Mathématiques du lycée · Grades 10–12

4Fonctions de référence

Une poignée de fonctions simples — affines, carré, inverse, racine carrée, cube — apparaissent partout, seules ou combinées. Connaître leurs graphiques et leurs variations par cœur transforme de nombreux problèmes en un croquis rapide. Ce chapitre les étudie chacune à son tour et démontre leurs variations avec la technique de comparaison du Chapitre 3.

4.1 Fonctions affines

Définition 4.1 (Fonction affine)

Une fonction affine est une fonction de la forme

f(x) = mx + p,

où $m$ et $p$ sont des nombres réels fixes. Son graphique est une droite : $m$ est le coefficient directeur et $p$ l’ordonnée à l’origine (la droite coupe l’axe vertical en $(0, p)$ ). Lorsque $p = 0$ la fonction est linéaire : $f(x) = mx$ exprime la proportionnalité.

Proposition 4.2 (Coefficient directeur et variations)

Soit $f(x) = mx + p$ .

Pour deux entrées distinctes $u \neq v$ : $m = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ (le coefficient directeur est la variation de la sortie par unité de variation de l’entrée).
Si $m > 0$ , $f$ est strictement croissante sur $\R$ ; si $m < 0$ , strictement décroissante ; si $m = 0$ , constante.

Démonstration. 1. Calculer $f(v) - f(u) = (mv + p) - (mu + p) = m(v - u)$ , puis diviser par $v - u \neq 0$ .

2. Si $u < v$ , alors $f(v) - f(u) = m(v-u)$ a le signe de $m$ , car $v - u > 0$ : $m$ positif donne $f(u) < f(v)$ (croissante), $m$ négatif donne $f(u) > f(v)$ (décroissante). ∎

Deux fonctions affines : croissante pour m = 1/2 > 0, décroissante pour m = -1 < 0. Avancer d’une unité vers la droite change y de m. — Deux fonctions affines : croissante pour $m = \frac12 > 0$ , décroissante pour $m = -1 < 0$ . Avancer d’une unité vers la droite change $y$ de $m$ .

Exemple 4.3

Trouver la fonction affine dont le graphique passe par $A(1, 3)$ et $B(4, 9)$ . Le coefficient directeur est

m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2 .

Puis $f(x) = 2x + p$ , et $f(1) = 3$ donne $2 + p = 3$ , donc $p = 1$ : $f(x) = 2x + 1$ . Vérification avec $B$ : $f(4) = 9$ .

4.2 La fonction carré

Proposition 4.4 (Fonction carré)

La fonction $f(x) = x^2$ , définie sur $\R$ :

est strictement décroissante sur $\intoc{-\infty}{0}$ et strictement croissante sur $\intco{0}{+\infty}$ , avec minimum $0$ en $x = 0$ ;
satisfait $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$ : son graphique, une parabole, est symétrique par rapport à l’axe vertical.

Démonstration. 1. Soit $0 \leq u < v$ . Alors

f(v) - f(u) = v^2 - u^2 = (v - u)(v + u) > 0,

car $v - u > 0$ et $v + u > 0$ : $f$ est strictement croissante sur $\intco{0}{+\infty}$ . Si $u < v \leq 0$ , alors $v - u > 0$ mais $v + u < 0$ , donc $f(v) - f(u) < 0$ : strictement décroissante. Enfin $x^2 \geq 0 = f(0)$ pour tout $x$ .

2. $(-x)^2 = x^2$ ; donc les points $(x, x^2)$ et $(-x, x^2)$ , images l’un de l’autre par symétrie par rapport à l’axe vertical, sont tous deux sur le graphique. ∎

Remarque 4.5 (Carrés et ordre)

Parce que la fonction carré décroît du côté négatif, élever au carré inverse l’ordre des nombres négatifs : $-3 < -2$ mais $9 > 4$ . Ne jamais élever au carré les deux membres d’une inégalité sans vérifier les signes.

4.3 La fonction inverse

Proposition 4.6 (Fonction inverse)

La fonction $f(x) = \dfrac1x$ , définie pour $x \neq 0$ :

est strictement décroissante sur $\intoo{-\infty}{0}$ et strictement décroissante sur $\intoo{0}{+\infty}$ ;
satisfait $f(-x) = -f(x)$ : son graphique, une hyperbole, est symétrique par rapport à l’origine.

