प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय भौतिकी · Grades 1–9

57परिपथों में धारा और विभवांतर के नियम

दो उपकरण, दो राशियाँ — और अब, आख़िरकार, संविधान। तुम आगे जो भी परिपथ बनाओगे, टॉर्च से लेकर किसी शहर के जाल तक, वह चार छोटे नियम मानता है: दो धारा के बहीखाते के बारे में, और दो विभवांतर के बारे में। इन्हें और थोड़े-से बीजगणित को हथियार बनाकर तुम वे पाठ भी निकाल सकते हो जिन्हें तुमने अभी मापा ही नहीं — और झूठ बोलता कोई भी मापन पकड़ भी सकते हो।

57.1 धारा के नियम

प्रतिज्ञप्ति 57.1 (श्रेणी फंदे के लिए धारा का नियम)

अकेले फंदे के साथ-साथ तीव्रता हर जगह एक ही रहती है:

I_{\text{बैटरी}} = I_{\text{लैंप 1}} = I_{\text{लैंप 2}} = \dots

एक सड़क, एक क़तार — यानी पिछले अध्याय के नाके, अब संविधान का नियम बनकर।

प्रतिज्ञप्ति 57.2 (संधि का नियम)

किसी भी संधि पर भीतर बहती तीव्रताओं का जोड़ बाहर बहती तीव्रताओं के जोड़ के बराबर होता है: दो शाखाओं में बँटती किसी मुख्य सड़क के लिए,

I = I_1 + I_2 .

किसी दोराहे पर आवेश न बनता है, न मिटता है, न जमा होता है: जो पहुँचता है, वही निकल जाता है। (यह चाहे जितनी शाखाओं के लिए सच है — आने वालों का जोड़ लो, जाने वालों का जोड़ लो, और बहीखाता बराबर बैठ जाता है।)

संधि का नियम अंकों के साथ: दोराहे पर 0.50\, A पहुँचती है, शाखाओं से 0.30 + 0.20 निकल जाती हैं — और दूर वाली संधि पर फिर से 0.50\, A जुड़ जाती है। — संधि का नियम अंकों के साथ: दोराहे पर $0.50\,\mathrm{A}$ पहुँचती है, शाखाओं से $0.30 + 0.20$ निकल जाती हैं — और दूर वाली संधि पर फिर से $0.50\,\mathrm{A}$ जुड़ जाती है।

57.2 विभवांतर के नियम

प्रतिज्ञप्ति 57.3 (श्रेणी फंदे के लिए विभवांतर का नियम)

किसी श्रेणी फंदे के गिर्द बैटरी का विभवांतर उपकरणों में बँट जाता है, और उनके हिस्से ठीक-ठीक जुड़कर पूरे हो जाते हैं:

U_{\text{बैटरी}} = U_1 + U_2 + \dots

जलप्रपात वाला बिंब बहीखाता रखता है: बैटरी उस क़तार को अपनी पूरी ऊँचाई तक उठाती है, और उपकरण उस ऊँचाई को आपस में बाँटकर बूँद-बूँद ख़र्च कर देते हैं — जबकि अच्छे तार कुछ भी ख़र्च नहीं करते।

प्रतिज्ञप्ति 57.4 (समांतर शाखाओं के लिए विभवांतर का नियम)

समांतर में लगे उपकरण उन्हीं दो संधियों पर फैले होते हैं — इसलिए एक ही विभवांतर उन सबकी सेवा करता है:

U_1 = U_2 = U_{\text{दोनों संधियों के बीच}} .

हर शाखा को दोनों संधियों के बीच का पूरा धक्का मिलता है — और इसीलिए समांतर में लगे लैंप अपनी पूरी नामिक चमक से जलते हैं, और इसीलिए तुम्हारे घर का हर सॉकेट वही $230\,\mathrm{V}$ पेश करता है।

श्रेणी वाला विभवांतर नियम अंकों के साथ: बैटरी की 4.5\, V दो असमान हिस्सों में ख़र्च होती है — 2.1 + 2.4 = 4.5, दशमलव तक। — श्रेणी वाला विभवांतर नियम अंकों के साथ: बैटरी की $4.5\,\mathrm{V}$ दो असमान हिस्सों में ख़र्च होती है — $2.1 + 2.4 = 4.5$ , दशमलव तक।

उदाहरण 57.5 (हिस्से असमान क्यों?)

