Física do ensino médio · Grades 10–12

15Magnetismo e campos magnéticos

Os navegadores se guiaram por agulhas imantadas durante mil anos antes que alguém soubesse por que elas apontam para o norte. A resposta chegou em 1820, quando uma corrente fez uma bússola estremecer: o magnetismo é feito por cargas em movimento. Este capítulo mapeia o campo magnético — o dos ímãs, o da Terra, o das correntes — e depois fecha o ciclo: o campo empurra de volta as correntes, e é assim que todo motor elétrico gira.

15.1 Ímãs e o campo magnético

Definição 15.1 (Ímã e polos)

Um ímã atrai o ferro e, pendurado por um fio, gira até encarar o norte. A sua ação se concentra em dois polos magnéticos, norte (a ponta que procura o norte geográfico) e sul: polos iguais se repelem, polos diferentes se atraem. Serrar um ímã ao meio produz dois ímãs completos — experiência alguma jamais isolou um polo.

Definição 15.2 (Campo magnético)

Um ímã modifica o espaço à sua volta (Capítulo 14): ele cria em toda parte um campo magnético $\vect B$ . Uma bússola lê a direção dele (a agulha se alinha com $\vect B$ , com a ponta norte à frente); uma sonda Hall mede o seu módulo, em teslas ( $\mathrm{T}$ ).

Definição 15.3 (Linhas de campo magnético)

As linhas de campo magnético são curvas tangentes a $\vect B$ , que se apertam onde o campo é forte. Fora de um ímã, elas correm do polo norte para o sul; ao contrário das linhas de campo elétrico, elas não têm extremidades: cada uma se fecha através do corpo do ímã.

Linhas de campo de um ímã em barra: saem do N, entram no S e se fecham através do corpo. Uma bússola colocada em qualquer ponto se acomoda ao longo da linha que passa por ele.

15.2 A Terra é um ímã

Definição 15.4 (O campo magnético da Terra)

Correntes no núcleo de ferro fundido da Terra fazem do planeta um ímã gigante: na superfície $B \approx 50\,\text{µ}\mathrm{T}$ , e uma agulha livre se alinha com a componente horizontal do campo — é a bússola. Os polos geomagnéticos não são os geográficos; o ângulo entre o norte da bússola e o norte verdadeiro é a declinação, corrigida em todo rumo.

Exemplo 15.5 (Corrigir um rumo)

Onde a declinação é de $7{}^{\circ}$ para oeste, um navio que siga o “norte da bússola” por $5.0\,\mathrm{km}$ deriva $5000 \times \sin7{}^{\circ} \approx 6.1 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ a oeste da sua rota: para navegar rumo ao norte verdadeiro, siga $7{}^{\circ}$ a leste da agulha.

15.3 O campo magnético de uma corrente

Observação 15.6 (Oersted, 1820)

Durante uma aula em 1820, Hans Christian Oersted viu a agulha de uma bússola girar quando fechou um circuito ali perto: eletricidade e magnetismo eram um único assunto — as correntes criam campos magnéticos.

Proposição 15.7 (Campo de um fio retilíneo)

Um fio retilíneo longo percorrido por uma corrente $I$ cria um campo cujas linhas são círculos centrados no fio, em planos perpendiculares a ele. À distância $d$ do fio,

B = \frac{\mu_0\, I}{2\pi d}, \qquad \mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}\ \mathrm{T}\,\mathrm{m}/\mathrm{A} \approx 1.26 \times 10^{-6}\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}/\mathrm{A}.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Linhas de campo circulares em volta de um fio retilíneo, vistas de frente (: corrente saindo da página; : entrando nela). Agarre o fio com a mão direita, com o polegar no sentido da corrente: os dedos se curvam no sentido em que B gira. — Linhas de campo circulares em volta de um fio retilíneo, vistas de frente ( $\odot$ : corrente saindo da página; $\otimes$ : entrando nela). Agarre o fio com a mão direita, com o polegar no sentido da corrente: os dedos se curvam no sentido em que $\vect B$ gira.

