Physics · Livre 2 · Grades 10–12

Physique du lycée

Physique du lycée · Grades 10–12

14Champs électrique et gravitationnel

Comment la Terre attire-t-elle une pomme qu’elle ne touche jamais ? Newton lui-même appelait l’action à distance « une si grande absurdité » qu’il refusait de la défendre. La réponse moderne : une masse, ou une charge, modifie l’espace autour d’elle — elle crée un champ — et tout ce qui y est placé répond au champ en son propre emplacement. Nous construisons les deux grands exemples côte à côte, jusqu’à ce que l’analogie devienne une identité de forme.

14.1 De l’action à distance au champ

Définition 14.1 (Champ)

Un champ assigne à chaque point de l’espace un vecteur. Une source (une charge, une masse) crée son champ partout autour d’elle, qu’il y ait ou non quelque chose pour le sentir ; un objet test ressent alors une force déterminée par le champ en son propre emplacement seul. Cette image en deux étapes remplace l’action à distance.

Remarque 14.2

Le champ n’est pas un tour de comptabilité : il transporte de l’énergie, et les changements de la source s’y propagent à vitesse finie — la lumière elle-même est un tel champ en voyage (Chapitre 22). Ici nous étudions des champs qui ne changent pas dans le temps.

14.2 Le champ électrique

Définition 14.3 (Champ électrique)

Si une petite charge test qq placée en un point MM ressent une force électrique F→\vect F, le champ électrique en MM est

E→=F→q(en N/C, aussi eˊcrit V/m).\vect E = \frac{\vect F}{q} \qquad \text{(en $\mathrm{N}/\mathrm{C}$, aussi écrit $\mathrm{V}/\mathrm{m}$)}.

E→\vect E ne dépend que des sources et de MM, non de la charge test : doubler qq double F→\vect F, laissant le quotient inchangé.

Proposition 14.4 (Force sur une charge)

Une charge qq placée là où le champ est E→\vect E ressent la force F→=qE→\vect F = q \vect E : dans le sens de E→\vect E si q>0q > 0, opposé à E→\vect E si q<0q < 0, de grandeur F=∣q∣ EF = \abs{q}\,E.

Démonstration. Réarranger la définition ; la règle de signe est l’algèbre d’un multiple négatif. ∎

Exemple 14.5 (Lire un champ)

Une charge test q=2.0×10−8 Cq = 2.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{C} en MM ressent une force de 6.0×10−4 N6.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{N} pointant vers l’est. Le champ en MM est E=6.0×10−4/2.0×10−8=3.0×104 N/CE = 6.0 \times 10^{-4} / 2.0 \times 10^{-8} = 3.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}, pointant vers l’est ; q′=−1.0×10−8 Cq' = -1.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{C} placée au même point ressent F=1.0×10−8×3.0×104=3.0×10−4 NF = 1.0 \times 10^{-8} \times 3.0 \times 10^{4} = 3.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{N} — pointant vers l’ouest.

Proposition 14.6 (Champ d’une charge ponctuelle)

Une charge ponctuelle QQ crée, à la distance dd, un champ le long de la droite joignant la charge au point — s’éloignant de QQ si Q>0Q > 0, vers elle si Q<0Q < 0 — de grandeur

E=k ∣Q∣d2,k=8.99×109 N m2/C2.E = k\,\frac{\abs{Q}}{d^2}, \qquad k = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}.

Démonstration. La loi de Coulomb (Chapitre 13) donne la force sur une charge test qq à la distance dd : grandeur k∣qQ∣/d2k \abs{qQ} / d^2, le long de la droite de jointure, répulsive pour des signes identiques. Diviser par qq et appliquer le Proposition 14.4. ∎

Exemple 14.7 (Une sphère chargée)

Une sphère de Van de Graaff porte Q=5.0×10−7 CQ = 5.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{C} (une petite sphère chargée agit comme une charge ponctuelle en son centre). À d=0.50 md = 0.50\,\mathrm{m} :

E=8.99×109×5.0×10−7/0.502≈1.8×104 N/C,E = 8.99 \times 10^{9} \times 5.0 \times 10^{-7} / 0.50^2 \approx 1.8 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{C},

pointant radialement hors de la sphère. À 1.0 m1.0\,\mathrm{m} elle est tombée au quart : le 1/d21/d^2 de la force survit dans le champ.

