Mathématiques du lycée · Grades 10–12

35Variables aléatoires continues

Temps d’attente, mesures physiques, proportions : de nombreuses quantités aléatoires prennent un continuum de valeurs, et aucune valeur isolée n’a de probabilité positive. Les probabilités se calculent alors en intégrant une densité. Ce chapitre étudie les lois uniforme, exponentielle et normale, et utilise la loi normale pour quantifier les fluctuations des sondages et des échantillons.

35.1 Densités de probabilité

Définition 35.1 (Densité, variable aléatoire continue)

Une densité de probabilité sur un intervalle $I$ est une fonction continue, positive ou nulle, $f$ sur $I$ avec $\int_I f(t)\,\dd t = 1$ (l’intégrale sur un $I$ non borné s’entendant comme limite d’intégrales sur des intervalles bornés croissants). Une variable aléatoire $X$ a pour densité $f$ si pour tous $a \leq b$ dans $I$ :

\P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(t)\,\dd t .

Les probabilités sont des aires sous la courbe de densité. En particulier $\P(X = a) = \int_a^a f = 0$ pour toute valeur isolée $a$ : seuls les intervalles portent de la probabilité, et $\P(a \leq X \leq b) = \P(a < X < b)$ .

Définition 35.2 (Espérance et variance)

Pour $X$ de densité $f$ sur $I$ :

\E(X) = \int_I t\,f(t)\,\dd t, \qquad \V(X) = \int_I \bigl(t - \E(X)\bigr)^2 f(t)\,\dd t = \E(X^2) - \E(X)^2 .

Les règles des chapitres 14–15 (linéarité de l’espérance, additivité de la variance pour des variables indépendantes, Bienaymé–Tchebychev) restent valables ; leurs preuves, avec des intégrales à la place des sommes, sont admises à ce niveau.

35.2 Loi uniforme

Définition 35.3 (Loi uniforme)

$X$ suit la loi uniforme $\mathcal U\intcc ab$ si sa densité est constante, $f(t) = \frac{1}{b-a}$ sur $\intcc{a}{b}$ . Alors pour $\intcc{c}{d} \subseteq \intcc ab$ , $\P(c \leq X \leq d) = \frac{d - c}{b - a}$ : probabilité proportionnelle à la longueur.

Proposition 35.4

Si $X \sim \mathcal U\intcc ab$ , alors $\E(X) = \dfrac{a+b}{2}$ et $\V(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}$ .

Démonstration. $\E(X) = \int_a^b \frac{t}{b-a}\dd t = \frac{b^2 - a^2}{2(b-a)} = \frac{a+b}{2}$ . Pour la variance, $\E(X^2) = \frac{b^3 - a^3}{3(b-a)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{3}$ , et

\V(X) = \frac{a^2 + ab + b^2}{3} - \frac{(a+b)^2}{4} = \frac{4a^2 + 4ab + 4b^2 - 3a^2 - 6ab - 3b^2}{12} = \frac{(b - a)^2}{12}. \qedhere

∎

35.3 Loi exponentielle

Définition 35.5 (Loi exponentielle)

Pour $\lambda > 0$ , $X$ suit la loi exponentielle $\mathcal E(\lambda)$ si sa densité sur $\intco{0}{+\infty}$ est

f(t) = \lambda\,\eu^{-\lambda t}.

Alors $\P(X \leq x) = 1 - \eu^{-\lambda x}$ et $\P(X > x) = \eu^{-\lambda x}$ pour $x \geq 0$ .

Proposition 35.6

Si $X \sim \mathcal E(\lambda)$ : $\E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ et $\V(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}$ .

Démonstration. Intégration par parties sur $\intcc{0}{A}$ :

\int_0^A t\,\lambda\eu^{-\lambda t}\dd t = \bigl[-t\,\eu^{-\lambda t}\bigr]_0^A + \int_0^A \eu^{-\lambda t}\dd t = -A\eu^{-\lambda A} + \frac{1 - \eu^{-\lambda A}}{\lambda} \xrightarrow[A\to+\infty]{} \frac1\lambda,

en utilisant $A\eu^{-\lambda A} \to 0$ (Théorème 23.4). Une seconde intégration par parties donne $\E(X^2) = \frac{2}{\lambda^2}$ , d’où $\V(X) = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2}$ . ∎

Théorème 35.7 (Absence de mémoire)

Si $X \sim \mathcal E(\lambda)$ , alors pour tous $s, t \geq 0$ :

\pcond{X > s}{X > s + t} = \P(X > t) .

