Mathématiques du lycée · Grades 10–12

14Trigonométrie : le cercle trigonométrique

La trigonométrie commence dans les triangles rectangles, mais sa vraie demeure est le cercle trigonométrique, où le cosinus et le sinus deviennent des fonctions d’un nombre réel arbitraire. Ce chapitre met en place le radian, l’enroulement de la droite réelle autour du cercle, les valeurs exactes à connaître par cœur, et les symétries qui engendrent toutes les identités classiques. L’étude de $\cos$ et $\sin$ comme fonctions — variations, dérivées — est menée dans le Chapitre 24.

14.1 Radians et enroulement

Définition 14.1 (Radian)

Soit $\mathcal C$ le cercle de rayon $1$ centré à l’origine $O$ , et $I(1, 0)$ . La mesure en radians d’un angle au centre de $\mathcal C$ est la longueur de l’arc qu’il découpe sur $\mathcal C$ . Comme le cercle complet a pour circonférence $2\pi$ :

360^\circ = 2\pi \text{ rad}, \qquad 180^\circ = \pi \text{ rad}, \qquad 1 \text{ rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.3^\circ .

Méthode 14.2 (Convertir)

Degrés et radians sont proportionnels : multiplier par $\frac{\pi}{180}$ pour passer des degrés aux radians, par $\frac{180}{\pi}$ dans l’autre sens. Par exemple $60^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$ , et $\frac{3\pi}{4} = \frac{3 \times 180^\circ}{4} = 135^\circ$ .

Définition 14.3 (Enrouler la droite sur le cercle)

À chaque nombre réel $t$ , associer le point $M(t)$ de $\mathcal C$ obtenu en parcourant une distance $\abs t$ le long du cercle depuis $I$ , dans le sens trigonométrique si $t \geq 0$ , dans le sens horaire si $t < 0$ . Comme la circonférence est $2\pi$ , les nombres $t$ et $t + 2k\pi$ ( $k \in \Z$ ) atteignent le même point : $M(t + 2k\pi) = M(t)$ .

Exemple 14.4

$M(0) = I$ ; $M\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = (0, 1)$ , le sommet du cercle ; $M(\pi) = (-1, 0)$ ; $M\!\left(-\frac{\pi}{2}\right) = (0, -1)$ ; et $M\!\left(\frac{9\pi}{4}\right) = M\!\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi\right) = M\!\left(\frac{\pi}{4}\right)$ .

14.2 Cosinus et sinus

Définition 14.5 (Cosinus et sinus)

Pour tout réel $t$ , le cosinus et le sinus de $t$ sont les coordonnées du point $M(t)$ du cercle trigonométrique :

M(t) = (\cos t,\ \sin t).

Le cercle trigonométrique : le nombre réel t, enroulé dans le sens trigonométrique depuis I, arrive au point M(t) dont les coordonnées définissent t et t. — Le cercle trigonométrique : le nombre réel $t$ , enroulé dans le sens trigonométrique depuis $I$ , arrive au point $M(t)$ dont les coordonnées *définissent* $\cos t$ et $\sin t$ .

Proposition 14.6 (Premières propriétés)

Pour tous $t \in \R$ et $k \in \Z$ :

-1 \leq \cos t \leq 1, \qquad -1 \leq \sin t \leq 1, \qquad \cos^2 t + \sin^2 t = 1,

\cos(t + 2k\pi) = \cos t, \qquad \sin(t + 2k\pi) = \sin t .

Démonstration. $M(t)$ est sur le cercle unité, donc ses coordonnées sont entre $-1$ et $1$ , et elles satisfont l’équation du cercle $x^2 + y^2 = 1$ , qui est l’identité $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ . La périodicité reformule $M(t + 2k\pi) = M(t)$ (Définition 14.3). ∎

Exemple 14.7

Si $\sin t = \frac35$ et $t \in \intcc{\frac\pi2}{\pi}$ (deuxième quadrant), alors $\cos^2 t = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ , donc $\cos t = \pm\frac45$ ; dans le deuxième quadrant l’abscisse est négative, d’où $\cos t = -\frac45$ .

Les valeurs à connaître par cœur :

$t$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
[6pt] $\cos t$	$1$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac12$	$0$
[6pt] $\sin t$	$0$	$\dfrac12$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$1$

Remarque 14.8

Un moyen mnémotechnique : les sinus se lisent $\frac{\sqrt0}{2}, \frac{\sqrt1}{2}, \frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt3}{2}, \frac{\sqrt4}{2}$ , et les cosinus sont la même liste inversée.