Définition 14.8 (Lignes de champ)

Une ligne de champ est une courbe partout tangente au champ, une flèche donnant la direction du champ. Trois règles :

  • elles partent des charges positives et arrivent aux charges négatives ;
  • là où les lignes se serrent le champ est fort ; là où elles s’écartent, faible ;
  • deux lignes ne se croisent jamais : le champ a une seule direction en chaque point.
Lignes de champ d’une charge ponctuelle : radialement hors de +, vers - ; le resserrement près de la charge figure la croissance en 1/d2 du champ. Lignes de champ d’une charge ponctuelle : radialement hors de +, vers - ; le resserrement près de la charge figure la croissance en 1/d2 du champ.
Lignes de champ d’une charge ponctuelle : radialement hors de ++, vers −- ; le resserrement près de la charge figure la croissance en 1/d21/d^2 du champ.

14.3 Le champ uniforme d’un condensateur

Définition 14.9 (Condensateur plan)

Deux plaques métalliques parallèles face à face, proches et portant des charges opposées, forment un condensateur. Entre les plaques le champ est uniforme : même grandeur et même direction partout — perpendiculaire aux plaques, de la plaque positive vers la négative.

Proposition 14.10 (Champ entre les plaques)

Si la tension entre les plaques (Chapitre 12) est UU et leur écartement est dd, le champ entre elles a pour grandeur

E=Ud(en V/m).E = \frac{U}{d} \qquad \text{(en $\mathrm{V}/\mathrm{m}$)}.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 14.11

L’uniformité et E=U/dE = U/d sont dérivés honnêtement dans le volume de l’année 1 ; la formule explique l’unité V/m\mathrm{V}/\mathrm{m}. Des écarts minces font des champs forts : 100 V100\,\mathrm{V} sur un millimètre font déjà 105 V/m10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}.

Exemple 14.12 (Diriger un faisceau d’électrons)

Dans un oscilloscope, le faisceau passe entre des plaques avec U=100 VU = 100\,\mathrm{V} et d=5.0 mmd = 5.0\,\mathrm{mm} : E=100/5.0×10−3=2.0×104 V/mE = 100 / 5.0 \times 10^{-3} = 2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}, et chaque électron ressent F=1.60×10−19×2.0×104=3.2×10−15 NF = 1.60 \times 10^{-19} \times 2.0 \times 10^{4} = 3.2 \times 10^{-15}\,\mathrm{N} vers la plaque positive — 4×10144 \times 10^{14} fois son poids de 8.9×10−30 N8.9 \times 10^{-30}\,\mathrm{N}, donc le faisceau dévie visiblement (la trajectoire courbe est l’affaire du Chapitre 25).

Le champ uniforme d’un condensateur : lignes parallèles, également espacées, de la plaque + à la plaque -, E = U/d ; une charge positive est poussée le long du champ, une négative contre lui.
Le champ uniforme d’un condensateur : lignes parallèles, également espacées, de la plaque ++ à la plaque −-, E=U/dE = U/d ; une charge positive est poussée le long du champ, une négative contre lui.

14.4 Le champ gravitationnel

Définition 14.13 (Champ gravitationnel)

Si une masse test mm placée en un point ressent une force gravitationnelle (un poids) P→\vect P, le champ gravitationnel y est

g→=P→m(en N/kg),\vect g = \frac{\vect P}{m} \qquad \text{(en $\mathrm{N}/\mathrm{kg}$)},

et inversement P→=mg→\vect P = m \vect g. Un chapitre antérieur a introduit le nombre gg ; g→\vect g ajoute la direction dans laquelle une pierre lâchée commence à se déplacer.

Proposition 14.14 (Champ de la Terre)

À la distance dd du centre de la Terre (masse MM), le champ gravitationnel pointe vers le centre et a pour grandeur

g=G Md2,G=6.67×10−11 N m2/kg2.g = G\,\frac{M}{d^2}, \qquad G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}.

Démonstration. La gravitation universelle (Chapitre 4) donne la force sur une masse test mm : grandeur GMm/d2G M m / d^2, vers le centre ; diviser par mm. À la surface, d=Rd = R et c’est le g=GM/R2≈9.81 N/kgg = GM/R^2 \approx 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg} du chapitre antérieur. ∎

Exemple 14.15 (Le champ là où vit la Lune)

À la distance de la Lune d=3.84×108 md = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m} :

g=6.67×10−11×5.97×1024/(3.84×108)2≈2.7×10−3 N/kg.g = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} / (3.84 \times 10^{8})^2 \approx 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}.

