Mathématiques du lycée · Grades 10–12

33Variables aléatoires et loi binomiale

Une variable aléatoire attache un nombre à chaque issue d’une expérience : un gain, un compte, une durée. Son espérance est la moyenne à long terme des valeurs qu’elle produit, sa variance mesure leur dispersion. La star de ce chapitre est la loi binomiale, qui compte les succès dans des épreuves indépendantes répétées. Les variables aléatoires et la loi binomiale ont été rencontrées dans les Chapitres 18 et 19 ; ce chapitre les revoit et les approfondit, avec les outils combinatoires du Chapitre 27 désormais disponibles.

33.1 Variables aléatoires discrètes

Définition 33.1 (Variable aléatoire, loi)

Une variable aléatoire sur un univers fini $\Omega$ est une fonction $X \colon \Omega \to \R$ . Sa loi (ou distribution) est la donnée de ses valeurs possibles $x_1, \dots, x_k$ et des probabilités

p_i = \P(X = x_i), \qquad \sum_{i=1}^{k} p_i = 1 .

Définition 33.2 (Espérance, variance, écart-type)

L’espérance de $X$ est

\E(X) = \sum_{i=1}^{k} p_i\, x_i ,

sa variance et son écart-type sont

\V(X) = \E\bigl((X - \E(X))^2\bigr) = \sum_{i=1}^k p_i\bigl(x_i - \E(X)\bigr)^2, \qquad \sigma(X) = \sqrt{\V(X)} .

Proposition 33.3 (Formule de König–Huygens)

$\V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2$ .

Démonstration. Écrire $m = \E(X)$ et développer :

\V(X) = \sum_i p_i (x_i^2 - 2m x_i + m^2) = \E(X^2) - 2m\sum_i p_i x_i + m^2\sum_i p_i = \E(X^2) - 2m^2 + m^2 . \qedhere

∎

Proposition 33.4 (Transformation affine)

Pour $a, b \in \R$ :

\E(aX + b) = a\,\E(X) + b, \qquad \V(aX + b) = a^2\,\V(X) .

Démonstration. La première est un réarrangement de la somme définissante. Pour la seconde, $aX + b$ s’écarte de sa moyenne de $a(X - \E(X))$ , et le carré multiplie par $a^2$ . ∎

Exemple 33.5 (Jeux équitables)

Un jeu coûte $2$ euros ; on lance un dé, et le joueur reçoit la valeur affichée si elle est au moins $5$ , rien sinon. Le gain $G$ prend les valeurs $-2$ (probabilité $\frac46$ ), $3$ ( $\frac16$ ), $4$ ( $\frac16$ ) :

\E(G) = \frac{-8 + 3 + 4}{6} = -\frac{1}{6} < 0 .

En moyenne, le joueur perd $17$ centimes par partie : le jeu est défavorable (comme la plupart des jeux réels).

33.2 Épreuves de Bernoulli et loi binomiale

Définition 33.6 (Loi de Bernoulli)

Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues, succès (probabilité $p$ ) et échec ( $q = 1 - p$ ). L’indicatrice $X$ de succès ( $X = 1$ en cas de succès, $0$ en cas d’échec) suit la loi de Bernoulli $\mathcal B(p)$ :

\E(X) = p, \qquad \V(X) = p(1-p) .

(En effet $\E(X) = p$ , $\E(X^2) = p$ , et König–Huygens donne $\V(X) = p - p^2$ .)

Définition 33.7 (Loi binomiale)

Répéter une épreuve de Bernoulli $n$ fois indépendamment, et soit $X$ le nombre total de succès. La loi de $X$ est la loi binomiale $\mathcal B(n, p)$ .

Trois épreuves de Bernoulli : exactement 32 = 3 des 23 chemins donnent deux succès (en rouge), chacun de probabilité p2(1-p), donc (X = 2) = 3p2(1-p). — Trois épreuves de Bernoulli : exactement $\binom{3}{2} = 3$ des $2^3$ chemins donnent deux succès (en rouge), chacun de probabilité $p^2(1-p)$ , donc $\P(X = 2) = 3p^2(1-p)$ .

Théorème 33.8

Si $X \sim \mathcal B(n, p)$ , alors pour $0 \leq k \leq n$ :

\P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k},

\E(X) = np, \qquad \V(X) = np(1-p) .

