Mathématiques du lycée · Grades 10–12

6Vecteurs

Un vecteur encode un déplacement : une direction et une longueur, indépendamment du point de départ. Les vecteurs donnent des preuves propres de faits géométriques et, une fois les coordonnées en jeu, les réduisent à de petits calculs. Ils seront un outil clé dans le Chapitre 7 et, plus tard, pour le produit scalaire dans le Chapitre 16.

6.1 Translations et vecteurs

Définition 6.1 (Vecteur)

Étant donnés deux points $A$ et $B$ , le vecteur $\vect{AB}$ représente le déplacement de $A$ vers $B$ : il a une direction (la direction de la droite $(AB)$ , avec le sens de parcours, de $A$ vers $B$ ) et une longueur (la distance $AB$ , aussi notée $\norm{\vect{AB}}$ ). Deux vecteurs sont égaux lorsqu’ils encodent le même déplacement : $\vect{AB} = \vect{CD}$ signifie qu’appliquer les deux déplacements à un point quelconque donne le même résultat.

Proposition 6.2 (Vecteurs égaux et parallélogrammes)

$\vect{AB} = \vect{CD}$ exactement lorsque $ABDC$ (dans cet ordre !) est un parallélogramme, éventuellement aplati — de façon équivalente, lorsque $[AD]$ et $[BC]$ ont le même milieu.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Vecteurs égaux AB = CD : même direction, même sens, même longueur. Le quadrilatère ABDC est un parallélogramme. — Vecteurs égaux $\vect{AB} = \vect{CD}$ : même direction, même sens, même longueur. Le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme.

Notation 6.3

Un vecteur est souvent nommé par une seule lettre, $\vec u$ ou $\vec v$ , lorsque les extrémités n’importent pas. Le vecteur nul $\vec 0 = \vect{AA}$ est le déplacement qui ne déplace rien. L’opposé de $\vect{AB}$ est $\vect{BA}$ : même longueur, sens opposé. On écrit $\vect{BA} = -\vect{AB}$ .

6.2 Addition de vecteurs

Définition 6.4 (Somme de deux vecteurs)

La somme $\vec u + \vec v$ est le déplacement obtenu en effectuant $\vec u$ puis $\vec v$ .

Théorème 6.5 (Relation de Chasles)

Pour trois points $A$ , $B$ , $C$ quelconques :

\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}.

Démonstration. Aller de $A$ à $B$ , puis de $B$ à $C$ , est un déplacement qui amène $A$ en $C$ : c’est le déplacement encodé par $\vect{AC}$ . ∎

Remarque 6.6 (Règle du parallélogramme)

Pour additionner deux vecteurs issus du même point, $\vect{AB} + \vect{AC}$ , compléter le parallélogramme $ABDC$ : la somme est la diagonale $\vect{AD}$ . En effet $\vect{AC} = \vect{BD}$ , donc $\vect{AB} + \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{BD} = \vect{AD}$ par la relation de Chasles.

Deux images de la somme : bout à bout (relation de Chasles, à gauche) et règle du parallélogramme (à droite).

Exemple 6.7 (Simplifier avec Chasles)

Simplifier $\vect{MN} + \vect{NP} + \vect{PQ}$ : enchaîner les déplacements donne $\vect{MQ}$ . Simplifier $\vect{AB} - \vect{AC}$ : réécrire la différence comme une somme avec le vecteur opposé,

\vect{AB} - \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{CA} = \vect{CA} + \vect{AB} = \vect{CB}.

6.3 Multiplier un vecteur par un nombre

Définition 6.8 (Produit par un scalaire)

Soit $\vec u$ un vecteur non nul et $k$ un nombre réel. Le vecteur $k\vec u$ a la même direction que $\vec u$ , la longueur $\abs{k} \times \norm{\vec u}$ , et le même sens que $\vec u$ si $k > 0$ , le sens opposé si $k < 0$ . Pour $k = 0$ , $0\vec u = \vec 0$ .

Définition 6.9 (Colinéarité)

Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires lorsqu’ils ont la même direction, c’est-à-dire lorsque $\vec v = k \vec u$ pour un certain réel $k$ (ou que l’un d’eux est $\vec 0$ ).

Remarque 6.10

La colinéarité est le langage vectoriel du parallélisme et de l’alignement :

les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles exactement lorsque $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ sont colinéaires ;
les points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés exactement lorsque $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ sont colinéaires.

