Mathématiques du lycée · Grades 10–12

35Variables aléatoires continues

Temps d’attente, mesures physiques, proportions : de nombreuses quantités aléatoires prennent un continuum de valeurs, et aucune valeur isolée n’a de probabilité positive. Les probabilités se calculent alors en intégrant une densité. Ce chapitre étudie les lois uniforme, exponentielle et normale, et utilise la loi normale pour quantifier les fluctuations des sondages et des échantillons.

35.1 Densités de probabilité

Définition 35.1 (Densité, variable aléatoire continue)

Une densité de probabilité sur un intervalle $I$ est une fonction continue, positive ou nulle, $f$ sur $I$ avec $\int_I f(t)\,\dd t = 1$ (l’intégrale sur un $I$ non borné s’entendant comme limite d’intégrales sur des intervalles bornés croissants). Une variable aléatoire $X$ a pour densité $f$ si pour tous $a \leq b$ dans $I$ :

\P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(t)\,\dd t .

Les probabilités sont des aires sous la courbe de densité. En particulier $\P(X = a) = \int_a^a f = 0$ pour toute valeur isolée $a$ : seuls les intervalles portent de la probabilité, et $\P(a \leq X \leq b) = \P(a < X < b)$ .

Définition 35.2 (Espérance et variance)

Pour $X$ de densité $f$ sur $I$ :

\E(X) = \int_I t\,f(t)\,\dd t, \qquad \V(X) = \int_I \bigl(t - \E(X)\bigr)^2 f(t)\,\dd t = \E(X^2) - \E(X)^2 .

Les règles des chapitres 14–15 (linéarité de l’espérance, additivité de la variance pour des variables indépendantes, Bienaymé–Tchebychev) restent valables ; leurs preuves, avec des intégrales à la place des sommes, sont admises à ce niveau.

35.2 Loi uniforme

Définition 35.3 (Loi uniforme)

$X$ suit la loi uniforme $\mathcal U\intcc ab$ si sa densité est constante, $f(t) = \frac{1}{b-a}$ sur $\intcc{a}{b}$ . Alors pour $\intcc{c}{d} \subseteq \intcc ab$ , $\P(c \leq X \leq d) = \frac{d - c}{b - a}$ : probabilité proportionnelle à la longueur.

Proposition 35.4

Si $X \sim \mathcal U\intcc ab$ , alors $\E(X) = \dfrac{a+b}{2}$ et $\V(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}$ .

Démonstration. $\E(X) = \int_a^b \frac{t}{b-a}\dd t = \frac{b^2 - a^2}{2(b-a)} = \frac{a+b}{2}$ . Pour la variance, $\E(X^2) = \frac{b^3 - a^3}{3(b-a)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{3}$ , et

\V(X) = \frac{a^2 + ab + b^2}{3} - \frac{(a+b)^2}{4} = \frac{4a^2 + 4ab + 4b^2 - 3a^2 - 6ab - 3b^2}{12} = \frac{(b - a)^2}{12}. \qedhere

∎

35.3 Loi exponentielle

Définition 35.5 (Loi exponentielle)

Pour $\lambda > 0$ , $X$ suit la loi exponentielle $\mathcal E(\lambda)$ si sa densité sur $\intco{0}{+\infty}$ est

f(t) = \lambda\,\eu^{-\lambda t}.

Alors $\P(X \leq x) = 1 - \eu^{-\lambda x}$ et $\P(X > x) = \eu^{-\lambda x}$ pour $x \geq 0$ .

Proposition 35.6

Si $X \sim \mathcal E(\lambda)$ : $\E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ et $\V(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}$ .

