Mathématiques du lycée · Grades 10–12

23Exponentielle et logarithme

La fonction exponentielle est l’unique fonction égale à sa propre dérivée et valant $1$ en $0$ . Elle convertit les sommes en produits ; son inverse, le logarithme népérien, convertit les produits en sommes. Ensemble, ils décrivent tout phénomène dont le taux de variation est proportionnel à sa taille : désintégration radioactive, croissance de population, intérêts composés.

23.1 La fonction exponentielle

Théorème 23.1 (Existence et unicité)

Il existe une unique fonction dérivable $f \colon \R \to \R$ telle que

f' = f \qquad\text{et}\qquad f(0) = 1 .

On l’appelle la fonction exponentielle et on l’écrit $\exp$ , ou $x \mapsto \eu^x$ .

Démonstration de l’unicité. D’abord, une telle fonction ne s’annule jamais. En effet, soit $g(x) = f(x)f(-x)$ ; alors

g'(x) = f'(x)f(-x) - f(x)f'(-x) = f(x)f(-x) - f(x)f(-x) = 0,

donc $g$ est constante égale à $g(0) = 1$ : pour tout $x$ , $f(x)f(-x) = 1$ , et en particulier $f(x) \neq 0$ .

Soient maintenant $f_1, f_2$ deux solutions et $h = \dfrac{f_1}{f_2}$ (légitime car $f_2$ ne s’annule jamais). Alors

h' = \frac{f_1' f_2 - f_1 f_2'}{f_2^2} = \frac{f_1 f_2 - f_1 f_2}{f_2^2} = 0,

donc $h$ est constante égale à $h(0) = 1$ , c’est-à-dire $f_1 = f_2$ .

L’existence est admise à ce niveau (on peut l’obtenir via la suite de l’Exercice 20.10, ou comme inverse du logarithme construit par intégration dans le Chapitre 25). ∎

Proposition 23.2 (Équation fonctionnelle)

Pour tous $x, y \in \R$ et $n \in \Z$ :

\eu^{x+y} = \eu^x\,\eu^y, \qquad \eu^{-x} = \frac{1}{\eu^x}, \qquad \eu^{x-y} = \frac{\eu^x}{\eu^y}, \qquad \bigl(\eu^{x}\bigr)^n = \eu^{nx}.

De plus $\eu^x > 0$ pour tout $x$ .

Démonstration. Fixer $y$ et considérer $\varphi(x) = \dfrac{\exp(x+y)}{\exp(x)\exp(y)}$ . Son numérateur et son dénominateur, comme fonctions de $x$ , sont tous deux des solutions de $f' = f$ à la constante $\exp(y)$ près ; en dérivant $\varphi$ directement (règle du quotient) on obtient $\varphi' = 0$ , donc $\varphi \equiv \varphi(0) = 1$ , prouvant la première identité. Prendre $y = -x$ donne la deuxième (avec la valeur $\eu^0 = 1$ ), et la troisième suit. La quatrième est une récurrence à partir de la première pour $n \geq 0$ , étendue à $n < 0$ par la deuxième.

Positivité : $\eu^x = \left(\eu^{x/2}\right)^2 \geq 0$ et $\eu^x \neq 0$ (montré dans le Théorème 23.1), donc $\eu^x > 0$ . ∎

Proposition 23.3 (Variations et limites)

L’exponentielle est strictement croissante, convexe, et

\lim_{x\to-\infty} \eu^x = 0, \qquad \lim_{x\to+\infty} \eu^x = +\infty .

Démonstration. $(\exp)' = \exp > 0$ donne la croissance stricte ; $(\exp)'' = \exp > 0$ donne la convexité. Par convexité, $\eu^x \geq 1 + x$ (tangente en $0$ , voir l’Exemple 22.15), donc $\eu^x \to +\infty$ lorsque $x \to +\infty$ par comparaison. Puis $\eu^{x} = 1/\eu^{-x} \to 0$ lorsque $x \to -\infty$ . ∎

L’exponentielle : strictement croissante, convexe, avec _-∈fty x = 0. Elle est au-dessus de sa tangente en 0 : x ≥ 1 + x. — L’exponentielle : strictement croissante, convexe, avec $\lim_{-\infty} \eu^x = 0$ . Elle est au-dessus de sa tangente en $0$ : $\eu^x \geq 1 + x$ .

