Mathématiques du lycée · Grades 10–12

10Fonctions et équations du second degré

Les fonctions du second degré sont les fonctions les plus simples après les linéaires, et les premières dont les graphiques sont véritablement courbes. Ce chapitre développe la boîte à outils complète pour elles : la forme canonique, le discriminant, le signe d’un trinôme, et la géométrie de la parabole.

10.1 La forme canonique

Définition 10.1 (Fonction du second degré)

Une fonction du second degré est une fonction de la forme

f(x) = ax^2 + bx + c, \qquad a \neq 0,

où $a$ , $b$ , $c$ sont des nombres réels. L’expression $ax^2 + bx + c$ est aussi appelée un trinôme du second degré.

Théorème 10.2 (Forme canonique)

Toute fonction du second degré peut s’écrire d’exactement une façon comme

f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta, \qquad\text{où } \alpha = -\frac{b}{2a} \text{ et } \beta = f(\alpha).

C’est la forme canonique de $f$ .

Démonstration. On complète le carré. Comme $a \neq 0$ , factoriser $a$ dans les deux premiers termes :

ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c .

Or $x^2 + \frac{b}{a}x$ est le début du carré $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \frac ba x + \frac{b^2}{4a^2}$ , donc $x^2 + \frac{b}{a}x = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}$ . En substituant :

f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = a\bigl(x - \alpha\bigr)^2 + \beta,

avec $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = c - \frac{b^2}{4a}$ . Évaluer en $x = \alpha$ annule le terme au carré, donc $\beta = f(\alpha)$ . Unicité : développer $a(x-\alpha)^2 + \beta$ et identifier les coefficients de $x$ force $\alpha = -\frac{b}{2a}$ , puis $\beta$ est déterminé. ∎

Exemple 10.3

Soit $f(x) = 2x^2 - 8x + 3$ . Alors $\alpha = -\frac{-8}{2 \times 2} = 2$ et $\beta = f(2) = 8 - 16 + 3 = -5$ , donc

f(x) = 2(x - 2)^2 - 5 .

Vérification en développant : $2(x^2 - 4x + 4) - 5 = 2x^2 - 8x + 8 - 5 = 2x^2 - 8x + 3$ .

Proposition 10.4 (Extremum et variations)

Soit $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ .

Si $a > 0$ , alors $f$ est décroissante sur $\intoc{-\infty}{\alpha}$ et croissante sur $\intco{\alpha}{+\infty}$ : $f$ a un minimum $\beta$ , atteint en $x = \alpha$ .
Si $a < 0$ , les variations sont inversées : $f$ a un maximum $\beta$ en $x = \alpha$ .

Démonstration. Supposons $a > 0$ et soit $\alpha \leq u < v$ . Alors

f(v) - f(u) = a\bigl((v-\alpha)^2 - (u-\alpha)^2\bigr) = a\,(v - u)\,\bigl((v-\alpha) + (u-\alpha)\bigr).

Chaque facteur est positif : $a > 0$ , $v - u > 0$ , et $(v-\alpha) + (u-\alpha) > 0$ car $v > \alpha$ et $u \geq \alpha$ . Donc $f(v) > f(u)$ : $f$ est croissante sur $\intco{\alpha}{+\infty}$ . Pour $u < v \leq \alpha$ le dernier facteur est négatif, donc $f(v) < f(u)$ : $f$ est décroissante là. Enfin $f(x) - f(\alpha) = a(x-\alpha)^2 \geq 0$ pour tout $x$ , donc $\beta = f(\alpha)$ est le minimum. Le cas $a < 0$ s’obtient en appliquant ce qui précède à $-f$ . ∎

Exemple 10.5

Un fermier a $100$ mètres de clôture pour enfermer un champ rectangulaire contre un mur droit (pas de clôture le long du mur). Si $x$ est la largeur, l’aire enclose est $A(x) = x(100 - 2x) = -2x^2 + 100x$ . Ici $\alpha = -\frac{100}{2\times(-2)} = 25$ et $A(25) = 25 \times 50 = 1250$ : l’aire est maximale pour une largeur de $25$ m, donnant $1250$ m $^2$ .

10.2 Racines et factorisation

Définition 10.6 (Racine, discriminant)

Une racine du trinôme $ax^2+bx+c$ est une solution de l’équation $ax^2 + bx + c = 0$ . Le discriminant du trinôme est le nombre

\Delta = b^2 - 4ac .

