Mathématiques du lycée · Grades 10–12

24Fonctions trigonométriques

Les fonctions $\cos$ et $\sin$ transforment la géométrie du cercle en analyse. Définies en enroulant la droite réelle autour du cercle trigonométrique, elles sont l’archétype des fonctions périodiques, et leurs dérivées en font des solutions de l’équation des oscillations $y'' = -y$ .

24.1 Le cercle trigonométrique

Définition 24.1 (Cosinus et sinus)

Soit $\mathcal{C}$ le cercle de rayon $1$ centré à l’origine d’un repère orthonormal. À chaque réel $t$ , associer le point $M(t)$ obtenu en enroulant une longueur $\abs{t}$ le long de $\mathcal{C}$ depuis le point $I(1,0)$ , dans le sens trigonométrique si $t \geq 0$ et dans le sens horaire sinon. Alors $\cos t$ et $\sin t$ sont les coordonnées de $M(t)$ :

M(t) = (\cos t, \sin t).

Comme le cercle a pour circonférence $2\pi$ , le point $M(t)$ est inchangé lorsque $t$ augmente de $2\pi$ ; et comme $M(t)$ est sur le cercle unité :

Proposition 24.2 (Identités fondamentales)

Pour tout $t \in \R$ et $k \in \Z$ :

\cos^2 t + \sin^2 t = 1, \qquad \cos(t + 2k\pi) = \cos t, \qquad \sin(t + 2k\pi) = \sin t,

\cos(-t) = \cos t, \qquad \sin(-t) = -\sin t,

\cos(\pi - t) = -\cos t, \quad \sin(\pi - t) = \sin t, \quad \cos\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \sin t, \quad \sin\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \cos t .

Démonstration. La première identité est l’équation du cercle unité ; les autres expriment les symétries du cercle : $M(-t)$ est le symétrique de $M(t)$ par rapport à l’axe des $x$ , $M(\pi - t)$ par rapport à l’axe des $y$ , et $M(\frac\pi2 - t)$ par rapport à la droite $y = x$ . ∎

Les valeurs à connaître par cœur :

$t$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
[6pt] $\cos t$	$1$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac12$	$0$
[6pt] $\sin t$	$0$	$\dfrac12$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$1$

Proposition 24.3 (Formules d’addition)

Pour tous $a, b \in \R$ :

\begin{align*} \cos(a+b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b, & \sin(a+b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b,\\ \cos(a-b) &= \cos a \cos b + \sin a \sin b, & \sin(a-b) &= \sin a \cos b - \cos a \sin b. \end{align*}

En particulier $\cos 2a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ et $\sin 2a = 2 \sin a \cos a$ .

Démonstration. Les vecteurs $\vect{u} = (\cos a, \sin a)$ et $\vect{v} = (\cos b, \sin b)$ sont des vecteurs unitaires faisant un angle $a - b$ ; leur produit scalaire égale à la fois $\cos a\cos b + \sin a \sin b$ (coordonnées) et $\norm{\vect u}\,\norm{\vect v}\cos(a-b) = \cos(a - b)$ (géométrie), ce qui est la troisième formule. Remplacer $b$ par $-b$ donne la première ; les formules de sinus suivent en utilisant $\sin x = \cos(\frac\pi2 - x)$ . Les formules de duplication sont le cas $b = a$ combiné avec $\cos^2 + \sin^2 = 1$ . ∎

24.2 Étude analytique

Lemme 24.4 (Limite fondamentale)

\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1 \qquad\text{et}\qquad \lim_{t \to 0} \frac{\cos t - 1}{t} = 0 .

Démonstration. Pour $0 < t < \frac{\pi}{2}$ , comparer trois aires dans le cercle unité : le triangle $OIM(t)$ , le secteur circulaire $OIM(t)$ , et le triangle rectangle de base $OI$ et de hauteur $\tan t$ :

\frac{\sin t}{2} \leq \frac{t}{2} \leq \frac{\tan t}{2}.

Les trois aires emboîtées : le triangle OIM (bleu, aire t/2), le secteur circulaire (borné par l’arc rouge, aire t/2), et le triangle rectangle de hauteur t (orange, aire t/2). — Les trois aires emboîtées : le triangle $OIM$ (bleu, aire $\frac{\sin t}{2}$ ), le secteur circulaire (borné par l’arc rouge, aire $\frac{t}{2}$ ), et le triangle rectangle de hauteur $\tan t$ (orange, aire $\frac{\tan t}{2}$ ).

