Física do ensino médio · Grades 10–12

27Satélites e movimento dos planetas

A antena parabólica da varanda está parafusada, e ainda assim passa o dia inteiro encarando um ponto fixo do céu, a $36\,000\,\mathrm{km}$ de altura; a estação espacial cruza o céu do anoitecer em minutos; uma constelação de relógios voadores diz ao seu celular onde você está. Nenhuma dessas máquinas tem motor ligado: todas estão simplesmente caindo. Este capítulo calcula com que velocidade e a que altura cada uma precisa cair — e depois pesa planetas com a mesma lei.

27.1 Cair em volta da Terra

Tudo repousa sobre a lei medida antes (Capítulo 4): a Terra, de massa $M$ , puxa um satélite de massa $m$ cujo centro está à distância $r$ do dela com uma força dirigida ao centro da Terra, de módulo

F = G\,\frac{m M}{r^2}, \qquad G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}.

Atenção ao que é $r$ : a distância entre os centros. Um satélite à altitude $h$ tem $r = R + h$ , com $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ o raio da Terra — esquecer o $R$ é a mancada clássica deste capítulo.

Observação 27.1 (O canhão de Newton, revisitado)

Disparada horizontalmente, uma bala de canhão cai no chão; mais rápida, cai mais longe; na velocidade certa, o solo se afasta em curva exatamente tão depressa quanto a bala cai, e a queda se fecha sobre si mesma: uma órbita. Um satélite não precisa de motor — apenas da velocidade lateral certa.

O canhão de Newton: disparada cada vez mais rápido, a bala cai mais longe (laranja); a cerca de 7.9\, km/ s a queda dela acompanha a curvatura da Terra e ela entra em órbita (azul); mais rápida ainda, ela escapa (vermelho). — O canhão de Newton: disparada cada vez mais rápido, a bala cai mais longe (laranja); a cerca de $7.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ a queda dela acompanha a curvatura da Terra e ela entra em órbita (azul); mais rápida ainda, ela escapa (vermelho).

27.2 A órbita circular: uma velocidade, um período

Teorema 27.2 (Velocidade orbital)

Um satélite em órbita circular uniforme de raio $r$ em torno de um corpo de massa $M$ viaja com a velocidade escalar

v = \sqrt{\frac{G M}{r}},

que não depende da massa do satélite.

Demonstração. A gravidade é a única força, de modo que a segunda lei de Newton (Teorema 25.5) diz $m\vect a = \vect F$ ; projete-a na base de Frenet (Definição 24.13). A força aponta para o centro: a componente tangencial dela é nula, logo a velocidade escalar é constante; a componente normal é todo o $GmM/r^2$ , e o movimento circular tem $a_n = v^2/r$ (Teorema 24.12). Portanto $m v^2/r = GmM/r^2$ e — dividindo por $m$ — $v^2 = GM/r$ . ∎

Todo o mecanismo de uma órbita: velocidade tangente, força em direção ao centro — a gravidade nunca freia o satélite, ela apenas entorta o caminho dele, para sempre.

Proposição 27.3 (Período orbital)

O satélite completa a órbita dele no período

T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}}.

Demonstração. Uma volta é a circunferência $2\pi r$ com velocidade escalar constante; insira $v = \sqrt{GM/r}$ : $T = 2\pi r\sqrt{r/(GM)} = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$ . ∎

Nem $v$ nem $T$ contêm $m$ : um parafuso que se solte da estação espacial orbita bem ao lado dela. E os dois caem com $r$ : quanto mais alta a órbita, mais lento o satélite, em velocidade ( $v \propto 1/\sqrt r$ ) e em ângulo ( $T \propto r^{3/2}$ ).

Exemplo 27.4 (A estação espacial)

A Estação Espacial Internacional voa à altitude $h \approx 400\,\mathrm{km}$ , logo $r = 6.37 \times 10^{6} + 4.0 \times 10^{5} = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ; com $GM = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} = 3.98 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ , $v = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.77 \times 10^{6}} \approx 7.7 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e $T = 2\pi r/v \approx 5.5 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 92\,\mathrm{min}$ : uma volta no planeta a cada hora e meia, cerca de dezesseis nasceres do Sol por dia para os astronautas.