Démonstration. Intégration par parties sur $\intcc{0}{A}$ :

\int_0^A t\,\lambda\eu^{-\lambda t}\dd t = \bigl[-t\,\eu^{-\lambda t}\bigr]_0^A + \int_0^A \eu^{-\lambda t}\dd t = -A\eu^{-\lambda A} + \frac{1 - \eu^{-\lambda A}}{\lambda} \xrightarrow[A\to+\infty]{} \frac1\lambda,

en utilisant $A\eu^{-\lambda A} \to 0$ (Théorème 23.4). Une seconde intégration par parties donne $\E(X^2) = \frac{2}{\lambda^2}$ , d’où $\V(X) = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2}$ . ∎

Théorème 35.7 (Absence de mémoire)

Si $X \sim \mathcal E(\lambda)$ , alors pour tous $s, t \geq 0$ :

\pcond{X > s}{X > s + t} = \P(X > t) .

La loi exponentielle est la loi des durées de vie sans vieillissement (noyaux radioactifs, pas les ampoules).

Démonstration.

\pcond{X > s}{X > s+t} = \frac{\P(X > s + t)}{\P(X > s)} = \frac{\eu^{-\lambda(s+t)}}{\eu^{-\lambda s}} = \eu^{-\lambda t} = \P(X > t). \qedhere

∎

La densité exponentielle - x (ici = 1) : l’aire de la queue au-delà de t (en rouge) est - t, et l’absence de mémoire dit que chaque queue ressemble à la distribution entière redimensionnée. — La densité exponentielle $\lambda\eu^{-\lambda x}$ (ici $\lambda = 1$ ) : l’aire de la queue au-delà de $t$ (en rouge) est $\eu^{-\lambda t}$ , et l’absence de mémoire dit que chaque queue ressemble à la distribution entière redimensionnée.

35.4 Loi normale

Définition 35.8 (Loi normale)

$X$ suit la loi normale centrée réduite $\mathcal N(0, 1)$ si sa densité sur $\R$ est

\varphi(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\eu^{-t^2/2}

(la courbe en cloche). Plus généralement, $X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)$ si $\dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal N(0,1)$ ; alors $\E(X) = \mu$ et $\V(X) = \sigma^2$ .

La densité normale : environ 68.3\% de la masse se trouve à moins de de la moyenne, 95.4\% à moins de 2, 99.7\% à moins de 3. — La densité normale : environ $68.3\%$ de la masse se trouve à moins de $\sigma$ de la moyenne, $95.4\%$ à moins de $2\sigma$ , $99.7\%$ à moins de $3\sigma$ .

Remarque 35.9

Le facteur $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ rend l’aire totale égale à $1$ — un calcul célèbre (l’intégrale de Gauss) mené à l’université. Il n’y a pas de formule élémentaire pour $\int \varphi$ : les probabilités normales se lisent dans des tables ou sur une calculatrice.

Théorème 35.10 (De Moivre–Laplace, admis)

Soient $X_n \sim \mathcal B(n, p)$ et $Z_n = \dfrac{X_n - np}{\sqrt{np(1-p)}}$ (la binomiale normalisée). Alors pour tous $a \leq b$ ,

\P(a \leq Z_n \leq b) \xrightarrow[n\to+\infty]{} \int_a^b \varphi(t)\,\dd t .

Ce résultat est admis à ce niveau. Il explique l’apparition universelle de la courbe en cloche : une binomiale de grand $n$ est approximativement normale — et (théorème central limite, université) il en va de même de toute somme de nombreux petits effets indépendants.

Méthode 35.11 (Intervalle de fluctuation à $95\%$ )

Comme une variable normale tombe à moins de $1.96$ écarts-types de sa moyenne avec probabilité $0.95$ , pour $n$ grand une fréquence $F_n = \frac{X_n}{n}$ d’un échantillon $\mathcal B(n,p)$ vérifie

\P\left(p - 1.96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}} \leq F_n \leq p + 1.96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}\right) \approx 0.95 .

Intervalle de fluctuation (test) : si une $p$ affirmée place la fréquence observée hors de cet intervalle, rejeter l’affirmation au niveau $5\%$ .
Intervalle de confiance (estimation) : l’intervalle simplifié $\left[F_n - \frac{1}{\sqrt n},\ F_n + \frac{1}{\sqrt n}\right]$ contient $p$ avec probabilité au moins $0.95$ (en utilisant $1.96\sqrt{p(1-p)} \leq 1$ , voir Exercice 34.8).

