Mathématiques du lycée · Grades 10–12

15Vecteurs et droites dans le plan

Les vecteurs encodent des déplacements ; les droites sont leurs trajectoires. Le nouvel outil clé de ce chapitre est le déterminant, un seul nombre qui décide si deux vecteurs sont colinéaires — et, de là, produit des équations de droites et tranche les questions d’alignement et de parallélisme par pure computation. Les mêmes idées s’étendent à l’espace dans le Chapitre 31.

15.1 Vecteurs : un rappel

Définition 15.1 (Vecteur, coordonnées)

Un vecteur $\vec u$ représente un déplacement : toutes les flèches de même direction, même sens et même longueur représentent le même vecteur. Dans un repère, $\vec u\,(x, y)$ enregistre le déplacement ( $x$ horizontalement, $y$ verticalement) ; pour des points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ ,

\vect{AB}\,\bigl(x_B - x_A,\ y_B - y_A\bigr).

Les vecteurs s’additionnent coordonnée par coordonnée, et $\lambda\vec u$ a pour coordonnées $(\lambda x, \lambda y)$ .

Proposition 15.2 (Milieu)

Le milieu $M$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right)$ .

Démonstration. $M$ est caractérisé par $\vect{AM} = \frac12\vect{AB}$ : coordonnée par coordonnée, $x_M - x_A = \frac12(x_B - x_A)$ , donc $x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$ , et de même pour $y_M$ . ∎

15.2 Colinéarité et déterminant

Définition 15.3 (Vecteurs colinéaires)

Deux vecteurs sont colinéaires si l’un est un multiple scalaire de l’autre : $\vec v = \lambda \vec u$ pour un certain $\lambda \in \R$ (ou $\vec u = \vec 0$ ). Géométriquement : ils ont la même direction, ou l’un d’eux est nul.

Définition 15.4 (Déterminant)

Le déterminant de $\vec u\,(x, y)$ et $\vec v\,(x', y')$ est

\det(\vec u, \vec v) = \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} = x y' - x' y .

Théorème 15.5 (Critère de colinéarité)

Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si $\det(\vec u, \vec v) = 0$ .

Démonstration. ( $\Rightarrow$ ) Si $\vec v = \lambda\vec u$ , alors $x' = \lambda x$ et $y' = \lambda y$ , donc $\det(\vec u, \vec v) = x(\lambda y) - (\lambda x)y = 0$ ; si $\vec u = \vec 0$ , le déterminant est trivialement $0$ .

( $\Leftarrow$ ) Supposons $xy' - x'y = 0$ et $\vec u \neq \vec 0$ , disons $x \neq 0$ (le cas $y \neq 0$ est symétrique). Poser $\lambda = \frac{x'}{x}$ . Alors $x' = \lambda x$ par construction, et la relation $xy' = x'y = \lambda x y$ donne, après division par $x \neq 0$ , $y' = \lambda y$ . D’où $\vec v = \lambda \vec u$ . ∎

Exemple 15.6

$\vec u\,(3, -2)$ et $\vec v\,(-6, 4)$ : $\det = 3 \times 4 - (-6) \times (-2) = 12 - 12 = 0$ , colinéaires (en effet $\vec v = -2\vec u$ ). $\vec u\,(3, -2)$ et $\vec w\,(2, 1)$ : $\det = 3 + 4 = 7 \neq 0$ , non colinéaires.

Méthode 15.7 (Alignement de trois points)

$A$ , $B$ , $C$ sont alignés si et seulement si $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ sont colinéaires : calculer les deux vecteurs et vérifier $\det\bigl(\vect{AB}, \vect{AC}\bigr) = 0$ .

15.3 Équations cartésiennes de droites

Définition 15.8 (Vecteur directeur)

Un vecteur directeur d’une droite $d$ est tout vecteur non nul $\vec u$ tel que $\vect{AB}$ est colinéaire à $\vec u$ pour tous points $A, B$ de $d$ .

Théorème 15.9 (Équation cartésienne)

Une droite de vecteur directeur $\vec u\,(-b, a)$ admet une équation de la forme

ax + by + c = 0 \qquad (a, b) \neq (0, 0).

Réciproquement, toute telle équation décrit une droite de vecteur directeur $\vec u\,(-b, a)$ .

