Physique du lycée · Grades 10–12

34Le monde quantique : photons et niveaux d’énergie

Une lampe à chaleur infrarouge peut baigner votre peau toute la soirée sans la marquer ; dix minutes de soleil de montagne fin laissent une brûlure. La lampe livre bien plus d’énergie — mais l’énergie n’est pas ce qui marque la peau. La lumière, montre ce chapitre, arrive en grains, et seul un grain qui frappe assez fort fait de la chimie : un grain ultraviolet casse une liaison qu’un milliard de grains infrarouges ne font que réchauffer. Suivez les grains et un siècle s’ouvre : des métaux qui fuient des électrons, des atomes qui chantent en raies spectrales, des électrons qui interfèrent comme des ondes.

34.1 La lumière arrive en grains : le photon

Définition 34.1 (Le photon)

La lumière de fréquence $\nu$ n’échange de l’énergie avec la matière que par grains entiers appelés photons, chacun d’énergie

E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}, \qquad h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s},

où $h$ est la constante de Planck (Planck, 1900 ; Einstein, 1905) et $\lambda$ la longueur d’onde dans le vide. L’intensité d’un faisceau mesure le nombre de photons par seconde ; l’énergie de chaque grain est fixée par la fréquence seule.

Notation 34.2 (L’électronvolt)

La physique atomique utilise l’électronvolt, $1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ : l’énergie qu’une charge élémentaire gagne en traversant $1\,\mathrm{V}$ (Chapitre 14). Pratique : $E \,(\mathrm{eV}) \approx 1240/\lambda\,(\mathrm{nm})$ .

Une seule échelle pour la famille électromagnétique () : longueur d’onde (haut), énergie par photon hc/ (bleu), des grains radio d’un microélectronvolt aux grains gamma de MeV du — pourtant un pointeur de 1.0\, mW verse 3 × 1015 grains par seconde : la lumière du quotidien coule aussi régulièrement que du sable versé. — Une seule échelle pour la famille électromagnétique (Chapitre 22) : longueur d’onde (haut), énergie par photon $hc/\lambda$ (bleu), des grains radio d’un microélectronvolt aux grains gamma de $\mathrm{MeV}$ du Chapitre 19 — pourtant un pointeur de $1.0\,\mathrm{mW}$ verse $3 \times 10^{15}$ grains par seconde : la lumière du quotidien coule aussi régulièrement que du sable versé.

34.2 L’effet photoélectrique

Éclairez une plaque métallique propre sous vide et des électrons sautent — l’effet photoélectrique. Ses règles ont brisé la physique classique.

Proposition 34.3 (Ce que montre l’expérience)

Pour chaque métal il existe une fréquence seuil $\nu_0$ :

sous $\nu_0$ , aucun électron ne part, quelle que soit l’intensité de la lumière ;
au-dessus de $\nu_0$ , l’émission démarre sans retard, si faible soit-elle ;
l’intensité élève le nombre d’électrons par seconde, pas leur énergie cinétique maximale ; la fréquence élève $E_{k,\max}$ .

Rien de cela ne s’accorde à une onde continue, que toute couleur devrait laisser se charger — sur des mois en lumière faible (Exercice 34.14) — et dont l’intensité devrait fixer l’énergie des électrons : les trois prédictions échouent.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Théorème 34.4 (Relation photoélectrique d’Einstein)

Un électron a besoin d’au moins le travail d’extraction $W_0$ du métal pour s’échapper de sa surface. Un photon est absorbé entier par un électron, donc

h\nu = W_0 + E_{k,\max}, \qquad \text{d'où } \nu_0 = \frac{W_0}{h}.

Démonstration. Comptabilité d’énergie : $h\nu$ en entrée, $W_0$ dépensé à la sortie, le reste cinétique — au plus $h\nu - W_0$ , moins pour les électrons partant plus profond. Sous $\nu_0$ un grain ne peut pas payer le péage de sortie, quel que soit leur nombre. ∎

Définition 34.5 (Potentiel d’arrêt)

Pour mesurer $E_{k,\max}$ , une tension inverse freine les électrons (Chapitre 14) ; le potentiel d’arrêt $U_s$ est la plus petite tension qui annule le courant : les électrons les plus rapides échouent juste à traverser, donc $E_{k,\max} = e\,U_s$ .