6.4 Coordonnées de vecteurs

Définition 6.11 (Coordonnées d’un vecteur)

Dans un repère, les coordonnées du vecteur $\vect{AB}$ sont les nombres décrivant le déplacement :

\vect{AB}\,(x_B - x_A,\ y_B - y_A).

Un vecteur $\vec u\,(a, b)$ déplace tout point de $a$ unités horizontalement et $b$ unités verticalement.

Proposition 6.12 (Calculer avec les coordonnées)

Soient $\vec u\,(a, b)$ et $\vec v\,(c, d)$ , et $k \in \R$ .

$\vec u = \vec v$ exactement lorsque $a = c$ et $b = d$ ;
$\vec u + \vec v$ a pour coordonnées $(a + c,\ b + d)$ ;
$k\vec u$ a pour coordonnées $(ka,\ kb)$ ;
$\norm{\vec u} = \sqrt{a^2 + b^2}$ (repère orthonormal).

Démonstration. 1–3 reformulent, coordonnée par coordonnée, ce que font les déplacements : par exemple effectuer $\vec u$ puis $\vec v$ déplace un point horizontalement de $a$ puis de $c$ , donc de $a + c$ au total. Le point 4 est la formule de la distance du Théorème 5.4 appliquée à un segment représentant $\vec u$ . ∎

Théorème 6.13 (Critère de colinéarité)

Deux vecteurs $\vec u\,(a, b)$ et $\vec v\,(c, d)$ sont colinéaires si et seulement si

ad - bc = 0 .

Démonstration. Si $\vec v = k\vec u$ , alors $c = ka$ et $d = kb$ , donc $ad - bc = a(kb) - b(ka) = 0$ . De même si $\vec u = k \vec v$ ou si l’un des vecteurs est nul.

Réciproquement, supposons $ad - bc = 0$ avec $\vec u \neq \vec 0$ , disons $a \neq 0$ (le cas $b \neq 0$ est analogue). Poser $k = \frac{c}{a}$ ; alors $c = ka$ , et $ad = bc = b(ka)$ donne, après division par $a \neq 0$ , $d = kb$ . Donc $\vec v = k\vec u$ . ∎

Exemple 6.14

Les vecteurs $\vec u\,(3, -2)$ et $\vec v\,(-6, 4)$ sont-ils colinéaires ? Calculer $ad - bc = 3 \times 4 - (-2)\times(-6) = 12 - 12 = 0$ : oui, et en effet $\vec v = -2\vec u$ . Pour $\vec u\,(3, -2)$ et $\vec w\,(1, 5)$ : $3 \times 5 - (-2) \times 1 = 17 \neq 0$ : non colinéaires.

Méthode 6.15 (Alignement et parallélisme)

Pour prouver que trois points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés :

calculer les coordonnées de $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ;
vérifier le critère $ad - bc = 0$ du Théorème 6.13 ;
conclure : les vecteurs sont colinéaires et partagent le point $A$ , donc les trois points sont alignés.

Le même calcul avec $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ prouve que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

Exemple 6.16

Soient $A(1, 2)$ , $B(3, 5)$ et $C(7, 11)$ . Alors $\vect{AB}\,(2, 3)$ et $\vect{AC}\,(6, 9)$ , et $2 \times 9 - 3 \times 6 = 18 - 18 = 0$ : les points sont alignés (en fait $\vect{AC} = 3\vect{AB}$ ).

Points alignés : AC est un multiple scalaire de AB. — Points alignés : $\vect{AC}$ est un multiple scalaire de $\vect{AB}$ .

6.5 Exercices

Exercice 6.1 ★

Simplifier en utilisant la relation de Chasles :

\vect{AB} + \vect{BD}, \qquad \vect{KL} + \vect{LM} + \vect{MK}, \qquad \vect{AC} - \vect{BC}, \qquad \vect{AB} + \vect{CA}.

Solution

Solution de Exercice 6.1.

$\vect{AB} + \vect{BD} = \vect{AD}$ (Chasles).

$\vect{KL} + \vect{LM} + \vect{MK} = \vect{KK} = \vec 0$ .

$\vect{AC} - \vect{BC} = \vect{AC} + \vect{CB} = \vect{AB}$ .