श्रेणी में लगे दो अलग-अलग लैंप एक ही धारा ढोते हैं (पहला नियम) फिर भी विभवांतर असमान बाँटते हैं — $2.1\,\mathrm{V}$ के मुक़ाबले $2.4\,\mathrm{V}$ । बड़ा हिस्सा उसी लैंप को जाता है जो उस क़तार का ज़्यादा विरोध करता है: जो ज़्यादा मेहनत करता है, उसी की गिरावट बड़ी होती है। “ज़्यादा विरोध करना” का ठीक-ठीक मतलब क्या है, और उसे मापा कैसे जाए, यही अगले अध्याय का पूरा विषय है — और इस अध्याय के नियम उसी का मंच हैं।

57.3 मापने से पहले हिसाब लगाना

विधि 57.6 (चारों नियमों से परिपथ हल करना)

कुछ ज्ञात पाठों वाला कोई परिपथ दिया हो:

चित्र खींचो और हर ज्ञात $I$ तथा $U$ पर निशान लगाओ;
लागू होने वाले नियम समीकरणों के तौर पर लिखो — धाराओं के लिए संधि वाले जोड़, विभवांतरों के लिए फंदे वाले जोड़, श्रेणी की $I$ तथा समांतर की $U$ के लिए बराबरी;
अज्ञातों के लिए हल करो (तुम्हारे बीजगणित पाठ्यक्रम के समीकरण अपनी रोटी कमाते हुए);
समझदारी की जाँच: कोई लैंप बैटरी की पेशकश से ज़्यादा न पा रहा हो, और किसी शाखा की धारा मुख्य सड़क वाली से बड़ी न हो।

उदाहरण 57.7 (हल करके दिखाया: मिला-जुला परिपथ)

$6\,\mathrm{V}$ की एक बैटरी लैंप A को एक समांतर जोड़ी (B और C) के साथ श्रेणी में खिलाती है। मापा हुआ: $I_{\text{बैटरी}} = 0.5\,\mathrm{A}$ , $I_B = 0.3\,\mathrm{A}$ , $U_A = 2.5\,\mathrm{V}$ . बाक़ी सब निकालो। संधि का नियम: $I_C = 0.5 - 0.3 = 0.2\,\mathrm{A}$ . श्रेणी वाला धारा नियम: लैंप A पूरी $0.5\,\mathrm{A}$ ढोता है। फंदे वाला विभवांतर नियम: उस जोड़ी को $U_{\text{जोड़ी}} = 6 - 2.5 = 3.5\,\mathrm{V}$ मिलते हैं; और समांतर वाला विभवांतर नियम: $U_B = U_C = 3.5\,\mathrm{V}$ . परिपथ का हर उपकरण-पाठ अब ज्ञात है — चार नियम, और हर एक पर बीजगणित की एक पंक्ति।

उदाहरण 57.8 (नियम, झूठ पकड़ने वाले यंत्र की तरह)

कोई प्रयोगशाला-रिपोर्ट दावा करती है: बैटरी $4.5\,\mathrm{V}$ ; और श्रेणी में लगे दो लैंप $2.1\,\mathrm{V}$ तथा $2.9\,\mathrm{V}$ पर। फंदे वाला नियम हिस्सों को जोड़ देता है: $4.5\,\mathrm{V}$ की थैली से $5.0\,\mathrm{V}$ का ख़र्च — नामुमकिन; किसी ने कोई सुई-पट्टी ग़लत पढ़ी। एक और रिपोर्ट: संधि में $0.40\,\mathrm{A}$ भीतर, और शाखाओं से $0.25\,\mathrm{A}$ तथा $0.20\,\mathrm{A}$ बाहर — दोराहा $0.05\,\mathrm{A}$ “बना” रहा है: अस्वीकार। इन नियमों से पहले ग़लत पाठ सही पाठों जितने ही अच्छे लगते थे; अब संविधान हर पन्ने का लेखा करता है।

टिप्पणी 57.9 (बैटरियाँ भी इन्हीं नियमों के अधीन)

नाक-से-पूँछ वाला नियम दरअसल श्रेणी का विभवांतर नियम ही है, अपने सबसे पुराने कपड़ों में: श्रेणी में लगी बैटरियाँ अपने विभवांतर जोड़ लेती हैं ( $1.5 + 1.5 + 1.5 = 4.5\,\mathrm{V}$ — चपटी बैटरी का भेद), और उलटा बैठा एक सेल घट जाता है, क्योंकि उसका धक्का बाक़ियों से लड़ने में ख़र्च होता है। ये नियम देने वालों और ख़र्च करने वालों, दोनों पर हुक्म चलाते हैं; फ़र्क़ सिर्फ़ उनके योगदान के चिह्न का है।

57.4 अभ्यास

अभ्यास 57.1 ★

चारों नियम बताओ — दो धारा के, दो विभवांतर के — हर एक एक पंक्ति में।

हल

हल — अभ्यास 57.1.