Exemple 35.12

Un sondage de $n = 1000$ électeurs donne $52\%$ à un candidat. L’intervalle de confiance $52\% \pm \frac{1}{\sqrt{1000}} \approx 52\% \pm 3.2\%$ contient encore $50\%$ : le sondage seul n’établit pas que le candidat est en tête.

35.5 Exercices

Exercice 35.1 ★

Un bus passe toutes les $15$ minutes ; un voyageur arrive à un instant uniformément aléatoire. Soit $X \sim \mathcal U\intcc{0}{15}$ le temps d’attente. Calculer $\P(X \leq 5)$ , $\P(4 \leq X \leq 10)$ , $\E(X)$ et $\sigma(X)$ .

Solution

Solution de Exercice 35.1.

$\P(X \leq 5) = \frac{5}{15} = \frac13$ ; $\P(4 \leq X \leq 10) = \frac{6}{15} = \frac25$ ; $\E(X) = \frac{15}{2} = 7.5$ min ; $\sigma(X) = \frac{15}{\sqrt{12}} = \frac{5\sqrt3}{2} \approx 4.3$ min.

Exercice 35.2 ★

Vérifier que $f(t) = \frac{3}{8}t^2$ est une densité sur $\intcc{0}{2}$ , et calculer $\E(X)$ et $\P(X \geq 1)$ pour une variable $X$ de cette densité.

Solution

Solution de Exercice 35.2.

$f \geq 0$ et $\int_0^2 \frac38 t^2\,\dd t = \frac38\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^2 = \frac38 \times \frac83 = 1$ : une densité.

\E(X) = \int_0^2 \frac38 t^3\,\dd t = \frac38 \times \frac{16}{4} = \frac32, \qquad \P(X \geq 1) = \int_1^2 \frac38 t^2\,\dd t = \frac{8 - 1}{8} = \frac78 .

Exercice 35.3 ★

La durée de vie (en années) d’un composant électronique suit $\mathcal E(0.2)$ .

Calculer l’espérance de durée de vie et $\P(X > 5)$ .
Le composant a déjà fonctionné $3$ ans. Quelle est la probabilité qu’il fonctionne encore au moins $5$ ans ?

Solution

Solution de Exercice 35.3.

1. $\E(X) = \frac{1}{0.2} = 5$ ans ; $\P(X > 5) = \eu^{-0.2\times5} = \eu^{-1} \approx 0.37$ .

2. Par l’absence de mémoire (Théorème 35.7), $\pcond{X > 3}{X > 8} = \P(X > 5) = \eu^{-1} \approx 0.37$ : les trois ans de service ne changent rien.

Exercice 35.4 ★★

La demi-vie d’un atome radioactif dont la durée de vie suit $\mathcal E(\lambda)$ est la médiane $m$ : $\P(X > m) = \frac12$ . Exprimer $m$ en fonction de $\lambda$ et comparer à l’espérance. Laquelle est plus grande, et pourquoi cela a-t-il un sens pour une distribution asymétrique ?

Solution

Solution de Exercice 35.4.

$\P(X > m) = \eu^{-\lambda m} = \frac12$ donne $m = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.69}{\lambda}$ , plus petite que $\E(X) = \frac1\lambda$ . La densité exponentielle a une longue queue à droite : quelques durées de vie atypiquement longues tirent la moyenne au-dessus de la médiane, la valeur dépassée par la moitié de la population. (C’est la demi-vie de l’Exemple 23.9 : la moitié des atomes y survivent, bien que la durée de vie moyenne soit plus longue.)

