Mathématiques du lycée · Grades 10–12

4Fonctions de référence

Une poignée de fonctions simples — affines, carré, inverse, racine carrée, cube — apparaissent partout, seules ou combinées. Connaître leurs graphiques et leurs variations par cœur transforme de nombreux problèmes en un croquis rapide. Ce chapitre les étudie chacune à son tour et démontre leurs variations avec la technique de comparaison du Chapitre 3.

4.1 Fonctions affines

Définition 4.1 (Fonction affine)

Une fonction affine est une fonction de la forme

f(x) = mx + p,

où $m$ et $p$ sont des nombres réels fixes. Son graphique est une droite : $m$ est le coefficient directeur et $p$ l’ordonnée à l’origine (la droite coupe l’axe vertical en $(0, p)$ ). Lorsque $p = 0$ la fonction est linéaire : $f(x) = mx$ exprime la proportionnalité.

Proposition 4.2 (Coefficient directeur et variations)

Soit $f(x) = mx + p$ .

Pour deux entrées distinctes $u \neq v$ : $m = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ (le coefficient directeur est la variation de la sortie par unité de variation de l’entrée).
Si $m > 0$ , $f$ est strictement croissante sur $\R$ ; si $m < 0$ , strictement décroissante ; si $m = 0$ , constante.

Démonstration. 1. Calculer $f(v) - f(u) = (mv + p) - (mu + p) = m(v - u)$ , puis diviser par $v - u \neq 0$ .

2. Si $u < v$ , alors $f(v) - f(u) = m(v-u)$ a le signe de $m$ , car $v - u > 0$ : $m$ positif donne $f(u) < f(v)$ (croissante), $m$ négatif donne $f(u) > f(v)$ (décroissante). ∎

Deux fonctions affines : croissante pour m = 1/2 > 0, décroissante pour m = -1 < 0. Avancer d’une unité vers la droite change y de m. — Deux fonctions affines : croissante pour $m = \frac12 > 0$ , décroissante pour $m = -1 < 0$ . Avancer d’une unité vers la droite change $y$ de $m$ .

Exemple 4.3

Trouver la fonction affine dont le graphique passe par $A(1, 3)$ et $B(4, 9)$ . Le coefficient directeur est

m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2 .

Puis $f(x) = 2x + p$ , et $f(1) = 3$ donne $2 + p = 3$ , donc $p = 1$ : $f(x) = 2x + 1$ . Vérification avec $B$ : $f(4) = 9$ .

4.2 La fonction carré

Proposition 4.4 (Fonction carré)

La fonction $f(x) = x^2$ , définie sur $\R$ :

est strictement décroissante sur $\intoc{-\infty}{0}$ et strictement croissante sur $\intco{0}{+\infty}$ , avec minimum $0$ en $x = 0$ ;
satisfait $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$ : son graphique, une parabole, est symétrique par rapport à l’axe vertical.

Démonstration. 1. Soit $0 \leq u < v$ . Alors

f(v) - f(u) = v^2 - u^2 = (v - u)(v + u) > 0,

car $v - u > 0$ et $v + u > 0$ : $f$ est strictement croissante sur $\intco{0}{+\infty}$ . Si $u < v \leq 0$ , alors $v - u > 0$ mais $v + u < 0$ , donc $f(v) - f(u) < 0$ : strictement décroissante. Enfin $x^2 \geq 0 = f(0)$ pour tout $x$ .

2. $(-x)^2 = x^2$ ; donc les points $(x, x^2)$ et $(-x, x^2)$ , images l’un de l’autre par symétrie par rapport à l’axe vertical, sont tous deux sur le graphique. ∎

Remarque 4.5 (Carrés et ordre)

Parce que la fonction carré décroît du côté négatif, élever au carré inverse l’ordre des nombres négatifs : $-3 < -2$ mais $9 > 4$ . Ne jamais élever au carré les deux membres d’une inégalité sans vérifier les signes.

4.3 La fonction inverse

Proposition 4.6 (Fonction inverse)

La fonction $f(x) = \dfrac1x$ , définie pour $x \neq 0$ :

est strictement décroissante sur $\intoo{-\infty}{0}$ et strictement décroissante sur $\intoo{0}{+\infty}$ ;
satisfait $f(-x) = -f(x)$ : son graphique, une hyperbole, est symétrique par rapport à l’origine.

