Mathématiques du lycée · Grades 10–12

19La loi binomiale

Répéter la même expérience oui/non plusieurs fois, indépendamment, et compter les succès : la loi résultante — la binomiale — est la plus importante de toutes les lois discrètes. Ce chapitre la construit avec des arbres et le comptage de chemins ; la formule fermée pour les comptages de chemins (avec factorielles) vient avec les outils de dénombrement du Chapitre 27, et la loi est revue dans le Chapitre 33.

19.1 Épreuves de Bernoulli

Définition 19.1 (Épreuve de Bernoulli)

Une épreuve de Bernoulli est une expérience à exactement deux issues : succès, de probabilité $p$ , et échec, de probabilité $1 - p$ . La variable aléatoire $X$ égale à $1$ en cas de succès et $0$ en cas d’échec suit la loi de Bernoulli $\mathcal B(p)$ ; alors

\E(X) = p, \qquad \V(X) = p(1 - p).

Démonstration des deux formules. $\E(X) = p \times 1 + (1-p) \times 0 = p$ ; et comme $X^2 = X$ ( $0$ et $1$ sont leurs propres carrés), $\E(X^2) = p$ , donc par la Proposition 18.13, $\V(X) = p - p^2 = p(1-p)$ . ∎

Définition 19.2 (Épreuves indépendantes répétées)

Répéter une épreuve de Bernoulli $n$ fois indépendamment signifie : l’issue de chaque épreuve n’a aucune influence sur les autres, et la probabilité de toute suite complète d’issues est le produit des probabilités le long du chemin correspondant de l’arbre — $p$ pour chaque succès, $1 - p$ pour chaque échec.

Exemple 19.3

Trois épreuves indépendantes de probabilité de succès $p$ . La suite SES (succès, échec, succès) a pour probabilité $p(1-p)p = p^2(1-p)$ — et il en va de même pour toute suite avec exactement deux succès, quelles que soient les positions : seul le nombre de S et de E compte.

19.2 Comptage de chemins et coefficients binomiaux

Définition 19.4 (Coefficient binomial)

Dans l’arbre de $n$ épreuves indépendantes, le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ (lu « $n$ parmi $k$ ») est le nombre de chemins contenant exactement $k$ succès.

Exemple 19.5

$\binom{3}{2} = 3$ : les chemins SSE, SES, ESS. De même $\binom{3}{0} = 1$ (le chemin EEE), $\binom{3}{1} = 3$ et $\binom{3}{3} = 1$ . Par convention et par l’arbre, $\binom n0 = \binom nn = 1$ pour tout $n$ .

L’arbre de n = 3 épreuves : 32 = 3 chemins (rouge) portent exactement deux succès, chacun de probabilité p2(1-p). — L’arbre de $n = 3$ épreuves : $\binom{3}{2} = 3$ chemins (rouge) portent exactement deux succès, chacun de probabilité $p^2(1-p)$ .

Proposition 19.6 (Règle de Pascal)

Pour $1 \leq k \leq n - 1$ :

\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}.

Démonstration. Classer les chemins de l’arbre à $n$ épreuves avec $k$ succès selon leur dernière épreuve. Ceux qui se terminent par un succès s’obtiennent d’un chemin des $n-1$ premières épreuves avec $k - 1$ succès : il y en a $\binom{n-1}{k-1}$ . Ceux qui se terminent par un échec prolongent un chemin avec $k$ succès parmi les $n-1$ premières : $\binom{n-1}{k}$ . Tout chemin est d’exactement l’un des deux types. ∎

La règle de Pascal engendre les coefficients ligne par ligne — chaque entrée est la somme des deux au-dessus d’elle :

\begin{array}{ccccccccccc} &&&&&1&&&&&\\ &&&&1&&1&&&&\\ &&&1&&2&&1&&&\\ &&1&&3&&3&&1&&\\ &1&&4&&6&&4&&1&\\ 1&&5&&10&&10&&5&&1 \end{array}

Remarque 19.7

Une formule fermée, $\binom nk = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ , avec une théorie systématique du dénombrement, est établie dans le Chapitre 27. À ce niveau, le triangle de Pascal calcule tout coefficient dont on a besoin.

