Mathématiques du lycée · Grades 10–12

23Exponentielle et logarithme

La fonction exponentielle est l’unique fonction égale à sa propre dérivée et valant $1$ en $0$ . Elle convertit les sommes en produits ; son inverse, le logarithme népérien, convertit les produits en sommes. Ensemble, ils décrivent tout phénomène dont le taux de variation est proportionnel à sa taille : désintégration radioactive, croissance de population, intérêts composés.

23.1 La fonction exponentielle

Théorème 23.1 (Existence et unicité)

Il existe une unique fonction dérivable $f \colon \R \to \R$ telle que

f' = f \qquad\text{et}\qquad f(0) = 1 .

On l’appelle la fonction exponentielle et on l’écrit $\exp$ , ou $x \mapsto \eu^x$ .

Démonstration de l’unicité. D’abord, une telle fonction ne s’annule jamais. En effet, soit $g(x) = f(x)f(-x)$ ; alors

g'(x) = f'(x)f(-x) - f(x)f'(-x) = f(x)f(-x) - f(x)f(-x) = 0,

donc $g$ est constante égale à $g(0) = 1$ : pour tout $x$ , $f(x)f(-x) = 1$ , et en particulier $f(x) \neq 0$ .

Soient maintenant $f_1, f_2$ deux solutions et $h = \dfrac{f_1}{f_2}$ (légitime car $f_2$ ne s’annule jamais). Alors

h' = \frac{f_1' f_2 - f_1 f_2'}{f_2^2} = \frac{f_1 f_2 - f_1 f_2}{f_2^2} = 0,

donc $h$ est constante égale à $h(0) = 1$ , c’est-à-dire $f_1 = f_2$ .

L’existence est admise à ce niveau (on peut l’obtenir via la suite de l’Exercice 20.10, ou comme inverse du logarithme construit par intégration dans le Chapitre 25). ∎

Proposition 23.2 (Équation fonctionnelle)

Pour tous $x, y \in \R$ et $n \in \Z$ :

\eu^{x+y} = \eu^x\,\eu^y, \qquad \eu^{-x} = \frac{1}{\eu^x}, \qquad \eu^{x-y} = \frac{\eu^x}{\eu^y}, \qquad \bigl(\eu^{x}\bigr)^n = \eu^{nx}.

De plus $\eu^x > 0$ pour tout $x$ .

Démonstration. Fixer $y$ et considérer $\varphi(x) = \dfrac{\exp(x+y)}{\exp(x)\exp(y)}$ . Son numérateur et son dénominateur, comme fonctions de $x$ , sont tous deux des solutions de $f' = f$ à la constante $\exp(y)$ près ; en dérivant $\varphi$ directement (règle du quotient) on obtient $\varphi' = 0$ , donc $\varphi \equiv \varphi(0) = 1$ , prouvant la première identité. Prendre $y = -x$ donne la deuxième (avec la valeur $\eu^0 = 1$ ), et la troisième suit. La quatrième est une récurrence à partir de la première pour $n \geq 0$ , étendue à $n < 0$ par la deuxième.

Positivité : $\eu^x = \left(\eu^{x/2}\right)^2 \geq 0$ et $\eu^x \neq 0$ (montré dans le Théorème 23.1), donc $\eu^x > 0$ . ∎

Proposition 23.3 (Variations et limites)

L’exponentielle est strictement croissante, convexe, et

\lim_{x\to-\infty} \eu^x = 0, \qquad \lim_{x\to+\infty} \eu^x = +\infty .