La première inégalité donne $\frac{\sin t}{t} \leq 1$ ; la seconde donne $\cos t \leq \frac{\sin t}{t}$ . Lorsque $t \to 0^+$ , $\cos t \to 1$ (continuité), et le théorème des gendarmes donne $\frac{\sin t}{t} \to 1$ ; la parité étend cela à $t \to 0$ . Pour la seconde limite,

\frac{\cos t - 1}{t} = \frac{\cos^2 t - 1}{t(\cos t + 1)} = -\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{\sin t}{\cos t + 1} \xrightarrow[t\to0]{} -1 \cdot \frac{0}{2} = 0. \qedhere

∎

Théorème 24.5 (Dérivées du sinus et du cosinus)

Les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont dérivables sur $\R$ , avec

(\sin)' = \cos, \qquad (\cos)' = -\sin .

Plus généralement, $(\sin(ax+b))' = a\cos(ax+b)$ et $(\cos(ax+b))' = -a\sin(ax+b)$ .

Démonstration. Par les formules d’addition,

\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} = \sin x\,\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x\,\frac{\sin h}{h} \xrightarrow[h\to0]{} \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x,

en utilisant le Lemme 24.4. Le calcul pour $\cos$ est identique, et la forme générale suit de la règle de la chaîne. ∎

Proposition 24.6 (Variations)

Sur $\intcc{0}{\pi}$ , $\cos$ décroît de $1$ à $-1$ . Sur $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , $\sin$ croît de $-1$ à $1$ . Les deux fonctions sont $2\pi$ -périodiques et ont pour image $\intcc{-1}{1}$ ; $\cos$ est paire, $\sin$ est impaire.

Démonstration. Sur $\intoo{0}{\pi}$ , $(\cos)' = -\sin < 0$ car le point $M(t)$ a une ordonnée positive là ; de même $(\sin)' = \cos > 0$ sur $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ . La périodicité et la parité viennent de la Proposition 24.2. ∎

Les courbes de (bleu) et (rouge). — Les courbes de $\cos$ (bleu) et $\sin$ (rouge).

Méthode 24.7 (Résoudre $\cos x = a$ et $\sin x = a$ )

Pour $a \in \intcc{-1}{1}$ , trouver une solution particulière $\alpha$ (d’après le tableau de valeurs ou une calculatrice). Alors toutes les solutions sont :

\cos x = \cos\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ ou } x = -\alpha + 2k\pi, \quad k \in \Z;

\sin x = \sin\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ ou } x = \pi - \alpha + 2k\pi, \quad k \in \Z.

Pour les inégalités, localiser les arcs solutions sur le cercle trigonométrique et lire les intervalles sur une période.

Exemple 24.8

Résoudre $\cos x = \frac12$ dans $\intoc{-\pi}{\pi}$ : une solution particulière est $\frac\pi3$ , donc les solutions sont $x = \frac\pi3$ et $x = -\frac\pi3$ . Dans tout $\R$ : $x = \pm\frac\pi3 + 2k\pi$ , $k \in \Z$ .

24.3 Exercices

Exercice 24.1 ★

Calculer $\cos\frac{2\pi}{3}$ , $\sin\frac{5\pi}{6}$ , $\cos\frac{7\pi}{4}$ et $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ en utilisant les identités de la Proposition 24.2.

Solution

Solution de Exercice 24.1.

$\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac\pi3\right) = -\cos\frac\pi3 = -\frac12$ .

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac\pi6\right) = \sin\frac\pi6 = \frac12$ .

$\cos\frac{7\pi}{4} = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}$ .

$\sin\left(-\frac\pi3\right) = -\sin\frac\pi3 = -\frac{\sqrt3}{2}$ .

Exercice 24.2 ★

Dériver $f(x) = \sin^2 x$ , $g(x) = \cos(3x) + x\sin x$ et $h(x) = \dfrac{\sin x}{2 + \cos x}$ .

Solution

Solution de Exercice 24.2.