Démonstration. Une suite spécifiée d’issues avec $k$ succès et $n-k$ échecs a pour probabilité $p^k(1-p)^{n-k}$ par indépendance ; le nombre de telles suites est le nombre de façons de placer les $k$ succès parmi les $n$ épreuves, soit $\binom nk$ (Chapitre 27). En sommant sur les suites on obtient la formule — et la formule du binôme confirme $\sum_k \P(X = k) = (p + q)^n = 1$ .

Pour l’espérance, en utilisant $k\binom nk = n\binom{n-1}{k-1}$ (Exercice 27.7) :

\E(X) = \sum_{k=1}^{n} k\binom nk p^k q^{n-k} = np\sum_{k=1}^{n} \binom{n-1}{k-1} p^{k-1} q^{(n-1)-(k-1)} = np\,(p + q)^{n-1} = np .

La formule de la variance se prouve de façon analogue avec l’identité $k(k-1)\binom nk = n(n-1)\binom{n-2}{k-2}$ , donnant $\E(X(X-1)) = n(n-1)p^2$ , d’où $\V(X) = n(n-1)p^2 + np - (np)^2 = np(1-p)$ . (Une preuve structurelle — la variance d’une somme de variables indépendantes — arrive avec Théorème 34.4.) ∎

La loi B(20, 0.3) : moyenne np = 6, écart-type √npq 2.05. — La loi $\mathcal B(20, 0.3)$ : moyenne $np = 6$ , écart-type $\sqrt{npq} \approx 2.05$ .

Méthode 33.9 (Reconnaître une situation binomiale)

Vérifier les trois ingrédients avant d’écrire $X \sim \mathcal B(n,p)$ : un nombre fixé $n$ d’épreuves ; deux issues par épreuve avec la même probabilité de succès $p$ ; indépendance des épreuves (tirage avec remise, ou dans une grande population). Puis utiliser

\P(X \geq 1) = 1 - (1-p)^n

pour « au moins un succès », et une calculatrice ou des tables cumulatives pour $\P(X \leq k)$ en général.

Exemple 33.10

Combien de fois faut-il lancer un dé pour avoir au moins $99\%$ de chance d’obtenir un six ? Avec $X \sim \mathcal B\left(n, \frac16\right)$ : $\P(X \geq 1) = 1 - \left(\frac56\right)^n \geq 0.99$ signifie $\left(\frac56\right)^n \leq 0.01$ , c’est-à-dire $n \geq \frac{\ln 0.01}{\ln(5/6)} \approx 25.3$ : à partir de $n = 26$ lancers.

33.3 Exercices

Exercice 33.1 ★

Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $-1, 0, 2, 5$ avec les probabilités $0.3, 0.2, 0.4, 0.1$ . Calculer $\E(X)$ , $\V(X)$ et $\sigma(X)$ .

Solution

Solution de Exercice 33.1.

$\E(X) = -0.3 + 0 + 0.8 + 0.5 = 1$ . $\E(X^2) = 0.3 \times 1 + 0 + 0.4\times4 + 0.1\times25 = 4.4$ , donc par König–Huygens $\V(X) = 4.4 - 1 = 3.4$ et $\sigma(X) = \sqrt{3.4} \approx 1.84$ .

Exercice 33.2 ★

Un QCM a $10$ questions, chacune à $4$ choix dont un seul est correct. Un élève répond uniformément au hasard, indépendamment. Soit $X$ le nombre de réponses correctes.

Donner la loi de $X$ , $\E(X)$ et $\sigma(X)$ .
Calculer $\P(X = 0)$ , $\P(X = 5)$ et $\P(X \geq 1)$ .

Solution

Solution de Exercice 33.2.

1. Les $10$ questions sont des épreuves de Bernoulli indépendantes avec $p = \frac14$ : $X \sim \mathcal B\left(10, \frac14\right)$ , $\E(X) = 2.5$ , $\sigma(X) = \sqrt{10 \times \frac14 \times \frac34} = \sqrt{1.875} \approx 1.37$ .

2. $\P(X = 0) = \left(\frac34\right)^{10} \approx 0.056$ ;

\P(X = 5) = \binom{10}{5}\left(\frac14\right)^5\left(\frac34\right)^5 \approx 0.058; \quad \P(X \geq 1) = 1 - \left(\tfrac34\right)^{10} \approx 0.944 .

Exercice 33.3 ★

Une compagnie d’assurance assure $n = 400$ clients ; chacun déclare un sinistre dans l’année avec probabilité $p = 0.05$ , indépendamment. Soit $X$ le nombre de sinistres. Identifier la loi de $X$ et calculer son espérance et son écart-type.