Exemplo 27.5 (A Lua cai como a maçã)

A Lua, a $r = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ , orbita em $T = 27.3\,\mathrm{d} = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ , logo $v = 2\pi r/T \approx 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e $a = v^2/r \approx 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — exatamente $g/60^2$ , e a Lua está a $60$ raios terrestres de distância: o puxão que derruba a maçã entorta a Lua, enfraquecido pelo inverso do quadrado. A cada segundo a Lua “cai” cerca de $1.4\,\mathrm{mm}$ em nossa direção, e o quilômetro lateral dela a leva em volta — a conferência que Newton fez em 1666.

27.3 As leis de Kepler

Newton não chutou o inverso do quadrado: ele o extraiu de três regularidades que Johannes Kepler destilou, entre 1609 e 1619, dos vinte anos de posições planetárias a olho nu de Tycho Brahe — os melhores dados do mundo pré-telescópio.

Definição 27.6 (Elipse)

Uma elipse é o conjunto dos pontos cujas distâncias a dois pontos fixos, os focos, têm soma constante; a metade do maior diâmetro dela é o semieixo maior $a$ , e o círculo é o caso em que os focos se fundem. Os pontos da órbita de um planeta mais próximo e mais distante do Sol são o periélio e o afélio dela.

Teorema 27.7 (Leis de Kepler)

Para os planetas que orbitam o Sol (massa $M$ ):

cada órbita é uma elipse com o Sol em um dos focos;
o segmento Sol–planeta varre áreas iguais em tempos iguais;
a razão entre o quadrado do período e o cubo do semieixo maior é a mesma para todos os planetas: $T^2/a^3 = 4\pi^2/(G M)$ .

As mesmas leis governam qualquer família de satélites em torno de qualquer corpo central, com $M$ a massa central.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 27.8 (O que podemos demonstrar este ano)

Para uma órbita circular a terceira lei é nossa: elevar ao quadrado a Proposição 27.3 dá $T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM)$ — uma constante para todo satélite do mesmo centro. Que as elipses, as áreas iguais e o $a$ geral decorrem do inverso do quadrado é mostrado, com mais cálculo, no volume do primeiro ano de graduação. Enquanto isso, a segunda lei pode ser lida: o planeta anda mais depressa no periélio, onde o segmento curto que varre precisa se apressar.

A segunda lei de Kepler: em um mês perto do periélio P o planeta varre um setor curto e gordo; perto do afélio A, um setor longo e fino — áreas iguais: ele se apressa quando está perto e se arrasta quando está longe. — A segunda lei de Kepler: em um mês perto do periélio $P$ o planeta varre um setor curto e gordo; perto do afélio $A$ , um setor longo e fino — áreas iguais: ele se apressa quando está perto e se arrasta quando está longe.

Os oito planetas em eixos log–log: uma reta de inclinação 3/2, ou seja, T2 a3 — a terceira lei de Kepler, que nessas unidades (unidades astronômicas, anos) se lê simplesmente T2 = a3. — Os oito planetas em eixos log–log: uma reta de inclinação $3/2$ , ou seja, $T^2 \propto a^3$ — a terceira lei de Kepler, que nessas unidades (unidades astronômicas, anos) se lê simplesmente $T^2 = a^3$ .

27.4 Órbitas em serviço

Definição 27.9 (Órbita geoestacionária)

Um satélite é geoestacionário quando fica pendurado sobre um ponto fixo do solo. A órbita dele precisa ser circular, equatorial e de período igual a um dia sideral, $T = 86\,164\,\mathrm{s}$ ( $23\,\mathrm{h}$ $56\,\mathrm{min}$ $4\,\mathrm{s}$ ): o tempo que a Terra leva para dar uma volta em relação às estrelas. (O dia de $24\,\mathrm{h}$ é em relação ao Sol, em direção ao qual a Terra também avança um grau por dia.)

Exemplo 27.10 (A altitude geoestacionária)

A terceira lei de Kepler, lida ao contrário, dita o raio: $r = \left(GMT^2/4\pi^2\right)^{1/3} = \left(3.98 \times 10^{14} \times (86\,164)^2/4\pi^2\right)^{1/3} \approx 4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ — uma altitude $h = r - R \approx 3.58 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx 35\,800\,\mathrm{km}$ , percorrida a $v = 2\pi r/T \approx 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Todo repetidor que “fica parado” está sobre esse único círculo acima do equador — não existe outro.

Exemplo 27.11 (A constelação de navegação)

Os sistemas de navegação por satélite voam com uns trinta satélites a $r \approx 2.66 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ (altitude $\approx 20\,200\,\mathrm{km}$ ), onde a Proposição 27.3 dá $T \approx 4.32 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ : meio dia sideral, de modo que cada satélite refaz o traço no solo dele diariamente. O seu receptor compara os tempos de chegada dos sinais dos relógios deles contra órbitas conhecidas com precisão de metros.

