Mathématiques du lycée · Grades 10–12

10Fonctions et équations du second degré

Les fonctions du second degré sont les fonctions les plus simples après les linéaires, et les premières dont les graphiques sont véritablement courbes. Ce chapitre développe la boîte à outils complète pour elles : la forme canonique, le discriminant, le signe d’un trinôme, et la géométrie de la parabole.

10.1 La forme canonique

Définition 10.1 (Fonction du second degré)

Une fonction du second degré est une fonction de la forme

f(x) = ax^2 + bx + c, \qquad a \neq 0,

où $a$ , $b$ , $c$ sont des nombres réels. L’expression $ax^2 + bx + c$ est aussi appelée un trinôme du second degré.

Théorème 10.2 (Forme canonique)

Toute fonction du second degré peut s’écrire d’exactement une façon comme

f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta, \qquad\text{où } \alpha = -\frac{b}{2a} \text{ et } \beta = f(\alpha).

C’est la forme canonique de $f$ .

Démonstration. On complète le carré. Comme $a \neq 0$ , factoriser $a$ dans les deux premiers termes :

ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c .

Or $x^2 + \frac{b}{a}x$ est le début du carré $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \frac ba x + \frac{b^2}{4a^2}$ , donc $x^2 + \frac{b}{a}x = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}$ . En substituant :

f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = a\bigl(x - \alpha\bigr)^2 + \beta,

avec $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = c - \frac{b^2}{4a}$ . Évaluer en $x = \alpha$ annule le terme au carré, donc $\beta = f(\alpha)$ . Unicité : développer $a(x-\alpha)^2 + \beta$ et identifier les coefficients de $x$ force $\alpha = -\frac{b}{2a}$ , puis $\beta$ est déterminé. ∎

Exemple 10.3

Soit $f(x) = 2x^2 - 8x + 3$ . Alors $\alpha = -\frac{-8}{2 \times 2} = 2$ et $\beta = f(2) = 8 - 16 + 3 = -5$ , donc

f(x) = 2(x - 2)^2 - 5 .

Vérification en développant : $2(x^2 - 4x + 4) - 5 = 2x^2 - 8x + 8 - 5 = 2x^2 - 8x + 3$ .

Proposition 10.4 (Extremum et variations)

Soit $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ .

Si $a > 0$ , alors $f$ est décroissante sur $\intoc{-\infty}{\alpha}$ et croissante sur $\intco{\alpha}{+\infty}$ : $f$ a un minimum $\beta$ , atteint en $x = \alpha$ .
Si $a < 0$ , les variations sont inversées : $f$ a un maximum $\beta$ en $x = \alpha$ .

Démonstration. Supposons $a > 0$ et soit $\alpha \leq u < v$ . Alors

f(v) - f(u) = a\bigl((v-\alpha)^2 - (u-\alpha)^2\bigr) = a\,(v - u)\,\bigl((v-\alpha) + (u-\alpha)\bigr).

Chaque facteur est positif : $a > 0$ , $v - u > 0$ , et $(v-\alpha) + (u-\alpha) > 0$ car $v > \alpha$ et $u \geq \alpha$ . Donc $f(v) > f(u)$ : $f$ est croissante sur $\intco{\alpha}{+\infty}$ . Pour $u < v \leq \alpha$ le dernier facteur est négatif, donc $f(v) < f(u)$ : $f$ est décroissante là. Enfin $f(x) - f(\alpha) = a(x-\alpha)^2 \geq 0$ pour tout $x$ , donc $\beta = f(\alpha)$ est le minimum. Le cas $a < 0$ s’obtient en appliquant ce qui précède à $-f$ . ∎

Exemple 10.5

Un fermier a $100$ mètres de clôture pour enfermer un champ rectangulaire contre un mur droit (pas de clôture le long du mur). Si $x$ est la largeur, l’aire enclose est $A(x) = x(100 - 2x) = -2x^2 + 100x$ . Ici $\alpha = -\frac{100}{2\times(-2)} = 25$ et $A(25) = 25 \times 50 = 1250$ : l’aire est maximale pour une largeur de $25$ m, donnant $1250$ m $^2$ .

10.2 Racines et factorisation

Définition 10.6 (Racine, discriminant)

Une racine du trinôme $ax^2+bx+c$ est une solution de l’équation $ax^2 + bx + c = 0$ . Le discriminant du trinôme est le nombre

\Delta = b^2 - 4ac .

