Physics · Livre 2 · Grades 10–12

Physique du lycée

Physique du lycée · Grades 10–12

10Lentilles, images et l’œil

Toute image nette — sur le capteur d’un téléphone, un écran de cinéma, ou le fond de votre propre œil — repose sur le même tour : un milieu transparent courbe dévie les rayons par réfraction (Chapitre 3) de sorte que tous les rayons issus d’un point se retrouvent en un autre. Ce chapitre dompte le tour : une lentille, trois rayons, une formule — puis le pointe vers les appareils photo, les lunettes, et la lentille vivante qui lit cette phrase.

10.1 Lentilles convergentes et divergentes

Définition 10.1 (Lentille mince)

Une lentille est un milieu transparent délimité par deux surfaces, dont l’une au moins est courbe. Plus épaisse au centre qu’au bord, elle est convergente : des rayons parallèles sont déviés l’un vers l’autre ; plus épaisse au bord, divergente : ils s’écartent. Une lentille mince a une épaisseur négligeable : on la dessine comme un segment munis de flèches vers l’extérieur (convergente) ou vers l’intérieur (divergente). Son centre OO est le centre optique ; la droite perpendiculaire passant par OO, l’axe principal (ou axe optique).

Définition 10.2 (Foyers et distance focale)

Les rayons arrivant parallèles à l’axe d’une lentille convergente se croisent tous sur l’axe en un point derrière elle, le foyer image F′F' ; symétriquement, les rayons issus du foyer objet FF (devant, avec OF=OF′OF = OF') sortent parallèles à l’axe. La distance focale f′=OF′‾f' = \overline{OF'} est positive pour une lentille convergente ; à travers une lentille divergente, des rayons parallèles sortent comme s’ils venaient d’un point F′F' devant la lentille : f′<0f' < 0.

Définition 10.3 (Vergence)

La vergence d’une lentille de distance focale f′f' (en mètres) est C=1/f′C = 1/f', mesurée en dioptries (symbole δ\delta ou D) : 1 D=1 m−11~\text{D} = 1\,\mathrm{m}^{-1} ; les lentilles divergentes ont C<0C < 0. Les opticiens prescrivent en dioptries : les vergences de lentilles minces en contact s’ajoutent simplement (admis ici ; dérivé dans le volume de l’année 1).

Exemple 10.4 (Lire une ordonnance)

Une lentille avec f′=0.50 mf' = 0.50\,\mathrm{m} a C=1/0.50=+2.0C = 1/0.50 = +2.0 D : convergente. Une prescription de −4.0-4.0 D signifie f′=−0.25 mf' = -0.25\,\mathrm{m} : divergente, distance focale 25 cm25\,\mathrm{cm}.

10.2 Construction de l’image

Méthode 10.5 (Les trois rayons de construction)

Soit ABAB un objet perpendiculaire à l’axe en AA. Parmi tous les rayons issus de l’extrémité BB, trois ont des trajets connus :

  1. le rayon passant par le centre optique OO va tout droit ;
  2. le rayon parallèle à l’axe sort en passant par F′F' ;
  3. le rayon passant par FF sort parallèle à l’axe.

Deux suffisent : leur intersection est le point image B′B', et l’image A′B′A'B' est perpendiculaire à l’axe en A′A'. Si les rayons émergents divergent, leurs prolongements rétrogrades (en pointillés) se rencontrent en un point d’image virtuelle.

Les trois rayons de construction : objet AB au-delà de F, image A'B' réelle et renversée (ici OA = -2f' : grandeur nature, = -1).
Les trois rayons de construction : objet ABAB au-delà de FF, image A′B′A'B' réelle et renversée (ici OA‾=−2f′\overline{OA} = -2f' : grandeur nature, γ=−1\gamma = -1).

Définition 10.6 (Images réelles et virtuelles)

Une image est réelle lorsque les rayons émergents y passent effectivement : un écran placé là la recueille ; virtuelle lorsque seuls leurs prolongements rétrogrades se rencontrent : aucun écran ne la recueille, mais un œil qui regarde dans la lentille la voit parfaitement. Une lentille convergente donne une image réelle, renversée, de tout objet au-delà de FF ; glisser l’objet à l’intérieur de la distance focale et l’image devient virtuelle, droite, agrandie.

Objet à l’intérieur de la distance focale (configuration de loupe) : les prolongements rétrogrades construisent une image virtuelle, droite, agrandie A'B'.
Objet à l’intérieur de la distance focale (configuration de loupe) : les prolongements rétrogrades construisent une image virtuelle, droite, agrandie A′B′A'B'.

10.3 Une formule : la relation de conjugaison

Les constructions montrent où est l’image ; une formule la calcule. On oriente l’axe dans le sens de la lumière et on utilise des mesures algébriques : OA‾\overline{OA} est la coordonnée de AA par rapport à OO (négative pour un objet réel devant) ; les hauteurs AB‾\overline{AB} comptent positives vers le haut.

