प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय भौतिकी · Grades 1–9

40गति का वर्णन: गतिपथ और चाल

गिरता हुआ पत्ता, तेज़ रफ़्तार रेलगाड़ी, झूले का घोड़ा, पेनल्टी की ठोकर: दुनिया कभी ठहरती ही नहीं। गति के अध्ययन के लिए भौतिकी हर चलती चीज़ से दो सलीक़ेदार सवाल पूछती है: किस राह पर? और उस राह पर कितनी तेज़? राह और रफ़्तार — यानी गतिपथ और चाल — इस अध्याय का चश्मा हैं।

40.1 गतिपथ: पकड़ी गई राह

परिभाषा 40.1 (गतिपथ)

किसी चलती वस्तु का गतिपथ वह रेखा है जो उसकी यात्रा खींचती है — यानी वह राह जो वह अंतरिक्ष में बनाती जाती है। रोज़मर्रा के जीवन का ज़्यादातर हिस्सा तीन आकार सँभाल लेते हैं: सरल रेखीय (लिफ़्ट, गिरता सेब), वृत्तीय (झूले का घोड़ा, घड़ी की सुई की नोक), और ज़्यादा आज़ाद ढंग से वक्र (फेंकी गई गेंद की मेहराब, अबाबील की झपट्टा भरी उड़ान)।

रोज़मर्रा के तीन गतिपथ: सीधी चढ़ाई, कभी न ख़त्म होने वाला वृत्त, और फेंकी गई गेंद की मेहराब।

उदाहरण 40.2 (किसका गतिपथ?)

ध्यान से बताओ कि तुम कौन-सा बिंदु देख रहे हो। झूले के घोड़े की नाक वृत्त खींचती है; पर पूरे झूले का केंद्र कुछ भी नहीं खींचता — वह अपनी जगह टिका रहता है। लुढ़कते पहिये की धुरी सीधी रेखा में सरकती है, जबकि उसके किनारे का कोई बिंदु सुंदर छलाँगों की लड़ी बनाता है। एक ही मशीन, कई गतिपथ: भौतिकी एक बार में एक बिंदु का पीछा करती है।

टिप्पणी 40.3 (किसके मुक़ाबले चल रहा है?)

रेलगाड़ी में ऊँघते यात्री का, सामने बैठे यात्री के लिए, कोई गतिपथ है ही नहीं — और खेत से देखती गाय के लिए वही यात्री नक़्शे पर सौ किलोमीटर लंबी रेखा खींचता है। दोनों वर्णन ईमानदार हैं: गति हमेशा किसी चीज़ के मुक़ाबले गति होती है, और वर्णन करने वाले को यह बताना पड़ता है कि किसके मुक़ाबले। अभी हम चुपचाप हर चीज़ की तुलना ज़मीन से करते हैं; दूसरे दृष्टिकोण चुनने की पूरी ताक़त एक मशहूर कहानी है, जो उच्च विद्यालय वाले खंड के लिए बचा रखी गई है।

रात में खुला छोड़ा गया कैमरा गतिपथ खींच देता है: हर हेडलैंप ठीक वही राह बना देता है जिस पर उसकी गाड़ी चली।

40.2 एकसमान या परिवर्ती?

परिभाषा 40.4 (एकसमान और परिवर्ती गति)

कोई गति एकसमान तब होती है जब वह बराबर समयों में बराबर दूरियाँ तय करती है — ताल सुनते हुए चलने वाले की सधी चाल, दो स्टेशनों के बीच रेलगाड़ी की उड़ान। और वह परिवर्ती तब होती है जब रफ़्तार बदलती रहे: तेज़ होना (शुरुआती पट्टी से छूटता धावक), धीमा होना (ब्रेक लगाती बस), या बारी-बारी दोनों (शहर के यातायात की कभी न ख़त्म होने वाली रुक-चाल)।

प्रतिज्ञप्ति 40.5 (बिंदुओं वाली फ़िल्म पढ़ना)

किसी चलती वस्तु का समय के बराबर टिकों पर चित्र लो — यानी एक ही प्रतिबिंब पर कई झटपट तसवीरें — और उसकी गति ख़ुद बिंदुओं में अपने दस्तख़त कर देती है:

