Physics · Livro 2 · Grades 10–12

Física do ensino médio

Física do ensino médio · Grades 10–12

14Campos elétrico e gravitacional

Como a Terra puxa uma maçã em que nunca toca? O próprio Newton chamou a ação a distância de “um absurdo tão grande” que se recusou a defendê-la. A resposta moderna: uma massa, ou uma carga, modifica o espaço à sua volta — ela cria um campo — e o que quer que seja colocado ali responde ao campo na sua própria posição. Construímos os dois grandes exemplos lado a lado, até a analogia virar uma identidade de forma.

14.1 Da ação a distância ao campo

Definição 14.1 (Campo)

Um campo atribui um vetor a cada ponto do espaço. Uma fonte (uma carga, uma massa) cria o seu campo em toda a sua volta, haja ou não alguma coisa ali para senti-lo; um objeto de prova sente então uma força determinada apenas pelo campo na sua própria posição. Essa imagem em duas etapas substitui a ação a distância.

Observação 14.2

O campo não é um truque de contabilidade: ele carrega energia, e as mudanças na fonte se propagam para fora através dele com velocidade finita — a própria luz é um campo assim, em propagação (Capítulo 22). Aqui estudamos campos que não variam com o tempo.

14.2 O campo elétrico

Definição 14.3 (Campo elétrico)

Se uma pequena carga de prova qq colocada num ponto MM sente uma força elétrica F→\vect F, o campo elétrico em MM é

E→=F→q(em N/C, tambeˊm escrito V/m).\vect E = \frac{\vect F}{q} \qquad \text{(em $\mathrm{N}/\mathrm{C}$, também escrito $\mathrm{V}/\mathrm{m}$)}.

E→\vect E depende só das fontes e de MM, e não da carga de prova: dobrar qq dobra F→\vect F e deixa o quociente inalterado.

Proposição 14.4 (Força sobre uma carga)

Uma carga qq colocada onde o campo vale E→\vect E sente a força F→=qE→\vect F = q \vect E: no sentido de E→\vect E se q>0q > 0, no sentido oposto se q<0q < 0, de módulo F=∣q∣ EF = \abs{q}\,E.

Demonstração. Basta reorganizar a definição; a regra dos sinais é a álgebra de um múltiplo negativo. ∎

Exemplo 14.5 (Ler um campo)

Uma carga de prova q=2.0×10−8 Cq = 2.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{C} em MM sente uma força de 6.0×10−4 N6.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{N} apontando para leste. O campo em MM vale E=6.0×10−4/2.0×10−8=3.0×104 N/CE = 6.0 \times 10^{-4} / 2.0 \times 10^{-8} = 3.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}, apontando para leste; uma carga q′=−1.0×10−8 Cq' = -1.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{C} colocada no mesmo ponto sente F=1.0×10−8×3.0×104=3.0×10−4 NF = 1.0 \times 10^{-8} \times 3.0 \times 10^{4} = 3.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{N} — apontando para oeste.

Proposição 14.6 (Campo de uma carga pontual)

Uma carga pontual QQ cria, à distância dd, um campo ao longo da reta que une a carga ao ponto — afastando-se de QQ se Q>0Q > 0, aproximando-se dela se Q<0Q < 0 — de módulo

E=k ∣Q∣d2,k=8.99×109 N m2/C2.E = k\,\frac{\abs{Q}}{d^2}, \qquad k = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}.

Demonstração. A lei de Coulomb (Capítulo 13) dá a força sobre uma carga de prova qq à distância dd: módulo k∣qQ∣/d2k \abs{qQ} / d^2, ao longo da reta que as une, repulsiva para sinais iguais. Divida por qq e aplique a Proposição 14.4. ∎

Exemplo 14.7 (Uma esfera carregada)

A esfera de um gerador de Van de Graaff carrega Q=5.0×10−7 CQ = 5.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{C} (uma pequena esfera carregada age como uma carga pontual no seu centro). A d=0.50 md = 0.50\,\mathrm{m}:

E=8.99×109×5.0×10−7/0.502≈1.8×104 N/C,E = 8.99 \times 10^{9} \times 5.0 \times 10^{-7} / 0.50^2 \approx 1.8 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{C},

apontando radialmente para longe da esfera. A 1.0 m1.0\,\mathrm{m} ele caiu para um quarto disso: o 1/d21/d^2 da força sobrevive no campo.