Théorème 10.7 (Résoudre $ax^2+bx+c=0$ )

Si $\Delta > 0$ , l’équation a deux racines distinctes

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a},$

et $ax^2+bx+c = a(x - x_1)(x - x_2)$ .
Si $\Delta = 0$ , l’équation a l’unique racine $x_0 = -\frac{b}{2a}$ , et $ax^2+bx+c = a(x - x_0)^2$ .
Si $\Delta < 0$ , l’équation n’a pas de solution réelle, et le trinôme ne se factorise pas avec des coefficients réels.

Démonstration. Partir de la forme canonique calculée dans le Théorème 10.2 :

ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a} = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right],

car $c - \frac{b^2}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a} = -\frac{\Delta}{4a} = a \times \left(-\frac{\Delta}{4a^2}\right)$ .

1. Si $\Delta > 0$ , alors $\frac{\Delta}{4a^2} = \left(\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)^2$ et le crochet est une différence de deux carrés :

ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt\Delta}{2a}\right) \left(x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt\Delta}{2a}\right) = a(x - x_2)(x - x_1).

Un produit est nul exactement lorsqu’un de ses facteurs est nul, d’où les deux racines, distinctes car $\sqrt\Delta \neq 0$ .

2. Si $\Delta = 0$ , le crochet est $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$ , qui s’annule seulement en $x_0 = -\frac{b}{2a}$ .

3. Si $\Delta < 0$ , alors $-\frac{\Delta}{4a^2} > 0$ , donc le crochet est un carré plus un nombre positif : il ne s’annule jamais, et l’équation n’a pas de solution réelle. Une factorisation $a(x-x_1)(x-x_2)$ produirait des racines, donc aucune n’existe. ∎

Exemple 10.8

Résoudre $2x^2 - 8x + 3 = 0$ . Ici $\Delta = (-8)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 64 - 24 = 40 > 0$ , donc deux racines :

x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}.

Pour $x^2 + x + 1 = 0$ : $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ , pas de solution réelle.

Proposition 10.9 (Somme et produit des racines)

Si $\Delta \geq 0$ et $x_1, x_2$ sont les racines (égales lorsque $\Delta = 0$ ), alors

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a} .

Réciproquement, deux nombres de somme $s$ et de produit $p$ sont les solutions de $x^2 - sx + p = 0$ .

Démonstration. Développer la factorisation du Théorème 10.7 :

a(x - x_1)(x - x_2) = a x^2 - a(x_1 + x_2)x + a\,x_1 x_2 .

Identifier les coefficients avec $ax^2 + bx + c$ donne $-a(x_1+x_2) = b$ et $a\,x_1x_2 = c$ . Pour la réciproque, si $u + v = s$ et $uv = p$ , alors $(x-u)(x-v) = x^2 - sx + p$ , donc $u$ et $v$ en sont les racines. ∎

Exemple 10.10

Trouver deux nombres de somme $10$ et de produit $21$ . Ils résolvent $x^2 - 10x + 21 = 0$ ; $\Delta = 100 - 84 = 16$ , racines $\frac{10 \pm 4}{2} = 7$ et $3$ . Repérage rapide de racines : comme les coefficients de $x^2 - 5x + 4$ satisfont $1 - 5 + 4 = 0$ , le nombre $1$ est racine, et l’autre est $\frac{c}{a} = 4$ (leur produit doit être $\frac ca$ ).

10.3 Signe d’un trinôme

Théorème 10.11 (Signe d’un trinôme)

Soit $f(x) = ax^2+bx+c$ avec $a \neq 0$ .

Si $\Delta > 0$ , avec racines $x_1 < x_2$ : $f(x)$ a le signe de $a$ à l’extérieur de $\intcc{x_1}{x_2}$ , et le signe de $-a$ sur $\intoo{x_1}{x_2}$ .
Si $\Delta = 0$ : $f(x)$ a le signe de $a$ pour tout $x \neq x_0$ , et s’annule en $x_0$ .
Si $\Delta < 0$ : $f(x)$ a le signe de $a$ pour tout $x$ .

En bref : un trinôme a le signe de $a$ , sauf entre ses racines.

Démonstration. 1. Écrire $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ et suivre les signes des facteurs. Si $x < x_1$ : $x - x_1$ et $x - x_2$ sont tous deux négatifs, leur produit est positif, donc $f(x)$ a le signe de $a$ . Si $x_1 < x < x_2$ : les facteurs ont des signes opposés, le produit est négatif, et $f(x)$ a le signe de $-a$ . Si $x > x_2$ : les deux facteurs sont positifs et $f(x)$ a à nouveau le signe de $a$ .