Démonstration. $(\exp)' = \exp > 0$ donne la croissance stricte ; $(\exp)'' = \exp > 0$ donne la convexité. Par convexité, $\eu^x \geq 1 + x$ (tangente en $0$ , voir l’Exemple 22.15), donc $\eu^x \to +\infty$ lorsque $x \to +\infty$ par comparaison. Puis $\eu^{x} = 1/\eu^{-x} \to 0$ lorsque $x \to -\infty$ . ∎

L’exponentielle : strictement croissante, convexe, avec _-∈fty x = 0. Elle est au-dessus de sa tangente en 0 : x ≥ 1 + x. — L’exponentielle : strictement croissante, convexe, avec $\lim_{-\infty} \eu^x = 0$ . Elle est au-dessus de sa tangente en $0$ : $\eu^x \geq 1 + x$ .

Théorème 23.4 (Comparaison de croissances)

Pour tout entier $n \geq 1$ ,

\lim_{x\to+\infty} \frac{\eu^x}{x^n} = +\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty} x^n \eu^x = 0 .

En d’autres termes : l’exponentielle bat toute puissance de $x$ .

Démonstration. Pour $n = 1$ : en appliquant $\eu^t \geq 1 + t \geq t$ en $t = x/2$ ,

\frac{\eu^x}{x} = \frac{\left(\eu^{x/2}\right)^2}{x} \geq \frac{(x/2)^2}{x} = \frac{x}{4} \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty .

Pour $n$ général, écrire

\frac{\eu^x}{x^n} = \frac{1}{n^n}\left(\frac{\eu^{x/n}}{x/n}\right)^{n} \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty

par le cas $n=1$ et composition. La limite en $-\infty$ suit par le changement $x \mapsto -x$ : $\abs{x^n \eu^x} = \frac{\abs{x}^n}{\eu^{\abs x}} \to 0$ . ∎

L’exponentielle (bleu) finit par battre toute puissance : elle dépasse x2 (rouge) tôt et x3 (orange) en x 4.54. — L’exponentielle (bleu) finit par battre toute puissance : elle dépasse $x^2$ (rouge) tôt et $x^3$ (orange) en $x \approx 4.54$ .

23.2 Le logarithme népérien

Définition 23.5 (Logarithme népérien)

L’exponentielle est continue et strictement croissante de $\R$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ ; par le théorème de la bijection (Théorème 21.15), pour tout $y > 0$ l’équation $\eu^x = y$ a une unique solution. Cette solution est le logarithme népérien de $y$ , noté $\ln y$ . Ainsi

\text{pour } x \in \R,\ y > 0: \qquad y = \eu^x \iff x = \ln y .

En particulier $\ln 1 = 0$ , $\ln \eu = 1$ , et $\eu^{\ln y} = y$ , $\ln(\eu^x) = x$ .

Les courbes de et sont images miroir l’une de l’autre par rapport à la droite y = x : le point (x, x) se reflète en ( x, x). — Les courbes de $\exp$ et $\ln$ sont images miroir l’une de l’autre par rapport à la droite $y = x$ : le point $(x, \eu^x)$ se reflète en $(\eu^x, x)$ .

Proposition 23.6 (Propriétés algébriques)

Pour tous $a, b > 0$ et $n \in \Z$ :

\ln(ab) = \ln a + \ln b, \quad \ln\frac{1}{a} = -\ln a, \quad \ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b, \quad \ln(a^n) = n \ln a, \quad \ln\sqrt{a} = \tfrac12 \ln a .

Démonstration. $\eu^{\ln a + \ln b} = \eu^{\ln a}\eu^{\ln b} = ab$ , et en prenant $\ln$ des deux membres on obtient la première identité. Les autres suivent par le même mécanisme des identités correspondantes de la Proposition 23.2. ∎

Proposition 23.7 (Propriétés analytiques)

La fonction $\ln$ est dérivable sur $\intoo{0}{+\infty}$ avec

(\ln x)' = \frac{1}{x},

strictement croissante, concave, et $\lim\limits_{x\to0^+} \ln x = -\infty$ , $\lim\limits_{x\to+\infty} \ln x = +\infty$ . De plus, pour tout entier $n \geq 1$ ,

\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^{1/n}} = 0, \qquad \lim_{x\to0^+} x \ln x = 0 .