Démonstration. 1. Soit $0 < u < v$ . Alors

f(v) - f(u) = \frac1v - \frac1u = \frac{u - v}{uv} < 0,

car $u - v < 0$ et $uv > 0$ : strictement décroissante sur $\intoo{0}{+\infty}$ . Sur $\intoo{-\infty}{0}$ le même quotient a $u - v < 0$ et $uv > 0$ encore (produit de deux négatifs), donc $f$ décroît aussi là.

2. $\frac{1}{-x} = -\frac1x$ . ∎

Remarque 4.7

Attention : $\frac1x$ n’est pas décroissante sur tout son ensemble de définition. De $u = -1$ à $v = 1$ la valeur saute de $-1$ à $1$ . Les deux branches doivent être étudiées séparément.

La parabole y = x2 (symétrique par rapport à l’axe vertical) et l’hyperbole y = 1x (deux branches, symétrique par rapport à l’origine). — La parabole $y = x^2$ (symétrique par rapport à l’axe vertical) et l’hyperbole $y = \frac1x$ (deux branches, symétrique par rapport à l’origine).

4.4 Racine carrée et cube

Proposition 4.8 (Fonction racine carrée)

La fonction $f(x) = \sqrt{x}$ , définie sur $\intco{0}{+\infty}$ , est strictement croissante.

Démonstration. Soit $0 \leq u < v$ . Multiplier et diviser par le conjugué :

\sqrt v - \sqrt u = \frac{(\sqrt v - \sqrt u)(\sqrt v + \sqrt u)}{\sqrt v + \sqrt u} = \frac{v - u}{\sqrt v + \sqrt u} > 0,

car $v - u > 0$ et $\sqrt v + \sqrt u > 0$ (noter $v > 0$ , donc $\sqrt v > 0$ ). ∎

Proposition 4.9 (Fonction cube)

La fonction $f(x) = x^3$ , définie sur $\R$ , est strictement croissante, et son graphique est symétrique par rapport à l’origine.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

La racine carrée (définie pour x ≥ 0 seulement) et le cube, toutes deux croissantes. — La racine carrée (définie pour $x \geq 0$ seulement) et le cube, toutes deux croissantes.

Proposition 4.10 (Comparer $x$ , $x^2$ et $\sqrt x$ )

Pour $0 < x < 1$ : $x^2 < x < \sqrt x$ . Pour $x > 1$ : $\sqrt x < x < x^2$ . En $x = 0$ et $x = 1$ les trois valeurs sont égales.

Démonstration. Supposons $0 < x < 1$ . Multiplier $x < 1$ par $x > 0$ donne $x^2 < x$ . Ensuite, $x < \sqrt x$ : les deux membres étant positifs et le carré croissant sur les positifs, cette inégalité équivaut à $x^2 < x$ , que l’on vient de prouver. Pour $x > 1$ , multiplier $x > 1$ par $x$ donne $x^2 > x$ , et $\sqrt x < x$ suit par le même argument d’élévation au carré. ∎

Les trois courbes se croisent en (0,0) et (1,1) et échangent l’ordre là : entre 0 et 1, x2 est le plus petit et √ x le plus grand ; au-delà de 1 l’ordre est inversé. — Les trois courbes se croisent en $(0,0)$ et $(1,1)$ et échangent l’ordre là : entre $0$ et $1$ , $x^2$ est le plus petit et $\sqrt x$ le plus grand ; au-delà de $1$ l’ordre est inversé.

Méthode 4.11 (Comparer des images)

Pour comparer $f(a)$ et $f(b)$ pour une fonction de référence $f$ :

placer $a$ et $b$ sur un intervalle où les variations de $f$ sont connues ;
si $f$ croît là, les images sont dans le même ordre que les entrées ; si $f$ décroît, l’ordre est inversé ;
si $a$ et $b$ ne sont pas dans le même intervalle de monotonie, traiter d’abord les signes (par exemple pour le carré : une entrée négative et une positive).

Exemple 4.12

Comparer $\dfrac{1}{2.3}$ et $\dfrac{1}{2.4}$ : les deux entrées sont dans $\intoo{0}{+\infty}$ , où la fonction inverse décroît, et $2.3 < 2.4$ , donc $\dfrac{1}{2.3} > \dfrac{1}{2.4}$ . Comparer $(-1.2)^2$ et $(-1.5)^2$ : sur $\intoc{-\infty}{0}$ le carré décroît, et $-1.5 < -1.2$ , donc $(-1.5)^2 > (-1.2)^2$ — en effet $2.25 > 1.44$ .

