Mathématiques du lycée · Grades 10–12

6Vecteurs

Un vecteur encode un déplacement : une direction et une longueur, indépendamment du point de départ. Les vecteurs donnent des preuves propres de faits géométriques et, une fois les coordonnées en jeu, les réduisent à de petits calculs. Ils seront un outil clé dans le Chapitre 7 et, plus tard, pour le produit scalaire dans le Chapitre 16.

6.1 Translations et vecteurs

Définition 6.1 (Vecteur)

Étant donnés deux points $A$ et $B$ , le vecteur $\vect{AB}$ représente le déplacement de $A$ vers $B$ : il a une direction (la direction de la droite $(AB)$ , avec le sens de parcours, de $A$ vers $B$ ) et une longueur (la distance $AB$ , aussi notée $\norm{\vect{AB}}$ ). Deux vecteurs sont égaux lorsqu’ils encodent le même déplacement : $\vect{AB} = \vect{CD}$ signifie qu’appliquer les deux déplacements à un point quelconque donne le même résultat.

Proposition 6.2 (Vecteurs égaux et parallélogrammes)

$\vect{AB} = \vect{CD}$ exactement lorsque $ABDC$ (dans cet ordre !) est un parallélogramme, éventuellement aplati — de façon équivalente, lorsque $[AD]$ et $[BC]$ ont le même milieu.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Vecteurs égaux AB = CD : même direction, même sens, même longueur. Le quadrilatère ABDC est un parallélogramme. — Vecteurs égaux $\vect{AB} = \vect{CD}$ : même direction, même sens, même longueur. Le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme.

Notation 6.3

Un vecteur est souvent nommé par une seule lettre, $\vec u$ ou $\vec v$ , lorsque les extrémités n’importent pas. Le vecteur nul $\vec 0 = \vect{AA}$ est le déplacement qui ne déplace rien. L’opposé de $\vect{AB}$ est $\vect{BA}$ : même longueur, sens opposé. On écrit $\vect{BA} = -\vect{AB}$ .

6.2 Addition de vecteurs

Définition 6.4 (Somme de deux vecteurs)

La somme $\vec u + \vec v$ est le déplacement obtenu en effectuant $\vec u$ puis $\vec v$ .

Théorème 6.5 (Relation de Chasles)

Pour trois points $A$ , $B$ , $C$ quelconques :

\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}.

Démonstration. Aller de $A$ à $B$ , puis de $B$ à $C$ , est un déplacement qui amène $A$ en $C$ : c’est le déplacement encodé par $\vect{AC}$ . ∎

Remarque 6.6 (Règle du parallélogramme)

Pour additionner deux vecteurs issus du même point, $\vect{AB} + \vect{AC}$ , compléter le parallélogramme $ABDC$ : la somme est la diagonale $\vect{AD}$ . En effet $\vect{AC} = \vect{BD}$ , donc $\vect{AB} + \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{BD} = \vect{AD}$ par la relation de Chasles.

Deux images de la somme : bout à bout (relation de Chasles, à gauche) et règle du parallélogramme (à droite).

Exemple 6.7 (Simplifier avec Chasles)

Simplifier $\vect{MN} + \vect{NP} + \vect{PQ}$ : enchaîner les déplacements donne $\vect{MQ}$ . Simplifier $\vect{AB} - \vect{AC}$ : réécrire la différence comme une somme avec le vecteur opposé,

\vect{AB} - \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{CA} = \vect{CA} + \vect{AB} = \vect{CB}.

6.3 Multiplier un vecteur par un nombre

Définition 6.8 (Produit par un scalaire)

Soit $\vec u$ un vecteur non nul et $k$ un nombre réel. Le vecteur $k\vec u$ a la même direction que $\vec u$ , la longueur $\abs{k} \times \norm{\vec u}$ , et le même sens que $\vec u$ si $k > 0$ , le sens opposé si $k < 0$ . Pour $k = 0$ , $0\vec u = \vec 0$ .

Définition 6.9 (Colinéarité)

Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires lorsqu’ils ont la même direction, c’est-à-dire lorsque $\vec v = k \vec u$ pour un certain réel $k$ (ou que l’un d’eux est $\vec 0$ ).