Démonstration. La dérivabilité de la fonction inverse est admise à ce niveau ; en l’accordant, dériver l’identité $\eu^{\ln x} = x$ par la règle de la chaîne : $(\ln x)'\,\eu^{\ln x} = 1$ , donc $(\ln x)' = \frac{1}{x} > 0$ , d’où la croissance stricte, et $(\ln x)'' = -\frac1{x^2} < 0$ , d’où la concavité. Les limites en $0^+$ et $+\infty$ reflètent celles de $\exp$ via la bijection. Pour la comparaison de croissances, substituer $x = \eu^{t}$ : $\frac{\ln x}{x} = \frac{t}{\eu^t} \to 0$ lorsque $t \to +\infty$ par le Théorème 23.4, et de même pour les autres limites avec $x = \eu^{-t}$ , donnant $x\ln x = -t\eu^{-t} \to 0$ . ∎

Méthode 23.8 (Résoudre des équations avec $\exp$ et $\ln$ )

Les deux fonctions sont strictement croissantes, donc on peut les appliquer à (ou les retirer de) les deux membres d’une équation ou d’une inégalité sans changer le sens :

\eu^{u} = \eu^{v} \iff u = v, \qquad \eu^{u} \leq \eu^{v} \iff u \leq v,

et de même pour $\ln$ sur des quantités positives. Toujours vérifier les ensembles de définition d’abord ( $\ln$ exige des arguments positifs). Pour des équations du type $a^x = b$ avec $a>0$ , $a \neq 1$ , réécrire $a^x = \eu^{x\ln a}$ et résoudre $x = \frac{\ln b}{\ln a}$ .

Exemple 23.9

Un échantillon radioactif se désintègre suivant $N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$ . Sa demi-vie $T$ satisfait $N(T) = N_0/2$ , c’est-à-dire $\eu^{-\lambda T} = \frac12$ , donc $T = \frac{\ln 2}{\lambda}$ : la demi-vie ne dépend pas de la quantité initiale.

23.3 Exercices

Exercice 23.1 ★

Simplifier $\dfrac{\eu^{3x}\,\eu^{-x+1}}{\eu^{x}}$ et $\ln\!\left(\dfrac{\eu^2\sqrt{\eu}}{\eu^{-3}}\right)$ .

Solution

Solution de Exercice 23.1.

$\dfrac{\eu^{3x}\,\eu^{-x+1}}{\eu^{x}} = \eu^{3x - x + 1 - x} = \eu^{x+1}$ .

$\ln\!\left(\dfrac{\eu^2\sqrt{\eu}}{\eu^{-3}}\right) = 2 + \tfrac12 + 3 = \tfrac{11}{2}$ .

Exercice 23.2 ★

Résoudre dans $\R$ :

\text{(a) } \eu^{2x} - 3\eu^{x} + 2 = 0; \qquad \text{(b) } \ln(x - 1) + \ln(x + 2) = \ln 4 .

Solution

Solution de Exercice 23.2.

(a) Poser $X = \eu^x > 0$ : $X^2 - 3X + 2 = 0$ donne $X = 1$ ou $X = 2$ , tous deux positifs, donc $x = 0$ ou $x = \ln 2$ .

(b) Ensemble de définition : $x - 1 > 0$ et $x + 2 > 0$ , donc $x > 1$ . L’équation devient $\ln\bigl((x-1)(x+2)\bigr) = \ln 4$ , d’où $(x-1)(x+2) = 4$ , c’est-à-dire $x^2 + x - 6 = 0$ , donc $x = 2$ ou $x = -3$ . Seul $x = 2$ est dans l’ensemble de définition : $S = \{2\}$ .

Exercice 23.3 ★

Calculer les limites :

\lim_{x\to+\infty} \frac{\eu^x - x^2}{\eu^x + 1}, \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{\sqrt x}, \qquad \lim_{x\to0^+} x^2 \ln x, \qquad \lim_{x\to+\infty} \bigl(x - \ln x\bigr).

