Mathématiques du lycée · Grades 10–12

13Suites : un premier cours

Une suite est une liste de nombres produits par une règle : les soldes successifs d’un compte d’épargne, les tailles d’une population année après année. Ce chapitre étudie les deux familles qui dominent les applications — les suites arithmétiques, qui croissent par pas égaux, et les suites géométriques, qui croissent par rapports égaux. La théorie rigoureuse des limites est développée dans le Chapitre 20.

13.1 Définir une suite

Définition 13.1 (Suite)

Une suite $(u_n)$ associe à chaque entier $n \geq 0$ (ou $n \geq 1$ ) un nombre réel $u_n$ , son terme d’indice $n$ . Une suite peut être donnée

explicitement, par une formule de $u_n$ en fonction de $n$ : par exemple $u_n = n^2 + 1$ ;
par récurrence, par son premier terme et une règle pour passer de chaque terme au suivant : par exemple $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = 2u_n - 1$ .

Exemple 13.2

Pour $u_n = n^2 + 1$ : $u_0 = 1$ , $u_1 = 2$ , $u_2 = 5$ , et $u_{10} = 101$ directement. Pour $u_0 = 3$ , $u_{n+1} = 2u_n - 1$ : $u_1 = 5$ , $u_2 = 9$ , $u_3 = 17$ — chaque terme a besoin du précédent ; atteindre $u_{10}$ prend dix étapes (ou une formule générale, voir l’Exercice 13.11).

13.2 Suites arithmétiques

Définition 13.3 (Suite arithmétique)

Une suite est arithmétique de raison $d$ si chaque terme s’obtient du précédent en ajoutant $d$ :

u_{n+1} = u_n + d \quad \text{pour tout } n.

De façon équivalente : la différence $u_{n+1} - u_n$ est constante, égale à $d$ .

Théorème 13.4 (Terme général)

Si $(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $d$ , alors

u_n = u_0 + n\,d \quad \text{pour tout } n \geq 0, \qquad\text{et plus généralement } u_n = u_p + (n - p)\,d .

Démonstration. Pour aller de $u_0$ à $u_n$ , la règle « ajouter $d$ » est appliquée $n$ fois : une étape donne $u_1 = u_0 + d$ , deux étapes donnent $u_2 = u_0 + 2d$ , et après $n$ étapes chaque application a contribué un $d$ , donc $u_n = u_0 + nd$ . (Ce « et ainsi de suite » est rendu rigoureux par récurrence dans le Chapitre 20.) La formule générale suit en comptant les $n - p$ étapes de $u_p$ à $u_n$ . ∎

Théorème 13.5 (Somme des entiers consécutifs)

Pour tout entier $n \geq 1$ :

1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}.

Plus généralement, une somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique égale

(\text{nombre de termes}) \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}.

Démonstration. Écrire la somme $S$ deux fois, la seconde à l’envers, et additionner colonne par colonne :

\begin{array}{ccccccccc} S & = & 1 & + & 2 & + & \dots & + & n\\ S & = & n & + & (n-1) & + & \dots & + & 1\\ \hline 2S & = & (n+1) & + & (n+1) & + & \dots & + & (n+1) \end{array}

Il y a $n$ colonnes, chacune sommant à $n + 1$ , donc $2S = n(n+1)$ . Pour une suite arithmétique générale le même appariement fonctionne : premier $+$ dernier $=$ second $+$ avant-dernier $= \dots$ , car avancer d’un pas à gauche ( $+d$ ) est compensé par reculer d’un pas à droite ( $-d$ ). ∎

Exemple 13.6

$1 + 2 + \dots + 100 = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$ . La somme des impairs $1 + 3 + \dots + 99$ ( $50$ termes) est $50 \times \frac{1 + 99}{2} = 2500$ .

13.3 Suites géométriques

Définition 13.7 (Suite géométrique)

Une suite est géométrique de raison $q \neq 0$ si chaque terme s’obtient du précédent en multipliant par $q$ :

u_{n+1} = q\,u_n \quad \text{pour tout } n.