Exemplo 15.8 (Um fio é um ímã fraco)

A $d = 1.0\,\mathrm{cm}$ de um fio percorrido por $I = 15\,\mathrm{A}$ : $B = 2 \times 10^{-7} \times 15 / 0.010 = 0.30\,\mathrm{mT}$ — seis campos terrestres, a partir de uma corrente que já desarmaria um disjuntor doméstico. Campos fortes precisam de uma geometria melhor.

Definição 15.9 (Bobina e solenoide)

Enrolar o fio concentra o campo dele. Uma bobina chata ( $N$ espiras num disco) se comporta como um ímã fino, com uma face norte e a outra sul; um solenoide — um enrolamento cilíndrico longo, com $n$ espiras por metro — se comporta como um ímã em barra.

Proposição 15.10 (Campo dentro de um solenoide)

Dentro de um solenoide longo, longe das pontas, o campo é uniforme: paralelo ao eixo e o mesmo em todos os pontos interiores, de módulo $B = \mu_0\, n\, I$ , independente da largura do tubo. Do lado de fora, o campo é fraco.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 15.11

As duas fórmulas são deduzidas com honestidade no volume do primeiro ano de graduação, a partir da lei que relaciona a circulação de um campo à corrente que ele envolve. Repare no que importa: $n$ , espiras por metro — enrole mais apertado, não mais comprido.

Método 15.12 (A mão direita, duas vezes)

Fio: polegar = corrente; dedos curvados = sentido de giro das linhas.
Bobina, solenoide: dedos curvados = corrente nas espiras; polegar = $\vect B$ interno, apontando para a face norte.

Um solenoide cortado ao comprido (/: as espiras atravessando a página): por dentro, um B = _0 n I uniforme ao longo do eixo; por fora, um campo de retorno fraco e espalhado (tracejado). — Um solenoide cortado ao comprido ( $\odot$ / $\otimes$ : as espiras atravessando a página): por dentro, um $B = \mu_0 n I$ uniforme ao longo do eixo; por fora, um campo de retorno fraco e espalhado (tracejado).

Exemplo 15.13 (Números de um solenoide)

Com $10$ espiras por centímetro ( $n = 1000\,\mathrm{m}^{-1}$ ) e $I = 5.0\,\mathrm{A}$ : $B = 1.26 \times 10^{-6} \times 1000 \times 5.0 \approx 6.3\,\mathrm{mT}$ — cem campos terrestres, ajustáveis por um botão.

15.4 Eletroímãs

Definição 15.14 (Eletroímã)

Um eletroímã é um solenoide enrolado sobre um núcleo de ferro doce: o ferro se imanta no campo da bobina e o multiplica, tipicamente por $100$ a $1000$ . Ao contrário de um ímã permanente, ele se desliga junto com a corrente.

Observação 15.15 (Três máquinas)

O guindaste do ferro-velho levanta um carro com um eletroímã e — é esse o ponto — o solta abrindo uma chave. O pequeno eletroímã de um relé puxa um contato até fechá-lo: uma corrente fraca comanda uma forte (Capítulo 12). Um aparelho de ressonância magnética mantém $1.5\,\mathrm{T}$ uniformes em volta do paciente com um solenoide supercondutor.

Ordens de grandeza, da galáxia a uma estrela morta:

espaço interestelar	$\sim 10^{-10}\,\mathrm{T}$
campo na superfície da Terra	$5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$
ímã de geladeira	$\sim 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{T}$
ímã de neodímio, no seu polo	$\sim 0.5\,\mathrm{T}$
solenoide de ressonância magnética	$1.5\,\mathrm{T}$
superfície de uma estrela de nêutrons	$\sim 10^{8}\,\mathrm{T}$

15.5 A força de Laplace

Proposição 15.16 (Força de Laplace)