बिंदु बराबर दूरी पर: एकसमान गति;
आगे बढ़ते-बढ़ते बिंदु फैलते जाएँ: गति तेज़ हो रही है;
बिंदु सिमटते जाएँ: गति धीमी हो रही है।

हर दो बिंदुओं के बीच बराबर समय बैठा है, इसलिए बिंदुओं के बीच के अंतर सीधे दूरियों की तुलना कर देते हैं — पूरी जाँच एक ही नज़र में।

बिंदुओं वाली तीन फ़िल्में, हर टिक पर एक तसवीर: बराबर फ़ासले, फैलते फ़ासले, सिमटते फ़ासले — यानी एकसमान, तेज़ होती, और ब्रेक लगाती गति।

विधि 40.6 (बिंदुओं वाली फ़िल्म बनाना)

ऐसी तसवीरें कोई भी फ़ोन का कैमरा बना सकता है:

चलती वस्तु का वीडियो बनाओ — पास से गुज़रता कोई साइकिल सवार, या ढलान से लुढ़कती गेंद — और कैमरा स्थिर रखो;
वीडियो को क़दम-दर-क़दम आगे बढ़ाओ, और बराबर क़दमों पर रोको (मान लो हर आधे सेकंड पर);
हर ठहराव पर वस्तु की जगह परदे पर रखे काग़ज़ पर निशान लगाओ, या पृष्ठभूमि में लगे बाड़ के खंभों के सामने नोट कर लो;
अपने निशानों को एक क़तार में रखो और प्रतिज्ञप्ति 40.5 से पढ़ो।

पेशेवरों की एक चेतावनी: कैमरा स्थिर रखो — खिसकता कैमरा फ़िल्म में अपनी गति भी जोड़ देता है और गड्डमड्ड कर देता है कि गतिपथ किसका है (ठीक वही चेतावनी जो टिप्पणी 40.3 देती है)।

40.3 रफ़्तार पर संख्याएँ चढ़ाना

उदाहरण 40.7 (समानुपात से चाल)

एकसमान गति से चलती एक ट्राम $20$ मिनट में $9\,\mathrm{km}$ तय करती है। यह जानी-पहचानी “प्रति घंटा किलोमीटर” वाली भाषा में कौन-सी चाल हुई? समानुपात बिना किसी नई मशीनरी के उत्तर दे देता है: एक घंटे में $20$ मिनट के तीन हिस्से आते हैं, इसलिए ट्राम एक घंटे में $3 \times 9 = 27\,\mathrm{km}$ तय करती है — यानी उसकी चाल $27$ किलोमीटर प्रति घंटा है। तालिका में:

मिनट	$20$	$60$
किलोमीटर	$9$	$27$

एकसमान गति असल में दूरी और समय के बीच समानुपात ही है — तुम्हारे गणित और तुम्हारी भौतिकी के पाठ्यक्रमों ने अभी-अभी हाथ मिला लिया।

उदाहरण 40.8 (रफ़्तारों का तख़्ता)

किसी भी उत्तर को परखने के लिए रोज़ की रफ़्तारें: टहलना, लगभग $4$ किलोमीटर प्रति घंटा; तेज़ चलना, $6$ ; आराम से साइकिल चलाना, $15$ ; रुकते-चलते शहर की बस, $20$ ; खुली सड़क पर गाड़ी, $90$ ; तेज़ रफ़्तार रेलगाड़ी, $300$ तक। जब कोई गणना तुम्हें $40$ किलोमीटर प्रति घंटा चलने वाला पैदल यात्री थमा दे, तो यह तख़्ता उसे वापस भेज देता है।

टिप्पणी 40.9 (किसी पल की चाल)

परिवर्ती गति की कोई अकेली चाल होती ही नहीं — ब्रेक लगाती बस पहले तेज़ है, फिर धीमी, फिर ठहरी हुई। गाड़ी के चालमापी की सुई एक ज़्यादा बारीक सवाल का उत्तर देती है: अभी इसी पल कितनी तेज़? उस “अभी-वाली चाल” को ठीक-ठीक परिभाषित करना सचमुच गहरी बात है — उसके लिए वह गणित चाहिए जो तुम्हें उच्च विद्यालय के आख़िरी वर्ष में मिलेगा, और उसी ने पूरे विज्ञान के सबसे बड़े अध्यायों में से एक खोला था। इस साल के लिए: एकसमान गतियों को एक ईमानदार संख्या मिलती है; परिवर्ती गतियों को एक कहानी।

