Mathématiques du lycée · Grades 10–12

7Équations de droites et systèmes linéaires

Une droite dans le plan repéré est décrite par une équation, et deux droites ensemble forment un système d’équations dont les solutions sont leurs points d’intersection. Ce chapitre relie trois langages — géométrique (droites), algébrique (équations) et fonctionnel (fonctions affines du Chapitre 4) — et enseigne les deux méthodes standard de résolution d’un système linéaire.

7.1 L’équation d’une droite

Théorème 7.1 (Équation réduite)

Dans un repère :

toute droite non verticale a une équation de la forme

$y = mx + p ,$

avec $m$ (le coefficient directeur) et $p$ (l’ordonnée à l’origine) uniquement déterminés — c’est l’équation réduite de la droite ;
toute droite verticale a une équation $x = c$ ;
un point appartient à la droite exactement lorsque ses coordonnées satisfont l’équation.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Proposition 7.2 (Coefficient directeur par deux points)

Le coefficient directeur de la droite (non verticale) passant par $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ , avec $x_A \neq x_B$ , est

m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \qquad \text{(«~variation de $y$ sur variation de $x$~»).}

Démonstration. Les deux points satisfont $y = mx + p$ , donc $y_B - y_A = (mx_B + p) - (mx_A + p) = m(x_B - x_A)$ ; diviser par $x_B - x_A \neq 0$ . ∎

Trois types de droites : oblique (m ≠ 0), horizontale (m = 0), et verticale (pas d’équation réduite — l’équation est x = c). — Trois types de droites : oblique ( $m \neq 0$ ), horizontale ( $m = 0$ ), et verticale (pas d’équation réduite — l’équation est $x = c$ ).

Méthode 7.3 (Trouver l’équation d’une droite par deux points)

Étant donnés $A$ et $B$ avec $x_A \neq x_B$ :

calculer le coefficient directeur $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ ;
écrire $y = mx + p$ et substituer les coordonnées de $A$ (ou $B$ ) pour trouver $p$ ;
vérifier l’équation finale avec l’autre point.

Si $x_A = x_B$ , la droite est verticale : son équation est $x = x_A$ .

Exemple 7.4

Droite passant par $A(1, 5)$ et $B(3, 1)$ . Coefficient directeur : $m = \frac{1 - 5}{3 - 1} = \frac{-4}{2} = -2$ . Puis $y = -2x + p$ ; le point $A$ donne $5 = -2 \times 1 + p$ , donc $p = 7$ . Équation : $y = -2x + 7$ . Vérification avec $B$ : $-2 \times 3 + 7 = 1$ .

Proposition 7.5 (Droites parallèles)

Deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Deux droites parallèles distinctes n’ont aucun point commun ; deux droites de coefficients directeurs différents en ont exactement un.

Démonstration. Soient $y = mx + p$ et $y = m'x + p'$ les deux droites. Un point commun résout $mx + p = m'x + p'$ , c’est-à-dire $(m - m')x = p' - p$ . Si $m \neq m'$ , cela a exactement une solution $x = \frac{p' - p}{m - m'}$ : un point d’intersection. Si $m = m'$ , l’équation s’écrit $0 = p' - p$ : aucune solution lorsque $p \neq p'$ (parallèles distinctes), tout $x$ lorsque $p = p'$ (même droite). Le parallélisme (n’avoir aucune intersection, ou être confondues) est donc équivalent à $m = m'$ . ∎

Remarque 7.6 (Vecteur directeur)

La droite $y = mx + p$ monte de $m$ unités pour chaque unité vers la droite, donc le vecteur $\vec u\,(1, m)$ est un vecteur directeur de la droite : la droite est parallèle à $\vec u$ . Deux droites sont parallèles exactement lorsque leurs vecteurs directeurs sont colinéaires (Théorème 6.13).