$f'(x) = 2\sin x\cos x = \sin 2x$ (règle de la chaîne).

$g'(x) = -3\sin(3x) + \sin x + x\cos x$ (règles de la chaîne et du produit).

Règle du quotient :

h'(x) = \frac{\cos x\,(2 + \cos x) - \sin x\,(-\sin x)}{(2+\cos x)^2} = \frac{2\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(2+\cos x)^2} = \frac{2\cos x + 1}{(2+\cos x)^2}.

Exercice 24.3 ★

Résoudre dans $\intoc{-\pi}{\pi}$ , puis dans $\R$ :

\text{(a) } \sin x = \frac{\sqrt3}{2}; \qquad \text{(b) } \cos\left(2x\right) = \frac{\sqrt2}{2} .

Solution

Solution de Exercice 24.3.

(a) Une solution particulière de $\sin x = \frac{\sqrt3}{2}$ est $\frac\pi3$ . Solutions générales : $x = \frac\pi3 + 2k\pi$ ou $x = \pi - \frac\pi3 + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ . Dans $\intoc{-\pi}{\pi}$ : $x \in \left\{\frac\pi3, \frac{2\pi}{3}\right\}$ .

(b) $\cos 2x = \frac{\sqrt2}{2} = \cos\frac\pi4$ donne $2x = \pm\frac\pi4 + 2k\pi$ , donc $x = \pm\frac\pi8 + k\pi$ . Dans $\intoc{-\pi}{\pi}$ : $x \in \left\{-\frac{7\pi}{8}, -\frac\pi8, \frac\pi8, \frac{7\pi}{8}\right\}$ .

Exercice 24.4 ★★

En utilisant les formules d’addition, calculer la valeur exacte de $\cos\frac{\pi}{12}$ et $\sin\frac{\pi}{12}$ . (Indication : $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$ .)

Solution

Solution de Exercice 24.4.

Avec $a = \frac\pi3$ , $b = \frac\pi4$ :

\cos\frac{\pi}{12} = \cos a\cos b + \sin a \sin b = \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt2 + \sqrt6}{4},

\sin\frac{\pi}{12} = \sin a\cos b - \cos a \sin b = \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} - \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}.

Exercice 24.5 ★★

Résoudre dans $\intcc{0}{2\pi}$ l’inéquation $2\sin^2 x - \sin x - 1 \geq 0$ . (Indication : factoriser le trinôme en $\sin x$ .)

Solution

Solution de Exercice 24.5.

Poser $s = \sin x$ : $2s^2 - s - 1 = (2s + 1)(s - 1) \geq 0$ ssi $s \leq -\frac12$ ou $s = 1$ .

$\sin x = 1$ donne $x = \frac\pi2$ . $\sin x \leq -\frac12$ : sur le cercle, l’arc sous la droite horizontale $y = -\frac12$ , qui dans $\intcc{0}{2\pi}$ est $x \in \intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}}$ . D’où

S = \left\{\frac{\pi}{2}\right\} \cup \intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}} .

Exercice 24.6 ★★

Calculer les limites

\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{x}, \qquad \lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{x^2}, \qquad \lim_{x\to+\infty} x \sin\frac{1}{x}.

Solution

Solution de Exercice 24.6.

$\dfrac{\sin 3x}{x} = 3\,\dfrac{\sin 3x}{3x} \to 3 \cdot 1 = 3$ (composition avec $u = 3x \to 0$ ).

En utilisant $1 - \cos x = \dfrac{\sin^2 x}{1 + \cos x}$ :

\frac{1 - \cos x}{x^2} = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\!2} \frac{1}{1 + \cos x} \xrightarrow[x\to0]{} 1 \cdot \frac12 = \frac12 .

En substituant $u = \frac1x \to 0^+$ : $x \sin\frac1x = \frac{\sin u}{u} \to 1$ .

Exercice 24.7 ★★

Étudier la fonction $f(x) = x + \cos x$ sur $\intcc{0}{2\pi}$ : variations et extrema. Montrer que $f$ est croissante sur $\R$ bien que $f'$ s’annule en une infinité de points.

Solution

Solution de Exercice 24.7.