40.4 अभ्यास

अभ्यास 40.1 ★

गतिपथ का आकार बताओ: ठहरी हुई खिड़की के शीशे पर नीचे उतरती बारिश की बूँद; मिनट वाली सुई की नोक; टोकरी की ओर उछाली गई बास्केटबॉल; स्कीयर की टेढ़ी-मेढ़ी उतराई।

हल

हल — अभ्यास 40.1.

सरल रेखीय (शीशे पर सीधे नीचे); वृत्तीय; वक्र (एक मेहराब); वक्र (लहराती हुई रेखा)।

अभ्यास 40.2 ★

चलती साइकिल में पहिये की धुरी कौन-सा गतिपथ खींचती है? और किनारे पर लगा वाल्व? (हर एक के लिए एक शब्द और एक रेखाचित्र।)

हल

हल — अभ्यास 40.2.

धुरी: एक सीधी रेखा, सड़क के समांतर सरकती हुई। वाल्व: सुंदर छलाँगों का वक्र — हर चक्कर पर उठता, मेहराब बनाता, और फिर नीचे छूता हुआ।

अभ्यास 40.3 ★

एकसमान या परिवर्ती: दो स्टेशनों के बीच उड़ती रेलगाड़ी; वही रेलगाड़ी जब प्लेटफ़ॉर्म से चलना शुरू करती है; एक-सी रफ़्तार से नीचे उतरता पैराशूट वाला; खुरदरी बर्फ़ पर सरकती और धीमी पड़ती चकती?

हल

हल — अभ्यास 40.3.

एकसमान; परिवर्ती (तेज़ होती हुई); एकसमान; परिवर्ती (धीमी होती हुई)।

अभ्यास 40.4 ★

बिंदुओं वाली एक फ़िल्म में तसवीरों के बीच फ़ासले $2\,\mathrm{cm}$ , $2\,\mathrm{cm}$ , $2\,\mathrm{cm}$ , $2\,\mathrm{cm}$ हैं। गति की जाँच करो। दूसरी फ़िल्म में $1\,\mathrm{cm}$ , $2\,\mathrm{cm}$ , $4\,\mathrm{cm}$ , $7\,\mathrm{cm}$ : उसकी भी जाँच करो।

हल

हल — अभ्यास 40.4.

बराबर फ़ासले: एकसमान गति। बढ़ते फ़ासले ( $1, 2, 4, 7$ ): गति तेज़ हो रही है — हर बराबर टिक में ज़्यादा दूरी।

अभ्यास 40.5 ★

बिंदुओं वाली फ़िल्म बनाते समय कैमरा स्थिर क्यों रखना चाहिए? अध्याय की कौन-सी टिप्पणी दाँव पर है?

हल

हल — अभ्यास 40.5.

खिसकता कैमरा अभिलेख में अपनी गति भी जोड़ देता है — तब बिंदु वस्तु की यात्रा और कैमरे की यात्रा को मिला देते हैं। गति हमेशा किसी चीज़ के मुक़ाबले होती है, और फ़िल्म को अपनी वह “कोई चीज़” पक्की करनी पड़ती है: यही दृष्टिकोण वाली टिप्पणी है।

अभ्यास 40.6 ★

एकसमान गति से चलती एक नाव $30$ मिनट में $12\,\mathrm{km}$ तय करती है। समानुपात की तालिका बनाओ और उसकी चाल किलोमीटर प्रति घंटा में बताओ।

हल

हल — अभ्यास 40.6.

तालिका: $30$ मिनट $\to$ $12\,\mathrm{km}$ , इसलिए $60$ मिनट $\to$ $24\,\mathrm{km}$ : नाव की चाल $24$ किलोमीटर प्रति घंटा है।

अभ्यास 40.7 ★

एक साइकिल सवार $14$ किलोमीटर प्रति घंटा की एक-सी चाल का दावा करता है। वह $30$ मिनट में कितनी दूर जाता है? और $15$ मिनट में? (तालिकाएँ, सूत्र नहीं।)

हल

हल — अभ्यास 40.7.