4.5 Exercices

Exercice 4.1 ★

Pour chaque fonction affine, donner son coefficient directeur, son ordonnée à l’origine, et dire si elle est croissante ou décroissante :

f(x) = 3x - 2, \qquad g(x) = -\tfrac12 x + 4, \qquad h(x) = 7, \qquad k(x) = -x .

Solution

Solution de Exercice 4.1.

$f$ : coefficient $3$ , ordonnée à l’origine $-2$ , croissante. $g$ : coefficient $-\frac12$ , ordonnée à l’origine $4$ , décroissante. $h$ : coefficient $0$ , ordonnée à l’origine $7$ , constante. $k$ : coefficient $-1$ , ordonnée à l’origine $0$ , décroissante (et linéaire).

Exercice 4.2 ★

Trouver la fonction affine dont le graphique passe par $(2, 1)$ et $(5, 10)$ ; puis celle qui passe par $(-1, 4)$ et $(3, -4)$ .

Solution

Solution de Exercice 4.2.

Par $(2,1)$ et $(5,10)$ : coefficient $m = \frac{10 - 1}{5 - 2} = 3$ ; puis $1 = 3 \times 2 + p$ donne $p = -5$ : $f(x) = 3x - 5$ .

Par $(-1,4)$ et $(3,-4)$ : coefficient $m = \frac{-4 - 4}{3 - (-1)} = \frac{-8}{4} = -2$ ; puis $4 = -2 \times (-1) + p$ donne $p = 2$ : $f(x) = -2x + 2$ .

Exercice 4.3 ★

Sans calculatrice, comparer :

(3.1)^2 \text{ et } (3.2)^2; \qquad (-2.7)^2 \text{ et } (-2.8)^2; \qquad \frac{1}{5.1} \text{ et } \frac{1}{5.2}; \qquad \sqrt{17} \text{ et } \sqrt{15}.

Solution

Solution de Exercice 4.3.

$(3.1)^2 < (3.2)^2$ : le carré croît sur les positifs.

$(-2.7)^2 < (-2.8)^2$ : le carré décroît sur les négatifs et $-2.8 < -2.7$ .

$\frac{1}{5.1} > \frac{1}{5.2}$ : l’inverse décroît sur les positifs.

$\sqrt{17} > \sqrt{15}$ : la racine carrée croît.

Exercice 4.4 ★

En utilisant le graphique de la fonction carré, résoudre $x^2 = 16$ , puis $x^2 \leq 16$ , puis $x^2 > 9$ .

Solution

Solution de Exercice 4.4.

$x^2 = 16$ : deux solutions, $x = 4$ et $x = -4$ (la droite horizontale $y = 16$ coupe la parabole deux fois).

$x^2 \leq 16$ : la parabole est sous la droite entre les deux points d’intersection : $x \in \intcc{-4}{4}$ .

$x^2 > 9$ : la parabole est strictement au-dessus de $y = 9$ à l’extérieur de $\intcc{-3}{3}$ : $x \in \intoo{-\infty}{-3} \cup \intoo{3}{+\infty}$ .

Exercice 4.5 ★

Soit $x \in \intoo{0}{1}$ . Ordonner les nombres $x$ , $x^2$ , $x^3$ et $\sqrt x$ du plus petit au plus grand, et vérifier avec $x = 0.25$ .

Solution

Solution de Exercice 4.5.

Pour $0 < x < 1$ : multiplier $x < 1$ plusieurs fois par $x$ donne $x^3 < x^2 < x$ , et le Proposition 4.10 donne $x < \sqrt x$ , donc

x^3 < x^2 < x < \sqrt x .

Vérification avec $x = 0.25$ : $x^3 = 0.015625$ , $x^2 = 0.0625$ , $x = 0.25$ , $\sqrt x = 0.5$ .

Exercice 4.6 ★★

Résoudre graphiquement, puis algébriquement : $\dfrac1x = 2$ , et $\dfrac1x < 2$ pour $x > 0$ . Que change-t-on si l’on autorise aussi $x < 0$ ?

Solution

Solution de Exercice 4.6.

$\frac1x = 2$ a l’unique solution $x = \frac12$ (l’hyperbole rencontre la droite horizontale $y = 2$ une fois, sur la branche positive).