Théorème 23.4 (Comparaison de croissances)

Pour tout entier $n \geq 1$ ,

\lim_{x\to+\infty} \frac{\eu^x}{x^n} = +\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty} x^n \eu^x = 0 .

En d’autres termes : l’exponentielle bat toute puissance de $x$ .

Démonstration. Pour $n = 1$ : en appliquant $\eu^t \geq 1 + t \geq t$ en $t = x/2$ ,

\frac{\eu^x}{x} = \frac{\left(\eu^{x/2}\right)^2}{x} \geq \frac{(x/2)^2}{x} = \frac{x}{4} \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty .

Pour $n$ général, écrire

\frac{\eu^x}{x^n} = \frac{1}{n^n}\left(\frac{\eu^{x/n}}{x/n}\right)^{n} \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty

par le cas $n=1$ et composition. La limite en $-\infty$ suit par le changement $x \mapsto -x$ : $\abs{x^n \eu^x} = \frac{\abs{x}^n}{\eu^{\abs x}} \to 0$ . ∎

L’exponentielle (bleu) finit par battre toute puissance : elle dépasse x2 (rouge) tôt et x3 (orange) en x 4.54. — L’exponentielle (bleu) finit par battre toute puissance : elle dépasse $x^2$ (rouge) tôt et $x^3$ (orange) en $x \approx 4.54$ .

23.2 Le logarithme népérien

Définition 23.5 (Logarithme népérien)

L’exponentielle est continue et strictement croissante de $\R$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ ; par le théorème de la bijection (Théorème 21.15), pour tout $y > 0$ l’équation $\eu^x = y$ a une unique solution. Cette solution est le logarithme népérien de $y$ , noté $\ln y$ . Ainsi

\text{pour } x \in \R,\ y > 0: \qquad y = \eu^x \iff x = \ln y .

En particulier $\ln 1 = 0$ , $\ln \eu = 1$ , et $\eu^{\ln y} = y$ , $\ln(\eu^x) = x$ .

Les courbes de et sont images miroir l’une de l’autre par rapport à la droite y = x : le point (x, x) se reflète en ( x, x). — Les courbes de $\exp$ et $\ln$ sont images miroir l’une de l’autre par rapport à la droite $y = x$ : le point $(x, \eu^x)$ se reflète en $(\eu^x, x)$ .

Proposition 23.6 (Propriétés algébriques)

Pour tous $a, b > 0$ et $n \in \Z$ :

\ln(ab) = \ln a + \ln b, \quad \ln\frac{1}{a} = -\ln a, \quad \ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b, \quad \ln(a^n) = n \ln a, \quad \ln\sqrt{a} = \tfrac12 \ln a .

Démonstration. $\eu^{\ln a + \ln b} = \eu^{\ln a}\eu^{\ln b} = ab$ , et en prenant $\ln$ des deux membres on obtient la première identité. Les autres suivent par le même mécanisme des identités correspondantes de la Proposition 23.2. ∎

Proposition 23.7 (Propriétés analytiques)

La fonction $\ln$ est dérivable sur $\intoo{0}{+\infty}$ avec

(\ln x)' = \frac{1}{x},

strictement croissante, concave, et $\lim\limits_{x\to0^+} \ln x = -\infty$ , $\lim\limits_{x\to+\infty} \ln x = +\infty$ . De plus, pour tout entier $n \geq 1$ ,

\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^{1/n}} = 0, \qquad \lim_{x\to0^+} x \ln x = 0 .

