Mathematics · Book 2 · Grades 10–12

Mathématiques du lycée

Mathématiques du lycée · Grades 10–12

24Fonctions trigonométriques

Les fonctions cos⁡\cos et sin⁡\sin transforment la géométrie du cercle en analyse. Définies en enroulant la droite réelle autour du cercle trigonométrique, elles sont l’archétype des fonctions périodiques, et leurs dérivées en font des solutions de l’équation des oscillations y′′=−yy'' = -y.

24.1 Le cercle trigonométrique

Définition 24.1 (Cosinus et sinus)

Soit C\mathcal{C} le cercle de rayon 11 centré à l’origine d’un repère orthonormal. À chaque réel tt, associer le point M(t)M(t) obtenu en enroulant une longueur ∣t∣\abs{t} le long de C\mathcal{C} depuis le point I(1,0)I(1,0), dans le sens trigonométrique si t≥0t \geq 0 et dans le sens horaire sinon. Alors cos⁡t\cos t et sin⁡t\sin t sont les coordonnées de M(t)M(t) :

M(t)=(cos⁡t,sin⁡t).M(t) = (\cos t, \sin t).

Comme le cercle a pour circonférence 2π2\pi, le point M(t)M(t) est inchangé lorsque tt augmente de 2π2\pi ; et comme M(t)M(t) est sur le cercle unité :

Proposition 24.2 (Identités fondamentales)

Pour tout t∈Rt \in \R et k∈Zk \in \Z :

cos⁡2t+sin⁡2t=1,cos⁡(t+2kπ)=cos⁡t,sin⁡(t+2kπ)=sin⁡t,\cos^2 t + \sin^2 t = 1, \qquad \cos(t + 2k\pi) = \cos t, \qquad \sin(t + 2k\pi) = \sin t,
cos⁡(−t)=cos⁡t,sin⁡(−t)=−sin⁡t,\cos(-t) = \cos t, \qquad \sin(-t) = -\sin t,
cos⁡(π−t)=−cos⁡t,sin⁡(π−t)=sin⁡t,cos⁡(π2−t)=sin⁡t,sin⁡(π2−t)=cos⁡t.\cos(\pi - t) = -\cos t, \quad \sin(\pi - t) = \sin t, \quad \cos\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \sin t, \quad \sin\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \cos t .

Démonstration. La première identité est l’équation du cercle unité ; les autres expriment les symétries du cercle : M(−t)M(-t) est le symétrique de M(t)M(t) par rapport à l’axe des xx, M(π−t)M(\pi - t) par rapport à l’axe des yy, et M(π2−t)M(\frac\pi2 - t) par rapport à la droite y=xy = x. ∎

Les valeurs à connaître par cœur :

tt00π6\dfrac{\pi}{6}π4\dfrac{\pi}{4}π3\dfrac{\pi}{3}π2\dfrac{\pi}{2}
[6pt] cos⁡t\cos t1132\dfrac{\sqrt3}{2}22\dfrac{\sqrt2}{2}12\dfrac1200
[6pt] sin⁡t\sin t0012\dfrac1222\dfrac{\sqrt2}{2}32\dfrac{\sqrt3}{2}11

Proposition 24.3 (Formules d’addition)

Pour tous a,b∈Ra, b \in \R :

cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b,sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b,cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b,sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b.\begin{align*} \cos(a+b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b, & \sin(a+b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b,\\ \cos(a-b) &= \cos a \cos b + \sin a \sin b, & \sin(a-b) &= \sin a \cos b - \cos a \sin b. \end{align*}

En particulier cos⁡2a=2cos⁡2a−1=1−2sin⁡2a\cos 2a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a et sin⁡2a=2sin⁡acos⁡a\sin 2a = 2 \sin a \cos a.