Pour $x > 0$ : $\frac1x < 2$ . Multiplier par $x > 0$ : $1 < 2x$ , donc $x > \frac12$ : ensemble des solutions $\intoo{\frac12}{+\infty}$ .

Si $x < 0$ est autorisé : tout $x$ négatif satisfait $\frac1x < 0 < 2$ , donc l’ensemble complet des solutions est $\intoo{-\infty}{0} \cup \intoo{\frac12}{+\infty}$ .

Exercice 4.7 ★★

Sachant que la fonction carré décroît sur $\intoc{-\infty}{0}$ et croît sur $\intco{0}{+\infty}$ , encadrer $x^2$ lorsque :

\text{(a) } x \in \intcc{2}{5}; \qquad \text{(b) } x \in \intcc{-3}{-1}; \qquad \text{(c) } x \in \intcc{-2}{3}.

(Dans le cas (c), attention : le minimum de $x^2$ n’est pas en une extrémité.)

Solution

Solution de Exercice 4.7.

(a) Sur $\intcc{2}{5}$ , toutes les entrées sont positives et le carré croît : $4 \leq x^2 \leq 25$ .

(b) Sur $\intcc{-3}{-1}$ , le carré décroît : le plus grand carré vient de $-3$ : $1 \leq x^2 \leq 9$ .

(c) Sur $\intcc{-2}{3}$ , l’intervalle contient $0$ , où le carré atteint son minimum $0$ ; le maximum est le plus grand de $(-2)^2 = 4$ et $3^2 = 9$ . Donc $0 \leq x^2 \leq 9$ .

Exercice 4.8 ★★

Une compagnie de taxis facture un forfait fixe de $4$ plus $1.5$ par kilomètre ; une autre ne facture pas de forfait et $2$ par kilomètre. Modéliser chaque prix par une fonction affine de la distance $x$ , tracer les deux droites, et trouver à partir de quelle distance la première compagnie est moins chère.

Solution

Solution de Exercice 4.8.

Première compagnie : $f(x) = 1.5x + 4$ ; seconde : $g(x) = 2x$ . La première est moins chère lorsque

1.5x + 4 < 2x \ \Longleftrightarrow\ 4 < 0.5x \ \Longleftrightarrow\ x > 8 .

Au-delà de $8$ km, la première compagnie est moins chère ; à exactement $8$ km les deux facturent $16$ .

Exercice 4.9 ★★

Montrer que pour tous $a, b \geq 0$ : $\sqrt{a + b} \leq \sqrt a + \sqrt b$ . (Indication : les deux membres sont positifs ou nuls, donc comparer leurs carrés.) Quand y a-t-il égalité ?

Solution

Solution de Exercice 4.9.

Les deux membres sont positifs ou nuls, donc l’inégalité équivaut à celle entre leurs carrés :

\left(\sqrt{a+b}\right)^2 = a + b \qquad\text{et}\qquad \left(\sqrt a + \sqrt b\right)^2 = a + 2\sqrt a \sqrt b + b .

Comme $2\sqrt a\sqrt b \geq 0$ , le second carré est au moins égal au premier, ce qui prouve $\sqrt{a+b} \leq \sqrt a + \sqrt b$ . L’égalité a lieu exactement lorsque $\sqrt a \sqrt b = 0$ , c’est-à-dire lorsque $a = 0$ ou $b = 0$ .

Exercice 4.10 ★★★

Soit $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ , définie pour $x \neq 1$ .

Montrer que $f(x) = 2 + \dfrac{3}{x - 1}$ pour tout $x \neq 1$ .
En déduire les variations de $f$ sur $\intoo{1}{+\infty}$ à partir de celles de la fonction inverse.

Solution

Solution de Exercice 4.10.

1. Mettre le second membre sur un dénominateur commun :

2 + \frac{3}{x-1} = \frac{2(x-1) + 3}{x - 1} = \frac{2x + 1}{x - 1} = f(x).

2. Sur $\intoo{1}{+\infty}$ , lorsque $x$ croît, $x - 1$ croît et reste positif, donc $\frac{3}{x-1}$ décroît (fonction inverse, multipliée par la constante positive $3$ ), donc $f(x) = 2 + \frac{3}{x-1}$ décroît : $f$ est strictement décroissante sur $\intoo{1}{+\infty}$ .

