Mathematics · Livre 2 · Grades 10–12

Mathématiques du lycée

Mathématiques du lycée · Grades 10–12

26Équations différentielles

Une équation différentielle relie une fonction à ses dérivées. La physique, la chimie, la biologie et l’économie expriment leurs lois sous cette forme : la vitesse de refroidissement d’un corps, la désintégration d’un noyau radioactif, la croissance d’une population sont toutes des énoncés sur y′y'. Ce chapitre résout complètement les équations linéaires du premier ordre à coefficients constants.

26.1 L’équation y′=ayy' = ay

Définition 26.1 (Équation différentielle)

Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction yy, et qui fait intervenir yy et ses dérivées. Une solution sur un intervalle II est une fonction dérivable vérifiant l’équation en tout point de II.

Théorème 26.2 (Solutions de y′=ayy' = ay)

Soit a∈Ra \in \R. Les solutions sur R\R de l’équation y′=ayy' = ay sont exactement les fonctions

y(x)=C eax,C∈R.y(x) = C\,\eu^{ax}, \qquad C \in \R .

Pour tout couple (x0,y0)(x_0, y_0) il existe une unique solution avec y(x0)=y0y(x_0) = y_0.

Démonstration. Chaque y=Ceaxy = C\eu^{ax} vérifie y′=Ca eax=ayy' = Ca\,\eu^{ax} = ay. Réciproquement, soit yy une solution quelconque et posons z(x)=y(x) e−axz(x) = y(x)\,\eu^{-ax}. Alors

z′(x)=y′(x) e−ax−a y(x) e−ax=(y′(x)−ay(x))e−ax=0,z'(x) = y'(x)\,\eu^{-ax} - a\,y(x)\,\eu^{-ax} = \bigl(y'(x) - a y(x)\bigr)\eu^{-ax} = 0,

donc zz est constante, disons CC, et y(x)=Ceaxy(x) = C\eu^{ax}. La condition initiale y(x0)=y0y(x_0) = y_0 impose C=y0e−ax0C = y_0 \eu^{-a x_0}, de façon unique. ∎

Remarque 26.3

L’exponentielle est ainsi caractérisée par la plus simple de toutes les équations différentielles : une croissance proportionnelle à la taille. C’est pourquoi elle apparaît partout dans la nature.

L’équation y' = y prescrit une pente en chaque point du plan (segments gris). Les solutions C x — ici C = 1 (bleu), C = 0.3 (rouge), C = -0.5 (orange) — sont exactement les courbes qui suivent ce champ de pentes.
L’équation y′=yy' = y prescrit une pente en chaque point du plan (segments gris). Les solutions CexC\eu^{x} — ici C=1C = 1 (bleu), C=0.3C = 0.3 (rouge), C=−0.5C = -0.5 (orange) — sont exactement les courbes qui suivent ce champ de pentes.

Exemple 26.4 (Désintégration radioactive)

Une quantité radioactive vérifie N′=−λNN' = -\lambda N avec λ>0\lambda > 0, donc N(t)=N0 e−λtN(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t} ; voir Exemple 23.9 pour la demi-vie.

26.2 L’équation y′=ay+by' = ay + b

Théorème 26.5 (Solutions de y′=ay+by' = ay + b)

Soient a≠0a \neq 0 et b∈Rb \in \R. Les solutions sur R\R de y′=ay+by' = ay + b sont exactement les fonctions

y(x)=C eax−ba,C∈R.y(x) = C\,\eu^{ax} - \frac{b}{a}, \qquad C \in \R .

La fonction constante yp=−bay_p = -\frac ba est la solution d’équilibre. Pour tout (x0,y0)(x_0, y_0) il existe une unique solution avec y(x0)=y0y(x_0) = y_0 ; si a<0a < 0, toute solution tend vers l’équilibre −ba-\frac ba lorsque x→+∞x \to +\infty.