Definição 14.8 (Linhas de campo)

Uma linha de campo é uma curva tangente ao campo em todos os seus pontos, com uma flecha dando o sentido do campo. Três regras:

  • elas saem das cargas positivas e chegam às cargas negativas;
  • onde as linhas se apertam o campo é forte; onde se espalham, é fraco;
  • duas linhas nunca se cruzam: o campo tem um único sentido em cada ponto.
Linhas de campo de uma carga pontual: radialmente para fora do + e para dentro do -; o aperto perto da carga retrata o crescimento em 1/d2 do campo. Linhas de campo de uma carga pontual: radialmente para fora do + e para dentro do -; o aperto perto da carga retrata o crescimento em 1/d2 do campo.
Linhas de campo de uma carga pontual: radialmente para fora do ++ e para dentro do −-; o aperto perto da carga retrata o crescimento em 1/d21/d^2 do campo.

14.3 O campo uniforme de um capacitor

Definição 14.9 (Capacitor de placas paralelas)

Duas placas metálicas paralelas, frente a frente, próximas uma da outra e com cargas opostas, formam um capacitor. Entre as placas o campo é uniforme: mesmo módulo e mesmo sentido em toda parte — perpendicular às placas, da placa positiva para a negativa.

Proposição 14.10 (Campo entre as placas)

Se a tensão entre as placas (Capítulo 12) vale UU e a separação delas é dd, o campo entre elas tem módulo

E=Ud(em V/m).E = \frac{U}{d} \qquad \text{(em $\mathrm{V}/\mathrm{m}$)}.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 14.11

A uniformidade e E=U/dE = U/d são deduzidas com honestidade no volume do primeiro ano de graduação; a fórmula explica a unidade V/m\mathrm{V}/\mathrm{m}. Intervalos finos dão campos fortes: 100 V100\,\mathrm{V} através de um milímetro já são 105 V/m10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}.

Exemplo 14.12 (Desviar um feixe de elétrons)

Num osciloscópio, o feixe passa entre placas com U=100 VU = 100\,\mathrm{V} e d=5.0 mmd = 5.0\,\mathrm{mm}: E=100/5.0×10−3=2.0×104 V/mE = 100 / 5.0 \times 10^{-3} = 2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}, e cada elétron sente F=1.60×10−19×2.0×104=3.2×10−15 NF = 1.60 \times 10^{-19} \times 2.0 \times 10^{4} = 3.2 \times 10^{-15}\,\mathrm{N} em direção à placa positiva — 4×10144 \times 10^{14} vezes o seu peso de 8.9×10−30 N8.9 \times 10^{-30}\,\mathrm{N}, de modo que o feixe se desvia visivelmente (a trajetória curva é assunto do Capítulo 25).

O campo uniforme de um capacitor: linhas paralelas e igualmente espaçadas, da placa + para a placa -, com E = U/d; uma carga positiva é empurrada no sentido do campo, e uma negativa, contra ele.
O campo uniforme de um capacitor: linhas paralelas e igualmente espaçadas, da placa ++ para a placa −-, com E=U/dE = U/d; uma carga positiva é empurrada no sentido do campo, e uma negativa, contra ele.

14.4 O campo gravitacional

Definição 14.13 (Campo gravitacional)

Se uma massa de prova mm colocada num ponto sente uma força gravitacional (um peso) P→\vect P, o campo gravitacional ali é

g→=P→m(em N/kg),\vect g = \frac{\vect P}{m} \qquad \text{(em $\mathrm{N}/\mathrm{kg}$)},

e, reciprocamente, P→=mg→\vect P = m \vect g. Um capítulo anterior introduziu o número gg; g→\vect g acrescenta a direção em que uma pedra solta começa a se mover.

Proposição 14.14 (Campo da Terra)

À distância dd do centro da Terra (de massa MM), o campo gravitacional aponta para o centro e tem módulo

g=G Md2,G=6.67×10−11 N m2/kg2.g = G\,\frac{M}{d^2}, \qquad G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}.

