Mathématiques du lycée · Grades 10–12

25Intégration

L’intégration répond à deux questions à la fois : quelle est l’aire sous une courbe, et comment récupérer une fonction à partir de son taux de variation ? Le théorème fondamental du calcul énonce que ce sont la même question — la découverte la plus profonde et la plus utile des mathématiques du XVIIe siècle.

25.1 L’intégrale d’une fonction continue

Définition 25.1 (Intégrale d’une fonction positive)

Soit $f$ continue et positive sur $\intcc{a}{b}$ . L’intégrale

\int_a^b f(x)\,\dd x

est l’aire, en unités d’aire, de la région bornée par la courbe de $f$ , l’axe des $x$ , et les droites verticales $x = a$ et $x = b$ .

Pour une fonction de signe quelconque, les aires sous l’axe des $x$ sont comptées négativement ; et on pose $\int_b^a f(x)\,\dd x = -\int_a^b f(x)\,\dd x$ .

Aires algébriques : ∈t_02π x\, x = 0, la région sous l’axe (rouge) annulant la région au-dessus (bleu). — Aires algébriques : $\int_0^{2\pi} \sin x\,\dd x = 0$ , la région sous l’axe (rouge) annulant la région au-dessus (bleu).

Proposition 25.2 (Propriétés de l’intégrale)

Soient $f, g$ continues sur un intervalle contenant $a, b, c$ , et $\lambda \in \R$ .

Linéarité : $\displaystyle\int_a^b (f + \lambda g) = \int_a^b f + \lambda \int_a^b g$ .
Relation de Chasles : $\displaystyle\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$ .
Positivité : si $a \leq b$ et $f \geq 0$ sur $\intcc{a}{b}$ , alors $\displaystyle\int_a^b f \geq 0$ ; si $f \leq g$ , alors $\displaystyle\int_a^b f \leq \int_a^b g$ .

Démonstration. Chasles et la positivité sont immédiates d’après l’interprétation en aires (les aires s’ajoutent lorsque les régions sont juxtaposées ; une région de hauteur positive a une aire positive). La comparaison suit en appliquant la positivité à $g - f$ . La linéarité est intuitive pour la somme de fonctions positives (empiler les aires) et se prouve rigoureusement à l’université ; elle est admise ici. ∎

25.2 Le théorème fondamental du calcul

Définition 25.3 (Primitive)

Une primitive (ou antédérivée) de $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction dérivable $F$ sur $I$ telle que $F' = f$ .

Proposition 25.4

Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ , les primitives de $f$ sur $I$ sont exactement les fonctions $F + c$ , $c \in \R$ . Étant donnés $x_0 \in I$ et $y_0 \in \R$ , il existe une unique primitive avec $F(x_0) = y_0$ .

Démonstration. Si $G' = F' = f$ , alors $(G - F)' = 0$ sur l’intervalle $I$ , donc $G - F$ est constante.¹ Réciproquement toute $F + c$ est une primitive. La condition $F(x_0) = y_0$ fixe la constante. ∎

Théorème 25.5 (Théorème fondamental du calcul)

Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ et $a \in I$ . La fonction

F \colon x \longmapsto \int_a^x f(t)\,\dd t

est la primitive de $f$ sur $I$ s’annulant en $a$ . Par conséquent, pour toute primitive $G$ de $f$ et $a, b \in I$ :

\int_a^b f(t)\,\dd t = \bigl[G(t)\bigr]_a^b = G(b) - G(a).

L’idée de la démonstration : l’incrément F(x+h) - F(x) est l’aire de la bande étroite (orange), encadrée entre les rectangles de hauteurs f(x) et f(x+h) sur une base de longueur h. — L’idée de la démonstration : l’incrément $F(x+h) - F(x)$ est l’aire de la bande étroite (orange), encadrée entre les rectangles de hauteurs $f(x)$ et $f(x+h)$ sur une base de longueur $h$ .

Démonstration lorsque $f$ est croissante. Fixer $x \in I$ et $h > 0$ avec $x + h \in I$ . Par Chasles,

F(x+h) - F(x) = \int_x^{x+h} f(t)\,\dd t .

Comme $f$ est croissante, $f(x) \leq f(t) \leq f(x+h)$ pour $t \in \intcc{x}{x+h}$ , et par comparaison d’intégrales (l’intégrale d’une constante $c$ sur un intervalle de longueur $h$ est $ch$ ) :

h\,f(x) \leq F(x+h) - F(x) \leq h\,f(x+h),

donc

f(x) \leq \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq f(x+h).