E_k, = eU_s mesuré contre la fréquence (sodium) : une droite de pente h, coupant l’axe en _0 ; extrapolée (tireté), elle révèle -W_0 en = 0. — $E_{k,\max} = eU_s$ mesuré contre la fréquence (sodium) : une droite de pente $h$ , coupant l’axe en $\nu_0$ ; extrapolée (tireté), elle révèle $-W_0$ en $\nu = 0$ .

Méthode 34.6 (Mesurer la constante de Planck)

Éclairer une photocellule à travers des filtres de longueurs d’onde connues ; calculer chaque $\nu = c/\lambda$ ; enregistrer chaque potentiel d’arrêt.
Tracer $E_{k,\max} = eU_s$ en fonction de $\nu$ : Einstein promet la droite $h\nu - W_0$ .
Lire la pente : c’est $h$ ; les intercepts donnent $\nu_0$ et $-W_0$ .

34.3 Niveaux d’énergie : pourquoi les atomes émettent des raies

Définition 34.7 (Niveaux d’énergie)

L’énergie d’un électron lié dans un atome est quantifiée : restreinte à une échelle discrète de niveaux d’énergie $E_1 < E_2 < \dots < 0$ , comptés négatifs depuis l’électron libre. Le barreau le plus bas est l’état fondamental, les autres des états excités ; atteindre $0$ est l’ionisation.

Proposition 34.8 (L’échelle de l’hydrogène)

Les niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène sont

E_n = -\frac{13.6\,\mathrm{eV}}{n^2}, \qquad n = 1, 2, 3, \dots

donc $E_1 = -13.6\,\mathrm{eV}$ , $E_2 = -3.40\,\mathrm{eV}$ , $E_3 = -1.51\,\mathrm{eV}$ , $E_4 = -0.85\,\mathrm{eV}$ , se serrant vers $0$ .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 34.9 (D’où vient l’échelle)

Pourquoi ces nombres est de la mécanique quantique, gardée pour les volumes universitaires — comme la formule de de Broglie : l’onde de matière de l’électron (Définition 34.15 ci-dessous) doit se refermer sur elle-même autour du noyau, et seules certaines longueurs d’onde tiennent — comme une corde de guitare, un atome a un ensemble discret de notes.

Théorème 34.10 (Photon d’une transition)

Un atome ne change de niveau qu’en émettant ou absorbant un photon portant exactement la différence : descendre du niveau $p$ à un niveau plus bas $n$ émet $h\nu = E_p - E_n$ ; monter de $n$ à $p$ absorbe la même énergie.

Démonstration. Conservation de l’énergie, un grain à la fois : le photon est la seule monnaie que la lumière accepte, et les livres de l’atome doivent s’équilibrer. ∎

Remarque 34.11 (Spectres de raies expliqués)

Voici la réponse promise par le Chapitre 2 : un gaz chaud n’émet que les fréquences $(E_p - E_n)/h$ de sa propre échelle — un code-barres de raies brillantes — et un gaz froid vole exactement ces fréquences à la lumière blanche, imprimant des raies d’absorption sombres correspondantes. Chaque élément a sa propre échelle, donc son propre code-barres — comment on lit la lumière des étoiles.

Exemple 34.12 (Les raies visibles de l’hydrogène)

Les transitions aboutissant à $n = 2$ tombent dans le visible. Avec $E \,(\mathrm{eV}) = 1240/\lambda\,(\mathrm{nm})$ : $3 \to 2$ : $1.89\,\mathrm{eV}$ , $656\,\mathrm{nm}$ (rouge) ; $4 \to 2$ : $2.55\,\mathrm{eV}$ , $486\,\mathrm{nm}$ (bleu-vert) ; $5 \to 2$ : $2.86\,\mathrm{eV}$ , $434\,\mathrm{nm}$ (violet). Les transitions vers $n = 1$ dépassent $10\,\mathrm{eV}$ : tout ultraviolet.

L’échelle de l’hydrogène, à l’échelle : les raies visibles aboutissent toutes à n = 2 ; la chute vers l’état fondamental est de l’ultraviolet profond. — L’échelle de l’hydrogène, à l’échelle : les raies visibles aboutissent toutes à $n = 2$ ; la chute vers l’état fondamental est de l’ultraviolet profond.

Remarque 34.13 (Les lasers, en un souffle)

Un photon d’exactement $E_p - E_n$ passant un atome excité peut le déclencher à émettre un photon identique — même énergie, même direction, en phase. Gardez plus d’atomes en haut qu’en bas et un photon devient une avalanche de clones : émission stimulée — et un laser n’est guère plus.