Método 27.12 (Pesar um mundo pelo satélite dele)

Para medir a massa de um planeta ou de uma estrela: encontre um satélite qualquer dele (uma lua, uma sonda, um planeta), meça o raio $r$ e o período $T$ da órbita dele e inverta a terceira lei:

M = \frac{4\pi^2 r^3}{G\,T^2}.

Isso pesa apenas o corpo central — a massa do satélite se cancelou na Teorema 27.2. Toda massa da ficha de dados veio assim: a da Terra, pela Lua; a do Sol, pela própria órbita da Terra.

Observação 27.13 (Mais alto é mais lento — mas custa mais)

Como $v = \sqrt{GM/r}$ , a Lua se arrasta a $1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ enquanto a estação corre a $7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . E, ainda assim, a órbita mais alta é a mais cara: subir contra a gravidade armazena energia potencial (a conta é acertada no Capítulo 29), e o ganho em $E_p$ supera a perda em $E_k$ . Por isso um foguete queima para a frente para alcançar uma órbita mais alta e mais lenta — e um satélite freado pelo ar rarefeito espirala para baixo e ganha velocidade.

Observação 27.14 (Ficha de dados)

Salvo indicação em contrário: $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ ; Terra: $M = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ , $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , dia sideral $86\,164\,\mathrm{s}$ ; órbita da Lua: $r = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ , $T = 27.3\,\mathrm{d}$ ; Sol: $M = 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ ; distância Terra–Sol $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ ; um ano $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ ; Marte: $M = 6.42 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$ , $R = 3.39 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ .

27.5 Exercícios

Exercício 27.1 ★

Um satélite de $1000\,\mathrm{kg}$ está na plataforma de lançamento e depois voa à altitude de $400\,\mathrm{km}$ . Calcule o puxão da Terra nos dois lugares: que porcentagem sobrevive lá em cima — e por que os ocupantes flutuam?

Solução

Solução de Exercício 27.1.

Na plataforma: $F = GMm/R^2 = 3.98 \times 10^{17}/4.06 \times 10^{13} \approx 9.8 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ . A $r = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ : $F \approx 8.7 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — ainda $89\%$ do valor no solo. Os ocupantes flutuam porque caem junto com a estação, e não porque a gravidade sumiu.

Exercício 27.2 ★

Para um satélite (teórico) rasante à superfície da Terra ( $r = R$ ), calcule a velocidade orbital e o período. Compare com a bala de canhão de Newton (Observação 27.1).

Solução

Solução de Exercício 27.2.

$v = \sqrt{GM/R} = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.37 \times 10^{6}} \approx 7.9 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $T = 2\pi R/v \approx 5.1 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 84\,\mathrm{min}$ . Exatamente os $7.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ da bala de canhão: uma órbita rasante é o tiro de Newton.

Exercício 27.3 ★

Um satélite é levado de uma órbita circular de raio $r$ para outra de raio $2r$ . Por que fator mudam a velocidade e o período dele? As respostas dependem da massa dele?

Solução

Solução de Exercício 27.3.

$v \propto 1/\sqrt{r}$ : dividida por $\sqrt 2 \approx 1.41$ . $T \propto r^{3/2}$ : multiplicado por $2^{3/2} \approx 2.8$ . Nenhum dos dois contém $m$ : não.

Exercício 27.4 ★

Refaça os números da estação: a partir de $r = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , calcule $v$ , $T$ e o número de órbitas completadas em $24\,\mathrm{h}$ .

Solução

Solução de Exercício 27.4.

$v = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.77 \times 10^{6}} \approx 7.67 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $T = 2\pi r/v \approx 5.55 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 92\,\mathrm{min}$ ; $86\,400/5546 \approx 15.6$ órbitas por dia.

Exercício 27.5 ★

Enuncie as três leis de Kepler. Em que ponto da elipse bem esticada dele um cometa é mais rápido, e que lei diz isso? O período de um satélite depende da massa dele?

Solução

Solução de Exercício 27.5.

Elipses com o Sol em um dos focos; áreas iguais em tempos iguais; $T^2/a^3$ idêntico para todos os planetas. Mais rápido no periélio, pela segunda lei (o segmento curto que varre precisa varrer depressa). Não: a massa do satélite se cancela — só entra a massa central.

