Mathématiques du lycée · Grades 10–12

26Équations différentielles

Une équation différentielle relie une fonction à ses dérivées. La physique, la chimie, la biologie et l’économie expriment leurs lois sous cette forme : la vitesse de refroidissement d’un corps, la désintégration d’un noyau radioactif, la croissance d’une population sont toutes des énoncés sur $y'$ . Ce chapitre résout complètement les équations linéaires du premier ordre à coefficients constants.

26.1 L’équation $y' = ay$

Définition 26.1 (Équation différentielle)

Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction $y$ , et qui fait intervenir $y$ et ses dérivées. Une solution sur un intervalle $I$ est une fonction dérivable vérifiant l’équation en tout point de $I$ .

Théorème 26.2 (Solutions de $y' = ay$ )

Soit $a \in \R$ . Les solutions sur $\R$ de l’équation $y' = ay$ sont exactement les fonctions

y(x) = C\,\eu^{ax}, \qquad C \in \R .

Pour tout couple $(x_0, y_0)$ il existe une unique solution avec $y(x_0) = y_0$ .

Démonstration. Chaque $y = C\eu^{ax}$ vérifie $y' = Ca\,\eu^{ax} = ay$ . Réciproquement, soit $y$ une solution quelconque et posons $z(x) = y(x)\,\eu^{-ax}$ . Alors

z'(x) = y'(x)\,\eu^{-ax} - a\,y(x)\,\eu^{-ax} = \bigl(y'(x) - a y(x)\bigr)\eu^{-ax} = 0,

donc $z$ est constante, disons $C$ , et $y(x) = C\eu^{ax}$ . La condition initiale $y(x_0) = y_0$ impose $C = y_0 \eu^{-a x_0}$ , de façon unique. ∎

Remarque 26.3

L’exponentielle est ainsi caractérisée par la plus simple de toutes les équations différentielles : une croissance proportionnelle à la taille. C’est pourquoi elle apparaît partout dans la nature.

L’équation y' = y prescrit une pente en chaque point du plan (segments gris). Les solutions C x — ici C = 1 (bleu), C = 0.3 (rouge), C = -0.5 (orange) — sont exactement les courbes qui suivent ce champ de pentes. — L’équation $y' = y$ prescrit une pente en chaque point du plan (segments gris). Les solutions $C\eu^{x}$ — ici $C = 1$ (bleu), $C = 0.3$ (rouge), $C = -0.5$ (orange) — sont exactement les courbes qui suivent ce champ de pentes.

Exemple 26.4 (Désintégration radioactive)

Une quantité radioactive vérifie $N' = -\lambda N$ avec $\lambda > 0$ , donc $N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$ ; voir Exemple 23.9 pour la demi-vie.

26.2 L’équation $y' = ay + b$

Théorème 26.5 (Solutions de $y' = ay + b$ )

Soient $a \neq 0$ et $b \in \R$ . Les solutions sur $\R$ de $y' = ay + b$ sont exactement les fonctions

y(x) = C\,\eu^{ax} - \frac{b}{a}, \qquad C \in \R .

La fonction constante $y_p = -\frac ba$ est la solution d’équilibre. Pour tout $(x_0, y_0)$ il existe une unique solution avec $y(x_0) = y_0$ ; si $a < 0$ , toute solution tend vers l’équilibre $-\frac ba$ lorsque $x \to +\infty$ .

Démonstration. La constante $y_p = -\frac{b}{a}$ vérifie $y_p' = 0 = a y_p + b$ . Or $y$ est solution si et seulement si

(y - y_p)' = y' = ay + b = a(y - y_p) + \underbrace{a y_p + b}_{=\,0} = a (y - y_p),

c’est-à-dire si et seulement si $z = y - y_p$ résout $z' = az$ . Par le Théorème 26.2, $z = C\eu^{ax}$ , d’où la formule, l’existence et l’unicité. Si $a < 0$ , $\eu^{ax} \to 0$ lorsque $x \to +\infty$ , donc $y(x) \to -\frac ba$ . ∎

Méthode 26.6 (Résoudre $y' = ay + b$ avec condition initiale)

Trouver la solution d’équilibre $y_p = -\frac{b}{a}$ (résoudre $y' = 0$ ).
Écrire la solution générale $y = C\eu^{ax} + y_p$ .
Déterminer $C$ grâce à la condition initiale.
Vérifier le comportement à long terme face à l’intuition physique (la solution converge-t-elle vers l’équilibre ?).