34.4 Ondes de matière

Proposition 34.14 (Les électrons interfèrent)

Envoyez des électrons un par un à travers une double fente (Chapitre 22) : chacun atterrit comme un point net unique — une particule. Mais à mesure que des milliers s’accumulent, les points dessinent des franges d’interférence : chaque électron, seul, passe comme une onde à travers les deux fentes. Les cristaux diffractent aussi les faisceaux d’électrons (Davisson et Germer, 1927).

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Un électron, un point ; des milliers, des franges. Où atterrit le prochain point est aléatoire — comme la désintégration d’un noyau () — mais l’onde fixe la probabilité : frange claire, probable ; sombre, presque jamais. Le hasard individuel régi par une onde exacte : le cœur de la physique quantique. — Un électron, un point ; des milliers, des franges. Où atterrit le prochain point est aléatoire — comme la désintégration d’un noyau (Chapitre 19) — mais l’onde fixe la *probabilité* : frange claire, probable ; sombre, presque jamais. Le hasard individuel régi par une onde exacte : le cœur de la physique quantique.

Définition 34.15 (Longueur d’onde de de Broglie)

Toute particule de quantité de mouvement $p = mv$ voyage comme une onde de matière de longueur d’onde de de Broglie

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 34.16 (Pourquoi vous ne diffractez jamais)

Un électron accéléré à travers $100\,\mathrm{V}$ a $E_k = 1.60 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ , $p = \sqrt{2m_e E_k} = 5.4 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , donc $\lambda \approx 0.12\,\mathrm{nm}$ — l’espacement des atomes dans un cristal, qui agit donc comme sa double fente. Une balle de tennis de $58\,\mathrm{g}$ à $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\lambda = 6.63\times10^{-34}/1.45 \approx 4.6 \times 10^{-34}\,\mathrm{m}$ , quelque $10^{19}$ fois plus petit qu’un noyau — aucune fente ne la montera jamais en franges. $h$ est si petit que le grain quantique n’affleure qu’à l’échelle de l’atome.

Exemple 34.17 (Le microscope électronique)

La diffraction interdit de résoudre un détail beaucoup plus petit que la longueur d’onde utilisée (Chapitre 22) : la lumière visible s’arrête près de $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Les électrons à $10\,\mathrm{kV}$ ont $\lambda \approx 12\,\mathrm{pm}$ — des dizaines de milliers de fois plus courte : les microscopes électroniques imagent virus, machinerie cellulaire, même des atomes seuls. L’onde de matière a tendu à la physique un nouvel œil.

34.5 Exercices

Exercice 34.1 ★

Un pointeur laser vert émet $1.0\,\mathrm{mW}$ à $530\,\mathrm{nm}$ . Calculer l’énergie d’un photon en joules et électronvolts, puis les photons par seconde.

Solution

Solution de Exercice 34.1.

$E = hc/\lambda = 1.99 \times 10^{-25}/5.30 \times 10^{-7} = 3.75 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 2.35\,\mathrm{eV}$ . $N = 1.0 \times 10^{-3}/3.75 \times 10^{-19} \approx 2.7 \times 10^{15}$ photons par seconde.

Exercice 34.2 ★

Une station FM émet à $100\,\mathrm{MHz}$ . Calculer l’énergie de son photon en $\mathrm{eV}$ et la comparer à un photon visible : pourquoi le grain radio est-il indétectable ?

Solution

Solution de Exercice 34.2.

$E = h\nu = 6.63\times10^{-34} \times 10^{8} = 6.63 \times 10^{-26}\,\mathrm{J} \approx 4.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ — environ cinq millions de fois moins qu’un photon visible. Tout signal radio détectable implique tant de photons par seconde que le flux est parfaitement lisse.

Exercice 34.3 ★

Le césium a $W_0 = 1.9\,\mathrm{eV}$ . Calculer sa fréquence seuil et sa longueur d’onde. Un laser rouge à $633\,\mathrm{nm}$ éjecte-t-il des électrons du césium — et si oui, avec quelle énergie cinétique maximale ?

Solution

Solution de Exercice 34.3.

