Mathématiques du lycée · Grades 10–12

12Dérivation : un premier cours

À quelle vitesse une fonction change-t-elle ? La réponse en un point unique est la dérivée, le nombre le plus utile de toutes les mathématiques appliquées. Ce chapitre la construit à partir des taux de variation moyens, la calcule pour les fonctions de référence, et utilise son signe pour lire les variations d’une fonction. Tout ce qui suit est étendu et approfondi dans le Chapitre 22.

12.1 Le taux de variation moyen

Définition 12.1 (Taux de variation moyen)

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ , et $a \neq b$ dans $I$ . Le taux de variation moyen de $f$ entre $a$ et $b$ est

\frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

C’est le coefficient directeur de la sécante passant par les points $\bigl(a, f(a)\bigr)$ et $\bigl(b, f(b)\bigr)$ de la courbe.

Exemple 12.2

Une voiture parcourt $140$ km entre 14 h et 16 h : sa vitesse moyenne est $\frac{140}{2} = 70$ km/h. Le compteur, en revanche, affiche une vitesse instantanée à chaque instant — c’est exactement la notion que la dérivée rend précise.

12.2 La dérivée en un point

Définition 12.3 (Dérivée en un point)

Soit $f$ définie sur un intervalle contenant $a$ . Pour $h \neq 0$ , former le taux de variation moyen entre $a$ et $a + h$ :

r(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Si $r(h)$ se rapproche d’un unique nombre fixe lorsque $h$ se rapproche arbitrairement de $0$ , on dit que $f$ est dérivable en $a$ ; ce nombre est la dérivée de $f$ en $a$ , notée $f'(a)$ :

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Exemple 12.4

Soit $f(x) = x^2$ et $a = 1$ . Pour $h \neq 0$ :

\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \frac{h(2 + h)}{h} = 2 + h .

Lorsque $h$ tend vers $0$ , cela tend vers $2$ : la fonction $x^2$ est dérivable en $1$ et $f'(1) = 2$ . Noter la stratégie : simplifier le quotient jusqu’à ce que $h$ n’apparaisse plus au dénominateur, puis faire $h \to 0$ .

Exemple 12.5 (Un point non dérivable)

Soit $f(x) = \abs{x}$ et $a = 0$ . Alors $\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{\abs h}{h}$ , qui vaut $1$ pour $h > 0$ et $-1$ pour $h < 0$ : aucun nombre unique n’est approché, et $\abs x$ n’est pas dérivable en $0$ . Sa courbe a un coin là.

12.3 La tangente

Définition 12.6 (Tangente)

Si $f$ est dérivable en $a$ , la tangente à la courbe au point $A = \bigl(a, f(a)\bigr)$ est la droite passant par $A$ de coefficient directeur $f'(a)$ . Son équation est

y = f(a) + f'(a)(x - a).

La tangente est la position limite des sécantes par $A$ : lorsque $h \to 0$ , le second point $\bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ glisse le long de la courbe vers $A$ , et le coefficient directeur de la sécante $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tend vers $f'(a)$ .

La sécante par A et B = (a+h, f(a+h) ) a pour coefficient directeur f(a+h)-f(a)/h. Lorsque B glisse vers A, la sécante bascule dans la tangente, dont le coefficient directeur est f'(a). — La sécante par $A$ et $B = \bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ a pour coefficient directeur $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ . Lorsque $B$ glisse vers $A$ , la sécante bascule dans la tangente, dont le coefficient directeur est $f'(a)$ .

Exemple 12.7

Pour $f(x) = x^2$ en $a = 1$ : $f(1) = 1$ et $f'(1) = 2$ (Exemple 12.4), donc la tangente est

y = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1 .

C’est la droite $d_2$ trouvée par pure algèbre dans l’Exercice 10.11.

12.4 Dérivées des fonctions de référence

Proposition 12.8

Sur leurs ensembles de dérivabilité :

(c)' = 0, \quad (x)' = 1, \quad (x^2)' = 2x, \quad (x^3)' = 3x^2, \quad \left(\frac1x\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad (\sqrt x\,)' = \frac{1}{2\sqrt x} \ (x > 0).

Plus généralement, $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ pour tout entier $n \geq 1$ .