Théorème 10.7 (Résoudre $ax^2+bx+c=0$ )

Si $\Delta > 0$ , l’équation a deux racines distinctes

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a},$

et $ax^2+bx+c = a(x - x_1)(x - x_2)$ .
Si $\Delta = 0$ , l’équation a l’unique racine $x_0 = -\frac{b}{2a}$ , et $ax^2+bx+c = a(x - x_0)^2$ .
Si $\Delta < 0$ , l’équation n’a pas de solution réelle, et le trinôme ne se factorise pas avec des coefficients réels.

Démonstration. Partir de la forme canonique calculée dans le Théorème 10.2 :

ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a} = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right],

car $c - \frac{b^2}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a} = -\frac{\Delta}{4a} = a \times \left(-\frac{\Delta}{4a^2}\right)$ .

1. Si $\Delta > 0$ , alors $\frac{\Delta}{4a^2} = \left(\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)^2$ et le crochet est une différence de deux carrés :

ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt\Delta}{2a}\right) \left(x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt\Delta}{2a}\right) = a(x - x_2)(x - x_1).

Un produit est nul exactement lorsqu’un de ses facteurs est nul, d’où les deux racines, distinctes car $\sqrt\Delta \neq 0$ .

2. Si $\Delta = 0$ , le crochet est $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$ , qui s’annule seulement en $x_0 = -\frac{b}{2a}$ .

3. Si $\Delta < 0$ , alors $-\frac{\Delta}{4a^2} > 0$ , donc le crochet est un carré plus un nombre positif : il ne s’annule jamais, et l’équation n’a pas de solution réelle. Une factorisation $a(x-x_1)(x-x_2)$ produirait des racines, donc aucune n’existe. ∎

Exemple 10.8

Résoudre $2x^2 - 8x + 3 = 0$ . Ici $\Delta = (-8)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 64 - 24 = 40 > 0$ , donc deux racines :

x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}.

Pour $x^2 + x + 1 = 0$ : $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ , pas de solution réelle.

Proposition 10.9 (Somme et produit des racines)

Si $\Delta \geq 0$ et $x_1, x_2$ sont les racines (égales lorsque $\Delta = 0$ ), alors

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a} .

Réciproquement, deux nombres de somme $s$ et de produit $p$ sont les solutions de $x^2 - sx + p = 0$ .

Démonstration. Développer la factorisation du Théorème 10.7 :

a(x - x_1)(x - x_2) = a x^2 - a(x_1 + x_2)x + a\,x_1 x_2 .

Identifier les coefficients avec $ax^2 + bx + c$ donne $-a(x_1+x_2) = b$ et $a\,x_1x_2 = c$ . Pour la réciproque, si $u + v = s$ et $uv = p$ , alors $(x-u)(x-v) = x^2 - sx + p$ , donc $u$ et $v$ en sont les racines. ∎

Exemple 10.10

Trouver deux nombres de somme $10$ et de produit $21$ . Ils résolvent $x^2 - 10x + 21 = 0$ ; $\Delta = 100 - 84 = 16$ , racines $\frac{10 \pm 4}{2} = 7$ et $3$ . Repérage rapide de racines : comme les coefficients de $x^2 - 5x + 4$ satisfont $1 - 5 + 4 = 0$ , le nombre $1$ est racine, et l’autre est $\frac{c}{a} = 4$ (leur produit doit être $\frac ca$ ).

10.3 Signe d’un trinôme

Théorème 10.11 (Signe d’un trinôme)

Soit $f(x) = ax^2+bx+c$ avec $a \neq 0$ .

Si $\Delta > 0$ , avec racines $x_1 < x_2$ : $f(x)$ a le signe de $a$ à l’extérieur de $\intcc{x_1}{x_2}$ , et le signe de $-a$ sur $\intoo{x_1}{x_2}$ .
Si $\Delta = 0$ : $f(x)$ a le signe de $a$ pour tout $x \neq x_0$ , et s’annule en $x_0$ .
Si $\Delta < 0$ : $f(x)$ a le signe de $a$ pour tout $x$ .

En bref : un trinôme a le signe de $a$ , sauf entre ses racines.

Démonstration. 1. Écrire $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ et suivre les signes des facteurs. Si $x < x_1$ : $x - x_1$ et $x - x_2$ sont tous deux négatifs, leur produit est positif, donc $f(x)$ a le signe de $a$ . Si $x_1 < x < x_2$ : les facteurs ont des signes opposés, le produit est négatif, et $f(x)$ a le signe de $-a$ . Si $x > x_2$ : les deux facteurs sont positifs et $f(x)$ a à nouveau le signe de $a$ .