Lorsque $h \to 0^+$ , $f(x+h) \to f(x)$ par continuité, et le théorème des gendarmes donne que le taux d’accroissement tend vers $f(x)$ ; le cas $h < 0$ est symétrique. D’où $F' = f$ , et $F(a) = 0$ . Le cas général (non monotone) continu est prouvé à l’université.

Enfin, si $G$ est une primitive quelconque, $G = F + c$ (Proposition 25.4), donc $G(b) - G(a) = F(b) - F(a) = \int_a^b f$ . ∎

Exemple 25.6

$\displaystyle\int_0^1 x^2\,\dd x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac13$ : l’aire sous la parabole est un tiers du carré unité, comme Archimède le savait.

Le tableau des primitives se lit sur le tableau des dérivées ( $u$ désigne une fonction dérivable, $c$ une constante arbitraire) :

$f(x)$	primitive	$f$	primitive
$x^n \ (n \neq -1)$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c$	$u'u^n \ (n \neq -1)$	$\dfrac{u^{n+1}}{n+1} + c$
$\dfrac1x \ (x > 0)$	$\ln x + c$	$\dfrac{u'}{u} \ (u > 0)$	$\ln u + c$
$\eu^x$	$\eu^x + c$	$u'\eu^u$	$\eu^u + c$
$\cos x$	$\sin x + c$	$\dfrac{u'}{\sqrt u} \ (u>0)$	$2\sqrt u + c$
$\sin x$	$-\cos x + c$

Méthode 25.7 (Reconnaître la forme $u' \times (\text{quelque chose en } u)$ )

Pour intégrer un produit, chercher un facteur qui est la dérivée d’une fonction intérieure $u$ , à une constante multiplicative près. Par exemple dans $\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x$ , le facteur $x$ est $\frac12 (x^2)'$ :

\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x = \frac12\left[\eu^{x^2}\right]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2}.

Théorème 25.8 (Intégration par parties)

Soient $u, v$ dérivables sur $\intcc{a}{b}$ à dérivées continues. Alors

\int_a^b u'(t)\,v(t)\,\dd t = \bigl[u(t)\,v(t)\bigr]_a^b - \int_a^b u(t)\,v'(t)\,\dd t .

Démonstration. La règle du produit donne $(uv)' = u'v + uv'$ ; en intégrant les deux membres sur $\intcc{a}{b}$ et en utilisant le théorème fondamental pour le premier membre, on obtient $\bigl[uv\bigr]_a^b = \int_a^b u'v + \int_a^b uv'$ . ∎

Exemple 25.9

$\displaystyle\int_0^1 t\,\eu^{t}\,\dd t$ : prendre $u' = \eu^t$ , $v = t$ , donc $u = \eu^t$ , $v' = 1$ :

\int_0^1 t\,\eu^t\,\dd t = \bigl[t\,\eu^t\bigr]_0^1 - \int_0^1 \eu^t\,\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1 .

25.3 Applications

Définition 25.10 (Valeur moyenne)

La valeur moyenne d’une fonction continue $f$ sur $\intcc{a}{b}$ ( $a<b$ ) est

\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)\,\dd t .

Proposition 25.11

Si $m \leq f \leq M$ sur $\intcc{a}{b}$ , alors $m \leq \mu \leq M$ .

Démonstration. Intégrer les inégalités $m \leq f(t) \leq M$ sur $\intcc{a}{b}$ et diviser par $b - a > 0$ . ∎

Méthode 25.12 (Aire entre deux courbes)

Si $f \geq g$ sur $\intcc{a}{b}$ , l’aire entre les deux courbes est $\int_a^b \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\dd x$ . Si les courbes se croisent, découper l’intervalle aux points de croisement et intégrer $\abs{f - g}$ morceau par morceau.

L’aire entre la droite y = x + 1 (rouge) et la parabole y = x2 - 1 (bleu) est ∈t_-12 ((x+1) - (x2-1) ) x = 9/2. — L’aire entre la droite $y = x + 1$ (rouge) et la parabole $y = x^2 - 1$ (bleu) est $\int_{-1}^{2} \bigl((x+1) - (x^2-1)\bigr)\dd x = \frac92$ .

25.4 Exercices

Exercice 25.1 ★

Calculer

\int_1^2 \left(3x^2 - \frac{1}{x^2}\right)\dd x, \qquad \int_0^{\pi/2} \cos t \,\dd t, \qquad \int_0^{1} \frac{\dd t}{2t+1} .

Solution

Solution de Exercice 25.1.

\int_1^2 \left(3x^2 - \frac{1}{x^2}\right)\dd x = \left[x^3 + \frac1x\right]_1^2 = \left(8 + \tfrac12\right) - 2 = \frac{13}{2}.