Demonstração. A gravitação universal (Capítulo 4) dá a força sobre uma massa de prova mm: módulo GMm/d2G M m / d^2, em direção ao centro; divida por mm. Na superfície, d=Rd = R e isso é o g=GM/R2≈9.81 N/kgg = GM/R^2 \approx 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg} do capítulo anterior. ∎

Exemplo 14.15 (O campo onde a Lua vive)

À distância da Lua, d=3.84×108 md = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}:

g=6.67×10−11×5.97×1024/(3.84×108)2≈2.7×10−3 N/kg.g = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} / (3.84 \times 10^{8})^2 \approx 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}.

O campo da Terra nunca acaba — ele apenas rarefaz como 1/d21/d^2; é esse campo que mantém a Lua na sua órbita.

Observação 14.16 (Uniforme perto da superfície)

Ao longo de um laboratório, ou mesmo de uma montanha, dd quase não muda em comparação com R=6.37×106 mR = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}, de modo que g→\vect g é uniforme com grande precisão: linhas verticais, 9.81 N/kg9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg} constantes — o campo da Terra parece o do capacitor, assim como a Terra redonda parece plana vista de um jardim.

O campo gravitacional da Terra: radial, apontando para o centro, de módulo GM/d2 — o retrato exato do campo de uma carga pontual negativa.
O campo gravitacional da Terra: radial, apontando para o centro, de módulo GM/d2GM/d^2 — o retrato exato do campo de uma carga pontual negativa.

14.5 Uma ideia, duas forças

Os dois campos deste capítulo são a mesma matemática em dois trajes:

elétricogravitacional
fontecarga QQmassa MM
campoE→=F→/q\vect E = \vect F / qg→=P→/m\vect g = \vect P / m
unidadeN/C\mathrm{N}/\mathrm{C} = V/m\mathrm{V}/\mathrm{m}N/kg\mathrm{N}/\mathrm{kg}
fonte pontualE=k∣Q∣/d2E = k \abs{Q} / d^2g=GM/d2g = G M / d^2
constantek=8.99×109 N m2/C2k = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}G=6.67×10−11 N m2/kg2G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}
força sobre a provaF→=qE→\vect F = q \vect EP→=mg→\vect P = m \vect g
linhas de camposaem do ++, entram no −-sempre entram na massa

Toda fórmula da esquerda vira a da direita sob o dicionário q↔mq \leftrightarrow m, E→↔g→\vect E \leftrightarrow \vect g, k↔Gk \leftrightarrow G.

Observação 14.17 (Onde a analogia se rompe)

A carga vem em dois sinais; a massa, em um só. Por isso os campos elétricos podem ser cancelados: as cargas rearranjadas de uma caixa metálica apagam qualquer campo externo dentro dela (uma gaiola de Faraday — é por isso que um elevador mata o sinal do seu celular), e a matéria em bloco, com ++ e −- equilibrados, é eletricamente silenciosa. A gravidade não pode ser blindada nem neutralizada: cada quilograma acrescenta o seu puxão — e é por isso que a força mais fraca por 103910^{39} (Exercício 14.10) comanda o universo em grande escala.

14.6 Exercícios

Exercício 14.1 ★

Uma carga de prova q=2.0×10−6 Cq = 2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C} num ponto MM sente uma força de 5.0×10−3 N5.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{N} apontando para o norte. Dê o campo em MM (módulo e direção) e depois a força sobre q′=−4.0×10−6 Cq' = -4.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C} colocada em MM.

Solução

Solução de Exercício 14.1.

E=5.0×10−3/2.0×10−6=2.5×103 N/CE = 5.0 \times 10^{-3} / 2.0 \times 10^{-6} = 2.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}, apontando para o norte. Sobre q′q': F=4.0×10−6×2.5×103=1.0×10−2 NF = 4.0 \times 10^{-6} \times 2.5 \times 10^{3} = 1.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{N}, apontando para o sul (q′<0q' < 0).

Exercício 14.2 ★

Uma carga pontual Q=5.0 nCQ = 5.0\,\mathrm{nC} está em OO.

  1. Calcule o campo a d=30 cmd = 30\,\mathrm{cm}: módulo e direção.
  2. A que distância o campo tem metade dessa intensidade?
Solução

Solução de Exercício 14.2.

1. E=8.99×109×5.0×10−9/0.302≈5.0×102 N/CE = 8.99 \times 10^{9} \times 5.0 \times 10^{-9} / 0.30^2 \approx 5.0 \times 10^{2}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}, apontando para longe de OO (Q>0Q > 0).