14.3 Angles associés

Proposition 14.9 (Angles associés)

Pour tout $t \in \R$ :

\begin{aligned} \cos(-t) &= \cos t, & \sin(-t) &= -\sin t,\\ \cos(\pi - t) &= -\cos t, & \sin(\pi - t) &= \sin t,\\ \cos(\pi + t) &= -\cos t, & \sin(\pi + t) &= -\sin t,\\ \cos\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) &= \sin t, & \sin\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) &= \cos t . \end{aligned}

Démonstration. Chaque ligne exprime une symétrie du cercle.

$M(-t)$ est le symétrique de $M(t)$ par rapport à l’axe des $x$ : l’abscisse est inchangée, l’ordonnée change de signe.

$M(\pi - t)$ est le symétrique de $M(t)$ par rapport à l’axe des $y$ : marcher en arrière depuis $\pi$ de $t$ arrive à l’opposé (horizontalement) de marcher en avant depuis $0$ de $t$ . L’abscisse change de signe, l’ordonnée est inchangée.

$M(\pi + t)$ est diamétralement opposé à $M(t)$ (un demi-tour) : les deux coordonnées changent de signe.

$M\!\left(\frac\pi2 - t\right)$ est le symétrique de $M(t)$ par rapport à la diagonale $y = x$ , qui échange les deux coordonnées. ∎

Les quatre points associés : M(-t) est le miroir de M(t) par rapport à l’axe des x, M(π - t) par rapport à l’axe des y, et M(π + t) est diamétralement opposé. Toute identité de la se lit sur ce dessin. — Les quatre points associés : $M(-t)$ est le miroir de $M(t)$ par rapport à l’axe des $x$ , $M(\pi - t)$ par rapport à l’axe des $y$ , et $M(\pi + t)$ est diamétralement opposé. Toute identité de la Proposition 14.9 se lit sur ce dessin.

Exemple 14.10

$\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac\pi3\right) = -\cos\frac\pi3 = -\frac12$ , et $\sin\frac{7\pi}{6} = \sin\left(\pi + \frac\pi6\right) = -\sin\frac\pi6 = -\frac12$ . Le tableau de cinq valeurs, étendu par les symétries, couvre tout le cercle.

14.4 Résoudre des équations trigonométriques

Théorème 14.11 (Les équations $\cos t = \cos a$ et $\sin t = \sin a$ )

Pour des réels $t$ et $a$ :

\cos t = \cos a \iff t = a + 2k\pi \ \text{ou}\ t = -a + 2k\pi \quad (k \in \Z),

\sin t = \sin a \iff t = a + 2k\pi \ \text{ou}\ t = \pi - a + 2k\pi \quad (k \in \Z).

Démonstration. Deux points du cercle trigonométrique ont la même abscisse exactement lorsqu’ils sont égaux ou symétriques l’un de l’autre par rapport à l’axe des $x$ ; par la Proposition 14.9, le symétrique de $M(a)$ est $M(-a)$ . Donc $\cos t = \cos a$ signifie $M(t) = M(a)$ ou $M(t) = M(-a)$ , c’est-à-dire $t = \pm a$ à un multiple de $2\pi$ près. De même, des ordonnées égales signifient des points égaux ou symétriques par rapport à l’axe des $y$ , et le symétrique de $M(a)$ est $M(\pi - a)$ . ∎

Méthode 14.12 (Résoudre $\cos t = c$ sur un intervalle)

Trouver un angle $a$ avec $\cos a = c$ , d’après le tableau des valeurs connues.
Écrire les solutions générales $t = \pm a + 2k\pi$ (Théorème 14.11).
Choisir les entiers $k$ qui tombent dans l’intervalle demandé, et lister les solutions.

Procéder de même pour $\sin t = c$ avec $t = a + 2k\pi$ ou $t = \pi - a + 2k\pi$ .

Exemple 14.13

Résoudre $\cos t = \frac12$ sur $\intoc{-\pi}{\pi}$ . Une solution de $\cos a = \frac12$ est $a = \frac{\pi}{3}$ . Les solutions générales sont $t = \frac\pi3 + 2k\pi$ et $t = -\frac\pi3 + 2k\pi$ . Dans $\intoc{-\pi}{\pi}$ , seul $k = 0$ contribue : $t \in \left\{-\frac\pi3,\ \frac\pi3\right\}$ .

Résoudre $\sin t = -\frac{\sqrt2}{2}$ sur $\intco{0}{2\pi}$ . Un angle est $a = -\frac\pi4$ ; les solutions sont $t = -\frac\pi4 + 2k\pi$ et $t = \pi + \frac\pi4 + 2k\pi = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$ . Dans $\intco{0}{2\pi}$ : $t = \frac{7\pi}{4}$ (pour $k = 1$ ) et $t = \frac{5\pi}{4}$ .

