Physique du lycée · Grades 10–12

23L’effet Doppler

Une ambulance s’approche, sirène hurlante, et passe — et à cet instant la note glisse audiblement vers le bas, bien que le conducteur n’ait rien touché. La sirène est honnête ; l’onde ne l’est pas : le mouvement la comprime devant et l’étire derrière. Ce chapitre mesure cette compression, puis porte la même idée des sirènes aux pistolets radar, au sang dans une artère, et jusqu’à une planète trahie par un tremblement dans la lumière stellaire.

23.1 L’effet

Définition 23.1 (Effet Doppler)

L’effet Doppler est le changement de la fréquence reçue d’une onde lorsque source et récepteur se déplacent l’un par rapport à l’autre : la fréquence reçue $f'$ est plus élevée que la fréquence émise $f$ tant qu’ils se rapprochent, plus basse tant qu’ils s’éloignent, et égale à $f$ seulement tant que leur distance cesse momentanément de changer.

Remarque 23.2 (Hauteur, non intensité sonore)

Deux choses changent au passage de l’ambulance. L’intensité sonore enfle et s’estompe parce que l’onde s’étale avec la distance (Chapitre 21) ; la hauteur se décale à cause de la vitesse de rapprochement ou d’éloignement, et chute abruptement au passage. L’intensité sonore dit « à quelle distance » ; la hauteur dit « à quelle vitesse ».

23.2 Une source en mouvement : fronts d’onde resserrés

L’image clé : une fois qu’une crête quitte la source, le milieu la possède. Chaque crête s’élargit en un cercle à la célérité $v$ de l’onde (Chapitre 20), centré sur le point où elle a été émise — le milieu ne sait ni ne se soucie que la source ait poursuivi son chemin.

Proposition 23.3 (Source en mouvement)

Une source émet des crêtes de période $T$ (fréquence $f = 1/T$ ) tout en se déplaçant en ligne droite à la vitesse $v_s < v$ dans un milieu où l’onde voyage à la célérité $v$ . Un observateur au repos dans le milieu reçoit

\lambda' = (v \mp v_s)\,T, \qquad f' = f\,\frac{v}{v \mp v_s},

les signes supérieurs pour une source qui s’approche, les inférieurs pour une qui s’éloigne.

Démonstration. Entre deux crêtes, la première avance de $vT$ tandis que la source avance de $v_s T$ . Devant, la seconde crête est donc émise $v_s T$ plus près de la première, $\lambda' = (v - v_s)T$ ; derrière, le même $v_s T$ s’ajoute. Les crêtes balayent ensuite un observateur au repos à la célérité $v$ du milieu, une toutes les $\lambda'/v$ secondes, d’où $f' = v/\lambda' = f v/(v \mp v_s)$ . ∎

Fronts d’onde d’une source se déplaçant vers la droite : chaque cercle est centré sur le point d’émission (points gris), donc les crêtes se resserrent devant, ' = (v - v_s)T, et s’étirent derrière, ' = (v + v_s)T. — Fronts d’onde d’une source se déplaçant vers la droite : chaque cercle est centré sur le point d’émission (points gris), donc les crêtes se resserrent devant, $\lambda' = (v - v_s)T$ , et s’étirent derrière, $\lambda' = (v + v_s)T$ .

Exemple 23.4 (L’ambulance, en chiffres)

Une sirène à $f = 700\,\mathrm{Hz}$ s’approche à $v_s = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; prendre $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans l’air (Chapitre 21). En approche : $f' = 700 \times 340/315 \approx 756\,\mathrm{Hz}$ ; en éloignement : $f' = 700 \times 340/365 \approx 652\,\mathrm{Hz}$ . Le passage abaisse la hauteur de $104\,\mathrm{Hz}$ — un rapport $\approx 1.16$ , environ deux demi-tons et demi, indubitable pour toute oreille.

Remarque 23.5 (Ce que le mouvement ne change pas)

L’onde voyage toujours à $v$ : le milieu seul fixe la célérité (Chapitre 20). Le mouvement de la source comprime les longueurs d’onde, jamais les célérités. Et la compression a une limite : lorsque $v_s \to v$ les crêtes devant s’empilent les unes sur les autres et $f' \to \infty$ — l’embouteillage de fronts d’onde qu’un appareil supersonique traîne comme un choc.