Démonstration. La constante yp=−bay_p = -\frac{b}{a} vérifie yp′=0=ayp+by_p' = 0 = a y_p + b. Or yy est solution si et seulement si

(y−yp)′=y′=ay+b=a(y−yp)+ayp+b⏟= 0=a(y−yp),(y - y_p)' = y' = ay + b = a(y - y_p) + \underbrace{a y_p + b}_{=\,0} = a (y - y_p),

c’est-à-dire si et seulement si z=y−ypz = y - y_p résout z′=azz' = az. Par le Théorème 26.2, z=Ceaxz = C\eu^{ax}, d’où la formule, l’existence et l’unicité. Si a<0a < 0, eax→0\eu^{ax} \to 0 lorsque x→+∞x \to +\infty, donc y(x)→−bay(x) \to -\frac ba. ∎

Méthode 26.6 (Résoudre y′=ay+by' = ay + b avec condition initiale)

  1. Trouver la solution d’équilibre yp=−bay_p = -\frac{b}{a} (résoudre y′=0y' = 0).
  2. Écrire la solution générale y=Ceax+ypy = C\eu^{ax} + y_p.
  3. Déterminer CC grâce à la condition initiale.
  4. Vérifier le comportement à long terme face à l’intuition physique (la solution converge-t-elle vers l’équilibre ?).

La même stratégie — solution particulière + solution générale de l’équation homogène — s’étend à y′=ay+f(x)y' = ay + f(x) : voir la Proposition 26.8.

Exemple 26.7 (Loi de refroidissement de Newton)

Une tasse de café à 80 ∘80\,^\circC se trouve dans une pièce à 20 ∘20\,^\circC. La loi de Newton affirme que la température TT vérifie T′=−k(T−20)T' = -k(T - 20) pour un certain k>0k > 0, c.-à-d. T′=−kT+20kT' = -kT + 20k. L’équilibre est 2020, et T(t)=20+60 e−ktT(t) = 20 + 60\,\eu^{-kt} : le café refroidit exponentiellement vers la température ambiante.

Quelle que soit leur température initiale, toutes les solutions de T' = -k(T - 20) convergent exponentiellement vers l’équilibre T = 20.
Quelle que soit leur température initiale, toutes les solutions de T′=−k(T−20)T' = -k(T - 20) convergent exponentiellement vers l’équilibre T=20T = 20.

26.3 L’équation y′=ay+f(x)y' = ay + f(x)

Proposition 26.8 (Structure de l’ensemble des solutions)

Soit ff continue sur un intervalle II et soit ypy_p une solution particulière de

y′=ay+f(x)y' = ay + f(x)

sur II. Alors les solutions sur II sont exactement les fonctions y=Ceax+ypy = C\eu^{ax} + y_p, C∈RC \in \R.

Démonstration. Comme dans le Théorème 26.5 : yy est solution si et seulement si z=y−ypz = y - y_p vérifie z′=(ay+f)−(ayp+f)=azz' = (ay + f) - (ay_p + f) = az, si et seulement si z=Ceaxz = C\eu^{ax}. ∎

Méthode 26.9 (Deviner une solution particulière)

Chercher une solution particulière de même forme que ff :

  • ff polynôme de degré nn : essayer un polynôme de degré nn ;
  • f(x)=α ekxf(x) = \alpha\,\eu^{kx} avec k≠ak \neq a : essayer yp=β ekxy_p = \beta\,\eu^{kx} ;
  • f(x)=α eaxf(x) = \alpha\,\eu^{ax} (cas résonant) : essayer yp=βx eaxy_p = \beta x\,\eu^{ax}.

Substituer dans l’équation et identifier les coefficients.

Exemple 26.10

Résoudre y′=2y+4xy' = 2y + 4x. Essayer yp=αx+βy_p = \alpha x + \beta : α=2(αx+β)+4x\alpha = 2(\alpha x + \beta) + 4x pour tout xx impose 2α+4=02\alpha + 4 = 0 et α=2β\alpha = 2\beta, donc α=−2\alpha = -2, β=−1\beta = -1. Solution générale : y=Ce2x−2x−1y = C\eu^{2x} - 2x - 1.

