Mathématiques du lycée · Grades 10–12

34Sommes de variables aléatoires et loi des grands nombres

Pourquoi les casinos gagnent-ils toujours à la fin, et pourquoi les sondages fonctionnent-ils ? Parce que les moyennes de nombreuses quantités aléatoires indépendantes fluctuent de moins en moins. Ce chapitre le prouve : linéarité de l’espérance, additivité de la variance pour des variables indépendantes, inégalité de Bienaymé–Tchebychev, et loi des grands nombres.

34.1 Sommes de variables aléatoires

Étant données deux variables aléatoires $X, Y$ sur le même univers fini $\Omega$ , la somme $X + Y$ est la variable aléatoire $\omega \mapsto X(\omega) + Y(\omega)$ .

Théorème 34.1 (Linéarité de l’espérance)

Pour toutes variables aléatoires $X, Y$ sur $\Omega$ et $a, b \in \R$ :

\E(X + Y) = \E(X) + \E(Y), \qquad \E(aX + b) = a\E(X) + b .

Aucune hypothèse d’indépendance n’est nécessaire.

Démonstration. Écrivons l’espérance comme une somme sur les issues. Comme $\P(X = x) = \sum_{\omega : X(\omega) = x} \P(\{\omega\})$ , un regroupement des termes donne

\E(X) = \sum_{\omega \in \Omega} \P(\{\omega\})\,X(\omega) .

Alors

\E(X + Y) = \sum_{\omega} \P(\{\omega\})\bigl(X(\omega) + Y(\omega)\bigr) = \sum_{\omega} \P(\{\omega\})X(\omega) + \sum_{\omega} \P(\{\omega\})Y(\omega) = \E(X) + \E(Y). \qedhere

∎

Définition 34.2 (Variables aléatoires indépendantes)

$X$ et $Y$ sont indépendantes si pour toutes valeurs $x, y$ :

\P(X = x \text{ et } Y = y) = \P(X = x)\,\P(Y = y).

Plusieurs variables $X_1, \dots, X_n$ sont indépendantes si cette règle de produit vaut pour tout choix de valeurs de toute sous-famille.

Proposition 34.3

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, $\E(XY) = \E(X)\,\E(Y)$ .

Démonstration.

\begin{aligned} \E(XY) &= \sum_{x, y} xy\;\P(X = x \text{ et } Y = y) = \sum_{x, y} xy\,\P(X=x)\P(Y=y) \\ &= \Bigl(\sum_x x\P(X=x)\Bigr)\Bigl(\sum_y y\P(Y=y)\Bigr). \qedhere \end{aligned}

∎

Théorème 34.4 (Variance d’une somme)

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors

\V(X + Y) = \V(X) + \V(Y).

Plus généralement, pour $X_1, \dots, X_n$ indépendantes : $\V(X_1 + \dots + X_n) = \V(X_1) + \dots + \V(X_n)$ .

Démonstration. En utilisant König–Huygens (Proposition 33.3) et la linéarité :

\begin{align*} \V(X + Y) &= \E\bigl((X+Y)^2\bigr) - \bigl(\E X + \E Y\bigr)^2\\ &= \E(X^2) + 2\E(XY) + \E(Y^2) - \E(X)^2 - 2\E(X)\E(Y) - \E(Y)^2\\ &= \V(X) + \V(Y) + 2\bigl(\E(XY) - \E(X)\E(Y)\bigr), \end{align*}

et le dernier crochet s’annule pour des variables indépendantes (Proposition 34.3). Le cas général suit par récurrence. ∎

Exemple 34.5 (Binomiale revisitée)

Une variable binomiale $X \sim \mathcal B(n, p)$ est une somme $X = X_1 + \dots + X_n$ de $n$ variables de Bernoulli indépendantes. D’où, structurellement :

\E(X) = np, \qquad \V(X) = np(1-p),

retrouvant Théorème 33.8 sans aucun calcul.

Proposition 34.6 (Moyenne empirique)

Soient $X_1, \dots, X_n$ indépendantes de même loi que $X$ (espérance $\mu$ , variance $\sigma^2$ ), et soit $M_n = \frac{X_1 + \dots + X_n}{n}$ leur moyenne empirique. Alors

\E(M_n) = \mu, \qquad \V(M_n) = \frac{\sigma^2}{n}, \qquad \sigma(M_n) = \frac{\sigma}{\sqrt n}.

