प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय भौतिकी · Grades 1–9

46आयतन, द्रव्यमान, घनत्व

पिछले साल तुमने ग्रामों को घन सेंटीमीटरों से भाग देकर एक बेईमान सुनार का पर्दाफ़ाश किया था। इस साल तुम्हारे गणित के पाठ्यक्रम ने तुम्हें एक नई ताक़त थमाई है: वे अक्षर जो संख्याओं की जगह खड़े होते हैं। घनत्व उसे ख़र्च करने की सबसे बढ़िया जगह है — एक छोटा-सा सूत्र, जो तीन नुस्ख़े, एक जासूस का औज़ार-डिब्बा और तैरने का पूरा नियम पाँच संकेतों में भर देता है।

46.1 सूत्र

परिभाषा 46.1 (घनत्व, सूत्र से)

किसी पदार्थ का घनत्व $\rho$ (यूनानी अक्षर रो) उसका प्रति मात्रक आयतन द्रव्यमान है: $m$ द्रव्यमान और $V$ आयतन वाले नमूने के लिए,

\rho = \frac{m}{V}.

$m$ ग्राम में और $V$ घन सेंटीमीटर में लो, तो $\rho$ ग्राम प्रति घन सेंटीमीटर ( $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ ) में निकलता है — यानी पिछले साल वाला “एक घन सेंटीमीटर का द्रव्यमान”, अब वर्दी पहने हुए। पानी का घनत्व: $\rho = 1.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ । और चूँकि एक लीटर $1000$ घन सेंटीमीटर होता है, वही संख्या किलोग्राम प्रति लीटर का काम भी कर देती है: पानी $1.0\,\mathrm{kg}$ प्रति लीटर।

उदाहरण 46.2 (अक्षरों को पढ़ना)

सूत्र संक्षेप में लिखा गया एक वाक्य है। $\rho = m/V$ पढ़ा जाता है: “घनत्व निकालने के लिए नमूने के द्रव्यमान को उसके आयतन से भाग दो।” अक्षर जगह रोकने वाले हैं — इस कंकड़ के लिए $m$ बन जाता है $75\,\mathrm{g}$ और $V$ बन जाता है $30\,\mathrm{cm}^{3}$ :

\rho = \frac{m}{V} = \frac{75}{30} = 2.5\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}.

भाग वही है जो पिछले साल था — पर सूत्र आगे आने वाले हर कंकड़ के लिए नुस्ख़ा याद रखता है।

प्रतिज्ञप्ति 46.3 (एक सूत्र में तीन नुस्ख़े)

चूँकि घनत्व द्रव्यमान और आयतन को समानुपात में बाँध देता है, इसलिए एक ही सूत्र तीन ज़रूरतें पूरी कर देता है:

घनत्व निकालना: $\rho = m/V$ — द्रव्यमान को आयतन से भाग दो;
द्रव्यमान निकालना: $m = \rho \times V$ — हर घन सेंटीमीटर $\rho$ ग्राम लिए चलता है, और ऐसे $V$ घन हैं;
आयतन निकालना: $V = m/\rho$ — द्रव्यमान को $\rho$ ग्राम वाले हिस्सों में बाँट दो; हिस्सों की संख्या ही घन सेंटीमीटरों की संख्या है।

उदाहरण 46.4 (नुस्ख़े काम पर)

आयतन से द्रव्यमान: लोहे ( $\rho = 7.9$ ) के $250\,\mathrm{cm}^{3}$ का भार कितना होगा? $m = 7.9 \times 250 = 1975\,\mathrm{g}$ — यानी एक कॉफ़ी-मग जितनी जगह में लगभग दो किलोग्राम। द्रव्यमान से आयतन: बलूत ( $\rho = 0.6$ ) के $540\,\mathrm{g}$ कितनी जगह घेरेंगे? $V = 540 \div 0.6 = 900\,\mathrm{cm}^{3}$ । समझदारी का साथी: लोहे के उत्तर भारी-और-छोटे होने चाहिए, और लकड़ी के हल्के-और-बड़े — घनत्व की तालिका परखने वाले क़दम की सबसे अच्छी दोस्त है।