$f'(x) = 1 - \sin x \geq 0$ pour tout $x$ , avec égalité exactement lorsque $\sin x = 1$ , c’est-à-dire $x = \frac\pi2 + 2k\pi$ . Sur $\intcc{0}{2\pi}$ , $f$ croît de $f(0) = 1$ à $f(2\pi) = 2\pi + 1$ (le zéro de $f'$ en $\frac{\pi}{2}$ est isolé, donc la croissance est même stricte) ; minimum $1$ en $0$ , maximum $2\pi + 1$ en $2\pi$ . Sur $\R$ , $f' \geq 0$ partout avec seulement des zéros isolés, donc $f$ est (strictement) croissante par le Théorème 22.7, bien que $f'$ s’annule en chaque $\frac\pi2 + 2k\pi$ .

Exercice 24.8 ★★★

Soit $f(x) = A\cos x + B \sin x$ avec $(A,B) \neq (0,0)$ .

Montrer que $f$ peut s’écrire $f(x) = R\cos(x - \varphi)$ avec $R = \sqrt{A^2 + B^2}$ et un $\varphi$ convenable.
En déduire le maximum et le minimum de $f$ , et résoudre $\cos x + \sin x = 1$ dans $\intoc{-\pi}{\pi}$ .

Solution

Solution de Exercice 24.8.

1. Soit $R = \sqrt{A^2 + B^2} > 0$ . Le point $\left(\frac AR, \frac BR\right)$ est sur le cercle unité, donc il existe $\varphi$ avec $\cos\varphi = \frac AR$ et $\sin\varphi = \frac BR$ . Alors

R\cos(x - \varphi) = R\bigl(\cos x\cos\varphi + \sin x \sin\varphi\bigr) = A\cos x + B\sin x = f(x).

2. Comme $\cos$ a pour image $\intcc{-1}{1}$ , $f$ a pour maximum $R$ et pour minimum $-R$ . Pour $\cos x + \sin x$ : $A = B = 1$ , $R = \sqrt2$ , $\varphi = \frac\pi4$ , donc l’équation devient $\sqrt2\cos\left(x - \frac\pi4\right) = 1$ , c’est-à-dire $\cos\left(x - \frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}$ , donnant $x - \frac\pi4 = \pm\frac\pi4 + 2k\pi$ : dans $\intoc{-\pi}{\pi}$ , $x \in \left\{0, \frac\pi2\right\}$ .

Exercice 24.9 ★★★

Montrer que $\sin$ et $\cos$ satisfont tous deux l’équation différentielle $y'' = -y$ . Réciproquement, soit $y$ une solution de $y'' = -y$ avec $y(0) = a$ et $y'(0) = b$ ; montrer que $y = a\cos + b\sin$ . (Indication : considérer $g = (y - a\cos - b\sin)$ et « l’énergie » $E = g^2 + (g')^2$ .)

Solution

Solution de Exercice 24.9.

$(\sin)'' = (\cos)' = -\sin$ et $(\cos)'' = (-\sin)' = -\cos$ : tous deux résolvent $y'' = -y$ .

Soit $g = y - a\cos - b\sin$ . Alors $g'' = -g$ (linéarité de la dérivation), $g(0) = y(0) - a = 0$ et $g'(0) = y'(0) - b = 0$ . Poser $E = g^2 + (g')^2$ . Alors

E' = 2g g' + 2g' g'' = 2g g' - 2g' g = 0,

donc $E$ est constante égale à $E(0) = 0$ . Une somme de deux carrés qui s’annule identiquement force $g = 0$ , d’où $y = a\cos + b\sin$ .

24.4 Problème : le secret du pendule

Problème 24.1

Devoir du week-end — une seule limite géométrique alimente les dérivées du sinus et du cosinus, et de là toute l’oscillation : ressorts, pendules, battements, et le mètre qui a failli être

Toute horloge qui ait jamais battu, toute corde qui ait jamais sonné, obéit aux mêmes mathématiques : une force de rappel proportionnelle au déplacement, donc l’équation $y'' = -\omega^2 y$ , donc des cosinus. À la base de tout cela se tient une limite d’air innocent, $\frac{\sin x}{x} \to 1$ — promise dans le volume précédent, utilisée par le Théorème 24.5, et démontrée ici par un dessin. Ce problème s’élève de cette limite jusqu’au balancement d’un pendule d’un mètre, et explique pourquoi le mètre n’est, à un cheveu près, pas défini par lui.

