Mathématiques du lycée · Grades 10–12

33Variables aléatoires et loi binomiale

Une variable aléatoire attache un nombre à chaque issue d’une expérience : un gain, un compte, une durée. Son espérance est la moyenne à long terme des valeurs qu’elle produit, sa variance mesure leur dispersion. La star de ce chapitre est la loi binomiale, qui compte les succès dans des épreuves indépendantes répétées. Les variables aléatoires et la loi binomiale ont été rencontrées dans les Chapitres 18 et 19 ; ce chapitre les revoit et les approfondit, avec les outils combinatoires du Chapitre 27 désormais disponibles.

33.1 Variables aléatoires discrètes

Définition 33.1 (Variable aléatoire, loi)

Une variable aléatoire sur un univers fini $\Omega$ est une fonction $X \colon \Omega \to \R$ . Sa loi (ou distribution) est la donnée de ses valeurs possibles $x_1, \dots, x_k$ et des probabilités

p_i = \P(X = x_i), \qquad \sum_{i=1}^{k} p_i = 1 .

Définition 33.2 (Espérance, variance, écart-type)

L’espérance de $X$ est

\E(X) = \sum_{i=1}^{k} p_i\, x_i ,

sa variance et son écart-type sont

\V(X) = \E\bigl((X - \E(X))^2\bigr) = \sum_{i=1}^k p_i\bigl(x_i - \E(X)\bigr)^2, \qquad \sigma(X) = \sqrt{\V(X)} .

Proposition 33.3 (Formule de König–Huygens)

$\V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2$ .

Démonstration. Écrire $m = \E(X)$ et développer :

\V(X) = \sum_i p_i (x_i^2 - 2m x_i + m^2) = \E(X^2) - 2m\sum_i p_i x_i + m^2\sum_i p_i = \E(X^2) - 2m^2 + m^2 . \qedhere

∎

Proposition 33.4 (Transformation affine)

Pour $a, b \in \R$ :

\E(aX + b) = a\,\E(X) + b, \qquad \V(aX + b) = a^2\,\V(X) .

Démonstration. La première est un réarrangement de la somme définissante. Pour la seconde, $aX + b$ s’écarte de sa moyenne de $a(X - \E(X))$ , et le carré multiplie par $a^2$ . ∎

Exemple 33.5 (Jeux équitables)

Un jeu coûte $2$ euros ; on lance un dé, et le joueur reçoit la valeur affichée si elle est au moins $5$ , rien sinon. Le gain $G$ prend les valeurs $-2$ (probabilité $\frac46$ ), $3$ ( $\frac16$ ), $4$ ( $\frac16$ ) :

\E(G) = \frac{-8 + 3 + 4}{6} = -\frac{1}{6} < 0 .

En moyenne, le joueur perd $17$ centimes par partie : le jeu est défavorable (comme la plupart des jeux réels).

33.2 Épreuves de Bernoulli et loi binomiale

Définition 33.6 (Loi de Bernoulli)

Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues, succès (probabilité $p$ ) et échec ( $q = 1 - p$ ). L’indicatrice $X$ de succès ( $X = 1$ en cas de succès, $0$ en cas d’échec) suit la loi de Bernoulli $\mathcal B(p)$ :

\E(X) = p, \qquad \V(X) = p(1-p) .

(En effet $\E(X) = p$ , $\E(X^2) = p$ , et König–Huygens donne $\V(X) = p - p^2$ .)

Définition 33.7 (Loi binomiale)

Répéter une épreuve de Bernoulli $n$ fois indépendamment, et soit $X$ le nombre total de succès. La loi de $X$ est la loi binomiale $\mathcal B(n, p)$ .

Trois épreuves de Bernoulli : exactement 32 = 3 des 23 chemins donnent deux succès (en rouge), chacun de probabilité p2(1-p), donc (X = 2) = 3p2(1-p). — Trois épreuves de Bernoulli : exactement $\binom{3}{2} = 3$ des $2^3$ chemins donnent deux succès (en rouge), chacun de probabilité $p^2(1-p)$ , donc $\P(X = 2) = 3p^2(1-p)$ .

Théorème 33.8

Si $X \sim \mathcal B(n, p)$ , alors pour $0 \leq k \leq n$ :

\P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k},

\E(X) = np, \qquad \V(X) = np(1-p) .

Démonstration. Une suite spécifiée d’issues avec $k$ succès et $n-k$ échecs a pour probabilité $p^k(1-p)^{n-k}$ par indépendance ; le nombre de telles suites est le nombre de façons de placer les $k$ succès parmi les $n$ épreuves, soit $\binom nk$ (Chapitre 27). En sommant sur les suites on obtient la formule — et la formule du binôme confirme $\sum_k \P(X = k) = (p + q)^n = 1$ .

Pour l’espérance, en utilisant $k\binom nk = n\binom{n-1}{k-1}$ (Exercice 27.7) :

\E(X) = \sum_{k=1}^{n} k\binom nk p^k q^{n-k} = np\sum_{k=1}^{n} \binom{n-1}{k-1} p^{k-1} q^{(n-1)-(k-1)} = np\,(p + q)^{n-1} = np .