Démonstration. Chaque démonstration suit la stratégie de l’Exemple 12.4 : simplifier le taux, puis faire $h \to 0$ . Fixer $a$ dans l’ensemble de définition.

Constante et identité. $\frac{c - c}{h} = 0$ et $\frac{(a+h) - a}{h} = 1$ pour tout $h$ : les limites sont $0$ et $1$ .

Carré. $\frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h \to 2a$ .

Cube. $(a+h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3$ , donc le taux est $3a^2 + 3ah + h^2 \to 3a^2$ .

Inverse. Pour $a \neq 0$ et $h$ assez petit pour que $a + h \neq 0$ :

\frac{1}{h}\left(\frac{1}{a+h} - \frac{1}{a}\right) = \frac{1}{h} \cdot \frac{a - (a+h)}{a(a+h)} = \frac{-1}{a(a+h)} \xrightarrow[h \to 0]{} -\frac{1}{a^2}.

Racine carrée. Pour $a > 0$ , multiplier par le conjugué :

\frac{\sqrt{a+h} - \sqrt a}{h} = \frac{(a + h) - a}{h\,(\sqrt{a+h} + \sqrt a)} = \frac{1}{\sqrt{a+h} + \sqrt a} \xrightarrow[h \to 0]{} \frac{1}{2\sqrt a}.

Puissance générale. Le motif $2a$ , $3a^2$ se poursuit : en développant $(a+h)^n$ , les termes après $a^n + n\,a^{n-1}h$ portent tous $h^2$ , donc le taux tend vers $n\,a^{n-1}$ . (Une induction complète est donnée dans le Chapitre 22.) ∎

12.5 Règles de dérivation

Théorème 12.9 (Opérations)

Soient $u$ et $v$ dérivables sur $I$ et $\lambda \in \R$ . Alors $u + v$ , $\lambda u$ , $uv$ sont dérivables sur $I$ , de même que $\frac{u}{v}$ là où $v \neq 0$ , et

(u+v)' = u' + v', \qquad (\lambda u)' = \lambda u', \qquad (uv)' = u'v + uv', \qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

Démonstration des trois premières règles. Fixer $a \in I$ et abréger $\Delta u = u(a+h) - u(a)$ , $\Delta v = v(a+h) - v(a)$ .

Somme. Le taux de $u + v$ est $\frac{\Delta u + \Delta v}{h} = \frac{\Delta u}{h} + \frac{\Delta v}{h} \to u'(a) + v'(a)$ .

Multiple. Le taux de $\lambda u$ est $\lambda \frac{\Delta u}{h} \to \lambda u'(a)$ .

Produit. Ajouter et soustraire le terme mixte $u(a+h)\,v(a)$ :

\begin{align*} \frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h} &= \frac{u(a+h)v(a+h) - u(a+h)v(a) + u(a+h)v(a) - u(a)v(a)}{h}\\ &= u(a+h)\,\frac{\Delta v}{h} + v(a)\,\frac{\Delta u}{h}. \end{align*}

Lorsque $h \to 0$ : $\frac{\Delta v}{h} \to v'(a)$ , $\frac{\Delta u}{h} \to u'(a)$ , et $u(a+h) \to u(a)$ (son taux a une limite, donc $\Delta u = h \cdot \frac{\Delta u}{h} \to 0$ ). Le taux tend donc vers $u(a)v'(a) + v(a)u'(a)$ .

La règle du quotient se démontre de la même façon ; elle est admise à ce niveau et prouvée dans le Chapitre 22. ∎

Exemple 12.10

Polynôme. $f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 7x - 2$ :

f'(x) = 3 \times 3x^2 - 5 \times 2x + 7 = 9x^2 - 10x + 7 .

Quotient. $g(x) = \frac{2x+1}{x^2+1}$ : avec $u = 2x + 1$ , $v = x^2 + 1$ ,

g'(x) = \frac{2(x^2+1) - (2x+1)\,2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-2x^2 - 2x + 2}{(x^2+1)^2}.

Produit. $k(x) = x\sqrt x$ pour $x > 0$ : $k'(x) = 1 \times \sqrt x + x \times \frac{1}{2\sqrt x} = \sqrt x + \frac{\sqrt x}{2} = \frac{3\sqrt x}{2}$ .