De façon équivalente, lorsqu’aucun terme ne s’annule : le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant, égal à $q$ .

Théorème 13.8 (Terme général)

Si $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ , alors

u_n = u_0\, q^n \quad \text{pour tout } n \geq 0, \qquad\text{et plus généralement } u_n = u_p\, q^{\,n-p} .

Démonstration. Même comptage d’étapes que dans le Théorème 13.4 : de $u_0$ à $u_n$ , la règle « multiplier par $q$ » est appliquée $n$ fois, contribuant un facteur $q^n$ . ∎

Théorème 13.9 (Somme géométrique)

Pour tout réel $q \neq 1$ et tout entier $n \geq 0$ :

1 + q + q^2 + \dots + q^n = \frac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}.

Démonstration. Soit $S = 1 + q + \dots + q^n$ . Multiplier par $q$ : $qS = q + q^2 + \dots + q^{n+1}$ . Soustraire :

S - qS = \bigl(1 + q + \dots + q^n\bigr) - \bigl(q + q^2 + \dots + q^{n+1}\bigr) = 1 - q^{\,n+1},

car chaque terme intermédiaire apparaît une fois dans chaque somme et s’annule. Donc $(1 - q)S = 1 - q^{\,n+1}$ , et diviser par $1 - q \neq 0$ donne la formule. ∎

Exemple 13.10

$1 + 2 + 4 + \dots + 2^{10} = \frac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = 2^{11} - 1 = 2047$ : doubler des grains de riz sur les cases d’un échiquier submerge n’importe quel grenier bien avant la $64$ -ième case, où le total est $2^{64} - 1 \approx 1.8 \times 10^{19}$ .

Pas égaux contre rapports égaux : une suite arithmétique (u_n+1 = u_n + 0.9, bleu) suit une droite, une suite géométrique (u_n+1 = 1.2\,u_n, rouge) suit une courbe exponentielle qui finit par la dépasser. — Pas égaux contre rapports égaux : une suite arithmétique ( $u_{n+1} = u_n + 0.9$ , bleu) suit une droite, une suite géométrique ( $u_{n+1} = 1.2\,u_n$ , rouge) suit une courbe exponentielle qui finit par la dépasser.

Méthode 13.11 (Reconnaître le type d’une suite)

Calculer $u_{n+1} - u_n$ et simplifier. Si le résultat est une constante $d$ , la suite est arithmétique. Sinon calculer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (termes non nuls) et simplifier : une constante $q$ signifie géométrique. Si ni l’un ni l’autre n’est constant, la suite n’est d’aucun des deux types — ne jamais conclure des seuls premiers termes.

Exemple 13.12

Pour $u_n = 3 \times 5^n$ : $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3 \times 5^{n+1}}{3 \times 5^n} = 5$ pour tout $n$ : géométrique de raison $5$ . Pour $u_n = n^2$ : $u_1 - u_0 = 1$ mais $u_2 - u_1 = 3$ , et $\frac{u_1}{u_0}$ n’est même pas défini — ni arithmétique ni géométrique.

13.4 Monotonie

Définition 13.13 (Suite monotone)

Une suite $(u_n)$ est croissante si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$ , et décroissante si $u_{n+1} \leq u_n$ pour tout $n$ .

Méthode 13.14 (Étudier la monotonie)

Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ . Pour des suites à termes positifs, on peut à la place comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ .

Exemple 13.15

Une suite arithmétique est croissante lorsque $d \geq 0$ ( $u_{n+1} - u_n = d$ ), décroissante lorsque $d \leq 0$ . Une suite géométrique avec $u_0 > 0$ et $q > 1$ est croissante : $u_{n+1} - u_n = u_0 q^n (q - 1) > 0$ ; avec $u_0 > 0$ et $0 < q < 1$ elle est décroissante.

