Mathématiques du lycée · Grades 10–12

7Équations de droites et systèmes linéaires

Une droite dans le plan repéré est décrite par une équation, et deux droites ensemble forment un système d’équations dont les solutions sont leurs points d’intersection. Ce chapitre relie trois langages — géométrique (droites), algébrique (équations) et fonctionnel (fonctions affines du Chapitre 4) — et enseigne les deux méthodes standard de résolution d’un système linéaire.

7.1 L’équation d’une droite

Théorème 7.1 (Équation réduite)

Dans un repère :

toute droite non verticale a une équation de la forme

$y = mx + p ,$

avec $m$ (le coefficient directeur) et $p$ (l’ordonnée à l’origine) uniquement déterminés — c’est l’équation réduite de la droite ;
toute droite verticale a une équation $x = c$ ;
un point appartient à la droite exactement lorsque ses coordonnées satisfont l’équation.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Proposition 7.2 (Coefficient directeur par deux points)

Le coefficient directeur de la droite (non verticale) passant par $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ , avec $x_A \neq x_B$ , est

m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \qquad \text{(«~variation de $y$ sur variation de $x$~»).}

Démonstration. Les deux points satisfont $y = mx + p$ , donc $y_B - y_A = (mx_B + p) - (mx_A + p) = m(x_B - x_A)$ ; diviser par $x_B - x_A \neq 0$ . ∎

Trois types de droites : oblique (m ≠ 0), horizontale (m = 0), et verticale (pas d’équation réduite — l’équation est x = c). — Trois types de droites : oblique ( $m \neq 0$ ), horizontale ( $m = 0$ ), et verticale (pas d’équation réduite — l’équation est $x = c$ ).

Méthode 7.3 (Trouver l’équation d’une droite par deux points)

Étant donnés $A$ et $B$ avec $x_A \neq x_B$ :

calculer le coefficient directeur $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ ;
écrire $y = mx + p$ et substituer les coordonnées de $A$ (ou $B$ ) pour trouver $p$ ;
vérifier l’équation finale avec l’autre point.

Si $x_A = x_B$ , la droite est verticale : son équation est $x = x_A$ .

Exemple 7.4

Droite passant par $A(1, 5)$ et $B(3, 1)$ . Coefficient directeur : $m = \frac{1 - 5}{3 - 1} = \frac{-4}{2} = -2$ . Puis $y = -2x + p$ ; le point $A$ donne $5 = -2 \times 1 + p$ , donc $p = 7$ . Équation : $y = -2x + 7$ . Vérification avec $B$ : $-2 \times 3 + 7 = 1$ .

Proposition 7.5 (Droites parallèles)

Deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Deux droites parallèles distinctes n’ont aucun point commun ; deux droites de coefficients directeurs différents en ont exactement un.

Démonstration. Soient $y = mx + p$ et $y = m'x + p'$ les deux droites. Un point commun résout $mx + p = m'x + p'$ , c’est-à-dire $(m - m')x = p' - p$ . Si $m \neq m'$ , cela a exactement une solution $x = \frac{p' - p}{m - m'}$ : un point d’intersection. Si $m = m'$ , l’équation s’écrit $0 = p' - p$ : aucune solution lorsque $p \neq p'$ (parallèles distinctes), tout $x$ lorsque $p = p'$ (même droite). Le parallélisme (n’avoir aucune intersection, ou être confondues) est donc équivalent à $m = m'$ . ∎

Remarque 7.6 (Vecteur directeur)

La droite $y = mx + p$ monte de $m$ unités pour chaque unité vers la droite, donc le vecteur $\vec u\,(1, m)$ est un vecteur directeur de la droite : la droite est parallèle à $\vec u$ . Deux droites sont parallèles exactement lorsque leurs vecteurs directeurs sont colinéaires (Théorème 6.13).