12.6 Signe de la dérivée et variations

Théorème 12.11 (Dérivée et variations)

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ .

Si $f' \geq 0$ sur $I$ , alors $f$ est croissante sur $I$ .
Si $f' \leq 0$ sur $I$ , alors $f$ est décroissante sur $I$ .
Si $f' > 0$ sur $I$ (sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s’annule), alors $f$ est strictement croissante sur $I$ .

Démonstration. L’intuition est claire — une courbe dont toutes les tangentes pointent vers le haut doit monter — mais une démonstration rigoureuse nécessite le théorème des accroissements finis. Le résultat est admis à ce niveau ; voir le Théorème 22.7. ∎

Proposition 12.12 (Extrema)

Si $f'$ change de signe en $a$ de $+$ à $-$ , alors $f$ a un maximum local en $a$ ; de $-$ à $+$ , un minimum local. En un tel point, $f'(a) = 0$ et la tangente est horizontale.

Démonstration. Si $f' \geq 0$ sur un intervalle se terminant en $a$ et $f' \leq 0$ sur un intervalle commençant en $a$ , alors $f$ croît jusqu’à $f(a)$ et décroît ensuite (Théorème 12.11) : $f(a)$ est le plus grand au voisinage. Comme $f'$ change de signe en $a$ et y est définie, $f'(a) = 0$ . ∎

Méthode 12.13 (Étudier une fonction)

Calculer $f'(x)$ et le simplifier — idéalement sous forme factorisée.
Déterminer le signe de $f'(x)$ sur chaque intervalle (pour un $f'$ du second degré, utiliser le Théorème 10.11).
Enregistrer les résultats dans un tableau de variations : une ligne pour le signe de $f'$ , une ligne de flèches pour $f$ , avec les valeurs de $f$ aux points de retournement.
Conclure : extrema, nombre de solutions de $f(x) = k$ , inégalités.

Exemple 12.14

Étudier $f(x) = x^3 - 3x + 1$ sur $\R$ . D’abord, $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ : un trinôme de racines $-1$ et $1$ , positif à l’extérieur. Donc $f$ est croissante sur $\intoc{-\infty}{-1}$ , décroissante sur $\intcc{-1}{1}$ , croissante sur $\intco{1}{+\infty}$ , avec un maximum local $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$ et un minimum local $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$ .

La courbe de f(x) = x3 - 3x + 1 () : tangentes horizontales (orange) au maximum local (-1, 3) et au minimum local (1, -1), où f' change de signe. — La courbe de $f(x) = x^3 - 3x + 1$ (Exemple 12.14) : tangentes horizontales (orange) au maximum local $(-1, 3)$ et au minimum local $(1, -1)$ , où $f'$ change de signe.

Exemple 12.15 (Optimisation)

Une boîte ouverte est fabriquée à partir d’une feuille de $12 \times 12$ cm en découpant un carré de côté $x$ à chaque coin et en pliant. Son volume est $V(x) = x(12 - 2x)^2$ pour $0 < x < 6$ . En développant, $V(x) = 4x^3 - 48x^2 + 144x$ , donc

V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 12(x^2 - 8x + 12) = 12(x - 2)(x - 6).

Sur $\intoo{0}{6}$ , le facteur $x - 6$ est négatif, donc $V'(x)$ a le signe de $-(x-2)$ : positif avant $2$ , négatif après. Le volume est maximal pour $x = 2$ cm, donnant $V(2) = 2 \times 8^2 = 128$ cm $^3$ .

12.7 Exercices

Exercice 12.1 ★

En utilisant la définition (taux de variation, puis $h \to 0$ ), calculer $f'(2)$ pour $f(x) = x^2$ , puis $g'(1)$ pour $g(x) = x^2 + 3x$ .

Solution

Solution de Exercice 12.1.

Pour $f(x) = x^2$ en $a = 2$ :

\frac{(2+h)^2 - 4}{h} = \frac{4h + h^2}{h} = 4 + h \xrightarrow[h\to0]{} 4,

donc $f'(2) = 4$ . Pour $g(x) = x^2 + 3x$ en $a = 1$ : $g(1) = 4$ et

\frac{(1+h)^2 + 3(1+h) - 4}{h} = \frac{5h + h^2}{h} = 5 + h \xrightarrow[h\to0]{} 5,

donc $g'(1) = 5$ .