Théorème 10.7 (Relation de conjugaison des lentilles minces)

À travers une lentille mince de distance focale f′f', un point objet AA sur l’axe a pour image le point A′A' tel que

1OA′‾−1OA‾=1f′=C.\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'} = C .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 10.8

La relation découle de la loi de Snell appliquée aux rayons voisins de l’axe ; la dérivation — et les limites du modèle de la lentille mince — sont traitées honnêtement dans le volume de l’année 1.

Définition 10.9 (Grandissement)

Le grandissement de l’image est

γ=A′B′‾AB‾=OA′‾OA‾.\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} .

∣γ∣\abs{\gamma} compare les tailles, son signe les orientations (γ<0\gamma < 0 : renversée) ; le signe de OA′‾\overline{OA'} lit la nature (positif : réelle, derrière la lentille ; négatif : virtuelle, devant).

Exemple 10.10 (La formule au travail)

Un objet se trouve à 30 cm30\,\mathrm{cm} devant une lentille convergente avec f′=10 cmf' = 10\,\mathrm{cm} : OA‾=−30 cm\overline{OA} = -30\,\mathrm{cm}, donc

1OA′‾=110−130=115,OA′‾=+15 cm,γ=15−30=−0.50:\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{1}{15}, \qquad \overline{OA'} = +15\,\mathrm{cm}, \qquad \gamma = \frac{15}{-30} = -0.50 :

une image réelle à 15 cm15\,\mathrm{cm} derrière la lentille, renversée, moitié de taille — exactement ce que dessinent les trois rayons.

10.4 L’œil

Définition 10.11 (L’œil comme système optique)

Optiquement, l’œil est une lentille convergente face à un écran : la cornée et le cristallin agissent comme une seule lentille convergente de distance focale réglable ; la rétine, à environ 17 mm17\,\mathrm{mm} derrière, est l’écran fixe. La mise au point se fait en déformant le cristallin, non en le déplaçant comme dans un appareil photo : l’accommodation est le changement de f′f' produit par les muscles ciliaires. Le point le plus proche vu nettement à pleine accommodation est le punctum proximum — environ 25 cm25\,\mathrm{cm} pour l’œil normal — le plus lointain, au repos, le punctum remotum (l’infini pour l’œil normal).

Accommodation : pour focaliser un objet proche sur la même rétine, le cristallin bombe — sa vergence augmente. Accommodation : pour focaliser un objet proche sur la même rétine, le cristallin bombe — sa vergence augmente.
Accommodation : pour focaliser un objet proche sur la même rétine, le cristallin bombe — sa vergence augmente.

Exemple 10.12 (La vergence de votre œil)

La rétine est à OA′‾=+0.017 m\overline{OA'} = +0.017\,\mathrm{m}. Objet lointain (1/OA‾≈01/\overline{OA} \approx 0) : C=1/0.017≈59C = 1/0.017 \approx 59 D. Punctum proximum (OA‾=−0.25 m\overline{OA} = -0.25\,\mathrm{m}) : C=1/0.017+1/0.25≈63C = 1/0.017 + 1/0.25 \approx 63 D. Lire coûte environ 44 D : l’œil est une lentille de 5959 D avec un réglage fin intégré de +4+4 D.

10.5 Défauts, corrections et la loupe

Définition 10.13 (Myopie et hypermétropie)

Un œil myope (vue de près) est trop convergent pour sa longueur : les rayons parallèles se focalisent devant la rétine, les objets lointains sont flous, le punctum remotum est à distance finie ; une lentille divergente de lunette le corrige. Un œil hypermétrope (vue de loin) n’est pas assez convergent : les objets proches se focaliseraient derrière la rétine, le punctum proximum s’éloigne ; une lentille convergente le corrige. Le vieillissement rigidifie le cristallin (presbytie), réduisant l’accommodation — même remède : des lunettes de lecture.

Exemple 10.14 (Prescrire pour un myope)

Un œil myope a son punctum remotum à 50 cm50\,\mathrm{cm} : la lentille correctrice doit montrer les objets lointains au punctum remotum — objet à l’infini, image en OA′‾=−0.50 m\overline{OA'} = -0.50\,\mathrm{m} (virtuelle, devant). Alors 1/f′=1/OA′‾1/f' = 1/\overline{OA'} : f′=−0.50 mf' = -0.50\,\mathrm{m}, C=−2.0C = -2.0 D ; l’œil détendu regarde cette image virtuelle et la voit nette.

Un œil myope focalise les rayons parallèles avant la rétine (point rouge) ; une lentille divergente ramène le foyer sur la rétine. Un œil myope focalise les rayons parallèles avant la rétine (point rouge) ; une lentille divergente ramène le foyer sur la rétine.
Un œil myope focalise les rayons parallèles avant la rétine (point rouge) ; une lentille divergente ramène le foyer sur la rétine.

Définition 10.15 (La loupe)

Une loupe est une lentille convergente de courte distance focale utilisée avec l’objet à l’intérieur de la distance focale : l’image est virtuelle, droite, agrandie (Définition 10.6), et l’œil la regarde confortablement de loin.