19.3 La loi binomiale

Théorème 19.8 (Loi binomiale)

Soit $X$ le nombre de succès dans $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$ . Alors $X$ suit la loi binomiale $\mathcal B(n, p)$ :

\P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^k (1-p)^{n-k}, \qquad k = 0, 1, \dots, n .

Démonstration. L’événement $X = k$ est la collection de tous les chemins avec exactement $k$ succès. Chaque tel chemin a pour probabilité $p^k(1-p)^{n-k}$ : le produit le long du chemin contient $k$ facteurs $p$ et $n - k$ facteurs $1-p$ , dans un certain ordre (Définition 19.2). Il y a $\binom nk$ tels chemins (Définition 19.4), et leurs probabilités s’additionnent. ∎

Exemple 19.9

Un quiz a $5$ questions indépendantes, chacune à $4$ choix ; un élève répond au hasard, donc chaque question est un succès avec $p = \frac14$ . Le nombre $X$ de bonnes réponses suit $\mathcal B\left(5, \frac14\right)$ , et, en utilisant la ligne $5$ du triangle de Pascal :

\P(X = 2) = \binom52 \left(\frac14\right)^2\left(\frac34\right)^3 = 10 \times \frac{1}{16} \times \frac{27}{64} = \frac{270}{1024} \approx 0.26 .

La probabilité d’au moins une bonne réponse utilise le complémentaire : $\P(X \geq 1) = 1 - \P(X = 0) = 1 - \left(\frac34\right)^5 \approx 0.76$ .

Proposition 19.10 (Espérance et variance)

Si $X \sim \mathcal B(n, p)$ :

\E(X) = np, \qquad \V(X) = np(1-p).

Justification. Écrire $X = X_1 + X_2 + \dots + X_n$ , où $X_i$ vaut $1$ si la $i$ -ième épreuve réussit : chaque $X_i$ est une variable de Bernoulli d’espérance $p$ (Définition 19.1). Les moyennes s’additionnent — sommer les $n$ contributions donne $\E(X) = np$ . Que les variances s’additionnent aussi pour des variables indépendantes est vrai mais plus délicat : la formule de variance est admise à ce niveau et prouvée dans le Chapitre 34. ∎

La loi B(10, 0.5) (dix lancers d’une pièce équilibrée) : centrée en (X) = np = 5, symétrique, avec presque toute la probabilité entre 2 et 8. — La loi $\mathcal B(10, 0.5)$ (dix lancers d’une pièce équilibrée) : centrée en $\E(X) = np = 5$ , symétrique, avec presque toute la probabilité entre $2$ et $8$ .

Méthode 19.11 (Reconnaître une situation binomiale)

Avant d’écrire $X \sim \mathcal B(n, p)$ , vérifier trois ingrédients : un nombre fixe $n$ d’épreuves, décidé à l’avance ; chaque épreuve a deux issues avec la même probabilité de succès $p$ ; les épreuves sont indépendantes (avec remise, ou dispositifs séparés). Tirer sans remise dans une petite population n’est pas binomial — la probabilité change à chaque tirage (Exercice 18.6).

19.4 Échantillonnage : l’observation est-elle surprenante ?

La loi binomiale répond à une question très pratique : si la probabilité de succès est vraiment $p$ , quels comptes de succès sont plausibles ?

Exemple 19.12

Une machine est censée produire au plus $10\,\%$ de pièces défectueuses. Dans un lot de $10$ pièces, $4$ sont défectueuses. Malchance ou machine cassée ? Si la machine est en bon état, le nombre de défectueuses suit $\mathcal B(10, 0.1)$ , et

\P(X \geq 4) = 1 - \P(X \leq 3) \approx 1 - 0.987 = 0.013 :

environ une chance sur $80$ . Observer un événement aussi improbable est un signal fort — on rejette l’hypothèse que la machine fonctionne encore à $10\,\%$ , tout en gardant à l’esprit que la décision pourrait être fausse avec une probabilité d’environ $0.013$ .

Méthode 19.13 (Règle de décision à partir d’un modèle binomial)

Pour juger un nombre observé $k$ de succès contre une hypothèse $X \sim \mathcal B(n, p)$ : calculer la probabilité, sous l’hypothèse, d’un résultat au moins aussi extrême que $k$ . Si cette probabilité est très petite (une convention courante : sous $5\,\%$ ), rejeter l’hypothèse ; sinon l’observation est compatible avec elle. Le seuil est un choix, pas un théorème — la statistique quantifie le risque, et l’utilisateur l’accepte.