Exercice 12.2 ★

Dériver :

f(x) = 4x^3 - 2x^2 + x - 7, \qquad g(x) = 5\sqrt{x} + \frac{3}{x}, \qquad h(x) = (2x+1)(x^2 - 3) .

Solution

Solution de Exercice 12.2.

$f'(x) = 12x^2 - 4x + 1$ .

$g'(x) = \frac{5}{2\sqrt x} - \frac{3}{x^2}$ (sur $\intoo{0}{+\infty}$ ).

$h'(x) = 2(x^2 - 3) + (2x+1)(2x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6$ (règle du produit).

Exercice 12.3 ★

Donner l’équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ :

f(x) = x^2 - 3x, \ a = 2; \qquad f(x) = \frac1x, \ a = 1; \qquad f(x) = \sqrt x, \ a = 4 .

Solution

Solution de Exercice 12.3.

$f(x) = x^2 - 3x$ , $a = 2$ : $f(2) = -2$ , $f'(x) = 2x - 3$ donc $f'(2) = 1$ ; tangente $y = -2 + (x - 2) = x - 4$ .

$f(x) = \frac1x$ , $a = 1$ : $f(1) = 1$ , $f'(1) = -1$ ; tangente $y = 1 - (x - 1) = 2 - x$ .

$f(x) = \sqrt x$ , $a = 4$ : $f(4) = 2$ , $f'(4) = \frac{1}{2\sqrt4} = \frac14$ ; tangente $y = 2 + \frac14(x - 4) = \frac{x}{4} + 1$ .

Exercice 12.4 ★

Dériver les quotients :

f(x) = \frac{x+2}{x-1}, \qquad g(x) = \frac{x^2}{x^2+1}, \qquad h(x) = \frac{1}{x^2 + x + 1} .

Solution

Solution de Exercice 12.4.

$f'(x) = \frac{(x-1) - (x+2)}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$ .

$g'(x) = \frac{2x(x^2+1) - x^2 \times 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2x}{(x^2+1)^2}$ .

$h'(x) = -\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}$ (règle du quotient avec $u = 1$ ).

Exercice 12.5 ★★

Étudier les variations de $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$ sur $\R$ (tableau de variations, extrema locaux).

Solution

Solution de Exercice 12.5.

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$ : positif à l’extérieur de $\intcc{1}{3}$ , négatif à l’intérieur. Donc $f$ est croissante sur $\intoc{-\infty}{1}$ , décroissante sur $\intcc{1}{3}$ , croissante sur $\intco{3}{+\infty}$ , avec un maximum local $f(1) = 1 - 6 + 9 - 2 = 2$ et un minimum local $f(3) = 27 - 54 + 27 - 2 = -2$ .

Exercice 12.6 ★★

Étudier les variations de $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x + 1}$ sur $\intoo{-1}{+\infty}$ .

Solution

Solution de Exercice 12.6.

Sur $\intoo{-1}{+\infty}$ :

f'(x) = \frac{2x(x+1) - (x^2+3)}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x+1)^2} = \frac{(x+3)(x-1)}{(x+1)^2}.

Pour $x > -1$ , $x + 3$ et $(x+1)^2$ sont tous deux positifs, donc $f'(x)$ a le signe de $x - 1$ : $f$ est décroissante sur $\intoc{-1}{1}$ et croissante sur $\intco{1}{+\infty}$ , avec minimum $f(1) = \frac{4}{2} = 2$ .

Exercice 12.7 ★★

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 5$ .

Trouver le point de la courbe où la tangente est horizontale.
Trouver le ou les points où la tangente est parallèle à la droite $y = 2x + 1$ .

Solution

Solution de Exercice 12.7.

$f'(x) = 2x - 4$ .