7.2 Systèmes linéaires

Définition 7.7 (Système linéaire)

Un système de deux équations linéaires aux inconnues $x$ et $y$ est une paire d’équations

\begin{cases} a x + b y = c \\ a' x + b' y = c' \end{cases}

à satisfaire simultanément. Une solution est un couple $(x, y)$ satisfaisant les deux. Chaque équation décrit une droite, donc résoudre le système, c’est trouver l’intersection de deux droites.

Méthode 7.8 (Substitution)

Résoudre une équation en une inconnue — choisir la plus simple, par exemple exprimer $y$ en fonction de $x$ ;
substituer cette expression dans l’autre équation, qui ne contient plus que $x$ ;
résoudre en $x$ , puis calculer $y$ à partir de l’étape 1 ;
vérifier le couple dans les deux équations d’origine.

Exemple 7.9

Résoudre $\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - y = 3 \end{cases}$ par substitution. La seconde équation donne $y = 3x - 3$ . Substituer dans la première :

x + 2(3x - 3) = 8 \ \Longleftrightarrow\ x + 6x - 6 = 8 \ \Longleftrightarrow\ 7x = 14 \ \Longleftrightarrow\ x = 2 ,

puis $y = 3 \times 2 - 3 = 3$ . La solution est le couple $(2, 3)$ . Vérification : $2 + 2 \times 3 = 8$ et $3 \times 2 - 3 = 3$ .

Méthode 7.10 (Combinaison)

Multiplier chaque équation par un nombre bien choisi pour qu’une inconnue ait des coefficients opposés dans les deux équations ;
additionner les équations : cette inconnue disparaît ;
résoudre l’équation à une inconnue restante, puis substituer pour trouver l’autre inconnue ;
vérifier le couple dans les deux équations d’origine.

Exemple 7.11

Résoudre $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 5x - 2y = 8 \end{cases}$ par combinaison. Pour éliminer $y$ , multiplier la première équation par $2$ et la seconde par $3$ :

\begin{cases} 4x + 6y = 14 \\ 15x - 6y = 24 \end{cases}

En les additionnant : $19x = 38$ , donc $x = 2$ . En substituant dans $2x + 3y = 7$ : $4 + 3y = 7$ , donc $y = 1$ . Solution : $(2, 1)$ . Vérification dans la seconde équation : $5 \times 2 - 2 \times 1 = 8$ .

Un système linéaire vu géométriquement : chaque équation est une droite, et la solution (2,1) de l’ est leur point d’intersection. — Un système linéaire vu géométriquement : chaque équation est une droite, et la solution $(2,1)$ de l’Exemple 7.11 est leur point d’intersection.

Remarque 7.12 (Combien de solutions ?)

Comme deux droites, un système linéaire a en général exactement une solution (droites non parallèles), et exceptionnellement aucune (droites parallèles distinctes) ou une infinité (deux fois la même droite). Le critère du Théorème 6.13 décide : le système a une unique solution exactement lorsque $ab' - a'b \neq 0$ .

Exemple 7.13 (Modéliser avec un système)

Trois cahiers et deux stylos coûtent $8$ ; un cahier et quatre stylos coûtent $6$ . Soit $x$ le prix d’un cahier et $y$ celui d’un stylo :

\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ x + 4y = 6 . \end{cases}

De la seconde équation, $x = 6 - 4y$ ; en substituant, $3(6 - 4y) + 2y = 8$ , donc $18 - 10y = 8$ , d’où $y = 1$ puis $x = 2$ . Un cahier coûte $2$ et un stylo $1$ .

7.3 Exercices

Exercice 7.1 ★

Pour chaque droite, lire le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine, et la croquer :

y = 2x - 3, \qquad y = -\tfrac13 x + 1, \qquad y = 4, \qquad x = -2 .

Solution

Solution de Exercice 7.1.