$\nu_0 = W_0/h = 3.04 \times 10^{-19}/6.63 \times 10^{-34} \approx 4.6 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $\lambda_0 = c/\nu_0 \approx 654\,\mathrm{nm}$ . À $633\,\mathrm{nm}$ , $E = 1240/633 = 1.96\,\mathrm{eV} > 1.9\,\mathrm{eV}$ : oui, tout juste, avec $E_{k,\max} \approx 0.06\,\mathrm{eV} \approx 1 \times 10^{-20}\,\mathrm{J}$ .

Exercice 34.4 ★

En utilisant $E_n = -13.6/n^2$ $\mathrm{eV}$ , calculer l’énergie et la longueur d’onde du photon émis dans la transition $3 \to 2$ de l’hydrogène. Sa couleur ?

Solution

Solution de Exercice 34.4.

$E_3 - E_2 = -1.51 + 3.40 = 1.89\,\mathrm{eV}$ ; $\lambda = 1240/1.89 \approx 656\,\mathrm{nm}$ : la raie rouge.

Exercice 34.5 ★

À partir du graphe $E_{k,\max}$ – $\nu$ du cours, lire la fréquence seuil et le travail d’extraction du sodium (en $\mathrm{eV}$ ) ; quelle constante est la pente ?

Solution

Solution de Exercice 34.5.

$\nu_0 \approx 5.6 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $W_0 = h\nu_0 \approx 3.7 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 2.3\,\mathrm{eV}$ (l’intercept $-W_0$ ). La pente est la constante de Planck $h$ .

Exercice 34.6 ★★

De la lumière de longueur d’onde $400\,\mathrm{nm}$ tombe sur le potassium ( $W_0 = 2.3\,\mathrm{eV}$ ). Calculer l’énergie du photon, l’énergie cinétique maximale des électrons (en $\mathrm{eV}$ et joules), et le potentiel d’arrêt.

Solution

Solution de Exercice 34.6.

$E = 1240/400 = 3.10\,\mathrm{eV}$ ; $E_{k,\max} = 3.10 - 2.3 = 0.80\,\mathrm{eV} = 1.3 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ ; $U_s = E_{k,\max}/e = 0.80\,\mathrm{V}$ .

Exercice 34.7 ★★

Une photocellule est éclairée au-dessus du seuil. Que devient (a) le courant, (b) le potentiel d’arrêt, lorsque l’intensité est doublée à fréquence fixée ? Lorsque la fréquence est élevée ? Quel fait contredit le tableau d’onde, et pourquoi ?

Solution

Solution de Exercice 34.7.

Intensité doublée : le courant double (deux fois plus de photons), $U_s$ inchangé (même énergie par photon). Fréquence élevée : $U_s$ monte, $E_{k,\max} = h\nu - W_0$ . Le tableau d’onde lie l’énergie des électrons à l’intensité, pas à la fréquence — exactement ce qui n’est pas observé.

Exercice 34.8 ★★

Quelle énergie minimale de photon ionise un atome d’hydrogène depuis son état fondamental ? Depuis $n = 2$ ? Calculer les deux longueurs d’onde seuil et nommer leurs domaines spectraux.

Solution

Solution de Exercice 34.8.

Depuis $n = 1$ : $13.6\,\mathrm{eV}$ , $\lambda = 1240/13.6 \approx 91\,\mathrm{nm}$ , ultraviolet lointain. Depuis $n = 2$ : $3.40\,\mathrm{eV}$ , $\lambda \approx 365\,\mathrm{nm}$ , ultraviolet proche.

Exercice 34.9 ★★

De la lumière blanche traverse un bocal d’hydrogène froid (tous les atomes dans l’état fondamental). Expliquer pourquoi le spectre transmis ne montre aucune raie sombre dans le visible, alors que des raies d’absorption de Balmer apparaissent dans les spectres d’étoiles chaudes.

Solution

Solution de Exercice 34.9.

Depuis l’état fondamental le plus petit saut coûte $E_2 - E_1 = 10.2\,\mathrm{eV}$ ( $122\,\mathrm{nm}$ ) : toute raie d’absorption est ultraviolette, aucune visible. Dans une atmosphère stellaire chaude les collisions maintiennent certains atomes en $n = 2$ , d’où les photons visibles de Balmer ( $1.89\text{ to }3.40\,\mathrm{eV}$ ) peuvent être absorbés.

Exercice 34.10 ★★

Calculer la longueur d’onde de de Broglie de (a) un électron accéléré à travers $100\,\mathrm{V}$ , (b) une mouche de $0.10\,\mathrm{g}$ à $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Comparer chacune à la taille d’un atome ( $\sim 10^{-10}\,\mathrm{m}$ ) ; conclure.