1. Tangente horizontale : $f'(x) = 0$ en $x = 2$ ; le point est $(2, f(2)) = (2, 1)$ (le sommet de la parabole).

2. Parallèle à $y = 2x + 1$ signifie pente $2$ : $2x - 4 = 2$ , donc $x = 3$ , donnant le point $(3, f(3)) = (3, 2)$ .

Exercice 12.8 ★★

Un enclos rectangulaire est construit contre un mur avec $60$ m de clôture (trois côtés). Exprimer l’aire en fonction de la largeur $x$ , et utiliser la dérivée pour trouver les dimensions d’aire maximale. (Comparer avec la méthode du sommet du Chapitre 10.)

Solution

Solution de Exercice 12.8.

Avec largeur $x$ (deux côtés clôturés) et longueur $60 - 2x$ : $A(x) = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2$ sur $\intoo{0}{30}$ . Alors $A'(x) = 60 - 4x$ , positif avant $x = 15$ et négatif après : l’aire est maximale pour $x = 15$ , donnant un enclos $15 \times 30$ m d’aire $450$ m $^2$ . La formule du sommet $\alpha = -\frac{60}{2 \times (-2)} = 15$ du Chapitre 10 donne la même réponse sans calcul différentiel.

Exercice 12.9 ★★

Montrer que pour tout $x > 0$ , $\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2}$ , en étudiant la fonction $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ .

Solution

Solution de Exercice 12.9.

Soit $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ . Alors

f'(x) = \frac12 - \frac{1}{2\sqrt x} = \frac{\sqrt x - 1}{2\sqrt x},

qui a le signe de $\sqrt x - 1$ : négatif sur $\intoo{0}{1}$ , positif sur $\intoo{1}{+\infty}$ . Donc $f$ décroît puis croît, avec minimum $f(1) = 1 - 1 = 0$ . D’où $f(x) \geq 0$ pour tout $x > 0$ , c’est-à-dire $\sqrt x \leq \frac{x+1}{2}$ , avec égalité seulement en $x = 1$ .

Exercice 12.10 ★★

Une boîte cylindrique doit contenir $500$ cm $^3$ . Son aire totale (deux disques plus le côté) est $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ avec $\pi r^2 h = 500$ . Exprimer $S$ en fonction de $r$ seul, et montrer que $S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}$ . En déduire le rayon qui minimise l’aire, sous forme exacte.

Solution

Solution de Exercice 12.10.

De $\pi r^2 h = 500$ , $h = \frac{500}{\pi r^2}$ , donc

S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{1000}{r}, \qquad S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}.

$S'(r) = 0$ lorsque $4\pi r^3 = 1000$ , c’est-à-dire $r^3 = \frac{250}{\pi}$ , donc $r = \sqrt[3]{250/\pi}$ ( $\approx 4.3$ cm). Comme $S'(r) = \frac{4\pi r^3 - 1000}{r^2}$ est négatif avant cette valeur et positif après, c’est un minimum.

Exercice 12.11 ★★★

Combien de tangentes à la parabole $y = x^2$ passent par le point extérieur $P(1, -3)$ ? Déterminer leurs équations. (Soit $a$ l’abscisse du point de contact et exprimer que la tangente en $a$ passe par $P$ .)

Solution

Solution de Exercice 12.11.

La tangente à $y = x^2$ au point d’abscisse $a$ est $y = a^2 + 2a(x - a) = 2ax - a^2$ . Elle passe par $P(1, -3)$ lorsque $-3 = 2a - a^2$ , c’est-à-dire $a^2 - 2a - 3 = 0$ , dont les racines sont $a = 3$ et $a = -1$ ( $\Delta = 16$ ). Il y a donc deux tangentes par $P$ :

y = 6x - 9 \quad (a = 3), \qquad y = -2x - 1 \quad (a = -1).

Exercice 12.12 ★★★

Soit $f(x) = x^3 - 3x + 1$ (voir l’Exemple 12.14). À l’aide du tableau de variations, déterminer le nombre de solutions de l’équation $f(x) = k$ selon la valeur du réel $k$ .

Solution

Solution de Exercice 12.12.

D’après l’Exemple 12.14, $f$ croît jusqu’au maximum local $f(-1) = 3$ , décroît jusqu’au minimum local $f(1) = -1$ , puis croît à nouveau ; pour $x$ grand positif (resp. négatif), $x^3$ domine et $f$ prend des valeurs arbitrairement grandes (resp. petites). En lisant les droites horizontales $y = k$ sur le tableau de variations :

$k > 3$ ou $k < -1$ : la droite rencontre la courbe une fois — $1$ solution ;
$k = 3$ ou $k = -1$ : la droite touche un point de retournement et croise une autre branche — $2$ solutions ;
$-1 < k < 3$ : la droite croise les trois branches — $3$ solutions.