Le champ terrestre ne s’arrête jamais — il ne fait que s’amincir en 1/d21/d^2 ; c’est le champ qui tient la Lune sur son orbite.

Remarque 14.16 (Uniforme près de la surface)

Sur un laboratoire ou même une montagne, dd change à peine par rapport à R=6.37×106 mR = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}, donc g→\vect g est uniforme à haute précision : lignes verticales, 9.81 N/kg9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg} constant — le champ terrestre ressemble à celui du condensateur, tout comme la Terre ronde paraît plate depuis un jardin.

Le champ gravitationnel de la Terre : radial, pointant vers le centre, de grandeur GM/d2 — le portrait exact du champ d’une charge ponctuelle négative.
Le champ gravitationnel de la Terre : radial, pointant vers le centre, de grandeur GM/d2GM/d^2 — le portrait exact du champ d’une charge ponctuelle négative.

14.5 Une idée, deux forces

Les deux champs de ce chapitre sont la même mathématique sous deux costumes :

électriquegravitationnel
sourcecharge QQmasse MM
champE→=F→/q\vect E = \vect F / qg→=P→/m\vect g = \vect P / m
unitéN/C\mathrm{N}/\mathrm{C} = V/m\mathrm{V}/\mathrm{m}N/kg\mathrm{N}/\mathrm{kg}
source ponctuelleE=k∣Q∣/d2E = k \abs{Q} / d^2g=GM/d2g = G M / d^2
constantek=8.99×109 N m2/C2k = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}G=6.67×10−11 N m2/kg2G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}
force sur un testF→=qE→\vect F = q \vect EP→=mg→\vect P = m \vect g
lignes de champhors de ++, vers −-toujours vers la masse

Chaque formule de gauche devient celle de droite sous le dictionnaire q↔mq \leftrightarrow m, E→↔g→\vect E \leftrightarrow \vect g, k↔Gk \leftrightarrow G.

Remarque 14.17 (Où l’analogie se brise)

La charge a deux signes ; la masse un seul. Donc les champs électriques peuvent s’annuler : les charges redistribuées d’une boîte métallique effacent tout champ externe à l’intérieur (une cage de Faraday — pourquoi un ascenseur tue le signal de votre téléphone), et la matière en volume, avec ++ et −- équilibrés, est électriquement silencieuse. La gravité ne peut être ni écrantée ni neutralisée : chaque kilogramme ajoute son attraction — ce qui explique pourquoi la force plus faible d’un facteur 103910^{39} (Exercice 14.10) gouverne l’univers aux grandes échelles.

14.6 Exercices

Exercice 14.1 ★

Une charge test q=2.0×10−6 Cq = 2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C} en un point MM ressent une force de 5.0×10−3 N5.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{N} pointant vers le nord. Donner le champ en MM (grandeur et direction), puis la force sur q′=−4.0×10−6 Cq' = -4.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C} placée en MM.

Solution

Solution de Exercice 14.1.

E=5.0×10−3/2.0×10−6=2.5×103 N/CE = 5.0 \times 10^{-3} / 2.0 \times 10^{-6} = 2.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}, pointant vers le nord. Sur q′q' : F=4.0×10−6×2.5×103=1.0×10−2 NF = 4.0 \times 10^{-6} \times 2.5 \times 10^{3} = 1.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{N}, pointant vers le sud (q′<0q' < 0).

Exercice 14.2 ★

Une charge ponctuelle Q=5.0 nCQ = 5.0\,\mathrm{nC} est en OO.

  1. Calculer le champ à d=30 cmd = 30\,\mathrm{cm} : grandeur, direction.
  2. À quelle distance le champ est-il deux fois plus faible ?
Solution

Solution de Exercice 14.2.

1. E=8.99×109×5.0×10−9/0.302≈5.0×102 N/CE = 8.99 \times 10^{9} \times 5.0 \times 10^{-9} / 0.30^2 \approx 5.0 \times 10^{2}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}, pointant hors de OO (Q>0Q > 0).