26.4 Exercices

Exercice 26.1 ★

Résoudre sur R\R : (a) y′=3yy' = 3y avec y(0)=2y(0) = 2 ; (b) 2y′+y=02y' + y = 0 avec y(0)=−1y(0) = -1 ; (c) y′=−y+5y' = -y + 5 avec y(0)=0y(0) = 0.

Solution

Solution de Exercice 26.1.

(a) y=Ce3xy = C\eu^{3x} ; y(0)=2y(0) = 2 donne y=2e3xy = 2\eu^{3x}.

(b) y′=−12yy' = -\frac12 y, donc y=Ce−x/2y = C\eu^{-x/2} ; y(0)=−1y(0) = -1 donne y=−e−x/2y = -\eu^{-x/2}.

(c) Équilibre yp=5y_p = 5 ; y=Ce−x+5y = C\eu^{-x} + 5 ; y(0)=0y(0) = 0 donne C=−5C = -5 : y=5(1−e−x)y = 5\left(1 - \eu^{-x}\right).

Exercice 26.2 ★

Une population bactérienne croît à un taux proportionnel à sa taille, en doublant toutes les 33 heures. Écrire l’équation différentielle satisfaite par la population N(t)N(t) et déterminer la constante de proportionnalité.

Solution

Solution de Exercice 26.2.

N′=kNN' = kN, donc N(t)=N0ektN(t) = N_0 \eu^{kt}. Doubler en 33 heures signifie e3k=2\eu^{3k} = 2, c.-à-d.

k=ln⁡23≈0.231 h−1.k = \frac{\ln 2}{3} \approx 0.231\ \text{h}^{-1}.

Exercice 26.3 ★

Vérifier que yp(x)=x exy_p(x) = x\,\eu^{x} est solution de y′=y+exy' = y + \eu^x, et donner toutes les solutions sur R\R.

Solution

Solution de Exercice 26.3.

yp′(x)=ex+xex=yp(x)+exy_p'(x) = \eu^x + x\eu^x = y_p(x) + \eu^x : ypy_p est une solution particulière (c’est le cas résonant de la Méthode 26.9). Par la Proposition 26.8, les solutions sont y=Cex+xex=(C+x) exy = C\eu^{x} + x\eu^{x} = (C + x)\,\eu^x, C∈RC \in \R.

Exercice 26.4 ★★

Résoudre y′=−2y+exy' = -2y + \eu^{x} avec y(0)=1y(0) = 1. (Indication : chercher une solution particulière de la forme β ex\beta\,\eu^{x}.)

Solution

Solution de Exercice 26.4.

Essayer yp=βexy_p = \beta\eu^x : βex=−2βex+ex\beta\eu^x = -2\beta\eu^x + \eu^x donne 3β=13\beta = 1, donc yp=13exy_p = \frac13\eu^x. Solution générale y=Ce−2x+13exy = C\eu^{-2x} + \frac13\eu^{x} ; la condition y(0)=1y(0) = 1 donne C=23C = \frac23 :

y(x)=23 e−2x+13 ex.y(x) = \frac{2}{3}\,\eu^{-2x} + \frac{1}{3}\,\eu^{x}.

Exercice 26.5 ★★

Le carbone 14 se désintègre avec une demi-vie de 57305730 ans. Un échantillon archéologique contient 60%60\% du carbone 14 d’un organisme vivant. Estimer son âge.

Solution

Solution de Exercice 26.5.

N(t)=N0 e−λtN(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t} avec λ=ln⁡25730\lambda = \frac{\ln 2}{5730} (Exemple 23.9). On résout e−λt=0.6\eu^{-\lambda t} = 0.6 :

t=ln⁡(1/0.6)λ=5730 ln⁡(5/3)ln⁡2≈5730×0.51080.6931≈4220 ans.t = \frac{\ln(1/0.6)}{\lambda} = 5730\,\frac{\ln(5/3)}{\ln 2} \approx 5730 \times \frac{0.5108}{0.6931} \approx 4220 \text{ ans}.