13.5 Comportement à long terme, informellement

Que devient $u_n$ lorsque $n$ devient très grand ? Pour une suite arithmétique avec $d > 0$ , les termes $u_0 + nd$ dépassent tout nombre fixé éventuellement. Pour une suite géométrique avec $0 < q < 1$ , les termes $u_0 q^n$ se contractent vers $0$ : multiplier à répétition par $0.9$ , disons, érode toute valeur de départ. Et pour $q > 1$ les termes explosent, comme dans l’Exemple 13.10.

Remarque 13.16

Ces affirmations peuvent être rendues parfaitement précises — « les termes finissent par rester à toute distance donnée de $0$ » — et prouvées. C’est la théorie des limites, le thème d’ouverture du Chapitre 20.

13.6 Exercices

Exercice 13.1 ★

Pour chaque suite, calculer $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ :

u_n = \frac{n}{n+1}; \qquad u_0 = 5,\ u_{n+1} = 3u_n - 2; \qquad u_n = (-1)^n\,n .

Solution

Solution de Exercice 13.1.

$u_n = \frac{n}{n+1}$ : $u_1 = \frac12$ , $u_2 = \frac23$ , $u_3 = \frac34$ .

$u_0 = 5$ , $u_{n+1} = 3u_n - 2$ : $u_1 = 13$ , $u_2 = 37$ , $u_3 = 109$ .

$u_n = (-1)^n n$ : $u_1 = -1$ , $u_2 = 2$ , $u_3 = -3$ .

Exercice 13.2 ★

$(u_n)$ est arithmétique avec $u_0 = 7$ et $d = -3$ . Calculer $u_{10}$ et $u_{25}$ . $(v_n)$ est arithmétique avec $v_3 = 11$ et $v_8 = 26$ . Trouver la raison et $v_0$ .

Solution

Solution de Exercice 13.2.

$u_{10} = 7 + 10 \times (-3) = -23$ et $u_{25} = 7 - 75 = -68$ .

Pour $(v_n)$ : $v_8 = v_3 + 5d$ donne $26 = 11 + 5d$ , donc $d = 3$ ; puis $v_0 = v_3 - 3d = 11 - 9 = 2$ .

Exercice 13.3 ★

$(u_n)$ est géométrique avec $u_0 = 5$ et $q = 2$ . Calculer $u_8$ . $(v_n)$ est géométrique à termes positifs, $v_2 = 12$ et $v_4 = 48$ . Trouver la raison et $v_0$ .

Solution

Solution de Exercice 13.3.

$u_8 = 5 \times 2^8 = 1280$ .

Pour $(v_n)$ : $v_4 = v_2\, q^2$ donne $48 = 12 q^2$ , donc $q^2 = 4$ et $q = 2$ (les termes sont positifs). Puis $v_0 = \frac{v_2}{q^2} = \frac{12}{4} = 3$ .

Exercice 13.4 ★

Calculer

1 + 2 + 3 + \dots + 500, \qquad 4 + 7 + 10 + \dots + 61, \qquad 1 + \frac12 + \frac14 + \dots + \frac{1}{2^{10}} .

Solution

Solution de Exercice 13.4.

$1 + \dots + 500 = \frac{500 \times 501}{2} = 125\,250$ .

$4 + 7 + \dots + 61$ est arithmétique de raison $3$ avec $\frac{61 - 4}{3} + 1 = 20$ termes : somme $20 \times \frac{4 + 61}{2} = 650$ .

$1 + \frac12 + \dots + \frac{1}{2^{10}}$ est géométrique de raison $\frac12$ avec $11$ termes : $\frac{1 - (1/2)^{11}}{1 - 1/2} = 2\left(1 - \frac{1}{2048}\right) = \frac{2047}{1024}$ .

Exercice 13.5 ★

Déterminer si chaque suite est arithmétique, géométrique, ou ni l’une ni l’autre :

u_n = 4n - 1; \qquad v_n = \frac{2^n}{3^{n+1}}; \qquad w_n = n^2 + n .

Solution

Solution de Exercice 13.5.