2. Diviser k∣Q∣/d2k\abs{Q}/d^2 par deux exige de doubler d2d^2 : d′=0.302≈0.42 md' = 0.30\sqrt{2} \approx 0.42\,\mathrm{m}.

Exercice 14.3 ★

Un condensateur a U=600 VU = 600\,\mathrm{V} aux bornes de plaques distantes de 3.0 mm3.0\,\mathrm{mm}. Calculer le champ, puis la force sur un électron y (e=1.60×10−19 Ce = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}).

Solution

Solution de Exercice 14.3.

E=600/3.0×10−3=2.0×105 V/mE = 600 / 3.0 \times 10^{-3} = 2.0 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m} ; F=eE=1.60×10−19×2.0×105=3.2×10−14 NF = eE = 1.60 \times 10^{-19} \times 2.0 \times 10^{5} = 3.2 \times 10^{-14}\,\mathrm{N}.

Exercice 14.4 ★

Sur Mars, une sonde de 250 kg250\,\mathrm{kg} pèse 930 N930\,\mathrm{N}. Calculer le champ de surface martien gMarsg_{\text{Mars}}, puis le poids d’un astronaute de 80 kg80\,\mathrm{kg} là-bas.

Solution

Solution de Exercice 14.4.

gMars=P/m=930/250=3.7 N/kgg_{\text{Mars}} = P/m = 930/250 = 3.7\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}. Astronaute : P=80×3.72≈3.0×102 NP = 80 \times 3.72 \approx 3.0 \times 10^{2}\,\mathrm{N} (environ 780 N780\,\mathrm{N} sur Terre).

Exercice 14.5 ★

Vrai ou faux, avec une raison chacune : (a) deux lignes de champ peuvent se croiser là où le champ est fort ; (b) les lignes de champ partent des charges négatives et arrivent aux positives ; (c) des lignes de champ resserrées signalent un champ fort.

Solution

Solution de Exercice 14.5.

(a) Faux : le champ a une seule direction en chaque point, donc les lignes ne se croisent jamais. (b) Faux : elles partent de ++ et arrivent à −-. (c) Vrai : le resserrement code la force.

Exercice 14.6 ★★

La Station spatiale internationale orbite à l’altitude 420 km420\,\mathrm{km} (R=6.37×106 mR = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}, M=5.97×1024 kgM = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}).

  1. Calculer gg à la station ; quelle fraction de la valeur de surface ?
  2. Les astronautes flottent. Réconcilier cela avec votre réponse en une phrase.
Solution

Solution de Exercice 14.6.

1. d=6.37×106+4.2×105=6.79×106 md = 6.37 \times 10^{6} + 4.2 \times 10^{5} = 6.79 \times 10^{6}\,\mathrm{m}, donc g=6.67×10−11×5.97×1024/(6.79×106)2≈8.6 N/kgg = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} / (6.79 \times 10^{6})^2 \approx 8.6\,\mathrm{N}/\mathrm{kg} — 88 %88\,\% de la valeur de surface.

2. Ils flottent parce que station et astronaute tombent ensemble (chute libre), non parce que la gravité est absente.

Exercice 14.7 ★★

Quelle grandeur de champ équilibrerait le poids d’un électron (me=9.11×10−31 kgm_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}) ? Comparer avec les 2.0×104 V/m2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m} de l’Exemple 14.12 ; conclure sur la place de la gravité en physique des électrons.

Solution

Solution de Exercice 14.7.

E=meg/e=9.11×10−31×9.81/1.60×10−19≈5.6×10−11 V/mE = m_e g / e = 9.11 \times 10^{-31} \times 9.81 / 1.60 \times 10^{-19} \approx 5.6 \times 10^{-11}\,\mathrm{V}/\mathrm{m} : quelque 4×10144 \times 10^{14} fois plus faible que le champ de l’ oscilloscope. La gravité est totalement négligeable en physique des électrons.

Exercice 14.8 ★★

Un grain de poussière de masse 2.0×10−6 kg2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{kg} flotte au repos entre des plaques horizontales distantes de 2.0 cm2.0\,\mathrm{cm} avec U=5.0 kVU = 5.0\,\mathrm{kV} à leurs bornes.

  1. Calculer le champ, puis la grandeur de la charge du grain.
  2. La charge du grain est positive : laquelle des plaques est la positive ?
  3. Combien de charges élémentaires le grain porte-t-il ?
Solution

Solution de Exercice 14.8.