Remarque 6.10

La colinéarité est le langage vectoriel du parallélisme et de l’alignement :

les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles exactement lorsque $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ sont colinéaires ;
les points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés exactement lorsque $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ sont colinéaires.

6.4 Coordonnées de vecteurs

Définition 6.11 (Coordonnées d’un vecteur)

Dans un repère, les coordonnées du vecteur $\vect{AB}$ sont les nombres décrivant le déplacement :

\vect{AB}\,(x_B - x_A,\ y_B - y_A).

Un vecteur $\vec u\,(a, b)$ déplace tout point de $a$ unités horizontalement et $b$ unités verticalement.

Proposition 6.12 (Calculer avec les coordonnées)

Soient $\vec u\,(a, b)$ et $\vec v\,(c, d)$ , et $k \in \R$ .

$\vec u = \vec v$ exactement lorsque $a = c$ et $b = d$ ;
$\vec u + \vec v$ a pour coordonnées $(a + c,\ b + d)$ ;
$k\vec u$ a pour coordonnées $(ka,\ kb)$ ;
$\norm{\vec u} = \sqrt{a^2 + b^2}$ (repère orthonormal).

Démonstration. 1–3 reformulent, coordonnée par coordonnée, ce que font les déplacements : par exemple effectuer $\vec u$ puis $\vec v$ déplace un point horizontalement de $a$ puis de $c$ , donc de $a + c$ au total. Le point 4 est la formule de la distance du Théorème 5.4 appliquée à un segment représentant $\vec u$ . ∎

Théorème 6.13 (Critère de colinéarité)

Deux vecteurs $\vec u\,(a, b)$ et $\vec v\,(c, d)$ sont colinéaires si et seulement si

ad - bc = 0 .

Démonstration. Si $\vec v = k\vec u$ , alors $c = ka$ et $d = kb$ , donc $ad - bc = a(kb) - b(ka) = 0$ . De même si $\vec u = k \vec v$ ou si l’un des vecteurs est nul.

Réciproquement, supposons $ad - bc = 0$ avec $\vec u \neq \vec 0$ , disons $a \neq 0$ (le cas $b \neq 0$ est analogue). Poser $k = \frac{c}{a}$ ; alors $c = ka$ , et $ad = bc = b(ka)$ donne, après division par $a \neq 0$ , $d = kb$ . Donc $\vec v = k\vec u$ . ∎

Exemple 6.14

Les vecteurs $\vec u\,(3, -2)$ et $\vec v\,(-6, 4)$ sont-ils colinéaires ? Calculer $ad - bc = 3 \times 4 - (-2)\times(-6) = 12 - 12 = 0$ : oui, et en effet $\vec v = -2\vec u$ . Pour $\vec u\,(3, -2)$ et $\vec w\,(1, 5)$ : $3 \times 5 - (-2) \times 1 = 17 \neq 0$ : non colinéaires.

Méthode 6.15 (Alignement et parallélisme)

Pour prouver que trois points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés :

calculer les coordonnées de $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ;
vérifier le critère $ad - bc = 0$ du Théorème 6.13 ;
conclure : les vecteurs sont colinéaires et partagent le point $A$ , donc les trois points sont alignés.

Le même calcul avec $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ prouve que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

Exemple 6.16

Soient $A(1, 2)$ , $B(3, 5)$ et $C(7, 11)$ . Alors $\vect{AB}\,(2, 3)$ et $\vect{AC}\,(6, 9)$ , et $2 \times 9 - 3 \times 6 = 18 - 18 = 0$ : les points sont alignés (en fait $\vect{AC} = 3\vect{AB}$ ).

Points alignés : AC est un multiple scalaire de AB. — Points alignés : $\vect{AC}$ est un multiple scalaire de $\vect{AB}$ .

6.5 Exercices

Exercice 6.1 ★

Simplifier en utilisant la relation de Chasles :

\vect{AB} + \vect{BD}, \qquad \vect{KL} + \vect{LM} + \vect{MK}, \qquad \vect{AC} - \vect{BC}, \qquad \vect{AB} + \vect{CA}.

Solution

Solution de Exercice 6.1.

$\vect{AB} + \vect{BD} = \vect{AD}$ (Chasles).

$\vect{KL} + \vect{LM} + \vect{MK} = \vect{KK} = \vec 0$ .