7.2 Systèmes linéaires

Définition 7.7 (Système linéaire)

Un système de deux équations linéaires aux inconnues $x$ et $y$ est une paire d’équations

\begin{cases} a x + b y = c \\ a' x + b' y = c' \end{cases}

à satisfaire simultanément. Une solution est un couple $(x, y)$ satisfaisant les deux. Chaque équation décrit une droite, donc résoudre le système, c’est trouver l’intersection de deux droites.

Méthode 7.8 (Substitution)

Résoudre une équation en une inconnue — choisir la plus simple, par exemple exprimer $y$ en fonction de $x$ ;
substituer cette expression dans l’autre équation, qui ne contient plus que $x$ ;
résoudre en $x$ , puis calculer $y$ à partir de l’étape 1 ;
vérifier le couple dans les deux équations d’origine.

Exemple 7.9

Résoudre $\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - y = 3 \end{cases}$ par substitution. La seconde équation donne $y = 3x - 3$ . Substituer dans la première :

x + 2(3x - 3) = 8 \ \Longleftrightarrow\ x + 6x - 6 = 8 \ \Longleftrightarrow\ 7x = 14 \ \Longleftrightarrow\ x = 2 ,

puis $y = 3 \times 2 - 3 = 3$ . La solution est le couple $(2, 3)$ . Vérification : $2 + 2 \times 3 = 8$ et $3 \times 2 - 3 = 3$ .

Méthode 7.10 (Combinaison)

Multiplier chaque équation par un nombre bien choisi pour qu’une inconnue ait des coefficients opposés dans les deux équations ;
additionner les équations : cette inconnue disparaît ;
résoudre l’équation à une inconnue restante, puis substituer pour trouver l’autre inconnue ;
vérifier le couple dans les deux équations d’origine.

Exemple 7.11

Résoudre $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 5x - 2y = 8 \end{cases}$ par combinaison. Pour éliminer $y$ , multiplier la première équation par $2$ et la seconde par $3$ :

\begin{cases} 4x + 6y = 14 \\ 15x - 6y = 24 \end{cases}

En les additionnant : $19x = 38$ , donc $x = 2$ . En substituant dans $2x + 3y = 7$ : $4 + 3y = 7$ , donc $y = 1$ . Solution : $(2, 1)$ . Vérification dans la seconde équation : $5 \times 2 - 2 \times 1 = 8$ .

Un système linéaire vu géométriquement : chaque équation est une droite, et la solution (2,1) de l’ est leur point d’intersection. — Un système linéaire vu géométriquement : chaque équation est une droite, et la solution $(2,1)$ de l’Exemple 7.11 est leur point d’intersection.

Remarque 7.12 (Combien de solutions ?)

Comme deux droites, un système linéaire a en général exactement une solution (droites non parallèles), et exceptionnellement aucune (droites parallèles distinctes) ou une infinité (deux fois la même droite). Le critère du Théorème 6.13 décide : le système a une unique solution exactement lorsque $ab' - a'b \neq 0$ .

Exemple 7.13 (Modéliser avec un système)

Trois cahiers et deux stylos coûtent $8$ ; un cahier et quatre stylos coûtent $6$ . Soit $x$ le prix d’un cahier et $y$ celui d’un stylo :

\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ x + 4y = 6 . \end{cases}

De la seconde équation, $x = 6 - 4y$ ; en substituant, $3(6 - 4y) + 2y = 8$ , donc $18 - 10y = 8$ , d’où $y = 1$ puis $x = 2$ . Un cahier coûte $2$ et un stylo $1$ .

7.3 Exercices

Exercice 7.1 ★

Pour chaque droite, lire le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine, et la croquer :

y = 2x - 3, \qquad y = -\tfrac13 x + 1, \qquad y = 4, \qquad x = -2 .

Solution

Solution de Exercice 7.1.

$y = 2x - 3$ : coefficient $2$ , ordonnée à l’origine $-3$ . $y = -\frac13 x + 1$ : coefficient $-\frac13$ , ordonnée à l’origine $1$ . $y = 4$ : coefficient $0$ , ordonnée à l’origine $4$ (droite horizontale). $x = -2$ : droite verticale, pas de coefficient directeur ni d’équation réduite.