1. E=5.0×103/2.0×10−2=2.5×105 V/mE = 5.0 \times 10^{3} / 2.0 \times 10^{-2} = 2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m} ; au repos qE=mgqE = mg, donc q=2.0×10−6×9.81/2.5×105≈7.8×10−11 Cq = 2.0 \times 10^{-6} \times 9.81 / 2.5 \times 10^{5} \approx 7.8 \times 10^{-11}\,\mathrm{C}.

2. La force sur le grain positif doit pointer vers le haut, donc E→\vect E pointe vers le haut : la plaque inférieure est positive.

3. n=7.85×10−11/1.60×10−19≈4.9×108n = 7.85 \times 10^{-11} / 1.60 \times 10^{-19} \approx 4.9 \times 10^{8} charges élémentaires.

Exercice 14.9 ★★

Des charges +Q+Q et +4Q+4Q sont distantes de 30 cm30\,\mathrm{cm}. Où sur le segment qui les joint le champ total est-il nul ? Expliquer d’abord pourquoi le point doit se trouver entre les charges, plus près de la plus petite.

Solution

Solution de Exercice 14.9.

Hors du segment les deux champs pointent dans le même sens ; entre, ils s’opposent — et l’équilibre exige le point plus près de la source plus faible +Q+Q. Avec xx la distance à +Q+Q : kQ/x2=4kQ/(0.30−x)2kQ/x^2 = 4kQ/(0.30 - x)^2, donc 0.30−x=2x0.30 - x = 2x et x=0.10 mx = 0.10\,\mathrm{m} depuis +Q+Q.

Exercice 14.10 ★★

Dans un atome d’hydrogène, le proton (mp=1.67×10−27 kgm_p = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}, charge +e+e) et l’électron (me=9.11×10−31 kgm_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}, charge −e-e) sont distants de d=5.3×10−11 md = 5.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}. Calculer les forces électrique et gravitationnelle entre eux, et leur rapport.

Solution

Solution de Exercice 14.10.

Fe=ke2/d2=8.99×109×(1.60×10−19)2/(5.3×10−11)2≈8.2×10−8 NF_e = ke^2/d^2 = 8.99 \times 10^{9} \times (1.60 \times 10^{-19})^2 / (5.3 \times 10^{-11})^2 \approx 8.2 \times 10^{-8}\,\mathrm{N} ; Fg=Gmpme/d2=6.67×10−11×1.67×10−27×9.11×10−31/(5.3×10−11)2≈3.6×10−47 NF_g = G m_p m_e / d^2 = 6.67 \times 10^{-11} \times 1.67 \times 10^{-27} \times 9.11 \times 10^{-31} / (5.3 \times 10^{-11})^2 \approx 3.6 \times 10^{-47}\,\mathrm{N}. Rapport Fe/Fg≈2.3×1039F_e / F_g \approx 2.3 \times 10^{39}.

Exercice 14.11 ★★

En un point MM, une source seule créerait un champ de 300 N/C300\,\mathrm{N}/\mathrm{C} pointant vers l’est ; une seconde, 400 N/C400\,\mathrm{N}/\mathrm{C} pointant vers le nord. Les champs s’ajoutent comme des vecteurs : donner le champ total en MM (grandeur et direction), puis la force sur q=−2.0×10−6 Cq = -2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C} placée là.

Solution

Solution de Exercice 14.11.

E=3002+4002=500 N/CE = \sqrt{300^2 + 400^2} = 500\,\mathrm{N}/\mathrm{C}, à tan⁡−1(400/300)≈53∘\tan^{-1}(400/300) \approx 53{}^{\circ} nord de l’est. Sur q<0q < 0 : F=2.0×10−6×500=1.0×10−3 NF = 2.0 \times 10^{-6} \times 500 = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}, opposé au champ — 53∘53{}^{\circ} sud de l’ouest.

Exercice 14.12 ★★★

À quelle altitude le champ terrestre est-il tombé à la moitié de sa valeur de surface ? Et à l’altitude h=Rh = R, à quelle fraction ?

Solution

Solution de Exercice 14.12.