La même stratégie — solution particulière + solution générale de l’équation homogène — s’étend à $y' = ay + f(x)$ : voir la Proposition 26.8.

Exemple 26.7 (Loi de refroidissement de Newton)

Une tasse de café à $80\,^\circ$ C se trouve dans une pièce à $20\,^\circ$ C. La loi de Newton affirme que la température $T$ vérifie $T' = -k(T - 20)$ pour un certain $k > 0$ , c.-à-d. $T' = -kT + 20k$ . L’équilibre est $20$ , et $T(t) = 20 + 60\,\eu^{-kt}$ : le café refroidit exponentiellement vers la température ambiante.

Quelle que soit leur température initiale, toutes les solutions de T' = -k(T - 20) convergent exponentiellement vers l’équilibre T = 20. — Quelle que soit leur température initiale, toutes les solutions de $T' = -k(T - 20)$ convergent exponentiellement vers l’équilibre $T = 20$ .

26.3 L’équation $y' = ay + f(x)$

Proposition 26.8 (Structure de l’ensemble des solutions)

Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ et soit $y_p$ une solution particulière de

y' = ay + f(x)

sur $I$ . Alors les solutions sur $I$ sont exactement les fonctions $y = C\eu^{ax} + y_p$ , $C \in \R$ .

Démonstration. Comme dans le Théorème 26.5 : $y$ est solution si et seulement si $z = y - y_p$ vérifie $z' = (ay + f) - (ay_p + f) = az$ , si et seulement si $z = C\eu^{ax}$ . ∎

Méthode 26.9 (Deviner une solution particulière)

Chercher une solution particulière de même forme que $f$ :

$f$ polynôme de degré $n$ : essayer un polynôme de degré $n$ ;
$f(x) = \alpha\,\eu^{kx}$ avec $k \neq a$ : essayer $y_p = \beta\,\eu^{kx}$ ;
$f(x) = \alpha\,\eu^{ax}$ (cas résonant) : essayer $y_p = \beta x\,\eu^{ax}$ .

Substituer dans l’équation et identifier les coefficients.

Exemple 26.10

Résoudre $y' = 2y + 4x$ . Essayer $y_p = \alpha x + \beta$ : $\alpha = 2(\alpha x + \beta) + 4x$ pour tout $x$ impose $2\alpha + 4 = 0$ et $\alpha = 2\beta$ , donc $\alpha = -2$ , $\beta = -1$ . Solution générale : $y = C\eu^{2x} - 2x - 1$ .

26.4 Exercices

Exercice 26.1 ★

Résoudre sur $\R$ : (a) $y' = 3y$ avec $y(0) = 2$ ; (b) $2y' + y = 0$ avec $y(0) = -1$ ; (c) $y' = -y + 5$ avec $y(0) = 0$ .

Solution

Solution de Exercice 26.1.

(a) $y = C\eu^{3x}$ ; $y(0) = 2$ donne $y = 2\eu^{3x}$ .

(b) $y' = -\frac12 y$ , donc $y = C\eu^{-x/2}$ ; $y(0) = -1$ donne $y = -\eu^{-x/2}$ .

(c) Équilibre $y_p = 5$ ; $y = C\eu^{-x} + 5$ ; $y(0) = 0$ donne $C = -5$ : $y = 5\left(1 - \eu^{-x}\right)$ .

Exercice 26.2 ★

Une population bactérienne croît à un taux proportionnel à sa taille, en doublant toutes les $3$ heures. Écrire l’équation différentielle satisfaite par la population $N(t)$ et déterminer la constante de proportionnalité.