Exercice 7.2 ★

Le point $A(2, 7)$ appartient-il à la droite $y = 3x + 1$ ? Et $B(-1, -1)$ ? Et le point $C(4, 13)$ ?

Solution

Solution de Exercice 7.2.

$3 \times 2 + 1 = 7$ : oui, $A$ est sur la droite. $3 \times (-1) + 1 = -2 \neq -1$ : $B$ n’y est pas. $3 \times 4 + 1 = 13$ : oui, $C$ est sur la droite.

Exercice 7.3 ★

Trouver l’équation réduite de la droite passant par :

\text{(a) } A(0, 2) \text{ et } B(3, 8); \qquad \text{(b) } A(-1, 5) \text{ et } B(2, -4); \qquad \text{(c) } A(4, 1) \text{ et } B(4, 6).

Solution

Solution de Exercice 7.3.

(a) $m = \frac{8 - 2}{3 - 0} = 2$ et $p = y_A = 2$ (le point $A$ est sur l’axe des $y$ ) : $y = 2x + 2$ .

(b) $m = \frac{-4 - 5}{2 - (-1)} = \frac{-9}{3} = -3$ ; puis $5 = -3 \times (-1) + p$ donne $p = 2$ : $y = -3x + 2$ .

Exercice 7.4 ★

Parmi les droites $y = 3x - 1$ , $y = -3x + 2$ , $y = 3x + 5$ , $y = \frac{6x + 2}{2}$ , lesquelles sont parallèles entre elles ? Lesquelles sont en fait confondues ?

Solution

Solution de Exercice 7.4.

$y = \frac{6x+2}{2} = 3x + 1$ . Les droites de coefficient $3$ sont $y = 3x - 1$ , $y = 3x + 5$ et $y = 3x + 1$ : ces trois-là sont parallèles entre elles ; aucune paire n’est confondue (ordonnées à l’origine différentes), et aucune n’est parallèle à $y = -3x + 2$ .

Exercice 7.5 ★

Résoudre par substitution :

\begin{cases} y = 2x - 1 \\ 3x + y = 9 \end{cases} \qquad\text{puis}\qquad \begin{cases} x - y = 4 \\ 2x + 3y = 3 . \end{cases}

Solution

Solution de Exercice 7.5.

Premier système : substituer $y = 2x - 1$ dans $3x + y = 9$ : $3x + 2x - 1 = 9$ , donc $5x = 10$ , $x = 2$ , puis $y = 3$ . Solution : $(2, 3)$ .

Second système : de $x - y = 4$ , $x = y + 4$ . Puis $2(y + 4) + 3y = 3$ , donc $5y = -5$ , $y = -1$ , puis $x = 3$ . Solution : $(3, -1)$ .

Exercice 7.6 ★

Résoudre par combinaison :

\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases} \qquad\text{puis}\qquad \begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 2x + 5y = 8 . \end{cases}

Solution

Solution de Exercice 7.6.

Premier système : additionner les équations élimine $y$ : $2x = 14$ , $x = 7$ ; puis $7 + y = 10$ donne $y = 3$ . Solution : $(7, 3)$ .

Second système : multiplier la première équation par $5$ et la seconde par $-2$ :

\begin{cases} 15x + 10y = 60 \\ -4x - 10y = -16 \end{cases}

Addition : $11x = 44$ , donc $x = 4$ ; puis $3 \times 4 + 2y = 12$ donne $y = 0$ . Solution : $(4, 0)$ .

Exercice 7.7 ★★

Déterminer, sans les résoudre, combien de solutions chaque système a :

\begin{cases} 2x - y = 3 \\ -4x + 2y = -6 \end{cases} \qquad \begin{cases} 2x - y = 3 \\ -4x + 2y = 1 \end{cases} \qquad \begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + y = 0 . \end{cases}

Solution

Solution de Exercice 7.7.