Solution

Solution de Exercice 23.3.

Diviser par $\eu^x$ : $\dfrac{1 - x^2\eu^{-x}}{1 + \eu^{-x}} \to \dfrac{1-0}{1+0} = 1$ , en utilisant $x^2 \eu^{-x} \to 0$ (Théorème 23.4).

$\dfrac{\ln x}{\sqrt x} \to 0$ par la Proposition 23.7 (cas $n = 2$ ).

$x^2 \ln x = x \cdot (x \ln x) \to 0 \times 0 = 0$ .

$x - \ln x = x\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right) \to +\infty$ car $\frac{\ln x}{x} \to 0$ .

Exercice 23.4 ★★

Étudier la fonction $f(x) = x\,\eu^{-x}$ sur $\R$ : variations, limites, extremum ; montrer que sa courbe a un point d’inflexion et donner ses coordonnées.

Solution

Solution de Exercice 23.4.

$f'(x) = \eu^{-x} - x\eu^{-x} = (1 - x)\eu^{-x}$ , du signe de $1 - x$ : $f$ croît sur $\intoc{-\infty}{1}$ , décroît sur $\intco{1}{+\infty}$ , avec un maximum global $f(1) = \eu^{-1}$ .

Limites : lorsque $x \to +\infty$ , $f(x) = \frac{x}{\eu^x} \to 0$ (Théorème 23.4) ; lorsque $x \to -\infty$ , $x \to -\infty$ et $\eu^{-x} \to +\infty$ , donc $f(x) \to -\infty$ .

$f''(x) = -\eu^{-x} - (1-x)\eu^{-x} = (x - 2)\eu^{-x}$ , qui change de signe en $x = 2$ : point d’inflexion en $\bigl(2,\, 2\eu^{-2}\bigr)$ .

Exercice 23.5 ★★

Montrer que pour tout $x > -1$ , $\ln(1 + x) \leq x$ , avec égalité seulement en $x = 0$ . En déduire que pour tout $n \geq 1$ ,

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \leq \eu \leq \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)} .

Solution

Solution de Exercice 23.5.

Soit $g(x) = x - \ln(1+x)$ sur $\intoo{-1}{+\infty}$ . Alors $g'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x}$ , négatif sur $\intoo{-1}{0}$ et positif sur $\intoo{0}{+\infty}$ : $g$ atteint son minimum $g(0) = 0$ , donc $g \geq 0$ avec égalité seulement en $0$ . D’où $\ln(1+x) \leq x$ .

Appliquer avec $x = \frac1n$ : $n\ln\left(1 + \frac1n\right) \leq 1$ , donc $\left(1+\frac1n\right)^n = \eu^{\,n\ln(1+1/n)} \leq \eu$ . Appliquer avec $x = -\frac{1}{n+1} > -1$ : $\ln\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \leq -\frac{1}{n+1}$ , donc $-(n+1)\ln\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \geq 1$ et $\left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)} \geq \eu$ .

Exercice 23.6 ★★

Un capital $C_0$ est placé au taux annuel de $3\,\%$ , intérêts composés chaque année.

Exprimer le capital $C_n$ après $n$ années.
Au bout de combien d’années le capital double-t-il ? Donner la réponse exacte avec $\ln$ , puis une valeur numérique.
Comparer avec l’approximation « $70$ divisé par le taux en pourcent » utilisée par les banquiers.

Solution

Solution de Exercice 23.6.

1. Chaque année multiplie le capital par $1.03$ : $C_n = C_0 (1.03)^n$ .

2. $C_n \geq 2C_0 \iff (1.03)^n \geq 2 \iff n \ln 1.03 \geq \ln 2 \iff n \geq \frac{\ln 2}{\ln 1.03} \approx 23.45$ : le capital double après $24$ années.