Démonstration. La dérivabilité de la fonction inverse est admise à ce niveau ; en l’accordant, dériver l’identité $\eu^{\ln x} = x$ par la règle de la chaîne : $(\ln x)'\,\eu^{\ln x} = 1$ , donc $(\ln x)' = \frac{1}{x} > 0$ , d’où la croissance stricte, et $(\ln x)'' = -\frac1{x^2} < 0$ , d’où la concavité. Les limites en $0^+$ et $+\infty$ reflètent celles de $\exp$ via la bijection. Pour la comparaison de croissances, substituer $x = \eu^{t}$ : $\frac{\ln x}{x} = \frac{t}{\eu^t} \to 0$ lorsque $t \to +\infty$ par le Théorème 23.4, et de même pour les autres limites avec $x = \eu^{-t}$ , donnant $x\ln x = -t\eu^{-t} \to 0$ . ∎

Méthode 23.8 (Résoudre des équations avec $\exp$ et $\ln$ )

Les deux fonctions sont strictement croissantes, donc on peut les appliquer à (ou les retirer de) les deux membres d’une équation ou d’une inégalité sans changer le sens :

\eu^{u} = \eu^{v} \iff u = v, \qquad \eu^{u} \leq \eu^{v} \iff u \leq v,

et de même pour $\ln$ sur des quantités positives. Toujours vérifier les ensembles de définition d’abord ( $\ln$ exige des arguments positifs). Pour des équations du type $a^x = b$ avec $a>0$ , $a \neq 1$ , réécrire $a^x = \eu^{x\ln a}$ et résoudre $x = \frac{\ln b}{\ln a}$ .

Exemple 23.9

Un échantillon radioactif se désintègre suivant $N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$ . Sa demi-vie $T$ satisfait $N(T) = N_0/2$ , c’est-à-dire $\eu^{-\lambda T} = \frac12$ , donc $T = \frac{\ln 2}{\lambda}$ : la demi-vie ne dépend pas de la quantité initiale.

23.3 Exercices

Exercice 23.1 ★

Simplifier $\dfrac{\eu^{3x}\,\eu^{-x+1}}{\eu^{x}}$ et $\ln\!\left(\dfrac{\eu^2\sqrt{\eu}}{\eu^{-3}}\right)$ .

Solution

Solution de Exercice 23.1.

$\dfrac{\eu^{3x}\,\eu^{-x+1}}{\eu^{x}} = \eu^{3x - x + 1 - x} = \eu^{x+1}$ .

$\ln\!\left(\dfrac{\eu^2\sqrt{\eu}}{\eu^{-3}}\right) = 2 + \tfrac12 + 3 = \tfrac{11}{2}$ .

Exercice 23.2 ★

Résoudre dans $\R$ :

\text{(a) } \eu^{2x} - 3\eu^{x} + 2 = 0; \qquad \text{(b) } \ln(x - 1) + \ln(x + 2) = \ln 4 .

Solution

Solution de Exercice 23.2.

(a) Poser $X = \eu^x > 0$ : $X^2 - 3X + 2 = 0$ donne $X = 1$ ou $X = 2$ , tous deux positifs, donc $x = 0$ ou $x = \ln 2$ .

(b) Ensemble de définition : $x - 1 > 0$ et $x + 2 > 0$ , donc $x > 1$ . L’équation devient $\ln\bigl((x-1)(x+2)\bigr) = \ln 4$ , d’où $(x-1)(x+2) = 4$ , c’est-à-dire $x^2 + x - 6 = 0$ , donc $x = 2$ ou $x = -3$ . Seul $x = 2$ est dans l’ensemble de définition : $S = \{2\}$ .

Exercice 23.3 ★

Calculer les limites :

\lim_{x\to+\infty} \frac{\eu^x - x^2}{\eu^x + 1}, \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{\sqrt x}, \qquad \lim_{x\to0^+} x^2 \ln x, \qquad \lim_{x\to+\infty} \bigl(x - \ln x\bigr).

Solution

Solution de Exercice 23.3.

Diviser par $\eu^x$ : $\dfrac{1 - x^2\eu^{-x}}{1 + \eu^{-x}} \to \dfrac{1-0}{1+0} = 1$ , en utilisant $x^2 \eu^{-x} \to 0$ (Théorème 23.4).

$\dfrac{\ln x}{\sqrt x} \to 0$ par la Proposition 23.7 (cas $n = 2$ ).

$x^2 \ln x = x \cdot (x \ln x) \to 0 \times 0 = 0$ .

$x - \ln x = x\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right) \to +\infty$ car $\frac{\ln x}{x} \to 0$ .

Exercice 23.4 ★★

Étudier la fonction $f(x) = x\,\eu^{-x}$ sur $\R$ : variations, limites, extremum ; montrer que sa courbe a un point d’inflexion et donner ses coordonnées.