2. $f(x) = a(x - x_0)^2$ et $(x-x_0)^2 > 0$ pour $x \neq x_0$ .

3. D’après la démonstration du Théorème 10.7, $f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(-\frac{\Delta}{4a^2}\right)\right]$ , et le crochet est toujours positif. ∎

Méthode 10.12 (Résoudre des inéquations du second degré)

Pour résoudre $ax^2 + bx + c \leq 0$ (ou $\geq$ , $<$ , $>$ ) :

calculer $\Delta$ et les racines, s’il y en a ;
dresser le tableau de signes en utilisant le Théorème 10.11 (signe de $a$ à l’extérieur des racines) ;
lire le ou les intervalles de solutions, en veillant à ce que les racines elles-mêmes soient incluses (inégalité large) ou non (stricte).

Exemple 10.13

Résoudre $-x^2 + 3x + 4 \geq 0$ . Ici $\Delta = 9 + 16 = 25$ , et les racines sont $\frac{-3 \pm 5}{-2}$ , c’est-à-dire $x_1 = -1$ et $x_2 = 4$ . Comme $a = -1 < 0$ , le trinôme est négatif à l’extérieur des racines et positif entre elles. Avec l’inégalité large, l’ensemble des solutions est $\intcc{-1}{4}$ .

10.4 La parabole

Définition 10.14 (Parabole)

Le graphique d’une fonction du second degré $f(x) = a(x-\alpha)^2+\beta$ est une parabole de sommet $S(\alpha, \beta)$ . Elle s’ouvre vers le haut si $a > 0$ , vers le bas si $a < 0$ , et est symétrique par rapport à la droite verticale $x = \alpha$ .

Remarque 10.15

La symétrie est facile à vérifier : pour tout $h$ , $f(\alpha + h) = ah^2 + \beta = f(\alpha - h)$ , donc deux points à égale distance horizontale de la droite $x = \alpha$ ont la même hauteur.

Les trois positions d’une parabole tournée vers le haut (a > 0) par rapport à l’axe des x : deux racines, une racine double, aucune racine. Le sommet S a pour abscisse = -b/2a. — Les trois positions d’une parabole tournée vers le haut ( $a > 0$ ) par rapport à l’axe des $x$ : deux racines, une racine double, aucune racine. Le sommet $S$ a pour abscisse $\alpha = -\frac{b}{2a}$ .

Signe d’un trinôme tourné vers le bas (a < 0) avec deux racines : le signe de -a entre les racines (hachuré), le signe de a à l’extérieur. — Signe d’un trinôme tourné vers le bas ( $a < 0$ ) avec deux racines : le signe de $-a$ entre les racines (hachuré), le signe de $a$ à l’extérieur.

Méthode 10.16 (Lire une parabole)

Pour croquer $f(x) = ax^2+bx+c$ : trouver l’orientation (signe de $a$ ), le sommet $\left(-\frac{b}{2a},\, f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$ , l’intersection $(0, c)$ avec l’axe des $y$ , et les racines, s’il y en a. L’axe de symétrie $x = -\frac{b}{2a}$ place alors chaque point calculé en double.

Exemple 10.17

Pour $f(x) = x^2 - 4x + 3$ : tournée vers le haut, sommet $(2, -1)$ , coupe l’axe des $y$ en $(0,3)$ , racines $1$ et $3$ (repérées : $1 - 4 + 3 = 0$ ). Par symétrie, le point $(4, 3)$ est aussi sur la courbe, miroir de $(0, 3)$ .

10.5 Exercices

Exercice 10.1 ★

Résoudre les équations

x^2 - 5x + 6 = 0, \qquad 2x^2 + 3x - 2 = 0, \qquad x^2 + 2x + 5 = 0, \qquad 9x^2 - 6x + 1 = 0 .

Solution

Solution de Exercice 10.1.

$x^2-5x+6$ : $\Delta = 25 - 24 = 1$ , racines $\frac{5 \pm 1}{2}$ , c’est-à-dire $2$ et $3$ .

$2x^2+3x-2$ : $\Delta = 9 + 16 = 25$ , racines $\frac{-3 \pm 5}{4}$ , c’est-à-dire $\frac12$ et $-2$ .

$x^2+2x+5$ : $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$ , pas de solution réelle.

$9x^2-6x+1$ : $\Delta = 36 - 36 = 0$ , une (double) racine $x_0 = \frac{6}{18} = \frac13$ .

Exercice 10.2 ★

Écrire sous forme canonique et donner le sommet de la parabole :

f(x) = x^2 - 6x + 11, \qquad g(x) = -2x^2 + 4x + 1, \qquad h(x) = 3x^2 + 6x .