$60$ मिनट $\to$ $14\,\mathrm{km}$ ; $30$ मिनट $\to$ $7\,\mathrm{km}$ ; $15$ मिनट $\to$ $3.5\,\mathrm{km}$ ।

अभ्यास 40.8 ★

उदाहरण 40.8 वाले रफ़्तार-तख़्ते से इन दावों को परखो: एक टहलने वाला एक घंटे में $12\,\mathrm{km}$ ; शहर की बस $30$ मिनट में $10\,\mathrm{km}$ ; तेज़ रफ़्तार रेलगाड़ी $15$ मिनट में $75\,\mathrm{km}$ ।

हल

हल — अभ्यास 40.8.

एक घंटे में $12\,\mathrm{km}$ चलने वाला टहलने वाला: अस्वीकार — टहलने की रफ़्तार का तीन गुना। बस: $30$ मिनट में $10$ किलोमीटर यानी $20$ किलोमीटर प्रति घंटा — ठीक शहर की बस वाली रफ़्तार, स्वीकार। रेलगाड़ी: $15$ मिनट में $75$ किलोमीटर यानी $300$ किलोमीटर प्रति घंटा — तख़्ते के सबसे ऊपर, पर तेज़ रफ़्तार रेलगाड़ी के लिए मुमकिन: स्वीकार।

अभ्यास 40.9 ★★

टिप्पणी 40.3 वाला ऊँघता यात्री: उसकी गति का वर्णन करो — गतिपथ और रफ़्तार — पहले सामने बैठे यात्री के लिए, फिर खेत की गाय के लिए। दोनों वर्णन ईमानदार क्यों हैं?

हल

हल — अभ्यास 40.9.

सामने बैठे यात्री के लिए: कोई गति ही नहीं — न गतिपथ, रफ़्तार शून्य। गाय के लिए: रेलगाड़ी की पूरी रफ़्तार पर एक लंबा सरल रेखीय गतिपथ। दोनों ईमानदार हैं: हर एक ऊँघते यात्री का वर्णन अपने ही दृष्टिकोण के मुक़ाबले करता है, और गति हमेशा किसी चीज़ के मुक़ाबले ही होती है।

अभ्यास 40.10 ★★

एक मेट्रो लाइन सिरे से सिरे तक $9\,\mathrm{km}$ की है। समय-सारणी उसके लिए $18$ मिनट देती है, जिसमें एक-एक मिनट के छह स्टेशन-ठहराव भी शामिल हैं। असली चलने के समय में मेट्रो की औसत रफ़्तार $45$ किलोमीटर प्रति घंटा से ऊपर है या नीचे? (पहले चलने का समय निकालो, फिर तालिका बनाओ।)

हल

हल — अभ्यास 40.10.

चलने का समय: $9\,\mathrm{km}$ के लिए $18 - 6 = 12$ मिनट। तालिका: $12$ मिनट $\to$ $9$ किलोमीटर, इसलिए $60$ मिनट $\to$ $45$ किलोमीटर — यानी ठीक $45$ किलोमीटर प्रति घंटा: न ऊपर, न नीचे, बल्कि बिलकुल वहीं।

अभ्यास 40.11 ★★

घर के एक झगड़े का फ़ैसला करने के लिए बिंदुओं वाली फ़िल्म बनाओ: गेंद लाते समय कुत्ता एक-सी रफ़्तार से दौड़ता है, या दौड़-और-सुस्ती वाली चाल से? अपने क़दम गिनाओ, बताओ कि तुम क्या मापोगे, और बिंदुओं का हर पैटर्न कौन-सा फ़ैसला देगा।

हल

हल — अभ्यास 40.11.