La formule de la variance se prouve de façon analogue avec l’identité $k(k-1)\binom nk = n(n-1)\binom{n-2}{k-2}$ , donnant $\E(X(X-1)) = n(n-1)p^2$ , d’où $\V(X) = n(n-1)p^2 + np - (np)^2 = np(1-p)$ . (Une preuve structurelle — la variance d’une somme de variables indépendantes — arrive avec Théorème 34.4.) ∎

La loi B(20, 0.3) : moyenne np = 6, écart-type √npq 2.05. — La loi $\mathcal B(20, 0.3)$ : moyenne $np = 6$ , écart-type $\sqrt{npq} \approx 2.05$ .

Méthode 33.9 (Reconnaître une situation binomiale)

Vérifier les trois ingrédients avant d’écrire $X \sim \mathcal B(n,p)$ : un nombre fixé $n$ d’épreuves ; deux issues par épreuve avec la même probabilité de succès $p$ ; indépendance des épreuves (tirage avec remise, ou dans une grande population). Puis utiliser

\P(X \geq 1) = 1 - (1-p)^n

pour « au moins un succès », et une calculatrice ou des tables cumulatives pour $\P(X \leq k)$ en général.

Exemple 33.10

Combien de fois faut-il lancer un dé pour avoir au moins $99\%$ de chance d’obtenir un six ? Avec $X \sim \mathcal B\left(n, \frac16\right)$ : $\P(X \geq 1) = 1 - \left(\frac56\right)^n \geq 0.99$ signifie $\left(\frac56\right)^n \leq 0.01$ , c’est-à-dire $n \geq \frac{\ln 0.01}{\ln(5/6)} \approx 25.3$ : à partir de $n = 26$ lancers.

33.3 Exercices

Exercice 33.1 ★

Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $-1, 0, 2, 5$ avec les probabilités $0.3, 0.2, 0.4, 0.1$ . Calculer $\E(X)$ , $\V(X)$ et $\sigma(X)$ .

Solution

Solution de Exercice 33.1.

$\E(X) = -0.3 + 0 + 0.8 + 0.5 = 1$ . $\E(X^2) = 0.3 \times 1 + 0 + 0.4\times4 + 0.1\times25 = 4.4$ , donc par König–Huygens $\V(X) = 4.4 - 1 = 3.4$ et $\sigma(X) = \sqrt{3.4} \approx 1.84$ .

Exercice 33.2 ★

Un QCM a $10$ questions, chacune à $4$ choix dont un seul est correct. Un élève répond uniformément au hasard, indépendamment. Soit $X$ le nombre de réponses correctes.

Donner la loi de $X$ , $\E(X)$ et $\sigma(X)$ .
Calculer $\P(X = 0)$ , $\P(X = 5)$ et $\P(X \geq 1)$ .

Solution

Solution de Exercice 33.2.

1. Les $10$ questions sont des épreuves de Bernoulli indépendantes avec $p = \frac14$ : $X \sim \mathcal B\left(10, \frac14\right)$ , $\E(X) = 2.5$ , $\sigma(X) = \sqrt{10 \times \frac14 \times \frac34} = \sqrt{1.875} \approx 1.37$ .

2. $\P(X = 0) = \left(\frac34\right)^{10} \approx 0.056$ ;

\P(X = 5) = \binom{10}{5}\left(\frac14\right)^5\left(\frac34\right)^5 \approx 0.058; \quad \P(X \geq 1) = 1 - \left(\tfrac34\right)^{10} \approx 0.944 .

Exercice 33.3 ★

Une compagnie d’assurance assure $n = 400$ clients ; chacun déclare un sinistre dans l’année avec probabilité $p = 0.05$ , indépendamment. Soit $X$ le nombre de sinistres. Identifier la loi de $X$ et calculer son espérance et son écart-type.

Solution

Solution de Exercice 33.3.

Essais identiques indépendants : $X \sim \mathcal B(400,\ 0.05)$ , donc $\E(X) = 20$ réclamations et

\sigma(X) = \sqrt{400 \times 0.05 \times 0.95} = \sqrt{19} \approx 4.4 .

Exercice 33.4 ★★

Dans le jeu de l’Exemple 33.5, l’organisateur veut un jeu équitable ( $\E(G) = 0$ ) en changeant le prix d’entrée $c$ . Trouver $c$ . Calculer la variance du gain pour cette version équitable ; « équitable » est-il la même chose que « sans risque » ?

Solution

Solution de Exercice 33.4.

Le paiement $P$ reçu vérifie $\E(P) = \frac{5 + 6}{6} = \frac{11}{6}$ , donc le prix équitable est $c = \frac{11}{6} \approx 1.83$ euros. Le gain équitable $G = P - \frac{11}6$ prend les valeurs $-\frac{11}{6}, \frac{19}{6}, \frac{25}{6}$ avec probabilités $\frac46, \frac16, \frac16$ :

\V(G) = \E(G^2) = \frac{4 \times 121 + 361 + 625}{6 \times 36} = \frac{1470}{216} = \frac{245}{36} \approx 6.8, \qquad \sigma(G) \approx 2.6 .