घनत्व की तालिका एक क्षितिज-रेखा की तरह: कॉर्क के पंख जैसे हल्के 0.2 से लेकर सोने के विशाल 19.3 तक। पानी का 1.0 तैरने की सरहद है। — घनत्व की तालिका एक क्षितिज-रेखा की तरह: कॉर्क के पंख जैसे हल्के $0.2$ से लेकर सोने के विशाल $19.3$ तक। पानी का $1.0$ तैरने की सरहद है।

46.2 घनत्व मापना

विधि 46.5 (किसी द्रव का घनत्व)

द्रव अकेले तुला के पलड़े पर नहीं बैठते — इसलिए टेयर वाली तरकीब उधार लो:

ख़ाली मापक बेलन तुला पर रखो और उसे शून्य पर टेयर कर दो;
उसमें कोई सुविधाजनक आयतन डालो — मान लो रहस्यमय द्रव का $V = 80\,\mathrm{cm}^{3}$ , और नवचंद्रक ठीक से पढ़ो;
अब तुला अकेले द्रव का द्रव्यमान दिखाती है: मान लो $m = 68\,\mathrm{g}$ ;
भाग दो: $\rho = 68 \div 80 = 0.85\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — पानी से हल्का: शायद कोई तेल।

उदाहरण 46.6 (किसी ठोस का घनत्व, शुरू से अंत तक)

एक पदक चाँदी ( $\rho = 10.5$ ) का होने का दावा करता है। तुला: $m = 84\,\mathrm{g}$ । बेलन: पानी $60.0\,\mathrm{cm}^{3}$ से $68.0\,\mathrm{cm}^{3}$ तक चढ़ता है, यानी $V = 8.0\,\mathrm{cm}^{3}$ । तब $\rho = 84 \div 8.0 = 10.5\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — दस्तख़त मेल खाता है: हो सकता है वह सचमुच चाँदी हो। (चाँदी की परत चढ़ाई हुई कोई सस्ती धातु यहीं पकड़ी जाती — जब तक कि उसे बड़ी चालाकी से न चुना गया हो, जैसा सप्ताहांत की समस्या दिखाएगी।)

टिप्पणी 46.7 (सूत्रों में मात्रक)

कोई सूत्र तभी ईमानदार है जब उसके मात्रक आपस में मेल खाएँ। $m$ ग्राम में और $V$ $\mathrm{cm}^{3}$ में हो, तो $\rho$ $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ बोलता है; किलोग्राम और लीटर खिलाओ तो वह $\mathrm{kg}/\mathrm{L}$ में उत्तर देता है — और ख़ुशी की बात यह कि किसी भी पदार्थ के लिए दोनों संख्याएँ एक ही होती हैं। पर ग्राम को लीटर के साथ मिला दो, और सूत्र बिना शिकायत किए बकवास थमा देता है। पेशेवरों का नियम: गणना से पहले मात्रकों की परेड कराओ; और गणना के बाद उन्हें उत्तर में लिख दो।

46.3 घनत्व वाली सोच

उदाहरण 46.8 (मिश्रधातुएँ और बीच के मान)

दो पदार्थ मिलाओ और मिश्रण का घनत्व उनके दस्तख़तों के बीच आ जाता है — और जिस घटक की मात्रा ज़्यादा हो, उसके ज़्यादा पास। काँसा (ताँबा $9.0$ , और थोड़ा-सा राँगा) लगभग $8.8$ के दस्तख़त करता है; मुकुट की सोना-चाँदी मिलावट $10.5$ और $19.3$ के बीच दस्तख़त कर रही थी; और समुद्र का पानी, यानी पानी में घुला नमक, चढ़कर लगभग $1.03$ पर आ जाता है। बीच में पड़ना ख़ुद एक सुराग़ है: “शुद्ध सोने” की सिल्ली का $12$ वाला पाठ किसी साथी की मौजूदगी का इक़बाल है।