23.3 Un observateur en mouvement, et le raccourci des petits mouvements

Proposition 23.6 (Observateur en mouvement)

Un observateur se déplace à la vitesse $v_o$ en ligne droite vers (ou loin d’) une source au repos dans le milieu. La fréquence reçue est

f' = f\left(1 \pm \frac{v_o}{v}\right) \quad (+\ \text{approche},\ -\ \text{éloignement}).

Démonstration. Le motif d’onde lui-même est inchangé : des crêtes d’écartement $\lambda = vT$ voyagent à $v$ . Un observateur qui court vers elles rencontre les crêtes à la vitesse relative $v + v_o$ , une toutes les $\lambda/(v + v_o)$ secondes : $f' = (v + v_o)/\lambda = f(1 + v_o/v)$ . En s’enfuyant, $v - v_o$ . ∎

Définition 23.7 (Vitesse radiale)

La vitesse radiale $v_r$ d’une source par rapport à un observateur est la composante de leur vitesse relative le long de la droite qui les joint — le taux auquel la distance diminue ou croît. Seule cette composante décale la fréquence ; un mouvement en travers de la ligne de visée ne donne aucun décalage à cet ordre.

Proposition 23.8 (Petits mouvements : une formule pour tous)

Lorsque la vitesse radiale est petite, $v_r \ll v$ , peu importe qui bouge :

\frac{\Delta f}{f} = \frac{f' - f}{f} \approx +\frac{v_r}{v} \ \text{(approche)}, \qquad \frac{\Delta f}{f} \approx -\frac{v_r}{v} \ \text{(éloignement)}.

Démonstration. Les formules d’observateur sont déjà exactement $1 \pm v_o/v$ . Pour la source, écrire $x = v_s/v$ : l’identité $\frac{1}{1 - x} = 1 + x + \frac{x^2}{1 - x}$ montre que $f'/f$ diffère de $1 + x$ d’un terme d’ordre $x^2$ — pour $x = 0.1$ , une correction de $1\%$ sur un décalage de $10\%$ . Au premier ordre, les quatre formules se réduisent à $1 \pm v_r/v$ . ∎

Fréquence entendue lorsqu’une sirène à 440\, Hz passe à 15\, m/ s, 8\, m du micro : plateaux à fv/(v v_s), et le vrai f (pointillé) croisé essentiellement à l’approche la plus proche, où le mouvement est purement transversal. — Fréquence entendue lorsqu’une sirène à $440\,\mathrm{Hz}$ passe à $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $8\,\mathrm{m}$ du micro : plateaux à $fv/(v \mp v_s)$ , et le vrai $f$ (pointillé) croisé essentiellement à l’approche la plus proche, où le mouvement est purement transversal.

Méthode 23.9 (Lire un passage)

L’enregistrement d’une source qui passe montre deux plateaux : $f_1$ (approche) et $f_2$ (éloignement). Alors

f = \frac{2 f_1 f_2}{f_1 + f_2}, \qquad v_s = v\,\frac{f_1 - f_2}{f_1 + f_2}.

En effet $f_1 + f_2 = \frac{2fv^2}{v^2 - v_s^2}$ et $f_1 - f_2 = \frac{2fv\,v_s}{v^2 - v_s^2}$ : diviser pour $v_s$ , et calculer $2f_1 f_2/(f_1 + f_2)$ pour $f$ . Deux lectures de fréquence donnent à la fois la vraie hauteur et la vitesse — sans chronomètre ni règle.

23.4 Des échos qui mesurent la vitesse

Renvoyez une onde sur une cible mobile et l’effet Doppler frappe deux fois.

Proposition 23.10 (La réflexion double le décalage)

Une onde de fréquence $f$ est envoyée sur un réflecteur qui s’approche de face à la vitesse $u \ll v$ . L’écho revient avec

f' = f\,\frac{v + u}{v - u}, \qquad \text{d'où} \qquad \Delta f \approx \frac{2u}{v}\,f .