Solution

Solution de Exercice 26.2.

$N' = kN$ , donc $N(t) = N_0 \eu^{kt}$ . Doubler en $3$ heures signifie $\eu^{3k} = 2$ , c.-à-d.

k = \frac{\ln 2}{3} \approx 0.231\ \text{h}^{-1}.

Exercice 26.3 ★

Vérifier que $y_p(x) = x\,\eu^{x}$ est solution de $y' = y + \eu^x$ , et donner toutes les solutions sur $\R$ .

Solution

Solution de Exercice 26.3.

$y_p'(x) = \eu^x + x\eu^x = y_p(x) + \eu^x$ : $y_p$ est une solution particulière (c’est le cas résonant de la Méthode 26.9). Par la Proposition 26.8, les solutions sont $y = C\eu^{x} + x\eu^{x} = (C + x)\,\eu^x$ , $C \in \R$ .

Exercice 26.4 ★★

Résoudre $y' = -2y + \eu^{x}$ avec $y(0) = 1$ . (Indication : chercher une solution particulière de la forme $\beta\,\eu^{x}$ .)

Solution

Solution de Exercice 26.4.

Essayer $y_p = \beta\eu^x$ : $\beta\eu^x = -2\beta\eu^x + \eu^x$ donne $3\beta = 1$ , donc $y_p = \frac13\eu^x$ . Solution générale $y = C\eu^{-2x} + \frac13\eu^{x}$ ; la condition $y(0) = 1$ donne $C = \frac23$ :

y(x) = \frac{2}{3}\,\eu^{-2x} + \frac{1}{3}\,\eu^{x}.

Exercice 26.5 ★★

Le carbone 14 se désintègre avec une demi-vie de $5730$ ans. Un échantillon archéologique contient $60\%$ du carbone 14 d’un organisme vivant. Estimer son âge.

Solution

Solution de Exercice 26.5.

$N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$ avec $\lambda = \frac{\ln 2}{5730}$ (Exemple 23.9). On résout $\eu^{-\lambda t} = 0.6$ :

t = \frac{\ln(1/0.6)}{\lambda} = 5730\,\frac{\ln(5/3)}{\ln 2} \approx 5730 \times \frac{0.5108}{0.6931} \approx 4220 \text{ ans}.

Exercice 26.6 ★★

Un réservoir contient $100$ L d’eau pure. De la saumure contenant $0.2$ kg de sel par litre entre à $5$ L/min, le mélange (maintenu homogène) sort au même débit. Soit $m(t)$ la masse de sel dans le réservoir à l’instant $t$ (en minutes).

Justifier que $m' = 1 - \dfrac{m}{20}$ .
Résoudre, et déterminer la limite de $m(t)$ lorsque $t \to +\infty$ . Interpréter.

Solution

Solution de Exercice 26.6.

1. Le sel entre à $0.2 \times 5 = 1$ kg/min. Le flux sortant emporte la concentration $\frac{m}{100}$ kg/L à $5$ L/min, c.-à-d. $\frac{m}{20}$ kg/min. D’où $m' = 1 - \frac{m}{20}$ .

2. Équilibre $m_p = 20$ ; $m(t) = 20 + C\eu^{-t/20}$ , et $m(0) = 0$ donne $C = -20$ :

m(t) = 20\left(1 - \eu^{-t/20}\right) \xrightarrow[t\to+\infty]{} 20 \text{ kg}.

À long terme la concentration du réservoir égale celle de la saumure entrante : $0.2$ kg/L $\times$ $100$ L $= 20$ kg.

Exercice 26.7 ★★

Un parachutiste de masse $80$ kg tombe sous l’effet de la gravité ( $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ ) et d’une résistance de l’air proportionnelle à la vitesse, de sorte que sa vitesse vérifie $v' = g - \frac{k}{m}v$ avec $k = 16$ kg/s.

Résoudre l’équation avec $v(0) = 0$ .
Calculer la vitesse limite $\lim_{t\to+\infty} v(t)$ , et le temps nécessaire pour atteindre $95\%$ de celle-ci.