Démonstration. Les vecteurs u→=(cos⁡a,sin⁡a)\vect{u} = (\cos a, \sin a) et v→=(cos⁡b,sin⁡b)\vect{v} = (\cos b, \sin b) sont des vecteurs unitaires faisant un angle a−ba - b ; leur produit scalaire égale à la fois cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos a\cos b + \sin a \sin b (coordonnées) et ∥u→∥ ∥v→∥cos⁡(a−b)=cos⁡(a−b)\norm{\vect u}\,\norm{\vect v}\cos(a-b) = \cos(a - b) (géométrie), ce qui est la troisième formule. Remplacer bb par −b-b donne la première ; les formules de sinus suivent en utilisant sin⁡x=cos⁡(π2−x)\sin x = \cos(\frac\pi2 - x). Les formules de duplication sont le cas b=ab = a combiné avec cos⁡2+sin⁡2=1\cos^2 + \sin^2 = 1. ∎

24.2 Étude analytique

Lemme 24.4 (Limite fondamentale)

lim⁡t→0sin⁡tt=1etlim⁡t→0cos⁡t−1t=0.\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1 \qquad\text{et}\qquad \lim_{t \to 0} \frac{\cos t - 1}{t} = 0 .

Démonstration. Pour 0<t<π20 < t < \frac{\pi}{2}, comparer trois aires dans le cercle unité : le triangle OIM(t)OIM(t), le secteur circulaire OIM(t)OIM(t), et le triangle rectangle de base OIOI et de hauteur tan⁡t\tan t :

sin⁡t2≤t2≤tan⁡t2.\frac{\sin t}{2} \leq \frac{t}{2} \leq \frac{\tan t}{2}.
Les trois aires emboîtées : le triangle OIM (bleu, aire t/2), le secteur circulaire (borné par l’arc rouge, aire t/2), et le triangle rectangle de hauteur t (orange, aire t/2).
Les trois aires emboîtées : le triangle OIMOIM (bleu, aire sin⁡t2\frac{\sin t}{2}), le secteur circulaire (borné par l’arc rouge, aire t2\frac{t}{2}), et le triangle rectangle de hauteur tan⁡t\tan t (orange, aire tan⁡t2\frac{\tan t}{2}).

La première inégalité donne sin⁡tt≤1\frac{\sin t}{t} \leq 1 ; la seconde donne cos⁡t≤sin⁡tt\cos t \leq \frac{\sin t}{t}. Lorsque t→0+t \to 0^+, cos⁡t→1\cos t \to 1 (continuité), et le théorème des gendarmes donne sin⁡tt→1\frac{\sin t}{t} \to 1 ; la parité étend cela à t→0t \to 0. Pour la seconde limite,

cos⁡t−1t=cos⁡2t−1t(cos⁡t+1)=−sin⁡tt⋅sin⁡tcos⁡t+1→t→0−1⋅02=0.\frac{\cos t - 1}{t} = \frac{\cos^2 t - 1}{t(\cos t + 1)} = -\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{\sin t}{\cos t + 1} \xrightarrow[t\to0]{} -1 \cdot \frac{0}{2} = 0. \qedhere

∎

Théorème 24.5 (Dérivées du sinus et du cosinus)

Les fonctions sin⁡\sin et cos⁡\cos sont dérivables sur R\R, avec

(sin⁡)′=cos⁡,(cos⁡)′=−sin⁡.(\sin)' = \cos, \qquad (\cos)' = -\sin .

Plus généralement, (sin⁡(ax+b))′=acos⁡(ax+b)(\sin(ax+b))' = a\cos(ax+b) et (cos⁡(ax+b))′=−asin⁡(ax+b)(\cos(ax+b))' = -a\sin(ax+b).

Démonstration. Par les formules d’addition,

sin⁡(x+h)−sin⁡xh=sin⁡x cos⁡h−1h+cos⁡x sin⁡hh→h→0sin⁡x⋅0+cos⁡x⋅1=cos⁡x,\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} = \sin x\,\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x\,\frac{\sin h}{h} \xrightarrow[h\to0]{} \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x,

en utilisant le Lemme 24.4. Le calcul pour cos⁡\cos est identique, et la forme générale suit de la règle de la chaîne. ∎

Proposition 24.6 (Variations)

Sur [0, π]\intcc{0}{\pi}, cos⁡\cos décroît de 11 à −1-1. Sur [−π2, π2]\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}, sin⁡\sin croît de −1-1 à 11. Les deux fonctions sont 2π2\pi-périodiques et ont pour image [−1, 1]\intcc{-1}{1} ; cos⁡\cos est paire, sin⁡\sin est impaire.