Démonstration. Deux décalages en série. Comme observateur mobile le réflecteur reçoit $f(1 + u/v)$ ; réémettant ce qu’il reçoit, il est maintenant une source mobile, donc l’écho arrive à $f' = f(1 + u/v)/(1 - u/v) \approx f(1 + 2u/v)$ pour $u \ll v$ . ∎

Exemple 23.11 (Le pistolet radar)

Un radar de circulation émet des micro-ondes à $f = 24.15\,\mathrm{GHz}$ ( $v = c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) et superpose l’écho à l’onde sortante ; le battement (Chapitre 21) sonne directement $\Delta f = 2uf/c \approx 161\,\mathrm{Hz}$ par $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ de vitesse de voiture — une fréquence audio trivialement mesurable taillée dans une porteuse à $24\,\mathrm{GHz}$ . Le facteur $2$ n’est pas optionnel : l’oublier flatte chaque conducteur de moitié.

Exemple 23.12 (Échographie Doppler)

Une sonde médicale envoie des ultrasons à $f = 5.0\,\mathrm{MHz}$ dans une artère ( $v \approx 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans les tissus) ; les globules rouges les réfléchissent. Du sang à $u = 0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ renvoie $\Delta f = 2 \times 0.50 \times 5.0 \times 10^{6}/1540 \approx 3.2\,\mathrm{kHz}$ — un battement audible : le cardiologue entend littéralement le sang accélérer à chaque battement, puis mesure $u$ à partir de $\Delta f$ .

23.5 Doppler dans la lumière stellaire

La lumière est une onde (Chapitre 22), son spectre rayé de raies nettes à des longueurs d’onde fixées par chaque élément chimique (Chapitre 2) — une règle calibrée en laboratoire imprimée sur chaque étoile.

Définition 23.13 (Décalage vers le rouge et vers le bleu)

Lorsque les raies spectrales d’une source apparaissent à des longueurs d’onde plus grandes qu’en laboratoire, le spectre est décalé vers le rouge ; lorsqu’elles apparaissent plus courtes, il est décalé vers le bleu — déplacé vers l’extrémité rouge ou bleue du spectre visible.

Proposition 23.14 (Décalage Doppler de la lumière)

Pour une source s’éloignant à la vitesse radiale $v_r \ll c$ , chaque longueur d’onde est observée étirée de

\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{\lambda' - \lambda}{\lambda} \approx \frac{v_r}{c} \quad \text{(décalage vers le rouge)},

et comprimée de la même quantité, $\Delta\lambda/\lambda \approx -v_r/c$ , pour une source qui s’approche (décalage vers le bleu).

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 23.15 (Où vit la formule honnête)

La lumière n’a pas besoin de milieu, donc la dérivation du son ne peut être copiée — il n’y a pas de « au repos dans le milieu ». La formule exacte vient de la relativité restreinte, plus tard cette année (Chapitre 35) ; les corrections sont d’ordre $(v_r/c)^2$ , négligeables pour les avions, les étoiles et les galaxies proches. Ci-dessous on utilise la formule des petits mouvements en toute conscience.

$La même raie d’hydrogène dans trois spectres : à 656.30\, nm en laboratoire, décalée vers le bleu pour une étoile qui s’approche, décalée vers le rouge pour une qui s’éloigne. Le décalage, lu contre la référence en tirets, donne la vitesse radiale.$

La même raie d’hydrogène dans trois spectres : à

656.30\,\mathrm{nm}

en laboratoire, décalée vers le bleu pour une étoile qui s’approche, décalée vers le rouge pour une qui s’éloigne. Le décalage, lu contre la référence en tirets, donne la vitesse radiale.

Exemple 23.16 (Peser la fuite d’une étoile)

Dans le spectre de la brillante étoile Véga, la raie d’hydrogène de longueur d’onde de laboratoire $656.30\,\mathrm{nm}$ est mesurée à $656.27\,\mathrm{nm}$ : $\Delta\lambda = -0.03\,\mathrm{nm}$ , un décalage vers le bleu, donc Véga s’approche à $v_r = c\,|\Delta\lambda|/\lambda \approx 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — $14\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , lus sur un décalage d’une partie sur vingt mille.