$\vect{AB} + \vect{CA} = \vect{CA} + \vect{AB} = \vect{CB}$ .

Exercice 6.2 ★

Soient $A(2, 1)$ , $B(5, 3)$ , $C(-1, 4)$ . Calculer les coordonnées de $\vect{AB}$ , $\vect{BC}$ , $\vect{AC}$ , et vérifier sur les coordonnées que $\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}$ .

Solution

Solution de Exercice 6.2.

$\vect{AB}\,(5-2,\ 3-1) = (3, 2)$ ; $\vect{BC}\,(-1-5,\ 4-3) = (-6, 1)$ ; $\vect{AC}\,(-1-2,\ 4-1) = (-3, 3)$ . Vérification : $(3, 2) + (-6, 1) = (-3, 3)$ , coordonnée par coordonnée.

Exercice 6.3 ★

Soient $\vec u\,(2, -3)$ et $\vec v\,(-1, 4)$ . Donner les coordonnées de $\vec u + \vec v$ , $3\vec u$ , $2\vec u - \vec v$ , et calculer $\norm{\vec u}$ .

Solution

Solution de Exercice 6.3.

$\vec u + \vec v = (2 + (-1),\ -3 + 4) = (1, 1)$ .

$3\vec u = (6, -9)$ .

$2\vec u - \vec v = (4 - (-1),\ -6 - 4) = (5, -10)$ .

$\norm{\vec u} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$ .

Exercice 6.4 ★

Dans chaque cas, dire si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires :

\text{(a) } \vec u\,(4, 6),\ \vec v\,(6, 9); \qquad \text{(b) } \vec u\,(2, -5),\ \vec v\,(-4, 10); \qquad \text{(c) } \vec u\,(3, 1),\ \vec v\,(1, 3).

Solution

Solution de Exercice 6.4.

(a) $4 \times 9 - 6 \times 6 = 36 - 36 = 0$ : colinéaires ( $\vec v = \frac32 \vec u$ ).

(b) $2 \times 10 - (-5) \times (-4) = 20 - 20 = 0$ : colinéaires ( $\vec v = -2\vec u$ ).

Exercice 6.5 ★

Soient $A(0, 2)$ , $B(4, 0)$ , $C(6, 3)$ . Trouver les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme, c’est-à-dire tel que $\vect{AB} = \vect{DC}$ .

Solution

Solution de Exercice 6.5.

$\vect{AB}\,(4, -2)$ , et $\vect{DC}\,(6 - x_D,\ 3 - y_D)$ . La condition $\vect{AB} = \vect{DC}$ donne $6 - x_D = 4$ et $3 - y_D = -2$ , donc $D(2, 5)$ .

Exercice 6.6 ★★

Soient $A(-2, 1)$ , $B(1, 3)$ , $C(4, -1)$ .

Calculer les coordonnées du point $M$ tel que $\vect{AM} = \vect{AB} + \vect{AC}$ .
Quel est le quadrilatère $ABMC$ ? Justifier.

Solution

Solution de Exercice 6.6.

1. $\vect{AB}\,(3, 2)$ et $\vect{AC}\,(6, -2)$ , donc $\vect{AB} + \vect{AC} = (9, 0)$ et $M = (-2 + 9,\ 1 + 0) = (7, 1)$ .

2. Par la règle du parallélogramme, $\vect{AM} = \vect{AB} + \vect{AC}$ signifie que $ABMC$ est un parallélogramme ( $M$ est le quatrième sommet opposé à $A$ ). On peut vérifier : $\vect{AB}\,(3,2)$ et $\vect{CM}\,(7-4,\ 1-(-1)) = (3, 2)$ sont égaux.

Exercice 6.7 ★★

Soient $A(1, -1)$ , $B(4, 1)$ , $C(10, 5)$ . Les points $A$ , $B$ , $C$ sont-ils alignés ? Même question pour $A(0, 3)$ , $B(2, 2)$ , $C(8, -1)$ .

Solution

Solution de Exercice 6.7.

Premier triplet : $\vect{AB}\,(3, 2)$ , $\vect{AC}\,(9, 6)$ ; $3 \times 6 - 2 \times 9 = 0$ : alignés ( $\vect{AC} = 3\vect{AB}$ ).