2. $f(x) = a(x - x_0)^2$ et $(x-x_0)^2 > 0$ pour $x \neq x_0$ .

3. D’après la démonstration du Théorème 10.7, $f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(-\frac{\Delta}{4a^2}\right)\right]$ , et le crochet est toujours positif. ∎

Méthode 10.12 (Résoudre des inéquations du second degré)

Pour résoudre $ax^2 + bx + c \leq 0$ (ou $\geq$ , $<$ , $>$ ) :

calculer $\Delta$ et les racines, s’il y en a ;
dresser le tableau de signes en utilisant le Théorème 10.11 (signe de $a$ à l’extérieur des racines) ;
lire le ou les intervalles de solutions, en veillant à ce que les racines elles-mêmes soient incluses (inégalité large) ou non (stricte).

Exemple 10.13

Résoudre $-x^2 + 3x + 4 \geq 0$ . Ici $\Delta = 9 + 16 = 25$ , et les racines sont $\frac{-3 \pm 5}{-2}$ , c’est-à-dire $x_1 = -1$ et $x_2 = 4$ . Comme $a = -1 < 0$ , le trinôme est négatif à l’extérieur des racines et positif entre elles. Avec l’inégalité large, l’ensemble des solutions est $\intcc{-1}{4}$ .

10.4 La parabole

Définition 10.14 (Parabole)

Le graphique d’une fonction du second degré $f(x) = a(x-\alpha)^2+\beta$ est une parabole de sommet $S(\alpha, \beta)$ . Elle s’ouvre vers le haut si $a > 0$ , vers le bas si $a < 0$ , et est symétrique par rapport à la droite verticale $x = \alpha$ .

Remarque 10.15

La symétrie est facile à vérifier : pour tout $h$ , $f(\alpha + h) = ah^2 + \beta = f(\alpha - h)$ , donc deux points à égale distance horizontale de la droite $x = \alpha$ ont la même hauteur.

Les trois positions d’une parabole tournée vers le haut (a > 0) par rapport à l’axe des x : deux racines, une racine double, aucune racine. Le sommet S a pour abscisse = -b/2a. — Les trois positions d’une parabole tournée vers le haut ( $a > 0$ ) par rapport à l’axe des $x$ : deux racines, une racine double, aucune racine. Le sommet $S$ a pour abscisse $\alpha = -\frac{b}{2a}$ .

Signe d’un trinôme tourné vers le bas (a < 0) avec deux racines : le signe de -a entre les racines (hachuré), le signe de a à l’extérieur. — Signe d’un trinôme tourné vers le bas ( $a < 0$ ) avec deux racines : le signe de $-a$ entre les racines (hachuré), le signe de $a$ à l’extérieur.

Méthode 10.16 (Lire une parabole)

Pour croquer $f(x) = ax^2+bx+c$ : trouver l’orientation (signe de $a$ ), le sommet $\left(-\frac{b}{2a},\, f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$ , l’intersection $(0, c)$ avec l’axe des $y$ , et les racines, s’il y en a. L’axe de symétrie $x = -\frac{b}{2a}$ place alors chaque point calculé en double.

Exemple 10.17

Pour $f(x) = x^2 - 4x + 3$ : tournée vers le haut, sommet $(2, -1)$ , coupe l’axe des $y$ en $(0,3)$ , racines $1$ et $3$ (repérées : $1 - 4 + 3 = 0$ ). Par symétrie, le point $(4, 3)$ est aussi sur la courbe, miroir de $(0, 3)$ .

10.5 Exercices

Exercice 10.1 ★

Résoudre les équations

x^2 - 5x + 6 = 0, \qquad 2x^2 + 3x - 2 = 0, \qquad x^2 + 2x + 5 = 0, \qquad 9x^2 - 6x + 1 = 0 .

Solution

Solution de Exercice 10.1.

$x^2-5x+6$ : $\Delta = 25 - 24 = 1$ , racines $\frac{5 \pm 1}{2}$ , c’est-à-dire $2$ et $3$ .

$2x^2+3x-2$ : $\Delta = 9 + 16 = 25$ , racines $\frac{-3 \pm 5}{4}$ , c’est-à-dire $\frac12$ et $-2$ .

$x^2+2x+5$ : $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$ , pas de solution réelle.

$9x^2-6x+1$ : $\Delta = 36 - 36 = 0$ , une (double) racine $x_0 = \frac{6}{18} = \frac13$ .