\int_0^{\pi/2} \cos t\,\dd t = \bigl[\sin t\bigr]_0^{\pi/2} = 1 .

Avec $u = 2t+1$ , $\frac{1}{2t+1} = \frac12\,\frac{u'}{u}$ :

\int_0^1 \frac{\dd t}{2t+1} = \frac12\bigl[\ln(2t+1)\bigr]_0^1 = \frac{\ln 3}{2}.

Exercice 25.2 ★

Trouver la primitive $F$ de $f(x) = x\eu^{x^2}$ sur $\R$ telle que $F(0) = 1$ .

Solution

Solution de Exercice 25.2.

$x\,\eu^{x^2} = \frac12\,(x^2)'\,\eu^{x^2}$ a pour primitives $\frac12\eu^{x^2} + c$ . La condition $F(0) = 1$ donne $\frac12 + c = 1$ , donc

F(x) = \frac{\eu^{x^2} + 1}{2}.

Exercice 25.3 ★

Calculer la valeur moyenne de $f(t) = \sin t$ sur $\intcc{0}{\pi}$ , et interpréter le résultat sur un graphique.

Solution

Solution de Exercice 25.3.

\mu = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin t\,\dd t = \frac{1}{\pi}\bigl[-\cos t\bigr]_0^\pi = \frac{2}{\pi} \approx 0.64 .

Graphiquement, le rectangle de base $\intcc{0}{\pi}$ et de hauteur $\frac{2}{\pi}$ a la même aire que l’arche de la courbe du sinus.

Exercice 25.4 ★★

En utilisant l’intégration par parties, calculer

\int_1^{\eu} \ln t\,\dd t \qquad\text{et}\qquad \int_0^{\pi} t \sin t\,\dd t .

Solution

Solution de Exercice 25.4.

Prendre $u' = 1$ , $v = \ln t$ , donc $u = t$ , $v' = \frac1t$ :

\int_1^{\eu} \ln t\,\dd t = \bigl[t\ln t\bigr]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} 1\,\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1 .

Prendre $u' = \sin t$ , $v = t$ , donc $u = -\cos t$ , $v' = 1$ :

\int_0^\pi t\sin t\,\dd t = \bigl[-t\cos t\bigr]_0^\pi + \int_0^\pi \cos t\,\dd t = \pi + 0 = \pi .

Exercice 25.5 ★★

Calculer l’aire de la région entre la parabole $y = x^2$ et la droite $y = x + 2$ .

Solution

Solution de Exercice 25.5.

Les courbes se coupent où $x^2 = x + 2$ , c.-à-d. $x \in \{-1, 2\}$ , et sur $\intcc{-1}{2}$ la droite est au-dessus de la parabole. L’aire est

\int_{-1}^{2} \bigl(x + 2 - x^2\bigr)\dd x = \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{9}{2}.

Exercice 25.6 ★★

Soit $I = \displaystyle\int_0^1 \frac{\dd t}{1 + t}$ .

Calculer $I$ .
Pour $n \in \N$ , soit $I_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{t^n}{1+t}\dd t$ . Montrer que $I_n + I_{n+1} = \dfrac{1}{n+1}$ , et que $0 \leq I_n \leq \dfrac{1}{n+1}$ .
En déduire que $1 - \frac12 + \frac13 - \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ln 2$ .

Solution

Solution de Exercice 25.6.

1. $I = \bigl[\ln(1+t)\bigr]_0^1 = \ln 2$ .

I_n + I_{n+1} = \int_0^1 \frac{t^n(1 + t)}{1+t}\,\dd t = \int_0^1 t^n \,\dd t = \frac{1}{n+1}.

Sur $\intcc{0}{1}$ , $0 \leq \dfrac{t^n}{1+t} \leq t^n$ , donc par comparaison $0 \leq I_n \leq \frac{1}{n+1}$ .

3. À partir de la récurrence, par une récurrence télescopique,

I_n = (-1)^n\left(I_0 - \left(1 - \frac12 + \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n}\right)\right),

c.-à-d. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \ln 2 - (-1)^n I_n$ (rappel : $I_0 = \ln 2$ ). Comme $\abs{I_n} \leq \frac{1}{n+1} \to 0$ , la somme harmonique alternée tend vers $\ln 2$ .

Exercice 25.7 ★★

La vitesse d’un train (en m/s) pendant les $100$ premières secondes après le départ est modélisée par $v(t) = 30\bigl(1 - \eu^{-t/50}\bigr)$ . Calculer la distance parcourue pendant ces $100$ secondes, et la vitesse moyenne du train sur l’intervalle.