$u_{n+1} - u_n = 4(n+1) - 1 - 4n + 1 = 4$ : arithmétique de raison $4$ .

$\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{2^{n+1}}{3^{n+2}} \cdot \frac{3^{n+1}}{2^n} = \frac23$ : géométrique de raison $\frac23$ .

$w_0 = 0$ , $w_1 = 2$ , $w_2 = 6$ : les différences $2$ et $4$ diffèrent, donc non arithmétique ; $\frac{w_1}{w_0}$ n’est même pas défini, et les rapports $\frac{w_2}{w_1} = 3 \neq \frac{w_3}{w_2} = 2$ : ni l’un ni l’autre.

Exercice 13.6 ★★

Un théâtre a $20$ rangées : $16$ sièges dans la première, et chaque rangée a $2$ sièges de plus que la précédente. Combien de sièges dans la dernière rangée ? Dans tout le théâtre ?

Solution

Solution de Exercice 13.6.

Les tailles des rangées sont arithmétiques : premier terme $16$ , raison $2$ . La dernière ( $20$ -ième) rangée a $16 + 19 \times 2 = 54$ sièges. Le total est $20 \times \frac{16 + 54}{2} = 700$ sièges.

Exercice 13.7 ★★

Une population de bactéries double toutes les heures ; à midi il y en a $500$ . Combien y en a-t-il à 20 h ? Au bout de combien d’heures complètes la population dépasse-t-elle d’abord un million ? (Résoudre en essayant des puissances successives de $2$ .)

Solution

Solution de Exercice 13.7.

Après $n$ heures la population est $500 \times 2^n$ . À 20 h, $n = 8$ : $500 \times 256 = 128\,000$ bactéries. Il faut $500 \times 2^n > 10^6$ , c’est-à-dire $2^n > 2000$ : comme $2^{10} = 1024$ et $2^{11} = 2048$ , la population dépasse d’abord un million après $11$ heures complètes, à 23 h.

Exercice 13.8 ★★

Chaque mois, un épargnant dépose $100$ euros sur un compte qui rapporte $0.2\,\%$ d’intérêts par mois sur le solde existant (les intérêts sont crédités juste avant le dépôt). Soit $c_n$ le solde juste après le $n$ -ième dépôt, donc $c_1 = 100$ et $c_{n+1} = 1.002\,c_n + 100$ . Calculer $c_2$ et $c_3$ , et expliquer pourquoi $(c_n)$ n’est ni arithmétique ni géométrique.

Solution

Solution de Exercice 13.8.

$c_2 = 1.002 \times 100 + 100 = 200.20$ et $c_3 = 1.002 \times 200.20 + 100 \approx 300.60$ . Les différences $c_2 - c_1 = 100.20$ et $c_3 - c_2 \approx 100.40$ ne sont pas égales, donc $(c_n)$ n’est pas arithmétique ; les rapports $\frac{c_2}{c_1} = 2.002$ et $\frac{c_3}{c_2} \approx 1.50$ ne sont pas égaux non plus, donc ce n’est pas géométrique. (Les récurrences mixtes « multiplier puis ajouter » comme celle-ci se résolvent par l’astuce de suite auxiliaire de l’Exercice 13.11.)

Exercice 13.9 ★★

Étudier la monotonie des suites

u_n = n^2 - 8n \ (n \geq 0), \qquad v_n = \frac{3^n}{n!}\ (n \geq 1),

où $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$ . (Pour $(v_n)$ , comparer $\frac{v_{n+1}}{v_n}$ à $1$ .)

Solution

Solution de Exercice 13.9.

$u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 8(n+1) - n^2 + 8n = 2n - 7$ : négatif pour $n \leq 3$ , positif pour $n \geq 4$ . Donc $(u_n)$ décroît jusqu’à $u_4 = 16 - 32 = -16$ , puis croît : elle n’est pas monotone.