स्थिर कैमरे से गेंद लाने का वीडियो बनाओ; हर आधे सेकंड पर रोको; बाड़ के खंभों के सामने कुत्ते की जगहों पर निशान लगाओ; फ़ासले मापो। पूरे रास्ते बराबर फ़ासले: एक-सी रफ़्तार। फ़ासले पहले फैलें फिर सिमटें (या चौड़े और सँकरे बारी-बारी आएँ): दौड़-और-सुस्ती। घर में जो भी चिल्लाहट हुई हो, फ़ैसला बिंदु सुनाते हैं।

अभ्यास 40.12 ★★★

एक गेंद मेज़ के किनारे से लुढ़ककर गिरती है। कमरे में खड़े किसी व्यक्ति को दिखने वाला उसका गतिपथ, मेज़ के किनारे से फ़र्श तक, बनाओ। फिर तर्क करो — दृष्टिकोण फिर से! — कि गिरती गेंद के नीचे ठीक उसी आगे वाली रफ़्तार से लुढ़कती किसी गाड़ी पर सवार नन्हा प्रेक्षक कौन-सा गतिपथ देखेगा। (इनमें से एक को वक्र दिखता है; दूसरे को कहीं ज़्यादा सीधी चीज़। यह पहेली उच्च विद्यालय वाले खंड में, हल के साथ, लौटती है।)

हल

हल — अभ्यास 40.12.

कमरे से: एक वक्र — गेंद मेज़ के किनारे से आगे और नीचे की ओर मेहराब बनाती हुई फ़र्श तक जाती है। गेंद की आगे वाली रफ़्तार से लुढ़कती नन्ही गाड़ी से: गेंद न आगे निकलती है न पीछे रहती है — वह सीधे नीचे गिरती दिखती है। एक ही गिरना, दो दृष्टिकोण, और सरल नज़ारा चलते हुए प्रेक्षक का है: एक बड़े विचार का बीज।

40.5 समस्या: लाइन 7 की बिंदुओं वाली फ़िल्म

समस्या 40.1

सप्ताहांत समस्या — एक परिवहन अभियंता ट्राम लाइन की बिंदुओं वाली फ़िल्में पढ़ती है; सवारी की जाँच, लाइन का समय, और समय-सारणी का झूठ पकड़ना

एक परिवहन अभियंता ने सड़क किनारे लगे कैमरे से ट्राम की दौड़ें फ़िल्माई हैं; वह कैमरा हर टिक (एक टिक $=$ $10$ सेकंड) पर ट्राम की जगह पर निशान लगा देता है, और वे फ़िल्में अब तुम्हारे हाथ में हैं।

भाग I — फ़िल्में पढ़ना। दो स्टेशनों के बीच बनी फ़िल्म क में फ़ासले (मीटर में) इस तरह हैं: $50, 50, 50, 50, 50$ ।

फ़िल्म क वाली गति की जाँच करो।
फ़िल्म क के $50$ सेकंड में ट्राम कितनी दूर गई?
स्टेशन से चलती ट्राम की फ़िल्म ख में फ़ासले $10, 25, 40, 50, 50$ हैं। इस सवारी की कहानी शब्दों में सुनाओ।
फ़िल्म ख में किन टिक-अंतरालों में गति (लगभग) एकसमान है?

भाग II — लाइन की असली रफ़्तार।

अपने एकसमान हिस्से में ट्राम हर $10$ सेकंड में $50\,\mathrm{m}$ तय करती है। एक मिनट तक की तालिका बनाओ: प्रति मिनट कितनी दूरी?
घंटे तक बढ़ाओ: ट्राम की चलती रफ़्तार किलोमीटर प्रति घंटा में कितनी है?
पूरी लाइन $12\,\mathrm{km}$ की है। बिना रुके, चलती रफ़्तार पर, सिरे से सिरे तक कितने मिनट लगेंगे?
समय-सारणी सिरे से सिरे तक $50$ मिनट देती है। असली लाइन स्टेशनों, लाल बत्तियों और धीमे इलाक़ों में कुल कितने मिनट गँवा देती है?

भाग III — कठघरे में विज्ञापन। कंपनी का पोस्टर डींग मारता है: “लाइन 7 — पूरे शहर के पार $18$ किलोमीटर प्रति घंटा, यानी किसी पैदल यात्री की सबसे अच्छी चाल से दोगुना!”