4.6 Problème : les lois de la nature parlent en fonctions de référence

Problème 4.1

Devoir du week-end — les distances de freinage croissent en $v^2$ , les leviers obéissent à $1/d$ , les planètes suivent $a^{3/2}$ : lire la physique avec les fonctions de référence

Ouvrez un livre de physique : les mêmes quelques courbes reviennent à chaque page — la parabole, l’hyperbole, la courbe racine. La nature écrit ses lois avec les fonctions de référence de ce chapitre, et connaître leurs allures (Proposition 4.4, Proposition 4.6, Proposition 4.8, Proposition 4.9) suffit à freiner une voiture, à équilibrer un levier et à chronométrer les planètes. Le bouquet final est la troisième loi de Kepler, lue directement sur les données du système solaire.

Partie I — La loi carrée du freinage. Une règle empirique pour la distance de freinage d’une voiture sur route sèche : $d = \left(\frac{v}{10}\right)^{2}$ mètres, à la vitesse $v$ km/h.

Calculer les distances de freinage à $30$ , $50$ , $90$ et $130$ km/h.
Doubler la vitesse multiplie la distance de freinage par combien ? Expliquer à partir de l’effet d’échelle de la fonction carré, et vérifier sur $50 \to 100$ km/h.
Expertise judiciaire : les traces de freinage mesurent $50$ m. De quelle vitesse la formule accuse-t-elle le conducteur (au km/h près) ? Quelle fonction de référence a répondu — et sur quel ensemble la lecture est-elle sans ambiguïté (Proposition 4.8) ?
Comparer le supplément de distance causé par un km/h de plus, à basse et à haute vitesse : calculer $d(31) - d(30)$ et $d(91) - d(90)$ . Quelle propriété de la parabole (Proposition 4.4) les deux réponses illustrent-elles ?
Un arrêt réel ajoute le temps de réaction — environ une seconde, pendant laquelle la voiture parcourt $0.28v$ mètres : $D(v) = 0.28v + \left(\frac{v}{10}\right)^2$ . Calculer $D(50)$ et $D(130)$ . Lequel des deux termes — affine ou carré — domine en ville, et lequel sur autoroute ?

Partie II — Les hyperboles du quotidien.

Un levier est en équilibre lorsque le produit force $\times$ distance est le même des deux côtés. Un enfant de $60$ kg s’assied à $2$ m du pivot ; la force d’équilibre à la distance $d$ de l’autre côté vaut $F(d) = \frac{120}{d}$ (en équivalents-kg). Calculer $F(0.5)$ , $F(1)$ , $F(3)$ .
Que disent les variations de la fonction inverse (Proposition 4.6) à propos des leviers — et pourquoi la fanfaronnade d’Archimède (« donnez-moi un point d’appui et je soulèverai la Terre ») se cache-t-elle dans la queue de l’hyperbole ? Qu’est-ce qui interdit $d = 0$ ?
Le son et la lumière s’affaiblissent comme le carré de la distance : à $1$ m d’une lampe l’intensité vaut $100$ unités ; la donner à $2$ , $3$ et $10$ m. Expliquer l’exposant $2$ à l’aide d’une sphère : sur quelle aire la lumière s’est-elle répandue à la distance $d$ (problème de la pierre tombale d’Archimède, dans le volume précédent) ?
Un car pour la sortie scolaire coûte $600$ euros, partagés également entre $n$ participants. Dresser un tableau du coût par tête pour $n = 10, 20, 30$ , chercher combien de participants le ramènent à $25$ euros ou moins, et dire ce que l’allure de l’hyperbole promet — et refuse — quand $n$ grandit.
Produire $x$ affiches coûte $2x + 3$ euros ( $3$ euros de mise en route). Montrer que le coût moyen par affiche vaut $a(x) = 2 + \frac3x$ , décrire ses variations et interpréter économiquement son asymptote horizontale. (Comparer avec l’algèbre de l’Exercice 4.10.)

Partie III — L’harmonie de Kepler. Pour chaque planète, on note $a$ sa distance moyenne au Soleil (en unités astronomiques, Terre $= 1$ ) et $T$ sa période (en années). Données : Mars $a = 1.52$ , $T = 1.88$ ; Jupiter $a = 5.20$ , $T = 11.86$ ; Saturne $a = 9.54$ , $T = 29.4$ .