श्रेणी वाला धारा नियम: एक फंदा, और हर जगह एक ही तीव्रता। संधि का नियम: भीतर जाती धाराएँ बाहर आती धाराओं के बराबर। श्रेणी वाला विभवांतर नियम: बैटरी का विभवांतर फंदे भर के उपकरणों के हिस्सों के जोड़ के बराबर। समांतर वाला विभवांतर नियम: उन्हीं दो संधियों पर फैली शाखाएँ एक ही विभवांतर बाँटती हैं।

अभ्यास 57.2 ★

किसी संधि को $0.8\,\mathrm{A}$ मिलती है और वह एक शाखा में $0.55\,\mathrm{A}$ भेजती है। दूसरी शाखा कितनी ढोती है?

हल

हल — अभ्यास 57.2.

$0.8 - 0.55 = 0.25\,\mathrm{A}$ .

अभ्यास 57.3 ★

$9\,\mathrm{V}$ की बैटरी श्रेणी में लगे तीन लैंप खिलाती है; उनमें से दो $2.5\,\mathrm{V}$ और $3.8\,\mathrm{V}$ लेते हैं। तीसरे का हिस्सा?

हल

हल — अभ्यास 57.3.

$9 - 2.5 - 3.8 = 2.7\,\mathrm{V}$ .

अभ्यास 57.4 ★

$12\,\mathrm{V}$ की बैटरी पर समांतर में लगे दो लैंप: हर लैंप का विभवांतर? घर के सॉकेटों के बारे में कौन-सा रोज़मर्रा तथ्य यही नियम है?

हल

हल — अभ्यास 57.4.

हर एक पर $12\,\mathrm{V}$ — यानी समांतर वाला विभवांतर नियम। वही नियम घर की समांतर तारबंदी के हर सॉकेट पर एक जैसी $230\,\mathrm{V}$ रख देता है।

अभ्यास 57.5 ★

हल करके दिखाए गए मिले-जुले परिपथ में कौन-सा एक और मापन बेकार होता, और क्यों? (कोई भी चुनो, और किसी नियम से सही ठहराओ।)

हल

हल — अभ्यास 57.5.

जैसे $I_C$ : $I_{\text{बैटरी}}$ और $I_B$ पता हो जाने के बाद संधि का नियम $I_C = 0.2\,\mathrm{A}$ तय कर देता है — वहाँ भेजा गया कोई भी उपकरण सिर्फ़ पुष्टि ही कर सकता था (इसी तरह $U_C$ भी, जिसे $U_B$ पता होते ही समांतर वाला विभवांतर नियम तय कर देता है)।

अभ्यास 57.6 ★

श्रेणी में लगे दो अलग-अलग लैंप एक ही धारा ढोते हैं पर विभवांतर $1.8$ के मुक़ाबले $2.7\,\mathrm{V}$ में बाँटते हैं। कौन-सा लैंप उस क़तार का ज़्यादा विरोध करता है? आगे आने वाला कौन-सा अध्याय उस विरोध को मापता है?

हल

हल — अभ्यास 57.6.

$2.7\,\mathrm{V}$ वाला लैंप: बराबर धारा पर बड़ा विभवांतर हिस्सा ही ज़्यादा विरोध करने वाले की पहचान है। अगला अध्याय उसी विरोध को मापता है — प्रतिरोध।

अभ्यास 57.7 ★

लेखा: बैटरी $6\,\mathrm{V}$ ; श्रेणी में लगे लैंपों पर मापा गया $2.2\,\mathrm{V}$ , $1.9\,\mathrm{V}$ , $1.4\,\mathrm{V}$ . क्या बहीखाता उपकरण की ईमानदारी की हद में बराबर बैठता है?

हल

हल — अभ्यास 57.7.