$(v_n)$ a des termes positifs et

\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{3^n} = \frac{3}{n+1},

qui est $> 1$ pour $n \leq 1$ , $= 1$ pour $n = 2$ , et $< 1$ pour $n \geq 3$ : la suite croît jusqu’à $v_2 = v_3 = \frac92$ , puis décroît.

Exercice 13.10 ★★

La somme des $n$ premiers termes d’une suite arithmétique avec $u_0 = 3$ et $d = 4$ égale $903$ . Trouver $n$ . (Mettre en place une équation du second degré en $n$ et utiliser le Chapitre 10.)

Solution

Solution de Exercice 13.10.

Les $n$ premiers termes sont $u_0, \dots, u_{n-1}$ , avec $u_0 = 3$ et $u_{n-1} = 3 + 4(n-1) = 4n - 1$ . Leur somme est

n \times \frac{3 + (4n-1)}{2} = n(2n + 1) = 903,

donc $2n^2 + n - 903 = 0$ . Ici $\Delta = 1 + 4 \times 2 \times 903 = 7225 = 85^2$ , et $n = \frac{-1 + 85}{4} = 21$ (la racine négative est rejetée). Vérification : $21 \times 43 = 903$ .

Exercice 13.11 ★★★

Soit $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = 2u_n - 1$ .

Calculer $u_1, u_2, u_3$ et conjecturer une formule pour $u_n$ .
Soit $v_n = u_n - 1$ . Montrer que $(v_n)$ est géométrique, donner sa raison et son premier terme.
En déduire une formule explicite pour $u_n$ et vérifier la conjecture.

Solution

Solution de Exercice 13.11.

1. $u_1 = 5$ , $u_2 = 9$ , $u_3 = 17$ : chaque terme est un de plus que $4, 8, 16$ , ce qui suggère $u_n = 2^{n+1} + 1$ .

2. Avec $v_n = u_n - 1$ :

v_{n+1} = u_{n+1} - 1 = 2u_n - 1 - 1 = 2(u_n - 1) = 2v_n,

donc $(v_n)$ est géométrique de raison $2$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 1 = 2$ .

3. D’où $v_n = 2 \times 2^n = 2^{n+1}$ et $u_n = v_n + 1 = 2^{n+1} + 1$ , confirmant la conjecture. (Le nombre $1$ soustrait dans $v_n$ est le point fixe de $x \mapsto 2x - 1$ ; la même idée réapparaît pour $u_{n+1} = au_n + b$ dans le Chapitre 20.)

13.7 Problème : la tour de Brahma et les lapins de Fibonacci

Problème 13.1

Devoir du week-end — deux récurrences légendaires : la tour qui met fin au monde, la suite qui croît comme l’or, et l’astuce de la suite auxiliaire qui dompte les emprunts

Deux suites règnent sur le folklore mathématique. L’une compte les déplacements de la tour de Brahma — soixante-quatre disques d’or dont le transfert, dit la légende, mettra fin au monde. L’autre compte les lapins de Fibonacci et cache le nombre d’or. Ni l’une ni l’autre n’est arithmétique, ni l’une ni l’autre n’est géométrique — et toutes deux cèdent aux armes de ce chapitre : les récurrences, les sommes géométriques (Théorème 13.9) et l’astuce de la suite auxiliaire de l’Exercice 13.11, qui calcule aussi votre crédit immobilier.

Partie I — La tour de Brahma. Le casse-tête : $n$ disques de tailles décroissantes sont empilés sur la tige A ; il s’agit de transporter toute la pile sur la tige C, un disque à la fois, sans jamais poser un disque plus grand sur un plus petit (la tige B peut servir d’appoint). On note $h_n$ le nombre minimal de déplacements.