Exercice 26.6 ★★

Un réservoir contient 100100 L d’eau pure. De la saumure contenant 0.20.2 kg de sel par litre entre à 55 L/min, le mélange (maintenu homogène) sort au même débit. Soit m(t)m(t) la masse de sel dans le réservoir à l’instant tt (en minutes).

  1. Justifier que m′=1−m20m' = 1 - \dfrac{m}{20}.
  2. Résoudre, et déterminer la limite de m(t)m(t) lorsque t→+∞t \to +\infty. Interpréter.
Solution

Solution de Exercice 26.6.

1. Le sel entre à 0.2×5=10.2 \times 5 = 1 kg/min. Le flux sortant emporte la concentration m100\frac{m}{100} kg/L à 55 L/min, c.-à-d. m20\frac{m}{20} kg/min. D’où m′=1−m20m' = 1 - \frac{m}{20}.

2. Équilibre mp=20m_p = 20 ; m(t)=20+Ce−t/20m(t) = 20 + C\eu^{-t/20}, et m(0)=0m(0) = 0 donne C=−20C = -20 :

m(t)=20(1−e−t/20)→t→+∞20 kg.m(t) = 20\left(1 - \eu^{-t/20}\right) \xrightarrow[t\to+\infty]{} 20 \text{ kg}.

À long terme la concentration du réservoir égale celle de la saumure entrante : 0.20.2 kg/L ×\times 100100 L =20= 20 kg.

Exercice 26.7 ★★

Un parachutiste de masse 8080 kg tombe sous l’effet de la gravité (g=9.8 m/s2g = 9.8\ \text{m/s}^2) et d’une résistance de l’air proportionnelle à la vitesse, de sorte que sa vitesse vérifie v′=g−kmvv' = g - \frac{k}{m}v avec k=16k = 16 kg/s.

  1. Résoudre l’équation avec v(0)=0v(0) = 0.
  2. Calculer la vitesse limite lim⁡t→+∞v(t)\lim_{t\to+\infty} v(t), et le temps nécessaire pour atteindre 95%95\% de celle-ci.
Solution

Solution de Exercice 26.7.

1. v′=g−kmvv' = g - \frac{k}{m} v avec km=1680=0.2\frac km = \frac{16}{80} = 0.2. Équilibre v∞=mgk=9.80.2=49v_\infty = \frac{mg}{k} = \frac{9.8}{0.2} = 49 m/s ; v(t)=49+Ce−0.2tv(t) = 49 + C\eu^{-0.2t}, et v(0)=0v(0) = 0 donne

v(t)=49(1−e−0.2t).v(t) = 49\left(1 - \eu^{-0.2 t}\right).

2. Vitesse limite 4949 m/s (≈176\approx 176 km/h). On veut 1−e−0.2t=0.951 - \eu^{-0.2t} = 0.95, c.-à-d. e−0.2t=0.05\eu^{-0.2t} = 0.05 :

t=ln⁡200.2≈3.000.2≈15 s.t = \frac{\ln 20}{0.2} \approx \frac{3.00}{0.2} \approx 15 \text{ s}.

Exercice 26.8 ★★★

(Équation logistique.) Une population y(t)∈(0, 1)y(t) \in \intoo{0}{1} (comme fraction de la population maximale) vérifie

y′=y(1−y).y' = y(1 - y).
  1. Soit z=1yz = \dfrac{1}{y}. Montrer que zz satisfait l’équation linéaire z′=−z+1z' = -z + 1.
  2. Résoudre pour zz, puis pour yy, avec y(0)=110y(0) = \frac{1}{10}.
  3. Montrer que y(t)→1y(t) \to 1 lorsque t→+∞t \to +\infty et esquisser l’allure de la courbe solution.
Solution

Solution de Exercice 26.8.

1. z=1yz = \frac1y donne z′=−y′y2=−y(1−y)y2=−1−yy=−1y+1=−z+1z' = -\frac{y'}{y^2} = -\frac{y(1-y)}{y^2} = -\frac{1-y}{y} = -\frac1y + 1 = -z + 1.