Um fio retilíneo de comprimento $L$ , percorrido por uma corrente $I$ num campo uniforme $\vect B$ perpendicular ao fio, sente a força de Laplace de módulo $F = I\,L\,B$ , perpendicular tanto ao fio quanto a $\vect B$ : mão direita espalmada, polegar no sentido da corrente, dedos esticados no sentido de $\vect B$ — a palma empurra no sentido de $\vect F$ . Um fio paralelo ao campo não sente força alguma.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 15.17 (O trilho saltador)

O volume do primeiro ano de graduação deduz isso da força magnética sobre cada carga em movimento. No laboratório: uma barra de cobre repousa sobre dois trilhos horizontais entre os polos de um ímã (campo entrando na página, na figura); feche a chave e a barra dispara ao longo dos trilhos. Inverta a corrente, ou vire o ímã: ela dispara para o outro lado.

A experiência dos trilhos: corrente descendo pela barra e campo entrando na página () — a força de Laplace F = ILB empurra a barra ao longo dos trilhos. — A experiência dos trilhos: corrente descendo pela barra e campo entrando na página ( $\otimes$ ) — a força de Laplace $F = ILB$ empurra a barra ao longo dos trilhos.

Exemplo 15.18 (Números de Laplace)

Uma barra de comprimento $L = 5.0\,\mathrm{cm}$ percorrida por $I = 8.0\,\mathrm{A}$ num campo $B = 0.50\,\mathrm{T}$ : $F = 8.0 \times 0.050 \times 0.50 = 0.20\,\mathrm{N}$ — o peso de $20\,\mathrm{g}$ , sobre um fio que pesa alguns gramas.

Observação 15.19 (O motor de corrente contínua)

Dobre o fio numa espira dentro do campo: os dois lados perpendiculares a $\vect B$ conduzem correntes opostas, de modo que as forças de Laplace sobre eles são opostas — um binário que faz a espira girar. Meia volta depois, o binário a giraria de volta, e por isso uma chave rotativa (o comutador) inverte a corrente a cada meia volta. Todo ventilador e toda furadeira são essa espira, multiplicada.

15.6 Exercícios

Exercício 15.1 ★

Um ímã em barra é serrado ao meio, entre os seus polos. Que polos cada pedaço carrega? Aproximados de novo, as faces recém-cortadas se atraem ou se repelem? Algum esquema de corte consegue isolar o polo norte?

Solução

Solução de Exercício 15.1.

Cada pedaço é um ímã completo, com um polo norte e um polo sul: um polo novo aparece em cada face cortada. As faces recém-cortadas são um N e um S, de modo que se atraem — os pedaços tentam se remontar. Esquema algum isola um polo: todo corte cria um par.

Exercício 15.2 ★

Verdadeiro ou falso, com uma razão para cada: (a) duas linhas de campo magnético se cruzam onde o campo é forte; (b) fora de um ímã, as linhas de campo correm do polo norte para o polo sul; (c) toda linha de campo magnético é fechada; (d) uma agulha se acomoda perpendicular à linha que passa por ela.

Solução

Solução de Exercício 15.2.

(a) Falso: o campo tem um único sentido em cada ponto. (b) Verdadeiro. (c) Verdadeiro: cada linha se fecha através do corpo do ímã. (d) Falso: a agulha se acomoda ao longo da linha, tangente a ela.

Exercício 15.3 ★

Calcule o campo a $2.0\,\mathrm{cm}$ de um fio retilíneo percorrido por $10\,\mathrm{A}$ . Quantas vezes os $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ da Terra isso representa?

Solução

Solução de Exercício 15.3.

$B = 2 \times 10^{-7} \times 10 / 0.020 = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ — o dobro do campo da Terra.

Exercício 15.4 ★

Um solenoide de $800$ espiras enroladas em $40\,\mathrm{cm}$ conduz $I = 1.5\,\mathrm{A}$ . Calcule $n$ e depois $B$ no interior; em que $B$ se transforma se a corrente dobrar?

Solução

Solução de Exercício 15.4.