Solution

Solution de Exercice 10.2.

$f(x) = x^2 - 6x + 11 = (x-3)^2 - 9 + 11 = (x-3)^2 + 2$ : sommet $(3, 2)$ .

$g(x) = -2x^2+4x+1 = -2(x^2 - 2x) + 1 = -2\bigl((x-1)^2 - 1\bigr) + 1 = -2(x-1)^2 + 3$ : sommet $(1, 3)$ .

$h(x) = 3x^2 + 6x = 3(x^2 + 2x) = 3\bigl((x+1)^2 - 1\bigr) = 3(x+1)^2 - 3$ : sommet $(-1, -3)$ .

Exercice 10.3 ★

Résoudre les inéquations

x^2 - 3x - 10 < 0, \qquad 2x^2 + x + 3 > 0, \qquad -x^2 + 6x - 9 \geq 0 .

Solution

Solution de Exercice 10.3.

$x^2 - 3x - 10$ : $\Delta = 9 + 40 = 49$ , racines $\frac{3 \pm 7}{2} = -2$ et $5$ ; coefficient dominant positif, donc le trinôme est négatif strictement entre les racines : l’ensemble des solutions est $\intoo{-2}{5}$ .

$2x^2 + x + 3$ : $\Delta = 1 - 24 = -23 < 0$ et $a = 2 > 0$ : toujours positif, l’ensemble des solutions est $\R$ .

$-x^2 + 6x - 9 = -(x-3)^2$ : il est $\geq 0$ seulement là où $(x-3)^2 \leq 0$ , c’est-à-dire en $x = 3$ . L’ensemble des solutions est $\{3\}$ .

Exercice 10.4 ★

Sans calculer $\Delta$ , trouver une racine évidente, puis l’autre :

x^2 - 7x + 6 = 0, \qquad 2x^2 + 5x - 7 = 0, \qquad x^2 + 4x - 5 = 0 .

(Indication : tester $x = 1$ et $x = -1$ , puis utiliser le produit des racines.)

Solution

Solution de Exercice 10.4.

$x^2 - 7x + 6$ : $1 - 7 + 6 = 0$ , donc $1$ est racine ; le produit des racines est $6$ , donc l’autre racine est $6$ .

$2x^2 + 5x - 7$ : $2 + 5 - 7 = 0$ , donc $1$ est racine ; le produit est $\frac{c}{a} = -\frac72$ , donc l’autre racine est $-\frac72$ .

$x^2 + 4x - 5$ : $1 + 4 - 5 = 0$ , donc $1$ est racine ; le produit est $-5$ , donc l’autre racine est $-5$ .

Exercice 10.5 ★★

Trouver deux nombres dont la somme est $14$ et le produit $45$ . Puis trouver les dimensions d’un rectangle de périmètre $34$ et d’aire $60$ .

Solution

Solution de Exercice 10.5.

Les deux nombres résolvent $x^2 - 14x + 45 = 0$ (Proposition 10.9) ; $\Delta = 196 - 180 = 16$ , racines $\frac{14 \pm 4}{2} = 9$ et $5$ .

Pour le rectangle : la moitié du périmètre donne longueur $+$ largeur $= 17$ , et l’aire donne leur produit $60$ . Ils résolvent $x^2 - 17x + 60 = 0$ ; $\Delta = 289 - 240 = 49$ , racines $\frac{17 \pm 7}{2} = 12$ et $5$ . Le rectangle est $12 \times 5$ .

Exercice 10.6 ★★

Soit $f(x) = x^2 + (m-2)x + 1$ , où $m$ est un paramètre réel. Pour quelles valeurs de $m$ l’équation $f(x) = 0$ a-t-elle exactement une solution ? Aucune solution ?

Solution

Solution de Exercice 10.6.

$\Delta = (m-2)^2 - 4$ . Exactement une solution lorsque $\Delta = 0$ : $(m-2)^2 = 4$ , donc $m - 2 = \pm 2$ , c’est-à-dire $m = 0$ ou $m = 4$ . Aucune solution lorsque $\Delta < 0$ : $(m-2)^2 < 4$ , c’est-à-dire $-2 < m - 2 < 2$ , soit $0 < m < 4$ .

Exercice 10.7 ★★

Une balle est lancée vers le haut ; sa hauteur après $t$ secondes est $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ (en mètres). Quelle est la hauteur maximale atteinte, et à quel instant ? Pendant quel intervalle de temps la balle est-elle à au moins $16$ m de hauteur ?