GM/(R+h)2=12 GM/R2GM/(R+h)^2 = \tfrac12\,GM/R^2 donne R+h=R2R + h = R\sqrt{2}, donc h=(2−1)R≈2.6×106 mh = (\sqrt{2} - 1)R \approx 2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m} (environ 2600 km2600\,\mathrm{km}). À h=Rh = R, d=2Rd = 2R : un quart de la valeur de surface.

Exercice 14.13 ★★★

Des charges de 2.0 nC2.0\,\mathrm{nC} sont en AA et BB, distantes de 6.0 cm6.0\,\mathrm{cm}. MM est sur la médiatrice de [AB][AB], à 4.0 cm4.0\,\mathrm{cm} de son milieu.

  1. Calculer la distance AMAM, puis la grandeur du champ que chaque charge crée en MM.
  2. Ajouter les deux champs comme vecteurs (utiliser la symétrie) et donner le champ total en MM, grandeur et direction.
Solution

Solution de Exercice 14.13.

1. AM=3.02+4.02=5.0 cmAM = \sqrt{3.0^2 + 4.0^2} = 5.0\,\mathrm{cm} ; chaque charge crée E1=8.99×109×2.0×10−9/0.0502≈7.2×103 N/CE_1 = 8.99 \times 10^{9} \times 2.0 \times 10^{-9} / 0.050^2 \approx 7.2 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}.

2. Les composantes le long de ABAB s’annulent par symétrie ; chaque champ contribue E1×4/5E_1 \times 4/5 le long de la médiatrice, hors du segment : E=2×7.19×103×0.80≈1.2×104 N/CE = 2 \times 7.19 \times 10^{3} \times 0.80 \approx 1.2 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}, dirigé le long de la médiatrice, hors de [AB][AB].

Exercice 14.14 ★★★

Expliquer, en utilisant les deux signes de la charge, comment les charges libres d’une boîte métallique annulent un champ électrique externe partout à l’intérieur — et pourquoi aucun arrangement de masses ne peut faire de même pour la gravité. Quel ingrédient impossible un bouclier gravitationnel exigerait-il ?

Solution

Solution de Exercice 14.14.

Les charges libres de la boîte se déplacent sous le champ externe : les ++ s’accumulent sur une face, les −- sur l’autre, et ces charges déplacées créent un champ interne opposé à l’externe. Elles continuent à se déplacer jusqu’à ce que le champ total à l’intérieur soit exactement nul — alors équilibre. La gravité n’offre qu’un signe de source : chaque masse ajoute un champ attractif, aucune ne peut s’y opposer. Un bouclier gravitationnel exigerait de la masse négative, qui n’existe pas.

Exercice 14.15 ★★★

Une petite bille (m=0.50 gm = 0.50\,\mathrm{g}, q=2.0×10−7 Cq = 2.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{C}) pend à un fil dans un champ uniforme horizontal E=1.0×104 V/mE = 1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}. Au repos, le fil fait un angle θ\theta avec la verticale.

  1. Lister les trois forces ; expliquer pourquoi tan⁡θ=qE/(mg)\tan\theta = qE / (mg).
  2. Calculer θ\theta, puis la tension du fil.
Solution

Solution de Exercice 14.15.

1. Poids mg→m\vect g (vers le bas), tension T→\vect T (le long du fil), force électrique qE→q\vect E (horizontale). Au repos, Tsin⁡θ=qET\sin\theta = qE et Tcos⁡θ=mgT\cos\theta = mg ; diviser : tan⁡θ=qE/(mg)\tan\theta = qE/(mg).

2. tan⁡θ=2.0×10−7×1.0×104/(5.0×10−4×9.81)≈0.41\tan\theta = 2.0 \times 10^{-7} \times 1.0 \times 10^{4} / (5.0 \times 10^{-4} \times 9.81) \approx 0.41, donc θ≈22∘\theta \approx 22{}^{\circ} ; T=mg/cos⁡θ≈5.3×10−3 NT = mg/\cos\theta \approx 5.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}.