Calculer $ab' - a'b$ dans chaque cas.

Premier : $2 \times 2 - (-4) \times (-1) = 4 - 4 = 0$ , et la seconde équation est $-2$ fois la première : deux fois la même droite, une infinité de solutions.

Second : $ab' - a'b = 0$ encore, mais les seconds membres ne sont pas dans le rapport $-2$ ( $1 \neq -6$ ) : deux droites parallèles distinctes, aucune solution.

Troisième : $2 \times 1 - 1 \times (-1) = 3 \neq 0$ : exactement une solution.

Exercice 7.8 ★★

Deux cents billets ont été vendus pour une pièce de théâtre scolaire, certains à $5$ (enfants) et d’autres à $9$ (adultes), pour un total de $1352$ . Combien de billets de chaque type ont été vendus ?

Solution

Solution de Exercice 7.8.

Soit $x$ le nombre de billets enfants et $y$ le nombre de billets adultes :

\begin{cases} x + y = 200 \\ 5x + 9y = 1352 . \end{cases}

De la première équation $x = 200 - y$ ; en substituant, $5(200 - y) + 9y = 1352$ , donc $1000 + 4y = 1352$ , $y = 88$ , puis $x = 112$ . Donc $112$ billets enfants et $88$ billets adultes. Vérification : $5 \times 112 + 9 \times 88 = 560 + 792 = 1352$ .

Exercice 7.9 ★★

Soit $d$ la droite $y = 2x - 3$ et $A(1, 4)$ .

Donner l’équation de la droite $d'$ parallèle à $d$ passant par $A$ .
Calculer le point d’intersection de $d'$ avec l’axe des $x$ .

Solution

Solution de Exercice 7.9.

1. Parallèle signifie même coefficient $2$ : $y = 2x + p$ avec $4 = 2 \times 1 + p$ , donc $p = 2$ : $d'\colon y = 2x + 2$ .

2. Sur l’axe des $x$ , $y = 0$ : $2x + 2 = 0$ donne $x = -1$ . Le point d’intersection est $(-1, 0)$ .

Exercice 7.10 ★★★

Soient $A(0, 0)$ , $B(6, 2)$ et $C(2, 4)$ .

Trouver les équations des médianes du triangle $ABC$ issues de $A$ et de $B$ (une médiane joint un sommet au milieu du côté opposé).
Calculer leur point d’intersection $G$ , et vérifier que $G$ est aussi sur la troisième médiane. (On doit trouver que les coordonnées de $G$ sont les moyennes de celles de $A$ , $B$ , $C$ .)

Solution

Solution de Exercice 7.10.

1. Milieu de $[BC]$ : $A' = \left(\frac{6+2}{2}, \frac{2+4}{2}\right) = (4, 3)$ . La médiane issue de $A(0,0)$ a pour coefficient $\frac{3 - 0}{4 - 0} = \frac34$ : équation $y = \frac34 x$ .

Milieu de $[AC]$ : $B' = (1, 2)$ . La médiane issue de $B(6, 2)$ a pour coefficient $\frac{2 - 2}{1 - 6} = 0$ : c’est la droite horizontale $y = 2$ .

2. Intersection : $\frac34 x = 2$ donne $x = \frac83$ , donc $G\left(\frac83, 2\right)$ . La troisième médiane joint $C(2,4)$ au milieu de $[AB]$ , $C' = (3, 1)$ ; son coefficient est $\frac{1 - 4}{3 - 2} = -3$ , équation $y = -3x + 10$ . En $x = \frac83$ : $y = -8 + 10 = 2$ : $G$ est dessus. Et en effet $G = \left(\frac{0 + 6 + 2}{3}, \frac{0 + 2 + 4}{3}\right)$ : le centre de gravité moyenne les coordonnées des sommets.