2. Reduzir k∣Q∣/d2k\abs{Q}/d^2 à metade exige d2d^2 dobrado: d′=0.302≈0.42 md' = 0.30\sqrt{2} \approx 0.42\,\mathrm{m}.

Exercício 14.3 ★

Um capacitor tem U=600 VU = 600\,\mathrm{V} entre placas separadas por 3.0 mm3.0\,\mathrm{mm}. Calcule o campo e depois a força sobre um elétron ali (e=1.60×10−19 Ce = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}).

Solução

Solução de Exercício 14.3.

E=600/3.0×10−3=2.0×105 V/mE = 600 / 3.0 \times 10^{-3} = 2.0 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}; F=eE=1.60×10−19×2.0×105=3.2×10−14 NF = eE = 1.60 \times 10^{-19} \times 2.0 \times 10^{5} = 3.2 \times 10^{-14}\,\mathrm{N}.

Exercício 14.4 ★

Em Marte, uma sonda de 250 kg250\,\mathrm{kg} pesa 930 N930\,\mathrm{N}. Calcule o campo na superfície marciana gMarteg_{\text{Marte}} e depois o peso de um astronauta de 80 kg80\,\mathrm{kg} lá.

Solução

Solução de Exercício 14.4.

gMarte=P/m=930/250=3.7 N/kgg_{\text{Marte}} = P/m = 930/250 = 3.7\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}. Astronauta: P=80×3.72≈3.0×102 NP = 80 \times 3.72 \approx 3.0 \times 10^{2}\,\mathrm{N} (cerca de 780 N780\,\mathrm{N} na Terra).

Exercício 14.5 ★

Verdadeiro ou falso, com uma razão para cada: (a) duas linhas de campo podem se cruzar onde o campo é forte; (b) as linhas de campo saem das cargas negativas e chegam às positivas; (c) linhas de campo agrupadas indicam campo forte.

Solução

Solução de Exercício 14.5.

(a) Falso: o campo tem um único sentido em cada ponto, de modo que as linhas nunca se cruzam. (b) Falso: elas saem do ++ e chegam ao −-. (c) Verdadeiro: o aperto codifica a intensidade.

Exercício 14.6 ★★

A Estação Espacial Internacional orbita a uma altitude de 420 km420\,\mathrm{km} (R=6.37×106 mR = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}, M=5.97×1024 kgM = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}).

  1. Calcule gg na estação; que fração do valor na superfície?
  2. Os astronautas flutuam. Concilie isso com a sua resposta em uma frase.
Solução

Solução de Exercício 14.6.

1. d=6.37×106+4.2×105=6.79×106 md = 6.37 \times 10^{6} + 4.2 \times 10^{5} = 6.79 \times 10^{6}\,\mathrm{m}, logo g=6.67×10−11×5.97×1024/(6.79×106)2≈8.6 N/kgg = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} / (6.79 \times 10^{6})^2 \approx 8.6\,\mathrm{N}/\mathrm{kg} — 88%88\% do valor na superfície.

2. Eles flutuam porque estação e astronauta caem juntos (queda livre), e não porque a gravidade esteja ausente.

Exercício 14.7 ★★

Que módulo de campo equilibraria o peso de um elétron (me=9.11×10−31 kgm_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg})? Compare com os 2.0×104 V/m2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m} do Exemplo 14.12; conclua sobre o lugar da gravidade na física do elétron.

Solução

Solução de Exercício 14.7.

E=meg/e=9.11×10−31×9.81/1.60×10−19≈5.6×10−11 V/mE = m_e g / e = 9.11 \times 10^{-31} \times 9.81 / 1.60 \times 10^{-19} \approx 5.6 \times 10^{-11}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}: uns 4×10144 \times 10^{14} vezes mais fraco do que o campo do osciloscópio. A gravidade é absolutamente desprezível na física do elétron.

Exercício 14.8 ★★

Um grão de poeira de massa 2.0×10−6 kg2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{kg} flutua em repouso entre placas horizontais separadas por 2.0 cm2.0\,\mathrm{cm} com U=5.0 kVU = 5.0\,\mathrm{kV} entre elas.