12.8 Problème : les trois métiers de la tangente

Problème 12.1

Devoir du week-end — le miroir parabolique démontré, la machine à trouver les racines de Newton, et la poutre la plus résistante du tronc

Une dérivée trace des tangentes ; le talent paraît modeste. Ce problème montre la tangente exerçant trois métiers à la fois : elle démontre le théorème du phare laissé en suspens au Problème 10.1 (tout rayon parallèle à l’axe d’une parabole se réfléchit en passant par le foyer), elle fait tourner l’algorithme de résolution d’équations le plus rapide en usage courant — présent dans chaque calculatrice et dans chaque réseau de neurones — et elle trouve la poutre rectangulaire la plus résistante qu’un tronc rond puisse fournir.

Partie I — Aisance avec les tangentes.

Dériver $f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ et $g(x) = x^3 - 12x$ (Théorème 12.9) ; et retrouver $\left(x^2\right)'$ en $x = 1$ à partir de la définition (taux de variation, puis $h \to 0$ ).
Déterminer la tangente à $y = x^3 - 12x$ en $a = 2$ . Qu’a-t-elle de particulier, et qu’est-ce que cela signale (Proposition 12.12) ?
Établir l’équation générale de la tangente à la parabole $y = x^2$ au point $(a, a^2)$ :

$y = 2ax - a^2 .$
Où cette tangente coupe-t-elle l’axe des ordonnées ? En déduire la recette du dessinateur : pour tracer la tangente en un point $P$ de hauteur $h$ sur la parabole, joindre $P$ au point de l’axe situé à la profondeur … sous l’origine. L’énoncer.
Construire le tableau de variations complet de $g(x) = x^3 - 12x$ (signe de $g'$ , extremums locaux et leurs valeurs, Méthode 12.13).

Partie II — Le théorème du miroir. Soit $P(a, a^2)$ un point de la parabole $y = x^2$ (avec $a \neq 0$ ), $F\left(0, \frac14\right)$ le foyer, et $T$ le point où la tangente en $P$ coupe l’axe des ordonnées (question 4). On rappelle du Problème 10.1 que $PF = a^2 + \frac14$ .

Calculer la distance $FT$ .
En déduire que le triangle $FPT$ est isocèle en $F$ . Quels sont donc les deux angles égaux ?
Le rayon incident qui passe par $P$ , parallèle à l’axe, est parallèle à la droite $(TF)$ (tous deux verticaux). À l’aide des angles alternes-internes, montrer que la tangente en $P$ fait des angles égaux avec le rayon vertical incident et avec le segment $[PF]$ .
Physique : la lumière se réfléchit sur une courbe comme sur sa tangente, en repartant sous le même angle qu’à l’arrivée (loi de la réflexion). En déduire le théorème du miroir : tout rayon parallèle à l’axe se réfléchit en passant par le foyer — et, en renversant le temps, une ampoule placée au foyer envoie un faisceau parallèle. L’antenne et le phare du Problème 10.1 sont désormais des théorèmes.
Vérifier numériquement le triangle isocèle pour $a = 1$ : calculer $T$ , $FP$ et $FT$ .

Partie III — La machine de Newton. Pour résoudre $f(x) = 0$ , Newton proposait ceci : partir d’une estimation $x_0$ , suivre la tangente en $x_0$ jusqu’à l’axe, et prendre son point d’intersection comme estimation suivante.