Démonstration. 1. Soit $0 < u < v$ . Alors

f(v) - f(u) = \frac1v - \frac1u = \frac{u - v}{uv} < 0,

car $u - v < 0$ et $uv > 0$ : strictement décroissante sur $\intoo{0}{+\infty}$ . Sur $\intoo{-\infty}{0}$ le même quotient a $u - v < 0$ et $uv > 0$ encore (produit de deux négatifs), donc $f$ décroît aussi là.

2. $\frac{1}{-x} = -\frac1x$ . ∎

Remarque 4.7

Attention : $\frac1x$ n’est pas décroissante sur tout son ensemble de définition. De $u = -1$ à $v = 1$ la valeur saute de $-1$ à $1$ . Les deux branches doivent être étudiées séparément.

La parabole y = x2 (symétrique par rapport à l’axe vertical) et l’hyperbole y = 1x (deux branches, symétrique par rapport à l’origine). — La parabole $y = x^2$ (symétrique par rapport à l’axe vertical) et l’hyperbole $y = \frac1x$ (deux branches, symétrique par rapport à l’origine).

4.4 Racine carrée et cube

Proposition 4.8 (Fonction racine carrée)

La fonction $f(x) = \sqrt{x}$ , définie sur $\intco{0}{+\infty}$ , est strictement croissante.

Démonstration. Soit $0 \leq u < v$ . Multiplier et diviser par le conjugué :

\sqrt v - \sqrt u = \frac{(\sqrt v - \sqrt u)(\sqrt v + \sqrt u)}{\sqrt v + \sqrt u} = \frac{v - u}{\sqrt v + \sqrt u} > 0,

car $v - u > 0$ et $\sqrt v + \sqrt u > 0$ (noter $v > 0$ , donc $\sqrt v > 0$ ). ∎

Proposition 4.9 (Fonction cube)

La fonction $f(x) = x^3$ , définie sur $\R$ , est strictement croissante, et son graphique est symétrique par rapport à l’origine.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

La racine carrée (définie pour x ≥ 0 seulement) et le cube, toutes deux croissantes. — La racine carrée (définie pour $x \geq 0$ seulement) et le cube, toutes deux croissantes.

Proposition 4.10 (Comparer $x$ , $x^2$ et $\sqrt x$ )

Pour $0 < x < 1$ : $x^2 < x < \sqrt x$ . Pour $x > 1$ : $\sqrt x < x < x^2$ . En $x = 0$ et $x = 1$ les trois valeurs sont égales.

Démonstration. Supposons $0 < x < 1$ . Multiplier $x < 1$ par $x > 0$ donne $x^2 < x$ . Ensuite, $x < \sqrt x$ : les deux membres étant positifs et le carré croissant sur les positifs, cette inégalité équivaut à $x^2 < x$ , que l’on vient de prouver. Pour $x > 1$ , multiplier $x > 1$ par $x$ donne $x^2 > x$ , et $\sqrt x < x$ suit par le même argument d’élévation au carré. ∎

Les trois courbes se croisent en (0,0) et (1,1) et échangent l’ordre là : entre 0 et 1, x2 est le plus petit et √ x le plus grand ; au-delà de 1 l’ordre est inversé. — Les trois courbes se croisent en $(0,0)$ et $(1,1)$ et échangent l’ordre là : entre $0$ et $1$ , $x^2$ est le plus petit et $\sqrt x$ le plus grand ; au-delà de $1$ l’ordre est inversé.

Méthode 4.11 (Comparer des images)

Pour comparer $f(a)$ et $f(b)$ pour une fonction de référence $f$ :

placer $a$ et $b$ sur un intervalle où les variations de $f$ sont connues ;
si $f$ croît là, les images sont dans le même ordre que les entrées ; si $f$ décroît, l’ordre est inversé ;
si $a$ et $b$ ne sont pas dans le même intervalle de monotonie, traiter d’abord les signes (par exemple pour le carré : une entrée négative et une positive).

Exemple 4.12

Comparer $\dfrac{1}{2.3}$ et $\dfrac{1}{2.4}$ : les deux entrées sont dans $\intoo{0}{+\infty}$ , où la fonction inverse décroît, et $2.3 < 2.4$ , donc $\dfrac{1}{2.3} > \dfrac{1}{2.4}$ . Comparer $(-1.2)^2$ et $(-1.5)^2$ : sur $\intoc{-\infty}{0}$ le carré décroît, et $-1.5 < -1.2$ , donc $(-1.5)^2 > (-1.2)^2$ — en effet $2.25 > 1.44$ .