उदाहरण 46.9 (तैरने की दुनिया घनत्व तय करता है)

तैरने का नियम, अब वर्दी में: कोई वस्तु किसी द्रव में तब तैरती है जब $\rho_{\text{वस्तु}} < \rho_{\text{द्रव}}$ हो। बलूत ( $0.6$ ) पानी ( $1.0$ ) पर: तैरता है। बर्फ़ ( $0.9$ ) तेल ( $0.85$ ) में: डूबती है — यहाँ अपनी अंतर्दृष्टि नहीं, तालिका देखो। कोई तैराक ( $\approx 1.0$ ) उन मशहूर बेहद खारी झीलों ( $\approx 1.2$ ) में: कॉर्क की तरह तैरता है, हाथ में अख़बार लिए। एक असमिका, और पूरा बंदरगाह।

टिप्पणी 46.10 (भीड़ देखो, पुड़िया नहीं)

$\rho = m/V$ पदार्थों का वर्णन करता है; और जहाज़ तथा फूली हुई जीवन-रक्षक जैकेट पुड़ियाँ हैं — यानी पदार्थ और उसमें क़ैद हवा — और तैरने के नियम का सामना पुड़िया का कुल $m/V$ करता है। सूत्र दोनों सँभाल लेता है, बशर्ते तुम उसे सही $m$ और $V$ खिलाओ: पदार्थ के लिए इस्पात का अपना घनत्व, और पुड़िया के लिए पूरे ढाँचे का द्रव्यमान बटा पूरे ढाँचे का आयतन। तैरने के ज़्यादातर “विरोधाभास” असल में इन्हीं दो हिसाबों की गड़बड़ी हैं।

46.4 अभ्यास

अभ्यास 46.1 ★

घनत्व का सूत्र लिखो, हर अक्षर का नाम बताओ, और वह मात्रक भी जो ग्राम तथा घन सेंटीमीटर के साथ आता है।

हल

हल — अभ्यास 46.1.

$\rho = m/V$ : $\rho$ घनत्व, $m$ नमूने का द्रव्यमान, $V$ उसका आयतन। ग्राम और घन सेंटीमीटर लेने पर $\rho$ $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ में निकलता है।

अभ्यास 46.2 ★

घनत्व निकालो: $m = 270\,\mathrm{g}$ , $V = 100\,\mathrm{cm}^{3}$ । क्षितिज-रेखा वाले आलेख की यह कौन-सी धातु है?

हल

हल — अभ्यास 46.2.

$\rho = 270 \div 100 = 2.7\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ : एल्यूमिनियम।

अभ्यास 46.3 ★

सही नुस्ख़ा काम में लो: ताँबे ( $\rho = 9.0$ ) के $40\,\mathrm{cm}^{3}$ का द्रव्यमान; सोने ( $\rho = 19.3$ ) के $1930\,\mathrm{g}$ का आयतन।

हल

हल — अभ्यास 46.3.

$m = 9.0 \times 40 = 360\,\mathrm{g}$ ताँबा। $V = 1930 \div 19.3 = 100\,\mathrm{cm}^{3}$ सोना — मुकुट वाले मुक़दमे की अपनी संख्या।

अभ्यास 46.4 ★

विधि 46.5 में बेलन को पहले टेयर क्यों किया जाता है? फिर कौन-से दो पाठ सूत्र को खिलाए जाते हैं?

हल

हल — अभ्यास 46.4.