Calculer $a^3$ et $T^2$ pour la Terre, Mars et Jupiter. Qu’a remarqué Kepler en 1618 ?
Énoncer la loi comme une fonction : $T = \sqrt{a^3} = a\sqrt a$ . La tester sur Saturne.
Deux prédictions : un astéroïde orbite à $a = 4$ UA — trouver sa période (les nombres tombent juste) ; une comète revient tous les $27$ ans — trouver sa distance moyenne (chercher un cube parfait).
Quelles trois fonctions de référence la loi tresse-t-elle ensemble ? Et sa règle d’échelle : quand $a$ est multipliée par $4$ , qu’advient-il de $T$ ? (Vérifier avec l’astéroïde face à la Terre.)
Kepler a lu cette loi dans les données de Tycho Brahe soixante-dix ans avant que la gravitation de Newton ne l’explique. En une phrase : que dit cet épisode sur la puissance de reconnaître une fonction de référence dans un tableau de nombres ?

Partie IV — Le lièvre et la tortue.

Ranger $\sqrt x$ , $x$ et $x^2$ sur $\intoo{0}{1}$ puis sur $\intoo{1}{+\infty}$ (Proposition 4.10), et vérifier les deux classements en $x = 0.25$ et $x = 4$ .
Résoudre complètement $\sqrt x > x$ (pour $x \geq 0$ , élever au carré en justifiant, puis conclure par un tableau de signes).
Faire entrer le cube : ranger $x$ , $x^2$ , $x^3$ en $x = 0.5$ puis en $x = 2$ , et déterminer tous les points où les fonctions carré et cube se croisent.
Deux plans d’épargne rapportent, après $t$ années, $100\sqrt t$ euros (plan A) ou $10 t^2$ euros (plan B). Montrer que B dépasse A lorsque $t^3 = 100$ , et donner l’instant de croisement au mois près. Morale sur les racines face aux puissances à long terme ?
Pour finir : pour chacune des lois de ce problème — freinage ( $v^2$ ), levier ( $1/d$ ), lampe ( $1/d^2$ ), Kepler ( $a^{3/2}$ ), plan A ( $\sqrt t$ ) — dire en une proposition quelle particularité de sa courbe de référence porte le sens physique (montée qui se redresse, asymptote verticale, sphère qui s’étale, exposant d’échelle, croissance qui s’aplatit). Conclusion : les fonctions de référence sont l’alphabet ; la nature écrit avec.

Solution

Solution de Problème 4.1.

1. $d(30) = 3^2 = 9$ m ; $d(50) = 25$ m ; $d(90) = 81$ m ; $d(130) = 169$ m.

2. Doubler $v$ double $\frac v{10}$ et multiplie son carré par $4$ : $d(100) = 100$ m $= 4 \times d(50)$ . Deux fois la vitesse, quatre fois la distance — l’effet d’échelle de la fonction carré.

3. $\left(\frac{v}{10}\right)^2 = 50$ donne $\frac{v}{10} = \sqrt{50}$ , donc $v = 10\sqrt{50} \approx 71$ km/h. C’est la racine carrée qui a répondu ; la lecture est sans ambiguïté parce que les vitesses sont positives et que, sur $\intco{0}{+\infty}$ , la fonction carré est strictement croissante (Proposition 4.8 : un seul antécédent positif).

4. $d(31) - d(30) = 9.61 - 9 = 0.61$ m, tandis que $d(91) - d(90) = 82.81 - 81 = 1.81$ m : le même $+1$ km/h coûte trois fois plus de distance à haute vitesse. La parabole ne fait pas que monter, elle se redresse — sa vitesse de montée croît avec $x$ .

5. $D(50) = 14 + 25 = 39$ m ; $D(130) = 36.4 + 169 = 205.4$ m. En ville, le terme affine (la réaction) pèse le plus ; sur autoroute, le terme carré l’écrase — l’affine croît régulièrement, les carrés s’emballent.

6. $F(0.5) = 240$ , $F(1) = 120$ , $F(3) = 40$ .

7. La fonction inverse est décroissante : plus on s’éloigne du pivot, plus la force nécessaire est faible — avec un bras de levier assez long ( $d$ énorme), n’importe quelle force, si petite soit-elle, équilibre n’importe quelle charge : la fanfaronnade d’Archimède vit dans la queue de l’hyperbole, qui s’approche de $0$ sans jamais l’atteindre. Et $d = 0$ est la valeur interdite : pas de bras, pas de levier — c’est l’asymptote verticale.