Démonstration. La linéarité donne $\E(M_n) = \frac{n\mu}{n} = \mu$ ; l’indépendance donne $\V(X_1 + \dots + X_n) = n\sigma^2$ , et diviser par $n$ multiplie la variance par $\frac{1}{n^2}$ (Proposition 33.4). ∎

La quantité $\frac{\sigma}{\sqrt n}$ est la loi de la racine carrée fondamentale : pour diviser par deux les fluctuations d’une moyenne, il faut quadrupler la taille de l’échantillon.

La loi de la racine carrée : chaque quadruplement de la taille de l’échantillon ne divise l’écart-type de la moyenne que par deux.

34.2 Inégalités de concentration

Théorème 34.7 (Inégalité de Markov)

Si $X \geq 0$ et $a > 0$ :

\P(X \geq a) \leq \frac{\E(X)}{a}.

Démonstration. Dans $\E(X) = \sum_i p_i x_i$ (tous les termes positifs), ne garder que les termes avec $x_i \geq a$ : chacun vaut au moins $a\,p_i$ , donc $\E(X) \geq a \sum_{x_i \geq a} p_i = a\,\P(X \geq a)$ . ∎

Théorème 34.8 (Inégalité de Bienaymé–Tchebychev)

Pour toute variable aléatoire $X$ et tout $\varepsilon > 0$ :

\P\bigl(\abs{X - \E(X)} \geq \varepsilon\bigr) \leq \frac{\V(X)}{\varepsilon^2}.

Démonstration. Appliquer l’inégalité de Markov à la variable positive $Y = (X - \E(X))^2$ avec $a = \varepsilon^2$ :

\P\bigl(\abs{X - \E(X)} \geq \varepsilon\bigr) = \P(Y \geq \varepsilon^2) \leq \frac{\E(Y)}{\varepsilon^2} = \frac{\V(X)}{\varepsilon^2}. \qedhere

∎

Concentration : Bienaymé–Tchebychev borne la probabilité que X tombe dans les queues (en rouge), à distance au moins de son espérance, par (X)/ 2. — Concentration : Bienaymé–Tchebychev borne la probabilité que $X$ tombe dans les queues (en rouge), à distance au moins $\varepsilon$ de son espérance, par $\V(X)/\varepsilon^2$ .

Théorème 34.9 (Loi des grands nombres)

Soient $X_1, \dots, X_n$ indépendantes de même loi (espérance $\mu$ , variance $\sigma^2$ ) et $M_n$ leur moyenne empirique. Pour tout $\varepsilon > 0$ :

\P\bigl(\abs{M_n - \mu} \geq \varepsilon\bigr) \leq \frac{\sigma^2}{n\,\varepsilon^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 .

La moyenne empirique se concentre autour de l’espérance.

Démonstration. Bienaymé–Tchebychev appliqué à $M_n$ , d’espérance $\mu$ et de variance $\frac{\sigma^2}{n}$ (Proposition 34.6). ∎

Remarque 34.10

Ce théorème est le pont entre théorie des probabilités et statistique : la fréquence d’un événement sur de nombreuses répétitions indépendantes approche sa probabilité (prendre $X_i$ l’indicatrice de l’événement, de sorte que $\mu = p$ ). Il justifie l’estimation d’une probabilité par simulation (méthode de Monte-Carlo) et d’une proportion dans une population par un sondage — quantitativement : voir Chapitre 35.

Méthode 34.11 (Utiliser Bienaymé–Tchebychev)

Pour garantir $\P(\abs{M_n - \mu} \geq \varepsilon) \leq \alpha$ , il suffit que $n \geq \frac{\sigma^2}{\alpha\,\varepsilon^2}$ . La borne est grossière (les fluctuations réelles sont en général bien plus petites) mais parfaitement générale : elle n’exige rien sur la loi au-delà d’une variance finie.