Partie I — La limite fondamentale.

Échauffement numérique : calculer $\frac{\sin x}{x}$ pour $x = 0.1$ et $x = 0.01$ (en radians !).
L’encadrement, sur le cercle trigonométrique avec $0 < x < \frac\pi2$ : exprimer par de la géométrie élémentaire les aires (i) du triangle de sommets $O$ , $A(1,0)$ et le point du cercle $M(\cos x, \sin x)$ ; (ii) du secteur circulaire $OAM$ ; (iii) du triangle rectangle $OAT$ , où $T(1, \tan x)$ .
De l’encadrement des aires, déduire $\sin x < x < \tan x$ , puis $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$ , et conclure par le théorème des gendarmes que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ (la parité règle le cas $x < 0$ ).
En déduire $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac12$ (multiplier par la quantité conjuguée).
Expliquer pourquoi cette limite est le moteur du Théorème 24.5 (que vaut $\sin'(0)$ ?), et pourquoi elle acquitte aussi une vieille dette : en quel sens le radian est-il la seule unité d’angle pour laquelle $\sin' = \cos$ tient sans constante parasite ?

Partie II — Le mouvement harmonique.

Vérifier, par dérivation des fonctions composées, que $y(t) = R\cos(\omega t - \varphi)$ satisfait $y'' = -\omega^2 y$ .
Une masse accrochée à un ressort obéit à $y'' = -4y$ , avec $y(0) = 3$ et $y'(0) = 8$ . En admettant (d’après l’Exercice 24.9) que toutes les solutions sont de la forme $A\cos 2t + B\sin 2t$ , déterminer $A$ et $B$ .
Réécrire la solution sous la forme $R\cos(2t - \varphi)$ (Exercice 24.8) : donner l’amplitude $R$ , la période et la phase $\varphi$ (trois décimales).
À quel instant la masse passe-t-elle pour la première fois par la position d’équilibre $y = 0$ ?
Le pendule : une masse au bout d’un fil de longueur $L$ obéit exactement à $\theta'' = -\frac gL \sin\theta$ — équation insoluble par les fonctions élémentaires. Pour de petites oscillations, remplacer $\sin\theta$ par $\theta$ (la partie I le justifie !) et en déduire la période $T = 2\pi\sqrt{\frac Lg}$ . Calculer $T$ pour $L = 1$ m (avec $g = 9.81$ ) : c’est la célèbre découverte de Galilée — de quoi la formule ne dépend-elle pas ?
Le pendule battant la seconde : quelle longueur donne exactement $T = 2$ s ? L’Académie des sciences, en 1791, hésita entre cette longueur et la dix-millionième partie du quart de méridien pour définir le mètre — de combien de millimètres les deux candidats diffèrent-ils ?

Partie III — Les formules d’addition au travail.

Montrer avec les formules d’addition (Proposition 24.3) que $\cos\left(x + \frac\pi2\right) = -\sin x$ et $\sin\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x$ : dériver, sur le cercle, c’est tourner d’un quart de tour — vérifier la cohérence avec le Théorème 24.5.
Établir l’identité de transformation de produit en somme $\cos a \cos b = \frac12\left(\cos(a - b) + \cos(a + b)\right)$ et la linéarisation $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ (le chapitre sur l’intégration vous en saura gré).
Battements : établir $\sin p + \sin q = 2 \sin\frac{p + q}{2} \cos\frac{p - q}{2}$ , et l’appliquer à deux diapasons à $440$ et $444$ Hz : quel son l’oreille entend-elle, et combien de pulsations par seconde perçoit-elle ? (C’est ainsi que s’accordent les orchestres.)
Établir l’identité de triplication $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ (écrire $3x = 2x + x$ ). En posant $x = 20^\circ$ , quelle équation du troisième degré $\cos 20^\circ$ doit-il vérifier ? (Que cette équation ne se résolve pas à l’aide de seules racines carrées est précisément la raison pour laquelle la trisection de l’angle a résisté deux millénaires à la règle et au compas — l’histoire complète est racontée dans les volumes universitaires.)
Un courant alternatif s’écrit $I(t) = 3\cos(100\pi t) + 3\sqrt3 \sin(100\pi t)$ . Le réécrire sous la forme $R\cos(100\pi t - \varphi)$ : intensité de crête et phase ?

