Mathématiques du lycée · Grades 10–12

12Dérivation : un premier cours

À quelle vitesse une fonction change-t-elle ? La réponse en un point unique est la dérivée, le nombre le plus utile de toutes les mathématiques appliquées. Ce chapitre la construit à partir des taux de variation moyens, la calcule pour les fonctions de référence, et utilise son signe pour lire les variations d’une fonction. Tout ce qui suit est étendu et approfondi dans le Chapitre 22.

12.1 Le taux de variation moyen

Définition 12.1 (Taux de variation moyen)

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ , et $a \neq b$ dans $I$ . Le taux de variation moyen de $f$ entre $a$ et $b$ est

\frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

C’est le coefficient directeur de la sécante passant par les points $\bigl(a, f(a)\bigr)$ et $\bigl(b, f(b)\bigr)$ de la courbe.

Exemple 12.2

Une voiture parcourt $140$ km entre 14 h et 16 h : sa vitesse moyenne est $\frac{140}{2} = 70$ km/h. Le compteur, en revanche, affiche une vitesse instantanée à chaque instant — c’est exactement la notion que la dérivée rend précise.

12.2 La dérivée en un point

Définition 12.3 (Dérivée en un point)

Soit $f$ définie sur un intervalle contenant $a$ . Pour $h \neq 0$ , former le taux de variation moyen entre $a$ et $a + h$ :

r(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Si $r(h)$ se rapproche d’un unique nombre fixe lorsque $h$ se rapproche arbitrairement de $0$ , on dit que $f$ est dérivable en $a$ ; ce nombre est la dérivée de $f$ en $a$ , notée $f'(a)$ :

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Exemple 12.4

Soit $f(x) = x^2$ et $a = 1$ . Pour $h \neq 0$ :

\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \frac{h(2 + h)}{h} = 2 + h .

Lorsque $h$ tend vers $0$ , cela tend vers $2$ : la fonction $x^2$ est dérivable en $1$ et $f'(1) = 2$ . Noter la stratégie : simplifier le quotient jusqu’à ce que $h$ n’apparaisse plus au dénominateur, puis faire $h \to 0$ .

Exemple 12.5 (Un point non dérivable)

Soit $f(x) = \abs{x}$ et $a = 0$ . Alors $\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{\abs h}{h}$ , qui vaut $1$ pour $h > 0$ et $-1$ pour $h < 0$ : aucun nombre unique n’est approché, et $\abs x$ n’est pas dérivable en $0$ . Sa courbe a un coin là.

12.3 La tangente

Définition 12.6 (Tangente)

Si $f$ est dérivable en $a$ , la tangente à la courbe au point $A = \bigl(a, f(a)\bigr)$ est la droite passant par $A$ de coefficient directeur $f'(a)$ . Son équation est

y = f(a) + f'(a)(x - a).

La tangente est la position limite des sécantes par $A$ : lorsque $h \to 0$ , le second point $\bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ glisse le long de la courbe vers $A$ , et le coefficient directeur de la sécante $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tend vers $f'(a)$ .

La sécante par A et B = (a+h, f(a+h) ) a pour coefficient directeur f(a+h)-f(a)/h. Lorsque B glisse vers A, la sécante bascule dans la tangente, dont le coefficient directeur est f'(a). — La sécante par $A$ et $B = \bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ a pour coefficient directeur $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ . Lorsque $B$ glisse vers $A$ , la sécante bascule dans la tangente, dont le coefficient directeur est $f'(a)$ .

Exemple 12.7

Pour $f(x) = x^2$ en $a = 1$ : $f(1) = 1$ et $f'(1) = 2$ (Exemple 12.4), donc la tangente est

y = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1 .

C’est la droite $d_2$ trouvée par pure algèbre dans l’Exercice 10.11.

12.4 Dérivées des fonctions de référence

Proposition 12.8

Sur leurs ensembles de dérivabilité :

(c)' = 0, \quad (x)' = 1, \quad (x^2)' = 2x, \quad (x^3)' = 3x^2, \quad \left(\frac1x\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad (\sqrt x\,)' = \frac{1}{2\sqrt x} \ (x > 0).

Plus généralement, $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ pour tout entier $n \geq 1$ .