34.3 Exercices

Exercice 34.1 ★

On lance deux dés équilibrés ; soit $S$ la somme. En utilisant la linéarité (pas la loi de $S$ !), calculer $\E(S)$ ; puis calculer $\V(S)$ en utilisant l’indépendance, sachant qu’un dé équilibré a pour variance $\frac{35}{12}$ .

Solution

Solution de Exercice 34.1.

Chaque dé a pour espérance $\frac{1 + 2 + \dots + 6}{6} = \frac{7}{2}$ , donc par linéarité $\E(S) = \frac72 + \frac72 = 7$ . Les dés sont indépendants, donc $\V(S) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6} \approx 5.83$ .

Exercice 34.2 ★

Soit $X \sim \mathcal B(100,\ 0.5)$ . Borner $\P(X \geq 75)$ par l’inégalité de Markov, puis $\P(\abs{X - 50} \geq 25)$ par Bienaymé–Tchebychev. Comparer.

Solution

Solution de Exercice 34.2.

$\E(X) = 50$ et $\V(X) = 100 \times 0.25 = 25$ .

Markov ( $X \geq 0$ ) : $\P(X \geq 75) \leq \frac{50}{75} = \frac23$ .

Bienaymé–Tchebychev : $\P(\abs{X - 50} \geq 25) \leq \frac{25}{25^2} = 0.04$ — et cela borne même l’événement bilatéral, dont $X \geq 75$ est la moitié. Tchebychev est bien plus fin ici car il exploite la variance, pas seulement la moyenne. (La vraie valeur de $\P(X \geq 75)$ est inférieure à $10^{-6}$ : les deux bornes sont grossières.)

Exercice 34.3 ★

On lance une pièce équilibrée $n$ fois et $F_n$ désigne la fréquence de pile. Quelle taille $n$ doit-on prendre pour que, par la borne de Bienaymé–Tchebychev, $\P\bigl(\abs{F_n - 0.5} \geq 0.05\bigr) \leq 0.05$ ?

Solution

Solution de Exercice 34.3.

$F_n$ est la moyenne empirique de $n$ variables de Bernoulli $\left(\frac12\right)$ , de variance $\sigma^2 = \frac14$ . La borne

\P\left(\abs{F_n - 0.5} \geq 0.05\right) \leq \frac{1/4}{n \times 0.05^2} = \frac{100}{n}

est $\leq 0.05$ dès que $n \geq 2000$ .

Exercice 34.4 ★★

Une investisseuse répartit son capital également entre $n$ actifs indépendants, chacun de rendement espéré $\mu = 5\%$ et d’écart-type $\sigma = 20\%$ . Calculer l’espérance et l’écart-type du rendement du portefeuille $M_n$ , et le nombre d’actifs nécessaires pour ramener l’écart-type sous $4\%$ . Quel principe financier cela illustre-t-il ?

Solution

Solution de Exercice 34.4.

Par la Proposition 34.6, $\E(M_n) = 5\%$ (la diversification ne change pas le rendement espéré) et $\sigma(M_n) = \frac{20\%}{\sqrt n}$ . Exiger $\frac{20}{\sqrt n} < 4$ donne $\sqrt n > 5$ , c.-à-d. $n \geq 26$ . C’est le principe de diversification : répartir le capital sur des risques indépendants divise le risque (écart type) par $\sqrt n$ sans réduire le rendement espéré.

Exercice 34.5 ★★

Soient $X$ et $Y$ indépendantes, toutes deux uniformes sur $\{1, 2, 3\}$ .

Donner la loi de $S = X + Y$ et calculer $\E(S)$ , $\V(S)$ directement à partir de celle-ci.
Retrouver les deux valeurs par linéarité et additivité de la variance.

Solution

Solution de Exercice 34.5.

1. En comptant les $9$ couples équiprobables : $S$ prend les valeurs $2, 3, 4, 5, 6$ avec probabilités $\frac19, \frac29, \frac39, \frac29, \frac19$ . D’où $\E(S) = \frac{2 + 6 + 12 + 10 + 6}{9} = 4$ et $\E(S^2) = \frac{4 + 18 + 48 + 50 + 36}{9} = \frac{156}{9} = \frac{52}{3}$ , donc $\V(S) = \frac{52}{3} - 16 = \frac43$ .