La loi exponentielle est la loi des durées de vie sans vieillissement (noyaux radioactifs, pas les ampoules).

Démonstration.

\pcond{X > s}{X > s+t} = \frac{\P(X > s + t)}{\P(X > s)} = \frac{\eu^{-\lambda(s+t)}}{\eu^{-\lambda s}} = \eu^{-\lambda t} = \P(X > t). \qedhere

∎

La densité exponentielle - x (ici = 1) : l’aire de la queue au-delà de t (en rouge) est - t, et l’absence de mémoire dit que chaque queue ressemble à la distribution entière redimensionnée. — La densité exponentielle $\lambda\eu^{-\lambda x}$ (ici $\lambda = 1$ ) : l’aire de la queue au-delà de $t$ (en rouge) est $\eu^{-\lambda t}$ , et l’absence de mémoire dit que chaque queue ressemble à la distribution entière redimensionnée.

35.4 Loi normale

Définition 35.8 (Loi normale)

$X$ suit la loi normale centrée réduite $\mathcal N(0, 1)$ si sa densité sur $\R$ est

\varphi(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\eu^{-t^2/2}

(la courbe en cloche). Plus généralement, $X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)$ si $\dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal N(0,1)$ ; alors $\E(X) = \mu$ et $\V(X) = \sigma^2$ .

La densité normale : environ 68.3\% de la masse se trouve à moins de de la moyenne, 95.4\% à moins de 2, 99.7\% à moins de 3. — La densité normale : environ $68.3\%$ de la masse se trouve à moins de $\sigma$ de la moyenne, $95.4\%$ à moins de $2\sigma$ , $99.7\%$ à moins de $3\sigma$ .

Remarque 35.9

Le facteur $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ rend l’aire totale égale à $1$ — un calcul célèbre (l’intégrale de Gauss) mené à l’université. Il n’y a pas de formule élémentaire pour $\int \varphi$ : les probabilités normales se lisent dans des tables ou sur une calculatrice.

Théorème 35.10 (De Moivre–Laplace, admis)

Soient $X_n \sim \mathcal B(n, p)$ et $Z_n = \dfrac{X_n - np}{\sqrt{np(1-p)}}$ (la binomiale normalisée). Alors pour tous $a \leq b$ ,

\P(a \leq Z_n \leq b) \xrightarrow[n\to+\infty]{} \int_a^b \varphi(t)\,\dd t .

Ce résultat est admis à ce niveau. Il explique l’apparition universelle de la courbe en cloche : une binomiale de grand $n$ est approximativement normale — et (théorème central limite, université) il en va de même de toute somme de nombreux petits effets indépendants.

Méthode 35.11 (Intervalle de fluctuation à $95\%$ )

Comme une variable normale tombe à moins de $1.96$ écarts-types de sa moyenne avec probabilité $0.95$ , pour $n$ grand une fréquence $F_n = \frac{X_n}{n}$ d’un échantillon $\mathcal B(n,p)$ vérifie

\P\left(p - 1.96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}} \leq F_n \leq p + 1.96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}\right) \approx 0.95 .

Intervalle de fluctuation (test) : si une $p$ affirmée place la fréquence observée hors de cet intervalle, rejeter l’affirmation au niveau $5\%$ .
Intervalle de confiance (estimation) : l’intervalle simplifié $\left[F_n - \frac{1}{\sqrt n},\ F_n + \frac{1}{\sqrt n}\right]$ contient $p$ avec probabilité au moins $0.95$ (en utilisant $1.96\sqrt{p(1-p)} \leq 1$ , voir Exercice 34.8).

Exemple 35.12

Un sondage de $n = 1000$ électeurs donne $52\%$ à un candidat. L’intervalle de confiance $52\% \pm \frac{1}{\sqrt{1000}} \approx 52\% \pm 3.2\%$ contient encore $50\%$ : le sondage seul n’établit pas que le candidat est en tête.

35.5 Exercices

Exercice 35.1 ★

Un bus passe toutes les $15$ minutes ; un voyageur arrive à un instant uniformément aléatoire. Soit $X \sim \mathcal U\intcc{0}{15}$ le temps d’attente. Calculer $\P(X \leq 5)$ , $\P(4 \leq X \leq 10)$ , $\E(X)$ et $\sigma(X)$ .

Solution

Solution de Exercice 35.1.