Solution

Solution de Exercice 10.7.

Le sommet est en $t = -\frac{20}{2 \times (-5)} = 2$ , et $h(2) = -20 + 40 + 1 = 21$ : hauteur maximale $21$ m, atteinte après $2$ secondes.

$h(t) \geq 16$ signifie $-5t^2 + 20t - 15 \geq 0$ , c’est-à-dire (en divisant par $-5$ , ce qui inverse l’inégalité) $t^2 - 4t + 3 \leq 0$ . Les racines de $t^2-4t+3$ sont $1$ et $3$ ( $1 - 4 + 3 = 0$ , produit $3$ ), donc $t^2 - 4t + 3 \leq 0$ exactement sur $\intcc{1}{3}$ : la balle est à au moins $16$ m de hauteur entre les instants $t = 1$ s et $t = 3$ s.

Exercice 10.8 ★★

Résoudre l’équation $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ en posant $X = x^2$ (une équation bicarrée).

Solution

Solution de Exercice 10.8.

Avec $X = x^2$ : $X^2 - 13X + 36 = 0$ , $\Delta = 169 - 144 = 25$ , donc $X = \frac{13 \pm 5}{2} = 9$ ou $4$ . Retour à $x$ : $x^2 = 9$ donne $x = \pm 3$ , et $x^2 = 4$ donne $x = \pm 2$ . L’ensemble des solutions est $\{-3, -2, 2, 3\}$ .

Exercice 10.9 ★★

Pour quelles valeurs de $x$ le point $M(x, x^2)$ de la parabole $y = x^2$ est-il strictement sous la droite $y = x + 2$ ? Interpréter sur un croquis.

Solution

Solution de Exercice 10.9.

La condition est $x^2 < x + 2$ , c’est-à-dire $x^2 - x - 2 < 0$ . Comme $x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2)$ (racines $-1$ et $2$ ), l’inégalité est réalisée strictement entre les racines : $x \in \intoo{-1}{2}$ . Sur un croquis, la parabole $y = x^2$ passe sous la droite $y = x+2$ exactement entre leurs deux points d’intersection $(-1, 1)$ et $(2, 4)$ .

Exercice 10.10 ★★

La somme d’un nombre positif et de son inverse est $\frac{13}{6}$ . Trouver le nombre. (Se ramener à une équation du second degré.)

Solution

Solution de Exercice 10.10.

Soit $x > 0$ tel que $x + \frac1x = \frac{13}{6}$ . Multiplier par $6x > 0$ : $6x^2 + 6 = 13x$ , c’est-à-dire $6x^2 - 13x + 6 = 0$ . Alors $\Delta = 169 - 144 = 25$ et $x = \frac{13 \pm 5}{12}$ , d’où $x = \frac32$ ou $x = \frac23$ . Les deux sont positifs et inverses l’un de l’autre, comme attendu : le nombre est $\frac32$ (ou $\frac23$ ).

Exercice 10.11 ★★★

Soit $\mathcal P$ la parabole $y = x^2$ et soit $d_m$ la droite $y = mx - 1$ , où $m$ est un paramètre réel.

Pour quelles valeurs de $m$ $\mathcal P$ et $d_m$ se coupent-elles en deux points ? Un point ? Aucun point ?
Lorsqu’elles se touchent en exactement un point, calculer le point de contact. (Dans le Chapitre 12 on reconnaîtra $d_m$ comme la tangente à $\mathcal P$ en ce point.)

Solution

Solution de Exercice 10.11.

1. Les intersections correspondent aux solutions de $x^2 = mx - 1$ , c’est-à-dire $x^2 - mx + 1 = 0$ , dont le discriminant est $\Delta = m^2 - 4$ . Deux points lorsque $\abs{m} > 2$ ; exactement un lorsque $m = \pm 2$ ; aucun lorsque $-2 < m < 2$ .

2. Pour $m = 2$ : $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = 0$ , donc l’unique point de contact est $(1, 1)$ . Pour $m = -2$ : $(x+1)^2 = 0$ , point de contact $(-1, 1)$ . Dans les deux cas la droite rencontre la parabole en un seul point sans la traverser — c’est la tangente en ce point, et en effet sa pente $m = \pm 2$ égale la valeur en $x = \pm 1$ de la dérivée $2x$ de $x^2$ (Chapitre 12).