Un jeu équitable a un gain moyen nul mais ses issues fluctuent encore : équitable n’est pas sans risque.

Exercice 33.5 ★★

Un joueur de basket marque ses lancers francs avec probabilité $0.7$ . Elle tire $8$ fois (tirs indépendants). Calculer la probabilité qu’elle marque : exactement $6$ ; au moins $6$ ; au moins une fois. Quel est le nombre le plus probable de paniers ?

Solution

Solution de Exercice 33.5.

$X \sim \mathcal B(8,\ 0.7)$ .

\P(X = 6) = \binom86 (0.7)^6(0.3)^2 \approx 0.296 ;

\P(X \geq 6) = \P(6) + \P(7) + \P(8) \approx 0.296 + 8(0.7)^7(0.3) + (0.7)^8 \approx 0.296 + 0.198 + 0.058 = 0.552 ;

$\P(X \geq 1) = 1 - (0.3)^8 \approx 0.99993$ . Mode : $(n+1)p = 6.3$ , donc la valeur la plus probable est $k^* = 6$ (Exercice 33.7).

Exercice 33.6 ★★

Une compagnie aérienne sait que chaque passager ayant réservé se présente avec probabilité $0.9$ , indépendamment. Un vol a $100$ places et la compagnie vend $104$ billets. Exprimer, à l’aide d’une loi binomiale, la probabilité que plus de passagers se présentent qu’il n’y a de places, et la borner numériquement avec une calculatrice (donner l’expression exacte).

Solution

Solution de Exercice 33.6.

Le nombre de passagers se présentant est $X \sim \mathcal B(104,\ 0.9)$ ; le vol est en surréservation lorsque $X \geq 101$ :

\P(X \geq 101) = \sum_{k=101}^{104}\binom{104}{k}(0.9)^k(0.1)^{104-k} \approx 0.006 .

Vendre $4\%$ de billets de plus que de places provoque un incident sur seulement environ $0.6\%$ des vols — l’économie derrière la surréservation.

Exercice 33.7 ★★

Soit $X \sim \mathcal B(n, p)$ . Montrer que

\frac{\P(X = k+1)}{\P(X = k)} = \frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{1-p},

et en déduire que la loi croît jusqu’à $k^* = \floor{(n+1)p}$ et décroît ensuite (le mode de la binomiale).

Solution

Solution de Exercice 33.7.

\frac{\P(X = k+1)}{\P(X = k)} = \frac{\binom{n}{k+1}}{\binom nk}\cdot\frac{p}{1-p} = \frac{n - k}{k + 1}\cdot\frac{p}{1-p},

en utilisant $\binom{n}{k+1} = \binom nk \frac{n-k}{k+1}$ . Ce rapport est $\geq 1$ ssi $(n-k)p \geq (k+1)(1-p)$ ssi $np - k p \geq k - kp + 1 - p$ ssi $k \leq (n+1)p - 1$ . Donc les probabilités croissent strictement tant que $k + 1 \leq (n+1)p$ et décroissent ensuite : le maximum est atteint en $k^* = \floor{(n+1)p}$ (partagé avec $k^* - 1$ lorsque $(n+1)p$ est un entier).

Exercice 33.8 ★★★

(Saint-Pétersbourg, apprivoisé.) On lance une pièce équilibrée jusqu’à l’apparition de pile, mais au plus $10$ fois. Soit $N$ le nombre de lancers utilisés, et le joueur reçoit $2^N$ euros si pile est apparu, $0$ sinon.

Donner la loi de $N$ restreinte aux issues gagnantes : $\P(\text{pile d'abord au lancer } k) = 2^{-k}$ pour $1 \leq k \leq 10$ , et vérifier la probabilité totale de gagner.
Calculer le gain espéré. Que deviendrait-il sans le plafond de $10$ lancers ?

Solution

Solution de Exercice 33.8.

1. Pile d’abord au lancer $k$ signifie $k-1$ faces puis pile : probabilité $\left(\frac12\right)^{k-1}\cdot\frac12 = 2^{-k}$ , pour $1 \leq k \leq 10$ . Probabilité totale de gagner $\sum_{k=1}^{10} 2^{-k} = 1 - 2^{-10} = \frac{1023}{1024}$ (le jeu n’est perdu que sur dix faces consécutives).

2. Gain espéré :

\sum_{k=1}^{10} 2^k \cdot 2^{-k} = \sum_{k=1}^{10} 1 = 10 \text{ euros}.

Sans le plafond, la somme $\sum_{k\geq1} 1$ diverge : le gain espéré est infini, bien que le jeu paie presque toujours un petit montant — le célèbre paradoxe de Saint-Pétersbourg, montrant que l’espérance seule ne mesure pas la valeur d’un jeu.