19.5 Exercices

Exercice 19.1 ★

Prolonger le triangle de Pascal jusqu’à la ligne $7$ , et donner les valeurs de $\binom62$ , $\binom{7}{3}$ et $\binom74$ .

Solution

Solution de Exercice 19.1.

Lignes $6$ et $7$ :

1,\ 6,\ 15,\ 20,\ 15,\ 6,\ 1 \qquad\text{et}\qquad 1,\ 7,\ 21,\ 35,\ 35,\ 21,\ 7,\ 1 .

D’où $\binom62 = 15$ , $\binom73 = 35$ , $\binom74 = 35$ (la symétrie $\binom73 = \binom74$ reflète l’échange des succès et des échecs).

Exercice 19.2 ★

Un dé équilibré est lancé $4$ fois ; $X$ compte les six. Justifier que $X \sim \mathcal B\left(4, \frac16\right)$ et calculer $\P(X = 0)$ , $\P(X = 1)$ et $\P(X \geq 2)$ .

Solution

Solution de Exercice 19.2.

Nombre fixe d’épreuves ( $4$ lancers), deux issues par lancer (six ou non, $p = \frac16$ ), lancers indépendants : $X \sim \mathcal B(4, \frac16)$ .

\P(X=0) = \left(\frac56\right)^4 = \frac{625}{1296} \approx 0.48, \qquad \P(X=1) = 4 \times \frac16\left(\frac56\right)^3 = \frac{500}{1296} \approx 0.39,

\P(X \geq 2) = 1 - \frac{625 + 500}{1296} = \frac{171}{1296} \approx 0.13 .

Exercice 19.3 ★

Lequel des cas suivants est binomial ? Justifier.

Nombre de faces dans $20$ lancers d’une pièce équilibrée.
Nombre d’as dans $5$ cartes distribuées d’un jeu.
Nombre de jours de pluie la semaine prochaine, si chaque jour est pluvieux avec probabilité $0.3$ indépendamment.

Solution

Solution de Exercice 19.3.

1. Binomiale $\mathcal B(20, \frac12)$ : $n$ fixe, même $p$ , lancers indépendants.

2. Pas binomiale : les cartes sont distribuées sans remise, donc la probabilité d’un as change d’une carte à l’autre et les tirages ne sont pas indépendants.

3. Binomiale $\mathcal B(7, 0.3)$ par l’hypothèse d’indépendance énoncée.

Exercice 19.4 ★

$X \sim \mathcal B(50, 0.2)$ . Donner $\E(X)$ , $\V(X)$ et $\sigma(X)$ .

Solution

Solution de Exercice 19.4.

$\E(X) = 50 \times 0.2 = 10$ ; $\V(X) = 50 \times 0.2 \times 0.8 = 8$ ; $\sigma(X) = 2\sqrt2 \approx 2.83$ .

Exercice 19.5 ★★

Un archer touche la cible avec probabilité $0.7$ à chaque tir, indépendamment. En $6$ tirs, calculer la probabilité d’exactement $4$ touches, et d’au moins $5$ touches.

Solution

Solution de Exercice 19.5.

$X \sim \mathcal B(6, 0.7)$ .

\P(X = 4) = \binom64 (0.7)^4 (0.3)^2 = 15 \times 0.2401 \times 0.09 \approx 0.324 .

\P(X \geq 5) = \binom65 (0.7)^5(0.3) + (0.7)^6 = 6 \times 0.16807 \times 0.3 + 0.117649 \approx 0.420 .

Exercice 19.6 ★★

Un test vrai/faux a $8$ questions ; un élève devine chaque réponse. Quelle est la probabilité de réussir (au moins $6$ bonnes réponses) ?

Solution

Solution de Exercice 19.6.

$X \sim \mathcal B\left(8, \frac12\right)$ ; chaque chemin a pour probabilité $\frac{1}{256}$ , donc

\P(X \geq 6) = \frac{\binom86 + \binom87 + \binom88}{256} = \frac{28 + 8 + 1}{256} = \frac{37}{256} \approx 0.14 .

Deviner fait réussir environ une fois sur sept.