Exemple 23.17 (Étoiles qui vacillent : binaires et exoplanètes)

Lorsque deux étoiles orbitent l’une autour de l’autre, leurs raies oscillent périodiquement du bleu au rouge — une binaire spectroscopique, des orbites mesurées sans jamais résoudre la paire. Une planète fait de même à son étoile, faiblement : toutes deux tournent autour de leur centre de masse commun, si bien que la vitesse radiale de l’étoile oscille de quelques dizaines de $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — un décalage $\Delta\lambda/\lambda \sim 10^{-7}$ . Le détecter est la façon dont la première planète autour d’une étoile de type solaire a été trouvée ; le problème du week-end rejoue cette découverte, chiffres compris.

Remarque 23.18 (Décalages vers le rouge des galaxies)

Les spectres des galaxies lointaines sont tous décalés vers le rouge, et plus la galaxie est lointaine, plus le décalage est fort : les distances de l’univers s’étirent. Pour les galaxies proches $v_r = c\,\Delta\lambda/\lambda$ lit la vitesse d’éloignement ; pour les plus lointaines, les décalages dépassent ce que la formule des petits mouvements peut honnêtement traiter, et le compte est repris à partir du Chapitre 35, puis dans les volumes universitaires.

23.6 Exercices

Exercice 23.1 ★

La sirène d’un camion de pompiers émet à $700\,\mathrm{Hz}$ et roule à $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ). Calculer la fréquence entendue par un piéton (a) devant lui ; (b) derrière lui. (c) Que entend le conducteur ?

Solution

Solution de Exercice 23.1.

(a) $f' = 700 \times 340/315 \approx 756\,\mathrm{Hz}$ . (b) $f' = 700 \times 340/365 \approx 652\,\mathrm{Hz}$ . (c) $700\,\mathrm{Hz}$ : conducteur et sirène avancent ensemble, leur distance ne change jamais.

Exercice 23.2 ★

Un ami affirme : « la hauteur chute quand l’ambulance s’en va parce que le son s’affaiblit avec la distance. » Démêler les deux effets confondus, et dire de quoi dépend chacun.

Solution

Solution de Exercice 23.2.

L’intensité sonore s’estompe parce que l’onde s’étale — elle dépend de la distance. La hauteur chute de l’approche à l’éloignement — l’effet Doppler, qui dépend de la vitesse à laquelle la distance change. Deux effets indépendants.

Exercice 23.3 ★

Un cycliste roule à $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ droit vers une sirène stationnaire émettant à $700\,\mathrm{Hz}$ . Quelle fréquence entend-il ? Et en s’éloignant droit ? Quelle formule s’applique, et pourquoi pas celle de la source en mouvement ?

Solution

Solution de Exercice 23.3.

Observateur mobile : $f' = 700\,(1 + 6.0/340) \approx 712\,\mathrm{Hz}$ ; en s’éloignant, $700\,(1 - 6.0/340) \approx 688\,\mathrm{Hz}$ . La sirène est au repos dans l’air, donc le motif d’onde est intact ; seul l’observateur le traverse.

Exercice 23.4 ★

Le klaxon d’un train émet à $400\,\mathrm{Hz}$ tandis que le train roule à $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Calculer la longueur d’onde devant le train, derrière lui, et au repos. Quel observateur reçoit laquelle ?

Solution

Solution de Exercice 23.4.

Devant : $\lambda' = 310/400 = 0.775\,\mathrm{m}$ ; derrière : $370/400 = 0.925\,\mathrm{m}$ ; au repos : $340/400 = 0.85\,\mathrm{m}$ . La longueur d’onde courte atteint qui le train approche, la longue qui il quitte.

Exercice 23.5 ★

Un téléphone jouant un ton à $440\,\mathrm{Hz}$ est porté par un coureur à $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Utiliser la formule des petits mouvements pour estimer le décalage entendu par quelqu’un que le coureur approche. Comparer à un demi-ton (environ $6\%$ en fréquence) : un musicien le remarquerait-il ?

Solution

Solution de Exercice 23.5.

$\Delta f/f \approx 5.0/340 \approx 1.5\%$ : $\Delta f \approx 6.5\,\mathrm{Hz}$ , donc environ $446\,\mathrm{Hz}$ — un quart de demi-ton. Un musicien le remarquerait tout juste.

Exercice 23.6 ★★

Une chauve-souris vole à $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ droit vers un mur, émettant à $50.0\,\mathrm{kHz}$ . Montrer que l’écho qu’elle entend revient à $f' = f(v + v_b)/(v - v_b)$ , puis calculer $f'$ et le décalage. Pourquoi est-ce la formule du pistolet radar déguisée ?