3. $\frac{70}{3} \approx 23.3$ , proche de l’exact $\frac{\ln 2}{\ln 1.03}$ . La règle fonctionne car $\ln(1 + r) \approx r$ pour $r$ petit, donc $\frac{\ln 2}{\ln(1+r)} \approx \frac{0.693}{r} \approx \frac{70}{100r}$ .

Exercice 23.7 ★★

Résoudre l’inéquation $\eu^{2x} - \eu^{x+1} > 0$ , puis l’inéquation $\ln(x^2 - 1) \leq \ln(x + 5)$ .

Solution

Solution de Exercice 23.7.

$\eu^{2x} > \eu^{x+1} \iff 2x > x + 1 \iff x > 1$ (l’exponentielle est strictement croissante) : $S = \intoo{1}{+\infty}$ .

Ensemble de définition de la seconde inégalité : $x^2 - 1 > 0$ et $x + 5 > 0$ , c’est-à-dire $x \in \intoo{-5}{-1} \cup \intoo{1}{+\infty}$ . Sur ce domaine, $\ln$ étant strictement croissante,

\ln(x^2-1) \leq \ln(x+5) \iff x^2 - 1 \leq x + 5 \iff x^2 - x - 6 \leq 0 \iff x \in \intcc{-2}{3}.

En intersectant avec le domaine : $S = \intco{-2}{-1} \cup \intoc{1}{3}$ .

Exercice 23.8 ★★★

Soit $f(x) = \dfrac{\eu^x}{x}$ pour $x > 0$ .

Étudier les variations de $f$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ et donner son minimum.
Pour quelles valeurs de $k$ l’équation $\eu^x = kx$ a-t-elle $0$ , $1$ ou $2$ solutions dans $\intoo{0}{+\infty}$ ?

Solution

Solution de Exercice 23.8.

1. $f'(x) = \dfrac{\eu^x x - \eu^x}{x^2} = \dfrac{(x-1)\eu^x}{x^2}$ , négatif sur $\intoo{0}{1}$ , positif sur $\intoo{1}{+\infty}$ : minimum $f(1) = \eu$ . Limites : $f \to +\infty$ en $0^+$ (numérateur $\to 1$ , dénominateur $\to 0^+$ ) et en $+\infty$ (Théorème 23.4).

2. Pour $x > 0$ , $\eu^x = kx \iff f(x) = k$ . D’après le tableau de variations ( $+\infty \searrow \eu \nearrow +\infty$ , continue et strictement monotone de chaque côté) : aucune solution pour $k < \eu$ ; exactement une ( $x = 1$ ) pour $k = \eu$ ; exactement deux pour $k > \eu$ (une dans $\intoo{0}{1}$ , une dans $\intoo{1}{+\infty}$ , par le théorème de la bijection sur chaque intervalle).

Exercice 23.9 ★★★

Pour $n \geq 1$ , soit $u_n = \left(1 + \frac1n\right)^n$ .

En utilisant l’Exercice 23.5, montrer que $(u_n)$ est majorée par $\eu$ .
Montrer que $\ln u_n = n \ln\left(1 + \frac1n\right) \to 1$ , et en déduire que $u_n \to \eu$ . (Indication : reconnaître un taux d’accroissement de $\ln$ en $1$ .)

Solution

Solution de Exercice 23.9.

1. Directement de la première inégalité de l’Exercice 23.5 : $u_n = \eu^{\,n\ln(1+1/n)} \leq \eu^1 = \eu$ .

2. Écrire

\ln u_n = n \ln\!\left(1 + \frac1n\right) = \frac{\ln\!\left(1 + \frac1n\right) - \ln 1}{\frac1n},

un taux d’accroissement de $\ln$ au point $1$ avec incrément $h = \frac1n \to 0$ . Comme $\ln$ est dérivable en $1$ de dérivée $1$ , $\ln u_n \to 1$ . Par continuité de $\exp$ (Proposition 21.12), $u_n = \eu^{\ln u_n} \to \eu^1 = \eu$ .