Second triplet : $\vect{AB}\,(2, -1)$ , $\vect{AC}\,(8, -4)$ ; $2 \times (-4) - (-1) \times 8 = -8 + 8 = 0$ : alignés aussi ( $\vect{AC} = 4\vect{AB}$ ).

Exercice 6.8 ★★

Soient $A(1, 2)$ , $B(5, 4)$ , $C(6, 1)$ , $D(2, -1)$ . Montrer que $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, puis que $ABCD$ est un parallélogramme. Laquelle des deux vérifications implique l’autre ?

Solution

Solution de Exercice 6.8.

$\vect{AB}\,(4, 2)$ et $\vect{DC}\,(6-2,\ 1-(-1)) = (4, 2)$ : les deux vecteurs sont égaux, donc $ABCD$ est un parallélogramme, et en particulier $(AB) \parallel (CD)$ . La propriété de parallélogramme est la plus forte : elle implique le parallélisme (colinéarité des vecteurs), pas l’inverse.

Exercice 6.9 ★★

Soit $ABC$ un triangle, et soit $I$ le point défini par $\vect{AI} = \frac23 \vect{AB}$ . Avec $A(0,0)$ , $B(6, 3)$ , $C(2, 5)$ (pour que les calculs restent simples) :

calculer les coordonnées de $I$ ;
soit $J$ tel que $\vect{CJ} = \frac23\vect{CB}$ ; calculer les coordonnées de $J$ ;
montrer que $(IJ)$ est parallèle à $(AC)$ .

Solution

Solution de Exercice 6.9.

1. $\vect{AB}\,(6, 3)$ , donc $\vect{AI} = \frac23\vect{AB} = (4, 2)$ et $I(4, 2)$ .

2. $\vect{CB}\,(6-2,\ 3-5) = (4, -2)$ , donc $\vect{CJ} = \frac23\vect{CB} = \left(\frac83, -\frac43\right)$ et $J\left(2 + \frac83,\ 5 - \frac43\right) = \left(\frac{14}{3}, \frac{11}{3}\right)$ .

3. $\vect{IJ}\,\left(\frac{14}{3} - 4,\ \frac{11}{3} - 2\right) = \left(\frac23, \frac53\right)$ et $\vect{AC}\,(2, 5)$ . Critère de colinéarité :

\frac23 \times 5 - \frac53 \times 2 = \frac{10}{3} - \frac{10}{3} = 0 :

les vecteurs sont colinéaires, donc $(IJ)$ est parallèle à $(AC)$ . (Les deux points $I$ et $J$ sont situés aux deux tiers du côté vers $B$ : le petit triangle $IBJ$ est une réduction de $ABC$ .)

Exercice 6.10 ★★★

Soit $ABCD$ un quadrilatère quelconque, et soient $I$ , $J$ , $K$ , $L$ les milieux de $[AB]$ , $[BC]$ , $[CD]$ , $[DA]$ . En utilisant les coordonnées $A(x_A, y_A)$ , etc., montrer que $\vect{IJ} = \vect{LK}$ , et conclure que les milieux des côtés de n’importe quel quadrilatère forment un parallélogramme.

Solution

Solution de Exercice 6.10.

Les milieux sont

I\left(\tfrac{x_A + x_B}{2}, \tfrac{y_A + y_B}{2}\right), \quad J\left(\tfrac{x_B + x_C}{2}, \tfrac{y_B + y_C}{2}\right), \quad K\left(\tfrac{x_C + x_D}{2}, \tfrac{y_C + y_D}{2}\right), \quad L\left(\tfrac{x_D + x_A}{2}, \tfrac{y_D + y_A}{2}\right).

Premières coordonnées des deux vecteurs :

x_J - x_I = \frac{x_B + x_C}{2} - \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{x_C - x_A}{2}, \qquad x_K - x_L = \frac{x_C + x_D}{2} - \frac{x_D + x_A}{2} = \frac{x_C - x_A}{2},

et le même calcul fonctionne pour les secondes coordonnées. Donc $\vect{IJ} = \vect{LK}$ (tous deux égaux à $\frac12\vect{AC}$ ), et $IJKL$ est un parallélogramme, quelle que soit l’allure du quadrilatère $ABCD$ .