Exercice 35.5 ★★

Les tailles dans une population suivent $\mathcal N(175,\ 7^2)$ (en cm). En utilisant la règle $68$ – $95$ – $99.7$ , estimer la proportion de la population de taille entre $168$ et $182$ cm, au-dessus de $189$ cm, et en dessous de $154$ cm.

Solution

Solution de Exercice 35.5.

$168 = \mu - \sigma$ et $182 = \mu + \sigma$ : environ $68\%$ . $189 = \mu + 2\sigma$ : au-dessus se trouve la moitié du reste $100 - 95.4 = 4.6\%$ , donc environ $2.3\%$ . $154 = \mu - 3\sigma$ : environ $\frac{100 - 99.7}{2} = 0.15\%$ .

Exercice 35.6 ★★

Une machine remplit des sacs étiquetés $500$ g ; la masse remplie suit $\mathcal N(\mu,\ 4^2)$ . La réglementation exige qu’au plus $2.5\%$ des sacs pèsent moins de $500$ g. En utilisant la règle des $95\%$ , quel réglage minimal de $\mu$ est conforme ?

Solution

Solution de Exercice 35.6.

$\P(X < 500) \leq 2.5\%$ signifie que $500$ doit se situer au moins deux écarts types sous la moyenne (la normale laisse $2.3\% \approx 2.5\%$ sous $\mu - 2\sigma$ ; avec le conventionnel $1.96$ , le raisonnement est identique) :

\mu - 2\sigma \geq 500 \iff \mu \geq 500 + 8 = 508 \text{ g}.

La machine doit être réglée sur $508$ g en moyenne — le prix de la garantie est $8$ g de produit « gratuit » par sac.

Exercice 35.7 ★★

Un dé affirmé équilibré est lancé $1200$ fois et donne un six $260$ fois (comme dans l’Exercice 34.7).

Calculer l’intervalle de fluctuation à $95\%$ pour la fréquence de six d’un dé équilibré sur $1200$ lancers.
La fréquence observée est-elle à l’intérieur ? Comparer la force de cette conclusion avec l’analyse de Bienaymé–Tchebychev.

Solution

Solution de Exercice 35.7.

1. Avec $p = \frac16$ , $n = 1200$ : $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{5/36}{1200}} \approx 0.0108$ , donc l’intervalle de fluctuation à $95\%$ est

\frac16 \pm 1.96 \times 0.0108 \approx \intcc{0.146}{0.188}.

2. La fréquence observée $\frac{260}{1200} \approx 0.217$ est largement hors : l’hypothèse d’équilibre est rejetée au niveau $5\%$ . L’écart est d’environ $4.6$ écarts types — pour une approximation normale, une probabilité de l’ordre de $10^{-6}$ , bien plus concluante que la borne $\leq 4.6\%$ de Bienaymé–Tchebychev (Exercice 34.7).

Exercice 35.8 ★★★

Avant une élection, un sondage de $n$ personnes estimera le score $p$ d’un candidat par la fréquence observée $F_n$ .

Avec l’intervalle de confiance de Méthode 35.11, quelle taille d’échantillon garantit une marge de $\pm 2$ points ?
Les candidats sont séparés de $1$ point en réalité. Expliquer pourquoi aucun sondage réaliste ne peut désigner le vainqueur de façon fiable, si bien conduit soit-il.

Solution

Solution de Exercice 35.8.

1. Une marge $\frac{1}{\sqrt n} \leq 0.02$ exige $n \geq 2500$ personnes.

2. Pour distinguer des scores séparés d’un point, la marge doit être bien sous $0.5$ point, exigeant $n \geq \left(\frac{1}{0.005}\right)^2 = 40\,000$ par la formule simplifiée — déjà impraticable pour la plupart des sondages. Pire, la marge statistique ne compte que l’erreur d’échantillonnage ; les biais systématiques (échantillons non représentatifs, non-réponse, bascules de dernière minute) ne diminuent pas avec $n$ et dépassent typiquement un point. Une course à $1$ point est réellement trop serrée pour être appelée.