7.4 Problème : une solution, aucune, ou une infinité

Problème 7.1

Devoir du week-end — deux droites ont trois destins possibles, un déterminant tranche entre eux, et le plus vieux manuel du monde le savait déjà

Deux équations du premier degré, deux inconnues : le couple de droites qu’elles dessinent peut se croiser une fois, jamais, ou bien n’être qu’une seule et même droite — et tout système linéaire hérite de l’un de ces trois destins. Ce problème les classe, rencontre le nombre qui décide (une vieille connaissance du chapitre sur les vecteurs), résout les faisans et les lapins, vieux de deux mille ans, des Neuf Chapitres chinois, et s’achève sur des sommets de régions — le premier pas de l’optimisation qu’utilisent aujourd’hui toutes les compagnies aériennes et toutes les usines.

Partie I — La droite, couramment.

Déterminer l’équation réduite de la droite passant par $(1, 2)$ et $(3, 8)$ (Méthode 7.3).
Parmi $y = 3x - 1$ , $y = 3x + 4$ et $y = -x + 7$ : quelles deux droites sont parallèles (Proposition 7.5), et où les couples non parallèles se coupent-ils ? (Calculer une intersection.)
La droite passant par $(2, 1)$ et $(2, 5)$ : pourquoi n’a-t-elle pas d’équation réduite $y = mx + p$ , et quelle est son équation ?
Le point $(4, 11)$ est-il sur la droite $y = 3x - 1$ ? Et $(-1, -5)$ ?
La droite passant par $(0, 3)$ et de coefficient directeur $-2$ : donner son équation, ses deux points d’intersection avec les axes, et l’aire du triangle qu’elle découpe dans le premier quadrant.

Partie II — Trois destins.

Résoudre par substitution (Méthode 7.8) : $\begin{cases} y = 2x - 3 \\ 3x + y = 7 \end{cases}$
Résoudre par combinaison linéaire (Méthode 7.10) : $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 5x - 3y = -1 \end{cases}$
Classer — et interpréter à l’aide de droites — les deux systèmes

$\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 6 \end{cases} \qquad\text{et}\qquad \begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 1 . \end{cases}$

Énoncer la trichotomie complète : droites sécantes, parallèles, confondues — une solution, aucune, une infinité.
Pour le système général $ax + by = e$ , $cx + dy = f$ , le nombre qui décide est $ad - bc$ — le déterminant même du test de colinéarité du Problème 6.1. Expliquer cette coïncidence (quels deux vecteurs sont colinéaires exactement lorsque les droites sont parallèles ou confondues ?), et évaluer $ad - bc$ pour les trois systèmes des questions 7 et 8.
Pour quelle valeur de $m$ le système $\begin{cases} x + my = 3 \\ 2x + 6y = 7 \end{cases}$ n’a-t-il aucune solution ? Résoudre le système pour toutes les autres valeurs de $m$ … ou du moins expliquer comment on s’y prendrait.

Partie III — Les Neuf Chapitres.

D’après les Neuf Chapitres sur l’art mathématique (Chine, il y a environ deux mille ans) : une cage contient des faisans et des lapins — $35$ têtes et $94$ pattes en tout. Combien de chaque ?
Un stand de jus mélange un sirop à $60\,\%$ de fruit avec une boisson à $20\,\%$ de fruit pour obtenir $30$ L à $35\,\%$ de fruit. Combien de litres de chaque ?
Un nombre à deux chiffres a pour somme des chiffres $12$ ; échanger ses chiffres le diminue de $18$ . Le trouver, en utilisant l’algèbre des chiffres du devoir du week-end correspondant du volume précédent pour poser le système.
À la boulangerie, $3$ cafés et $2$ croissants coûtent $9.10$ euros ; $2$ cafés et $3$ croissants coûtent $8.90$ euros. Résoudre élégamment : que livrent directement l’addition des deux équations, puis leur soustraction ?
Un étal de marché affirme : $2$ pommes $+ 1$ poire pour $5$ euros, et $4$ pommes $+ 2$ poires pour $9$ euros. Résoudre — ou plutôt, expliquer ce que le destin du système révèle sur l’arithmétique du marchand.