$\vect{AC} - \vect{BC} = \vect{AC} + \vect{CB} = \vect{AB}$ .

$\vect{AB} + \vect{CA} = \vect{CA} + \vect{AB} = \vect{CB}$ .

Exercice 6.2 ★

Soient $A(2, 1)$ , $B(5, 3)$ , $C(-1, 4)$ . Calculer les coordonnées de $\vect{AB}$ , $\vect{BC}$ , $\vect{AC}$ , et vérifier sur les coordonnées que $\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}$ .

Solution

Solution de Exercice 6.2.

$\vect{AB}\,(5-2,\ 3-1) = (3, 2)$ ; $\vect{BC}\,(-1-5,\ 4-3) = (-6, 1)$ ; $\vect{AC}\,(-1-2,\ 4-1) = (-3, 3)$ . Vérification : $(3, 2) + (-6, 1) = (-3, 3)$ , coordonnée par coordonnée.

Exercice 6.3 ★

Soient $\vec u\,(2, -3)$ et $\vec v\,(-1, 4)$ . Donner les coordonnées de $\vec u + \vec v$ , $3\vec u$ , $2\vec u - \vec v$ , et calculer $\norm{\vec u}$ .

Solution

Solution de Exercice 6.3.

$\vec u + \vec v = (2 + (-1),\ -3 + 4) = (1, 1)$ .

$3\vec u = (6, -9)$ .

$2\vec u - \vec v = (4 - (-1),\ -6 - 4) = (5, -10)$ .

$\norm{\vec u} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$ .

Exercice 6.4 ★

Dans chaque cas, dire si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires :

\text{(a) } \vec u\,(4, 6),\ \vec v\,(6, 9); \qquad \text{(b) } \vec u\,(2, -5),\ \vec v\,(-4, 10); \qquad \text{(c) } \vec u\,(3, 1),\ \vec v\,(1, 3).

Solution

Solution de Exercice 6.4.

(a) $4 \times 9 - 6 \times 6 = 36 - 36 = 0$ : colinéaires ( $\vec v = \frac32 \vec u$ ).

(b) $2 \times 10 - (-5) \times (-4) = 20 - 20 = 0$ : colinéaires ( $\vec v = -2\vec u$ ).

Exercice 6.5 ★

Soient $A(0, 2)$ , $B(4, 0)$ , $C(6, 3)$ . Trouver les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme, c’est-à-dire tel que $\vect{AB} = \vect{DC}$ .

Solution

Solution de Exercice 6.5.

$\vect{AB}\,(4, -2)$ , et $\vect{DC}\,(6 - x_D,\ 3 - y_D)$ . La condition $\vect{AB} = \vect{DC}$ donne $6 - x_D = 4$ et $3 - y_D = -2$ , donc $D(2, 5)$ .

Exercice 6.6 ★★

Soient $A(-2, 1)$ , $B(1, 3)$ , $C(4, -1)$ .

Calculer les coordonnées du point $M$ tel que $\vect{AM} = \vect{AB} + \vect{AC}$ .
Quel est le quadrilatère $ABMC$ ? Justifier.

Solution

Solution de Exercice 6.6.

1. $\vect{AB}\,(3, 2)$ et $\vect{AC}\,(6, -2)$ , donc $\vect{AB} + \vect{AC} = (9, 0)$ et $M = (-2 + 9,\ 1 + 0) = (7, 1)$ .

2. Par la règle du parallélogramme, $\vect{AM} = \vect{AB} + \vect{AC}$ signifie que $ABMC$ est un parallélogramme ( $M$ est le quatrième sommet opposé à $A$ ). On peut vérifier : $\vect{AB}\,(3,2)$ et $\vect{CM}\,(7-4,\ 1-(-1)) = (3, 2)$ sont égaux.

Exercice 6.7 ★★

Soient $A(1, -1)$ , $B(4, 1)$ , $C(10, 5)$ . Les points $A$ , $B$ , $C$ sont-ils alignés ? Même question pour $A(0, 3)$ , $B(2, 2)$ , $C(8, -1)$ .

Solution

Solution de Exercice 6.7.

Premier triplet : $\vect{AB}\,(3, 2)$ , $\vect{AC}\,(9, 6)$ ; $3 \times 6 - 2 \times 9 = 0$ : alignés ( $\vect{AC} = 3\vect{AB}$ ).