Solution

Solution de Exercice 23.4.

$f'(x) = \eu^{-x} - x\eu^{-x} = (1 - x)\eu^{-x}$ , du signe de $1 - x$ : $f$ croît sur $\intoc{-\infty}{1}$ , décroît sur $\intco{1}{+\infty}$ , avec un maximum global $f(1) = \eu^{-1}$ .

Limites : lorsque $x \to +\infty$ , $f(x) = \frac{x}{\eu^x} \to 0$ (Théorème 23.4) ; lorsque $x \to -\infty$ , $x \to -\infty$ et $\eu^{-x} \to +\infty$ , donc $f(x) \to -\infty$ .

$f''(x) = -\eu^{-x} - (1-x)\eu^{-x} = (x - 2)\eu^{-x}$ , qui change de signe en $x = 2$ : point d’inflexion en $\bigl(2,\, 2\eu^{-2}\bigr)$ .

Exercice 23.5 ★★

Montrer que pour tout $x > -1$ , $\ln(1 + x) \leq x$ , avec égalité seulement en $x = 0$ . En déduire que pour tout $n \geq 1$ ,

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \leq \eu \leq \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)} .

Solution

Solution de Exercice 23.5.

Soit $g(x) = x - \ln(1+x)$ sur $\intoo{-1}{+\infty}$ . Alors $g'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x}$ , négatif sur $\intoo{-1}{0}$ et positif sur $\intoo{0}{+\infty}$ : $g$ atteint son minimum $g(0) = 0$ , donc $g \geq 0$ avec égalité seulement en $0$ . D’où $\ln(1+x) \leq x$ .

Appliquer avec $x = \frac1n$ : $n\ln\left(1 + \frac1n\right) \leq 1$ , donc $\left(1+\frac1n\right)^n = \eu^{\,n\ln(1+1/n)} \leq \eu$ . Appliquer avec $x = -\frac{1}{n+1} > -1$ : $\ln\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \leq -\frac{1}{n+1}$ , donc $-(n+1)\ln\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \geq 1$ et $\left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)} \geq \eu$ .

Exercice 23.6 ★★

Un capital $C_0$ est placé au taux annuel de $3\,\%$ , intérêts composés chaque année.

Exprimer le capital $C_n$ après $n$ années.
Au bout de combien d’années le capital double-t-il ? Donner la réponse exacte avec $\ln$ , puis une valeur numérique.
Comparer avec l’approximation « $70$ divisé par le taux en pourcent » utilisée par les banquiers.

Solution

Solution de Exercice 23.6.

1. Chaque année multiplie le capital par $1.03$ : $C_n = C_0 (1.03)^n$ .

2. $C_n \geq 2C_0 \iff (1.03)^n \geq 2 \iff n \ln 1.03 \geq \ln 2 \iff n \geq \frac{\ln 2}{\ln 1.03} \approx 23.45$ : le capital double après $24$ années.

3. $\frac{70}{3} \approx 23.3$ , proche de l’exact $\frac{\ln 2}{\ln 1.03}$ . La règle fonctionne car $\ln(1 + r) \approx r$ pour $r$ petit, donc $\frac{\ln 2}{\ln(1+r)} \approx \frac{0.693}{r} \approx \frac{70}{100r}$ .

Exercice 23.7 ★★

Résoudre l’inéquation $\eu^{2x} - \eu^{x+1} > 0$ , puis l’inéquation $\ln(x^2 - 1) \leq \ln(x + 5)$ .

Solution

Solution de Exercice 23.7.

$\eu^{2x} > \eu^{x+1} \iff 2x > x + 1 \iff x > 1$ (l’exponentielle est strictement croissante) : $S = \intoo{1}{+\infty}$ .

Ensemble de définition de la seconde inégalité : $x^2 - 1 > 0$ et $x + 5 > 0$ , c’est-à-dire $x \in \intoo{-5}{-1} \cup \intoo{1}{+\infty}$ . Sur ce domaine, $\ln$ étant strictement croissante,

\ln(x^2-1) \leq \ln(x+5) \iff x^2 - 1 \leq x + 5 \iff x^2 - x - 6 \leq 0 \iff x \in \intcc{-2}{3}.