Partie IV — Les sommets font la loi.

La droite $y = 3x - 1$ partage le plan en deux. De quel côté est l’origine ? Décrire l’ensemble $y > 3x - 1$ et la façon dont on teste un point.
Dessiner la région définie par les quatre contraintes

$x \geq 0, \qquad y \geq 0, \qquad x + y \leq 4, \qquad y \leq 2x + 1,$

et calculer ses quatre sommets.
Le bénéfice d’un atelier vaut $P = 3x + 2y$ sur la région de la question 17. Évaluer $P$ aux quatre sommets. En admettant que le maximum d’une telle quantité linéaire sur une telle région est toujours atteint en un sommet (se représenter les droites $3x + 2y =$ constante balayant la région), donner le plan de production optimal.
Les deux taxis du devoir du week-end sur les deux thermomètres, dans le volume précédent, sous forme de système : écrire et résoudre $\begin{cases} y = 1.5x + 3 \\ y = 2x \end{cases}$ puis interpréter la solution.
Pour finir, le dictionnaire : une équation $\leftrightarrow$ une droite ; un système $\leftrightarrow$ deux droites aux trois destins, tranchés par $ad - bc$ ; plusieurs inéquations $\leftrightarrow$ une région dont les sommets portent l’optimum. L’énoncer en trois phrases — vous venez de visiter le hall d’entrée de l’algèbre linéaire et de la programmation linéaire, toutes deux construites en entier dans les volumes universitaires.

Solution

Solution de Problème 7.1.

1. Coefficient directeur $\frac{8 - 2}{3 - 1} = 3$ ; par $(1, 2)$ : $y = 3x - 1$ .

2. $y = 3x - 1$ et $y = 3x + 4$ : même coefficient directeur, droites parallèles (et distinctes). En coupant $y = 3x - 1$ et $y = -x + 7$ : $3x - 1 = -x + 7$ donne $x = 2$ , $y = 5$ : point $(2, 5)$ .

3. Les deux points ont la même abscisse $x = 2$ : la droite est verticale, d’équation $x = 2$ . Une forme réduite $y = mx + p$ répond « un seul $y$ par $x$ », ce que refuse une droite verticale : son coefficient directeur serait infini.

4. $3 \times 4 - 1 = 11$ : oui, $(4, 11)$ est sur la droite. $3 \times (-1) - 1 = -4 \neq -5$ : non.

5. $y = -2x + 3$ ; la droite coupe les axes en $(0, 3)$ et $\left(\frac32, 0\right)$ . Aire du triangle : $\frac12 \times \frac32 \times 3 = \frac94 = 2.25$ .

6. Par substitution : $3x + 2x - 3 = 7$ , donc $x = 2$ et $y = 1$ : solution $(2, 1)$ .

7. En additionnant : $7x = 7$ , $x = 1$ ; puis $3y = 6$ , $y = 2$ : solution $(1, 2)$ .

8. Premier système : la seconde équation est le double de la première — une droite comptée deux fois, donc une infinité de solutions (tous les points de $2x - y = 3$ ). Second système : mêmes premiers membres proportionnels, mais pas les seconds ( $2 \times 3 = 6 \neq 1$ ) : deux droites parallèles — aucune solution. Trichotomie : coefficients directeurs distincts $\to$ une intersection ; coefficients égaux et ordonnées à l’origine différentes $\to$ parallèles, aucune solution ; tout égal $\to$ même droite, une infinité.

9. Les vecteurs directeurs des droites sont $(-b, a)$ et $(-d, c)$ (ou : coefficients directeurs $-\frac ab$ et $-\frac cd$ ), colinéaires exactement lorsque $ad - bc = 0$ — le déterminant du Problème 6.1 dans un nouvel emploi. Valeurs : question 7, $2 \times (-3) - 3 \times 5 = -21 \neq 0$ : solution unique. Question 8 : $2 \times (-2) - (-1) \times 4 = 0$ dans les deux cas : parallèles ou confondues, et ce sont les constantes qui séparent les deux cas.