Solution

Solution de Exercice 23.6.

Le mur reçoit $f\,v/(v - v_b)$ (source mobile) ; la chauve-souris, observateur mobile se rapprochant de l’écho, entend $(1 + v_b/v)$ fois cela : $f' = f(v + v_b)/(v - v_b) = 50.0 \times 346/334 \approx 51.8\,\mathrm{kHz}$ , un décalage de $+1.8\,\mathrm{kHz}$ . C’est le double décalage du pistolet radar avec les rôles émetteur et réflecteur échangés : seule la vitesse de rapprochement compte.

Exercice 23.7 ★★

Un pistolet radar à $24.15\,\mathrm{GHz}$ mesure un battement de $4.0\,\mathrm{kHz}$ d’une voiture qui s’approche. Trouver la vitesse de la voiture en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Quel battement donnerait une voiture à exactement $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?

Solution

Solution de Exercice 23.7.

$u = c\,\Delta f/(2f) = 3.00 \times 10^{8} \times 4000/(2 \times 24.15 \times 10^{9}) \approx 24.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 89\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . À $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) : $\Delta f = 2 \times 13.9 \times 24.15 \times 10^{9}/3.00 \times 10^{8} \approx 2.2\,\mathrm{kHz}$ .

Exercice 23.8 ★★

Une sonde Doppler à $5.0\,\mathrm{MHz}$ d’ultrasons dirigée le long d’une artère ( $v = 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans les tissus) entend un battement de $2.6\,\mathrm{kHz}$ . Trouver la vitesse du sang. Pourquoi la sonde doit-elle être orientée le long de l’écoulement plutôt que perpendiculairement ?

Solution

Solution de Exercice 23.8.

$u = v\,\Delta f/(2f) = 1540 \times 2600/1.0 \times 10^{7} \approx 0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Un écoulement perpendiculaire a une vitesse radiale nulle, donc aucun décalage.

Exercice 23.9 ★★

Prendre $f = 1000\,\mathrm{Hz}$ , $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et une vitesse de rapprochement de $34\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Calculer $f'$ exactement lorsque (a) la source bouge, (b) l’observateur bouge. Comparer les deux à la prédiction des petits mouvements $f(1 + v_r/v)$ et expliquer la taille du désaccord.

Solution

Solution de Exercice 23.9.

(a) Source : $f' = 1000 \times 340/306 \approx 1111\,\mathrm{Hz}$ . (b) Observateur : $f' = 1000 \times 1.1 = 1100\,\mathrm{Hz}$ . Les petits mouvements prédisent $1100\,\mathrm{Hz}$ : exact pour l’observateur, $11\,\mathrm{Hz}$ en dessous pour la source — la correction d’ordre $x^2$ , $1\%$ de $f$ pour $x = 0.1$ .

Exercice 23.10 ★★

L’enregistrement d’un scooter passant un micro montre des plateaux à $465\,\mathrm{Hz}$ et $415\,\mathrm{Hz}$ . En utilisant la Méthode 23.9, trouver la vraie fréquence du klaxon et la vitesse du scooter en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Pourquoi la vraie fréquence n’est-elle pas leur moyenne ?

Solution

Solution de Exercice 23.10.

$f = 2 \times 465 \times 415/880 \approx 439\,\mathrm{Hz}$ ; $v_s = 340 \times 50/880 \approx 19.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 70\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Le vrai $f$ est la moyenne harmonique : l’approche élève la fréquence plus que l’éloignement ne l’abaisse, donc $f$ se place sous la moyenne arithmétique ( $440\,\mathrm{Hz}$ ).

Exercice 23.11 ★★

Dans le spectre d’une étoile, la raie d’hydrogène de longueur d’onde de laboratoire $656.3\,\mathrm{nm}$ est observée à $656.5\,\mathrm{nm}$ . Décalage vers le rouge ou vers le bleu ? Calculer la vitesse radiale de l’étoile et sa direction.

Solution

Solution de Exercice 23.11.