Exercício 27.6 ★★

Pese a Terra: a partir do raio e do período da órbita da Lua (ficha de dados), calcule a massa da Terra e compare com o valor da ficha.

Solução

Solução de Exercício 27.6.

$T = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ : $M = 4\pi^2 r^3/(GT^2) = 2.24 \times 10^{27}/371 \approx 6.0 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ — a menos de $1\%$ de $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ .

Exercício 27.7 ★★

Uma empresa propõe um satélite pairando permanentemente sobre Paris (latitude $49^\circ$ norte). A partir da direção da gravidade, explique por que toda órbita circular é centrada no centro da Terra; conclua que a proposta é impossível. Onde um satélite pode pairar?

Solução

Solução de Exercício 27.7.

A gravidade aponta para o centro da Terra e, no movimento circular, a força resultante aponta para o centro do círculo: os dois centros coincidem. Um círculo acima do paralelo de Paris seria centrado no eixo, e não no centro da Terra — impossível. Pairar só funciona onde o paralelo é um círculo máximo centrado no centro: sobre o equador.

Exercício 27.8 ★★

Fobos circula Marte a $r = 9.38 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ em $T = 7\,\mathrm{h} 39\,\mathrm{min}$ . Deduza a massa de Marte; compare com a ficha de dados.

Solução

Solução de Exercício 27.8.

$T = 2.754 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ : $M = 4\pi^2 r^3/(GT^2) = 3.26 \times 10^{22}/5.06 \times 10^{-2} \approx 6.4 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$ — o Marte da ficha de dados.

Exercício 27.9 ★★

Marte orbita o Sol a $a = 2.279 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ em $687\,\mathrm{d}$ . Calcule $T^2/a^3$ para Marte e para a Terra (ficha de dados), verifique a terceira lei de Kepler e deduza a massa do Sol.

Solução

Solução de Exercício 27.9.

Terra: $T^2/a^3 = 9.96 \times 10^{14}/3.35 \times 10^{33} = 2.98 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}^{3}$ . Marte: $T = 5.94 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ , $3.52 \times 10^{15}/1.18 \times 10^{34} = 2.98 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}^{3}$ — iguais, como exige a terceira lei. Então $M = 4\pi^2/(G \times 2.98 \times 10^{-19}) \approx 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ .

Exercício 27.10 ★★

O teste da Lua, de Newton: a partir da ficha de dados, calcule a velocidade da Lua e a aceleração centrípeta $a = v^2/r$ dela. Mostre que ela é igual a $g/60^2$ e diga por que isso convenceu Newton de que uma só lei governa a maçã e a Lua.

Solução

Solução de Exercício 27.10.

$v = 2\pi r/T = 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a = v^2/r = 2.72 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $g/60^2 = 9.81/3600 = 2.73 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . A Lua está a $60$ raios terrestres, e a queda dela é $60^2$ vezes mais fraca do que a da maçã: exatamente o inverso do quadrado — uma lei só para as duas.

Exercício 27.11 ★★

Em unidades solares (unidades astronômicas, anos) a terceira lei de Kepler se lê $T^2 = a^3$ : a reta do gráfico log–log do curso. Coloque nela o asteroide Ceres, $a = 2.77\,\mathrm{au}$ , e o cometa de Halley, $a = 17.8\,\mathrm{au}$ : calcule os dois períodos. Halley passou pelo periélio pela última vez em 1986 — quando ele volta?

Solução

Solução de Exercício 27.11.

Ceres: $T = 2.77^{3/2} = \sqrt{21.3} \approx 4.6\,\mathrm{yr}$ . Halley: $T = 17.8^{3/2} \approx 75\,\mathrm{yr}$ , de modo que o próximo periélio fica em torno de $1986 + 75 \approx 2061$ .

Exercício 27.12 ★★★

O ar rarefeito roça a estação e, ainda assim, a velocidade dela aumenta conforme ela perde altitude. Calcule $v$ nas altitudes de $400\,\mathrm{km}$ e $350\,\mathrm{km}$ e depois resolva o paradoxo: o atrito freia as coisas — de onde vem a velocidade extra?

Solução

Solução de Exercício 27.12.

A $400\,\mathrm{km}$ : $v \approx 7.67 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; a $350\,\mathrm{km}$ ( $r = 6.72 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ): $v \approx 7.70 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . O atrito de fato drena energia mecânica — a órbita encolhe; mas, na descida, o trabalho da gravidade paga com juros a velocidade perdida para o arrasto: $E_m$ cai enquanto $E_k$ sobe.