En intersectant avec le domaine : $S = \intco{-2}{-1} \cup \intoc{1}{3}$ .

Exercice 23.8 ★★★

Soit $f(x) = \dfrac{\eu^x}{x}$ pour $x > 0$ .

Étudier les variations de $f$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ et donner son minimum.
Pour quelles valeurs de $k$ l’équation $\eu^x = kx$ a-t-elle $0$ , $1$ ou $2$ solutions dans $\intoo{0}{+\infty}$ ?

Solution

Solution de Exercice 23.8.

1. $f'(x) = \dfrac{\eu^x x - \eu^x}{x^2} = \dfrac{(x-1)\eu^x}{x^2}$ , négatif sur $\intoo{0}{1}$ , positif sur $\intoo{1}{+\infty}$ : minimum $f(1) = \eu$ . Limites : $f \to +\infty$ en $0^+$ (numérateur $\to 1$ , dénominateur $\to 0^+$ ) et en $+\infty$ (Théorème 23.4).

2. Pour $x > 0$ , $\eu^x = kx \iff f(x) = k$ . D’après le tableau de variations ( $+\infty \searrow \eu \nearrow +\infty$ , continue et strictement monotone de chaque côté) : aucune solution pour $k < \eu$ ; exactement une ( $x = 1$ ) pour $k = \eu$ ; exactement deux pour $k > \eu$ (une dans $\intoo{0}{1}$ , une dans $\intoo{1}{+\infty}$ , par le théorème de la bijection sur chaque intervalle).

Exercice 23.9 ★★★

Pour $n \geq 1$ , soit $u_n = \left(1 + \frac1n\right)^n$ .

En utilisant l’Exercice 23.5, montrer que $(u_n)$ est majorée par $\eu$ .
Montrer que $\ln u_n = n \ln\left(1 + \frac1n\right) \to 1$ , et en déduire que $u_n \to \eu$ . (Indication : reconnaître un taux d’accroissement de $\ln$ en $1$ .)

Solution

Solution de Exercice 23.9.

1. Directement de la première inégalité de l’Exercice 23.5 : $u_n = \eu^{\,n\ln(1+1/n)} \leq \eu^1 = \eu$ .

2. Écrire

\ln u_n = n \ln\!\left(1 + \frac1n\right) = \frac{\ln\!\left(1 + \frac1n\right) - \ln 1}{\frac1n},

un taux d’accroissement de $\ln$ au point $1$ avec incrément $h = \frac1n \to 0$ . Comme $\ln$ est dérivable en $1$ de dérivée $1$ , $\ln u_n \to 1$ . Par continuité de $\exp$ (Proposition 21.12), $u_n = \eu^{\ln u_n} \to \eu^1 = \eu$ .

23.4 Problème : le logarithme dompte le monde

Problème 23.1

Devoir du week-end — temps de doublement et règle de 72, les échelles des séismes, des acides et des pianos, et la constante $\eu$ qui laisse partout ses empreintes

Tout ce qui croît d’un pourcentage fixe croît exponentiellement — l’épargne, les bactéries, les épidémies — et tout ce qui s’étend sur trop de puissances de dix pour être saisi — énergies des séismes, acidités, intensités sonores — se laisse dompter par un logarithme. Ce problème calcule des temps de doublement et démasque la règle de 72 des banquiers, lit les échelles logarithmiques du monde, et recueille les empreintes que le nombre $\eu$ laisse sur toutes les scènes de crime (Proposition 23.2, Théorème 23.4, Méthode 23.8).

Partie I — Aisance.

Résoudre : $\eu^{2x} = 5$ ; $\ln(3x - 1) = 2$ ; $\eu^{2x} - 3\eu^x + 2 = 0$ (un trinôme déguisé).
Simplifier : $\dfrac{\ln 8}{\ln 2}$ ; $\ln\!\left(\eu^3 \sqrt{\eu}\right)$ ; $\eu^{\ln 5 - \ln 2}$ .
Démontrer l’inégalité mère : $\eu^x \geq 1 + x$ pour tout réel $x$ (étudier $f(x) = \eu^x - 1 - x$ ), et en déduire $\ln(1 + u) \leq u$ pour $u > -1$ .
Calculer $\lim_{x \to +\infty} x^2 \eu^{-x}$ , $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$ (Théorème 23.4), et $\lim_{x \to 0} \frac{\eu^x - 1}{x}$ (y reconnaître une dérivée).
Étudier $f(x) = x \ln x$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ : variations, minimum, et limite en $0^+$ (on admet que $x \ln x \to 0$ ). Cette petite fonction mesure l’information et l’entropie tout au long des volumes universitaires.