Démonstration. Chaque démonstration suit la stratégie de l’Exemple 12.4 : simplifier le taux, puis faire $h \to 0$ . Fixer $a$ dans l’ensemble de définition.

Constante et identité. $\frac{c - c}{h} = 0$ et $\frac{(a+h) - a}{h} = 1$ pour tout $h$ : les limites sont $0$ et $1$ .

Carré. $\frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h \to 2a$ .

Cube. $(a+h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3$ , donc le taux est $3a^2 + 3ah + h^2 \to 3a^2$ .

Inverse. Pour $a \neq 0$ et $h$ assez petit pour que $a + h \neq 0$ :

\frac{1}{h}\left(\frac{1}{a+h} - \frac{1}{a}\right) = \frac{1}{h} \cdot \frac{a - (a+h)}{a(a+h)} = \frac{-1}{a(a+h)} \xrightarrow[h \to 0]{} -\frac{1}{a^2}.

Racine carrée. Pour $a > 0$ , multiplier par le conjugué :

\frac{\sqrt{a+h} - \sqrt a}{h} = \frac{(a + h) - a}{h\,(\sqrt{a+h} + \sqrt a)} = \frac{1}{\sqrt{a+h} + \sqrt a} \xrightarrow[h \to 0]{} \frac{1}{2\sqrt a}.

Puissance générale. Le motif $2a$ , $3a^2$ se poursuit : en développant $(a+h)^n$ , les termes après $a^n + n\,a^{n-1}h$ portent tous $h^2$ , donc le taux tend vers $n\,a^{n-1}$ . (Une induction complète est donnée dans le Chapitre 22.) ∎

12.5 Règles de dérivation

Théorème 12.9 (Opérations)

Soient $u$ et $v$ dérivables sur $I$ et $\lambda \in \R$ . Alors $u + v$ , $\lambda u$ , $uv$ sont dérivables sur $I$ , de même que $\frac{u}{v}$ là où $v \neq 0$ , et

(u+v)' = u' + v', \qquad (\lambda u)' = \lambda u', \qquad (uv)' = u'v + uv', \qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

Démonstration des trois premières règles. Fixer $a \in I$ et abréger $\Delta u = u(a+h) - u(a)$ , $\Delta v = v(a+h) - v(a)$ .

Somme. Le taux de $u + v$ est $\frac{\Delta u + \Delta v}{h} = \frac{\Delta u}{h} + \frac{\Delta v}{h} \to u'(a) + v'(a)$ .

Multiple. Le taux de $\lambda u$ est $\lambda \frac{\Delta u}{h} \to \lambda u'(a)$ .

Produit. Ajouter et soustraire le terme mixte $u(a+h)\,v(a)$ :

\begin{align*} \frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h} &= \frac{u(a+h)v(a+h) - u(a+h)v(a) + u(a+h)v(a) - u(a)v(a)}{h}\\ &= u(a+h)\,\frac{\Delta v}{h} + v(a)\,\frac{\Delta u}{h}. \end{align*}

Lorsque $h \to 0$ : $\frac{\Delta v}{h} \to v'(a)$ , $\frac{\Delta u}{h} \to u'(a)$ , et $u(a+h) \to u(a)$ (son taux a une limite, donc $\Delta u = h \cdot \frac{\Delta u}{h} \to 0$ ). Le taux tend donc vers $u(a)v'(a) + v(a)u'(a)$ .

La règle du quotient se démontre de la même façon ; elle est admise à ce niveau et prouvée dans le Chapitre 22. ∎

Exemple 12.10

Polynôme. $f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 7x - 2$ :

f'(x) = 3 \times 3x^2 - 5 \times 2x + 7 = 9x^2 - 10x + 7 .

Quotient. $g(x) = \frac{2x+1}{x^2+1}$ : avec $u = 2x + 1$ , $v = x^2 + 1$ ,

g'(x) = \frac{2(x^2+1) - (2x+1)\,2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-2x^2 - 2x + 2}{(x^2+1)^2}.

Produit. $k(x) = x\sqrt x$ pour $x > 0$ : $k'(x) = 1 \times \sqrt x + x \times \frac{1}{2\sqrt x} = \sqrt x + \frac{\sqrt x}{2} = \frac{3\sqrt x}{2}$ .

12.6 Signe de la dérivée et variations

Théorème 12.11 (Dérivée et variations)

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ .

Si $f' \geq 0$ sur $I$ , alors $f$ est croissante sur $I$ .
Si $f' \leq 0$ sur $I$ , alors $f$ est décroissante sur $I$ .
Si $f' > 0$ sur $I$ (sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s’annule), alors $f$ est strictement croissante sur $I$ .

Démonstration. L’intuition est claire — une courbe dont toutes les tangentes pointent vers le haut doit monter — mais une démonstration rigoureuse nécessite le théorème des accroissements finis. Le résultat est admis à ce niveau ; voir le Théorème 22.7. ∎

Proposition 12.12 (Extrema)

Si $f'$ change de signe en $a$ de $+$ à $-$ , alors $f$ a un maximum local en $a$ ; de $-$ à $+$ , un minimum local. En un tel point, $f'(a) = 0$ et la tangente est horizontale.

Démonstration. Si $f' \geq 0$ sur un intervalle se terminant en $a$ et $f' \leq 0$ sur un intervalle commençant en $a$ , alors $f$ croît jusqu’à $f(a)$ et décroît ensuite (Théorème 12.11) : $f(a)$ est le plus grand au voisinage. Comme $f'$ change de signe en $a$ et y est définie, $f'(a) = 0$ . ∎

Méthode 12.13 (Étudier une fonction)

Calculer $f'(x)$ et le simplifier — idéalement sous forme factorisée.
Déterminer le signe de $f'(x)$ sur chaque intervalle (pour un $f'$ du second degré, utiliser le Théorème 10.11).
Enregistrer les résultats dans un tableau de variations : une ligne pour le signe de $f'$ , une ligne de flèches pour $f$ , avec les valeurs de $f$ aux points de retournement.
Conclure : extrema, nombre de solutions de $f(x) = k$ , inégalités.

Exemple 12.14

Étudier $f(x) = x^3 - 3x + 1$ sur $\R$ . D’abord, $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ : un trinôme de racines $-1$ et $1$ , positif à l’extérieur. Donc $f$ est croissante sur $\intoc{-\infty}{-1}$ , décroissante sur $\intcc{-1}{1}$ , croissante sur $\intco{1}{+\infty}$ , avec un maximum local $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$ et un minimum local $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$ .

La courbe de f(x) = x3 - 3x + 1 () : tangentes horizontales (orange) au maximum local (-1, 3) et au minimum local (1, -1), où f' change de signe. — La courbe de $f(x) = x^3 - 3x + 1$ (Exemple 12.14) : tangentes horizontales (orange) au maximum local $(-1, 3)$ et au minimum local $(1, -1)$ , où $f'$ change de signe.

Exemple 12.15 (Optimisation)

Une boîte ouverte est fabriquée à partir d’une feuille de $12 \times 12$ cm en découpant un carré de côté $x$ à chaque coin et en pliant. Son volume est $V(x) = x(12 - 2x)^2$ pour $0 < x < 6$ . En développant, $V(x) = 4x^3 - 48x^2 + 144x$ , donc

V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 12(x^2 - 8x + 12) = 12(x - 2)(x - 6).

Sur $\intoo{0}{6}$ , le facteur $x - 6$ est négatif, donc $V'(x)$ a le signe de $-(x-2)$ : positif avant $2$ , négatif après. Le volume est maximal pour $x = 2$ cm, donnant $V(2) = 2 \times 8^2 = 128$ cm $^3$ .

12.7 Exercices

Exercice 12.1 ★

En utilisant la définition (taux de variation, puis $h \to 0$ ), calculer $f'(2)$ pour $f(x) = x^2$ , puis $g'(1)$ pour $g(x) = x^2 + 3x$ .

Solution

Solution de Exercice 12.1.

Pour $f(x) = x^2$ en $a = 2$ :

\frac{(2+h)^2 - 4}{h} = \frac{4h + h^2}{h} = 4 + h \xrightarrow[h\to0]{} 4,

donc $f'(2) = 4$ . Pour $g(x) = x^2 + 3x$ en $a = 1$ : $g(1) = 4$ et

\frac{(1+h)^2 + 3(1+h) - 4}{h} = \frac{5h + h^2}{h} = 5 + h \xrightarrow[h\to0]{} 5,

donc $g'(1) = 5$ .