6.6 Problème : l’algèbre des flèches

Problème 6.1

Devoir du week-end — gymnastique de Chasles, le centre de gravité redémontré en deux lignes, et des forces en équilibre : à quoi servent vraiment les vecteurs

Le volume précédent a démontré que les médianes d’un triangle se coupent aux deux tiers de leur longueur — au prix d’un ingénieux parallélogramme caché dans le triangle (devoir du week-end sur le centre de gravité). Les vecteurs le redémontrent en deux lignes, et donnent le concours des trois médianes par-dessus le marché. C’est à cela que sert cette nouvelle algèbre : les théorèmes deviennent des calculs sur des flèches. Ce problème entraîne le calcul (Chasles avant tout), livre la démonstration en deux lignes, prolonge Varignon (Exercice 6.10) et s’achève là où les vecteurs sont nés : les forces et les vitesses.

Partie I — Gymnastique de Chasles.

Simplifier à l’aide de la relation de Chasles (Théorème 6.5) : $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD}$ ; $\vect{MA} - \vect{MB}$ ; $\vect{AB} + \vect{CD} + \vect{BC} + \vect{DA}$ .
L’astuce du point origine : montrer que pour tout point $O$ , $\vect{AB} = \vect{OB} - \vect{OA}$ .
Démontrer les deux caractérisations du milieu $I$ de $[AB]$ :

$\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0 \qquad\text{et}\qquad \vect{OI} = \tfrac12\left(\vect{OA} + \vect{OB}\right) \ \text{pour tout } O .$
À l’aide de $\vect{AB} = \vect{DC}$ , retrouver le quatrième sommet $D$ du parallélogramme $ABCD$ avec $A(-1, 2)$ , $B(3, 4)$ , $C(6, 0)$ — et comparer avec la réponse obtenue par l’astuce des milieux au Problème 5.1.
Ajouter un vecteur fixe $\vec u$ à tout point du plan réalise quelle transformation — celle que l’on avait découverte avec deux miroirs dans le devoir du week-end sur les deux miroirs, et avec deux demi-tours dans celui sur les demi-tours, du volume précédent ? Calculer l’image de $(1, 2)$ par $\vec u = (3, -1)$ .

Partie II — Le centre de gravité, troisième démonstration. On définit le point $G$ d’un triangle $ABC$ par l’élégante condition

\vect{GA} + \vect{GB} + \vect{GC} = \vec 0 .

À l’aide de l’astuce du point origine, montrer que cette condition détermine $G$ de façon unique : $\vect{OG} = \frac13\left(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC}\right)$ pour tout $O$ — les coordonnées de $G$ sont donc les moyennes de celles des sommets (le devoir du week-end sur le centre de gravité, dans le volume précédent, l’avait vu numériquement).
Démontrer $\vect{AG} = \frac13\left(\vect{AB} + \vect{AC}\right)$ puis, en notant $K$ le milieu de $[BC]$ , $\vect{AK} = \frac12\left(\vect{AB} + \vect{AC}\right)$ . En déduire $\vect{AG} = \frac23\,\vect{AK}$ — le théorème des deux tiers, redémontré.
Pourquoi les médianes issues de $B$ et de $C$ passent-elles par le même $G$ sans le moindre calcul supplémentaire ? Comparer en une phrase chacune des trois démonstrations disponibles de ce théorème — le parallélogramme caché du volume précédent, les coordonnées, les vecteurs.
Vérification numérique : $A(1, 1)$ , $B(5, 2)$ , $C(3, 6)$ . Calculer $G$ , puis $K$ , puis vérifier $\vect{AG} = \frac23 \vect{AK}$ à l’aide du critère de colinéarité (Théorème 6.13).
La physique lit $G$ comme le point d’équilibre de trois masses égales placées aux sommets. Doublons la masse en $A$ (masses $2, 1, 1$ ) : le point d’équilibre devient $\vect{OG'} = \frac{2\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC}}{4}$ . Calculer $G'$ pour le triangle de la question 9 et comparer sa position à celle de $G$ .

Partie III — La colinéarité au travail.