Solution

Solution de Exercice 33.3.

Essais identiques indépendants : $X \sim \mathcal B(400,\ 0.05)$ , donc $\E(X) = 20$ réclamations et

\sigma(X) = \sqrt{400 \times 0.05 \times 0.95} = \sqrt{19} \approx 4.4 .

Exercice 33.4 ★★

Dans le jeu de l’Exemple 33.5, l’organisateur veut un jeu équitable ( $\E(G) = 0$ ) en changeant le prix d’entrée $c$ . Trouver $c$ . Calculer la variance du gain pour cette version équitable ; « équitable » est-il la même chose que « sans risque » ?

Solution

Solution de Exercice 33.4.

Le paiement $P$ reçu vérifie $\E(P) = \frac{5 + 6}{6} = \frac{11}{6}$ , donc le prix équitable est $c = \frac{11}{6} \approx 1.83$ euros. Le gain équitable $G = P - \frac{11}6$ prend les valeurs $-\frac{11}{6}, \frac{19}{6}, \frac{25}{6}$ avec probabilités $\frac46, \frac16, \frac16$ :

\V(G) = \E(G^2) = \frac{4 \times 121 + 361 + 625}{6 \times 36} = \frac{1470}{216} = \frac{245}{36} \approx 6.8, \qquad \sigma(G) \approx 2.6 .

Un jeu équitable a un gain moyen nul mais ses issues fluctuent encore : équitable n’est pas sans risque.

Exercice 33.5 ★★

Un joueur de basket marque ses lancers francs avec probabilité $0.7$ . Elle tire $8$ fois (tirs indépendants). Calculer la probabilité qu’elle marque : exactement $6$ ; au moins $6$ ; au moins une fois. Quel est le nombre le plus probable de paniers ?

Solution

Solution de Exercice 33.5.

$X \sim \mathcal B(8,\ 0.7)$ .

\P(X = 6) = \binom86 (0.7)^6(0.3)^2 \approx 0.296 ;

\P(X \geq 6) = \P(6) + \P(7) + \P(8) \approx 0.296 + 8(0.7)^7(0.3) + (0.7)^8 \approx 0.296 + 0.198 + 0.058 = 0.552 ;

$\P(X \geq 1) = 1 - (0.3)^8 \approx 0.99993$ . Mode : $(n+1)p = 6.3$ , donc la valeur la plus probable est $k^* = 6$ (Exercice 33.7).

Exercice 33.6 ★★

Une compagnie aérienne sait que chaque passager ayant réservé se présente avec probabilité $0.9$ , indépendamment. Un vol a $100$ places et la compagnie vend $104$ billets. Exprimer, à l’aide d’une loi binomiale, la probabilité que plus de passagers se présentent qu’il n’y a de places, et la borner numériquement avec une calculatrice (donner l’expression exacte).

Solution

Solution de Exercice 33.6.

Le nombre de passagers se présentant est $X \sim \mathcal B(104,\ 0.9)$ ; le vol est en surréservation lorsque $X \geq 101$ :

\P(X \geq 101) = \sum_{k=101}^{104}\binom{104}{k}(0.9)^k(0.1)^{104-k} \approx 0.006 .

Vendre $4\%$ de billets de plus que de places provoque un incident sur seulement environ $0.6\%$ des vols — l’économie derrière la surréservation.

Exercice 33.7 ★★

Soit $X \sim \mathcal B(n, p)$ . Montrer que

\frac{\P(X = k+1)}{\P(X = k)} = \frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{1-p},

et en déduire que la loi croît jusqu’à $k^* = \floor{(n+1)p}$ et décroît ensuite (le mode de la binomiale).

Solution

Solution de Exercice 33.7.

\frac{\P(X = k+1)}{\P(X = k)} = \frac{\binom{n}{k+1}}{\binom nk}\cdot\frac{p}{1-p} = \frac{n - k}{k + 1}\cdot\frac{p}{1-p},

en utilisant $\binom{n}{k+1} = \binom nk \frac{n-k}{k+1}$ . Ce rapport est $\geq 1$ ssi $(n-k)p \geq (k+1)(1-p)$ ssi $np - k p \geq k - kp + 1 - p$ ssi $k \leq (n+1)p - 1$ . Donc les probabilités croissent strictement tant que $k + 1 \leq (n+1)p$ et décroissent ensuite : le maximum est atteint en $k^* = \floor{(n+1)p}$ (partagé avec $k^* - 1$ lorsque $(n+1)p$ est un entier).