टेयर करने से बेलन का अपना द्रव्यमान हट जाता है और तुला अकेले द्रव की ख़बर देती है — यानी वही ईमानदार-शून्य वाला नियम। फिर सूत्र को तुला का द्रव्यमान $m$ और नवचंद्रक का पाठ $V$ खिलाया जाता है।

अभ्यास 46.5 ★

एक द्रव: $V = 50\,\mathrm{cm}^{3}$ , $m = 70\,\mathrm{g}$ । उसका घनत्व? क्या बर्फ़ का टुकड़ा ( $0.9$ ) उसमें तैरेगा या डूबेगा?

हल

हल — अभ्यास 46.5.

$\rho = 70 \div 50 = 1.4\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — शहद जैसा। $0.9$ वाली बर्फ़ उससे कहीं कम घनी है: वह उसमें ऊपर-ऊपर तैरेगी।

अभ्यास 46.6 ★

पानी का घनत्व $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ में और किलोग्राम प्रति लीटर में एक ही संख्या क्यों है? टिप्पणी 46.7 ग्राम को लीटर के साथ मिलाने पर कौन-सी चेतावनी जोड़ती है?

हल

हल — अभ्यास 46.6.

दोनों मात्रक साथ-साथ बढ़ते हैं: एक लीटर $1000$ $\mathrm{cm}^{3}$ है और एक किलोग्राम $1000$ ग्राम, इसलिए दोनों हज़ार आपस में कट जाते हैं — और एक ही संख्या दोनों का काम कर देती है। ग्राम को लीटर के साथ मिलाने पर यह कटाव छूट जाता है और उत्तर हज़ार गुना ग़लत निकलता है।

अभ्यास 46.7 ★

“शुद्ध सोना” लिखे एक कड़े का $m = 58\,\mathrm{g}$ और $V = 5.0\,\mathrm{cm}^{3}$ है। उसका घनत्व निकालो और तालिका को गवाह बनाकर अपना फ़ैसला सुनाओ।

हल

हल — अभ्यास 46.7.

$\rho = 58 \div 5.0 = 11.6\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — सीसे के $11.3$ के पास, और सोने के $19.3$ के आस-पास भी नहीं। फ़ैसला: शुद्ध सोना नहीं; शायद सोने के कपड़े पहने सीसे के दिल वाला कोई नक़ली।

अभ्यास 46.8 ★★

एक घन मीटर $100 \times 100 \times 100$ सेंटीमीटर वाला घन है। यह कितने $\mathrm{cm}^{3}$ हुए — और एक घन मीटर पानी का द्रव्यमान किलोग्राम में कितना? (उत्तर बता देता है कि मकान मालिक पानी वाले बिस्तरों से क्यों घबराते हैं।)

हल

हल — अभ्यास 46.8.

$100 \times 100 \times 100 = 1000000$ $\mathrm{cm}^{3}$ — यानी दस लाख। हर एक $1\,\mathrm{g}$ का, तो कुल $1\,000\,000\,\mathrm{g}$ $=$ $1000\,\mathrm{kg}$ : एक घन मीटर पानी का पूरा एक टन — और इसीलिए पानी वाला बड़ा बिस्तर भूतल का फ़र्नीचर है।

अभ्यास 46.9 ★★

एक “चाँदी” की ट्रॉफ़ी: $m = 420\,\mathrm{g}$ , और पानी $200\,\mathrm{cm}^{3}$ से $260\,\mathrm{cm}^{3}$ तक चढ़ता है। घनत्व? वह तालिका के किन दो पदार्थों के बीच पड़ता है — और बीच में पड़ना क्या फुसफुसाता है?

हल

हल — अभ्यास 46.9.