Exercice 19.7 ★★

Chaque boîte de céréales achetée contient la figurine A ou la figurine B, avec probabilité $\frac12$ chacune, indépendamment. Un collectionneur achète $5$ boîtes. Calculer la probabilité qu’il obtienne au moins une figurine de chaque type. (Complémentaire : toutes A ou toutes B.)

Solution

Solution de Exercice 19.7.

Le complémentaire de « au moins une de chaque » est « les cinq identiques » : toutes A ou toutes B, chacune de probabilité $\left(\frac12\right)^5 = \frac1{32}$ . D’où

\P(\text{un de chaque type}) = 1 - \frac{2}{32} = \frac{15}{16} .

Exercice 19.8 ★★

Un basketteur marque des lancers francs avec probabilité $p$ , indépendamment. Soit $X \sim \mathcal B(3, p)$ le nombre de réussites en trois tirs. Exprimer $\P(X = 3)$ et $\P(X \geq 1)$ en fonction de $p$ , et trouver pour quel $p$ la probabilité de marquer les trois égale $\frac{27}{64}$ .

Solution

Solution de Exercice 19.8.

$\P(X = 3) = p^3$ et $\P(X \geq 1) = 1 - (1-p)^3$ . Résoudre $p^3 = \frac{27}{64} = \left(\frac34\right)^3$ donne $p = \frac34$ (la fonction cube est strictement croissante, Chapitre 11, donc la solution est unique).

Exercice 19.9 ★★

Combien de fois faut-il lancer une pièce équilibrée pour que la probabilité d’obtenir au moins une face dépasse $0.99$ ? (Complémentaire, puis essayer des valeurs successives de $n$ .)

Solution

Solution de Exercice 19.9.

$\P(\text{au moins une face}) = 1 - \left(\frac12\right)^n$ , donc la condition est $\left(\frac12\right)^n < 0.01$ , c’est-à-dire $2^n > 100$ . Comme $2^6 = 64$ et $2^7 = 128$ : à partir de $n = 7$ lancers.

Exercice 19.10 ★★

En utilisant la règle de Pascal (Proposition 19.6) et $\binom n0 = \binom nn = 1$ , prouver que les entrées de chaque ligne du triangle de Pascal somment à $2^n$ : interpréter les deux côtés comme le comptage de tous les chemins de l’arbre.

Solution

Solution de Exercice 19.10.

La somme de la ligne $n$ compte tous les chemins de l’arbre à $n$ épreuves, classés par leur nombre de succès. Mais l’arbre double ses chemins à chaque épreuve (chaque chemin se scinde en S et E), donc il a $2^n$ chemins au total. D’où $\sum_{k} \binom nk = 2^n$ . Alternativement, par récurrence : la ligne $0$ somme à $1 = 2^0$ , et la règle de Pascal fait que chaque entrée de la ligne $n$ contribue à exactement deux entrées de la ligne $n+1$ , donc les sommes de lignes doublent.

Exercice 19.11 ★★★

Un politicien prétend avoir $60\,\%$ d’approbation. Dans un échantillon aléatoire de $10$ personnes, seulement $3$ approuvent.

Sous l’affirmation, quelle loi suit le nombre $X$ d’approbations dans l’échantillon ? Calculer $\P(X \leq 3)$ .
En utilisant la règle de décision de la Méthode 19.13 avec un seuil de $5\,\%$ , l’observation est-elle compatible avec l’affirmation ?

Solution

Solution de Exercice 19.11.

1. Sous l’affirmation, $X \sim \mathcal B(10, 0.6)$ . En sommant les premiers termes :

\begin{align*} \P(X \leq 3) &= (0.4)^{10} + 10(0.6)(0.4)^9 + 45(0.6)^2(0.4)^8 + 120(0.6)^3(0.4)^7\\ &\approx 0.0001 + 0.0016 + 0.0106 + 0.0425 = 0.0548 . \end{align*}

2. Un résultat au moins aussi extrême que celui observé ( $3$ approbations ou moins) a une probabilité d’environ $5.5\,\%$ — juste au-dessus du seuil de $5\,\%$ . En appliquant strictement la règle, l’observation est (de justesse) compatible avec l’affirmation et on ne la rejette pas. L’exemple montre à quel point les décisions limites sont sensibles au choix du seuil : avec une convention à $6\,\%$ la conclusion s’inverserait.