Établir la formule de la méthode :

$x_{n + 1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} .$
L’appliquer à $f(x) = x^2 - 2$ à partir de $x_0 = 1$ : calculer $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ sous forme de fractions exactes. Quelle suite vieille de deux mille ans — et quelle machine du Problème 3.1 — vient-on de reconstruire ? Démontrer l’identité qui explique la coïncidence :

$x - \frac{x^2 - 2}{2x} = \frac12\left(x + \frac2x\right).$
Résoudre $x^3 = 100$ (le croisement des plans d’épargne du Problème 4.1) : appliquer deux pas de Newton à $f(x) = x^3 - 100$ à partir de $x_0 = 5$ (quatre décimales), et comparer avec le $\sqrt[3]{100}$ de la calculatrice.
Sabotage : essayer de lancer la méthode sur $f(x) = x^3 - 12x$ en $x_0 = 2$ . Qu’est-ce qui échoue, et pourquoi (question 2) ? Énoncer la mise en garde pratique.
À la question 12, le nombre de décimales exactes est passé d’environ $1$ à $3$ puis à $6$ . Comparer avec la dichotomie (division d’un intervalle par deux à chaque pas) et dire en une phrase pourquoi calculatrices, récepteurs GPS et entraînement des réseaux de neurones fonctionnent tous sur l’idée de Newton.

Partie IV — La poutre la plus résistante. On scie une poutre rectangulaire de largeur $w$ et de hauteur $d$ dans un tronc rond de diamètre $30$ cm, de sorte que $w^2 + d^2 = 900$ . La rigidité d’une poutre est proportionnelle à $w d^2$ (la hauteur compte double : les solives se posent sur chant !).

Exprimer la rigidité en fonction de $w$ seul : $S(w) = 900w - w^3$ , sur quel intervalle ?
Dériver, construire le tableau de variations, et déterminer les valeurs optimales de $w$ et $d$ (valeurs exactes, puis au millimètre).
Montrer que les proportions optimales vérifient $d = w\sqrt2$ — le vieux rapport des charpentiers. (Anecdote en prime : partager le diamètre du tronc en trois parts égales et élever des perpendiculaires jusqu’au cercle construit exactement ce rectangle.)
Le choix naïf est la poutre carrée ( $w = d$ ). Calculer sa rigidité et celle de la poutre optimale, et donner le gain du charpentier en pourcentage.
Pour finir — les trois métiers de la tangente, une phrase pour chacun : géométrie (le théorème du miroir), calcul numérique (la machine de Newton), optimisation (la poutre), tous mus par le même objet. Et l’annonce : l’an prochain, la convexité — de quel côté de la tangente se tient la courbe — viendra affûter les trois.

Solution

Solution de Problème 12.1.

1. $f'(x) = 6x - 5$ ; $g'(x) = 3x^2 - 12$ . Par la définition : $\frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = 2 + h \to 2$ : la dérivée de $x^2$ en $1$ vaut $2$ .

2. $g(2) = 8 - 24 = -16$ et $g'(2) = 12 - 12 = 0$ : la tangente est la droite horizontale $y = -16$ . Une tangente horizontale signale un point critique — ici un minimum local, comme le confirme le tableau de variations de la question 5.

3. Coefficient directeur $2a$ en $(a, a^2)$ : $y = a^2 + 2a(x - a) = 2ax - a^2$ .

4. En $x = 0$ : $y = -a^2$ : la tangente coupe l’axe à la profondeur $a^2$ sous l’origine — exactement aussi bas au-dessous de zéro que $P$ se trouve au-dessus. Recette : pour tracer la tangente en un point de hauteur $h$ , le joindre au point de l’axe situé à la profondeur $h$ sous l’origine. (Aucune dérivée n’est nécessaire à la planche à dessin.)

5. $g'(x) = 3(x^2 - 4)$ : positive sur $\intoo{-\infty}{-2}$ , négative sur $\intoo{-2}{2}$ , positive au-delà. $g$ croît jusqu’à un maximum local $g(-2) = 16$ , décroît jusqu’à un minimum local $g(2) = -16$ , puis croît de nouveau.

6. $F\left(0, \frac14\right)$ et $T(0, -a^2)$ : $FT = \frac14 + a^2$ .

7. $FP = a^2 + \frac14 = FT$ : le triangle est isocèle en $F$ , donc les angles à la base sont égaux : $\widehat{FTP} = \widehat{FPT}$ .

8. Le rayon incident en $P$ est vertical, donc parallèle à la droite $(TF)$ (l’axe des ordonnées). La tangente $(TP)$ coupe ces deux parallèles, si bien que l’angle entre le rayon et la tangente est égal à $\widehat{FTP}$ (angles alternes-internes) — lequel égale $\widehat{FPT}$ , l’angle entre $[PF]$ et la tangente. Angles égaux de part et d’autre de la tangente en $P$ .