Résoudre t = 1/2 : la droite verticale x = 1/2 (orange) coupe le cercle en deux points, symétriques par rapport à l’axe des x — d’où les deux familles de solutions t = ± π3 + 2kπ. — Résoudre $\cos t = \frac12$ : la droite verticale $x = \frac12$ (orange) coupe le cercle en deux points, symétriques par rapport à l’axe des $x$ — d’où les deux familles de solutions $t = \pm\frac\pi3 + 2k\pi$ .

14.5 Exercices

Exercice 14.1 ★

Convertir en radians : $30^\circ$ , $45^\circ$ , $120^\circ$ , $270^\circ$ . Convertir en degrés : $\frac{\pi}{5}$ , $\frac{5\pi}{6}$ , $\frac{7\pi}{4}$ , $\frac{2\pi}{9}$ .

Solution

Solution de Exercice 14.1.

En radians : $30^\circ = \frac{\pi}{6}$ , $45^\circ = \frac{\pi}{4}$ , $120^\circ = \frac{2\pi}{3}$ , $270^\circ = \frac{3\pi}{2}$ .

En degrés : $\frac{\pi}{5} = 36^\circ$ , $\frac{5\pi}{6} = 150^\circ$ , $\frac{7\pi}{4} = 315^\circ$ , $\frac{2\pi}{9} = 40^\circ$ .

Exercice 14.2 ★

Placer sur le cercle trigonométrique les points $M(t)$ pour

t = \frac{2\pi}{3},\quad t = -\frac{\pi}{4},\quad t = \frac{17\pi}{6},\quad t = -\frac{7\pi}{2},

après avoir réduit chacun à une valeur dans $\intoc{-\pi}{\pi}$ modulo $2\pi$ .

Solution

Solution de Exercice 14.2.

$\frac{2\pi}{3}$ et $-\frac{\pi}{4}$ sont déjà dans $\intoc{-\pi}{\pi}$ : deuxième et quatrième quadrants respectivement.

$\frac{17\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi}{6}$ : deuxième quadrant, près de l’axe des $x$ négatif.

$-\frac{7\pi}{2} + 4\pi = \frac{\pi}{2}$ : le sommet du cercle, $(0, 1)$ .

Exercice 14.3 ★

En utilisant le tableau et les angles associés, donner les valeurs exactes de

\cos\frac{3\pi}{4}, \quad \sin\frac{5\pi}{6}, \quad \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right), \quad \sin\frac{4\pi}{3}, \quad \cos\frac{11\pi}{6} .

Solution

Solution de Exercice 14.3.

$\cos\frac{3\pi}{4} = \cos\left(\pi - \frac\pi4\right) = -\cos\frac\pi4 = -\frac{\sqrt2}{2}$ .

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac\pi6\right) = \sin\frac\pi6 = \frac12$ .

$\cos\left(-\frac\pi3\right) = \cos\frac\pi3 = \frac12$ .

$\sin\frac{4\pi}{3} = \sin\left(\pi + \frac\pi3\right) = -\sin\frac\pi3 = -\frac{\sqrt3}{2}$ .

$\cos\frac{11\pi}{6} = \cos\left(-\frac\pi6 + 2\pi\right) = \cos\frac\pi6 = \frac{\sqrt3}{2}$ .

Exercice 14.4 ★

Sachant $\cos t = \frac{5}{13}$ avec $t \in \intoo{-\frac\pi2}{0}$ , calculer $\sin t$ exactement.

Solution

Solution de Exercice 14.4.

$\sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$ , donc $\sin t = \pm\frac{12}{13}$ . Sur $\intoo{-\frac\pi2}{0}$ (quatrième quadrant) l’ordonnée est négative : $\sin t = -\frac{12}{13}$ .

Exercice 14.5 ★★

Simplifier, pour tout réel $x$ :

A = \cos(\pi + x) + \cos(-x) + \sin\left(\frac\pi2 - x\right) - \cos x, \qquad B = \sin(\pi - x) + \sin(\pi + x) + \sin(-x) .

Solution

Solution de Exercice 14.5.

En utilisant la Proposition 14.9 :

A = (-\cos x) + \cos x + \cos x - \cos x = 0 ,

B = \sin x + (-\sin x) + (-\sin x) = -\sin x .

Exercice 14.6 ★★

Résoudre sur $\intoc{-\pi}{\pi}$ :

\cos t = \frac{\sqrt3}{2}, \qquad \sin t = \frac12, \qquad \cos t = -1 .