10.6 Problème : le point secret de la parabole

Problème 10.1

Devoir du week-end — foyer et directrice : pourquoi les antennes paraboliques, les phares de voiture et les ponts suspendus dessinent tous la même courbe, dont il n’existe au fond qu’un seul exemplaire

Toute antenne parabolique de balcon vise son récepteur sur un point intérieur bien précis ; tout phare de voiture cache son ampoule au même endroit privilégié. Ce point — le foyer — est un secret que la parabole garde depuis la géométrie grecque, et la formule de distance suffit à l’en extraire. Chemin faisant, ce problème fait travailler le discriminant, envoie des projectiles par-dessus des murs, suspend un pont, et démontre pour finir un fait étonnant : à un agrandissement près, il n’existe qu’une seule parabole au monde.

Partie I — Aisance avec les trinômes.

Résoudre $x^2 - 5x + 6 = 0$ , puis $2x^2 + x - 6 = 0$ , puis $x^2 + x + 1 = 0$ (Théorème 10.7).
Écrire $2x^2 - 4x - 6$ sous forme factorisée et sous forme canonique (Théorème 10.2). Avec la forme développée, vous disposez maintenant de trois costumes d’une même fonction : dire quelle caractéristique chacun affiche d’un coup d’œil (racines, sommet, ordonnée à l’origine).
Résoudre $-x^2 + 4x - 3 \geq 0$ avec la règle des signes (Théorème 10.11).
Viète en enquêteur (Proposition 10.9, qui prolonge Babylone au Problème 2.1) : trouver deux nombres de somme $7$ et de produit $12$ en écrivant leur équation. Puis : une racine de $x^2 - 5x + c = 0$ vaut $2$ ; déterminer $c$ et l’autre racine sans rien résoudre.
Pour quelles valeurs de $m$ l’équation $x^2 + mx + 9 = 0$ a-t-elle une racine double ? Aucune racine ? Deux racines ?

Partie II — Le foyer dévoilé. On travaille sur la parabole $y = x^2$ , le point $F\left(0, \frac14\right)$ et la droite horizontale $\delta$ d’équation $y = -\frac14$ .

Pour un point $P(x, x^2)$ de la parabole, développer $PF^2 = x^2 + \left(x^2 - \frac14\right)^2$ et montrer que c’est le carré parfait $\left(x^2 + \frac14\right)^2$ . En déduire $PF$ .
Calculer la distance de $P$ à la droite $\delta$ , et conclure : tout point de la parabole est exactement aussi loin de $F$ que de $\delta$ . ( $F$ est le foyer, $\delta$ la directrice.)
Démontrer la réciproque : un point $P(x, y)$ vérifiant $PF = \operatorname{dist}(P, \delta)$ satisfait nécessairement $y = x^2$ . (Élever les deux distances au carré et simplifier.) La parabole est donc un lieu géométrique, exactement comme le cercle l’était au Problème 5.1 : équidistance d’un point et d’une droite, au lieu d’un seul point.
Pour la parabole plus ouverte $y = \frac{x^2}{4f}$ (avec $f > 0$ ), adapter la question 6 pour montrer que le foyer est $(0, f)$ et la directrice $y = -f$ . Application : une antenne parabolique mesure $60$ cm de large et $9$ cm de profondeur — son bord passe par $(30, 9)$ . Déterminer $f$ : à quelle hauteur au-dessus du sommet faut-il suspendre le récepteur ?
La raison pour laquelle les antennes fonctionnent : les rayons qui arrivent parallèlement à l’axe se réfléchissent tous en passant par le foyer (et une ampoule placée au foyer envoie un faisceau parallèle — un phare est une antenne fonctionnant à l’envers). Expliquer pourquoi l’équidistance de la question 7 rend ce fait plausible (penser aux rayons comme à des fronts d’onde qui avancent), et dire quel outil, à venir au Chapitre 12 (voir l’Exercice 10.11), change la plausibilité en démonstration.

Partie III — Les paraboles au travail.