$2.2 + 1.9 + 1.4 = 5.5\,\mathrm{V}$ , जबकि थैली $6\,\mathrm{V}$ की है: आधा वोल्ट भटका हुआ — ऐसे पाठों के लिए यह उपकरण के ईमानदार छितराव से आगे है; कोई सुई-पट्टी ग़लत पढ़ी गई (या कोई हिस्सा मापा ही नहीं गया)।

अभ्यास 57.8 ★

लेखा: मुख्य सड़क $0.9\,\mathrm{A}$ ; तीन शाखाएँ $0.4\,\mathrm{A}$ , $0.3\,\mathrm{A}$ , $0.3\,\mathrm{A}$ . फ़ैसला?

हल

हल — अभ्यास 57.8.

बाहर जाती $0.4 + 0.3 + 0.3 = 1.0\,\mathrm{A}$ , जबकि पहुँचती $0.9\,\mathrm{A}$ : दोराहा $0.1\,\mathrm{A}$ “बना” रहा है — संधि के नियम ने दोषी ठहरा दिया।

अभ्यास 57.9 ★★

$4.5\,\mathrm{V}$ की बैटरी, लैंप D स्विच के साथ श्रेणी में — और फिर लैंप D के समांतर लगा वोल्टमीटर खुले स्विच पर $4.5\,\mathrm{V}$ तथा D पर $0\,\mathrm{V}$ दिखाता है। दिखाओ कि दोनों पाठ फंदे वाले विभवांतर नियम का पालन करते हैं।

हल

हल — अभ्यास 57.9.

फंदे का ख़र्च जुड़कर बैटरी की $4.5\,\mathrm{V}$ बनना ही चाहिए: खुला स्विच $4.5\,\mathrm{V}$ $+$ ख़ाली लैंप $0\,\mathrm{V}$ $= 4.5$ — बराबर। (खटके के बाद हिस्से जगह बदल लेते हैं: स्विच क़रीब शून्य पर, लैंप क़रीब $4.5\,\mathrm{V}$ पर — फिर बराबर।)

अभ्यास 57.10 ★★

नाक-से-पूँछ जुड़े तीन एक जैसे सेल एक लैंप जलाते हैं; चौथा, उलटा बैठा हुआ, क़तार में शामिल हो जाता है। चिह्नों समेत श्रेणी वाले नियम से पहले और बाद का कुल विभवांतर बताओ। लैंप क्या करता है?

हल

हल — अभ्यास 57.10.

पहले: $3 \times 1.5 = 4.5\,\mathrm{V}$ . बाद में: $4.5 - 1.5 = 3.0\,\mathrm{V}$ — उलटा बैठा सेल घट जाता है। लैंप अपनी $4.5\,\mathrm{V}$ वाली दमक से उतरकर $3\,\mathrm{V}$ वाली दमक पर आ जाता है।

अभ्यास 57.11 ★★

दो शाखाओं वाला परिपथ: पहली शाखा में लैंप E और F श्रेणी में हैं; दूसरी शाखा में अकेला लैंप G। बैटरी $6\,\mathrm{V}$ ; $U_E = 2.2\,\mathrm{V}$ . $U_F$ और $U_G$ निकालो, और हर क़दम के लिए एक नियम का हवाला भी दो।

हल

हल — अभ्यास 57.11.

पहली शाखा बैटरी पर फैली है: $U_E + U_F = 6\,\mathrm{V}$ (शाखा के साथ-साथ श्रेणी वाला विभवांतर नियम), इसलिए $U_F = 6 - 2.2 = 3.8\,\mathrm{V}$ . दूसरी शाखा उन्हीं संधियों पर फैली है: $U_G = 6\,\mathrm{V}$ (समांतर वाला विभवांतर नियम)।

अभ्यास 57.12 ★★★

पूरा लेखा: $6\,\mathrm{V}$ की बैटरी; लैंप P एक संधि के साथ श्रेणी में; शाखाएँ Q और R फिर मिलकर लौट आती हैं। मापा हुआ: $I_P = 0.6\,\mathrm{A}$ , $I_Q = 0.45\,\mathrm{A}$ , $U_Q = 2.3\,\mathrm{V}$ . परिपथ की बाक़ी हर धारा और हर विभवांतर निकालो ( $I_R$ , $U_P$ , $U_R$ ), और हर पंक्ति के पीछे का नियम भी बताओ — फिर एक ऐसा फ़ालतू “मापन” गढ़ो जिसे कोई लापरवाह विद्यार्थी दर्ज कर सकता था और जिसे तुम्हारा तैयार हल फ़ौरन दोषी ठहरा देता।

हल

हल — अभ्यास 57.12.