Exercice 33.8 ★★★

(Saint-Pétersbourg, apprivoisé.) On lance une pièce équilibrée jusqu’à l’apparition de pile, mais au plus $10$ fois. Soit $N$ le nombre de lancers utilisés, et le joueur reçoit $2^N$ euros si pile est apparu, $0$ sinon.

Donner la loi de $N$ restreinte aux issues gagnantes : $\P(\text{pile d'abord au lancer } k) = 2^{-k}$ pour $1 \leq k \leq 10$ , et vérifier la probabilité totale de gagner.
Calculer le gain espéré. Que deviendrait-il sans le plafond de $10$ lancers ?

Solution

Solution de Exercice 33.8.

1. Pile d’abord au lancer $k$ signifie $k-1$ faces puis pile : probabilité $\left(\frac12\right)^{k-1}\cdot\frac12 = 2^{-k}$ , pour $1 \leq k \leq 10$ . Probabilité totale de gagner $\sum_{k=1}^{10} 2^{-k} = 1 - 2^{-10} = \frac{1023}{1024}$ (le jeu n’est perdu que sur dix faces consécutives).

2. Gain espéré :

\sum_{k=1}^{10} 2^k \cdot 2^{-k} = \sum_{k=1}^{10} 1 = 10 \text{ euros}.

Sans le plafond, la somme $\sum_{k\geq1} 1$ diverge : le gain espéré est infini, bien que le jeu paie presque toujours un petit montant — le célèbre paradoxe de Saint-Pétersbourg, montrant que l’espérance seule ne mesure pas la valeur d’un jeu.

33.4 Problème : le vol en surréservation

Problème 33.1

Devoir du week-end — les compagnies aériennes vendent plus de places qu’elles n’en ont, les usines acceptent des lots à peine inspectés, et la loi binomiale arbitre les deux

Une compagnie disposant de $100$ places vend allègrement $105$ billets : environ $10\,\%$ des passagers ne se présentent jamais, et un siège vide ne rapporte rien. Jusqu’où la compagnie peut-elle pousser avant que les passagers refusés à l’embarquement ne mangent le bénéfice ? La loi binomiale (Théorème 33.8) répond à la décimale près — et la même mécanique inspecte les lots d’usine, tarife les tombolas et maintient les assureurs solvables. Décider en régime de répétition : c’est le métier quotidien de la binomiale.

Partie I — Aisance.

Donner le tableau complet de la loi du nombre $X$ de six obtenus en trois lancers d’un dé.
Calculer $\E(X)$ et $V(X)$ (Définition 33.2).
Un stand fait payer $1$ euro pour trois lancers et verse $2$ euros par six obtenu. Calculer le gain espéré : le jeu est-il équitable ?
Exercice de liste de contrôle (Méthode 33.9) : le nombre de cœurs parmi $5$ cartes tirées sans remise suit-il une loi binomiale ? Et avec remise ? Justifier.
Pour $X \sim \mathcal B(20,\ 0.3)$ : donner $\E(X)$ et $\sigma(X)$ , puis $\E(S)$ et $\sigma(S)$ pour le score $S = 5X - 10$ (Proposition 33.4).

Partie II — Le vol en surréservation. Places : $100$ . Billets vendus : $105$ . Chaque détenteur de billet se présente avec la probabilité $0.9$ , indépendamment ; on note $X$ le nombre de présents.

Modélisation : justifier $X \sim \mathcal B(105,\ 0.9)$ à l’aide de la liste de contrôle — et avouer le point le plus faible du modèle (les absences sont-elles vraiment indépendantes ? penser aux groupes et aux tempêtes).
Calculer $\E(X)$ et $\sigma(X)$ .
Il y a refus d’embarquement lorsque $X \geq 101$ : écrire $\P(X \geq 101)$ comme une somme explicite de cinq termes binomiaux.
Évaluer la somme (à la calculatrice) : quelle fraction des vols voit au moins un passager refusé ?
L’argent : les cinq billets supplémentaires rapportent $5 \times 200 = 1\,000$ euros ; chaque passager refusé coûte $800$ euros d’indemnisation. Calculer le nombre espéré de passagers refusés, $\sum_{k=101}^{105} (k - 100)\,\P(X = k)$ , l’indemnisation espérée, et le verdict sur cette politique.
Conception : le régulateur tolère $\P(\text{refus}) < 5\,\%$ . En testant $n = 105, 106, 107, \dots$ billets, déterminer le plus grand $n$ autorisé.
Le raccourci de la cloche : pour $n = 105$ , calculer la cote z du seuil de refus, $z = \frac{100.5 - \E(X)}{\sigma(X)}$ , et comparer l’estimation grossière « environ $2\sigma$ , donc à peu près $2$ à $3\,\%$ dans la queue supérieure » avec votre réponse exacte. (La courbe qui se cache derrière ce raccourci est la vedette des chapitres suivants.)