  1. Calcule o campo e depois o módulo da carga do grão.
  2. A carga do grão é positiva: qual das placas é a positiva?
  3. Quantas cargas elementares o grão carrega?
Solução

Solução de Exercício 14.8.

1. E=5.0×103/2.0×10−2=2.5×105 V/mE = 5.0 \times 10^{3} / 2.0 \times 10^{-2} = 2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}; em repouso qE=mgqE = mg, logo q=2.0×10−6×9.81/2.5×105≈7.8×10−11 Cq = 2.0 \times 10^{-6} \times 9.81 / 2.5 \times 10^{5} \approx 7.8 \times 10^{-11}\,\mathrm{C}.

2. A força sobre o grão positivo tem de apontar para cima, de modo que E→\vect E aponta para cima: a placa de baixo é a positiva.

3. n=7.85×10−11/1.60×10−19≈4.9×108n = 7.85 \times 10^{-11} / 1.60 \times 10^{-19} \approx 4.9 \times 10^{8} cargas elementares.

Exercício 14.9 ★★

As cargas +Q+Q e +4Q+4Q estão a 30 cm30\,\mathrm{cm} uma da outra. Em que ponto do segmento que as une o campo total é nulo? Explique primeiro por que esse ponto tem de estar entre as cargas e mais perto da menor.

Solução

Solução de Exercício 14.9.

Fora do segmento os dois campos apontam no mesmo sentido; entre elas, se opõem — e o equilíbrio exige o ponto mais perto da fonte mais fraca, +Q+Q. Com xx sendo a distância até +Q+Q: kQ/x2=4kQ/(0.30−x)2kQ/x^2 = 4kQ/(0.30 - x)^2, logo 0.30−x=2x0.30 - x = 2x e x=0.10 mx = 0.10\,\mathrm{m} a partir de +Q+Q.

Exercício 14.10 ★★

Num átomo de hidrogênio, o próton (mp=1.67×10−27 kgm_p = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}, carga +e+e) e o elétron (me=9.11×10−31 kgm_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}, carga −e-e) estão a d=5.3×10−11 md = 5.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}. Calcule as forças elétrica e gravitacional entre eles e a razão entre elas.

Solução

Solução de Exercício 14.10.

Fe=ke2/d2=8.99×109×(1.60×10−19)2/(5.3×10−11)2≈8.2×10−8 NF_e = ke^2/d^2 = 8.99 \times 10^{9} \times (1.60 \times 10^{-19})^2 / (5.3 \times 10^{-11})^2 \approx 8.2 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}; Fg=Gmpme/d2=6.67×10−11×1.67×10−27×9.11×10−31/(5.3×10−11)2≈3.6×10−47 NF_g = G m_p m_e / d^2 = 6.67 \times 10^{-11} \times 1.67 \times 10^{-27} \times 9.11 \times 10^{-31} / (5.3 \times 10^{-11})^2 \approx 3.6 \times 10^{-47}\,\mathrm{N}. Razão Fe/Fg≈2.3×1039F_e / F_g \approx 2.3 \times 10^{39}.

Exercício 14.11 ★★

Num ponto MM, uma fonte sozinha criaria um campo de 300 N/C300\,\mathrm{N}/\mathrm{C} apontando para leste; uma segunda, de 400 N/C400\,\mathrm{N}/\mathrm{C} apontando para o norte. Os campos se somam como vetores: dê o campo total em MM (módulo e direção) e depois a força sobre q=−2.0×10−6 Cq = -2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C} colocada ali.

Solução

Solução de Exercício 14.11.

E=3002+4002=500 N/CE = \sqrt{300^2 + 400^2} = 500\,\mathrm{N}/\mathrm{C}, a tan⁡−1(400/300)≈53∘\tan^{-1}(400/300) \approx 53{}^{\circ} do leste em direção ao norte. Sobre q<0q < 0: F=2.0×10−6×500=1.0×10−3 NF = 2.0 \times 10^{-6} \times 500 = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}, no sentido oposto ao do campo — a 53∘53{}^{\circ} do oeste em direção ao sul.

Exercício 14.12 ★★★

A que altitude o campo da Terra caiu à metade do seu valor na superfície? E na altitude h=Rh = R, a que fração?

Solução

Solução de Exercício 14.12.