2. Équilibre zp=1z_p = 1, donc z(t)=1+Ce−tz(t) = 1 + C\eu^{-t}. De y(0)=110y(0) = \frac{1}{10}, z(0)=10z(0) = 10, donc C=9C = 9 et

y(t)=11+9 e−t.y(t) = \frac{1}{1 + 9\,\eu^{-t}} .

3. Lorsque t→+∞t \to +\infty, 9e−t→09\eu^{-t} \to 0 et y(t)→1y(t) \to 1. La courbe est la classique courbe logistique en S (sigmoïde) : croissance lente au début (yy petit, y′≈yy' \approx y), croissance la plus rapide lorsque y=12y = \frac12 (où y′=y(1−y)y' = y(1-y) est maximale), puis saturation vers la capacité 11.

Exercice 26.9 ★★★

Soit yy une solution de y′=ay+by' = ay + b et soit un=y(n)u_n = y(n) pour n∈Nn \in \N. Montrer que (un)(u_n) satisfait une récurrence arithmético-géométrique un+1=qun+ru_{n+1} = q u_n + r, et exprimer qq et rr en fonction de aa et bb. À quoi correspond la condition ∣q∣<1\abs{q} < 1 pour l’équation différentielle ?

Solution

Solution de Exercice 26.9.

Par le Théorème 26.5, y(x)=Ceax−bay(x) = C\eu^{ax} - \frac ba. D’où

un+1=Cea(n+1)−ba=ea(Cean−ba)+ba(ea−1)=q un+ru_{n+1} = C\eu^{a(n+1)} - \frac ba = \eu^{a}\left(C\eu^{an} - \frac ba\right) + \frac ba\left(\eu^a - 1\right) = q\,u_n + r

avec q=eaq = \eu^{a} et r=ba(ea−1)r = \frac{b}{a}\left(\eu^{a} - 1\right). La condition ∣q∣<1\abs q < 1 signifie ea<1\eu^a < 1, c.-à-d. a<0a < 0 : exactement la condition sous laquelle les solutions de l’équation différentielle convergent vers l’équilibre −ba-\frac ba — et en effet le point fixe de la récurrence est r1−q=−ba\frac{r}{1 - q} = -\frac{b}{a}.

26.5 Problème : l’horloge à l’intérieur des choses

Problème 26.1

Devoir du week-end — le carbone 14 date les grottes, la loi de refroidissement de Newton chronomètre un crime, et une seule petite équation porte quatre costumes

Une équation différentielle est une loi d’évolution ; la résoudre transforme la loi en horloge. La même minuscule équation y′=ay+by' = ay + b (Théorème 26.5) bat à l’intérieur des charbons préhistoriques, du café qui refroidit, des gouttes de pluie qui tombent et des perfusions hospitalières — et lire ces horloges est l’affaire de ce problème : il date les peintures de Lascaux, fixe une heure de décès, et vérifie ses propres hypothèses comme le ferait un bon scientifique.

Partie I — Aisance.

  1. Résoudre y′=3yy' = 3y avec y(0)=2y(0) = 2 ; puis y′=−2y+6y' = -2y + 6 avec y(0)=0y(0) = 0 (Méthode 26.6).
  2. Retrouver l’astuce d’unicité qui fonde le Théorème 26.2 : si y′=ayy' = ay, calculer la dérivée de y(t) e−aty(t)\,\eu^{-at} et en conclure que toute solution est de la forme CeatC\eu^{at}.
  3. Pour y′=−2y+6y' = -2y + 6 : trouver la solution d’équilibre, et décrire le sort de toutes les autres solutions quand t→+∞t \to +\infty. (Les points fixes des récurrences du Problème 13.1, passés au continu.)
  4. Pour la loi de décroissance y′=−yτy' = -\frac{y}{\tau} : montrer que la demi-vie vaut t1/2=τln⁡2t_{1/2} = \tau \ln 2.
  5. Représenter (ou décrire) la famille des solutions de y′=−2y+6y' = -2y + 6 : que font les solutions qui partent au-dessus de 33 ? Au-dessous de 33 ? En 33 ?