Exercice 35.9 ★★★

Soit $X$ de densité $f$ sur $\intcc ab$ et soit $Y = \alpha X + \beta$ avec $\alpha > 0$ .

Montrer que $\P(c \leq Y \leq d) = \P\left(\frac{c - \beta}{\alpha} \leq X \leq \frac{d-\beta}{\alpha}\right)$ , et en déduire que $Y$ a pour densité $g(y) = \frac{1}{\alpha} f\left(\frac{y - \beta}{\alpha}\right)$ .
En déduire que si $Z \sim \mathcal N(0,1)$ , alors $\mu + \sigma Z$ a pour densité $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, \eu^{-(y - \mu)^2/(2\sigma^2)}$ — la densité normale générale.

Solution

Solution de Exercice 35.9.

1. Comme $\alpha > 0$ , $c \leq \alpha X + \beta \leq d \iff \frac{c - \beta}{\alpha} \leq X \leq \frac{d - \beta}{\alpha}$ , donc

\P(c \leq Y \leq d) = \int_{(c-\beta)/\alpha}^{(d-\beta)/\alpha} f(t)\,\dd t .

La substitution $y = \alpha t + \beta$ (c.-à-d. lire l’aire dans la variable $y$ , $t = \frac{y - \beta}{\alpha}$ , $\dd t = \frac{\dd y}{\alpha}$ ) transforme ceci en $\int_c^d \frac{1}{\alpha} f\left(\frac{y-\beta}{\alpha}\right)\dd y$ : la fonction $g(y) = \frac1\alpha f\left(\frac{y-\beta}{\alpha}\right)$ est une densité de $Y$ .

2. Avec $f = \varphi$ , $\alpha = \sigma$ , $\beta = \mu$ :

g(y) = \frac{1}{\sigma}\,\varphi\!\left(\frac{y - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, \exp\left(-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right),

qui est donc la densité de $\mathcal N(\mu, \sigma^2) = \mu + \sigma\,\mathcal N(0,1)$ .

35.6 Problème : attendre le bus, mesurer la foule

Problème 35.1

Devoir du week-end — trois densités gouvernent le monde : l’ignorance totale, l’attente sans mémoire et la cloche des nombreuses petites causes ; plus le paradoxe qui met toujours votre bus en retard

Pourquoi votre bus semble-t-il toujours mettre plus de temps que l’horaire ne le promet ? Pourquoi la classe où se trouve un élève moyen est-elle plus grande que la classe moyenne ? Pourquoi vos amis ont-ils plus d’amis que vous ? Une seule idée mathématique rusée — l’échantillonnage biaisé par la longueur — répond aux trois, et elle vit dans ce chapitre, entre les lois uniforme, exponentielle et normale (Définition 35.3, Définition 35.5, Définition 35.8). Ce dernier problème du volume met les trois densités au travail et s’achève là où pointe toute la série : la courbe en cloche.

Partie I — Trois personnages.

Un bus arrive à un instant uniformément réparti sur les $30$ prochaines minutes. Calculer $\P(\text{attente} \leq 10)$ , l’attente espérée et $\sigma$ (Proposition 35.4).
Vérifier que $f(x) = 2x$ sur $\intcc{0}{1}$ est une densité, et calculer $\E(X)$ et $\P\left(X > \frac12\right)$ .
Des appels parviennent à une ligne d’assistance en un flux sans mémoire : l’attente du prochain appel suit une loi exponentielle de moyenne $10$ minutes. Calculer $\P(T > 15)$ et l’attente médiane — pourquoi la médiane est-elle inférieure à la moyenne ?
Vous avez déjà attendu $20$ minutes. Que vaut $\P(T > 35 \mid T > 20)$ (Théorème 35.7) ? Interpréter en une phrase.
Associer chaque attente à son bon modèle — uniforme, exponentielle, ou aucun des deux : (a) le déclic d’un compteur Geiger ; (b) un métro toutes les $8$ minutes, votre arrivée n’étant pas synchronisée ; (c) le prochain appel de la ligne d’assistance ; (d) la panne d’une ampoule qui s’use. Justifier (d) par le théorème d’absence de mémoire.