8. $\frac{100}{4} = 25$ à $2$ m, $\frac{100}{9} \approx 11$ à $3$ m, $1$ à $10$ m. À la distance $d$ , la lumière s’est répandue sur une sphère d’aire $4\pi d^2$ (problème de la pierre tombale d’Archimède, dans le volume précédent) : la même énergie divisée par une aire qui croît comme $d^2$ — d’où l’inverse du carré.

9. $60$ , $30$ , $20$ euros par tête pour $n = 10, 20, 30$ . Pour $\frac{600}{n} \leq 25$ : il faut $n \geq 24$ participants. L’hyperbole promet des parts toujours moins chères quand $n$ grandit — et refuse d’atteindre $0$ : le car n’est jamais gratuit.

10. $a(x) = \frac{2x + 3}{x} = 2 + \frac3x$ : décroissante sur $\intoo{0}{+\infty}$ (la fonction inverse translatée), et s’approchant de l’asymptote $y = 2$ . Économiquement : répartir les $3$ euros fixes sur davantage d’affiches pousse le coût unitaire vers les $2$ euros incompressibles de matière — des économies d’échelle, avec un plancher infranchissable.

11. Terre : $a^3 = 1$ , $T^2 = 1$ . Mars : $1.52^3 \approx 3.51$ et $1.88^2 \approx 3.53$ . Jupiter : $5.20^3 \approx 140.6$ et $11.86^2 \approx 140.7$ . La remarque de Kepler : $T^2 = a^3$ pour toutes les planètes — une seule loi pour tout le ciel.

12. $T = \sqrt{a^3}$ : pour Saturne, $\sqrt{9.54^3} = \sqrt{868} \approx 29.5$ ans, contre $29.4$ observés : la loi tient au dixième près.

13. Astéroïde : $T = \sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8$ ans. Comète : $a^3 = 27^2 = 729 = 9^3$ , donc $a = 9$ UA.

14. Le carré ( $T^2$ ), le cube ( $a^3$ ) et la racine carrée (pour extraire $T$ ). Échelle : multiplier $a$ par $4$ multiplie $T$ par $4\sqrt4 = 8$ — ce que l’astéroïde confirme ( $a$ quatre fois celle de la Terre, $T$ huit fois).

15. Un tableau de nombres, confronté aux allures de quelques fonctions de référence, a livré une loi de l’univers soixante-dix ans avant que quiconque sache pourquoi elle tenait — reconnaître la fonction, c’est déjà la moitié de la science.

16. Sur $\intoo{0}{1}$ : $x^2 < x < \sqrt x$ ; sur $\intoo{1}{+\infty}$ : $\sqrt x < x < x^2$ . Vérifications : en $x = 0.25$ , $0.0625 < 0.25 < 0.5$ ; en $x = 4$ , $2 < 4 < 16$ .

17. Pour $x \geq 0$ , les deux membres sont $\geq 0$ , donc $\sqrt x > x \iff x > x^2 \iff x(1 - x) > 0 \iff x \in \intoo{0}{1}$ .

18. En $x = 0.5$ : $x^3 = 0.125 < x^2 = 0.25 < x = 0.5$ . En $x = 2$ : $2 < 4 < 8$ : l’ordre s’inverse. Croisements de $x^2$ et $x^3$ : $x^3 - x^2 = x^2(x - 1) = 0$ , en $x = 0$ et $x = 1$ .

19. $10t^2 = 100\sqrt t$ donne $t^2 = 10\sqrt t$ ; en élevant au carré, $t^4 = 100t$ , donc $t^3 = 100$ et $t = \sqrt[3]{100} \approx 4.64$ ans — environ $4$ ans et $8$ mois. (Les deux plans rapportent alors à peu près $215$ euros.) Morale : les racines partent vite, les puissances gagnent tous les marathons.

20. Freinage : le redressement de la parabole, c’est le danger de la vitesse. Levier : l’asymptote verticale en $0$ et la longue queue font l’avantage du mécanicien. Lampe : le $d^2$ de la sphère qui s’étale règle l’affaiblissement. Kepler : l’exposant $\frac32$ est le tempo du système solaire. Plan d’épargne A : l’aplatissement de la racine est le sort du petit épargnant. Cinq courbes, cinq lois : l’alphabet de la nature, en effet.

Termes définis dans ce chapitre

Fonction affine

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