Exercice 12.2 ★

Dériver :

f(x) = 4x^3 - 2x^2 + x - 7, \qquad g(x) = 5\sqrt{x} + \frac{3}{x}, \qquad h(x) = (2x+1)(x^2 - 3) .

Solution

Solution de Exercice 12.2.

$f'(x) = 12x^2 - 4x + 1$ .

$g'(x) = \frac{5}{2\sqrt x} - \frac{3}{x^2}$ (sur $\intoo{0}{+\infty}$ ).

$h'(x) = 2(x^2 - 3) + (2x+1)(2x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6$ (règle du produit).

Exercice 12.3 ★

Donner l’équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ :

f(x) = x^2 - 3x, \ a = 2; \qquad f(x) = \frac1x, \ a = 1; \qquad f(x) = \sqrt x, \ a = 4 .

Solution

Solution de Exercice 12.3.

$f(x) = x^2 - 3x$ , $a = 2$ : $f(2) = -2$ , $f'(x) = 2x - 3$ donc $f'(2) = 1$ ; tangente $y = -2 + (x - 2) = x - 4$ .

$f(x) = \frac1x$ , $a = 1$ : $f(1) = 1$ , $f'(1) = -1$ ; tangente $y = 1 - (x - 1) = 2 - x$ .

$f(x) = \sqrt x$ , $a = 4$ : $f(4) = 2$ , $f'(4) = \frac{1}{2\sqrt4} = \frac14$ ; tangente $y = 2 + \frac14(x - 4) = \frac{x}{4} + 1$ .

Exercice 12.4 ★

Dériver les quotients :

f(x) = \frac{x+2}{x-1}, \qquad g(x) = \frac{x^2}{x^2+1}, \qquad h(x) = \frac{1}{x^2 + x + 1} .

Solution

Solution de Exercice 12.4.

$f'(x) = \frac{(x-1) - (x+2)}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$ .

$g'(x) = \frac{2x(x^2+1) - x^2 \times 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2x}{(x^2+1)^2}$ .

$h'(x) = -\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}$ (règle du quotient avec $u = 1$ ).

Exercice 12.5 ★★

Étudier les variations de $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$ sur $\R$ (tableau de variations, extrema locaux).

Solution

Solution de Exercice 12.5.

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$ : positif à l’extérieur de $\intcc{1}{3}$ , négatif à l’intérieur. Donc $f$ est croissante sur $\intoc{-\infty}{1}$ , décroissante sur $\intcc{1}{3}$ , croissante sur $\intco{3}{+\infty}$ , avec un maximum local $f(1) = 1 - 6 + 9 - 2 = 2$ et un minimum local $f(3) = 27 - 54 + 27 - 2 = -2$ .

Exercice 12.6 ★★

Étudier les variations de $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x + 1}$ sur $\intoo{-1}{+\infty}$ .

Solution

Solution de Exercice 12.6.

Sur $\intoo{-1}{+\infty}$ :

f'(x) = \frac{2x(x+1) - (x^2+3)}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x+1)^2} = \frac{(x+3)(x-1)}{(x+1)^2}.

Pour $x > -1$ , $x + 3$ et $(x+1)^2$ sont tous deux positifs, donc $f'(x)$ a le signe de $x - 1$ : $f$ est décroissante sur $\intoc{-1}{1}$ et croissante sur $\intco{1}{+\infty}$ , avec minimum $f(1) = \frac{4}{2} = 2$ .

Exercice 12.7 ★★

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 5$ .

Trouver le point de la courbe où la tangente est horizontale.
Trouver le ou les points où la tangente est parallèle à la droite $y = 2x + 1$ .

Solution

Solution de Exercice 12.7.

$f'(x) = 2x - 4$ .

1. Tangente horizontale : $f'(x) = 0$ en $x = 2$ ; le point est $(2, f(2)) = (2, 1)$ (le sommet de la parabole).

2. Parallèle à $y = 2x + 1$ signifie pente $2$ : $2x - 4 = 2$ , donc $x = 3$ , donnant le point $(3, f(3)) = (3, 2)$ .

Exercice 12.8 ★★

Un enclos rectangulaire est construit contre un mur avec $60$ m de clôture (trois côtés). Exprimer l’aire en fonction de la largeur $x$ , et utiliser la dérivée pour trouver les dimensions d’aire maximale. (Comparer avec la méthode du sommet du Chapitre 10.)