Jouer (avec des pièces de monnaie) et relever $h_1$ , $h_2$ , $h_3$ .
Expliquer la stratégie qui justifie la récurrence $h_{n+1} = 2h_n + 1$ : que doit-il se passer avant, puis après le déplacement du plus grand disque ?
Résoudre la récurrence par l’astuce de l’Exercice 13.11 : poser $v_n = h_n + 1$ , montrer que $(v_n)$ est géométrique, et conclure $h_n = 2^n - 1$ .
La tour de la légende compte $64$ disques, et les moines déplacent un disque par seconde. En utilisant $2^{10} = 1024 \approx 10^3$ , estimer la durée du transfert en années (une année vaut environ $3 \times 10^7$ secondes ; comparer avec l’Exemple 13.10, le même géant dans une autre histoire). Faut-il s’inquiéter ?
Pourquoi aucune stratégie ne peut-elle faire mieux que $2^n - 1$ déplacements ? Montrer que toute solution vérifie $h_{n+1} \geq 2 h_n + 1$ : que doit-il être vrai des $n$ disques supérieurs juste avant, puis juste après le déplacement du disque du bas ?

Partie II — Fibonacci. On pose $F_1 = F_2 = 1$ et $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ (chaque terme est la somme des deux précédents — la règle du décompte des rythmes du volume précédent, ici sous son nom européen).

Écrire $F_1$ jusqu’à $F_{12}$ .
Montrer que $(F_n)$ n’est ni arithmétique ni géométrique, mais qu’elle est strictement croissante à partir de $n = 2$ (Méthode 13.14 et la récurrence).
Démontrer l’identité des sommes

$F_1 + F_2 + \dots + F_n = F_{n+2} - 1$

par télescopage : écrire chaque $F_k$ sous la forme $F_{k+2} - F_{k+1}$ et regarder la somme s’effondrer. La vérifier pour $n = 6$ .
Démontrer l’identité des carrés $F_1^2 + F_2^2 + \dots + F_n^2 = F_n F_{n+1}$ , en télescopant à l’aide de $F_k F_{k+1} - F_{k-1} F_k = F_k^2$ . Vérifier pour $n = 4$ . (Image : des carrés de côtés $1, 1, 2, 3, 5, \dots$ pavent un rectangle — le squelette de la célèbre spirale de Fibonacci.)
L’identité de Cassini affirme que $F_{n+1} F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$ . La vérifier pour $n = 4, 5, 6$ — et y reconnaître le moteur du tour du carré évanoui joué dans le problème des aires du volume précédent.
Déduire de la récurrence que $F_{n+2} \geq 2 F_n$ : Fibonacci double au moins tous les deux pas — elle croît au moins aussi vite qu’une suite géométrique de raison $\sqrt2$ .
Calculer les rapports $r_n = \frac{F_{n+1}}{F_n}$ pour $n = 3$ à $10$ (trois décimales). En admettant qu’ils se stabilisent sur une limite $L$ , passer la relation $r_{n+1} = 1 + \frac{1}{r_n}$ à la limite et résoudre : quel nombre du Problème 2.1 les lapins vénèrent-ils ?

Partie III — L’astuce de la suite auxiliaire, à la banque.

Généraliser l’Exercice 13.11 : pour $u_{n+1} = a\,u_n + b$ avec $a \neq 1$ , poser $\ell = \frac{b}{1 - a}$ (le point fixe). Montrer que $v_n = u_n - \ell$ est géométrique de raison $a$ , et conclure $u_n = a^n (u_0 - \ell) + \ell$ .
Un emprunt : $10\,000$ euros à $1\,\%$ d’intérêt mensuel, remboursé $300$ euros par mois, si bien que la dette obéit à $d_{n+1} = 1.01\,d_n - 300$ . Appliquer la question 13 (le point fixe d’abord !) pour obtenir une formule explicite de $d_n$ .
À la calculatrice, déterminer le premier mois où la dette est éteinte, et le montant total remboursé. Combien l’emprunt lui-même a-t-il coûté ?
Une ville de $50\,000$ habitants croît de $2\,\%$ par an et accueille en outre $1\,000$ nouveaux venus : $p_{n+1} = 1.02\,p_n + 1000$ . Donner la formule explicite et la population au bout de $10$ ans.