Partie IV — Le monde oscillant.

Périodes : quelle est la (plus petite) période de $\sin^2 t$ (utiliser la question 13) ? Et celle de $\sin(2t) + \sin(3t)$ ?
Un pendule réel s’amortit : $y(t) = \eu^{-t/10}\cos(2\pi t)$ . Décrire le mouvement, calculer la valeur de l’enveloppe en $t = 10$ (une vieille connaissance apparaît, Problème 23.1), et nommer le chapitre où l’on résout les équations ayant de telles solutions.
Pourquoi les sinus et les cosinus règnent-ils sur toute vibration ? Donner en deux phrases le dictionnaire physique-mathématiques (force de rappel proportionnelle au déplacement $\rightarrow$ quelle équation $\rightarrow$ quelles solutions), et dire ce que l’Exercice 24.9 apporte à cette affirmation.
Pour finir : l’arc du chapitre en quatre pas — une limite géométrique, deux dérivées, une équation différentielle, toute l’oscillation. Et l’astérisque honnête : pour de grandes oscillations, la vraie période du pendule fait intervenir une intégrale elliptique, calculée à la vitesse de l’éclair par … la moyenne arithmético-géométrique de Gauss, le dessert du Problème 20.1. Les fils de la série se nouent d’eux-mêmes.

Solution

Solution de Problème 24.1.

1. $0.99833\ldots$ et $0.99998\ldots$ : on se glisse vers $1$ .

2. Triangle $OAM$ : base $1$ , hauteur $\sin x$ , donc aire $\frac{\sin x}{2}$ . Secteur $OAM$ : la fraction $\frac{x}{2\pi}$ du disque unité, donc aire $\frac x2$ . Triangle $OAT$ : base $1$ , hauteur $\tan x$ , donc aire $\frac{\tan x}{2}$ .

3. Le triangle est contenu dans le secteur, lui-même contenu dans le grand triangle : $\frac{\sin x}{2} < \frac x2 < \frac{\tan x}{2}$ , c’est-à-dire $\sin x < x < \tan x$ . De $\sin x < x$ on tire $\frac{\sin x}{x} < 1$ ; et de $x < \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ , en multipliant par $\frac{\cos x}{x} > 0$ : $\cos x < \frac{\sin x}{x}$ . Quand $x \to 0^+$ , $\cos x \to 1$ : encadrée, la quantité $\frac{\sin x}{x}$ tend vers $1$ ; et $\frac{\sin x}{x}$ est paire, donc la limite bilatère vaut $1$ .

4. $\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1 - \cos^2 x}{x^2 (1 + \cos x)} = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \frac{1}{1 + \cos x} \to 1 \times \frac12$ .

5. $\sin'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin h - 0}{h} = 1$ : toute la dérivation du sinus et du cosinus découle de cette seule limite. Mesurée en degrés, la limite vaudrait $\frac{\pi}{180}$ , et chaque dérivée traînerait cette constante : le radian est exactement l’unité qui rend propre le calcul de l’oscillation.

6. $y' = -R\omega\sin(\omega t - \varphi)$ , puis $y'' = -R\omega^2\cos(\omega t - \varphi) = -\omega^2 y$ .

7. $\omega = 2$ . $y(0) = A = 3$ ; $y'(0) = 2B = 8$ , donc $B = 4$ : $y = 3\cos 2t + 4\sin 2t$ .

8. $R = \sqrt{9 + 16} = 5$ ; période $\frac{2\pi}{2} = \pi$ ; phase $\varphi = \arctan\frac43 \approx 0.927$ : $y = 5\cos(2t - 0.927)$ .

9. $5\cos(2t - \varphi) = 0$ pour la première fois lorsque $2t - \varphi = \frac\pi2$ : $t = \frac{\pi/2 + 0.927}{2} \approx 1.25$ s.

10. Avec $\sin\theta \approx \theta$ : $\theta'' = -\frac gL \theta$ , mouvement harmonique de pulsation $\omega = \sqrt{\frac gL}$ et de période $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac Lg}$ . Pour $L = 1$ : $T \approx 2.006$ s. La période ne dépend pas de l’amplitude (pour de petites oscillations) — c’est l’isochronisme de Galilée, le fait qui rend possibles les horloges à balancier.