10. $ad - bc = 6 - 2m$ : nul pour $m = 3$ . Là, $x + 3y = 3$ face à $2x + 6y = 7$ : en doublant la première on obtient $2x + 6y = 6 \neq 7$ , donc des droites parallèles et aucune solution. Pour $m \neq 3$ , la combinaison linéaire donne l’unique solution $y = \frac{1}{6 - 2m}$ , puis $x = 3 - \frac{m}{6 - 2m}$ .

11. $p + r = 35$ , $2p + 4r = 94$ : en divisant par $2$ , $p + 2r = 47$ , donc $r = 12$ et $p = 23$ : vingt-trois faisans et douze lapins — la réponse même des Neuf Chapitres.

12. $x + y = 30$ et $0.6x + 0.2y = 0.35 \times 30 = 10.5$ : en retranchant $0.2 \times$ la première, $0.4x = 4.5$ , donc $x = 11.25$ L de sirop et $y = 18.75$ L de boisson.

13. Chiffres $a$ et $b$ : $a + b = 12$ et $(10a + b) - (10b + a) = 9(a - b) = 18$ , donc $a - b = 2$ : $a = 7$ , $b = 5$ , et le nombre est $75$ .

14. En additionnant : $5c + 5r = 18$ , donc $c + r = 3.60$ — un café plus un croissant. En soustrayant : $c - r = 0.20$ . D’où $c = 1.90$ et $r = 1.70$ euros : le raccourci symétrique a résolu le système sans la moindre substitution.

15. Doubler la première annonce donne $4$ pommes $+ 2$ poires $= 10$ euros, alors que l’étal en demande $9$ : le système est incompatible — droites parallèles, ensemble de solutions vide. Verdict : les deux annonces de prix ne peuvent pas être exactes toutes les deux ; ou bien une remise se cache quelque part, ou bien c’est l’arithmétique.

16. À l’origine : $0 > 3 \times 0 - 1 = -1$ , ce qui est vrai ; donc $(0,0)$ appartient à la région $y > 3x - 1$ (au-dessus de la droite). On teste n’importe quel point en le remplaçant dans l’inéquation : au-dessus ou au-dessous selon qu’elle est vraie ou fausse.

17. Sommets : $(0, 0)$ ; $(4, 0)$ (axes et $x + y = 4$ ) ; $(0, 1)$ (axe et $y = 2x + 1$ ) ; et $x + y = 4$ avec $y = 2x + 1$ : $x = 1$ , $y = 3$ , soit $(1, 3)$ .

18. $P(0,0) = 0$ ; $P(4, 0) = 12$ ; $P(0, 1) = 2$ ; $P(1, 3) = 9$ . Maximum au sommet $(4, 0)$ : le plan $x = 4$ , $y = 0$ rapporte $12$ — les sommets font la loi, comme le rendent visible les droites parallèles $3x + 2y = c$ qui balaient la région.

19. $1.5x + 3 = 2x$ donne $x = 6$ et $y = 12$ : à six kilomètres les deux taxis facturent douze euros — le croisement du devoir du week-end sur les deux thermomètres, du volume précédent, devenu l’unique solution d’un système.

20. Les solutions d’une équation du premier degré dessinent une droite ; un système superpose deux droites, et $ad - bc$ dit d’un coup d’œil si elles se coupent une fois (déterminant non nul) ou si l’on tombe dans les cas parallèles-ou-confondues (déterminant nul). Empilez plutôt des inéquations et les solutions forment une région polygonale dont les sommets portent tout optimum linéaire. L’algèbre linéaire généralise le déterminant à un nombre quelconque d’inconnues ; la programmation linéaire industrialise les sommets.

Termes définis dans ce chapitre

Système linéaire

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