Exercice 10.2 ★

Écrire sous forme canonique et donner le sommet de la parabole :

f(x) = x^2 - 6x + 11, \qquad g(x) = -2x^2 + 4x + 1, \qquad h(x) = 3x^2 + 6x .

Solution

Solution de Exercice 10.2.

$f(x) = x^2 - 6x + 11 = (x-3)^2 - 9 + 11 = (x-3)^2 + 2$ : sommet $(3, 2)$ .

$g(x) = -2x^2+4x+1 = -2(x^2 - 2x) + 1 = -2\bigl((x-1)^2 - 1\bigr) + 1 = -2(x-1)^2 + 3$ : sommet $(1, 3)$ .

$h(x) = 3x^2 + 6x = 3(x^2 + 2x) = 3\bigl((x+1)^2 - 1\bigr) = 3(x+1)^2 - 3$ : sommet $(-1, -3)$ .

Exercice 10.3 ★

Résoudre les inéquations

x^2 - 3x - 10 < 0, \qquad 2x^2 + x + 3 > 0, \qquad -x^2 + 6x - 9 \geq 0 .

Solution

Solution de Exercice 10.3.

$x^2 - 3x - 10$ : $\Delta = 9 + 40 = 49$ , racines $\frac{3 \pm 7}{2} = -2$ et $5$ ; coefficient dominant positif, donc le trinôme est négatif strictement entre les racines : l’ensemble des solutions est $\intoo{-2}{5}$ .

$2x^2 + x + 3$ : $\Delta = 1 - 24 = -23 < 0$ et $a = 2 > 0$ : toujours positif, l’ensemble des solutions est $\R$ .

$-x^2 + 6x - 9 = -(x-3)^2$ : il est $\geq 0$ seulement là où $(x-3)^2 \leq 0$ , c’est-à-dire en $x = 3$ . L’ensemble des solutions est $\{3\}$ .

Exercice 10.4 ★

Sans calculer $\Delta$ , trouver une racine évidente, puis l’autre :

x^2 - 7x + 6 = 0, \qquad 2x^2 + 5x - 7 = 0, \qquad x^2 + 4x - 5 = 0 .

(Indication : tester $x = 1$ et $x = -1$ , puis utiliser le produit des racines.)

Solution

Solution de Exercice 10.4.

$x^2 - 7x + 6$ : $1 - 7 + 6 = 0$ , donc $1$ est racine ; le produit des racines est $6$ , donc l’autre racine est $6$ .

$2x^2 + 5x - 7$ : $2 + 5 - 7 = 0$ , donc $1$ est racine ; le produit est $\frac{c}{a} = -\frac72$ , donc l’autre racine est $-\frac72$ .

$x^2 + 4x - 5$ : $1 + 4 - 5 = 0$ , donc $1$ est racine ; le produit est $-5$ , donc l’autre racine est $-5$ .

Exercice 10.5 ★★

Trouver deux nombres dont la somme est $14$ et le produit $45$ . Puis trouver les dimensions d’un rectangle de périmètre $34$ et d’aire $60$ .

Solution

Solution de Exercice 10.5.

Les deux nombres résolvent $x^2 - 14x + 45 = 0$ (Proposition 10.9) ; $\Delta = 196 - 180 = 16$ , racines $\frac{14 \pm 4}{2} = 9$ et $5$ .

Pour le rectangle : la moitié du périmètre donne longueur $+$ largeur $= 17$ , et l’aire donne leur produit $60$ . Ils résolvent $x^2 - 17x + 60 = 0$ ; $\Delta = 289 - 240 = 49$ , racines $\frac{17 \pm 7}{2} = 12$ et $5$ . Le rectangle est $12 \times 5$ .

Exercice 10.6 ★★

Soit $f(x) = x^2 + (m-2)x + 1$ , où $m$ est un paramètre réel. Pour quelles valeurs de $m$ l’équation $f(x) = 0$ a-t-elle exactement une solution ? Aucune solution ?

Solution

Solution de Exercice 10.6.

$\Delta = (m-2)^2 - 4$ . Exactement une solution lorsque $\Delta = 0$ : $(m-2)^2 = 4$ , donc $m - 2 = \pm 2$ , c’est-à-dire $m = 0$ ou $m = 4$ . Aucune solution lorsque $\Delta < 0$ : $(m-2)^2 < 4$ , c’est-à-dire $-2 < m - 2 < 2$ , soit $0 < m < 4$ .