Partie II — Temps de doublement et règle de 72.

Une épargne croît de $3\,\%$ par an. Résoudre $1.03^n = 2$ : en combien de temps le capital double-t-il ?
Les banquiers estiment le temps de doublement par $\frac{72}{\text{taux en }\%}$ . Tester la règle à $3\,\%$ , $6\,\%$ et $9\,\%$ face à la valeur exacte $\frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}$ , puis l’expliquer : pour $r$ petit, $\ln(1 + r) \approx r$ (l’inégalité de la question 3 en donne la moitié), si bien que la constante exacte est $100 \ln 2 \approx 69.3$ — pourquoi les banquiers préfèrent-ils $72$ ?
Une bactérie se divise toutes les $20$ minutes : $p(t) = 2^{t/20}$ ( $t$ en minutes). La réécrire sous la forme $\eu^{\lambda t}$ , puis calculer $p$ au bout de $24$ heures. Que prouve la réponse (plus de $10^{21}$ ) sur le modèle — et qu’est-ce qui arrête les colonies réelles ?
La caféine quitte l’organisme avec une demi-vie d’environ $5$ heures. Après un café de $100$ mg pris à 15 h, combien en reste-t-il à 23 h ? À quelle heure passe-t-on sous $10$ mg ? (L’insomnie a un logarithme.)
Un euro à $100\,\%$ d’intérêt annuel : calculer le capital en fin d’année pour une capitalisation annuelle, mensuelle puis quotidienne, et donner le plafond que l’Exercice 23.9 a démontré infranchissable. Quelle constante célèbre est la limite de la pure cupidité ?
Pourquoi les scientifiques tracent-ils $\ln(\text{nombre de cas})$ en fonction du temps lors de la phase initiale d’une épidémie ? Que révèle une droite sur ce graphique, et que mesure son coefficient directeur ?

Partie III — Les échelles logarithmiques du monde. (On écrit $\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}$ .)

Niveau sonore en décibels : $L = 10 \log_{10}(I/I_0)$ . Une conversation mesure $60$ dB, un concert de rock $120$ dB : par quel facteur les intensités sonores diffèrent-elles ?
Les magnitudes des séismes augmentent de $1$ lorsque l’amplitude sismique est multipliée par $10$ , et l’énergie libérée varie comme amplitude $^{3/2}$ . Comparer un séisme de magnitude $5$ et un de magnitude $7$ : rapport des amplitudes, puis rapport des énergies.
Chimie : $\text{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H^+}]$ . Le jus de citron a un pH de $2$ , le lait un pH de $6.5$ : quel est le rapport de leurs concentrations en acide ?
Musique : chaque octave double la fréquence. Du la le plus grave du piano ( $27.5$ Hz) à son do le plus aigu ( $4\,186$ Hz), combien d’octaves le clavier couvre-t-il ? Et pourquoi nos sens — ouïe, vue, perception des secousses — préfèrent-ils les échelles logarithmiques ? (Une phrase.)
La règle à calcul, calculatrice des ingénieurs pendant $350$ ans : deux réglettes graduées de sorte que la longueur jusqu’au trait $x$ soit proportionnelle à $\ln x$ . Expliquer comment le glissement d’une réglette le long de l’autre multiplie les nombres, et nommer l’identité de la Proposition 23.6 qui fait le travail.

Partie IV — Les empreintes de $\eu$ .