Les vecteurs $\vec u(3, -2)$ et $\vec v(-6, 4)$ sont-ils colinéaires ? Et $\vec w(2, 5)$ , $\vec z(4, 9)$ ? Trancher avec le critère du déterminant.
Les points $A(1, 2)$ , $B(3, 5)$ , $C(7, 11)$ sont-ils alignés ?
Au-delà de Varignon (Exercice 6.10) : dans un quadrilatère $ABCD$ quelconque, les bimédianes joignent les milieux des côtés opposés ( $[IK]$ et $[JL]$ ). À l’aide des vecteurs position ( $\vect{OI} = \frac12(\vect{OA} + \vect{OB})$ , etc.), montrer que les deux bimédianes ont le même milieu, de vecteur position $\frac14\left(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} + \vect{OD}\right)$ : le centre de gravité du quadrilatère.
Thalès en une ligne : $M$ et $N$ sont les points définis par $\vect{AM} = \frac13\vect{AB}$ et $\vect{AN} = \frac13\vect{AC}$ . Calculer $\vect{MN}$ en fonction de $\vect{BC}$ et en déduire parallélisme et rapport.
Généraliser la question 14 à un rapport $k$ quelconque, et dire en une phrase comment le calcul vectoriel absorbe d’un coup le théorème des milieux et le théorème de Thalès.

Partie IV — Forces et vitesses.

Un bateau est poussé par un courant de $3$ km/h plein est tandis qu’il rame à $4$ km/h plein nord. Donner le vecteur vitesse résultant, sa norme, et décrire la route effectivement suivie. (Un triplet très ancien apparaît.)
Trois forces agissent sur un anneau : $\vec u(2, 1)$ , $\vec v(-3, 2)$ , $\vec w(1, -3)$ . Calculer la résultante. Que fait l’anneau ? Et pourquoi la somme des flèches le long d’un polygone fermé vaut-elle toujours $\vec 0$ (Chasles) ?
Deux forces $\vec u(4, -1)$ et $\vec v(-1, 3)$ agissent sur un crochet. Quelle troisième force maintient le crochet en équilibre ?
Un nageur traverse une rivière en visant droit vers l’autre rive à $2$ m/s ; le courant file à $1.5$ m/s. Donner la vitesse résultante et sa norme. La rivière est large de $50$ m : combien de temps dure la traversée, et à quelle distance en aval le nageur aborde-t-il ?
Pour finir : un seul objet, trois costumes — flèche de déplacement, couple de coordonnées, force ou vitesse. Énumérer les trois théorèmes classiques que ce problème a redémontrés par l’algèbre vectorielle, et nommer la seule grandeur géométrique que les vecteurs de ce chapitre ne savent pas encore mesurer — l’outil qui y remédie arrive avec le produit scalaire, l’an prochain.

Solution

Solution de Problème 6.1.

1. $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD} = \vect{AD}$ ; $\vect{MA} - \vect{MB} = \vect{MA} + \vect{BM} = \vect{BA}$ ; $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD} + \vect{DA} = \vect{AA} = \vec 0$ (en réordonnant la troisième somme).

2. $\vect{OB} - \vect{OA} = \vect{AO} + \vect{OB} = \vect{AB}$ par Chasles.

3. $I$ est le milieu de $[AB]$ exactement lorsque $\vect{IA} = -\vect{IB}$ , c’est-à-dire $\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0$ . Alors, pour tout $O$ : $\vec 0 = \vect{IO} + \vect{OA} + \vect{IO} + \vect{OB}$ , donc $2\,\vect{OI} = \vect{OA} + \vect{OB}$ — et réciproquement.

4. $\vect{AB} = (4, 2)$ , et $D$ vérifie $\vect{DC} = \vect{AB}$ : $D = C - (4, 2) = (2, -2)$ — le même $D$ qu’au Problème 5.1, obtenu une ligne plus vite.

5. La translation de vecteur $\vec u$ — exactement la transformation produite par deux miroirs parallèles ou par deux demi-tours. Image de $(1, 2)$ : $(4, 1)$ .

6. En développant chaque $\vect{GX}$ en $\vect{GO} + \vect{OX}$ : $3\,\vect{GO} + \vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} = \vec 0$ , donc $\vect{OG} = \frac13(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC})$ : un tel point existe et est unique, et ses coordonnées sont les moyennes de celles des trois sommets.

7. $\vect{AB} + \vect{AC} = (\vect{AG} + \vect{GB}) + (\vect{AG} + \vect{GC}) = 2\vect{AG} + (\vect{GB} + \vect{GC}) = 2\vect{AG} - \vect{GA} = 3\vect{AG}$ , d’où $\vect{AG} = \frac13(\vect{AB} + \vect{AC})$ . La formule du milieu (question 3, vue depuis $A$ ) donne $\vect{AK} = \frac12(\vect{AB} + \vect{AC})$ . En comparant : $\vect{AG} = \frac23\vect{AK}$ — $G$ est sur la médiane $[AK]$ , aux deux tiers à partir de $A$ .