Solution

Solution de Exercice 14.6.

$\cos t = \frac{\sqrt3}{2}$ : une solution est $\frac\pi6$ , donc $t = \pm\frac\pi6$ (les décalages de $2k\pi$ sortent de l’intervalle).

$\sin t = \frac12$ : $t = \frac\pi6$ ou $t = \pi - \frac\pi6 = \frac{5\pi}{6}$ .

$\cos t = -1$ : le seul point d’abscisse $-1$ est $M(\pi)$ , donc $t = \pi$ .

Exercice 14.7 ★★

Résoudre sur $\intco{0}{2\pi}$ :

\sin t = -\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \cos t = 0, \qquad 2\sin t + 1 = 0 .

Solution

Solution de Exercice 14.7.

$\sin t = -\frac{\sqrt3}{2}$ : à partir de $a = -\frac\pi3$ , les familles sont $-\frac\pi3 + 2k\pi$ et $\pi + \frac\pi3 + 2k\pi$ ; dans $\intco{0}{2\pi}$ : $t = \frac{4\pi}{3}$ et $t = \frac{5\pi}{3}$ .

$\cos t = 0$ : $t = \frac\pi2$ et $t = \frac{3\pi}{2}$ .

$2\sin t + 1 = 0$ signifie $\sin t = -\frac12$ : à partir de $a = -\frac\pi6$ , dans $\intco{0}{2\pi}$ : $t = \frac{7\pi}{6}$ et $t = \frac{11\pi}{6}$ .

Exercice 14.8 ★★

Résoudre sur $\R$ l’équation $\cos 2t = \cos t$ . (Utiliser le Théorème 14.11 avec $a = t$ , et discuter les deux familles de solutions.)

Solution

Solution de Exercice 14.8.

Par le Théorème 14.11, $\cos 2t = \cos t$ signifie $2t = t + 2k\pi$ ou $2t = -t + 2k\pi$ , c’est-à-dire $t = 2k\pi$ ou $t = \frac{2k\pi}{3}$ ( $k \in \Z$ ). La première famille est contenue dans la seconde (prendre $k$ multiple de $3$ ), donc l’ensemble des solutions est

S = \left\{\frac{2k\pi}{3} : k \in \Z\right\}

— sur le cercle, les trois points $M(0)$ , $M\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ , $M\!\left(\frac{4\pi}{3}\right)$ .

Exercice 14.9 ★★

Montrer que pour tout réel $x$ ,

\bigl(\cos x + \sin x\bigr)^2 + \bigl(\cos x - \sin x\bigr)^2 = 2 .

Solution

Solution de Exercice 14.9.

En développant les deux carrés et en utilisant $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ :

(\cos^2 x + 2\sin x\cos x + \sin^2 x) + (\cos^2 x - 2\sin x\cos x + \sin^2 x) = 1 + 1 = 2 .

Exercice 14.10 ★★

Une roue de rayon $30$ cm roule sans glisser. De quel angle (en radians, puis en degrés) tourne-t-elle lorsque le vélo avance de $1.5$ m ? Quelle distance le vélo parcourt-il pendant un tour complet de la roue ?

Solution

Solution de Exercice 14.10.

Rouler sans glisser signifie que la longueur d’arc égale la distance parcourue : $r\theta = 150$ cm donne $\theta = \frac{150}{30} = 5$ rad $= 5 \times \frac{180}{\pi} \approx 286.5^\circ$ . Un tour complet fait avancer le vélo de la circonférence $2\pi \times 30 = 60\pi \approx 188.5$ cm, environ $1.88$ m.

Exercice 14.11 ★★★

Résoudre sur $\intoc{-\pi}{\pi}$ l’inéquation $\cos t \leq \frac12$ . (Croquer le cercle trigonométrique, marquer la région où l’abscisse est au plus $\frac12$ , et lire l’intervalle de valeurs de $t$ .)

Solution

Solution de Exercice 14.11.

Sur le cercle trigonométrique, les points d’abscisse exactement $\frac12$ sont $M\!\left(\pm\frac\pi3\right)$ . Les points d’abscisse au plus $\frac12$ forment l’arc à gauche de la droite verticale $x = \frac12$ , parcouru lorsque $t$ va de $\frac\pi3$ jusqu’à $\pi$ , ou de $-\pi$ jusqu’à $-\frac\pi3$ . Donc, sur $\intoc{-\pi}{\pi}$ :

S = \intoc{-\pi}{-\frac{\pi}{3}} \cup \intcc{\frac{\pi}{3}}{\pi}.

(Les extrémités $\pm\frac\pi3$ sont incluses car l’inégalité est large.)