GM/(R+h)2=12 GM/R2GM/(R+h)^2 = \tfrac12\,GM/R^2 dá R+h=R2R + h = R\sqrt{2}, logo h=(2−1)R≈2.6×106 mh = (\sqrt{2} - 1)R \approx 2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m} (cerca de 2600 km2600\,\mathrm{km}). Em h=Rh = R, temos d=2Rd = 2R: um quarto do valor na superfície.

Exercício 14.13 ★★★

Cargas de 2.0 nC2.0\,\mathrm{nC} estão em AA e BB, a 6.0 cm6.0\,\mathrm{cm} uma da outra. MM está na mediatriz de [AB][AB], a 4.0 cm4.0\,\mathrm{cm} do ponto médio.

  1. Calcule a distância AMAM e depois o módulo do campo que cada carga cria em MM.
  2. Some os dois campos como vetores (use a simetria) e dê o campo total em MM, com módulo e direção.
Solução

Solução de Exercício 14.13.

1. AM=3.02+4.02=5.0 cmAM = \sqrt{3.0^2 + 4.0^2} = 5.0\,\mathrm{cm}; cada carga cria E1=8.99×109×2.0×10−9/0.0502≈7.2×103 N/CE_1 = 8.99 \times 10^{9} \times 2.0 \times 10^{-9} / 0.050^2 \approx 7.2 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}.

2. As componentes ao longo de ABAB se cancelam por simetria; cada campo contribui com E1×4/5E_1 \times 4/5 ao longo da mediatriz, afastando-se do segmento: E=2×7.19×103×0.80≈1.2×104 N/CE = 2 \times 7.19 \times 10^{3} \times 0.80 \approx 1.2 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}, dirigido ao longo da mediatriz, para longe de [AB][AB].

Exercício 14.14 ★★★

Explique, usando os dois sinais de carga, como as cargas livres de uma caixa metálica cancelam um campo elétrico externo em toda parte dentro dela — e por que arranjo algum de massas consegue fazer o mesmo com a gravidade. Que ingrediente impossível um escudo de gravidade exigiria?

Solução

Solução de Exercício 14.14.

As cargas livres da caixa se movem sob o campo externo: o ++ se acumula numa face e o −- na outra, e essas cargas deslocadas criam um campo interno que se opõe ao externo. Elas continuam se movendo até que o campo total no interior seja exatamente nulo — e então há equilíbrio. A gravidade oferece um único sinal de fonte: toda massa acrescenta um campo atrativo, e nenhuma consegue se opor a ele. Um escudo de gravidade precisaria de massa negativa, que não existe.

Exercício 14.15 ★★★

Uma bolinha (m=0.50 gm = 0.50\,\mathrm{g}, q=2.0×10−7 Cq = 2.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{C}) pende de um fio num campo uniforme horizontal E=1.0×104 V/mE = 1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}. Em repouso, o fio faz um ângulo θ\theta com a vertical.

  1. Liste as três forças; explique por que tan⁡θ=qE/(mg)\tan\theta = qE / (mg).
  2. Calcule θ\theta e depois a tensão do fio.
Solução

Solução de Exercício 14.15.

1. Peso mg→m\vect g (para baixo), tensão T→\vect T (ao longo do fio) e força elétrica qE→q\vect E (horizontal). Em repouso, Tsin⁡θ=qET\sin\theta = qE e Tcos⁡θ=mgT\cos\theta = mg; dividindo: tan⁡θ=qE/(mg)\tan\theta = qE/(mg).

2. tan⁡θ=2.0×10−7×1.0×104/(5.0×10−4×9.81)≈0.41\tan\theta = 2.0 \times 10^{-7} \times 1.0 \times 10^{4} / (5.0 \times 10^{-4} \times 9.81) \approx 0.41, logo θ≈22∘\theta \approx 22{}^{\circ}; T=mg/cos⁡θ≈5.3×10−3 NT = mg/\cos\theta \approx 5.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}.