Démonstration. Sur (0, π)\intoo{0}{\pi}, (cos⁡)′=−sin⁡<0(\cos)' = -\sin < 0 car le point M(t)M(t) a une ordonnée positive là ; de même (sin⁡)′=cos⁡>0(\sin)' = \cos > 0 sur (−π2, π2)\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}. La périodicité et la parité viennent de la Proposition 24.2. ∎

Les courbes de (bleu) et (rouge).
Les courbes de cos⁡\cos (bleu) et sin⁡\sin (rouge).

Méthode 24.7 (Résoudre cos⁡x=a\cos x = a et sin⁡x=a\sin x = a)

Pour a∈[−1, 1]a \in \intcc{-1}{1}, trouver une solution particulière α\alpha (d’après le tableau de valeurs ou une calculatrice). Alors toutes les solutions sont :

cos⁡x=cos⁡α  ⟺  x=α+2kπ ou x=−α+2kπ,k∈Z;\cos x = \cos\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ ou } x = -\alpha + 2k\pi, \quad k \in \Z;
sin⁡x=sin⁡α  ⟺  x=α+2kπ ou x=π−α+2kπ,k∈Z.\sin x = \sin\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ ou } x = \pi - \alpha + 2k\pi, \quad k \in \Z.

Pour les inégalités, localiser les arcs solutions sur le cercle trigonométrique et lire les intervalles sur une période.

Exemple 24.8

Résoudre cos⁡x=12\cos x = \frac12 dans (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi} : une solution particulière est π3\frac\pi3, donc les solutions sont x=π3x = \frac\pi3 et x=−π3x = -\frac\pi3. Dans tout R\R : x=±π3+2kπx = \pm\frac\pi3 + 2k\pi, k∈Zk \in \Z.

24.3 Exercices

Exercice 24.1 ★

Calculer cos⁡2π3\cos\frac{2\pi}{3}, sin⁡5π6\sin\frac{5\pi}{6}, cos⁡7π4\cos\frac{7\pi}{4} et sin⁡(−π3)\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) en utilisant les identités de la Proposition 24.2.

Solution

Solution de Exercice 24.1.

cos⁡2π3=cos⁡(π−π3)=−cos⁡π3=−12\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac\pi3\right) = -\cos\frac\pi3 = -\frac12.

sin⁡5π6=sin⁡(π−π6)=sin⁡π6=12\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac\pi6\right) = \sin\frac\pi6 = \frac12.

cos⁡7π4=cos⁡(2π−π4)=cos⁡(−π4)=22\cos\frac{7\pi}{4} = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}.

sin⁡(−π3)=−sin⁡π3=−32\sin\left(-\frac\pi3\right) = -\sin\frac\pi3 = -\frac{\sqrt3}{2}.

Exercice 24.2 ★

Dériver f(x)=sin⁡2xf(x) = \sin^2 x, g(x)=cos⁡(3x)+xsin⁡xg(x) = \cos(3x) + x\sin x et h(x)=sin⁡x2+cos⁡xh(x) = \dfrac{\sin x}{2 + \cos x}.

Solution

Solution de Exercice 24.2.

f′(x)=2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2xf'(x) = 2\sin x\cos x = \sin 2x (règle de la chaîne).

g′(x)=−3sin⁡(3x)+sin⁡x+xcos⁡xg'(x) = -3\sin(3x) + \sin x + x\cos x (règles de la chaîne et du produit).

Règle du quotient :

h′(x)=cos⁡x (2+cos⁡x)−sin⁡x (−sin⁡x)(2+cos⁡x)2=2cos⁡x+cos⁡2x+sin⁡2x(2+cos⁡x)2=2cos⁡x+1(2+cos⁡x)2.h'(x) = \frac{\cos x\,(2 + \cos x) - \sin x\,(-\sin x)}{(2+\cos x)^2} = \frac{2\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(2+\cos x)^2} = \frac{2\cos x + 1}{(2+\cos x)^2}.

Exercice 24.3 ★

Résoudre dans (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi}, puis dans R\R :

(a) sin⁡x=32;(b) cos⁡(2x)=22.\text{(a) } \sin x = \frac{\sqrt3}{2}; \qquad \text{(b) } \cos\left(2x\right) = \frac{\sqrt2}{2} .
Solution

Solution de Exercice 24.3.

(a) Une solution particulière de sin⁡x=32\sin x = \frac{\sqrt3}{2} est π3\frac\pi3. Solutions générales : x=π3+2kπx = \frac\pi3 + 2k\pi ou x=π−π3+2kπ=2π3+2kπx = \pi - \frac\pi3 + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi. Dans (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi} : x∈{π3,2π3}x \in \left\{\frac\pi3, \frac{2\pi}{3}\right\}.