Exercice 10.7 ★★

Une balle est lancée vers le haut ; sa hauteur après $t$ secondes est $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ (en mètres). Quelle est la hauteur maximale atteinte, et à quel instant ? Pendant quel intervalle de temps la balle est-elle à au moins $16$ m de hauteur ?

Solution

Solution de Exercice 10.7.

Le sommet est en $t = -\frac{20}{2 \times (-5)} = 2$ , et $h(2) = -20 + 40 + 1 = 21$ : hauteur maximale $21$ m, atteinte après $2$ secondes.

$h(t) \geq 16$ signifie $-5t^2 + 20t - 15 \geq 0$ , c’est-à-dire (en divisant par $-5$ , ce qui inverse l’inégalité) $t^2 - 4t + 3 \leq 0$ . Les racines de $t^2-4t+3$ sont $1$ et $3$ ( $1 - 4 + 3 = 0$ , produit $3$ ), donc $t^2 - 4t + 3 \leq 0$ exactement sur $\intcc{1}{3}$ : la balle est à au moins $16$ m de hauteur entre les instants $t = 1$ s et $t = 3$ s.

Exercice 10.8 ★★

Résoudre l’équation $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ en posant $X = x^2$ (une équation bicarrée).

Solution

Solution de Exercice 10.8.

Avec $X = x^2$ : $X^2 - 13X + 36 = 0$ , $\Delta = 169 - 144 = 25$ , donc $X = \frac{13 \pm 5}{2} = 9$ ou $4$ . Retour à $x$ : $x^2 = 9$ donne $x = \pm 3$ , et $x^2 = 4$ donne $x = \pm 2$ . L’ensemble des solutions est $\{-3, -2, 2, 3\}$ .

Exercice 10.9 ★★

Pour quelles valeurs de $x$ le point $M(x, x^2)$ de la parabole $y = x^2$ est-il strictement sous la droite $y = x + 2$ ? Interpréter sur un croquis.

Solution

Solution de Exercice 10.9.

La condition est $x^2 < x + 2$ , c’est-à-dire $x^2 - x - 2 < 0$ . Comme $x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2)$ (racines $-1$ et $2$ ), l’inégalité est réalisée strictement entre les racines : $x \in \intoo{-1}{2}$ . Sur un croquis, la parabole $y = x^2$ passe sous la droite $y = x+2$ exactement entre leurs deux points d’intersection $(-1, 1)$ et $(2, 4)$ .

Exercice 10.10 ★★

La somme d’un nombre positif et de son inverse est $\frac{13}{6}$ . Trouver le nombre. (Se ramener à une équation du second degré.)

Solution

Solution de Exercice 10.10.

Soit $x > 0$ tel que $x + \frac1x = \frac{13}{6}$ . Multiplier par $6x > 0$ : $6x^2 + 6 = 13x$ , c’est-à-dire $6x^2 - 13x + 6 = 0$ . Alors $\Delta = 169 - 144 = 25$ et $x = \frac{13 \pm 5}{12}$ , d’où $x = \frac32$ ou $x = \frac23$ . Les deux sont positifs et inverses l’un de l’autre, comme attendu : le nombre est $\frac32$ (ou $\frac23$ ).

Exercice 10.11 ★★★

Soit $\mathcal P$ la parabole $y = x^2$ et soit $d_m$ la droite $y = mx - 1$ , où $m$ est un paramètre réel.

Pour quelles valeurs de $m$ $\mathcal P$ et $d_m$ se coupent-elles en deux points ? Un point ? Aucun point ?
Lorsqu’elles se touchent en exactement un point, calculer le point de contact. (Dans le Chapitre 12 on reconnaîtra $d_m$ comme la tangente à $\mathcal P$ en ce point.)

Solution

Solution de Exercice 10.11.

1. Les intersections correspondent aux solutions de $x^2 = mx - 1$ , c’est-à-dire $x^2 - mx + 1 = 0$ , dont le discriminant est $\Delta = m^2 - 4$ . Deux points lorsque $\abs{m} > 2$ ; exactement un lorsque $m = \pm 2$ ; aucun lorsque $-2 < m < 2$ .

2. Pour $m = 2$ : $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = 0$ , donc l’unique point de contact est $(1, 1)$ . Pour $m = -2$ : $(x+1)^2 = 0$ , point de contact $(-1, 1)$ . Dans les deux cas la droite rencontre la parabole en un seul point sans la traverser — c’est la tangente en ce point, et en effet sa pente $m = \pm 2$ égale la valeur en $x = \pm 1$ de la dérivée $2x$ de $x^2$ (Chapitre 12).