14.7 Problema: a gotícula de Millikan

Problema 14.1

Problema de fim de semana — pesar a carga do elétron: uma gotícula de óleo estacionada no ar entre duas placas revela que a carga vem em degraus indivisíveis de 1.60×10−191.60 \times 10^{-19} coulomb

Em 1909, Robert Millikan pulverizou gotículas de óleo entre as placas horizontais de um capacitor. Ajustando a tensão até que uma gotícula escolhida ficasse imóvel — com a força elétrica equilibrando exatamente o peso —, ele conseguia pesar a carga dela. A nossa gotícula tem massa m=4.90×10−15 kgm = 4.90 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg} (medida a partir da sua queda lenta com o campo desligado; tomamos esse valor como dado); as placas estão a d=8.0 mmd = 8.0\,\mathrm{mm} uma da outra, com a placa de cima positiva; a carga da gotícula é negativa.

Parte I — O cenário.

  1. Descreva o campo entre as placas; o que “uniforme” garante?
  2. Para U=800 VU = 800\,\mathrm{V}, calcule EE.
  3. Em que sentido aponta a força elétrica sobre a gotícula? Por que a placa de cima tinha de ser a positiva?
  4. Calcule o peso da gotícula.
  5. Escreva a condição de repouso como uma igualdade entre dois módulos de força.

Parte II — O equilíbrio.

  1. A partir dela, exprima ∣q∣\abs{q} em função de mm, gg, dd e UU.
  2. A gotícula fica em repouso para U=800 VU = 800\,\mathrm{V}: calcule ∣q∣\abs{q}.
  3. Divida por e=1.60×10−19 Ce = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}. Quantos elétrons em excesso a gotícula carrega?
  4. A tensão é ligeiramente elevada até 900 V900\,\mathrm{V}. Em que sentido aponta agora a força resultante?
  5. Mostre que a tensão de equilíbrio vale U=mgd/∣q∣U = mgd/\abs{q}: quanto maior a carga, menor a tensão.

Parte III — Os degraus. Um pulso de radiação pode arrancar elétrons da gotícula ou depositá-los nela; depois de cada mudança, Millikan reajusta a tensão para reequilibrá-la.

  1. Depois de um pulso, o equilíbrio exige U=1200 VU = 1200\,\mathrm{V}. Calcule o novo ∣q∣\abs{q}. A gotícula ganhou ou perdeu um elétron?
  2. Equilíbrios sucessivos são encontrados em U=1200U = 1200, 800800, 600600, 480480 e 400 V400\,\mathrm{V}. Calcule as cinco cargas.
  3. Mostre que as cinco são múltiplos inteiros de uma mesma quantidade; dê o valor dela.
  4. Entre equilíbrios consecutivos, de quanto a carga muda? Interprete.
  5. Explique por que essa gotícula jamais consegue ficar em repouso com U=700 VU = 700\,\mathrm{V}, por mais paciência que se tenha no ajuste.
  6. Millikan repetiu isso com centenas de gotículas: toda carga medida era múltiplo inteiro do mesmo valor. Enuncie a conclusão e nomeie a grandeza medida.

Parte IV — Por que não existe um Millikan gravitacional.

  1. No dicionário deste capítulo, o que faz o papel de qq, de EE e de qEqE no equilíbrio da Parte II?
  2. Uma massa colocada acima poderia sustentar a gotícula? Calcule o campo de uma esfera de chumbo de 1000 kg1000\,\mathrm{kg} a 1.0 m1.0\,\mathrm{m} acima da gotícula, a força sobre a gotícula e compare com o peso dela.
  3. O equilíbrio precisa de um puxão para cima forte o bastante para enfrentar a Terra inteira. Por que uma placa carregada consegue fornecê-lo e arranjo algum de massas consegue?
  4. A massa da gotícula também muda em degraus (uma molécula de óleo: cerca de 5×10−25 kg5 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}). Compare os saltos relativos em mm e em ∣q∣\abs{q} quando um elétron pousa nela e conclua: por que esse equilíbrio enxerga os átomos da eletricidade, mas não as moléculas do óleo? Desfecho: a carga é quantizada, e o átomo dela é e=1.60×10−19 Ce = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}.
Solução

Solução de Problema 14.1.