Partie IV — Les deux familles royales.

Calculer $1 + 2 + 3 + \dots + 1000$ (Théorème 13.5 — la somme du petit Gauss du volume précédent, désormais officielle), puis $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{19}$ (Théorème 13.9).
Calculer la somme de la suite arithmétique $7, 12, 17, \dots, 502$ (combien de termes ?).
Plan d’épargne : $100$ euros déposés chaque mois, rapportant $0.5\,\%$ par mois ; après le $n$ -ième dépôt, le solde vaut $100\left(1.005^{n-1} + \dots + 1.005 + 1\right)$ . Calculer le solde après $5$ ans ( $n = 60$ ).
Pour finir — la trousse du dompteur de suites : description explicite contre description par récurrence ; les deux familles royales et leurs formules de somme ; la suite auxiliaire qui transforme les récurrences affines en récurrences géométriques ; et Fibonacci, premier citoyen hors des deux familles, domptée aujourd’hui par des identités et attendant les matrices de l’an prochain et les limites pour être capturée tout à fait. Une phrase pour chacun.

Solution

Solution de Problème 13.1.

1. $h_1 = 1$ , $h_2 = 3$ , $h_3 = 7$ .

2. Pour déplacer le plus grand disque, les $n$ disques posés dessus doivent d’abord migrer sur la tige libre ( $h_n$ déplacements) ; le grand disque traverse ( $1$ déplacement) ; les $n$ disques doivent ensuite remonter par-dessus lui ( $h_n$ déplacements) : $h_{n+1} = 2h_n + 1$ .

3. $v_{n+1} = h_{n+1} + 1 = 2h_n + 2 = 2v_n$ : la suite est géométrique de raison $2$ avec $v_1 = 2$ , donc $v_n = 2^n$ et $h_n = 2^n - 1$ .

4. $2^{64} - 1 \approx 1.8 \times 10^{19}$ secondes ; en divisant par $3 \times 10^7$ secondes par an, on trouve environ $6 \times 10^{11}$ ans — six cents milliards d’années, quarante fois l’âge de l’univers. Les moines peuvent prendre des pauses café.

5. Dans toute solution licite, considérons le premier déplacement du disque du bas : à cet instant, les $n$ autres disques doivent tous se trouver sur l’unique tige restante (il a fallu au moins $h_n$ déplacements pour les y amener), et après le dernier déplacement du disque du bas ils doivent tous revenir par-dessus lui (au moins $h_n$ de plus) : toute solution exige donc au moins $2h_n + 1$ déplacements. La récurrence est un plancher autant qu’un plafond : $2^n - 1$ est optimal.

6. $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144$ .

7. Pas arithmétique ( $2 - 1 = 1$ mais $3 - 2 = 1$ et $5 - 3 = 2$ : les différences changent) ; pas géométrique ( $\frac21 = 2$ mais $\frac32 = 1.5$ ). Croissante : pour $n \geq 2$ , $F_{n+1} - F_n = F_{n-1} > 0$ .

8. $F_k = F_{k+2} - F_{k+1}$ , donc

\sum_{k=1}^{n} F_k = (F_3 - F_2) + (F_4 - F_3) + \dots + (F_{n+2} - F_{n+1}) = F_{n+2} - F_2 = F_{n+2} - 1 .

Pour $n = 6$ : $1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 = F_8 - 1 = 21 - 1$ .

9. $F_k F_{k+1} - F_{k-1} F_k = F_k (F_{k+1} - F_{k-1}) = F_k \cdot F_k = F_k^2$ ; la somme télescope en $F_n F_{n+1} - F_1 F_0$ (avec $F_0 = 0$ ) : la somme des carrés vaut $F_n F_{n+1}$ . Pour $n = 4$ : $1 + 1 + 4 + 9 = 15 = F_4 F_5 = 3 \times 5$ .