Longueur d’onde plus grande : décalage vers le rouge, l’étoile s’éloigne. $v_r = c\,\Delta\lambda/\lambda = 3.00 \times 10^{8} \times 0.2/656.3 \approx 9.1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 91\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

Exercice 23.12 ★★★

Une étoile vacille à $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à cause d’une planète invisible. Calculer l’amplitude de l’oscillation en longueur d’onde d’une raie à $500\,\mathrm{nm}$ , comme longueur et comme fraction de $\lambda$ . Ordre de grandeur : pourquoi la chasse aux planètes a-t-elle dû attendre des spectrographes stables à une partie pour $10^{7}$ ?

Solution

Solution de Exercice 23.12.

$\Delta\lambda = \lambda K/c = 500 \times 55/3.00 \times 10^{8} \approx 9.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{nm}$ ; $\Delta\lambda/\lambda = 55/3.00 \times 10^{8} \approx 1.8 \times 10^{-7}$ . Tout le signal est deux parties sur dix millions : un spectrographe dérivant de plus de $10^{-7}$ l’enfouit.

Exercice 23.13 ★★★

Chaque raie du spectre d’une galaxie est trouvée étirée de $2.4\%$ . Calculer sa vitesse d’éloignement. Les astronomes trouvent que de telles vitesses croissent proportionnellement à la distance, dans toutes les directions du ciel : quelle image cela suggère-t-il ? La formule des petits mouvements est-elle encore fiable ici ?

Solution

Solution de Exercice 23.13.

$v_r = 0.024\,c \approx 7.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Vitesses proportionnelles à la distance, les mêmes dans toutes les directions : toutes les distances s’étirent uniformément — un univers en expansion sans centre privilégié. À $2.4\%$ les corrections sont d’ordre $(v_r/c)^2 \approx 6 \times 10^{-4}$ : encore fiables.

Exercice 23.14 ★★★

Le Soleil tourne : un bord de son disque s’approche de nous à environ $2.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ tandis que l’autre s’éloigne aussi vite. Que fait cela à la raie à $656.3\,\mathrm{nm}$ dans la lumière du disque entier — la décale ou l’élargit ? Calculer l’effet en $\mathrm{nm}$ .

Solution

Solution de Exercice 23.14.

Les deux bords se décalent en sens opposés, donc la raie moyennée sur le disque est élargie, non décalée : largeur totale $2\lambda v/c = 2 \times 656.3 \times 2.0 \times 10^{3}/3.00 \times 10^{8} \approx 8.8 \times 10^{-3}\,\mathrm{nm}$ (environ $\pm4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{nm}$ ).

Exercice 23.15 ★★★

Une voiture de police à $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , sirène à $700\,\mathrm{Hz}$ , poursuit un camion roulant à $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans la même direction. (a) Justifier $f' = f(v - v_o)/(v - v_s)$ pour le conducteur du camion. (b) Calculer $f'$ . (c) Montrer que si le camion égalait la vitesse de la voiture le décalage s’annulerait, et dire pourquoi c’est comme il se doit.

Solution

Solution de Exercice 23.15.

(a) Devant la voiture les crêtes sont espacées de $(v - v_s)T$ ; le camion fuit à $v_o$ et les rencontre à la vitesse relative $v - v_o$ : $f' = (v - v_o)/\bigl((v - v_s)T\bigr) = f(v - v_o)/(v - v_s)$ . (b) $f' = 700 \times 310/300 \approx 723\,\mathrm{Hz}$ . (c) $v_o = v_s$ donne $f' = f$ : la séparation est constante, et aucun changement de distance signifie aucun décalage Doppler, par définition.

23.7 Problème : La chasse à une exoplanète

Problème 23.1

Problème du week-end — la chasse à une exoplanète : un klaxon de train calibre l’oreille, un pistolet radar répète le double décalage, et dimanche soir le spectre d’une étoile, vacillant d’une partie sur cinq millions, a pesé une planète que personne n’a jamais vue

Un club d’astronomie passe un week-end sur une seule idée — le décalage Doppler — répétée sur Terre, puis pointée vers une étoile de type solaire. Données : $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pour le son dans l’air, $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ ; l’étoile a pour masse $M = 2.0 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ . Admis, de la mécanique des orbites circulaires (Chapitre 27) : une planète de masse $m$ sur une orbite circulaire de rayon $r$ a pour période et vitesse $r^3 = \frac{G M P^2}{4\pi^2}$ et $V = \frac{2\pi r}{P}$ , et l’étoile, tournant autour du centre de masse commun, vacille à la vitesse $K = \frac{m}{M}\,V$ .