Partie II — La cloche au travail. (Utiliser les repères de la loi normale : $68\,\%$ à moins de $\sigma$ , $95\,\%$ à moins de $2\sigma$ , $99.7\,\%$ à moins de $3\sigma$ .)

Les tailles adultes suivent approximativement $\mathcal N(172,\ 8)$ (en cm). Quelles fractions se trouvent dans $\intcc{164}{180}$ , $\intcc{156}{188}$ , $\intcc{148}{196}$ ?
Estimer la proportion de personnes dépassant $190$ cm (cote $z$ d’abord ; table ou calculatrice).
Les tests de quotient intellectuel sont étalonnés sur $\mathcal N(100, 15)$ . Quelle fraction dépasse $130$ — et cela fait environ une personne sur combien ?
Une machine découpe des boulons de longueurs $\mathcal N(50,\ 0.1)$ mm et la spécification est $\intcc{49.8}{50.2}$ . Quelle part est rejetée ? L’industrie célèbre les procédés « six sigma », dont les spécifications se situent à $\pm 6\sigma$ : qu’achète-t-on ainsi, et pourquoi les usines y courent-elles ?
De Moivre–Laplace (Théorème 35.10) : pour $100$ lancers d’une pièce équilibrée, approcher $\P(45 \leq \text{piles} \leq 55)$ (correction de continuité : $\pm 0.5$ ; $\sigma = 5$ ). Quelle machine de bois du Problème 19.1 ce théorème lisse-t-il en une courbe ?
D’après l’Exercice 35.8 : une marge de $\pm 2$ points demande environ $n = 2\,400$ . Calculer l’échantillon nécessaire pour $\pm 0.5$ point — et conclure, en une phrase, pourquoi aucune enquête ne peut honnêtement départager une course serrée à un point près.

Partie III — Le paradoxe du bus.

Les bus arrivent en un flux sans mémoire d’intervalle moyen $10$ minutes. Vous arrivez à l’arrêt à un moment quelconque. L’intuition dit que l’attente espérée est de $5$ minutes (la moitié d’un intervalle). Que dit à la place le théorème d’absence de mémoire ?
Diagnostiquer l’intuition sur un horaire jouet : les intervalles alternent $5$ et $15$ minutes (intervalle moyen $10$ ). Calculer la probabilité qu’une arrivée uniformément répartie tombe dans un grand intervalle, puis la véritable attente espérée — et nommer le coupable : les arrivées échantillonnent les intervalles avec une probabilité proportionnelle à leur longueur.
Dans le flux sans mémoire, l’intervalle dans lequel vous tombez a une longueur espérée de $20$ minutes — le double de l’intervalle typique (le temps qui vous sépare du bus précédent et celui qui vous sépare du suivant sont tous deux exponentiels de moyenne $10$ ). Réconcilier avec la question 12 et énoncer en une phrase le paradoxe de l’inspection.
La même piqûre sur terre ferme : une université fait tourner neuf classes de $10$ étudiants et une de $110$ . Calculer la taille moyenne d’une classe, puis la taille de classe vécue par l’étudiant moyen. Quel nombre la brochure citera-t-elle, et lequel est la vérité vécue des étudiants ?
Le paradoxe de l’amitié — « vos amis ont, en moyenne, plus d’amis que vous » — relève des mêmes mathématiques. Dire en une phrase ce qui y joue le rôle du grand intervalle.

Partie IV — Clore le volume.