(b) cos⁡2x=22=cos⁡π4\cos 2x = \frac{\sqrt2}{2} = \cos\frac\pi4 donne 2x=±π4+2kπ2x = \pm\frac\pi4 + 2k\pi, donc x=±π8+kπx = \pm\frac\pi8 + k\pi. Dans (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi} : x∈{−7π8,−π8,π8,7π8}x \in \left\{-\frac{7\pi}{8}, -\frac\pi8, \frac\pi8, \frac{7\pi}{8}\right\}.

Exercice 24.4 ★★

En utilisant les formules d’addition, calculer la valeur exacte de cos⁡π12\cos\frac{\pi}{12} et sin⁡π12\sin\frac{\pi}{12}. (Indication : π12=π3−π4\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}.)

Solution

Solution de Exercice 24.4.

Avec a=π3a = \frac\pi3, b=π4b = \frac\pi4 :

cos⁡π12=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b=12⋅22+32⋅22=2+64,\cos\frac{\pi}{12} = \cos a\cos b + \sin a \sin b = \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt2 + \sqrt6}{4},
sin⁡π12=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b=32⋅22−12⋅22=6−24.\sin\frac{\pi}{12} = \sin a\cos b - \cos a \sin b = \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} - \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}.

Exercice 24.5 ★★

Résoudre dans [0, 2π]\intcc{0}{2\pi} l’inéquation 2sin⁡2x−sin⁡x−1≥02\sin^2 x - \sin x - 1 \geq 0. (Indication : factoriser le trinôme en sin⁡x\sin x.)

Solution

Solution de Exercice 24.5.

Poser s=sin⁡xs = \sin x : 2s2−s−1=(2s+1)(s−1)≥02s^2 - s - 1 = (2s + 1)(s - 1) \geq 0 ssi s≤−12s \leq -\frac12 ou s=1s = 1.

sin⁡x=1\sin x = 1 donne x=π2x = \frac\pi2. sin⁡x≤−12\sin x \leq -\frac12 : sur le cercle, l’arc sous la droite horizontale y=−12y = -\frac12, qui dans [0, 2π]\intcc{0}{2\pi} est x∈[7π6, 11π6]x \in \intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}}. D’où

S={π2}∪[7π6, 11π6].S = \left\{\frac{\pi}{2}\right\} \cup \intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}} .

Exercice 24.6 ★★

Calculer les limites

lim⁡x→0sin⁡3xx,lim⁡x→01−cos⁡xx2,lim⁡x→+∞xsin⁡1x.\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{x}, \qquad \lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{x^2}, \qquad \lim_{x\to+\infty} x \sin\frac{1}{x}.
Solution

Solution de Exercice 24.6.

sin⁡3xx=3 sin⁡3x3x→3⋅1=3\dfrac{\sin 3x}{x} = 3\,\dfrac{\sin 3x}{3x} \to 3 \cdot 1 = 3 (composition avec u=3x→0u = 3x \to 0).

En utilisant 1−cos⁡x=sin⁡2x1+cos⁡x1 - \cos x = \dfrac{\sin^2 x}{1 + \cos x} :

1−cos⁡xx2=(sin⁡xx) ⁣211+cos⁡x→x→01⋅12=12.\frac{1 - \cos x}{x^2} = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\!2} \frac{1}{1 + \cos x} \xrightarrow[x\to0]{} 1 \cdot \frac12 = \frac12 .

En substituant u=1x→0+u = \frac1x \to 0^+ : xsin⁡1x=sin⁡uu→1x \sin\frac1x = \frac{\sin u}{u} \to 1.

Exercice 24.7 ★★

Étudier la fonction f(x)=x+cos⁡xf(x) = x + \cos x sur [0, 2π]\intcc{0}{2\pi} : variations et extrema. Montrer que ff est croissante sur R\R bien que f′f' s’annule en une infinité de points.