2. Une variable : $\E(X) = 2$ , $\E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9}{3} = \frac{14}{3}$ , $\V(X) = \frac{14}{3} - 4 = \frac23$ . Puis $\E(S) = 2 + 2 = 4$ et, par indépendance, $\V(S) = \frac23 + \frac23 = \frac43$ . Mêmes valeurs.

Exercice 34.6 ★★

Montrer que l’additivité de la variance peut échouer sans indépendance : calculer $\V(X + Y)$ pour $Y = X$ , et comparer avec $\V(X) + \V(Y)$ . Pour quelles variables $X$ a-t-on $\V(2X) = 2\V(X)$ ?

Solution

Solution de Exercice 34.6.

Avec $Y = X$ : $\V(X + Y) = \V(2X) = 4\V(X)$ , tandis que $\V(X) + \V(Y) = 2\V(X)$ . Les deux coïncident seulement lorsque $\V(X) = 0$ , c.-à-d. lorsque $X$ est constante — donc l’additivité exige vraiment l’indépendance (ici $X$ est maximalement dépendante d’elle-même).

Exercice 34.7 ★★

Un dé est soupçonné d’être pipé. On le lance $1200$ fois et on obtient un six $260$ fois ( $f = 0.2167$ au lieu de $\frac16 \approx 0.1667$ ). Sous l’hypothèse que le dé est équilibré, borner $\P\bigl(\abs{F_n - \frac16} \geq 0.05\bigr)$ par Bienaymé–Tchebychev, et discuter si l’hypothèse d’équité est plausible.

Solution

Solution de Exercice 34.7.

Sous l’hypothèse d’équilibre, $F_n$ est la moyenne de $n = 1200$ variables de Bernoulli avec $p = \frac16$ , $\sigma^2 = \frac16\cdot\frac56 = \frac{5}{36}$ :

\P\left(\abs{F_n - \tfrac16} \geq 0.05\right) \leq \frac{5/36}{1200 \times 0.0025} = \frac{5}{108} \approx 0.046 .

L’écart observé est exactement $0.05$ : un événement qu’un dé équilibré produit avec probabilité au plus $4.6\%$ — et comme Tchebychev est très conservateur, la vraie probabilité est bien plus petite. L’hypothèse d’équilibre n’est pas plausible ; le dé est très probablement pipé.

Exercice 34.8 ★★★

(Une meilleure inégalité pour la pièce.) Soient $X \sim \mathcal B(n,\ p)$ et $F_n = \frac Xn$ .

Montrer que $p(1-p) \leq \frac14$ pour $p \in \intcc{0}{1}$ .
En déduire la borne indépendante de la loi $\P\bigl(\abs{F_n - p} \geq \varepsilon\bigr) \leq \frac{1}{4n\varepsilon^2}$ .
Combien de personnes faut-il interroger pour que la fréquence observée soit à moins de $3$ points de la vraie proportion avec probabilité au moins $95\%$ , en utilisant cette borne ? (Les vrais sondages utilisent des estimations plus fines, mais l’ordre de grandeur est correct.)

Solution

Solution de Exercice 34.8.

1. $p(1-p) = \frac14 - \left(p - \frac12\right)^2 \leq \frac14$ .

2. $F_n$ a pour espérance $p$ et pour variance $\frac{p(1-p)}{n} \leq \frac{1}{4n}$ ; Bienaymé–Tchebychev donne

\P\bigl(\abs{F_n - p} \geq \varepsilon\bigr) \leq \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2} \leq \frac{1}{4n\varepsilon^2},

valable quel que soit le $p$ inconnu.

3. Avec $\varepsilon = 0.03$ et niveau $0.05$ :

\frac{1}{4n(0.03)^2} \leq 0.05 \iff n \geq \frac{1}{4 \times 0.0009 \times 0.05} \approx 5556 .

Environ $5600$ personnes suffisent par cette borne grossière (la réponse classique par approximation normale est plus proche de $1100$ , voir le Chapitre 35).