4.5 Exercices

Exercice 4.1 ★

Pour chaque fonction affine, donner son coefficient directeur, son ordonnée à l’origine, et dire si elle est croissante ou décroissante :

f(x) = 3x - 2, \qquad g(x) = -\tfrac12 x + 4, \qquad h(x) = 7, \qquad k(x) = -x .

Solution

Solution de Exercice 4.1.

$f$ : coefficient $3$ , ordonnée à l’origine $-2$ , croissante. $g$ : coefficient $-\frac12$ , ordonnée à l’origine $4$ , décroissante. $h$ : coefficient $0$ , ordonnée à l’origine $7$ , constante. $k$ : coefficient $-1$ , ordonnée à l’origine $0$ , décroissante (et linéaire).

Exercice 4.2 ★

Trouver la fonction affine dont le graphique passe par $(2, 1)$ et $(5, 10)$ ; puis celle qui passe par $(-1, 4)$ et $(3, -4)$ .

Solution

Solution de Exercice 4.2.

Par $(2,1)$ et $(5,10)$ : coefficient $m = \frac{10 - 1}{5 - 2} = 3$ ; puis $1 = 3 \times 2 + p$ donne $p = -5$ : $f(x) = 3x - 5$ .

Par $(-1,4)$ et $(3,-4)$ : coefficient $m = \frac{-4 - 4}{3 - (-1)} = \frac{-8}{4} = -2$ ; puis $4 = -2 \times (-1) + p$ donne $p = 2$ : $f(x) = -2x + 2$ .

Exercice 4.3 ★

Sans calculatrice, comparer :

(3.1)^2 \text{ et } (3.2)^2; \qquad (-2.7)^2 \text{ et } (-2.8)^2; \qquad \frac{1}{5.1} \text{ et } \frac{1}{5.2}; \qquad \sqrt{17} \text{ et } \sqrt{15}.

Solution

Solution de Exercice 4.3.

$(3.1)^2 < (3.2)^2$ : le carré croît sur les positifs.

$(-2.7)^2 < (-2.8)^2$ : le carré décroît sur les négatifs et $-2.8 < -2.7$ .

$\frac{1}{5.1} > \frac{1}{5.2}$ : l’inverse décroît sur les positifs.

$\sqrt{17} > \sqrt{15}$ : la racine carrée croît.

Exercice 4.4 ★

En utilisant le graphique de la fonction carré, résoudre $x^2 = 16$ , puis $x^2 \leq 16$ , puis $x^2 > 9$ .

Solution

Solution de Exercice 4.4.

$x^2 = 16$ : deux solutions, $x = 4$ et $x = -4$ (la droite horizontale $y = 16$ coupe la parabole deux fois).

$x^2 \leq 16$ : la parabole est sous la droite entre les deux points d’intersection : $x \in \intcc{-4}{4}$ .

$x^2 > 9$ : la parabole est strictement au-dessus de $y = 9$ à l’extérieur de $\intcc{-3}{3}$ : $x \in \intoo{-\infty}{-3} \cup \intoo{3}{+\infty}$ .

Exercice 4.5 ★

Soit $x \in \intoo{0}{1}$ . Ordonner les nombres $x$ , $x^2$ , $x^3$ et $\sqrt x$ du plus petit au plus grand, et vérifier avec $x = 0.25$ .

Solution

Solution de Exercice 4.5.

Pour $0 < x < 1$ : multiplier $x < 1$ plusieurs fois par $x$ donne $x^3 < x^2 < x$ , et le Proposition 4.10 donne $x < \sqrt x$ , donc

x^3 < x^2 < x < \sqrt x .

Vérification avec $x = 0.25$ : $x^3 = 0.015625$ , $x^2 = 0.0625$ , $x = 0.25$ , $\sqrt x = 0.5$ .

Exercice 4.6 ★★

Résoudre graphiquement, puis algébriquement : $\dfrac1x = 2$ , et $\dfrac1x < 2$ pour $x > 0$ . Que change-t-on si l’on autorise aussi $x < 0$ ?

Solution

Solution de Exercice 4.6.

$\frac1x = 2$ a l’unique solution $x = \frac12$ (l’hyperbole rencontre la droite horizontale $y = 2$ une fois, sur la branche positive).

