ to }1700\,\mathrm{kHz}$ .

5. $C = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 L} = \dfrac{1}{39.5 \times 1.0 \times 10^{12} \times 2.0 \times 10^{-4}} \approx 127\,\mathrm{pF}$ .

6. A mesma fórmula a $530\,\mathrm{kHz}$ : $C \approx 451\,\mathrm{pF}$ .

7. A $1700\,\mathrm{kHz}$ : $C \approx 44\,\mathrm{pF}$ .

8. $C = 480\,\mathrm{pF}$ : $f_0 \approx 514\,\mathrm{kHz}$ ; $C = 20\,\mathrm{pF}$ : $f_0 \approx 2.5\,\mathrm{MHz}$ — a faixa inteira, com margem nas duas pontas.

9. $f_0 = (2\pi\sqrt{L})^{-1}C^{-1/2} \propto 1/\sqrt{C}$ ; dobrar $f_0$ exige dividir $C$ por $4$ .

10. Como $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$ , passos iguais de $C$ movem $f_0$ devagar com $C$ grande e depressa com $C$ pequeno: um dado espaçamento entre estações exige então pouco giro do botão — elas se amontoam na ponta de frequência alta (e $C$ baixo).

11. $Q_0 = CU_0 = 1.27 \times 10^{-10} \times 0.020 \approx 2.5 \times 10^{-12}\,\mathrm{C}$ ; $E = \tfrac12 CU_0^2 \approx 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{J}$ .

12. $\tfrac12 LI_0^2 = E$ : $I_0 = U_0\sqrt{C/L} = 0.020\sqrt{6.35 \times 10^{-7}} \approx 16\,\text{µ}\mathrm{A}$ .

13. $0.96^n = \tfrac12$ : $n = \ln 2/\lvert\ln 0.96\rvert \approx 17$ ciclos.

14. A $1.00\,\mathrm{MHz}$ , $T_0 = 1.0\,\text{µ}\mathrm{s}$ : o repique cai à metade em cerca de $17\,\text{µ}\mathrm{s}$ . Um repique solitário morre em microssegundos; a música exige a malha alimentada continuamente.

15. A onda empurra milhões de vezes por segundo; só quando a frequência dela coincide com $f_0$ é que os empurrões chegam em compasso e constroem o balanço — ressonância; as estações fora de sintonia empurram tanto contra quanto a favor. No transmissor, um amplificador devolve a energia dissipada a cada ciclo: um oscilador mantido.

16. $LC = 2.54 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}^{2}$ : $k = m/(LC) = 0.20/2.54 \times 10^{-14} \approx 7.9 \times 10^{12}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ .

17. Cerca de $10^8$ vezes a mola do carro: nenhum sistema massa–mola de bancada chega a megahertz — as rigidezes e as massas do dia a dia são desesperadamente lentas.

18. $m = \dfrac{k}{(2\pi f_0)^2} = \dfrac{100} {(6.28 \times 10^{6})^2} \approx 2.5 \times 10^{-12}\,\mathrm{kg}$ — alguns nanogramas, um cisco de poeira.

19. Um cristal de quartzo: uma lâmina leve como pluma e ultrarrígida, cantando na frequência própria dela — o marcador de tempo encontrado antes, neste ano.

20. Com $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ e $20\text{ to }480\,\mathrm{pF}$ a malha varre cerca de $0.51\text{ to }2.5\,\mathrm{MHz}$ , cobrindo a faixa; $C \approx 127\,\mathrm{pF}$ pega $1.00\,\mathrm{MHz}$ ; deixado sozinho, o repique cai à metade em $\approx 17\,\text{µ}\mathrm{s}$ , mas a própria onda da estação, ressoando em compasso, realimenta a malha — o jornal toca com a energia da própria onda.