$n = 800/0.40 = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $B = 1.26 \times 10^{-6} \times 2000 \times 1.5 \approx 3.8\,\mathrm{mT}$ . Como $B \propto I$ , dobrar a corrente dá $7.5\,\mathrm{mT}$ .

Exercício 15.5 ★

Um trecho de fio de $10\,\mathrm{cm}$ conduz $5.0\,\mathrm{A}$ perpendicularmente a um campo de $0.20\,\mathrm{T}$ . Calcule a força de Laplace; ela é igual ao peso de que massa?

Solução

Solução de Exercício 15.5.

$F = ILB = 5.0 \times 0.10 \times 0.20 = 0.10\,\mathrm{N}$ — o peso de $m = F/g = 0.10/9.81 \approx 10\,\mathrm{g}$ .

Exercício 15.6 ★★

No ponto em que uma caminhante está, a declinação é de $8{}^{\circ}$ para oeste. Ela caminha $2.0\,\mathrm{km}$ “rumo ao norte pela bússola”: quanto ela deriva, e para que lado do norte verdadeiro? Que rumo a teria levado ao norte verdadeiro?

Solução

Solução de Exercício 15.6.

1. A rota dela aponta $8{}^{\circ}$ a oeste do norte verdadeiro: $2000 \times \sin8{}^{\circ} \approx 2.8 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ para oeste.

2. Seguir $8{}^{\circ}$ a leste do norte da agulha.

Exercício 15.7 ★★

A que distância de um fio retilíneo percorrido por $20\,\mathrm{A}$ o campo dele iguala os $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ da Terra? O que isso diz sobre confiar numa bússola perto de cabos energizados?

Solução

Solução de Exercício 15.7.

$d = \mu_0 I / (2\pi B) = 2 \times 10^{-7} \times 20 / 5.0 \times 10^{-5} = 8.0\,\mathrm{cm}$ . A menos de um decímetro de um cabo desses, a bússola lê o fio, e não o planeta — mantenha-a longe de condutores energizados.

Exercício 15.8 ★★

Projete um solenoide que produza $B = 10\,\mathrm{mT}$ com $I = 4.0\,\mathrm{A}$ : calcule o $n$ necessário e depois o número de espiras para uma bobina de $25\,\mathrm{cm}$ .

Solução

Solução de Exercício 15.8.

$n = B/(\mu_0 I) = 0.010 / (1.26 \times 10^{-6} \times 4.0) \approx 2.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{-1}$ ; em $25\,\mathrm{cm}$ , $N = 1989 \times 0.25 \approx 500$ espiras.

Exercício 15.9 ★★

Na experiência dos trilhos, a barra (massa $20\,\mathrm{g}$ , comprimento $L = 12\,\mathrm{cm}$ entre os trilhos) conduz $10\,\mathrm{A}$ num campo perpendicular de $0.50\,\mathrm{T}$ . Calcule a força de Laplace e depois a aceleração inicial da barra; compare com $g$ .

Solução

Solução de Exercício 15.9.

$F = 10 \times 0.12 \times 0.50 = 0.60\,\mathrm{N}$ ; $a = F/m = 0.60/0.020 = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — cerca de $3g$ : a barra salta mesmo.

Exercício 15.10 ★★

Um fio horizontal de massa $5.0\,\mathrm{g}$ e comprimento $20\,\mathrm{cm}$ está num campo horizontal $B = 0.10\,\mathrm{T}$ perpendicular a ele. Que corrente faz a força de Laplace equilibrar o peso do fio, de modo que ele levite? Para onde a força tem de apontar?

Solução

Solução de Exercício 15.10.

Equilíbrio: $ILB = mg$ , logo $I = 5.0 \times 10^{-3} \times 9.81 / (0.20 \times 0.10) \approx 2.5\,\mathrm{A}$ . A força tem de apontar para cima; com $\vect B$ horizontal e perpendicular ao fio, a mão direita espalmada (palma para cima) fixa o sentido necessário da corrente.