Démonstration. Soit $d$ passant par $A(x_A, y_A)$ de direction $\vec u\,(-b, a)$ . Un point $M(x, y)$ est sur $d$ exactement lorsque $\vect{AM}$ est colinéaire à $\vec u$ , c’est-à-dire (Théorème 15.5)

0 = \det\bigl(\vect{AM}, \vec u\bigr) = (x - x_A)\,a - (-b)(y - y_A) = ax + by - (a x_A + b y_A),

une équation de la forme annoncée avec $c = -(a x_A + b y_A)$ . Réciproquement, les solutions de $ax + by + c = 0$ avec, disons, $b \neq 0$ sont les points $\left(x, -\frac{a x + c}{b}\right)$ : en soustrayant deux d’entre eux, toute corde est colinéaire à $(-b, a)$ , et une solution existe toujours — c’est la droite passant par elle de direction $(-b, a)$ . ∎

Méthode 15.10 (Droite par deux points)

Pour trouver une équation de la droite $(AB)$ : calculer le vecteur directeur $\vect{AB}\,(x_B - x_A, y_B - y_A)$ ; l’identifier à $(-b, a)$ , c’est-à-dire prendre $a = y_B - y_A$ et $b = -(x_B - x_A)$ ; déterminer $c$ en injectant les coordonnées de $A$ .

Exemple 15.11

Droite par $A(1, 2)$ et $B(4, 3)$ : $\vect{AB}\,(3, 1)$ , donc $a = 1$ , $b = -3$ , et l’équation est $x - 3y + c = 0$ . En injectant $A$ : $1 - 6 + c = 0$ , donc $c = 5$ . Équation : $x - 3y + 5 = 0$ . Vérification avec $B$ : $4 - 9 + 5 = 0$ .

Remarque 15.12

Lorsque $b \neq 0$ , l’équation peut se résoudre en $y$ : $y = mx + p$ avec coefficient directeur $m = -\frac ab$ . La forme cartésienne $ax + by + c = 0$ est plus générale : elle couvre aussi les droites verticales ( $b = 0$ ), qui n’ont pas de coefficient directeur.

La droite x - 3y + 5 = 0 de l’, son vecteur directeur u = AB (rouge, ici réduit de moitié), et les deux points utilisés pour construire l’équation. — La droite $x - 3y + 5 = 0$ de l’Exemple 15.11, son vecteur directeur $\vec u = \vect{AB}$ (rouge, ici réduit de moitié), et les deux points utilisés pour construire l’équation.

15.4 Représentation paramétrique

Définition 15.13 (Représentation paramétrique)

La droite passant par $A(x_A, y_A)$ de direction $\vec u\,(\alpha, \beta)$ est l’ensemble des points

M\bigl(x_A + t\alpha,\ y_A + t\beta\bigr), \qquad t \in \R .

Le nombre $t$ est le paramètre : chaque valeur de $t$ produit un point de la droite, comme si l’on se déplaçait le long d’elle à vitesse constante $\vec u$ .

Exemple 15.14

La droite de l’Exemple 15.11 est aussi $\{(1 + 3t,\ 2 + t) : t \in \R\}$ : $t = 0$ donne $A$ , $t = 1$ donne $B$ . En éliminant $t$ ( $t = y - 2$ , donc $x = 1 + 3(y-2)$ ) on retrouve $x - 3y + 5 = 0$ .

15.5 Positions relatives de deux droites

Proposition 15.15 (Parallèles ou sécantes)

Deux droites de vecteurs directeurs $\vec u$ et $\vec v$ sont parallèles si et seulement si $\det(\vec u, \vec v) = 0$ . Sous forme d’équations : $d : ax + by + c = 0$ et $d' : a'x + b'y + c' = 0$ sont parallèles si et seulement si $ab' - a'b = 0$ . Des droites non parallèles se coupent en exactement un point.

Démonstration. Le parallélisme signifie des directions colinéaires, ce qui est le Théorème 15.5 ; avec $\vec u\,(-b, a)$ et $\vec v\,(-b', a')$ , le déterminant est $(-b)a' - (-b')a = ab' - a'b$ . Si les droites ne sont pas parallèles, résoudre les deux équations simultanément (par substitution ou combinaison) conduit à une unique solution : le système se comporte comme un système $2 \times 2$ à déterminant non nul. ∎

Méthode 15.16 (Intersection de deux droites)

Résoudre le système des deux équations : isoler une inconnue dans une équation et substituer dans l’autre, ou combiner les équations pour éliminer une inconnue. Toujours vérifier le point obtenu dans les deux équations.

Exemple 15.17

Intersecter $d: x - 3y + 5 = 0$ et $d': 2x + y - 4 = 0$ . De $d'$ : $y = 4 - 2x$ . En substituant dans $d$ :

x - 3(4 - 2x) + 5 = 0 \iff x - 12 + 6x + 5 = 0 \iff 7x = 7 \iff x = 1,

puis $y = 2$ . Les droites se coupent en $(1, 2)$ . Vérification dans $d$ : $1 - 6 + 5 = 0$ .