$\P(X \leq 5) = \frac{5}{15} = \frac13$ ; $\P(4 \leq X \leq 10) = \frac{6}{15} = \frac25$ ; $\E(X) = \frac{15}{2} = 7.5$ min ; $\sigma(X) = \frac{15}{\sqrt{12}} = \frac{5\sqrt3}{2} \approx 4.3$ min.

Exercice 35.2 ★

Vérifier que $f(t) = \frac{3}{8}t^2$ est une densité sur $\intcc{0}{2}$ , et calculer $\E(X)$ et $\P(X \geq 1)$ pour une variable $X$ de cette densité.

Solution

Solution de Exercice 35.2.

$f \geq 0$ et $\int_0^2 \frac38 t^2\,\dd t = \frac38\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^2 = \frac38 \times \frac83 = 1$ : une densité.

\E(X) = \int_0^2 \frac38 t^3\,\dd t = \frac38 \times \frac{16}{4} = \frac32, \qquad \P(X \geq 1) = \int_1^2 \frac38 t^2\,\dd t = \frac{8 - 1}{8} = \frac78 .

Exercice 35.3 ★

La durée de vie (en années) d’un composant électronique suit $\mathcal E(0.2)$ .

Calculer l’espérance de durée de vie et $\P(X > 5)$ .
Le composant a déjà fonctionné $3$ ans. Quelle est la probabilité qu’il fonctionne encore au moins $5$ ans ?

Solution

Solution de Exercice 35.3.

1. $\E(X) = \frac{1}{0.2} = 5$ ans ; $\P(X > 5) = \eu^{-0.2\times5} = \eu^{-1} \approx 0.37$ .

2. Par l’absence de mémoire (Théorème 35.7), $\pcond{X > 3}{X > 8} = \P(X > 5) = \eu^{-1} \approx 0.37$ : les trois ans de service ne changent rien.

Exercice 35.4 ★★

La demi-vie d’un atome radioactif dont la durée de vie suit $\mathcal E(\lambda)$ est la médiane $m$ : $\P(X > m) = \frac12$ . Exprimer $m$ en fonction de $\lambda$ et comparer à l’espérance. Laquelle est plus grande, et pourquoi cela a-t-il un sens pour une distribution asymétrique ?

Solution

Solution de Exercice 35.4.

$\P(X > m) = \eu^{-\lambda m} = \frac12$ donne $m = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.69}{\lambda}$ , plus petite que $\E(X) = \frac1\lambda$ . La densité exponentielle a une longue queue à droite : quelques durées de vie atypiquement longues tirent la moyenne au-dessus de la médiane, la valeur dépassée par la moitié de la population. (C’est la demi-vie de l’Exemple 23.9 : la moitié des atomes y survivent, bien que la durée de vie moyenne soit plus longue.)

Exercice 35.5 ★★

Les tailles dans une population suivent $\mathcal N(175,\ 7^2)$ (en cm). En utilisant la règle $68$ – $95$ – $99.7$ , estimer la proportion de la population de taille entre $168$ et $182$ cm, au-dessus de $189$ cm, et en dessous de $154$ cm.

Solution

Solution de Exercice 35.5.

$168 = \mu - \sigma$ et $182 = \mu + \sigma$ : environ $68\%$ . $189 = \mu + 2\sigma$ : au-dessus se trouve la moitié du reste $100 - 95.4 = 4.6\%$ , donc environ $2.3\%$ . $154 = \mu - 3\sigma$ : environ $\frac{100 - 99.7}{2} = 0.15\%$ .

Exercice 35.6 ★★

Une machine remplit des sacs étiquetés $500$ g ; la masse remplie suit $\mathcal N(\mu,\ 4^2)$ . La réglementation exige qu’au plus $2.5\%$ des sacs pèsent moins de $500$ g. En utilisant la règle des $95\%$ , quel réglage minimal de $\mu$ est conforme ?

Solution

Solution de Exercice 35.6.

$\P(X < 500) \leq 2.5\%$ signifie que $500$ doit se situer au moins deux écarts types sous la moyenne (la normale laisse $2.3\% \approx 2.5\%$ sous $\mu - 2\sigma$ ; avec le conventionnel $1.96$ , le raisonnement est identique) :

\mu - 2\sigma \geq 500 \iff \mu \geq 500 + 8 = 508 \text{ g}.