$V = 260 - 200 = 60\,\mathrm{cm}^{3}$ ; $\rho = 420 \div 60 = 7.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — एल्यूमिनियम ( $2.7$ ) और लोहे ( $7.9$ ) के बीच, और लोहे से ज़रा नीचे। बीच में पड़ना फुसफुसाता है: कोई मिश्रण या परत चढ़ा नक़ली, चाँदी का $10.5$ तो पक्के तौर पर नहीं।

अभ्यास 46.10 ★★

ख़ाली बोतल का भार $380\,\mathrm{g}$ है; किसी रहस्यमय द्रव से उसके $75\,\mathrm{cL}$ के निशान तक भरने पर उसका भार $1010\,\mathrm{g}$ हो जाता है। द्रव का घनत्व $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ में निकालो और उसकी पहचान सुझाओ।

हल

हल — अभ्यास 46.10.

द्रव का द्रव्यमान: $1010 - 380 = 630\,\mathrm{g}$ ; आयतन: $75\,\mathrm{cL} = 750\,\mathrm{cm}^{3}$ ; इसलिए $\rho = 630 \div 750 = 0.84\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — कोई तेल।

अभ्यास 46.11 ★★

एल्यूमिनियम के एक खोखले बोये का कुल आयतन $4000\,\mathrm{cm}^{3}$ और कुल द्रव्यमान $1200\,\mathrm{g}$ है। पुड़िया का घनत्व निकालो और तैरने या डूबने का अंदाज़ा लगाओ — फिर टिप्पणी 46.10 की मदद से बताओ कि एल्यूमिनियम का अपना $2.7$ यहाँ ग़लत संख्या क्यों थी।

हल

हल — अभ्यास 46.11.

पुड़िया का घनत्व: $1200 \div 4000 = 0.3\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — पानी के $1.0$ से बहुत नीचे: बोया ऊपर-ऊपर तैरता है। एल्यूमिनियम का $2.7$ सिर्फ़ धातु की खाल का वर्णन करता है; पुड़िया तो ज़्यादातर बंद हवा है, और तैरने के नियम का सामना पुड़िया करती है — कुल द्रव्यमान बटा कुल आयतन।

अभ्यास 46.12 ★★★

कोई ज़ंजीर शुद्ध ताँबे की है या नहीं, यह तय करने के लिए पूरी कार्यविधि बनाओ: हर मापन गिनाओ, काम में लिया गया नुस्ख़ा बताओ, शुद्धता के लिए अपेक्षित संख्या लिखो, और दो ईमानदार वजहें भी बताओ जिनसे तुम्हारा फ़ैसला फिर भी ग़लत हो सकता है (खोखली कड़ियाँ सोचो, और वे चालाक मिश्रण भी जिनका घनत्व ताँबे के पास ही आ बैठता है)। कौन-सी अतिरिक्त जाँच मुक़दमे को कसेगी?

हल

हल — अभ्यास 46.12.

कार्यविधि: ज़ंजीर तौलो ( $m$ ); उठान वाली विधि से उसका आयतन मापो, पूरी डूबी हुई, बिना बुलबुलों के ( $V$ ); $\rho = m/V$ निकालो; शुद्धता के लिए लगभग $9.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ अपेक्षित है। ईमानदार संदेह: खोखली कड़ियाँ हवा क़ैद करके $V$ फुला देती हैं और घनत्व झूठा कम दिखा देती हैं; और कोई चालाक मिश्रण (या परत चढ़ा क्रोड) $9.0$ के पास आ सकता है जबकि उसमें शुद्ध ताँबा हो ही नहीं। कसने वाली जाँच: कड़ियों में पानी भरकर (बुलबुले झाड़कर) आयतन दोबारा मापो, और कोई स्वतंत्र दस्तख़त भी जोड़ो — जैसे चुंबक (इस्पात का क्रोड ख़ुद को उसी पल पकड़ा देता है), या कार्यशाला में मापा गया गलन-व्यवहार।

46.5 समस्या: कबाड़ख़ाने का जासूस

समस्या 46.1

सप्ताहांत समस्या — कबाड़ख़ाने की धातु-जासूस के साथ एक दोपहर; चार रहस्यमय ढेर, एक नक़ली सिल्ली; और घनत्व वाली जाँच की सीमाएँ