Solution

Solution de Exercice 34.10.

(a) $E_k = 1.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ , $p = \sqrt{2m_e E_k} = 5.4 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\lambda = h/p \approx 1.2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ — taille d’atome : les cristaux le diffractent. (b) $p = 1.0 \times 10^{-4} \times 1.0 = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\lambda \approx 6.6 \times 10^{-30}\,\mathrm{m}$ — $10^{20}$ fois plus petit qu’un atome : l’onde de la mouche est à jamais invisible.

Exercice 34.11 ★★

Un œil adapté à l’obscurité répond à environ $90$ photons de lumière à $505\,\mathrm{nm}$ . Calculer cette énergie, la comparer à l’énergie cinétique d’un moustique de $2.5\,\mathrm{mg}$ volant à $0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , et interpréter le rapport.

Solution

Solution de Exercice 34.11.

Un photon : $1.99 \times 10^{-25}/5.05 \times 10^{-7} = 3.94 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ ; quatre-vingt-dix : $\approx 3.5 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ . Moustique : $\tfrac12 \times 2.5 \times 10^{-6} \times 0.50^2 = 3.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{J}$ — $10^{10}$ fois plus. L’œil travaille à une centaine de grains de la limite absolue : presque un compteur de photons.

Exercice 34.12 ★★★

Une photocellule donne $U_s = 1.19\,\mathrm{V}$ à $405\,\mathrm{nm}$ et $U_s = 0.40\,\mathrm{V}$ à $546\,\mathrm{nm}$ . À partir de ces deux points mesurer $h$ , puis le travail d’extraction en $\mathrm{eV}$ . Quel métal de ce chapitre est la cathode ?

Solution

Solution de Exercice 34.12.

$\nu_1 = 7.41 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $\nu_2 = 5.49 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $h = e\,\Delta U_s/\Delta\nu = 1.60 \times 10^{-19} \times 0.79 / 1.91 \times 10^{14} \approx 6.6 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ . $W_0 = h\nu_2 - eU_{s,2} = 3.63 \times 10^{-19} - 0.64 \times 10^{-19} = 3.0 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 1.9\,\mathrm{eV}$ : césium.

Exercice 34.13 ★★★

Une lampe à hydrogène montre des raies à $486\,\mathrm{nm}$ et $434\,\mathrm{nm}$ . Convertir chacune en énergie de photon et identifier les deux transitions en appariant les différences des niveaux $E_n = -13.6/n^2$ $\mathrm{eV}$ .

Solution

Solution de Exercice 34.13.

$1240/486 = 2.55\,\mathrm{eV} = E_4 - E_2 = 3.40 - 0.85$ : transition $4 \to 2$ . $1240/434 = 2.86\,\mathrm{eV} = E_5 - E_2 = 3.40 - 0.54$ : transition $5 \to 2$ .

Exercice 34.14 ★★★

Estimation classique du retard : de la lumière faible d’intensité $1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ tombe sur le potassium ( $W_0 = 2.3\,\mathrm{eV}$ ). Si un atome collectait seulement l’énergie traversant sa section (rayon $1.0 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ ), combien de temps lui faudrait-il pour rassembler $W_0$ ? Comparer au retard observé (sous $10^{-9}\,\mathrm{s}$ ).

Solution

Solution de Exercice 34.14.

Section $\pi r^2 \approx 3.1 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}^{2}$ , puissance collectée $3.1 \times 10^{-26}\,\mathrm{W}$ ; $t = 3.7 \times 10^{-19}/3.1 \times 10^{-26} \approx 1.2 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ — quatre mois, contre moins d’une nanoseconde observée. L’énergie ne peut pas être étalée sur le front d’onde : elle voyage concentrée, en grains.

Exercice 34.15 ★★★

Dans un microscope électronique les électrons sont accélérés à travers $5.0\,\mathrm{kV}$ . Calculer leur longueur d’onde de de Broglie, la comparer à la lumière verte ( $550\,\mathrm{nm}$ ), et expliquer via la diffraction (Chapitre 22) pourquoi cela achète de la résolution.

Solution

Solution de Exercice 34.15.