La machine doit être réglée sur $508$ g en moyenne — le prix de la garantie est $8$ g de produit « gratuit » par sac.

Exercice 35.7 ★★

Un dé affirmé équilibré est lancé $1200$ fois et donne un six $260$ fois (comme dans l’Exercice 34.7).

Calculer l’intervalle de fluctuation à $95\%$ pour la fréquence de six d’un dé équilibré sur $1200$ lancers.
La fréquence observée est-elle à l’intérieur ? Comparer la force de cette conclusion avec l’analyse de Bienaymé–Tchebychev.

Solution

Solution de Exercice 35.7.

1. Avec $p = \frac16$ , $n = 1200$ : $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{5/36}{1200}} \approx 0.0108$ , donc l’intervalle de fluctuation à $95\%$ est

\frac16 \pm 1.96 \times 0.0108 \approx \intcc{0.146}{0.188}.

2. La fréquence observée $\frac{260}{1200} \approx 0.217$ est largement hors : l’hypothèse d’équilibre est rejetée au niveau $5\%$ . L’écart est d’environ $4.6$ écarts types — pour une approximation normale, une probabilité de l’ordre de $10^{-6}$ , bien plus concluante que la borne $\leq 4.6\%$ de Bienaymé–Tchebychev (Exercice 34.7).

Exercice 35.8 ★★★

Avant une élection, un sondage de $n$ personnes estimera le score $p$ d’un candidat par la fréquence observée $F_n$ .

Avec l’intervalle de confiance de Méthode 35.11, quelle taille d’échantillon garantit une marge de $\pm 2$ points ?
Les candidats sont séparés de $1$ point en réalité. Expliquer pourquoi aucun sondage réaliste ne peut désigner le vainqueur de façon fiable, si bien conduit soit-il.

Solution

Solution de Exercice 35.8.

1. Une marge $\frac{1}{\sqrt n} \leq 0.02$ exige $n \geq 2500$ personnes.

2. Pour distinguer des scores séparés d’un point, la marge doit être bien sous $0.5$ point, exigeant $n \geq \left(\frac{1}{0.005}\right)^2 = 40\,000$ par la formule simplifiée — déjà impraticable pour la plupart des sondages. Pire, la marge statistique ne compte que l’erreur d’échantillonnage ; les biais systématiques (échantillons non représentatifs, non-réponse, bascules de dernière minute) ne diminuent pas avec $n$ et dépassent typiquement un point. Une course à $1$ point est réellement trop serrée pour être appelée.

Exercice 35.9 ★★★

Soit $X$ de densité $f$ sur $\intcc ab$ et soit $Y = \alpha X + \beta$ avec $\alpha > 0$ .

Montrer que $\P(c \leq Y \leq d) = \P\left(\frac{c - \beta}{\alpha} \leq X \leq \frac{d-\beta}{\alpha}\right)$ , et en déduire que $Y$ a pour densité $g(y) = \frac{1}{\alpha} f\left(\frac{y - \beta}{\alpha}\right)$ .
En déduire que si $Z \sim \mathcal N(0,1)$ , alors $\mu + \sigma Z$ a pour densité $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, \eu^{-(y - \mu)^2/(2\sigma^2)}$ — la densité normale générale.

Solution

Solution de Exercice 35.9.

1. Comme $\alpha > 0$ , $c \leq \alpha X + \beta \leq d \iff \frac{c - \beta}{\alpha} \leq X \leq \frac{d - \beta}{\alpha}$ , donc

\P(c \leq Y \leq d) = \int_{(c-\beta)/\alpha}^{(d-\beta)/\alpha} f(t)\,\dd t .

La substitution $y = \alpha t + \beta$ (c.-à-d. lire l’aire dans la variable $y$ , $t = \frac{y - \beta}{\alpha}$ , $\dd t = \frac{\dd y}{\alpha}$ ) transforme ceci en $\int_c^d \frac{1}{\alpha} f\left(\frac{y-\beta}{\alpha}\right)\dd y$ : la fonction $g(y) = \frac1\alpha f\left(\frac{y-\beta}{\alpha}\right)$ est une densité de $Y$ .

2. Avec $f = \varphi$ , $\alpha = \sigma$ , $\beta = \mu$ :

g(y) = \frac{1}{\sigma}\,\varphi\!\left(\frac{y - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, \exp\left(-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right),

qui est donc la densité de $\mathcal N(\mu, \sigma^2) = \mu + \sigma\,\mathcal N(0,1)$ .