D’après l’Exercice 23.8 : l’équation $\eu^x = kx$ ( $x > 0$ ) a $0$ , $1$ ou $2$ solutions selon la position de $k$ par rapport à un seuil. Réénoncer le résultat — et vérifier le fait géométrique qui le sous-tend : la droite $y = \eu x$ est exactement la tangente à l’exponentielle passant par l’origine.
La constante du presque-raté : avec $n$ billets de loterie gagnants avec la probabilité $\frac1n$ chacun, $\P(\text{aucun gain}) = \left(1 - \frac1n\right)^n$ . Calculer sa limite en passant par $n \ln\!\left(1 - \frac1n\right)$ (utiliser la limite usuelle $\frac{\ln(1 + u)}{u} \to 1$ ), et faire le lien avec le mystérieux $0.368$ du Problème 19.1.
La règle des $37\,\%$ : pour choisir le meilleur parmi $n$ candidats reçus dans un ordre aléatoire (sans retour en arrière), la stratégie optimale consiste à écarter les $\frac{n}{\eu} \approx 37\,\%$ premiers, puis à retenir le premier candidat meilleur que tous les précédents — ce qui réussit avec une probabilité voisine de $\frac1\eu$ . D’où viennent les deux $\frac1\eu$ des questions 18 et 19 — énoncer le mécanisme commun (de nombreux événements indépendants, chacun peu probable) — et calculer $\frac1\eu$ à trois décimales.
Pour finir — le portrait de $\eu$ : le plafond de la capitalisation (question 10) ; la base dont la tangente en $0$ a un coefficient directeur exactement égal à $1$ (questions 3 et 4) ; la croissance qu’aucun polynôme ne rattrape (question 4) ; la constante des presque-ratés et de l’arrêt optimal (questions 18 et 19) ; et son inverse, $\ln$ , qui change les produits en sommes (question 16) et les décennies de puissances en centimètres (partie III). Une phrase pour chacun.

Solution

Solution de Problème 23.1.

1. $x = \frac{\ln 5}{2}$ . $3x - 1 = \eu^2$ , donc $x = \frac{\eu^2 + 1}{3}$ . Avec $u = \eu^x$ : $u^2 - 3u + 2 = (u - 1)(u - 2) = 0$ , donc $x = 0$ ou $x = \ln 2$ .

2. $\frac{3\ln 2}{\ln 2} = 3$ ; $3 + \frac12 = \frac72$ ; $\frac52$ .

3. $f'(x) = \eu^x - 1$ : négative avant $0$ , positive après : minimum $f(0) = 0$ , donc $f \geq 0$ partout, c’est-à-dire $\eu^x \geq 1 + x$ . En substituant $x = \ln(1 + u)$ : $1 + u \geq 1 + \ln(1 + u)$ , c’est-à-dire $\ln(1 + u) \leq u$ .

4. $x^2\eu^{-x} = \frac{x^2}{\eu^x} \to 0$ et $\frac{\ln x}{x} \to 0$ : les exponentielles écrasent les puissances, les puissances écrasent les logarithmes. Et $\frac{\eu^x - 1}{x} = \frac{\eu^x - \eu^0}{x - 0} \to \exp'(0) = 1$ .

5. $f'(x) = \ln x + 1$ : nulle en $\eu^{-1}$ , négative avant, positive après : minimum $f\!\left(\frac1\eu\right) = -\frac1\eu$ ; et $x \ln x \to 0$ en $0^+$ : la courbe part de l’origine, plonge jusqu’à $-\frac1\eu$ , puis s’élève.

6. $n = \frac{\ln 2}{\ln 1.03} \approx 23.4$ ans.

7. Valeurs exactes : $23.4$ , $11.9$ , $8.0$ ans ; règle de 72 : $24$ , $12$ , $8$ . Comme $\ln(1+r) \approx r$ , on a $\frac{\ln 2}{\ln(1+r)} \approx \frac{0.693}{r}$ , c’est-à-dire $\frac{69.3}{\text{taux en }\%}$ ; les banquiers arrondissent à $72$ parce qu’il se divise magnifiquement par $2, 3, 4, 6, 8, 9, 12$ — le calcul mental vaut mieux qu’une décimale de précision.

8. $2^{t/20} = \eu^{t \ln 2 / 20}$ : $\lambda = \frac{\ln 2}{20}$ par minute. Au bout de $24 \times 60 = 1440$ minutes : $2^{72} \approx 4.7 \times 10^{21}$ bactéries — plus que les grains de sable de la Terre, à partir d’une seule cellule et en un jour. Le modèle n’est honnête que tant que durent la nourriture et l’espace : la croissance réelle s’infléchit en courbe logistique en S (la courbe de l’épidémiologiste du Problème 22.1).