34.4 Problème : la banque gagne toujours

Problème 34.1

Devoir du week-end — la loi des grands nombres explique les casinos, les sondages et l’assurance, et démolit au passage l’illusion du joueur

Un joueur de roulette, après $100$ tours, est gagnant presque une fois sur deux. Le casino qui fait tourner un million de coups est gagnant avec une certitude qu’aucun tribunal ne contesterait. Même jeu, même minuscule avantage — la différence est $\sqrt n$ , et c’est le sujet de ce chapitre (Proposition 34.6, Théorème 34.8, Théorème 34.9). Ce problème tient la comptabilité du casino, dimensionne un sondage électoral, tarife la diversification — et démonte le sophisme le plus coûteux de l’histoire du jeu.

Partie I — Aisance.

Deux dés indépendants : calculer $V(X + Y)$ (Théorème 34.4).
On lance $100$ dés indépendants et l’on fait la moyenne des résultats : donner l’espérance et l’écart type de la moyenne empirique (Proposition 34.6 ; pour un dé, $\sigma = \sqrt{35/12} \approx 1.71$ ).
Une variable aléatoire positive a pour espérance $2$ . Que dit l’inégalité de Markov (Théorème 34.7) de $\P(X \geq 10)$ ?
Majorer $\P\left(\abs{\bar X_{100} - 3.5} \geq 0.5\right)$ pour la moyenne des dés de la question 2 par l’inégalité de Bienaymé–Tchebychev.
Les espérances s’ajoutent toujours, les variances seulement sous indépendance : exhiber des variables $X, Y$ dépendantes (indication : $Y = -X$ ) pour lesquelles $V(X + Y) \neq V(X) + V(Y)$ .

Partie II — Les comptes de la banque. Roulette européenne, mise de $1$ euro sur le rouge : gain $+1$ avec la probabilité $\frac{18}{37}$ , perte $-1$ avec la probabilité $\frac{19}{37}$ .

Calculer l’espérance et l’écart type du gain d’une mise.
Un joueur effectue $100$ mises indépendantes ; soit $G$ le gain total. Calculer $\E(G)$ et $\sigma(G)$ , puis le rapport $\frac{\abs{\E(G)}}{\sigma(G)}$ . Que signifie une dérive d’un quart d’écart type pour les chances du joueur d’être gagnant ce soir ?
Le casino voit passer $1\,000\,000$ de mises. Calculer l’espérance et l’écart type de sa recette totale, puis le même rapport. Interpréter le nombre $27$ .
Certifier avec Tchebychev : majorer la probabilité que le casino perde de l’argent sur le million de mises.
Les martingales : doubler après une perte, s’arrêter quand on est gagnant … À l’aide de la linéarité de l’espérance (Théorème 34.1) sur la suite (éventuellement aléatoire) des mises, expliquer pourquoi toute stratégie dans un jeu à avantage négatif a un gain espéré négatif — que violerait une martingale gagnante ?
Énoncer ce que la loi des grands nombres (Théorème 34.9) promet sur la fréquence du rouge — et ce qu’elle ne promet pas sur le prochain coup après dix rouges d’affilée. Nommer le sophisme.
Le point le plus subtil : la loi opère par dilution, non par compensation. Si les rouges sont en avance de $100$ sur l’espérance au soir d’une soirée, cet excédent n’est jamais « remboursé » — calculer ce qu’il advient plutôt de la fraction $\frac{100}{n}$ à $n = 10^6$ , et réécrire en une phrase l’erreur de l’illusion du joueur.

Partie III — Les sondages.

D’après l’Exercice 34.8 : combien de personnes faut-il interroger pour que la fréquence observée tombe à moins de $3$ points de la vérité avec une probabilité d’au moins $95\,\%$ , selon la majoration de Tchebychev, valable sans hypothèse de forme ?
Les instituts de sondage réels emploient environ $1\,100$ personnes pour une marge de $\pm 3$ points à $95\,\%$ : leur formule est $n \approx \frac{1.96^2 \times p(1-p)}{\varepsilon^2}$ avec $p(1-p) \leq \frac14$ . L’évaluer, et expliquer l’écart avec la question 13 (que Tchebychev ignore-t-il de la forme des fluctuations ?).
Pour diviser par deux la marge d’erreur, comment l’échantillon doit-il croître ? En partant de $\pm 3$ points à $1\,100$ personnes, quel échantillon donne $\pm 1.5$ point ?
Le classique contre-intuitif : la taille d’échantillon nécessaire n’a jamais fait appel à la taille de la population — $1\,100$ personnes suffisent pour une ville comme pour un continent. Montrer l’endroit du modèle où la taille de la population est absente, et donner l’analogie culinaire dont usent les sondeurs.