Pour $x > 0$ : $\frac1x < 2$ . Multiplier par $x > 0$ : $1 < 2x$ , donc $x > \frac12$ : ensemble des solutions $\intoo{\frac12}{+\infty}$ .

Si $x < 0$ est autorisé : tout $x$ négatif satisfait $\frac1x < 0 < 2$ , donc l’ensemble complet des solutions est $\intoo{-\infty}{0} \cup \intoo{\frac12}{+\infty}$ .

Exercice 4.7 ★★

Sachant que la fonction carré décroît sur $\intoc{-\infty}{0}$ et croît sur $\intco{0}{+\infty}$ , encadrer $x^2$ lorsque :

\text{(a) } x \in \intcc{2}{5}; \qquad \text{(b) } x \in \intcc{-3}{-1}; \qquad \text{(c) } x \in \intcc{-2}{3}.

(Dans le cas (c), attention : le minimum de $x^2$ n’est pas en une extrémité.)

Solution

Solution de Exercice 4.7.

(a) Sur $\intcc{2}{5}$ , toutes les entrées sont positives et le carré croît : $4 \leq x^2 \leq 25$ .

(b) Sur $\intcc{-3}{-1}$ , le carré décroît : le plus grand carré vient de $-3$ : $1 \leq x^2 \leq 9$ .

(c) Sur $\intcc{-2}{3}$ , l’intervalle contient $0$ , où le carré atteint son minimum $0$ ; le maximum est le plus grand de $(-2)^2 = 4$ et $3^2 = 9$ . Donc $0 \leq x^2 \leq 9$ .

Exercice 4.8 ★★

Une compagnie de taxis facture un forfait fixe de $4$ plus $1.5$ par kilomètre ; une autre ne facture pas de forfait et $2$ par kilomètre. Modéliser chaque prix par une fonction affine de la distance $x$ , tracer les deux droites, et trouver à partir de quelle distance la première compagnie est moins chère.

Solution

Solution de Exercice 4.8.

Première compagnie : $f(x) = 1.5x + 4$ ; seconde : $g(x) = 2x$ . La première est moins chère lorsque

1.5x + 4 < 2x \ \Longleftrightarrow\ 4 < 0.5x \ \Longleftrightarrow\ x > 8 .

Au-delà de $8$ km, la première compagnie est moins chère ; à exactement $8$ km les deux facturent $16$ .

Exercice 4.9 ★★

Montrer que pour tous $a, b \geq 0$ : $\sqrt{a + b} \leq \sqrt a + \sqrt b$ . (Indication : les deux membres sont positifs ou nuls, donc comparer leurs carrés.) Quand y a-t-il égalité ?

Solution

Solution de Exercice 4.9.

Les deux membres sont positifs ou nuls, donc l’inégalité équivaut à celle entre leurs carrés :

\left(\sqrt{a+b}\right)^2 = a + b \qquad\text{et}\qquad \left(\sqrt a + \sqrt b\right)^2 = a + 2\sqrt a \sqrt b + b .

Comme $2\sqrt a\sqrt b \geq 0$ , le second carré est au moins égal au premier, ce qui prouve $\sqrt{a+b} \leq \sqrt a + \sqrt b$ . L’égalité a lieu exactement lorsque $\sqrt a \sqrt b = 0$ , c’est-à-dire lorsque $a = 0$ ou $b = 0$ .

Exercice 4.10 ★★★

Soit $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ , définie pour $x \neq 1$ .

Montrer que $f(x) = 2 + \dfrac{3}{x - 1}$ pour tout $x \neq 1$ .
En déduire les variations de $f$ sur $\intoo{1}{+\infty}$ à partir de celles de la fonction inverse.

Solution

Solution de Exercice 4.10.

1. Mettre le second membre sur un dénominateur commun :

2 + \frac{3}{x-1} = \frac{2(x-1) + 3}{x - 1} = \frac{2x + 1}{x - 1} = f(x).

2. Sur $\intoo{1}{+\infty}$ , lorsque $x$ croît, $x - 1$ croît et reste positif, donc $\frac{3}{x-1}$ décroît (fonction inverse, multipliée par la constante positive $3$ ), donc $f(x) = 2 + \frac{3}{x-1}$ décroît : $f$ est strictement décroissante sur $\intoo{1}{+\infty}$ .