$E_k = 8.0 \times 10^{-16}\,\mathrm{J}$ , $p = \sqrt{2m_e E_k} = 3.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\lambda = h/p \approx 1.7 \times 10^{-11}\,\mathrm{m} = 17\,\mathrm{pm}$ — environ $3 \times 10^{4}$ fois plus court que $550\,\mathrm{nm}$ . La diffraction floute le détail plus petit que $\sim\lambda$ , donc rétrécir $\lambda$ de $10^4$ achète $10^4$ en résolution.

34.6 Problème : Le labo de physique du panneau solaire

Problème 34.1

Problème du week-end — le labo de physique du panneau solaire : les $10^{21}$ grains qu’un toit boit chaque seconde, une photocellule qui mesure la constante de Planck, une lampe à hydrogène lue raie par raie — un week-end, un $h$

Votre classe instrumente le panneau solaire du toit de l’école pour un week-end. Données : irradiance solaire à midi $1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; longueur d’onde solaire moyenne $550\,\mathrm{nm}$ ; aire du panneau $1.0\,\mathrm{m}^{2}$ , rendement $20\%$ ; le jour livre l’équivalent de $5.0\,\mathrm{h}$ de plein soleil.

Partie I — Comptabilité des photons.

Calculer l’énergie d’un photon solaire moyen, en joules et électronvolts.
En déduire le nombre de photons frappant le panneau par seconde à midi.
Calculer la puissance électrique du panneau à midi, puis l’énergie produite sur la journée, en $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ .
Le courant du panneau paraît parfaitement lisse. À l’aide de la question 2, expliquer pourquoi l’arrivée grain par grain est invisible.
La lumière solaire porte plus d’énergie infrarouge que ultraviolet, pourtant seul l’ultraviolet brûle la peau (liaisons $\sim 3\text{ to }4\,\mathrm{eV}$ ). Expliquer en grains.

Partie II — Mesurer $h$ avec la photocellule du kit. La photocellule du kit a une cathode inconnue. Des filtres donnent :

$\lambda$ ( $\mathrm{nm}$ )	365	405	436	546
$U_s$ ( $\mathrm{V}$ )	1.50	1.16	0.94	0.37

Que mesure le potentiel d’arrêt ? Relier $U_s$ , $\nu$ , $W_0$ , $h$ .
Convertir les quatre longueurs d’onde en fréquences (en $10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ).
Pourquoi tracer $eU_s$ en fonction de $\nu$ doit-il donner une droite ? Vérifier l’alignement des points.
À partir des points extrêmes, calculer la pente : votre $h$ mesuré.
En déduire le travail d’extraction de la cathode ( $\mathrm{eV}$ ), la fréquence seuil et la longueur d’onde seuil.
Quelle partie de la lumière solaire pourrait éjecter des électrons de cette cathode — et quelle moitié du spectre lui est inutile ?
Comparer votre $h$ à $6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ : erreur relative en pour cent ?

Partie III — La lampe d’étalonnage à hydrogène. L’échelle de longueur d’onde du kit est vérifiée contre une lampe à hydrogène, $E_n = -13.6/n^2$ $\mathrm{eV}$ .

Calculer $E_2$ , $E_3$ , $E_4$ et $E_5$ .
Calculer les énergies des photons des transitions $3 \to 2$ , $4 \to 2$ , $5 \to 2$ .
En déduire les trois longueurs d’onde et donner la couleur de chaque raie.
Pourquoi la lampe émet-elle des raies plutôt qu’un arc-en-ciel continu ? Une phrase, nommant l’idée clé.
L’hydrogène de la lampe pourrait-il absorber de la lumière à $500\,\mathrm{nm}$ ? Justifier avec l’échelle.

Partie IV — Inspecter les cellules : l’onde électronique. Des microfissures dans une cellule se placent bien sous la portée de $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ des microscopes optiques ; le microscope électronique à balayage du labo tourne à $10\,\mathrm{kV}$ .

Calculer la vitesse des électrons ; vérifier qu’elle reste sous $0.25\,c$ (formule classique).
Calculer leur quantité de mouvement et leur longueur d’onde de de Broglie.
La résolution évolue avec la longueur d’onde : calculer le gain sur la lumière verte ( $550\,\mathrm{nm}$ ) ; conclure avec les deux nombres du week-end — votre $h$ et ce gain.

Solution

Solution de Problème 34.1.

1. $E = hc/\lambda = 1.99 \times 10^{-25}/5.50 \times 10^{-7} = 3.62 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 2.26\,\mathrm{eV}$ .