Exercício 27.13 ★★★

Um telescópio encontra um exoplaneta que circula a estrela dele a $r = 7.48 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$ a cada $3.50\,\mathrm{d}$ . Pese a estrela, em quilogramas e em Sóis. Que massa — a da estrela ou a do planeta — não pode ser obtida assim, e por quê?

Solução

Solução de Exercício 27.13.

$T = 3.024 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$ : $M = 4\pi^2 r^3/(GT^2) = 1.65 \times 10^{31}/6.10 \approx 2.7 \times 10^{30}\,\mathrm{kg} \approx 1.4$ Sóis. A massa do planeta está fora de alcance: ela se cancelou nas equações da órbita.

Exercício 27.14 ★★★

Colonos de Marte querem um repetidor “areoestacionário” sobre a base deles. Marte gira em relação às estrelas em $24\,\mathrm{h}$ $37\,\mathrm{min}$ : calcule o raio da órbita e a altitude acima da superfície marciana (ficha de dados).

Solução

Solução de Exercício 27.14.

$T = 8.862 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ , $GM = 4.28 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ : $r^3 = GMT^2/(4\pi^2) = 8.52 \times 10^{21}$ , logo $r \approx 2.04 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ e $h = r - R \approx 1.7 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx 17\,000\,\mathrm{km}$ acima do solo marciano.

Exercício 27.15 ★★★

O cometa de Halley passa pelo periélio a $r_p = 8.77 \times 10^{10}\,\mathrm{m}$ movendo-se a $54.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; o afélio fica em $r_a = 5.25 \times 10^{12}\,\mathrm{m}$ . Nos dois extremos a velocidade é perpendicular ao segmento Sol–cometa, e a segunda lei de Kepler então força $r_p v_p = r_a v_a$ (triângulos varridos de área $\tfrac12 r v\,\Delta t$ iguais). Deduza a velocidade no afélio e comente a razão.

Solução

Solução de Exercício 27.15.

$v_a = r_p v_p / r_a = 8.77 \times 10^{10} \times 5.45 \times 10^{4} / 5.25 \times 10^{12} \approx 9.1 \times 10^{2}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Como $r_a/r_p \approx 60$ , o cometa está $60$ vezes mais longe e vai $60$ vezes mais devagar: ele passa décadas se arrastando no escuro e semanas disparando ao redor do Sol.

27.6 Problema: uma vaga sobre o equador

Problema 27.1

Problema de fim de semana — pôr um satélite sobre o equador: por que a única vaga de estacionamento do céu é um círculo a $35\,800\,\mathrm{km}$ de altura, como ela se compara com a estação que corre lá embaixo, e como a mesma lei pesa Júpiter de passagem

Uma empresa de telecomunicações quer um repetidor que as antenas de solo dela, parafusadas uma única vez, nunca precisem perseguir: um satélite geoestacionário. Você é a analista da missão; use a ficha de dados. Para a Parte IV: Io, lua de Júpiter, orbita a $r = 4.22 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ em $T = 1.77\,\mathrm{d}$ , e Júpiter gira em relação às estrelas em $9\,\mathrm{h}$ $56\,\mathrm{min}$ .

Parte I — As regras de ficar parado.

O satélite precisa permanecer sobre um ponto fixo do solo. Qual deve ser o período dele — e por que o dia sideral de $86\,164\,\mathrm{s}$ , e não $24\,\mathrm{h}$ ?
No movimento circular a força resultante aponta para o centro do círculo; aqui a única força é a gravidade. Deduza que o centro de qualquer órbita circular é o centro da Terra.
Um círculo pairando sobre a latitude de Paris seria centrado no eixo da Terra, ao norte do centro. Conclua: em que plano precisa estar uma órbita geoestacionária?
Escreva a segunda lei de Newton na base de Frenet para uma órbita circular de raio $r$ e deduza $v = \sqrt{GM/r}$ .
Deduza $T = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$ e reescreva-o como a terceira lei de Kepler, $T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM)$ .

Parte II — O único círculo que funciona.

Resolva a terceira lei para $r$ e calcule o raio geoestacionário.
Deduza a altitude acima do solo.
Calcule a velocidade orbital a partir de $v = 2\pi r/T$ .
Confira-a contra $v = \sqrt{GM/r}$ .
O satélite da empresa tem massa de $4.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ ; o de uma concorrente pesa o dobro. Compare os raios geoestacionários deles e diga o que a massa extra muda no lançamento.

Parte III — A estação lá embaixo.