14.7 Problème : La gouttelette de Millikan

Problème 14.1

Problème du week-end — peser la charge de l’électron : une gouttelette d’huile stationnée en l’air entre deux plaques révèle que la charge vient par pas indivisibles de 1.60×10−191.60 \times 10^{-19} coulombs

En 1909, Robert Millikan pulvérisait des gouttelettes d’huile entre les plaques horizontales d’un condensateur. En réglant la tension jusqu’à ce qu’une gouttelette choisie reste immobile — la force électrique équilibrant exactement le poids — il pouvait peser sa charge. Notre gouttelette a une masse m=4.90×10−15 kgm = 4.90 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg} (mesurée d’après sa chute lente champ éteint ; nous la prenons comme donnée) ; les plaques sont distantes de d=8.0 mmd = 8.0\,\mathrm{mm}, la plaque supérieure est positive ; la charge de la gouttelette est négative.

Partie I — La scène.

  1. Décrire le champ entre les plaques ; que gagne-t-on avec « uniforme » ?
  2. Pour U=800 VU = 800\,\mathrm{V}, calculer EE.
  3. Dans quelle direction la force électrique sur la gouttelette ? Pourquoi la plaque supérieure devait-elle être la positive ?
  4. Calculer le poids de la gouttelette.
  5. Écrire la condition de repos comme une égalité de deux grandeurs de force.

Partie II — L’équilibre.

  1. À partir de là, exprimer ∣q∣\abs{q} en fonction de mm, gg, dd et UU.
  2. La gouttelette reste au repos pour U=800 VU = 800\,\mathrm{V} : calculer ∣q∣\abs{q}.
  3. Diviser par e=1.60×10−19 Ce = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}. Combien d’électrons en excès la gouttelette porte-t-elle ?
  4. La tension est poussée à 900 V900\,\mathrm{V}. Dans quelle direction la force résultante pointe-t-elle maintenant ?
  5. Montrer que la tension d’équilibre est U=mgd/∣q∣U = mgd/\abs{q} : plus la charge est grande, plus la tension est petite.

Partie III — Les pas. Une rafale de rayonnement peut arracher ou déposer des électrons sur la gouttelette ; après chaque changement, Millikan retombe la tension pour l’équilibre.

  1. Après une rafale, l’équilibre exige U=1200 VU = 1200\,\mathrm{V}. Calculer le nouveau ∣q∣\abs{q}. La gouttelette a-t-elle gagné ou perdu un électron ?
  2. Des équilibres successifs sont trouvés à U=1200U = 1200, 800800, 600600, 480480 et 400 V400\,\mathrm{V}. Calculer les cinq charges.
  3. Montrer que les cinq sont des multiples entiers d’une seule quantité ; donner sa valeur.
  4. Entre équilibres consécutifs, de combien la charge change-t-elle ? Interpréter.
  5. Expliquer pourquoi cette gouttelette ne peut jamais rester au repos à U=700 VU = 700\,\mathrm{V}, si patiemment qu’on règle.
  6. Millikan a répété cela sur des centaines de gouttelettes : chaque charge mesurée était un multiple entier de la même valeur. Énoncer la conclusion, et nommer la quantité mesurée.

Partie IV — Pourquoi il n’y a pas de Millikan gravitationnel.

  1. Dans le dictionnaire de ce chapitre, que jouent les rôles de qq, EE et qEqE dans l’équilibre de la partie II ?
  2. Une masse au-dessus pourrait-elle soutenir la gouttelette à la place ? Calculer le champ d’une sphère de plomb de 1000 kg1000\,\mathrm{kg} à 1.0 m1.0\,\mathrm{m} au-dessus de la gouttelette, la force sur la gouttelette, et comparer avec son poids.
  3. L’équilibre exige une attraction vers le haut assez forte pour combattre toute la Terre. Pourquoi une plaque de charge peut-elle la fournir et aucun arrangement de masses ne le peut ?
  4. La masse de la gouttelette change aussi par pas (une molécule d’huile : environ 5×10−25 kg5 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}). Comparer les sauts relatifs en mm et en ∣q∣\abs{q} quand un électron se pose, et conclure : pourquoi cet équilibre voit-il les atomes de l’électricité mais pas les molécules d’huile ? Chute : la charge est quantifiée, et son atome est e=1.60×10−19 Ce = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}.
Solution

Solution de Problème 14.1.