Partie II — Le carbone 14. Un tissu vivant maintient une proportion constante de carbone 14 radioactif ; à la mort, l’apport cesse et le stock décroît : N′=−λNN' = -\lambda N, avec une demi-vie de 5 7305\,730 ans.

  1. Calculer λ\lambda (par an).
  2. Un os conserve 20 %20\,\% de la proportion du vivant : quel est son âge ?
  3. Le charbon des grottes ornées de Lascaux en conserve environ 15 %15\,\% : dater les peintures.
  4. L’homme des glaces Ötzi, retrouvé dans un glacier alpin, en présentait environ 53 %53\,\% : le dater (les archéologues annoncent environ 5 3005\,300 ans — et vous ?).
  5. Pourquoi le carbone 14 ne peut-il pas dater les dinosaures ? Calculer la fraction restante après dix demi-vies, exprimer la fraction restante après 6565 millions d’années sous forme de puissance de 22, et conclure.
  6. Barres d’erreur : si les 53 %53\,\% d’Ötzi ne sont connus qu’à ±1 %\pm 1\,\% près, calculer la fourchette d’âge. Quelle précision de laboratoire achète quelle précision de datation ?

Partie III — Le refroidissement de Newton, et un crime. Un corps à la température TT dans un milieu de température constante TaT_a se refroidit selon T′=−k (T−Ta)T' = -k\,(T - T_a).

  1. Résoudre l’équation (poser z=T−Taz = T - T_a) :

    T(t)=Ta+(T0−Ta) e−kt.T(t) = T_a + (T_0 - T_a)\,\eu^{-kt} .
  2. Un café servi à 90 ∘90\,^\circC dans une pièce à 20 ∘20\,^\circC indique 70 ∘70\,^\circC au bout de 55 minutes. Déterminer kk, puis le temps d’attente avant les 55 ∘55\,^\circC buvables.
  3. La question du lait : pour boire le café le plus chaud possible dans dix minutes, faut-il verser le lait froid tout de suite ou au dernier moment ? Répondre à l’aide de l’équation (que fait l’ajout de lait à l’écart T−TaT - T_a, et comment cet écart pilote-t-il la perte ?).
  4. Médecine légale : un corps est découvert à minuit à 30 ∘30\,^\circC dans une pièce à 20 ∘20\,^\circC ; une heure plus tard il indique 28 ∘28\,^\circC. En supposant 37 ∘37\,^\circC au moment du décès, retrouver kk à partir des deux mesures, puis calculer l’heure de la mort.
  5. Auditer l’horloge du légiste : nommer trois entorses réelles aux hypothèses du modèle et, pour chacune, le sens dans lequel elle biaiserait l’heure estimée du décès.

Partie IV — Quatre costumes et une courbe en S.

  1. L’équation logistique de l’Exercice 26.8, y′=y(1−y)y' = y(1 - y) avec y(0)=0.1y(0) = 0.1 : à l’aide du changement de fonction de l’exercice, établir y(t)=11+9e−ty(t) = \dfrac{1}{1 + 9\eu^{-t}}, et déterminer l’instant du point d’inflexion y=12y = \frac12 — la date de l’épidémiologiste du Problème 22.1, désormais calculable.
  2. Une goutte de pluie obéit à v′=10−v2v' = 10 - \frac v2 (la pesanteur moins le frottement), avec v(0)=0v(0) = 0. Déterminer la vitesse limite, résoudre pour v(t)v(t), et calculer l’instant où la goutte atteint 95 %95\,\% de sa vitesse limite.
  3. Une perfusion délivre un médicament à débit constant tandis que l’organisme l’élimine proportionnellement : c′=4−0.5cc' = 4 - 0.5c, avec c(0)=0c(0) = 0. Déterminer la concentration d’équilibre et le temps nécessaire pour en atteindre la moitié. Énoncer en une phrase le parallèle avec les récurrences d’emprunt de l’Exercice 26.9.
  4. Pour finir — une équation, quatre costumes : désintégration, refroidissement, chute, perfusion, toutes de la forme y′=ay+by' = ay + b avec des signes et des noms différents. Réciter la boucle de modélisation que ce problème a parcourue quatre fois (loi →\to équation →\to solution →\to calibrage →\to prévision →\to audit), et nommer le phénomène qui réclame y′′y'' — ainsi que le problème qui l’a déjà rencontré.
Solution