Exercício 15.11 ★★

Dê o sentido da força de Laplace (ou diga que ela se anula): (a) corrente para a direita da página, $\vect B$ entrando na página; (b) corrente para o alto da página, $\vect B$ saindo da página; (c) corrente paralela a $\vect B$ . Use a mão direita espalmada.

Solução

Solução de Exercício 15.11.

Mão direita espalmada: (a) para o alto da página; (b) para a direita; (c) força nula — o fio é paralelo ao campo.

Exercício 15.12 ★★★

Um fio horizontal corre na direção geográfica norte–sul, $3.0\,\mathrm{cm}$ acima de uma bússola; a componente horizontal do campo terrestre ali vale $20\,\text{µ}\mathrm{T}$ . O fio conduz $I = 5.0\,\mathrm{A}$ : calcule o campo dele na bússola, dê a direção desse campo e depois o desvio da agulha (os campos se somam como vetores).

Solução

Solução de Exercício 15.12.

1. $B = 2 \times 10^{-7} \times 5.0 / 0.030 \approx 33\,\text{µ}\mathrm{T}$ ; as linhas circulam o fio, de modo que, logo abaixo dele, o campo é horizontal e perpendicular ao fio: leste–oeste.

2. A agulha segue a soma vetorial: $\tan\theta = 33/20 = 1.67$ , logo $\theta \approx 59{}^{\circ}$ afastada do norte.

Exercício 15.13 ★★★

O eletroímã de um ferro-velho é uma bobina de $400$ espiras em $20\,\mathrm{cm}$ , de resistência $2.0\,\Omega$ , ligada a uma fonte de $12\,\mathrm{V}$ ; o seu núcleo de ferro multiplica por $100$ o campo da bobina nua. Calcule a corrente, o campo da bobina nua, o campo com o núcleo e a potência que a bobina dissipa (Capítulo 12). Por que a sucata cai no instante em que a chave se abre?

Solução

Solução de Exercício 15.13.

1. $I = U/R = 12/2.0 = 6.0\,\mathrm{A}$ ; $n = 400/0.20 = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $B_0 = 1.26 \times 10^{-6} \times 2000 \times 6.0 \approx 15\,\mathrm{mT}$ ; com o núcleo, $100 B_0 \approx 1.5\,\mathrm{T}$ .

2. $P = UI = 12 \times 6.0 = 72\,\mathrm{W}$ .

3. Sem corrente, sem campo — e o ferro doce não permanece imantado: a carga se solta na hora, exatamente como se projetou.

Exercício 15.14 ★★★

A espira retangular de um motor tem $N = 50$ voltas conduzindo $I = 2.0\,\mathrm{A}$ ; os seus dois lados de comprimento $5.0\,\mathrm{cm}$ são perpendiculares a um campo $B = 0.30\,\mathrm{T}$ . Calcule a força sobre cada um desses lados; por que as duas forças são opostas, e o que elas fazem com a espira? Por que os outros dois lados às vezes não sentem força alguma? Por que a corrente precisa ser invertida a cada meia volta?

Solução

Solução de Exercício 15.14.

1. $F = NILB = 50 \times 2.0 \times 0.050 \times 0.30 = 1.5\,\mathrm{N}$ sobre cada lado. A corrente corre em sentidos opostos nos dois lados, de modo que as forças são opostas: um binário que faz a espira girar.

2. Quando fica paralelo a $\vect B$ , um fio não sente força de Laplace alguma.

3. Depois de meia volta o binário se inverteria e desfaria a rotação; o comutador troca o sentido da corrente a cada meia volta, de modo que a espira continua girando sempre para o mesmo lado.

Exercício 15.15 ★★★

A que distância de um cabo que conduz $100\,\mathrm{A}$ seria preciso estar para que o campo dele chegasse a $1\,\mathrm{T}$ ? Compare com o raio milimétrico do cabo e conclua por que campos da ordem do tesla são construídos com solenoides, e não com fios isolados. Depois: o campo de $10^{8}\,\mathrm{T}$ na superfície de uma estrela de nêutrons está quantas potências de dez acima do da Terra?