1. Uniforme, perpendiculaire aux plaques, pointant vers le bas (de la plaque ++ supérieure vers la −- inférieure) ; l’uniformité signifie que la force sur la gouttelette est la même où qu’elle dérive. 2. E=U/d=800/8.0×10−3=1.0×105 V/mE = U/d = 800 / 8.0 \times 10^{-3} = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}. 3. La charge est négative, donc la force est opposée à E→\vect E : vers le haut. Seule avec la plaque ++ en haut E→\vect E pointe vers le bas et la force électrique combat le poids. 4. P=mg=4.90×10−15×9.81≈4.8×10−14 NP = mg = 4.90 \times 10^{-15} \times 9.81 \approx 4.8 \times 10^{-14}\,\mathrm{N}. 5. ∣q∣E=mg\abs{q}E = mg. 6. ∣q∣=mg/E=mgd/U\abs{q} = mg/E = mgd/U. 7. ∣q∣=4.81×10−14×8.0×10−3/800≈4.8×10−19 C\abs{q} = 4.81 \times 10^{-14} \times 8.0 \times 10^{-3} / 800 \approx 4.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}. 8. n=4.8×10−19/1.60×10−19=3n = 4.8 \times 10^{-19} / 1.60 \times 10^{-19} = 3 électrons en excès. 9. EE croît, donc ∣q∣E>mg\abs{q}E > mg : la force résultante pointe vers le haut. 10. De ∣q∣ U/d=mg\abs{q}\,U/d = mg, U=mgd/∣q∣U = mgd/\abs{q} — inversement proportionnel à la charge. 11. ∣q∣=mgd/U=3.85×10−16/1200≈3.2×10−19 C=2e\abs{q} = mgd/U = 3.85 \times 10^{-16}/1200 \approx 3.2 \times 10^{-19}\,\mathrm{C} = 2e : en baisse depuis 3e3e, la gouttelette a perdu un électron. 12. ∣q∣=3.85×10−16/U\abs{q} = 3.85 \times 10^{-16}/U : 3.2×10−19 C3.2 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}, 4.8×10−19 C4.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}, 6.4×10−19 C6.4 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}, 8.0×10−19 C8.0 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}, 9.6×10−19 C9.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}. 13. Ce sont 2e,3e,4e,5e,6e2e, 3e, 4e, 5e, 6e avec e=1.60×10−19 Ce = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}. 14. Chaque pas change ∣q∣\abs{q} de exactement 1.6×10−19 C1.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C} : un électron se pose à la fois. 15. Il faudrait ∣q∣=3.85×10−16/700≈5.5×10−19 C=3.4 e\abs{q} = 3.85 \times 10^{-16}/700 \approx 5.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{C} = 3.4\,e — pas un nombre entier d’électrons, donc aucune rafale de rayonnement ne peut jamais le produire. 16. La charge est quantifiée : elle vient par multiples entiers de la charge élémentaire e=1.60×10−19 Ce = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C} — la quantité que Millikan a mesurée. 17. q↔mq \leftrightarrow m, E↔gE \leftrightarrow g, et ∣q∣E↔mg\abs{q}E \leftrightarrow mg : le poids lui-même. 18. gspheˋre=GM/d2=6.67×10−11×1000/1.02=6.7×10−8 N/kgg_{\text{sphère}} = GM/d^2 = 6.67 \times 10^{-11} \times 1000 / 1.0^2 = 6.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg} ; force sur la gouttelette 4.90×10−15×6.7×10−8≈3.3×10−22 N4.90 \times 10^{-15} \times 6.7 \times 10^{-8} \approx 3.3 \times 10^{-22}\,\mathrm{N} — environ 1.5×1081.5 \times 10^{8} fois plus petite que son poids. Sans espoir. 19. Parce que GG est si petit, seule une masse de taille planétaire au-dessus pourrait rivaliser avec l’attraction de la Terre — et aucune masse ne repousse. L’énorme kk et les deux signes de la charge laissent une plaque de table d’expérience surpasser la planète dans l’une ou l’autre direction. 20. Un électron : Δ∣q∣/∣q∣=e/3e≈33 %\Delta\abs{q}/\abs{q} = e/3e \approx 33\,\% ; une molécule d’huile : Δm/m=5×10−25/4.90×10−15≈10−10\Delta m/m = 5 \times 10^{-25} / 4.90 \times 10^{-15} \approx 10^{-10}. L’escalier de charge déplace la tension d’équilibre de centaines de volts ; l’escalier de masse est invisible à toute tension. L’équilibre résout donc l’atome de l’électricité — e=1.60×10−19 Ce = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C} — tandis que les molécules d’huile se fondent en un continuum.