Solution de Problème 26.1.

1. y=2e3ty = 2\eu^{3t}. Pour la seconde : équilibre 33, donc y=3+Ce−2ty = 3 + C\eu^{-2t} avec y(0)=0y(0) = 0, d’où C=−3C = -3 et y=3(1−e−2t)y = 3\left(1 - \eu^{-2t}\right).

2. (ye−at)′=y′e−at−aye−at=(y′−ay)e−at=0\left(y\eu^{-at}\right)' = y'\eu^{-at} - ay\eu^{-at} = (y' - ay)\eu^{-at} = 0 : le produit est une constante CC, donc y=Ceaty = C\eu^{at} — aucune solution n’échappe.

3. Équilibre : y≡3y \equiv 3. Toute autre solution s’écrit 3+Ce−2t3 + C\eu^{-2t} avec C≠0C \neq 0 : l’exponentielle meurt et la solution glisse vers 33 — un point fixe stable, jumeau continu des points fixes de récurrence du Problème 13.1.

4. y=y0e−t/τy = y_0\eu^{-t/\tau} est divisé par deux lorsque e−t/τ=12\eu^{-t/\tau} = \frac12, c’est-à-dire t=τln⁡2t = \tau\ln 2.

5. Toutes les solutions sont des translatées verticales de la décroissance vers 33 : celles qui partent au-dessus retombent vers 33, celles qui partent au-dessous montent vers 33, et la solution constante 33 ne bouge pas — un entonnoir autour de l’équilibre.

6. λ=ln⁡25730≈1.21×10−4\lambda = \frac{\ln 2}{5730} \approx 1.21 \times 10^{-4} par an.

7. e−λt=0.2\eu^{-\lambda t} = 0.2 : t=ln⁡5λ≈13 300t = \frac{\ln 5}{\lambda} \approx 13\,300 ans.

8. t=ln⁡(1/0.15)λ≈15 700t = \frac{\ln(1/0.15)}{\lambda} \approx 15\,700 ans : les taureaux de Lascaux datent de la fin de la période glaciaire.

9. t=ln⁡(1/0.53)λ≈5 250t = \frac{\ln(1/0.53)}{\lambda} \approx 5\,250 ans : à une vie d’homme près de la valeur des archéologues — l’horloge fonctionne.

10. Dix demi-vies laissent 2−10≈0.1 %2^{-10} \approx 0.1\,\% : à la limite de la mesure. Après 6565 millions d’années, la fraction vaut 2−65 000 000/5 730≈2−11 3442^{-65\,000\,000/5\,730} \approx 2^{-11\,344} : il ne reste aucun atome du stock initial dans le moindre fossile — les dinosaures se datent avec des horloges plus lentes (potassium-argon et apparentées).

11. 52 %52\,\% donne environ 5 4055\,405 ans, 54 %54\,\% environ 5 0955\,095 : le ±1 %\pm 1\,\% de la chimie devient à peu près ±155\pm 155 ans d’histoire — la précision au laboratoire est la précision du cartel de musée.

12. z=T−Taz = T - T_a vérifie z′=−kzz' = -kz, donc z=(T0−Ta)e−ktz = (T_0 - T_a)\eu^{-kt} et T=Ta+zT = T_a + z.