$I_R = 0.6 - 0.45 = 0.15\,\mathrm{A}$ (संधि का नियम)। $U_R = U_Q = 2.3\,\mathrm{V}$ (समांतर वाला विभवांतर नियम)। $U_P = 6 - 2.3 = 3.7\,\mathrm{V}$ (श्रेणी वाला विभवांतर नियम)। दोषी ठहराए जाने लायक एक फ़ालतू पाठ: “ $I_R = 0.2\,\mathrm{A}$ ” — तब संधि का बहीखाता $0.45 + 0.2 = 0.65 \neq 0.6$ दिखाता; या “ $U_R = 2.6\,\mathrm{V}$ ” — समांतर शाखाएँ आपस में असहमत हो ही नहीं सकतीं।

57.5 समस्या: सीलबंद पहेली-डिब्बे

समस्या 57.1

सप्ताहांत समस्या — इलेक्ट्रॉनिकी क्लब की सीलबंद डिब्बों वाली चुनौती; चार नियम बनाम चार पहेलियाँ; महान लेखा

क्लब सादे परिपथों को डिब्बों में सीलकर सिर्फ़ उपकरण जोड़ने के ख़ाने खुले छोड़ देता है। टोलियों को भीतर का हाल निकालना है — हाथ में संविधान लेकर। मेज़ की बैटरी हर जगह $6\,\mathrm{V}$ की है।

भाग I — डिब्बा A: दो सिरे, दो लैंप। लेबल इतना क़बूल करता है: दो एक जैसे लैंप और कुछ नहीं, या तो श्रेणी में या समांतर में।

बैटरी से जोड़ने पर डिब्बा A $0.2\,\mathrm{A}$ खींचता है; जबकि पता है कि ऐसा अकेला लैंप $6\,\mathrm{V}$ पर क़रीब $0.4\,\mathrm{A}$ खींचता है। श्रेणी या समांतर? धारा वाले किसी नियम से तर्क करो।
भविष्यवाणी करो कि दूसरे बंदोबस्त में डिब्बा कितनी खींचता।
असली बंदोबस्त में भीतर के हर लैंप को कितना विभवांतर मिलता है, और किस विभवांतर नियम से?
किस बंदोबस्त में छिपे लैंप अपनी पूरी नामिक चमक से जलते — और डिब्बे के झरोखे से देखने पर वे साफ़-साफ़ वैसे क्यों नहीं जल रहे?

भाग II — डिब्बा B: तीन लैंपों की पहेली। डिब्बा B इतना क़बूल करता है: एक लैंप (X) एक समांतर जोड़ी (Y, Z — ज़रूरी नहीं कि एक जैसे हों) के साथ श्रेणी में है।

टोली $I_{\text{बैटरी}} = 0.5\,\mathrm{A}$ मापती है, और Y के अपने परख-ख़ाने पर $I_Y = 0.35\,\mathrm{A}$ . नियमों का हवाला देते हुए $I_Z$ और $I_X$ निकालो।
X पर लगा वोल्टमीटर: $2.8\,\mathrm{V}$ . समांतर जोड़ी का विभवांतर निकालो — और $U_Y$ तथा $U_Z$ भी।
Y और Z एक ही विभवांतर पर अलग-अलग धाराएँ ढोते हैं। उदाहरण 57.5 की ज़बान में यह दोनों लैंपों के बारे में क्या ज़ाहिर करता है?
टोली एक झरोखे से Y को खोलकर निकाल लेती है। सड़कों और उनके विरोध से तर्क करते हुए भविष्यवाणी करो कि नई $I_{\text{बैटरी}}$ किस ओर बदलेगी (चढ़ेगी, गिरेगी, या टिकी रहेगी)।

भाग III — डिब्बा C: बेईमानी।

डिब्बा C बनाने वाला रिपोर्ट करता है: “बैटरी $6\,\mathrm{V}$ ; भीतर श्रेणी में लगे दो लैंप $2.5\,\mathrm{V}$ तथा $4.1\,\mathrm{V}$ पर; और भीतर की संधि को $0.3\,\mathrm{A}$ मिलती है जबकि वह $0.2\,\mathrm{A}$ तथा $0.15\,\mathrm{A}$ भेजती है।” इस रिपोर्ट को दो बार दोषी ठहराओ, हर सज़ा पर एक नियम।
दोनों में से एक विभवांतर पाठ बाद में ईमानदार निकलता है। अगर वह $2.5\,\mathrm{V}$ वाला है, तो उसका साथी सचमुच कितना होना चाहिए?
बनाने वाला क़बूल करता है कि संधि वाले अंक “उदारता से गोल किए गए थे”। अगर शाखाओं के दोनों पाठ $0.2\,\mathrm{A}$ और $0.15\,\mathrm{A}$ ईमानदार हैं, तो मुख्य सड़क सचमुच कितनी ढो रही होगी?
चारों नियम सीलबंद डिब्बों में बेईमानी को हारा हुआ खेल क्यों बना देते हैं? एक वाक्य।