A estação espacial voa a $r = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ : calcule a velocidade dela.
Calcule o período dela, em segundos e em minutos.
Quantas órbitas ela completa em $24\,\mathrm{h}$ — e mais ou menos quantos nasceres do Sol os astronautas assistem por dia?
Calcule a razão entre os raios, $r_{\text{geo}}/r_{\text{EEI}}$ , e verifique que a razão entre os períodos é esse número elevado à potência $3/2$ , como exige a terceira lei de Kepler.
Que satélite se move mais depressa, e qual exigiu mais energia por quilograma para ser colocado no lugar? Concilie os dois em uma frase.

Parte IV — Pesar Júpiter de quebra.

A partir da terceira lei de Kepler aplicada a Io, exprima a massa $M_J$ de Júpiter em função de $G$ , $r$ e $T$ .
Calcule $M_J$ .
Quantas massas terrestres é isso? Que fração aproximada da massa do Sol?
Um repetidor “joviestacionário” deve ficar pendurado sobre um ponto das nuvens de Júpiter: calcule o raio da órbita dele; compare com o de Io.
Relate à diretoria, em duas frases: a altitude em que a empresa precisa estacionar o repetidor dela e a massa de Júpiter que a mesmíssima lei entregou de graça.

Solução

Solução de Problema 27.1.

1. $T = 86\,164\,\mathrm{s}$ : o solo gira com a Terra em relação às estrelas uma vez por dia sideral; o dia de $24\,\mathrm{h}$ acrescenta o grau por dia que a Terra avança em torno do Sol.

2. A força resultante do movimento circular mira o centro do círculo; a única força, a gravidade, mira o centro da Terra: os dois centros são o mesmo ponto.

3. Um círculo pairando sobre Paris seria centrado no eixo, ao norte do centro — excluído por 2. A órbita precisa estar no plano equatorial.

4. Componente normal da segunda lei de Newton: $m v^2/r = GmM/r^2$ , logo $v = \sqrt{GM/r}$ ( $m$ se cancela).

5. $T = 2\pi r/v = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$ ; elevando ao quadrado, $T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM)$ .

6. $r = \left(GMT^2/4\pi^2\right)^{1/3} = (7.49 \times 10^{22})^{1/3} \approx 4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ .

7. $h = r - R = 4.22 \times 10^{7} - 6.37 \times 10^{6} \approx 3.58 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx 35\,800\,\mathrm{km}$ .

8. $v = 2\pi \times 4.22 \times 10^{7}/86\,164 \approx 3.07 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

9. $\sqrt{3.98 \times 10^{14}/4.22 \times 10^{7}} \approx 3.07 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — coerente.

10. Raios idênticos: a massa se cancelou em 4. O satélite mais pesado muda apenas a conta do lançamento — mais combustível para a mesma órbita.

11. $v = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.77 \times 10^{6}} \approx 7.67 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

12. $T = 2\pi r/v \approx 5.55 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 92.4\,\mathrm{min}$ .

13. $86\,400/5546 \approx 15.6$ órbitas: cerca de $16$ nasceres do Sol por dia.

14. $r_{\text{geo}}/r_{\text{EEI}} = 4.22 \times 10^{7}/6.77 \times 10^{6} = 6.23$ ; $6.23^{3/2} \approx 15.5 = 86\,164/5546$ — a terceira lei de Kepler, verificada na hora.

15. A estação é mais rápida ( $7.67\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ contra $3.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ), e ainda assim o geoestacionário custou mais energia por quilograma: a subida em energia potencial supera a perda de velocidade.

16. $M_J = 4\pi^2 r^3/(G T^2)$ .

17. $T = 1.529 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$ : $M_J = 2.97 \times 10^{27}/1.56 \approx 1.90 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$ .

18. $1.90 \times 10^{27}/5.97 \times 10^{24} \approx 318$ Terras — e cerca de $1/1000$ do Sol.

19. $T_J = 3.576 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ : $r^3 = GM_J T_J^2/(4\pi^2) = 4.11 \times 10^{24}$ , $r \approx 1.60 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ — Io, a $4.22 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ , voa $2.6$ vezes mais alto e deriva pelo céu de Júpiter.

20. Estacione o repetidor no círculo equatorial de altitude $35\,800\,\mathrm{km}$ , onde ele corre a $3.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ e nunca sai da mira da antena; e a mesma lei, alimentada com o mês de Io, pesou Júpiter em $1.90 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$ — $318$ Terras — de graça.