13. L’écart initial vaut T0−Ta=70T_0 - T_a = 70 ; après cinq minutes il vaut 70−20=5070 - 20 = 50, donc 50=70e−5k50 = 70\eu^{-5k} et k=ln⁡(70/50)5≈0.067k = \frac{\ln(70/50)}{5} \approx 0.067 par minute. Buvable : 55−20=35=70e−kt55 - 20 = 35 = 70\eu^{-kt}, d’où t=ln⁡2k≈10.3t = \frac{\ln 2}{k} \approx 10.3 minutes.

14. La vitesse de perte est proportionnelle à l’écart T−TaT - T_a : un café brûlant perd sa chaleur le plus vite. Verser le lait tout de suite réduit immédiatement l’écart, donc moins de chaleur est perdue sur les dix minutes ; le verser à la fin laisse d’abord le café refroidir à pleine vitesse. Pour la tasse la plus chaude : le lait d’abord. (Les hôtes impatients ont la thermodynamique à l’envers.)

15. Écarts au milieu ambiant : 1010 à minuit, 88 une heure plus tard, donc e−k=0.8\eu^{-k} = 0.8 et k=ln⁡108≈0.223k = \ln\frac{10}{8} \approx 0.223 par heure. À la mort, l’écart valait 1717 ; il a décru jusqu’à 1010 à minuit : s=ln⁡(17/10)k≈2.4s = \frac{\ln(17/10)}{k} \approx 2.4 heures. Heure du décès : vers 21:4021{:}40.

16. Une pièce chauffée ou traversée de courants d’air (TaT_a non constant) fausse l’horloge dans un sens ou dans l’autre ; des vêtements ou une corpulence différente changent kk (les tables des légistes le corrigent) — un kk erroné dilate tout l’intervalle ; et un corps déplacé depuis un autre lieu remet TaT_a à zéro en cours de refroidissement, simulant une mort plus précoce ou plus tardive. L’équation est honnête ; ce sont les hypothèses qui portent le risque.

17. z=1yz = \frac1y obéit à z′=1−zz' = 1 - z : z=1+9e−tz = 1 + 9\eu^{-t} (à partir de z(0)=10z(0) = 10), donc y=11+9e−ty = \frac{1}{1 + 9\eu^{-t}}. Inflexion en y=12y = \frac12 : 9e−t=19\eu^{-t} = 1, soit t=ln⁡9≈2.2t = \ln 9 \approx 2.2 — la date de retournement de l’épidémie, tirée directement de la formule.

18. Vitesse limite : v′=0v' = 0 pour v=20v = 20 m/s. Solution : v(t)=20(1−e−t/2)v(t) = 20\left(1 - \eu^{-t/2}\right). Puis 0.950.95 : e−t/2=0.05\eu^{-t/2} = 0.05, donc t=2ln⁡20≈6t = 2\ln 20 \approx 6 s — les gouttes de pluie atteignent leur vitesse de croisière en quelques secondes, et c’est pourquoi la pluie ne tue pas.

19. Régime permanent : c=8c = 8. La moitié : 4=8(1−e−t/2)4 = 8\left(1 - \eu^{-t/2}\right), donc e−t/2=12\eu^{-t/2} = \frac12 et t=2ln⁡2≈1.4t = 2\ln 2 \approx 1.4 heure. La perfusion est le jumeau continu de l’emprunt : entrée constante, sortie proportionnelle — l’Exercice 26.9 rend le dictionnaire exact.

20. Désintégration (a<0a < 0, b=0b = 0), refroidissement (y=T−Tay = T - T_a), chute (a<0a < 0, b>0b > 0 : approche de l’équilibre par en dessous), perfusion (idem, dans une veine) : une équation, quatre mondes. La boucle : énoncer la loi d’évolution ; écrire l’équation ; résoudre (Méthode 26.6) ; calibrer les constantes sur des mesures ; prévoir ; puis auditer les hypothèses (question 16). L’oscillation, elle, réclame y′′=−ω2yy'' = -\omega^2 y — rencontrée, résolue et mise en branle au Problème 24.1.

Termes définis dans ce chapitre

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