Partie IV — La diversification.

L’assureur du Problème 33.1 gagne $30n$ euros en espérance sur $n$ contrats, avec un écart type des sinistres d’environ $315\sqrt n$ . À partir de quel $n$ le bénéfice espéré dépasse-t-il enfin un écart type des sinistres ? Que fait le $\sqrt n$ pour l’assureur ?
Le rendement annuel d’une action fluctue avec $\sigma = 20\,\%$ . Répartissons l’argent également sur $25$ actions de ce type, indépendantes : calculer le $\sigma$ du portefeuille. La finance appelle la diversification le seul repas gratuit — en quoi consiste exactement ce repas ?
Supposons maintenant les $25$ actions parfaitement corrélées (elles bougent toutes ensemble) : que vaut le $\sigma$ du portefeuille ? Comparer les deux extrêmes et dire quelle hypothèse tout raisonnement de diversification loue en secret — et ce qui s’est produit lorsqu’elle a cédé à l’échelle du système en 2008.
Pour finir — la symphonie du $\sqrt n$ : les sommes fluctuent comme $\sqrt n$ tandis que leurs moyennes se stabilisent comme $\frac{1}{\sqrt n}$ ; jouer le thème à travers les quatre industries de ce problème (casino, sondage, assurance, portefeuille), nommer les deux contrevenants habituels (l’illusion du joueur et l’indépendance de façade), et donner l’annonce : la forme des fluctuations — la cloche — est la vedette continue du chapitre suivant, et son théorème complet couronne les volumes universitaires.

Solution

Solution de Problème 34.1.

1. $V(X + Y) = V(X) + V(Y) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}$ (par indépendance).

2. $\E(\bar X) = 3.5$ ; $\sigma(\bar X) = \frac{1.71}{\sqrt{100}} \approx 0.17$ : la moyenne de cent dés serre $3.5$ à un cinquième de point près.

3. $\P(X \geq 10) \leq \frac{2}{10} = 0.2$ .

4. $\P \leq \frac{V(\bar X)}{0.5^2} = \frac{35/1200}{0.25} \approx 0.117$ : au plus $12\,\%$ environ.

5. Avec $Y = -X$ : $V(X + Y) = V(0) = 0$ , alors que $V(X) + V(Y) = 2V(X) > 0$ : des variables parfaitement anticorrélées se compensent — l’additivité des variances est un privilège de l’indépendance.

6. $\E = \frac{18}{37} - \frac{19}{37} = -\frac{1}{37} \approx -0.027$ ; $\sigma = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{37}\right)^2} \approx 1.00$ .

7. $\E(G) = -2.70$ , $\sigma(G) = 10 \times 1.00 = 10$ : la dérive ne vaut que $0.27\sigma$ . Le bruit d’une soirée écrase l’avantage de la banque — une large minorité de joueurs (environ $40\,\%$ , dit la cloche) repart gagnante, et c’est précisément ce qui les fait revenir.

8. Recette du casino : espérance $+27\,027$ euros, écart type environ $1\,000$ : le bénéfice se situe $27$ écarts types au-dessus de zéro. À $27\sigma$ , « le casino pourrait perdre cette année » n’est pas un risque, c’est une erreur d’arrondi.

9. $\P(\text{perte}) = \P(G \geq 27\,027$ pour les joueurs $)$ $\leq \frac{10^6 \times 1}{27\,027^2} \approx 0.0014$ : même l’inégalité la plus grossière du livre garantit la banque à $99.86\,\%$ — la vérité est astronomiquement plus forte.