15.6 Exercices

Exercice 15.1 ★

Étant donnés $A(2, -1)$ , $B(5, 3)$ et $C(-1, 1)$ , calculer les coordonnées de $\vect{AB}$ , $\vect{AC}$ , $\vect{AB} + \vect{AC}$ et $2\vect{AB} - 3\vect{AC}$ , et le milieu de $[BC]$ .

Solution

Solution de Exercice 15.1.

$\vect{AB}\,(3, 4)$ , $\vect{AC}\,(-3, 2)$ , $\vect{AB} + \vect{AC}\,(0, 6)$ , $2\vect{AB} - 3\vect{AC}\,(6 + 9,\ 8 - 6) = (15, 2)$ . Le milieu de $[BC]$ est $\left(\frac{5 + (-1)}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = (2, 2)$ .

Exercice 15.2 ★

Les vecteurs sont-ils colinéaires ?

\vec u\,(4, -6) \text{ et } \vec v\,(-2, 3); \qquad \vec u\,(2, 5) \text{ et } \vec v\,(3, 7); \qquad \vec u\,(0, 3) \text{ et } \vec v\,(0, -8).

Solution

Solution de Exercice 15.2.

$\det = 4 \times 3 - (-2) \times (-6) = 12 - 12 = 0$ : colinéaires (en effet $\vec v = -\frac12 \vec u$ ).

$\det = 2 \times 7 - 3 \times 5 = -1 \neq 0$ : non colinéaires.

$\det = 0 \times (-8) - 0 \times 3 = 0$ : colinéaires (tous deux verticaux).

Exercice 15.3 ★

Trouver une équation cartésienne de la droite passant par $A(2, 1)$ de vecteur directeur $\vec u\,(3, -1)$ , puis de la droite passant par $B(0, 4)$ et $C(2, 0)$ .

Solution

Solution de Exercice 15.3.

Par $A(2,1)$ , direction $(3, -1)$ : identifier $(-b, a) = (3, -1)$ donne $a = -1$ , $b = -3$ , donc $-x - 3y + c = 0$ ; en injectant $A$ : $-2 - 3 + c = 0$ , $c = 5$ . En multipliant par $-1$ : $x + 3y - 5 = 0$ .

Par $B(0,4)$ et $C(2,0)$ : $\vect{BC}\,(2, -4)$ , donc $a = -4$ , $b = -2$ : $-4x - 2y + c = 0$ ; en injectant $B$ : $-8 + c = 0$ , $c = 8$ . En simplifiant par $-2$ : $2x + y - 4 = 0$ . Vérification avec $C$ : $4 + 0 - 4 = 0$ .

Exercice 15.4 ★

Pour la droite $d: 3x - 2y + 6 = 0$ , donner un vecteur directeur, les intersections avec les deux axes de coordonnées, et décider si les points $P(2, 6)$ et $Q(1, 4)$ appartiennent à $d$ .

Solution

Solution de Exercice 15.4.

Un vecteur directeur est $(-b, a) = (2, 3)$ . Intersections : $x = 0$ donne $y = 3$ , point $(0, 3)$ ; $y = 0$ donne $x = -2$ , point $(-2, 0)$ . Pour $P(2,6)$ : $3 \times 2 - 2 \times 6 + 6 = 0$ , donc $P \in d$ . Pour $Q(1,4)$ : $3 - 8 + 6 = 1 \neq 0$ , donc $Q \notin d$ .

Exercice 15.5 ★★

Les points $A(1, 2)$ , $B(4, 8)$ , $C(-2, -4)$ sont-ils alignés ? Même question pour $D(0, 1)$ , $E(2, 4)$ , $F(5, 9)$ .

Solution

Solution de Exercice 15.5.

$\vect{AB}\,(3, 6)$ et $\vect{AC}\,(-3, -6)$ : $\det = 3 \times (-6) - (-3) \times 6 = 0$ , donc $A$ , $B$ , $C$ sont alignés.

$\vect{DE}\,(2, 3)$ et $\vect{DF}\,(5, 8)$ : $\det = 2 \times 8 - 5 \times 3 = 1 \neq 0$ : $D$ , $E$ , $F$ ne sont pas alignés.

Exercice 15.6 ★★

Déterminer le point d’intersection, s’il existe :

d: 2x + y - 7 = 0 \ \text{ et }\ d': x - y + 1 = 0; \qquad e: x - 2y + 3 = 0 \ \text{ et }\ e': -2x + 4y + 1 = 0 .

Solution

Solution de Exercice 15.6.

Premier couple : en additionnant les deux équations, $(2x + y - 7) + (x - y + 1) = 3x - 6 = 0$ , donc $x = 2$ , puis $y = x + 1 = 3$ : elles se coupent en $(2, 3)$ (vérification : $4 + 3 - 7 = 0$ ).