Solution

Solution de Exercice 26.7.

1. $v' = g - \frac{k}{m} v$ avec $\frac km = \frac{16}{80} = 0.2$ . Équilibre $v_\infty = \frac{mg}{k} = \frac{9.8}{0.2} = 49$ m/s ; $v(t) = 49 + C\eu^{-0.2t}$ , et $v(0) = 0$ donne

v(t) = 49\left(1 - \eu^{-0.2 t}\right).

2. Vitesse limite $49$ m/s ( $\approx 176$ km/h). On veut $1 - \eu^{-0.2t} = 0.95$ , c.-à-d. $\eu^{-0.2t} = 0.05$ :

t = \frac{\ln 20}{0.2} \approx \frac{3.00}{0.2} \approx 15 \text{ s}.

Exercice 26.8 ★★★

(Équation logistique.) Une population $y(t) \in \intoo{0}{1}$ (comme fraction de la population maximale) vérifie

y' = y(1 - y).

Soit $z = \dfrac{1}{y}$ . Montrer que $z$ satisfait l’équation linéaire $z' = -z + 1$ .
Résoudre pour $z$ , puis pour $y$ , avec $y(0) = \frac{1}{10}$ .
Montrer que $y(t) \to 1$ lorsque $t \to +\infty$ et esquisser l’allure de la courbe solution.

Solution

Solution de Exercice 26.8.

1. $z = \frac1y$ donne $z' = -\frac{y'}{y^2} = -\frac{y(1-y)}{y^2} = -\frac{1-y}{y} = -\frac1y + 1 = -z + 1$ .

2. Équilibre $z_p = 1$ , donc $z(t) = 1 + C\eu^{-t}$ . De $y(0) = \frac{1}{10}$ , $z(0) = 10$ , donc $C = 9$ et

y(t) = \frac{1}{1 + 9\,\eu^{-t}} .

3. Lorsque $t \to +\infty$ , $9\eu^{-t} \to 0$ et $y(t) \to 1$ . La courbe est la classique courbe logistique en S (sigmoïde) : croissance lente au début ( $y$ petit, $y' \approx y$ ), croissance la plus rapide lorsque $y = \frac12$ (où $y' = y(1-y)$ est maximale), puis saturation vers la capacité $1$ .

Exercice 26.9 ★★★

Soit $y$ une solution de $y' = ay + b$ et soit $u_n = y(n)$ pour $n \in \N$ . Montrer que $(u_n)$ satisfait une récurrence arithmético-géométrique $u_{n+1} = q u_n + r$ , et exprimer $q$ et $r$ en fonction de $a$ et $b$ . À quoi correspond la condition $\abs{q} < 1$ pour l’équation différentielle ?

Solution

Solution de Exercice 26.9.

Par le Théorème 26.5, $y(x) = C\eu^{ax} - \frac ba$ . D’où

u_{n+1} = C\eu^{a(n+1)} - \frac ba = \eu^{a}\left(C\eu^{an} - \frac ba\right) + \frac ba\left(\eu^a - 1\right) = q\,u_n + r

avec $q = \eu^{a}$ et $r = \frac{b}{a}\left(\eu^{a} - 1\right)$ . La condition $\abs q < 1$ signifie $\eu^a < 1$ , c.-à-d. $a < 0$ : exactement la condition sous laquelle les solutions de l’équation différentielle convergent vers l’équilibre $-\frac ba$ — et en effet le point fixe de la récurrence est $\frac{r}{1 - q} = -\frac{b}{a}$ .

26.1 L’équation y′=ayy' = ayy′=ay

26.2 L’équation y′=ay+by' = ay + by′=ay+b

26.3 L’équation y′=ay+f(x)y' = ay + f(x)y′=ay+f(x)

26.4 Exercices

26.1 L’équation $y' = ay$

26.2 L’équation $y' = ay + b$

26.3 L’équation $y' = ay + f(x)$