9. D’après la loi de la réflexion, le rayon qui arrive verticalement en $P$ repart selon la droite formant l’angle égal de l’autre côté — c’est-à-dire, d’après la question 8, selon $[PF]$ : par le foyer, quel que soit $a$ . En renversant le sens, la lumière née en $F$ quitte chaque point du miroir parallèlement à l’axe. Les antennes collectent, les phares éclairent : démontré.

10. Pour $a = 1$ : tangente $y = 2x - 1$ , $T(0, -1)$ ; $FP = \sqrt{1 + \left(1 - \frac14\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac54$ ; $FT = \frac14 + 1 = \frac54$ : isocèle, comme promis.

11. La tangente en $x_n$ a pour équation $y = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)$ ; elle coupe $y = 0$ en $x = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ .

12. $x_1 = 1 - \frac{-1}{2} = \frac32$ ; $x_2 = \frac32 - \frac{1/4}{3} = \frac{17}{12}$ ; $x_3 = \frac{577}{408}$ : les approximations de $\sqrt2$ dues à Héron, c’est-à-dire la machine à point fixe du Problème 3.1. Identité : $x - \frac{x^2 - 2}{2x} = \frac{2x^2 - x^2 + 2}{2x} = \frac{x^2 + 2}{2x} = \frac12\left(x + \frac2x\right)$ — la recette de Héron est la méthode de Newton appliquée à $x^2 - 2$ , avec deux millénaires d’avance.

13. $x_1 = 5 - \frac{125 - 100}{75} = \frac{14}{3} \approx 4.6667$ ; $x_2 \approx 4.6667 - \frac{1.63}{65.33} \approx 4.6417$ . Calculatrice : $\sqrt[3]{100} = 4.6416\ldots$ — quatre décimales exactes en deux pas.

14. $f'(2) = 0$ : la tangente au point de départ est horizontale (question 2) et ne coupe jamais l’axe — la formule divise par zéro. Mise en garde : lancer Newton à l’écart des points critiques (et, plus généralement, assez près de la racine cherchée).

15. La dichotomie gagne un chiffre binaire par pas ; Newton double grossièrement le nombre de décimales exactes à chaque pas ( $1 \to 3 \to 6$ ici). Lorsque chaque pas coûte cher — des millions de paramètres, une navigation en temps réel — doubler l’emporte sur avancer pas à pas, et c’est pourquoi la droite tangente tourne à l’intérieur de tant de silicium.

16. $d^2 = 900 - w^2$ , donc $S(w) = w(900 - w^2) = 900w - w^3$ , pour $0 < w < 30$ .

17. $S'(w) = 900 - 3w^2 = 0$ en $w = \sqrt{300} = 10\sqrt3 \approx 17.3$ cm ( $S' > 0$ avant, $< 0$ après : c’est un maximum). Alors $d = \sqrt{600} = 10\sqrt6 \approx 24.5$ cm.

18. $\frac{d^2}{w^2} = \frac{600}{300} = 2$ , donc $d = w\sqrt2$ : la hauteur vaut la largeur multipliée par $\sqrt2$ — le rapport des charpentiers (et la construction par tiers du diamètre le livre au compas, sans la moindre algèbre sur le chantier).

19. Poutre carrée : $w = d = \sqrt{450} \approx 21.2$ cm, de rigidité $w^3 = 450^{3/2} \approx 9\,546$ . Poutre optimale : $S = 10\sqrt3 \times 600 = 6\,000\sqrt3 \approx 10\,392$ . Gain : environ $8.9\,\%$ de rigidité en plus pour le même tronc — la dérivée paie la scierie.

20. Géométrie : les angles égaux de la tangente ont fait d’un paraboloïde un collecteur de lumière. Calcul numérique : glisser le long des tangentes résout les équations en doublant les décimales. Optimisation : une dérivée qui s’annule a trouvé le rectangle le plus résistant du tronc. Un seul objet, trois métiers — et la convexité de l’an prochain dira en outre de quel côté de chaque tangente se tient la courbe.

Termes définis dans ce chapitre

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