Solução

Solução de Exercício 15.15.

1. $d = 2 \times 10^{-7} \times 100 / 1 = 2.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m} = 20\,\text{µ}\mathrm{m}$ — bem dentro do cobre de um milímetro de espessura. Nenhum ponto acessível perto de um fio isolado chega a $1\,\mathrm{T}$ : os campos fortes empilham milhares de espiras (um solenoide), mais ferro ou supercondutores.

2. $10^{8} / 5 \times 10^{-5} = 2 \times 10^{12}$ : cerca de doze potências de dez.

15.7 Problema: a bússola, o guindaste e a ressonância magnética

Problema 15.1

Problema de fim de semana — três ímãs em serviço: uma bússola cruzando um oceano, um eletroímã levantando um carro e o solenoide de uma ressonância magnética — um só campo, cobrindo dez potências de dez, fazendo três trabalhos

O mesmo vetor $\vect B$ guia um veleiro com $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ , levanta sucata de ferro com $1\,\mathrm{T}$ e forma a imagem de um joelho com $1.5\,\mathrm{T}$ — três máquinas para as três fórmulas deste capítulo.

Parte I — A bússola. Na posição do navio, o campo da Terra tem componente horizontal de $20\,\text{µ}\mathrm{T}$ e componente vertical de $44\,\text{µ}\mathrm{T}$ ; a declinação é de $6{}^{\circ}$ para oeste.

Por que a agulha de uma bússola aponta para o norte (magnético)?
Calcule o módulo do campo total e o seu ângulo com a horizontal.
Seguindo o “norte da bússola” por $30\,\mathrm{km}$ , a que distância a oeste da rota do norte verdadeiro o navio termina?
Uma carga de aço desvia a agulha mais $4{}^{\circ}$ para oeste: mesma pergunta.
Perto do polo geomagnético a bússola é inútil: que componente tem a culpa, e por quê?

Parte II — O guindaste. O eletroímã do ferro-velho é um solenoide de $600$ espiras enroladas em $30\,\mathrm{cm}$ , de resistência $1.5\,\Omega$ , alimentado por uma fonte de $12\,\mathrm{V}$ ; o seu núcleo de ferro multiplica por $50$ o campo da bobina nua.

Calcule $n$ , a densidade de espiras.
Calcule a corrente na bobina (Capítulo 12).
Calcule o campo da bobina nua, $\mu_0 n I$ .
Calcule o campo com o núcleo; compare com os $0.5\,\mathrm{T}$ do neodímio.
Calcule a potência dissipada na bobina e depois a energia de um turno de içamento de $10\,\mathrm{min}$ .
Existe ímã permanente com essa intensidade. Por que usar um eletroímã mesmo assim?

Parte III — O motor do guincho. O guincho do guindaste é um motor de corrente contínua: uma espira retangular de $N = 100$ voltas, com lados de $4.0\,\mathrm{cm}$ perpendiculares a $B = 0.25\,\mathrm{T}$ , conduzindo $I = 3.0\,\mathrm{A}$ .

Calcule a força de Laplace sobre cada feixe de lados perpendicular a $\vect B$ .
As duas forças são iguais e opostas e, ainda assim, o efeito delas não se cancela. O que elas produzem, e por que precisam ser opostas?
Que força age sobre os outros dois lados, quando eles ficam paralelos a $\vect B$ ?
Depois de meia volta, as mesmas forças desfariam a rotação. O que o comutador faz, e quando?
Dê três mudanças de projeto distintas, cada uma capaz de dobrar o par de forças.

Parte IV — A ressonância magnética. O solenoide do aparelho mantém $1.5\,\mathrm{T}$ uniformes com uma corrente $I = 500\,\mathrm{A}$ .