Partie I — Vendredi : le passage à niveau. Un train passe à vitesse constante, klaxon allumé ; un téléphone enregistre $f_1 = 471\,\mathrm{Hz}$ pendant l’approche, $f_2 = 411\,\mathrm{Hz}$ après le passage.

Expliquer, avec l’image des fronts d’onde resserrés, pourquoi $f_1 > f_2$ bien que le klaxon ne change jamais.
Écrire les deux équations liant $f_1$ , $f_2$ à la vraie fréquence $f$ et à la vitesse $u$ du train.
Montrer que $u = v\,\dfrac{f_1 - f_2}{f_1 + f_2}$ et la calculer en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
Montrer que $f = \dfrac{2 f_1 f_2}{f_1 + f_2}$ et la calculer. Pourquoi $f$ est-elle légèrement sous la moyenne de $f_1$ et $f_2$ ?
Calculer les longueurs d’onde devant et derrière le train, et la longueur d’onde au repos.

Partie II — Samedi : le pistolet radar. Une patrouille de circulation démontre son radar : $f = 24.125\,\mathrm{GHz}$ , et le pistolet lit le battement entre l’onde sortante et l’écho.

Expliquer pourquoi l’écho d’une voiture en mouvement est décalé deux fois — nommer le rôle que joue la voiture dans chaque décalage.
Montrer que pour une voiture à la vitesse $u \ll c$ le battement est $\Delta f \approx \dfrac{2u}{c}\,f$ .
Une voiture renvoie $\Delta f = 3.55\,\mathrm{kHz}$ : calculer $u$ .
Convertir en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ et comparer à la limite de $80\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ affichée là.
Combien d’hertz de battement correspondent à $1\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ? Commenter : qu’est-ce qui rend un tel décalage relatif minuscule d’une onde à $24\,\mathrm{GHz}$ facile à mesurer ?

Partie III — Dimanche : l’étoile qui vacille. Le club télécharge la vitesse radiale mesurée d’une étoile de type solaire, nuit après nuit, tracée ci-dessous.

La vitesse radiale de l’étoile sur douze nuits : une sinusoïde propre — la signature d’un corps sur une orbite circulaire, vue de profil.

Que mesure-t-on réellement, nuit après nuit, dans le spectre de l’étoile ? Énoncer la relation utilisée pour en faire $v_r$ .
Lire l’amplitude $K$ et la période $P$ du vacillement sur la courbe.
Calculer l’oscillation correspondante $\Delta\lambda$ d’une raie à $550\,\mathrm{nm}$ , et $\Delta\lambda/\lambda$ . Comparer avec la partie I : de combien cette mesure est-elle plus difficile que celle du train ?
Pourquoi une planète invisible fait-elle vaciller l’étoile ? Que indique la forme sinusoïdale sur l’orbite ?
Pourquoi cette méthode ne mesure-t-elle que la partie radiale du mouvement de l’étoile, et que verrait-on si l’orbite était face à nous ?

Partie IV — Dimanche soir : peser l’invisible. Prendre l’orbite circulaire et de profil, de sorte que $K$ est la pleine vitesse orbitale de l’étoile.

À partir de $P$ et de la relation admise $r^3 = G M P^2/(4\pi^2)$ , calculer le rayon orbital $r$ de la planète. Le comparer à la distance Terre–Soleil, $1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ .
Calculer la vitesse orbitale $V = 2\pi r/P$ de la planète.
À partir de $K = (m/M)\,V$ , calculer la masse $m$ de la planète.
Comparer $m$ à Jupiter ( $1.9 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$ ) et à la Terre ( $6.0 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ ), et $r$ à la distance Soleil–Mercure ( $5.8 \times 10^{10}\,\mathrm{m}$ ). Quel genre de monde est-ce ?
Si l’orbite était inclinée plutôt que de profil, la vraie masse serait-elle plus grande ou plus petite que votre valeur ? Conclure en une phrase : qu’a livré un décalage périodique d’une partie sur cinq millions ?

Solution

Solution de Problème 23.1.