Partie III — La porte de l’usine. Un lot de pièces est accepté si un échantillon de $20$ contient au plus une pièce défectueuse.

Si le vrai taux de défaut est $2\,\%$ (un lot honnête), calculer la probabilité d’acceptation.
Si le taux est $10\,\%$ (un mauvais lot), la calculer de nouveau.
Nommer les deux risques de la procédure (le lot honnête refusé ; le mauvais lot accepté), lire leurs valeurs aux questions 13 et 14, et dire quel changement unique améliore les deux à la fois — et à quel prix.
Derrière cette amélioration : montrer que la fréquence observée de défauts $\frac Xn$ dans un échantillon de taille $n$ a pour écart type $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ , et en déduire comment la précision varie avec la taille de l’échantillon (une vieille connaissance : le $\frac{1}{\sqrt n}$ d’il y a deux ans).

Partie IV — Jeux, tombolas, réserves.

Le jeu de Saint-Pétersbourg plafonné de l’Exercice 33.8 a un gain espéré de $10$ euros. Le comparer en un paragraphe au paradoxe non plafonné rencontré au Problème 18.1 : qu’est-ce exactement que le plafond dompte, et quel prix serait désormais équitable ?
Une tombola caritative vend $200$ billets à $2$ euros ; les lots sont un panier à $100$ euros et deux paniers à $50$ euros. Calculer le gain espéré d’un billet et la marge de la tombola ; comparer avec la marge de la roulette européenne, $\frac{1}{37} \approx 2.7\,\%$ . Pourquoi la tombola s’en tire-t-elle ?
Un assureur détient $1\,000$ contrats indépendants : probabilité de sinistre $0.01$ chacun, sinistre de $10\,000$ euros, prime de $130$ euros. Calculer le bénéfice annuel espéré et l’écart type du total des sinistres. Comparer les deux nombres : que cette comparaison impose-t-elle aux assureurs réels de détenir ?
Pour finir — la binomiale comme arbitre des décisions : la liste de reconnaissance ; la boussole $\E \pm \sigma$ ; les probabilités de queue comme prix du risque ; et les deux réserves permanentes (l’indépendance est une affirmation de modélisation, et ce sont les queues rares, non les moyennes, qui ruinent). Une phrase pour chacun, avec l’annonce : la loi des grands nombres et la courbe en cloche, aux chapitres suivants, complètent le règlement de l’arbitre.

Solution

Solution de Problème 33.1.

1. $X \sim \mathcal B\!\left(3, \frac16\right)$ : $\P(X = 0) = \frac{125}{216}$ , $\P(X = 1) = \frac{75}{216}$ , $\P(X = 2) = \frac{15}{216}$ , $\P(X = 3) = \frac{1}{216}$ .

2. $\E(X) = 3 \times \frac16 = \frac12$ ; $V(X) = 3 \times \frac16 \times \frac56 = \frac{5}{12}$ .

3. Versement espéré $2\,\E(X) = 1$ euro contre une mise de $1$ euro : gain nul — parfaitement équitable (une rareté).

4. Sans remise, les tirages sont dépendants (les chances de la seconde carte dépendent de la première) : la loi n’est pas binomiale — la case « indépendance » de la liste de contrôle échoue. Avec remise : $n = 5$ fixé, $p = \frac14$ constant, tirages indépendants : c’est binomial.

5. $\E(X) = 6$ , $\sigma(X) = \sqrt{4.2} \approx 2.05$ . $\E(S) = 5 \times 6 - 10 = 20$ ; $\sigma(S) = 5\sigma(X) \approx 10.25$ .

6. $n = 105$ épreuves fixées (les billets), chacune une présence ou une absence de même paramètre $p = 0.9$ , supposées indépendantes : c’est binomial. L’aveu : les familles ratent leur vol ensemble et les tempêtes vident des avions entiers — l’indépendance est l’acte de foi du modèle, et des absences corrélées rendent les queues plus épaisses que ne le promet la binomiale.