समय-सारणी के सामने पोस्टर का हिसाब जाँचो: $50$ मिनट में $12\,\mathrm{km}$ — एक घंटे तक की तालिका बनाओ। क्या पूरी यात्रा के लिए “ $18$ किलोमीटर प्रति घंटा” ईमानदार है?
एक नुक्ताचीं आपत्ति करता है: “ऐसी कोई संख्या चालमापी पर कभी होती ही नहीं — ट्राम या तो $18$ पर दौड़ रही होती है या $0$ पर खड़ी!” समझाओ कि पूरी यात्रा वाली चाल असल में किसका वर्णन करती है, और कई रफ़्तारों वाली यात्रा के लिए वही निष्पक्ष संख्या क्यों है।
अभियंता चार मिनट बचाने के लिए दो स्टेशन छोड़ देने का सुझाव देती है। सिरे से सिरे तक नया समय क्या होगा, और — फिर से तालिका — पूरी यात्रा की नई चाल किलोमीटर प्रति घंटा में? (समझदारी से पूर्णांकित करो।)
अभियंता की एक वाक्य वाली रिपोर्ट लिखो: योजना बनाने के लिए सवारियों को किस संख्या पर भरोसा करना चाहिए, चलती रफ़्तार पर या पूरी यात्रा वाली चाल पर, और क्यों?

हल

हल — समस्या 40.1.

1. $50\,\mathrm{m}$ के बराबर फ़ासले: एकसमान गति। 2. $5 \times 50 = 250\,\mathrm{m}$ । 3. ट्राम ठहरी हुई हालत से चलती है: पहले छोटे फ़ासले, जो बढ़ते जाते हैं — पहले तीन टिकों में गति तेज़ होती है — और फिर $50\,\mathrm{m}$ के बराबर फ़ासलों पर जम जाती है: यानी चलती रफ़्तार। 4. आख़िरी दो अंतराल, जिनमें हर एक $50\,\mathrm{m}$ का है। 5. $10$ सेकंड $\to$ $50\,\mathrm{m}$ , इसलिए $60$ सेकंड $\to$ प्रति मिनट $300\,\mathrm{m}$ । 6. $60$ मिनट $\to$ $60 \times 300 = 18\,000\,\mathrm{m}$ : चलती रफ़्तार $18$ किलोमीटर प्रति घंटा। 7. तालिका: $60$ मिनट में $18\,\mathrm{km}$ , इसलिए $12\,\mathrm{km}$ के लिए $40$ मिनट। 8. $50 - 40 = 10$ मिनट ठहरावों और धीमे इलाक़ों में गँवाए जाते हैं। 9. $50$ मिनट $\to$ $12\,\mathrm{km}$ , इसलिए $60$ मिनट $\to$ $12 \times 60 \div 50 = 14.4\,\mathrm{km}$ : पूरी यात्रा लगभग $14$ किलोमीटर प्रति घंटा पर चलती है — पोस्टर का $18$ सिर्फ़ चलते हुए हिस्सों के लिए ईमानदार है, “पूरे शहर के पार” के लिए नहीं। 10. पूरी यात्रा वाली चाल यात्रा का वर्णन ऐसे करती है मानो वह एकसमान रही हो: यानी वह एक-सी रफ़्तार जो उन्हीं $50$ मिनटों में उतने ही $12\,\mathrm{km}$ तय कर देती। कोई चालमापी उसे नहीं दिखाता, फिर भी योजना बनाने के लिए वही निष्पक्ष संख्या है, क्योंकि उसमें हर ठहराव और हर धीमा इलाक़ा पहले से शामिल है। 11. $50 - 4 = 46$ मिनट; $12 \times 60 \div 46 \approx 15.7\,\mathrm{km}$ प्रति घंटा — यानी लगभग $16$ । 12. जैसे: “सवारियों को अपनी योजना पूरी यात्रा वाली चाल से बनानी चाहिए — आज लगभग $14$ किलोमीटर प्रति घंटा — क्योंकि इंतज़ार को गिनने वाली अकेली संख्या यही है; चलती रफ़्तार वाला $18$ लाइन की चापलूसी करता है और हर ठहराव भुला देता है।”

इस अध्याय में परिभाषित शब्द

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