Solution

Solution de Exercice 12.8.

Avec largeur $x$ (deux côtés clôturés) et longueur $60 - 2x$ : $A(x) = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2$ sur $\intoo{0}{30}$ . Alors $A'(x) = 60 - 4x$ , positif avant $x = 15$ et négatif après : l’aire est maximale pour $x = 15$ , donnant un enclos $15 \times 30$ m d’aire $450$ m $^2$ . La formule du sommet $\alpha = -\frac{60}{2 \times (-2)} = 15$ du Chapitre 10 donne la même réponse sans calcul différentiel.

Exercice 12.9 ★★

Montrer que pour tout $x > 0$ , $\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2}$ , en étudiant la fonction $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ .

Solution

Solution de Exercice 12.9.

Soit $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ . Alors

f'(x) = \frac12 - \frac{1}{2\sqrt x} = \frac{\sqrt x - 1}{2\sqrt x},

qui a le signe de $\sqrt x - 1$ : négatif sur $\intoo{0}{1}$ , positif sur $\intoo{1}{+\infty}$ . Donc $f$ décroît puis croît, avec minimum $f(1) = 1 - 1 = 0$ . D’où $f(x) \geq 0$ pour tout $x > 0$ , c’est-à-dire $\sqrt x \leq \frac{x+1}{2}$ , avec égalité seulement en $x = 1$ .

Exercice 12.10 ★★

Une boîte cylindrique doit contenir $500$ cm $^3$ . Son aire totale (deux disques plus le côté) est $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ avec $\pi r^2 h = 500$ . Exprimer $S$ en fonction de $r$ seul, et montrer que $S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}$ . En déduire le rayon qui minimise l’aire, sous forme exacte.

Solution

Solution de Exercice 12.10.

De $\pi r^2 h = 500$ , $h = \frac{500}{\pi r^2}$ , donc

S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{1000}{r}, \qquad S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}.

$S'(r) = 0$ lorsque $4\pi r^3 = 1000$ , c’est-à-dire $r^3 = \frac{250}{\pi}$ , donc $r = \sqrt[3]{250/\pi}$ ( $\approx 4.3$ cm). Comme $S'(r) = \frac{4\pi r^3 - 1000}{r^2}$ est négatif avant cette valeur et positif après, c’est un minimum.

Exercice 12.11 ★★★

Combien de tangentes à la parabole $y = x^2$ passent par le point extérieur $P(1, -3)$ ? Déterminer leurs équations. (Soit $a$ l’abscisse du point de contact et exprimer que la tangente en $a$ passe par $P$ .)

Solution

Solution de Exercice 12.11.

La tangente à $y = x^2$ au point d’abscisse $a$ est $y = a^2 + 2a(x - a) = 2ax - a^2$ . Elle passe par $P(1, -3)$ lorsque $-3 = 2a - a^2$ , c’est-à-dire $a^2 - 2a - 3 = 0$ , dont les racines sont $a = 3$ et $a = -1$ ( $\Delta = 16$ ). Il y a donc deux tangentes par $P$ :

y = 6x - 9 \quad (a = 3), \qquad y = -2x - 1 \quad (a = -1).

Exercice 12.12 ★★★

Soit $f(x) = x^3 - 3x + 1$ (voir l’Exemple 12.14). À l’aide du tableau de variations, déterminer le nombre de solutions de l’équation $f(x) = k$ selon la valeur du réel $k$ .

Solution

Solution de Exercice 12.12.

D’après l’Exemple 12.14, $f$ croît jusqu’au maximum local $f(-1) = 3$ , décroît jusqu’au minimum local $f(1) = -1$ , puis croît à nouveau ; pour $x$ grand positif (resp. négatif), $x^3$ domine et $f$ prend des valeurs arbitrairement grandes (resp. petites). En lisant les droites horizontales $y = k$ sur le tableau de variations :

$k > 3$ ou $k < -1$ : la droite rencontre la courbe une fois — $1$ solution ;
$k = 3$ ou $k = -1$ : la droite touche un point de retournement et croise une autre branche — $2$ solutions ;
$-1 < k < 3$ : la droite croise les trois branches — $3$ solutions.