7. $\E(X) = 94.5$ ; $\sigma(X) = \sqrt{105 \times 0.9 \times 0.1} = \sqrt{9.45} \approx 3.07$ .

8. $\P(X \geq 101) = \sum_{k=101}^{105} \binom{105}{k} 0.9^k\, 0.1^{105 - k}$ .

9. Environ $0.0167$ : à peu près un vol sur soixante refuse quelqu’un.

10. $\E(\text{refusés}) \approx 0.023$ passager par vol : indemnisation espérée d’environ $19$ euros — contre $1\,000$ euros de recettes supplémentaires. Surréserver de cinq places est massivement rentable ; d’où la pratique universelle.

11. D’après le tableau des probabilités de queue : $n = 105$ : $1.7\,\%$ ; $n = 106$ : $4.0\,\%$ ; $n = 107$ : $8.1\,\%$ . La plus grande vente conforme est de $n = 106$ billets.

12. $z = \frac{100.5 - 94.5}{3.07} \approx 1.95$ : le seuil se situe deux écarts types au-dessus de la moyenne, et la règle empirique de la cloche (« queue supérieure au-delà de $2\sigma$ $\approx 2.5\,\%$ ») tombe près du $1.7\,\%$ exact — la courbe lisse qui double la binomiale est la protagoniste des chapitres à venir.

13. $0.98^{20} + 20 \times 0.02 \times 0.98^{19} \approx 0.94$ : le lot honnête passe $94\,\%$ du temps.

14. $0.9^{20} + 20 \times 0.1 \times 0.9^{19} \approx 0.39$ : le mauvais lot se faufile encore $39\,\%$ du temps.

15. Risque du producteur : un bon lot refusé (environ $6\,\%$ ) ; risque du consommateur : un mauvais lot accepté (environ $39\,\%$ ). Un échantillon plus grand (avec un seuil d’acceptation proportionnel) réduit les deux — au prix de davantage d’inspection : la qualité a sa ligne budgétaire.

16. $V\!\left(\frac Xn\right) = \frac{V(X)}{n^2} = \frac{np(1-p)}{n^2} = \frac{p(1-p)}{n}$ : l’écart type vaut $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ . Quadrupler l’échantillon divise le bruit par deux : la loi en $\frac{1}{\sqrt n}$ des intervalles de fluctuation d’il y a deux ans, désormais démontrée.

17. Le plafond borne le gain à $2^{10} = 1024$ euros, si bien que chacun des dix tours contribue exactement pour $1$ euro à l’espérance : $\E = 10$ . L’espérance infinie du jeu non plafonné venait entièrement de gains astronomiquement rares et astronomiquement grands ; plafonner, c’est avouer qu’aucune banque ne verse $2^{50}$ euros. Prix équitable du billet pour le jeu plafonné : $10$ euros — et voilà le paradoxe dissipé.

18. Lots espérés par billet : $\frac{100 + 2 \times 50}{200} = 1$ euro contre un billet à $2$ euros : marge de $50\,\%$ — dix-huit fois les $2.7\,\%$ de la roulette. La tombola s’en tire parce que ses joueurs font sciemment un don : la « perte » est précisément le but.

19. Sinistres espérés : $1\,000 \times 0.01 \times 10\,000 = 100\,000$ ; primes : $130\,000$ : bénéfice espéré $30\,000$ euros. Écart type du total des sinistres : $10\,000 \times \sqrt{1\,000 \times 0.01 \times 0.99} \approx 31\,500$ euros — une seule mauvaise année ordinaire dévore tout le bénéfice espéré. D’où les réserves de capital, la réassurance et des portefeuilles bien plus vastes que mille contrats : les assureurs vivent de la loi des grands nombres et gardent des réserves contre sa lenteur.

20. La liste de contrôle d’abord — $n$ fixé, même $p$ , indépendance revendiquée — sans quoi il n’y a pas de binomiale du tout. Ensuite, naviguer avec $\E \pm \sigma$ : les moyennes situent, les écarts avertissent. Puis tarifer les queues : refus d’embarquement, mauvais lots et années ruineuses vivent tous au-delà de $2\sigma$ . Réserves : l’indépendance est une promesse du modélisateur, pas du monde ; et l’espérance ignore précisément ce qui vous détruit. Les pages manquantes du règlement — à quelle vitesse les fréquences se stabilisent, et quelle forme prennent les fluctuations — sont les deux chapitres suivants.

Termes définis dans ce chapitre

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