La simulation, pont des praticiens : si $U$ est uniforme sur $\intoo{0}{1}$ , montrer que $T = -10\ln U$ suit une loi exponentielle de moyenne $10$ (calculer $\P(T > t)$ ). Toute simulation industrielle d’attente aléatoire repose sur cette astuce d’une ligne.
Une vieille recette de programmeurs de jeux fabrique une cloche : additionner douze uniformes indépendantes sur $\intcc{0}{1}$ et retrancher $6$ . Donner la moyenne et la variance de la somme, et expliquer — la planche de Galton en main — pourquoi le résultat est presque normal.
Les marchés s’effondrent plus fort que la cloche ne l’autorise : le krach de 1987 a été décrit comme un « événement à $25\sigma$ », ce qui, sous hypothèse de normalité, a une probabilité de l’ordre de $10^{-137}$ . Quelle est la bonne conclusion — sur le monde, ou sur le modèle ? (Une phrase, le catéchisme du statisticien.)
Pour finir, et pour prendre congé du volume : les trois personnages en une ligne chacun — uniforme (l’ignorance entre deux bornes), exponentielle (le risque sans mémoire), normale (la somme de nombreuses petites causes) ; le paradoxe de l’inspection comme piqûre du chapitre ; et l’arc de toute la série — du dénombrement des briques de jus de fruits du premier volume à la courbe en cloche qui mesure toutes les foules — les volumes universitaires attendant là où les limites, les intégrales et le théorème central limite prennent le relais.

Solution

Solution de Problème 35.1.

1. $\P(\text{attente} \leq 10) = \frac{10}{30} = \frac13$ ; $\E = 15$ min ; $\sigma = \frac{30}{\sqrt{12}} \approx 8.7$ min.

2. $\int_0^1 2x\,\dd x = 1$ : c’est bien une densité. $\E(X) = \int_0^1 2x^2\,\dd x = \frac23$ ; $\P\left(X > \frac12\right) = \int_{1/2}^1 2x\,\dd x = 1 - \frac14 = \frac34$ .

3. $\P(T > 15) = \eu^{-15/10} \approx 0.22$ . Médiane : $\eu^{-m/10} = \frac12$ , donc $m = 10\ln 2 \approx 6.9$ min — inférieure à la moyenne $10$ parce que la longue traîne droite de l’exponentielle (de rares attentes énormes) tire la moyenne vers le haut tandis que la médiane reste à l’attente « typique ».

4. Par absence de mémoire, $\P(T > 35 \mid T > 20) = \P(T > 15) \approx 0.22$ : les vingt minutes déjà passées n’achètent rien — le flux ne vieillit pas.

5. (a) exponentielle (la désintégration radioactive est le modèle pour lequel l’absence de mémoire a été inventée) ; (b) uniforme sur $\intcc{0}{8}$ (un horaire régulier avec un décalage aléatoire) ; (c) exponentielle ; (d) aucun des deux : une ampoule usée a plus de chances de griller dans l’heure qui vient qu’une ampoule neuve, donc $\P(T > s + t \mid T > s) < \P(T > t)$ : le vieillissement contredit le théorème d’absence de mémoire.

6. $68\,\%$ , $95\,\%$ , $99.7\,\%$ : les trois intervalles repères.

7. $z = \frac{190 - 172}{8} = 2.25$ : queue supérieure d’environ $1.2\,\%$ .

8. $z = 2$ : environ $2.3\,\%$ — à peu près une personne sur $44$ .

9. La spécification se situe à $\pm 2\sigma$ : environ $95.4\,\%$ passent et $4.6\,\%$ sont rejetés — ruineux à grande échelle. À $\pm 6\sigma$ , le taux de défaut tombe à environ deux pièces par milliard : le six sigma achète le droit de produire en masse sans inspecter en masse.

10. $\sigma = 5$ ; avec la correction de continuité, $\P \approx \P\left(\abs Z \leq \frac{5.5}{5}\right) = \P(\abs Z \leq 1.1) \approx 0.73$ . Le théorème lisse la planche de Galton du Problème 19.1 : l’escalier des cases devient la cloche continue.