2. $N = 1.0 \times 10^{3}/3.62 \times 10^{-19} \approx 2.8 \times 10^{21}$ photons par seconde.

3. $P = 0.20 \times 1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{W} = 200\,\mathrm{W}$ ; $E = 200 \times 5.0 = 1.0\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ( $3.6 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ ).

4. Avec $10^{21}$ grains par seconde, le scintillement statistique est fantastiquement petit : le grain s’average en un courant parfaitement lisse, comme du sable versé vite qui coule comme de l’eau.

5. Les dégâts exigent un grain de $3\text{ to }4\,\mathrm{eV}$ : les grains ultraviolets qualifient, les grains infrarouges ( $\sim 0.1\,\mathrm{eV}$ ) jamais — les nombres ne remplacent pas le punch par grain.

6. $U_s$ est la tension inverse qui arrête juste les électrons les plus rapides : $eU_s = E_{k,\max} = h\nu - W_0$ .

7. $\nu = c/\lambda$ : $8.22$ , $7.41$ , $6.88$ et $5.49$ $\times\,10^{14}\,\mathrm{Hz}$ .

8. $eU_s = h\nu - W_0$ est affine en $\nu$ de pente $h$ . Pentes successives : $(0.94 - 0.37)/1.39 = 0.41$ et $(1.50 - 0.94)/1.34 = 0.42$ $\mathrm{eV}$ par $10^{14}\,\mathrm{Hz}$ — les trois points s’alignent.

9. $h = e(U_{s,1}-U_{s,4})/(\nu_1-\nu_4) = 1.60 \times 10^{-19} \times 1.13/2.72 \times 10^{14} = 6.64 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ .

10. À $546\,\mathrm{nm}$ : $W_0 = h\nu - eU_s = 3.64 \times 10^{-19} - 0.59 \times 10^{-19} = 3.05 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 1.90\,\mathrm{eV}$ ; $\nu_0 = W_0/h = 4.60 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $\lambda_0 \approx 653\,\mathrm{nm}$ .

11. Seul $\lambda < 653\,\mathrm{nm}$ éjecte : le visible violet-à-rouge et l’ultraviolet. Tout le côté infrarouge — environ la moitié de l’énergie du Soleil — est inutile à cette cathode.

12. $(6.64 - 6.63)/6.63 \approx 0.2\%$ — une mesure de labo de physique à deux pour mille d’une constante universelle.

13. $E_2 = -3.40\,\mathrm{eV}$ , $E_3 = -1.51\,\mathrm{eV}$ , $E_4 = -0.85\,\mathrm{eV}$ , $E_5 = -0.54\,\mathrm{eV}$ .

14. $3 \to 2$ : $1.89\,\mathrm{eV}$ ; $4 \to 2$ : $2.55\,\mathrm{eV}$ ; $5 \to 2$ : $2.86\,\mathrm{eV}$ .

15. $\lambda = 1240/E$ : $656\,\mathrm{nm}$ (rouge), $486\,\mathrm{nm}$ (bleu-vert), $434\,\mathrm{nm}$ (violet).

16. Les énergies de l’atome sont quantifiées, donc il ne peut émettre que les différences discrètes $E_p - E_n$ : une échelle fait des raies, pas un arc-en-ciel.

17. Non : $500\,\mathrm{nm}$ signifie $2.48\,\mathrm{eV}$ , qui n’épouse aucune différence de niveaux ( $E_2$ vers le haut donne $1.89$ , $2.55$ , $2.86$ , $3.40\,\mathrm{eV}$ ; depuis $E_1$ tout coûte au moins $10.2\,\mathrm{eV}$ ) — le gaz y est transparent.

18. $eU = \tfrac12 m_e v^2$ : $v = \sqrt{2 \times 1.60 \times 10^{-19} \times 1.0 \times 10^{4}/9.11 \times 10^{-31}} \approx 5.9 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 0.20\,c$ — traitement classique acceptable.

19. $p = m_e v = 5.4 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\lambda = h/p = 1.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{m} = 12\,\mathrm{pm}$ .

20. Gain $= 5.50 \times 10^{-7}/1.23 \times 10^{-11} \approx 4.5 \times 10^{4}$ . Les deux nombres du week-end : $h = 6.64 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , mesuré à $0.2\%$ avec des filtres et un voltmètre, et un microscope quarante-cinq mille fois plus aigu parce que les électrons ondulent.