Solution

Solution de Exercice 24.7.

f′(x)=1−sin⁡x≥0f'(x) = 1 - \sin x \geq 0 pour tout xx, avec égalité exactement lorsque sin⁡x=1\sin x = 1, c’est-à-dire x=π2+2kπx = \frac\pi2 + 2k\pi. Sur [0, 2π]\intcc{0}{2\pi}, ff croît de f(0)=1f(0) = 1 à f(2π)=2π+1f(2\pi) = 2\pi + 1 (le zéro de f′f' en π2\frac{\pi}{2} est isolé, donc la croissance est même stricte) ; minimum 11 en 00, maximum 2π+12\pi + 1 en 2π2\pi. Sur R\R, f′≥0f' \geq 0 partout avec seulement des zéros isolés, donc ff est (strictement) croissante par le Théorème 22.7, bien que f′f' s’annule en chaque π2+2kπ\frac\pi2 + 2k\pi.

Exercice 24.8 ★★★

Soit f(x)=Acos⁡x+Bsin⁡xf(x) = A\cos x + B \sin x avec (A,B)≠(0,0)(A,B) \neq (0,0).

  1. Montrer que ff peut s’écrire f(x)=Rcos⁡(x−φ)f(x) = R\cos(x - \varphi) avec R=A2+B2R = \sqrt{A^2 + B^2} et un φ\varphi convenable.
  2. En déduire le maximum et le minimum de ff, et résoudre cos⁡x+sin⁡x=1\cos x + \sin x = 1 dans (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi}.
Solution

Solution de Exercice 24.8.

1. Soit R=A2+B2>0R = \sqrt{A^2 + B^2} > 0. Le point (AR,BR)\left(\frac AR, \frac BR\right) est sur le cercle unité, donc il existe φ\varphi avec cos⁡φ=AR\cos\varphi = \frac AR et sin⁡φ=BR\sin\varphi = \frac BR. Alors

Rcos⁡(x−φ)=R(cos⁡xcos⁡φ+sin⁡xsin⁡φ)=Acos⁡x+Bsin⁡x=f(x).R\cos(x - \varphi) = R\bigl(\cos x\cos\varphi + \sin x \sin\varphi\bigr) = A\cos x + B\sin x = f(x).

2. Comme cos⁡\cos a pour image [−1, 1]\intcc{-1}{1}, ff a pour maximum RR et pour minimum −R-R. Pour cos⁡x+sin⁡x\cos x + \sin x : A=B=1A = B = 1, R=2R = \sqrt2, φ=π4\varphi = \frac\pi4, donc l’équation devient 2cos⁡(x−π4)=1\sqrt2\cos\left(x - \frac\pi4\right) = 1, c’est-à-dire cos⁡(x−π4)=22\cos\left(x - \frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}, donnant x−π4=±π4+2kπx - \frac\pi4 = \pm\frac\pi4 + 2k\pi : dans (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi}, x∈{0,π2}x \in \left\{0, \frac\pi2\right\}.

Exercice 24.9 ★★★

Montrer que sin⁡\sin et cos⁡\cos satisfont tous deux l’équation différentielle y′′=−yy'' = -y. Réciproquement, soit yy une solution de y′′=−yy'' = -y avec y(0)=ay(0) = a et y′(0)=by'(0) = b ; montrer que y=acos⁡+bsin⁡y = a\cos + b\sin. (Indication : considérer g=(y−acos⁡−bsin⁡)g = (y - a\cos - b\sin) et « l’énergie » E=g2+(g′)2E = g^2 + (g')^2.)

Solution

Solution de Exercice 24.9.

(sin⁡)′′=(cos⁡)′=−sin⁡(\sin)'' = (\cos)' = -\sin et (cos⁡)′′=(−sin⁡)′=−cos⁡(\cos)'' = (-\sin)' = -\cos : tous deux résolvent y′′=−yy'' = -y.

Soit g=y−acos⁡−bsin⁡g = y - a\cos - b\sin. Alors g′′=−gg'' = -g (linéarité de la dérivation), g(0)=y(0)−a=0g(0) = y(0) - a = 0 et g′(0)=y′(0)−b=0g'(0) = y'(0) - b = 0. Poser E=g2+(g′)2E = g^2 + (g')^2. Alors

E′=2gg′+2g′g′′=2gg′−2g′g=0,E' = 2g g' + 2g' g'' = 2g g' - 2g' g = 0,

donc EE est constante égale à E(0)=0E(0) = 0. Une somme de deux carrés qui s’annule identiquement force g=0g = 0, d’où y=acos⁡+bsin⁡y = a\cos + b\sin.