63गुरुत्वाकर्षण

हल — अभ्यास 63.1.

$F = G \, m_A m_B / d^2$, जहाँ द्रव्यमान किलोग्राम में, $d$ केंद्रों के बीच मीटर में, $F$ न्यूटन में और $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$. शब्दों में: यह खिंचाव हर द्रव्यमान के साथ बढ़ता है और दूरी के वर्ग के साथ मरता है — और यह दोनों साथियों पर बराबर, उलटी दिशाओं में लगता है।

हल — अभ्यास 63.2.

ठीक $1\,\mathrm{N}$ से — इस नियम के खिंचाव हमेशा बराबर, उलटी जोड़ियों में ही आते हैं। सेब का त्वरण इसलिए दिखता है कि उसका द्रव्यमान नन्हा है; जबकि वही $1\,\mathrm{N}$ $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ के ग्रह पर लगकर उसे नापने लायक हद से भी कम हिलाता है।

हल — अभ्यास 63.3.

$2d$ पर: $d$ वाले बल का चौथाई — यानी दो का वर्ग। और $10d$ पर: सौवाँ हिस्सा।

हल — अभ्यास 63.4.

$F = 6.67 \times 10^{-11} \times 80 \times 80 \div 0.25 = 1.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}$ — न्यूटन के बीस लाखवें हिस्से से भी कम: नाचने वाले साथियों को जो भी पास खींचता हो, वह गुरुत्वाकर्षण तो नहीं है।

हल — अभ्यास 63.5.

वह दर जिससे गोला गिरता है, और वह दर जिससे गोल पृथ्वी की सतह उसके नीचे मुड़ती चली जाती है। कक्षा: गिरना और चूकना।

हल — अभ्यास 63.6.

अंतरिक्ष केंद्र की ऊँचाई पर गुरुत्व अपनी लगभग पूरी सतह वाली ताक़त बनाए रखता है — वही तो केंद्र को उसके वृत्त पर थामे है। केंद्र और चालक दल, दोनों एक साथ पृथ्वी के गिर्द गिर रहे हैं: साथ-साथ गिरने वाले किसी पर दबाव नहीं डालते, और तैरना उसी साझा मुक्त पतन का एहसास है।

हल — अभ्यास 63.7.

क्योंकि आकाश राक्षसी द्रव्यमानों में सौदा करता है — ग्रह और तारे उस कमज़ोर $G$ को गुणा करके ताक़तवर बल बना देते हैं — और क्योंकि गुरुत्वाकर्षण कभी कटता नहीं: वह सिर्फ़ खींचता है, इसलिए जुड़ता हर द्रव्यमान खिंचाव और गहरा कर देता है।

हल — अभ्यास 63.8.

चंद्रमा का खिंचाव समुद्रों को उसकी ओर भी ढेर करता है (सबसे पास का पानी, सबसे ज़ोर से खिंचा हुआ) और उससे दूर की ओर भी (सबसे दूर का पानी, सबसे कम खिंचा हुआ); और घूमती पृथ्वी हर किनारे को रोज़ दोनों ढेरों के नीचे से ले जाती है — यानी दो ज्वार। सबसे बड़े अमावस और पूर्णिमा पर, जब सूर्य का हाथ चंद्रमा के साथ एक क़तार में आ जाता है: बड़े ज्वार।

हल — अभ्यास 63.9.

$F = 6.67 \times 10^{-11} \times (7.3 \times 10^{22} \times 5.97 \times 10^{24}) \div (3.8 \times 10^{8})^2 \approx 2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}$ — एक $2$, और उसके पीछे न्यूटनों के बीस शून्य, जो चंद्रमा को उसके पट्टे पर थामे हैं।

हल — अभ्यास 63.10.

दोनों घुंडियाँ एक-दूसरे के ख़िलाफ़ घूमती हैं: चंद्रमा का द्रव्यमान, क़रीब अस्सी गुना छोटा, खिंचाव को अस्सी गुना काट देता है; पर उसकी त्रिज्या, लगभग चार गुना छोटी, सतह वाले खिंचाव को चार के वर्ग जितना चढ़ा देती है — यानी क़रीब चौदह गुना। अस्सी नीचे, चौदह ऊपर: और लगभग छठा हिस्सा बचा रह जाता है।

हल — अभ्यास 63.11.

प्रतिलोम वर्ग दूरी के साथ सूर्य की पकड़ पतली कर देता है, और कमज़ोर पकड़ सिर्फ़ धीमे गिरते-चक्कर को ही थाम सकती है: बाहरी ग्रह ढीले पट्टे पर बँधे हैं और टहलते हैं, जबकि भीतरी ज़ोर से जकड़े हैं और दौड़ते हैं — बुध की दौड़ और वरुण की $164$ साल लंबी सैर एक ही नियम हैं, दो दूरियों पर पढ़े हुए।

हल — अभ्यास 63.12.

उसका आवर्तकाल ठीक एक दिन होना चाहिए, और चक्कर पूरब की ओर — ख़ुद पृथ्वी के घूमने की दिशा में। तब उपग्रह और एंटेना ठीक क़दम मिलाकर घूमते हैं: वह “टँगी” तश्तरी दरअसल ऐसे तोप-गोले को देख रही है जो ग्रह के गिर्द ठीक उसी दर से गिरता है जिस दर से ग्रह उसके नीचे घूम रहा है — यानी वह सिर्फ़ घूमते हुए प्रेक्षक की आँखों में ही ठहरा हुआ है।