Second triplet : $\vect{AB}\,(2, -1)$ , $\vect{AC}\,(8, -4)$ ; $2 \times (-4) - (-1) \times 8 = -8 + 8 = 0$ : alignés aussi ( $\vect{AC} = 4\vect{AB}$ ).

Exercice 6.8 ★★

Soient $A(1, 2)$ , $B(5, 4)$ , $C(6, 1)$ , $D(2, -1)$ . Montrer que $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, puis que $ABCD$ est un parallélogramme. Laquelle des deux vérifications implique l’autre ?

Solution

Solution de Exercice 6.8.

$\vect{AB}\,(4, 2)$ et $\vect{DC}\,(6-2,\ 1-(-1)) = (4, 2)$ : les deux vecteurs sont égaux, donc $ABCD$ est un parallélogramme, et en particulier $(AB) \parallel (CD)$ . La propriété de parallélogramme est la plus forte : elle implique le parallélisme (colinéarité des vecteurs), pas l’inverse.

Exercice 6.9 ★★

Soit $ABC$ un triangle, et soit $I$ le point défini par $\vect{AI} = \frac23 \vect{AB}$ . Avec $A(0,0)$ , $B(6, 3)$ , $C(2, 5)$ (pour que les calculs restent simples) :

calculer les coordonnées de $I$ ;
soit $J$ tel que $\vect{CJ} = \frac23\vect{CB}$ ; calculer les coordonnées de $J$ ;
montrer que $(IJ)$ est parallèle à $(AC)$ .

Solution

Solution de Exercice 6.9.

1. $\vect{AB}\,(6, 3)$ , donc $\vect{AI} = \frac23\vect{AB} = (4, 2)$ et $I(4, 2)$ .

2. $\vect{CB}\,(6-2,\ 3-5) = (4, -2)$ , donc $\vect{CJ} = \frac23\vect{CB} = \left(\frac83, -\frac43\right)$ et $J\left(2 + \frac83,\ 5 - \frac43\right) = \left(\frac{14}{3}, \frac{11}{3}\right)$ .

3. $\vect{IJ}\,\left(\frac{14}{3} - 4,\ \frac{11}{3} - 2\right) = \left(\frac23, \frac53\right)$ et $\vect{AC}\,(2, 5)$ . Critère de colinéarité :

\frac23 \times 5 - \frac53 \times 2 = \frac{10}{3} - \frac{10}{3} = 0 :

les vecteurs sont colinéaires, donc $(IJ)$ est parallèle à $(AC)$ . (Les deux points $I$ et $J$ sont situés aux deux tiers du côté vers $B$ : le petit triangle $IBJ$ est une réduction de $ABC$ .)

Exercice 6.10 ★★★

Soit $ABCD$ un quadrilatère quelconque, et soient $I$ , $J$ , $K$ , $L$ les milieux de $[AB]$ , $[BC]$ , $[CD]$ , $[DA]$ . En utilisant les coordonnées $A(x_A, y_A)$ , etc., montrer que $\vect{IJ} = \vect{LK}$ , et conclure que les milieux des côtés de n’importe quel quadrilatère forment un parallélogramme.

Solution

Solution de Exercice 6.10.

Les milieux sont

I\left(\tfrac{x_A + x_B}{2}, \tfrac{y_A + y_B}{2}\right), \quad J\left(\tfrac{x_B + x_C}{2}, \tfrac{y_B + y_C}{2}\right), \quad K\left(\tfrac{x_C + x_D}{2}, \tfrac{y_C + y_D}{2}\right), \quad L\left(\tfrac{x_D + x_A}{2}, \tfrac{y_D + y_A}{2}\right).

Premières coordonnées des deux vecteurs :

x_J - x_I = \frac{x_B + x_C}{2} - \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{x_C - x_A}{2}, \qquad x_K - x_L = \frac{x_C + x_D}{2} - \frac{x_D + x_A}{2} = \frac{x_C - x_A}{2},

et le même calcul fonctionne pour les secondes coordonnées. Donc $\vect{IJ} = \vect{LK}$ (tous deux égaux à $\frac12\vect{AC}$ ), et $IJKL$ est un parallélogramme, quelle que soit l’allure du quadrilatère $ABCD$ .