कबाड़ख़ाना धातु उस हिसाब से ख़रीदता है कि वह है क्या, उस हिसाब से नहीं कि दिखती कैसी है, और वहाँ की जासूस एक तुला, एक बड़े अंशांकित बरतन और उसी क्षितिज-रेखा वाली तालिका से काम करती है। तुम उसके नौसिखिए हो। (तालिका का अंश: एल्यूमिनियम $2.7$ ; लोहा $7.9$ ; ताँबा $9.0$ ; सीसा $11.3$ ; सोना $19.3$ ; टंगस्टन $19.3$ ।)

भाग I — चार ढेर।

ढेर क, एक सलेटी सिल्ली: $m = 5400\,\mathrm{g}$ , विस्थापन $V = 2000\,\mathrm{cm}^{3}$ । घनत्व और पहचान?
ढेर ख, तार का एक लच्छा: $m = 1800\,\mathrm{g}$ , $V = 200\,\mathrm{cm}^{3}$ । घनत्व और पहचान?
ढेर ग, एक फीकी भारी पट्टी: $m = 4520\,\mathrm{g}$ , $V = 400\,\mathrm{cm}^{3}$ । घनत्व और पहचान — और ढेर ग को दस्ताने पहनकर तथा आदर से क्यों सँभालना चाहिए?
ढेर घ, मिले-जुले फीके कबाड़ की एक बोरी: $m = 8100\,\mathrm{g}$ , $V = 1500\,\mathrm{cm}^{3}$ । दिखाओ कि ढेर घ का घनत्व तालिका की दो धातुओं के बीच पड़ता है, और बताओ कि बोरी में सबसे संभव क्या है।

भाग II — दाम और अंदाज़े। कबाड़ख़ाना दाम द्रव्यमान से देता है, पर ढुलाई की योजना आयतन से बनाता है।

एक ख़रीदार ढेर क से $540\,\mathrm{g}$ एल्यूमिनियम कटवाना चाहता है। यह सिल्ली का कितना आयतन हुआ?
ढेर ख के ताँबे के लच्छे को गलाकर $25\,\mathrm{cm}^{3}$ वाले घन बनाने हैं। एक घन का द्रव्यमान कितना होगा, और लच्छे से कितने पूरे घन बनेंगे?
एक पेटी ज़्यादा से ज़्यादा $20\,\mathrm{kg}$ ढो सकती है। उसमें ताँबे के कितने घन वैध रूप से रखे जा सकते हैं?
ट्रक की टंकी वाली जगह में लोहे के कबाड़ के $3000\,\mathrm{cm}^{3}$ और समा सकते हैं। जासूस कितना अतिरिक्त द्रव्यमान, किलोग्राम में, लाद सकती है?

भाग III — नक़ली। एक विक्रेता चमकती “सोने” की सिल्ली लेकर आता है: $m = 3860\,\mathrm{g}$ , विस्थापन $V = 200\,\mathrm{cm}^{3}$ ।

सिल्ली का घनत्व निकालो। क्या वह सोने के दस्तख़त से मेल खाता है?
जासूस बिना डिगे तालिका की आख़िरी पंक्ति देखती है और आह भरती है। कौन-सी सस्ती धातु ठीक सोने वाला घनत्व पहने बैठी है — और इससे घनत्व वाली जाँच की सीमाओं के बारे में क्या पता चलता है?
यहाँ कबाड़ख़ाने का कौन-सा उपकरण हारा: तुला, बरतन, दोनों, या कोई नहीं? ठीक-ठीक बताओ कि घनत्व वाली जाँच ने सिल्ली के बारे में ईमानदारी से क्या साबित कर दिया।
इस पाठ्यक्रम के पिछले वर्षों में से कोई और भौतिक जाँच सुझाओ जो सिल्ली को नुक़सान पहुँचाए बिना सोने को उसके हमशक्ल से अलग कर दे। (उनके गलनांक बहुत अलग हैं — सोना लगभग $1064\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर, और हमशक्ल यहाँ की हर भट्ठी से कहीं ऊपर — पर कोई कबाड़ख़ाना शायद-ख़ज़ाने को गलाता नहीं: कोई नरम सबूत ढूँढ़ो, शायद लोहे के क्रोड पर चुंबक का फ़ैसला, या ठोंकी गई छड़ की खनक, और अपने चुनाव के पक्ष में ईमानदारी से तर्क दो।)