8. La condition de définition traite $A$ , $B$ , $C$ de façon identique ; le même calcul mené depuis $B$ ou depuis $C$ place donc le même $G$ aux deux tiers de ces médianes : le concours ne coûte rien. La démonstration par le parallélogramme était ingénieuse mais taillée sur mesure ; les coordonnées calculent mais masquent ; les vecteurs rendent la symétrie visible et la démonstration tient en deux lignes.

9. $G\left(\frac{1+5+3}{3}, \frac{1+2+6}{3}\right) = (3, 3)$ ; $K(4, 4)$ ; $\vect{AG} = (2, 2)$ et $\vect{AK} = (3, 3)$ : déterminant $2 \times 3 - 2 \times 3 = 0$ , vecteurs colinéaires, et en effet $\vect{AG} = \frac23\vect{AK}$ .

10. $G'\left(\frac{2 + 5 + 3}{4}, \frac{2 + 2 + 6}{4}\right) = (2.5,\ 2.5)$ : tiré de $G(3,3)$ vers le sommet alourdi $A(1,1)$ , comme il sied à un point d’équilibre.

11. $3 \times 4 - (-2)(-6) = 12 - 12 = 0$ : colinéaires ( $\vec v = -2\vec u$ ). $2 \times 9 - 5 \times 4 = -2 \neq 0$ : non colinéaires.

12. $\vect{AB} = (2, 3)$ , $\vect{AC} = (6, 9)$ : déterminant $2 \times 9 - 3 \times 6 = 0$ : les points sont alignés.

13. $\vect{OI} = \frac12(\vect{OA} + \vect{OB})$ et $\vect{OK} = \frac12(\vect{OC} + \vect{OD})$ , donc le milieu de $[IK]$ a pour vecteur position $\frac12(\vect{OI} + \vect{OK}) = \frac14(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} + \vect{OD})$ — et le calcul pour $[JL]$ donne exactement le même vecteur. Les deux bimédianes (et, par Varignon, les diagonales du parallélogramme $IJKL$ ) partagent toutes ce centre : le centre de gravité du quadrilatère.

14. $\vect{MN} = \vect{AN} - \vect{AM} = \frac13\vect{AC} - \frac13\vect{AB} = \frac13\vect{BC}$ : donc $(MN) \parallel (BC)$ et $MN = \frac13 BC$ .

15. Avec $\vect{AM} = k\,\vect{AB}$ et $\vect{AN} = k\,\vect{AC}$ : $\vect{MN} = k\,\vect{BC}$ — une seule ligne contient le théorème des milieux ( $k = \frac12$ ) et le théorème de Thalès ( $k$ quelconque) : le rapport traverse la soustraction sans une égratignure.

16. Résultante $(3, 4)$ , de norme $\sqrt{9 + 16} = 5$ km/h : le bateau file en réalité vers le nord-nord-est, le long de l’hypoténuse du triangle $3$ – $4$ – $5$ .

17. $\vec u + \vec v + \vec w = (0, 0)$ : l’anneau ne bouge pas — équilibre. Le long d’un polygone fermé $A_1 A_2 \dots A_n A_1$ , Chasles télescope la somme en $\vect{A_1 A_1} = \vec 0$ : faire le tour, c’est revenir.

18. $\vec w = -(\vec u + \vec v) = -(3, 2) = (-3, -2)$ .

19. Résultante $(1.5,\ 2)$ , de norme $\sqrt{2.25 + 4} = 2.5$ m/s. Traversée : $50$ m à $2$ m/s dans le sens de la largeur, soit $25$ s ; dérive : $1.5 \times 25 = 37.5$ m en aval.

20. Redémontrés ce week-end : le théorème des deux tiers pour le centre de gravité (question 7), le centre des bimédianes et de Varignon (question 13), Thalès et les milieux (questions 14 et 15). Ce que les flèches ne savent toujours pas faire : mesurer des angles (et donc des longueurs dans des directions quelconques) — le produit scalaire de l’an prochain est précisément l’instrument manquant.

Termes définis dans ce chapitre

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