$y = 2x - 3$ : coefficient $2$ , ordonnée à l’origine $-3$ . $y = -\frac13 x + 1$ : coefficient $-\frac13$ , ordonnée à l’origine $1$ . $y = 4$ : coefficient $0$ , ordonnée à l’origine $4$ (droite horizontale). $x = -2$ : droite verticale, pas de coefficient directeur ni d’équation réduite.

Exercice 7.2 ★

Le point $A(2, 7)$ appartient-il à la droite $y = 3x + 1$ ? Et $B(-1, -1)$ ? Et le point $C(4, 13)$ ?

Solution

Solution de Exercice 7.2.

$3 \times 2 + 1 = 7$ : oui, $A$ est sur la droite. $3 \times (-1) + 1 = -2 \neq -1$ : $B$ n’y est pas. $3 \times 4 + 1 = 13$ : oui, $C$ est sur la droite.

Exercice 7.3 ★

Trouver l’équation réduite de la droite passant par :

\text{(a) } A(0, 2) \text{ et } B(3, 8); \qquad \text{(b) } A(-1, 5) \text{ et } B(2, -4); \qquad \text{(c) } A(4, 1) \text{ et } B(4, 6).

Solution

Solution de Exercice 7.3.

(a) $m = \frac{8 - 2}{3 - 0} = 2$ et $p = y_A = 2$ (le point $A$ est sur l’axe des $y$ ) : $y = 2x + 2$ .

(b) $m = \frac{-4 - 5}{2 - (-1)} = \frac{-9}{3} = -3$ ; puis $5 = -3 \times (-1) + p$ donne $p = 2$ : $y = -3x + 2$ .

Exercice 7.4 ★

Parmi les droites $y = 3x - 1$ , $y = -3x + 2$ , $y = 3x + 5$ , $y = \frac{6x + 2}{2}$ , lesquelles sont parallèles entre elles ? Lesquelles sont en fait confondues ?

Solution

Solution de Exercice 7.4.

$y = \frac{6x+2}{2} = 3x + 1$ . Les droites de coefficient $3$ sont $y = 3x - 1$ , $y = 3x + 5$ et $y = 3x + 1$ : ces trois-là sont parallèles entre elles ; aucune paire n’est confondue (ordonnées à l’origine différentes), et aucune n’est parallèle à $y = -3x + 2$ .

Exercice 7.5 ★

Résoudre par substitution :

\begin{cases} y = 2x - 1 \\ 3x + y = 9 \end{cases} \qquad\text{puis}\qquad \begin{cases} x - y = 4 \\ 2x + 3y = 3 . \end{cases}

Solution

Solution de Exercice 7.5.

Premier système : substituer $y = 2x - 1$ dans $3x + y = 9$ : $3x + 2x - 1 = 9$ , donc $5x = 10$ , $x = 2$ , puis $y = 3$ . Solution : $(2, 3)$ .

Second système : de $x - y = 4$ , $x = y + 4$ . Puis $2(y + 4) + 3y = 3$ , donc $5y = -5$ , $y = -1$ , puis $x = 3$ . Solution : $(3, -1)$ .

Exercice 7.6 ★

Résoudre par combinaison :

\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases} \qquad\text{puis}\qquad \begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 2x + 5y = 8 . \end{cases}

Solution

Solution de Exercice 7.6.

Premier système : additionner les équations élimine $y$ : $2x = 14$ , $x = 7$ ; puis $7 + y = 10$ donne $y = 3$ . Solution : $(7, 3)$ .

Second système : multiplier la première équation par $5$ et la seconde par $-2$ :

\begin{cases} 15x + 10y = 60 \\ -4x - 10y = -16 \end{cases}

Addition : $11x = 44$ , donc $x = 4$ ; puis $3 \times 4 + 2y = 12$ donne $y = 0$ . Solution : $(4, 0)$ .

Exercice 7.7 ★★

Déterminer, sans les résoudre, combien de solutions chaque système a :

\begin{cases} 2x - y = 3 \\ -4x + 2y = -6 \end{cases} \qquad \begin{cases} 2x - y = 3 \\ -4x + 2y = 1 \end{cases} \qquad \begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + y = 0 . \end{cases}

Solution

Solution de Exercice 7.7.