1. Uniforme, perpendicular às placas, apontando para baixo (da placa ++ de cima para a −- de baixo); a uniformidade garante que a força sobre a gotícula é a mesma para onde quer que ela derive. 2. E=U/d=800/8.0×10−3=1.0×105 V/mE = U/d = 800 / 8.0 \times 10^{-3} = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}. 3. A carga é negativa, de modo que a força é oposta a E→\vect E: para cima. Só com a placa ++ em cima é que E→\vect E aponta para baixo e a força elétrica enfrenta o peso. 4. P=mg=4.90×10−15×9.81≈4.8×10−14 NP = mg = 4.90 \times 10^{-15} \times 9.81 \approx 4.8 \times 10^{-14}\,\mathrm{N}. 5. ∣q∣E=mg\abs{q}E = mg. 6. ∣q∣=mg/E=mgd/U\abs{q} = mg/E = mgd/U. 7. ∣q∣=4.81×10−14×8.0×10−3/800≈4.8×10−19 C\abs{q} = 4.81 \times 10^{-14} \times 8.0 \times 10^{-3} / 800 \approx 4.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}. 8. n=4.8×10−19/1.60×10−19=3n = 4.8 \times 10^{-19} / 1.60 \times 10^{-19} = 3 elétrons em excesso. 9. EE cresce, de modo que ∣q∣E>mg\abs{q}E > mg: a força resultante aponta para cima. 10. De ∣q∣ U/d=mg\abs{q}\,U/d = mg vem U=mgd/∣q∣U = mgd/\abs{q} — inversamente proporcional à carga. 11. ∣q∣=mgd/U=3.85×10−16/1200≈3.2×10−19 C=2e\abs{q} = mgd/U = 3.85 \times 10^{-16}/1200 \approx 3.2 \times 10^{-19}\,\mathrm{C} = 2e: de 3e3e para baixo, a gotícula perdeu um elétron. 12. ∣q∣=3.85×10−16/U\abs{q} = 3.85 \times 10^{-16}/U: 3.2×10−19 C3.2 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}, 4.8×10−19 C4.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}, 6.4×10−19 C6.4 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}, 8.0×10−19 C8.0 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}, 9.6×10−19 C9.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}. 13. Elas são 2e,3e,4e,5e,6e2e, 3e, 4e, 5e, 6e com e=1.60×10−19 Ce = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}. 14. Cada degrau muda ∣q∣\abs{q} em exatamente 1.6×10−19 C1.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}: um elétron pousa de cada vez. 15. Isso exigiria ∣q∣=3.85×10−16/700≈5.5×10−19 C=3.4 e\abs{q} = 3.85 \times 10^{-16}/700 \approx 5.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{C} = 3.4\,e — que não é um número inteiro de elétrons, de modo que pulso de radiação algum consegue produzi-lo. 16. A carga é quantizada: ela vem em múltiplos inteiros da carga elementar e=1.60×10−19 Ce = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C} — a grandeza que Millikan mediu. 17. q↔mq \leftrightarrow m, E↔gE \leftrightarrow g e ∣q∣E↔mg\abs{q}E \leftrightarrow mg: o próprio peso. 18. gesfera=GM/d2=6.67×10−11×1000/1.02=6.7×10−8 N/kgg_{\text{esfera}} = GM/d^2 = 6.67 \times 10^{-11} \times 1000 / 1.0^2 = 6.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}; força sobre a gotícula 4.90×10−15×6.7×10−8≈3.3×10−22 N4.90 \times 10^{-15} \times 6.7 \times 10^{-8} \approx 3.3 \times 10^{-22}\,\mathrm{N} — cerca de 1.5×1081.5 \times 10^{8} vezes menor do que o peso dela. Sem chance. 19. Como GG é minúsculo, só uma massa do tamanho de um planeta colocada acima rivalizaria com o puxão da Terra — e massa alguma repele. Já o enorme kk e os dois sinais de carga permitem que uma placa de bancada supere o planeta, em qualquer dos dois sentidos. 20. Um elétron: Δ∣q∣/∣q∣=e/3e≈33%\Delta\abs{q}/\abs{q} = e/3e \approx 33\%; uma molécula de óleo: Δm/m=5×10−25/4.90×10−15≈10−10\Delta m/m = 5 \times 10^{-25} / 4.90 \times 10^{-15} \approx 10^{-10}. A escada de carga desloca a tensão de equilíbrio em centenas de volts; a escada de massa é invisível em qualquer tensão. O equilíbrio, portanto, resolve o átomo da eletricidade — e=1.60×10−19 Ce = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C} — enquanto as moléculas de óleo se diluem num contínuo.