Un ballon suit la trajectoire $y = x - \frac{x^2}{20}$ ( $x$ et $y$ en mètres). Déterminer son point de chute, l’abscisse de son point le plus haut et la hauteur maximale (Proposition 10.4).
Sur la même trajectoire, un mur se dresse en $x = 4$ . Calculer la hauteur du ballon à cet endroit : passe-t-il au-dessus d’un mur de $3$ m ? D’un mur de $4$ m ?
Une arche parabolique franchit $40$ m avec une hauteur maximale de $10$ m : en coordonnées centrées, $y = 10 - \frac{x^2}{40}$ . Un camion de $7$ m de haut peut-il passer à $10$ m du centre ? À $15$ m ?
La recette d’un théâtre, pour un billet à $p$ euros, vaut $R(p) = p\,(120 - 2p)$ (la demande baisse quand le prix monte). Déterminer le prix qui maximise la recette, ainsi que ce maximum.
Les câbles porteurs du Golden Gate sont paraboliques avec une excellente précision (une charge de tablier uniforme produit une parabole — une chaîne suspendue librement, non : sa courbe, la chaînette, réclame l’exponentielle de l’an prochain). Avec une portée de $1\,280$ m et une flèche de $143$ m, le câble suit $y = 143\left(\frac{x}{640}\right)^2$ depuis le centre. À quelle hauteur au-dessus de son point le plus bas le câble se trouve-t-il en $x = 320$ m ?

Partie IV — Droites, tangentes et la dernière surprise.

Compléter l’Exercice 10.11 : les droites $y = mx - 1$ passant par le point extérieur $(0, -1)$ rencontrent $y = x^2$ selon le signe d’un discriminant. Déterminer les deux tangentes issues de $(0, -1)$ et leurs points de contact.
Considérons maintenant les droites $y = mx + 1$ passant par le point intérieur $(0, 1)$ : calculer le discriminant de l’équation d’intersection et montrer que toute droite de ce type coupe la parabole en deux points. Morale : depuis l’intérieur, pas de tangente — exactement comme pour un cercle.
La corde focale : couper $y = x^2$ par la droite horizontale passant par le foyer, $y = \frac14$ . Quelle est la longueur de la corde ? Vérifier la règle générale (bonne à retenir pour les antennes) : pour $y = \frac{x^2}{4f}$ , la corde passant par le foyer et parallèle à la directrice a pour longueur $4f$ .
La dernière surprise : appliquer l’agrandissement $(x, y) \mapsto (kx, ky)$ à la parabole $y = x^2$ et montrer que l’image est exactement $y = \frac{x^2}{k}$ . En déduire : toute parabole $y = \frac{x^2}{4f}$ est un agrandissement de la parabole unité — contrairement aux cercles et aux ellipses de proportions différentes, toutes les paraboles sont semblables.
Pour finir : le portrait de la parabole en cinq lignes — une équation à trois costumes (question 2), un lieu géométrique (questions 7 et 8), un réflecteur d’ingénieur (questions 9 et 10), une trajectoire de projectile et un câble de pont (questions 11 à 15), et une courbe unique à un agrandissement près (question 19). Une phrase pour chacune.

Solution

Solution de Problème 10.1.

1. $x^2 - 5x + 6$ : $\Delta = 1$ , racines $2$ et $3$ . $2x^2 + x - 6$ : $\Delta = 1 + 48 = 49$ , racines $\frac{-1 \pm 7}{4}$ , soit $\frac32$ et $-2$ . $x^2 + x + 1$ : $\Delta = -3 < 0$ : aucune solution réelle.

2. $\Delta = 16 + 48 = 64$ : racines $3$ et $-1$ , donc $2x^2 - 4x - 6 = 2(x - 3)(x + 1)$ ; forme canonique $2(x - 1)^2 - 8$ . La forme factorisée montre les racines, la forme canonique le sommet $(1, -8)$ , la forme développée l’ordonnée à l’origine $-6$ .

3. Racines $1$ et $3$ , coefficient dominant négatif : le trinôme est $\geq 0$ entre les racines, soit $x \in \intcc{1}{3}$ .

4. Les deux nombres sont les racines de $x^2 - 7x + 12 = 0$ : $3$ et $4$ . Si $2$ est racine de $x^2 - 5x + c$ , l’autre racine $r$ vérifie $2 + r = 5$ (la somme), donc $r = 3$ , et $c = 2 \times 3 = 6$ (le produit) : Viète le lit sans calcul.

5. $\Delta = m^2 - 36$ : racine double pour $m = \pm 6$ (racine $\mp 3$ ) ; aucune racine pour $-6 < m < 6$ ; deux racines pour $\abs m > 6$ .

6. $PF^2 = x^2 + \left(x^2 - \frac14\right)^2 = x^2 + x^4 - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{16} = x^4 + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{16} = \left(x^2 + \frac14\right)^2$ . D’où $PF = x^2 + \frac14$ (les deux facteurs étant positifs).

7. La distance de $P(x, x^2)$ à la droite horizontale $y = -\frac14$ vaut $x^2 + \frac14$ — exactement $PF$ . Tout point de la parabole est donc équidistant du foyer et de la directrice.