Solution

Solution de Exercice 25.7.

Distance :

d = \int_0^{100} 30\left(1 - \eu^{-t/50}\right)\dd t = 30\left[t + 50\,\eu^{-t/50}\right]_0^{100} = 30\left(100 + 50\eu^{-2} - 50\right) = 1500 + 1500\,\eu^{-2}.

Numériquement $d \approx 1500 + 203 = 1703$ m. Vitesse moyenne : $\frac{d}{100} = 15\bigl(1 + \eu^{-2}\bigr) \approx 17.0$ m/s.

Exercice 25.8 ★★★

Pour $n \geq 1$ , soit $S_n = \dfrac1n \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + k/n}$ .

Interpréter $S_n$ comme une aire de rectangles approximant une région sous la courbe de $t \mapsto \frac{1}{1+t}$ sur $\intcc{0}{1}$ .
En utilisant la monotonie de $t \mapsto \frac{1}{1+t}$ , montrer que

$S_n \leq \int_0^1 \frac{\dd t}{1+t} \leq S_n + \frac1n\left(1 - \frac12\right),$

et en déduire $\lim\limits_{n\to+\infty} S_n = \ln 2$ .

Solution

Solution de Exercice 25.8.

1. $S_n$ est l’aire totale de $n$ rectangles de largeur $\frac1n$ et de hauteurs $f\left(\frac kn\right)$ , $k = 1, \dots, n$ , où $f(t) = \frac{1}{1+t}$ : c’est l’approximation par rectangles « à extrémité droite » de l’aire sous $f$ sur $\intcc{0}{1}$ .

2. $f$ est décroissante, donc sur chaque intervalle $\intcc{\frac{k-1}{n}}{\frac kn}$ , $f\left(\frac kn\right) \leq f(t) \leq f\left(\frac{k-1}{n}\right)$ ; en intégrant et en sommant sur $k$ :

S_n \leq \int_0^1 f(t)\,\dd t \leq S_n + \frac1n\bigl(f(0) - f(1)\bigr) = S_n + \frac{1}{2n}.

(Le terme intermédiaire de l’affichage de l’exercice, avec $f(0) - f(1) = 1 - \frac12$ , est exactement cette borne.) D’où $0 \leq \ln 2 - S_n \leq \frac{1}{2n} \to 0$ , donc $S_n \to \ln 2$ .

Exercice 25.9 ★★★

(Intégrales de Wallis.) Pour $n \in \N$ , soit $W_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^n t\,\dd t$ .

Calculer $W_0$ et $W_1$ .
En écrivant $\sin^{n+2}t = \sin t \cdot \sin^{n+1} t$ et en intégrant par parties, montrer que $W_{n+2} = \dfrac{n+1}{n+2}\,W_n$ .
En déduire $W_2$ , $W_3$ , $W_4$ et montrer que $(W_n)$ est décroissante et positive.

Solution

Solution de Exercice 25.9.

1. $W_0 = \int_0^{\pi/2} \dd t = \frac{\pi}{2}$ et $W_1 = \bigl[-\cos t\bigr]_0^{\pi/2} = 1$ .

2. Intégration par parties avec $u' = \sin t$ , $v = \sin^{n+1} t$ , donc $u = -\cos t$ , $v' = (n+1)\sin^n t \cos t$ :

W_{n+2} = \bigl[-\cos t \sin^{n+1} t\bigr]_0^{\pi/2} + (n+1)\int_0^{\pi/2} \cos^2 t\,\sin^n t\,\dd t = (n+1)\int_0^{\pi/2} (1 - \sin^2 t)\sin^n t\,\dd t,

le crochet s’annulant aux deux extrémités. D’où $W_{n+2} = (n+1)(W_n - W_{n+2})$ , c.-à-d. $W_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} W_n$ .

3. $W_2 = \frac12 W_0 = \frac{\pi}{4}$ , $W_3 = \frac23 W_1 = \frac23$ , $W_4 = \frac34 W_2 = \frac{3\pi}{16}$ . Sur $\intoo{0}{\frac\pi2}$ , $0 < \sin t < 1$ , donc $\sin^{n+1} t \leq \sin^n t$ avec inégalité stricte à l’intérieur ; en intégrant, $0 < W_{n+1} \leq W_n$ (en fait $<$ ) : $(W_n)$ est décroissante et positive.

Qu’une fonction de dérivée nulle sur un intervalle soit constante suit du Théorème 22.7 : elle est à la fois croissante et décroissante. ↩