9. À 23 h (soit $8$ heures plus tard) : $100 \times 2^{-8/5} \approx 33$ mg. Pour passer sous $10$ mg : $2^{-t/5} < 0.1$ donne $t > 5\,\frac{\ln 10}{\ln 2} \approx 16.6$ h, soit vers 7 h 40 le lendemain matin — l’expresso de quinze heures a une longue traîne.

10. Capitalisation annuelle : $2$ . Mensuelle : $\left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 2.613$ . Quotidienne : environ $2.715$ . Le plafond : $\eu = 2.71828\ldots$ (Exercice 23.9) — en capitalisant continûment, la cupidité converge.

11. Si les cas croissent exponentiellement, $c(t) = c_0 \eu^{\lambda t}$ , alors $\ln c(t) = \ln c_0 + \lambda t$ : une droite de coefficient directeur $\lambda$ — le taux de croissance. Une portion rectiligne sur le graphique logarithmique est la phase exponentielle, et sa pente est le tempo de l’épidémie.

12. $120 - 60 = 60$ dB signifie $10\log_{10}(I_2/I_1) = 60$ : le concert est $10^6$ fois — un million de fois — plus intense que la conversation.

13. Amplitude : $10^{7-5} = 100$ . Énergie : $100^{3/2} = 1000$ : deux points de magnitude cachent trois ordres de grandeur en énergie.

14. $10^{6.5 - 2} = 10^{4.5} \approx 32\,000$ : le jus de citron est trente mille fois plus acide que le lait — le pH comprime les abîmes de la chimie sur une échelle de poche.

15. $\log_2\!\frac{4186}{27.5} = \frac{\ln(4186/27.5)}{\ln 2} \approx 7.25$ : un piano couvre un peu plus de sept octaves. Nos sens réagissent aux rapports de stimulus — doubler l’intensité se ressent comme un pas, quel que soit le niveau de départ — si bien que la perception est bâtie sur une échelle logarithmique, comme les unités que nous avons inventées pour elle.

16. Placer la réglette de $a$ bout à bout avec la position de $b$ additionne les longueurs $\ln a + \ln b$ , et la graduation située à cette longueur totale se lit $\eu^{\ln a + \ln b} = ab$ : la règle à calcul calcule des produits en additionnant des logarithmes — $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ (Proposition 23.6) gravé dans le buis.

17. Le minimum de $\frac{\eu^x}{x}$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ vaut $\eu$ , atteint en $x = 1$ : aucune solution pour $k < \eu$ , exactement une pour $k = \eu$ , deux pour $k > \eu$ . Vérification de la tangente : en $a = 1$ , la tangente à $\eu^x$ est $y = \eu + \eu(x - 1) = \eu x$ : elle passe par l’origine — la droite seuil, qui effleure la courbe en $(1, \eu)$ .

18. $n \ln\!\left(1 - \frac1n\right) = \frac{\ln(1 - 1/n)}{-1/n} \times (-1) \to -1$ , donc $\left(1 - \frac1n\right)^n \to \eu^{-1} \approx 0.368$ : le $0.999^{1000} \approx 0.368$ du Problème 19.1, enfin expliqué — la constante du presque-raté de la loterie est $\frac1\eu$ .

19. Les deux sont la forme limite de « beaucoup d’événements indépendants, chacun individuellement improbable » : la probabilité qu’aucune des $n$ chances de taille $\frac1n$ ne se réalise tend vers $\eu^{-1}$ , et la règle du recrutement règle sa fenêtre de rejet de sorte que le succès se concentre sur cette même constante. $\frac1\eu \approx 0.368$ .

20. Le plafond de la capitalisation ; l’unique base dont la tangente en $0$ a un coefficient directeur égal à $1$ (raison pour laquelle l’analyse l’adore) ; la croissance qui distance toutes les puissances ; la constante où se rangent les presque-ratés et l’arrêt optimal ; et son inverse, le logarithme — la multiplication devenue addition, les plus folles amplitudes du monde repliées sur une règle graduée.

Termes définis dans ce chapitre

Logarithme népérien

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