Quantas vezes o campo da Terra são $1.5\,\mathrm{T}$ ?
Calcule a densidade de espiras $n$ necessária sem núcleo de ferro algum.
Se o enrolamento tivesse resistência $0.20\,\Omega$ , que potência ele dissiparia? Que propriedade do enrolamento real evita isso, ao preço de um frio extremo?
Desfecho: coloque os campos do navio, do guindaste e da ressonância na escada de potências de dez que vai do espaço interestelar ( $10^{-10}\,\mathrm{T}$ ) a uma estrela de nêutrons ( $10^{8}\,\mathrm{T}$ ); o que mudou de uma máquina para a outra — a física ou os ampères?

Solução

Solução de Problema 15.1.

1. A agulha é, ela mesma, um pequeno ímã; o campo da Terra a alinha, com a ponta norte ao longo da componente horizontal de $\vect B$ , ou seja, em direção ao norte magnético.

2. $B = \sqrt{20^2 + 44^2} = \sqrt{2336} \approx 48\,\text{µ}\mathrm{T}$ , inclinado $\tan^{-1}(44/20) \approx 66{}^{\circ}$ abaixo da horizontal.

3. A rota corre $6{}^{\circ}$ a oeste do norte verdadeiro: $30 \times \sin6{}^{\circ} \approx 3.1\,\mathrm{km}$ para oeste.

4. Os erros se somam: $10{}^{\circ}$ , logo $30 \times \sin10{}^{\circ} \approx 5.2\,\mathrm{km}$ — cinco quilômetros para dez graus.

5. A componente horizontal: perto do polo o campo é quase vertical, a parte horizontal encolhe até quase zero e a agulha não tem mais com o que se alinhar.

6. $n = 600/0.30 = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$ .

7. $I = U/R = 12/1.5 = 8.0\,\mathrm{A}$ .

8. $B_0 = \mu_0 n I = 1.26 \times 10^{-6} \times 2000 \times 8.0 \approx 20\,\mathrm{mT}$ .

9. $50 \times 20\,\mathrm{mT} = 1.0\,\mathrm{T}$ — o dobro do campo no polo de um ímã de neodímio, sobre uma face bem maior.

10. $P = UI = 12 \times 8.0 = 96\,\mathrm{W}$ ; em $10\,\mathrm{min}$ : $E = 96 \times 600 \approx 58\,\mathrm{kJ}$ .

11. Porque ele solta: abra a chave, o campo morre e o carro cai exatamente onde se quer. Um ímã permanente agarra para sempre.

12. $F = NILB = 100 \times 3.0 \times 0.040 \times 0.25 = 3.0\,\mathrm{N}$ .

13. Um binário: aplicadas em lados opostos do eixo, as duas forças opostas giram a espira no mesmo sentido. Forças iguais e paralelas só empurrariam a espira de lado, sem fazê-la girar.

14. Nenhuma: um fio paralelo ao campo não sente força de Laplace.

15. Ele inverte a corrente na espira a cada meia volta, exatamente quando o binário mudaria de sinal — de modo que o torque sempre impulsiona a mesma rotação.

16. Dobrar $N$ , ou dobrar $I$ , ou dobrar $B$ : o par de forças $F = NILB$ é proporcional a cada um deles.

17. $1.5 / 5.0 \times 10^{-5} = 3.0 \times 10^{4}$ : trinta mil Terras.

18. $n = B/(\mu_0 I) = 1.5 / (1.26 \times 10^{-6} \times 500) \approx 2.4 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{-1}$ — e cada uma dessas espiras conduz $500\,\mathrm{A}$ .

19. $P = RI^2 = 0.20 \times 500^2 = 50\,\mathrm{kW}$ — o aquecimento de um bairro inteiro. O enrolamento real é supercondutor: resistência nula, dissipação nula, desde que mantido a poucos graus acima do zero absoluto.

20. Bússola $5 \times 10^{-5}$ , guindaste $1$ , ressonância $1.5$ : o navio fica cinco degraus abaixo das duas máquinas, que dividem uma mesma década — entre o $10^{-10}$ interestelar e o $10^{8}$ da estrela de nêutrons. Nada mudou além dos ampères (e das espiras, do ferro e do supercondutor que os multiplicam): um campo, três trabalhos.