10. $F_5 F_3 - F_4^2 = 5 \times 2 - 9 = 1$ ; $F_6 F_4 - F_5^2 = 8 \times 3 - 25 = -1$ ; $F_7 F_5 - F_6^2 = 13 \times 5 - 64 = 1$ : alternance de $\pm 1$ . Cet écart d’une unité entre $F_{n+1} F_{n-1}$ et $F_n^2$ est exactement l’unité d’aire gagnée ou perdue par le magicien : découper un carré $F_n \times F_n$ en pièces réassemblées en un rectangle $F_{n+1} \times F_{n-1}$ doit créer ou avaler une unité — la mince fente.

11. $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n \geq F_n + F_n = 2F_n$ (la suite est croissante) : au moins un doublement tous les deux indices — une croissance au moins géométrique de raison $\sqrt2$ par indice.

12. $1.5$ ; $1.667$ ; $1.6$ ; $1.625$ ; $1.615$ ; $1.619$ ; $1.618$ ; $1.618$ . Si $r_n \to L$ : en divisant $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ par $F_{n+1}$ on obtient $r_{n+1} = 1 + \frac{1}{r_n}$ , donc $L = 1 + \frac1L$ , c’est-à-dire $L^2 = L + 1$ : $L = \varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2}$ , le nombre d’or du Problème 2.1. Les lapins se multiplient en or.

13. $v_{n+1} = u_{n+1} - \ell = a u_n + b - \ell$ ; comme $\ell = a\ell + b$ , cela vaut $a(u_n - \ell) = a v_n$ : suite géométrique de raison $a$ . D’où $v_n = a^n v_0$ et $u_n = a^n (u_0 - \ell) + \ell$ .

14. Point fixe : $\ell = 1.01\ell - 300$ donne $\ell = 30\,000$ . Donc $d_n = 1.01^n (10\,000 - 30\,000) + 30\,000 = 30\,000 - 20\,000 \times 1.01^n$ .

15. $d_n \leq 0$ exige $1.01^n \geq 1.5$ : $1.01^{40} \approx 1.489$ , $1.01^{41} \approx 1.504$ : c’est la $41$ -ième mensualité qui éteint la dette (et elle est un peu inférieure à $300$ ). Total remboursé : un peu moins de $41 \times 300 = 12\,300$ euros — les $10\,000$ empruntés ont coûté environ $2\,300$ euros d’intérêts.

16. Point fixe $\ell = \frac{1000}{1 - 1.02} = -50\,000$ , donc $p_n = 1.02^n \times 100\,000 - 50\,000$ . Au bout de $10$ ans : $1.02^{10} \approx 1.219$ , d’où $p_{10} \approx 71\,900$ habitants.

17. $\frac{1000 \times 1001}{2} = 500\,500$ ; et $2^{20} - 1 = 1\,048\,575$ .

18. De $7$ à $502$ par pas de $5$ : $\frac{502 - 7}{5} + 1 = 100$ termes ; somme $= 100 \times \frac{7 + 502}{2} = 25\,450$ .

19. Solde $= 100 \times \frac{1.005^{60} - 1} {1.005 - 1} \approx 100 \times \frac{0.3489}{0.005} \approx 6\,977$ euros — dont $6\,000$ déposés et environ $977$ gagnés : les sommes géométriques sont la langue maternelle de la banque.

20. Les formules explicites répondent instantanément à « que vaut $u_{1000}$ ? » ; les récurrences décrivent la façon dont les systèmes évoluent réellement — tout l’art consiste à convertir les secondes en premières. Les suites arithmétiques ajoutent, les géométriques multiplient, et chaque famille possède sa formule de somme (l’appariement de Gauss ; l’astuce du doublement). L’astuce du point fixe et de la suite auxiliaire convertit toute récurrence affine en récurrence géométrique — emprunts, populations et tour y ont tous cédé. Fibonacci n’obéit à aucune des deux familles, et pourtant des identités télescopiques ont capturé ses sommes et ses carrés ; son portrait complet (une formule exacte, la limite dorée) attend des outils plus puissants.

Termes définis dans ce chapitre

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