1. Chaque crête s’élargit depuis le point où elle a été émise : les crêtes se resserrent devant le klaxon mobile et s’étirent derrière, donc le téléphone qui s’approche les rencontre plus vite ( $f_1$ ) que celui qui s’éloigne ( $f_2$ ).

2. $f_1 = f\,\dfrac{v}{v - u}$ , $f_2 = f\,\dfrac{v}{v + u}$ .

3. $f_1 - f_2 = \frac{2fv\,u}{v^2 - u^2}$ et $f_1 + f_2 = \frac{2fv^2}{v^2 - u^2}$ ; en divisant, $u = v\,\frac{f_1 - f_2}{f_1 + f_2} = 340 \times 60/882 \approx 23\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 83\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

4. $\dfrac{2f_1 f_2}{f_1 + f_2} = f$ (le facteur commun s’annule) : $f = 2 \times 471 \times 411/882 \approx 439\,\mathrm{Hz}$ — la moyenne harmonique, sous la moyenne $441\,\mathrm{Hz}$ parce que l’approche élève $f$ plus que l’éloignement ne le coupe.

5. Devant : $(v - u)/f = 316.9/439 \approx 0.72\,\mathrm{m}$ ; derrière : $363.1/439 \approx 0.83\,\mathrm{m}$ ; au repos : $340/439 \approx 0.77\,\mathrm{m}$ .

6. Une fois comme observateur mobile recevant l’onde, une fois comme source mobile réémettant ce qu’elle a reçu.

7. $f' = f\,(1 + u/c)/(1 - u/c) \approx f(1 + 2u/c)$ , donc $\Delta f = f' - f \approx \dfrac{2u}{c}\,f$ .

8. $u = c\,\Delta f/(2f) = 3.00 \times 10^{8} \times 3550/(2 \times 24.125 \times 10^{9}) \approx 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

9. $22.1 \times 3.6 \approx 79\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : juste sous la limite de $80\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

10. $\Delta f = 2f/(3.6\,c) \approx 45\,\mathrm{Hz}$ par $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Battre l’écho contre l’onde émise ne laisse que la différence : une fréquence audio, trivialement comptée, bien qu’elle soit une fraction de $10^{-7}$ de la porteuse.

11. Les longueurs d’onde de raies spectrales connues, nuit après nuit ; puis $v_r = c\,\Delta\lambda/\lambda$ .

12. $K = 55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $P = 4.2\,\mathrm{jours}$ .

13. $\Delta\lambda = 550 \times 55/3.00 \times 10^{8} \approx 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{nm}$ , $\Delta\lambda/\lambda \approx 1.8 \times 10^{-7}$ — une partie sur cinq millions, environ $4 \times 10^{5}$ fois plus petit que le décalage de $7\%$ du train.

14. Étoile et planète s’attirent mutuellement de façon égale, donc toutes deux orbitent autour de leur centre de masse commun : l’étoile ne peut rester immobile. Une $v_r$ sinusoïdale est un mouvement circulaire uniforme vu de profil — une orbite circulaire.

15. Seule la composante le long de la ligne de visée change la distance étoile–Terre, donc la longueur d’onde. Face à nous, $v_r = 0$ à tout instant : aucun signal du tout.

16. $P = 3.63 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$ : $r^3 = 6.67 \times 10^{-11} \times 2.0 \times 10^{30} \times (3.63 \times 10^{5})^2/(4\pi^2) \approx 4.4 \times 10^{29}$ , donc $r \approx 7.6 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$ — environ $1/20$ de la distance Terre–Soleil.

17. $V = 2\pi r/P = 2\pi \times 7.6 \times 10^{9}/3.63 \times 10^{5} \approx 1.3 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

18. $m = M K/V = 2.0 \times 10^{30} \times 55/1.3 \times 10^{5} \approx 8.3 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}$ .

19. Environ $0.4$ masse de Jupiter ( $\approx 140$ Terres), orbitant $8$ fois plus près que Mercure : une géante gazeuse qui grille contre son étoile — un « Jupiter chaud ».

20. Une inclinaison cache une partie du mouvement : le $K$ mesuré n’est que la part radiale, donc la vraie masse est plus grande — $8.3 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}$ est un minimum. Un décalage périodique d’une partie sur cinq millions vient de livrer l’orbite, la vitesse et la masse minimale d’une planète que personne n’a jamais vue.