11. $L = g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 = \frac{9.81}{\pi^2} \approx 0.994$ m : le pendule battant la seconde est plus court d’environ $6$ mm que le mètre du méridien. L’Académie a choisi le méridien (la pesanteur varie d’un lieu à l’autre, ce qui trahit le pendule) ; si $g$ avait été à un cheveu plus grand, notre mètre battrait la seconde.

12. $\cos\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x \cos\frac\pi2 - \sin x \sin\frac\pi2 = -\sin x$ ; $\sin\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x$ . Dériver le sinus donne donc le sinus décalé d’un quart de tour ( $\cos$ ), puis encore ( $-\sin$ ), puis encore, et l’on est de retour en quatre pas : dériver fait tourner le cercle.

13. En additionnant les deux développements de $\cos(a \mp b)$ : $\cos(a-b) + \cos(a+b) = 2\cos a\cos b$ . Avec $a = b = x$ : $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$ , c’est-à-dire $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ .

14. Avec $p = \frac{p+q}{2} + \frac{p-q}{2}$ et $q$ son symétrique, en développant puis en additionnant : $\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$ . Pour $440$ et $444$ Hz : un son à $442$ Hz dont l’intensité est modulée par $\cos(2\pi \cdot 2t)$ — l’intensité culmine $4$ fois par seconde (valeur absolue de l’enveloppe) : quatre battements par seconde, qui s’évanouissent quand les diapasons s’accordent.

15. $\cos 3x = \cos 2x\cos x - \sin 2x \sin x = (2\cos^2 x - 1)\cos x - 2\sin^2 x\cos x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ . En $x = 20^\circ$ : $\cos 60^\circ = \frac12$ , donc $c = \cos 20^\circ$ vérifie $8c^3 - 6c - 1 = 0$ — une équation du troisième degré sans solution par racines carrées : construire $20^\circ$ , c’est-à-dire trisecter $60^\circ$ , dépasse la règle et le compas.

16. $R = \sqrt{9 + 27} = 6$ ; $\tan\varphi = \frac{3\sqrt3}{3} = \sqrt3$ , donc $\varphi = \frac\pi3$ : $I(t) = 6\cos\left(100\pi t - \frac\pi3\right)$ : crête de $6$ ampères, déphasage de $60^\circ$ .

17. $\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$ : période $\pi$ . $\sin 2t$ a pour période $\pi$ , $\sin 3t$ a pour période $\frac{2\pi}{3}$ : la somme se répète après le plus petit multiple commun, soit $2\pi$ .

18. Une oscillation de période $1$ à l’intérieur de l’enveloppe décroissante $\pm\eu^{-t/10}$ : chaque balancement est environ $10\,\%$ plus bas que le précédent. En $t = 10$ , l’enveloppe vaut $\eu^{-1} \approx 0.368$ — encore la constante du Problème 23.1. Les équations à solutions amorties de ce type ( $y'' + a y' + b y = 0$ ) se résolvent au chapitre sur les équations différentielles.

19. Une force qui rappelle proportionnellement au déplacement donne $y'' = -\omega^2 y$ ; et l’Exercice 24.9 montre que les solutions de cette équation sont exactement les combinaisons de $\cos$ et de $\sin$ — existence par exhibition, unicité par l’exercice : la vibration n’a pas d’autre choix que d’être sinusoïdale.

20. Une limite ( $\frac{\sin x}{x} \to 1$ , par encadrement d’aires), deux dérivées ( $\sin' = \cos$ , $\cos' = -\sin$ ), une équation ( $y'' = -\omega^2 y$ ), et tout un monde d’horloges, de cordes, de courants et de marées. Astérisque : pour de grandes oscillations, $T = 4\sqrt{\frac Lg} \cdot \frac{\pi/2}{M(1, \cos(\theta_0/2))}$ — la moyenne arithmético-géométrique du Problème 20.1 calcule l’intégrale elliptique en une poignée d’itérations : la page de journal de Gauss et le pendule de Galilée, à une formule l’une de l’autre.

Termes définis dans ce chapitre

Cosinus et sinus

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