भाग IV — जासूस का हुनर।

जासूस का तीन पंक्तियों वाला घोषणापत्र लिखो: घनत्व क्या साबित कर सकता है, क्या सिर्फ़ सुझा सकता है, और अकेला कभी क्या नहीं कर सकता।

हल

हल — समस्या 46.1.

1. $5400 \div 2000 = 2.7\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ : एल्यूमिनियम। 2. $1800 \div 200 = 9.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ : ताँबा। 3. $4520 \div 400 = 11.3\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ : सीसा — घना, नरम, और लापरवाही से छूने पर ज़हरीला: दस्ताने पहनो। 4. $8100 \div 1500 = 5.4\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — एल्यूमिनियम ( $2.7$ ) और लोहे ( $7.9$ ) के बीच: यानी दोनों का मिला-जुला कबाड़, आयतन के हिसाब से मोटे तौर पर आधा-आधा। 5. $V = 540 \div 2.7 = 200\,\mathrm{cm}^{3}$ । 6. एक घन: $m = 9.0 \times 25 = 225\,\mathrm{g}$ । लच्छे के $1800\,\mathrm{g}$ से $1800 \div 225 = 8$ पूरे घन बनते हैं। 7. $20\,\mathrm{kg} = 20\,000\,\mathrm{g}$ ; $20000 \div 225 = 88.9$ : यानी $88$ घन। 8. $m = 7.9 \times 3000 = 23\,700\,\mathrm{g} \approx 23.7\,\mathrm{kg}$ । 9. $3860 \div 200 = 19.3\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — सोने के दस्तख़त से पूरा-पूरा मेल। 10. टंगस्टन — घनत्व $19.3$ , दशमलव तक वही दस्तख़त। घनत्व वाली जाँच संदिग्ध छाँट देती है; पर जो पदार्थ संयोग से एक ही दस्तख़त रखते हों, उन्हें वह अलग नहीं कर सकती। 11. कोई भी उपकरण नहीं हारा: द्रव्यमान और आयतन दोनों सही हैं, और भाग भी। जाँच ने ईमानदारी से इतना साबित किया कि सिल्ली या तो सोना है या ठीक सोने वाले घनत्व की कोई और चीज़ — यानी उसने संदिग्ध दो तक सीमित कर दिए। 12. बचाव लायक चुनाव: ठोंकी गई छड़ की खनक और उसका एहसास (टंगस्टन कहीं ज़्यादा कठोर है — किसी छिपे कोने पर रेती या कठोरता की जाँच उन्हें झट से अलग कर देती है), या यह मापना कि छड़ ऊष्मा या धारा कितनी अच्छी तरह ले जाती है (सोना सबसे अच्छे चालकों में है, टंगस्टन काफ़ी पीछे) — ये किसी भट्ठी से कहीं नरम हैं, और घनत्व के साथ मिलकर फ़ैसलाकुन भी। 13. जैसे: “घनत्व यह साबित कर सकता है कि कोई पदार्थ वह नहीं है जो होने का दावा करता है। वह क्या है, यह वह सिर्फ़ सुझा सकता है — दस्तख़त संदिग्ध छाँटते भर हैं। और अकेला वह कभी सज़ा नहीं सुना सकता: पहचान को दो स्वतंत्र गवाह चाहिए।”

इस अध्याय में परिभाषित शब्द

घनत्व, सूत्र से

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