8. $PF^2 = x^2 + \left(y - \frac14\right)^2$ et $\operatorname{dist}^2 = \left(y + \frac14\right)^2$ . L’égalité donne $x^2 + y^2 - \frac y2 + \frac{1}{16} = y^2 + \frac y2 + \frac1{16}$ , donc $x^2 = y$ : le lieu est exactement la parabole. Un point et une droite engendrent la courbe, comme un point et une distance engendraient le cercle.

9. Pour $y = \frac{x^2}{4f}$ , le même développement avec $F(0, f)$ donne $PF^2 = x^2 + \left(\frac{x^2}{4f} - f\right)^2 = \left(\frac{x^2}{4f} + f\right)^2$ : la distance à $F$ égale la distance à $y = -f$ . Antenne : $9 = \frac{30^2}{4f}$ donne $4f = 100$ , soit $f = 25$ cm : le récepteur se suspend à un quart de mètre au-dessus du sommet — hors de la cuvette de $9$ cm, comme le montrent les antennes réelles.

10. Un front d’onde qui arrive parallèlement à l’axe a parcouru des distances égales pour atteindre le niveau de la directrice ; l’équidistance convertit « même distance à la directrice » en « même distance à $F$ » : tous les signaux réfléchis arrivent en $F$ en phase, et se renforcent — c’est là qu’il faut écouter. La démonstration honnête réclame le coefficient directeur de la tangente en chaque point — la dérivée du Chapitre 12, entrevue à l’Exercice 10.11.

11. $y = x\left(1 - \frac{x}{20}\right)$ : chute en $x = 20$ m. Sommet à mi-parcours : $x = 10$ , de hauteur $y(10) = 10 - 5 = 5$ m.

12. $y(4) = 4 - \frac{16}{20} = 3.2$ m : le ballon passe au-dessus du mur de $3$ m avec de la marge, et s’écrase sur celui de $4$ m.

13. $y(10) = 10 - \frac{100}{40} = 7.5$ m $> 7$ : le camion passe à $10$ m du centre. $y(15) = 10 - \frac{225}{40} = 4.375$ m : il ne passe pas à $15$ m.

14. $R(p) = -2p^2 + 120p$ : sommet en $p = \frac{120}{4} = 30$ euros, pour une recette $R(30) = 30 \times 60 = 1\,800$ euros.

15. $y(320) = 143 \times \left(\frac{320}{640}\right)^2 = \frac{143}{4} \approx 36$ m au-dessus du point le plus bas.

16. $x^2 = mx - 1$ donne $x^2 - mx + 1 = 0$ , avec $\Delta = m^2 - 4$ : deux points pour $\abs m > 2$ , aucun pour $\abs m < 2$ , tangence pour $m = \pm 2$ avec contact en $x = \frac m2 = \pm 1$ : tangentes $y = 2x - 1$ en $(1, 1)$ et $y = -2x - 1$ en $(-1, 1)$ .

17. $x^2 = mx + 1$ donne $\Delta = m^2 + 4 > 0$ pour tout $m$ : toujours deux intersections. Depuis un point intérieur, toute droite traverse la courbe deux fois — les tangentes ne se mènent que de l’extérieur, exactement comme pour les cercles.

18. $y = \frac14$ coupe $y = x^2$ en $x = \pm\frac12$ : corde de longueur $1$ . Pour $y = \frac{x^2}{4f}$ : $y = f$ donne $x^2 = 4f^2$ , soit $x = \pm 2f$ , d’où une longueur $4f$ — la largeur focale vaut quatre fois la distance focale (les concepteurs d’antennes l’appellent le latus rectum).

19. Un point de $y = x^2$ s’écrit $(a, a^2)$ ; son image est $(X, Y) = (ka, ka^2)$ , et $\frac{X^2}{k} = \frac{k^2a^2}{k} = ka^2 = Y$ : la courbe image est exactement $y = \frac{x^2}{k}$ . En choisissant $k = 4f$ on atteint toutes les paraboles : elles sont toutes des agrandissements d’une seule courbe maîtresse. (Les cercles sont eux aussi tous semblables — mais pas les ellipses : l’aplatissement compte, l’agrandissement non.)

20. Une équation à trois costumes lisibles ; le lieu des points équidistants d’un point et d’une droite ; le réflecteur qui rassemble en son foyer les rayons parallèles et le câble qui porte un tablier uniforme ; la trajectoire de tout ballon lancé ; et, à un agrandissement près, une courbe unique — une seule parabole, partout.

Termes définis dans ce chapitre

Voir les 395 termes du glossaire