11. $n \approx \frac{1.96^2 \times 0.25}{0.005^2} \approx 38\,400$ personnes — et à cette taille les erreurs autres que d’échantillonnage (plan de sondage, refus, mensonges) écrasent la marge : une course à un point d’écart est hors de portée d’un sondage honnête, ce pour quoi les instituts sérieux disent alors « trop serré pour se prononcer ».

12. Absence de mémoire : à partir de l’instant où vous arrivez, l’attente restante est exponentielle de moyenne $10$ — les $10$ minutes pleines, et non $5$ . L’« intervalle moyen de $10$ » de l’horaire est trompeur : votre attente suit la même loi qu’un intervalle entier.

13. Les arrivées aléatoires tombent proportionnellement à la longueur des intervalles : la probabilité de tomber dans un grand intervalle vaut $\frac{15}{20} = \frac34$ . Attente espérée : $\frac34 \times \frac{15}{2} + \frac14 \times \frac52 = 5.625 + 0.625 = 6.25$ min — plus que les $5$ naïfs, bien que l’intervalle moyen soit $10$ . Coupable : l’échantillonnage biaisé par la longueur — les grands intervalles attrapent plus de voyageurs.

14. Les attentes vers l’arrière et vers l’avant sont chacune exponentielles de moyenne $10$ (l’absence de mémoire joue dans les deux sens à partir de votre arrivée) : l’intervalle qui vous contient mesure en moyenne $20$ minutes — le double de l’intervalle typique. Le paradoxe de l’inspection en une phrase : l’intervalle que vous inspectez n’est pas un intervalle typique, parce que vous aviez plus de chances de tomber dans un grand.

15. Taille moyenne d’une classe : $\frac{9 \times 10 + 110}{10} = 20$ étudiants. Taille moyenne vécue par les étudiants : $\frac{90 \times 10 + 110 \times 110}{200} = \frac{13\,000}{200} = 65$ étudiants. La brochure imprime $20$ ; trois étudiants sur cinq siègent dans la classe de $110$ et vivent le $65$ .

16. Les personnes populaires figurent sur de nombreuses listes d’amis, si bien que tirer « un ami » est biaisé vers les sociables — vos amis sont tirés dans les grands intervalles de l’horaire social.

17. Pour $t \geq 0$ : $\P(T > t) = \P(-10\ln U > t) = \P\left(U < \eu^{-t/10}\right) = \eu^{-t/10}$ : exactement la fonction de survie de l’exponentielle — un seul logarithme convertit le bruit uniforme de l’ordinateur en n’importe quel temps d’attente.

18. Chaque uniforme a pour moyenne $\frac12$ et pour variance $\frac{1}{12}$ : la somme de douze a pour moyenne $6$ et pour variance $1$ — la recette produit donc une moyenne $0$ et une variance $1$ . Douze petites poussées indépendantes additionnées : c’est le mécanisme de Galton, et par la grâce de De Moivre–Laplace l’histogramme a déjà l’allure d’une cloche à l’œil nu.

19. Sur le modèle : les marchés ne sont pas des sommes de nombreuses petites causes indépendantes — les paniques corrèlent tout (la leçon de 2008 du problème précédent) et produisent des queues épaisses qu’aucune densité normale ne possède. Quand les données murmurent $10^{-137}$ , le catéchisme du statisticien répond : c’est le modèle qui est rejeté, pas la journée.

20. Uniforme : toutes les positions se valent, l’honnête « je ne connais que les bornes ». Exponentielle : le risque qui ne vieillit jamais — désintégrations, arrivées, déclics. Normale : la cloche démocratique des nombreuses petites causes indépendantes — tailles, erreurs, moyennes. Piqûre : ce que vous échantillonnez est biaisé par la façon dont vous l’avez rencontré — bus, classes, amis. Et l’arc : l’enfant qui comptait des briques de jus de fruits dans le premier volume a, dix volumes de problèmes plus tard, mesuré la foule avec une courbe ; l’epsilon, l’intégrale et le théorème central limite attendent dans les volumes universitaires pour expliquer pourquoi la cloche sonne pour tout.

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