10. Chaque euro misé, quand et comme que ce soit, a un rendement espéré de $-\frac{1}{37}$ de lui-même ; par linéarité, le gain total espéré vaut $-\frac{1}{37} \times (\text{total misé})$ , négatif pour toute stratégie qui mise quelque chose. Une martingale gagnante violerait la linéarité de l’espérance — aucun ordonnancement astucieux de mauvais paris n’en fait un bon. (Les martingales de doublement échangent simplement beaucoup de petits gains contre de rares pertes catastrophiques.)

11. Le théorème : la fréquence du rouge sur $n$ coups converge (en probabilité) vers $\frac{18}{37}$ . Il ne dit rien du coup $n + 1$ : la roue n’a pas de mémoire, et après dix rouges la probabilité du rouge vaut toujours $\frac{18}{37}$ . Croire le contraire, c’est l’illusion du joueur, et la question 12 montre ce qu’il advient réellement des séries.

12. L’excédent de $100$ rouges n’est pas remboursé — les coups à venir sont des copies équitables, et l’excédent espéré reste $100$ . Mais $\frac{100}{10^6} = 0.0001$ : un centième de point. L’erreur du sophisme en une phrase : la loi des grands nombres dilue les accidents passés dans un océan d’épreuves nouvelles ; elle n’envoie jamais la roue recouvrer des dettes.

13. $n \geq \frac{1}{4 \times 0.05 \times 0.03^2} \approx 5\,556$ personnes.

14. $\frac{1.96^2 \times 0.25}{0.03^2} \approx 1\,067$ : cinq fois moins. Tchebychev vaut pour toutes les lois et paie son universalité par du mou ; la constante $1.96$ des sondeurs vient de la vraie forme en cloche des fluctuations, qui se concentre bien davantage.

15. La marge est proportionnelle à $\frac{1}{\sqrt n}$ : la diviser par deux quadruple l’échantillon — environ $4\,400$ personnes pour $\pm 1.5$ point. La précision s’achète à prix quadratique.

16. Le modèle est celui de $n$ tirages indépendants de probabilité de succès $p$ — la taille $N$ de la population n’y apparaît jamais (sonder une infime fraction d’une grande population bien brassée, voilà ce que code l’indépendance). L’analogie des sondeurs : pour goûter la soupe, une cuillerée bien remuée suffit — que la marmite serve dix personnes ou dix mille. Le piège est le brassage — un plan de sondage biaisé, comme dans le sondage du volume précédent qui a trompé tout un pays — et non la marmite.

17. $315\sqrt n < 30n \iff \sqrt n > 10.5 \iff n > 110$ : au-delà d’une centaine de contrats, la dérive distance le bruit, et chaque contrat supplémentaire creuse l’écart selon la loi en $\sqrt n$ — la mutualisation est le modèle économique.

18. Parts égales indépendantes : $\sigma_{\text{pf}} = \frac{20\,\%}{\sqrt{25}} = 4\,\%$ : même rendement espéré, un cinquième de la fluctuation. Le repas : une réduction du risque à coût nul en espérance — moyenner du hasard indépendant.

19. Parfaitement corrélées : le portefeuille n’est qu’une seule action en $25$ costumes, donc $\sigma = 20\,\%$ , sans la moindre réduction. La diversification loue l’indépendance ; lorsqu’une crise corrèle tout (2008 : tous les paris immobiliers n’en faisaient qu’un), la protection en $\sqrt n$ s’évapore exactement au moment où l’on en a besoin.

20. Les sommes dérivent comme $n$ et fluctuent comme $\sqrt n$ , si bien que les moyennes se stabilisent comme $\frac{1}{\sqrt n}$ : le casino encaisse la dérive sur un million de coups ; le sondeur achète $\frac{1}{\sqrt{1100}}$ de bruit pour un budget de téléphone ; l’assureur dépasse ses propres sinistres dès $n > 110$ ; l’investisseur divise le risque par $\sqrt{25}$ . Contrevenants : le joueur qui croit aux dettes (il n’y a que dilution) et le financier qui croit à l’indépendance (il n’y a parfois qu’un seul pari). La forme universelle des fluctuations — la cloche — est la vedette du chapitre continu qui vient, et son théorème, le théorème central limite, est le sommet des probabilités des volumes universitaires.

Termes définis dans ce chapitre

Variables aléatoires indépendantes

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