भाग IV — संविधान।

क्लब का घोषणापत्र लिखो: चार पंक्तियों में चारों नियम, और हर एक के साथ वह रोज़मर्रा बिंब भी जो उसे ढोता है (सड़कें, नाके, जलप्रपात, दोराहे)।

हल

हल — समस्या 57.1.

1. श्रेणी। श्रेणी में दोनों लैंप उस क़तार का एक के बाद एक विरोध करते हैं: फंदे की धारा अकेले लैंप की $0.4\,\mathrm{A}$ से काफ़ी नीचे गिर जाती है — और मापी हुई $0.2\,\mathrm{A}$ इसी में बैठती है। (समांतर तो दो पूरी शाखाएँ जोड़ देता।) 2. समांतर: क़रीब $0.4\,\mathrm{A}$ वाली दो शाखाएँ — बैटरी से मोटे तौर पर $0.8\,\mathrm{A}$ । 3. श्रेणी वाला विभवांतर नियम $6\,\mathrm{V}$ को दो एक जैसे लैंपों में बाँट देता है: हर एक पर क़रीब $3\,\mathrm{V}$ । 4. समांतर में — तब हर लैंप पूरी $6\,\mathrm{V}$ पर फैला होता। झरोखे से देखने पर श्रेणी वाली जोड़ी मंद दमकती है: हर लैंप अपने आम धक्के के आधे पर भूखा बैठा है। 5. $I_Z = 0.5 - 0.35 = 0.15\,\mathrm{A}$ (संधि का नियम); $I_X = 0.5\,\mathrm{A}$ — X बिना बँटी सड़क पर बैठा है (श्रेणी वाला धारा नियम)। 6. $U_{\text{जोड़ी}} = 6 - 2.8 = 3.2\,\mathrm{V}$ (फंदे वाला नियम); $U_Y = U_Z = 3.2\,\mathrm{V}$ (समांतर वाला नियम)। 7. वही धक्का, अलग-अलग क़तारें: दोनों लैंप धारा का असमान विरोध करते हैं — और Z, जो उसी विभवांतर पर कम ढोता है, ज़्यादा विरोध करने वाला है (यानी ज़्यादा कठिन सड़क)। 8. गिरेगी: Y की शाखा जाने से एक सड़क घट जाती है; और बची हुई Z वाली सड़क उस जोड़ी से ज़्यादा विरोध करती है, इसलिए बैटरी कुल कम धारा चलाती है। 9. पहली सज़ा, फंदे का नियम: $6\,\mathrm{V}$ की थैली से $2.5 + 4.1 = 6.6\,\mathrm{V}$ का ख़र्च। दूसरी सज़ा, संधि का नियम: भीतर $0.3\,\mathrm{A}$ , बाहर $0.2 + 0.15 = 0.35\,\mathrm{A}$ . 10. $6 - 2.5 = 3.5\,\mathrm{V}$ . 11. $0.2 + 0.15 = 0.35\,\mathrm{A}$ . 12. क्योंकि चारों नियम हर ईमानदार परिपथ को ज़रूरत से ज़्यादा बाँध देते हैं: हर पाठ को बाक़ी पाठों के जोड़ों से सहमत होना ही पड़ता है, इसलिए गढ़ा हुआ कोई भी अंक कम से कम एक नियम से झूठ बोलेगा — और अकेला अंकगणित उसे दोषी ठहरा देता है। 13. जैसे: “एक सड़क, एक क़तार — यानी श्रेणी वाला धारा नियम। हर दोराहे पर क़तारों का हिसाब बराबर, जितनी भीतर उतनी बाहर — यानी संधि का नियम। किसी भी फंदे के गिर्द बैटरी का जलप्रपात काम करने वाले आख़िरी बूँद तक ख़र्च कर देते हैं — श्रेणी वाला विभवांतर नियम। और उन्हीं दो संधियों के बीच लटकी शाखाएँ एक ही ऊँचाई से पीती हैं — यानी समांतर वाला विभवांतर नियम।”