Second couple : $ab' - a'b = 1 \times 4 - (-2) \times (-2) = 0$ , donc les droites sont parallèles ; multiplier $e$ par $-2$ donne $-2x + 4y - 6 = 0$ , qui diffère de $e'$ ( $-6 \neq 1$ ) : strictement parallèles, pas d’intersection.

Exercice 15.7 ★★

Donner une représentation paramétrique de la droite $d: 2x - y + 3 = 0$ , et une équation cartésienne de la droite $\bigl\{(1 + 2t,\ -3 + t) : t \in \R\bigr\}$ .

Solution

Solution de Exercice 15.7.

Pour $d: 2x - y + 3 = 0$ : direction $(-b, a) = (1, 2)$ et le point $(0, 3)$ est sur $d$ , donc $d = \{(t,\ 3 + 2t) : t \in \R\}$ .

Pour la droite paramétrique par $(1, -3)$ de direction $(2, 1)$ : $a = 1$ , $b = -2$ , donc $x - 2y + c = 0$ ; en injectant $(1, -3)$ : $1 + 6 + c = 0$ , $c = -7$ . Équation : $x - 2y - 7 = 0$ (vérification $t = 1$ , point $(3, -2)$ : $3 + 4 - 7 = 0$ ).

Exercice 15.8 ★★

Trouver l’équation de la droite passant par $P(1, -2)$ parallèle à $d: 4x - 3y + 2 = 0$ , et la valeur de $m$ pour laquelle la droite $mx + 2y - 5 = 0$ est parallèle à $d$ .

Solution

Solution de Exercice 15.8.

Une droite parallèle a le même $(a, b)$ : $4x - 3y + c = 0$ ; par $P(1, -2)$ : $4 + 6 + c = 0$ , donc $c = -10$ et la droite est $4x - 3y - 10 = 0$ .

Le parallélisme de $mx + 2y - 5 = 0$ avec $d$ exige $ab' - a'b = 4 \times 2 - m \times (-3) = 8 + 3m = 0$ , donc $m = -\frac83$ .

Exercice 15.9 ★★

Soient $A(-1, 0)$ , $B(3, 2)$ et $C(1, -4)$ . Trouver une équation cartésienne de la médiane du triangle $ABC$ issue de $C$ (la droite joignant $C$ au milieu de $[AB]$ ).

Solution

Solution de Exercice 15.9.

Le milieu de $[AB]$ est $M\!\left(\frac{-1+3}{2}, \frac{0+2}{2}\right) = (1, 1)$ . La médiane est la droite $(CM)$ avec $C(1, -4)$ : les deux points ont pour abscisse $1$ , donc la médiane est la droite verticale

x - 1 = 0 .

Exercice 15.10 ★★

Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre $m$ les vecteurs $\vec u\,(m, 2)$ et $\vec v\,(3, m - 1)$ sont-ils colinéaires ?

Solution

Solution de Exercice 15.10.

$\det(\vec u, \vec v) = m(m - 1) - 3 \times 2 = m^2 - m - 6$ . Il s’annule lorsque $m^2 - m - 6 = 0$ : $\Delta = 1 + 24 = 25$ , racines $m = \frac{1 \pm 5}{2}$ , c’est-à-dire $m = 3$ ou $m = -2$ .

Exercice 15.11 ★★★

Soit $ABCD$ un parallélogramme, $I$ le milieu de $[AB]$ , et $J$ le point défini par $\vect{DJ} = \frac23 \vect{DI}$ . En travaillant dans le repère où $A(0,0)$ , $B(1,0)$ , $D(0,1)$ (donc $C(1,1)$ ) :

Calculer les coordonnées de $I$ et $J$ .
Montrer que $A$ , $J$ et $C$ sont alignés. (Un joli fait : la droite $(DI)$ coupe la diagonale $(AC)$ au tiers de sa longueur depuis $A$ .)

Solution

Solution de Exercice 15.11.

1. $I = \left(\frac12, 0\right)$ . Alors $\vect{DI} = \left(\frac12 - 0,\ 0 - 1\right) = \left(\frac12, -1\right)$ et $\vect{DJ} = \frac23\vect{DI} = \left(\frac13, -\frac23\right)$ , donc

J = D + \vect{DJ} = \left(\frac13,\ \frac13\right).

2. $\vect{AJ}\left(\frac13, \frac13\right)$ et $\vect{AC}\,(1, 1)$ : $\det = \frac13 \times 1 - 1 \times \frac13 = 0$ , donc $A$ , $J$ , $C$ sont alignés — en fait $\vect{AJ} = \frac13\vect{AC}$ : la droite $(DI)$ coupe la diagonale $(AC)$ à exactement un tiers de sa longueur depuis $A$ .