Calculer $ab' - a'b$ dans chaque cas.

Premier : $2 \times 2 - (-4) \times (-1) = 4 - 4 = 0$ , et la seconde équation est $-2$ fois la première : deux fois la même droite, une infinité de solutions.

Second : $ab' - a'b = 0$ encore, mais les seconds membres ne sont pas dans le rapport $-2$ ( $1 \neq -6$ ) : deux droites parallèles distinctes, aucune solution.

Troisième : $2 \times 1 - 1 \times (-1) = 3 \neq 0$ : exactement une solution.

Exercice 7.8 ★★

Deux cents billets ont été vendus pour une pièce de théâtre scolaire, certains à $5$ (enfants) et d’autres à $9$ (adultes), pour un total de $1352$ . Combien de billets de chaque type ont été vendus ?

Solution

Solution de Exercice 7.8.

Soit $x$ le nombre de billets enfants et $y$ le nombre de billets adultes :

\begin{cases} x + y = 200 \\ 5x + 9y = 1352 . \end{cases}

De la première équation $x = 200 - y$ ; en substituant, $5(200 - y) + 9y = 1352$ , donc $1000 + 4y = 1352$ , $y = 88$ , puis $x = 112$ . Donc $112$ billets enfants et $88$ billets adultes. Vérification : $5 \times 112 + 9 \times 88 = 560 + 792 = 1352$ .

Exercice 7.9 ★★

Soit $d$ la droite $y = 2x - 3$ et $A(1, 4)$ .

Donner l’équation de la droite $d'$ parallèle à $d$ passant par $A$ .
Calculer le point d’intersection de $d'$ avec l’axe des $x$ .

Solution

Solution de Exercice 7.9.

1. Parallèle signifie même coefficient $2$ : $y = 2x + p$ avec $4 = 2 \times 1 + p$ , donc $p = 2$ : $d'\colon y = 2x + 2$ .

2. Sur l’axe des $x$ , $y = 0$ : $2x + 2 = 0$ donne $x = -1$ . Le point d’intersection est $(-1, 0)$ .

Exercice 7.10 ★★★

Soient $A(0, 0)$ , $B(6, 2)$ et $C(2, 4)$ .

Trouver les équations des médianes du triangle $ABC$ issues de $A$ et de $B$ (une médiane joint un sommet au milieu du côté opposé).
Calculer leur point d’intersection $G$ , et vérifier que $G$ est aussi sur la troisième médiane. (On doit trouver que les coordonnées de $G$ sont les moyennes de celles de $A$ , $B$ , $C$ .)

Solution

Solution de Exercice 7.10.

1. Milieu de $[BC]$ : $A' = \left(\frac{6+2}{2}, \frac{2+4}{2}\right) = (4, 3)$ . La médiane issue de $A(0,0)$ a pour coefficient $\frac{3 - 0}{4 - 0} = \frac34$ : équation $y = \frac34 x$ .

Milieu de $[AC]$ : $B' = (1, 2)$ . La médiane issue de $B(6, 2)$ a pour coefficient $\frac{2 - 2}{1 - 6} = 0$ : c’est la droite horizontale $y = 2$ .

2. Intersection : $\frac34 x = 2$ donne $x = \frac83$ , donc $G\left(\frac83, 2\right)$ . La troisième médiane joint $C(2,4)$ au milieu de $[AB]$ , $C' = (3, 1)$ ; son coefficient est $\frac{1 - 4}{3 - 2} = -3$ , équation $y = -3x + 10$ . En $x = \frac83$ : $y = -8 + 10 = 2$ : $G$ est dessus. Et en effet $G = \left(\frac{0 + 6 + 2}{3}, \frac{0 + 2 + 4}{3}\right)$ : le centre de gravité moyenne les coordonnées des sommets.