Exemple 10.16 (La loupe d’un bijoutier)

Loupe avec f′=5.0 cmf' = 5.0\,\mathrm{cm}, pierre à 4.0 cm4.0\,\mathrm{cm} : 1/OA′‾=1/5.0−1/4.0=−1/201/\overline{OA'} = 1/5.0 - 1/4.0 = -1/20, donc OA′‾=−20 cm\overline{OA'} = -20\,\mathrm{cm} et γ=(−20)/(−4.0)=+5.0\gamma = (-20)/(-4.0) = +5.0 : une image virtuelle, droite, cinq fois plus grande, à un confortable 20 cm20\,\mathrm{cm} de la lentille.

10.6 Exercices

Exercice 10.1 ★

Calculer les vergences pour f′=50 cmf' = 50\,\mathrm{cm}, −20 cm-20\,\mathrm{cm} et 4.0 mm4.0\,\mathrm{mm}, puis la distance focale d’une lentille de +8.0+8.0 D.

Solution

Solution de Exercice 10.1.

C=1/0.50=+2.0C = 1/0.50 = +2.0 D ; 1/(−0.20)=−5.01/(-0.20) = -5.0 D ; 1/0.0040=+2501/0.0040 = +250 D. Une lentille de +8.0+8.0 D : f′=1/8.0=0.125 m=12.5 cmf' = 1/8.0 = 0.125\,\mathrm{m} = 12.5\,\mathrm{cm}.

Exercice 10.2 ★

Une lentille est plus épaisse aux bords qu’au centre. Convergente ou divergente ? Peut-elle servir de loupe ? Que voit-on en la tenant au-dessus d’une page imprimée ?

Solution

Solution de Exercice 10.2.

Divergente (f′<0f' < 0). Non : pour toute distance objet dd, γ=f′/(f′−d)\gamma = f'/(f' - d) (montré dans le Exercice 10.15) est entre 00 et 11 — l’image est toujours virtuelle, droite et réduite. L’imprimé paraît droit et rétréci, jamais grossi.

Exercice 10.3 ★

Une lentille convergente a f′=10 cmf' = 10\,\mathrm{cm} ; un objet est à 20 cm20\,\mathrm{cm} devant elle. Construire l’image avec deux des trois rayons, puis vérifier sa position et sa taille avec la relation de conjugaison.

Solution

Solution de Exercice 10.3.

L’objet est en 2f′2f' ; les rayons central et parallèle se croisent à 20 cm20\,\mathrm{cm} derrière la lentille. Vérification : 1/OA′‾=1/10−1/20=1/201/\overline{OA'} = 1/10 - 1/20 = 1/20, donc OA′‾=+20 cm\overline{OA'} = +20\,\mathrm{cm} et γ=20/(−20)=−1\gamma = 20/(-20) = -1 : réelle, renversée, grandeur nature — comme dessiné.

Exercice 10.4 ★

Un objet est à 24 cm24\,\mathrm{cm} devant une lentille convergente avec f′=8.0 cmf' = 8.0\,\mathrm{cm}. Calculer OA′‾\overline{OA'} et γ\gamma, et décrire l’image (nature, orientation, taille).

Solution

Solution de Exercice 10.4.

1/OA′‾=1/8.0−1/24=1/121/\overline{OA'} = 1/8.0 - 1/24 = 1/12 : OA′‾=+12 cm\overline{OA'} = +12\,\mathrm{cm}, γ=12/(−24)=−0.50\gamma = 12/(-24) = -0.50. Image réelle à 12 cm12\,\mathrm{cm} derrière la lentille, renversée, moitié de taille.

Exercice 10.5 ★

Dans l’œil : qu’est-ce qui forme la lentille convergente ? Qu’est-ce qui joue le rôle d’écran ? Qu’est-ce qui change pendant l’accommodation — et qu’est-ce qui ne peut pas ? Définir le punctum proximum de l’œil normal.

Solution

Solution de Exercice 10.5.

La cornée et le cristallin forment la lentille convergente ; la rétine est l’écran. L’accommodation change la distance focale (vergence) du cristallin ; la distance cristallin–rétine ne peut pas changer. Punctum proximum : point le plus proche vu nettement à pleine accommodation — 25 cm25\,\mathrm{cm} pour l’œil normal.

Exercice 10.6 ★★

Un objectif d’appareil photo a f′=50 mmf' = 50\,\mathrm{mm}. Où est le capteur lorsqu’on met au point un paysage lointain ? Calculer la distance lentille–capteur pour un sujet à 3.0 m3.0\,\mathrm{m}, et le débattement entre les deux réglages.

Solution

Solution de Exercice 10.6.

Paysage : capteur dans le plan focal, à 50 mm50\,\mathrm{mm} de la lentille. À 3.0 m3.0\,\mathrm{m} : 1/OA′‾=1/50−1/3000=59/30001/\overline{OA'} = 1/50 - 1/3000 = 59/3000, donc OA′‾≈50.8 mm\overline{OA'} \approx 50.8\,\mathrm{mm}. Débattement : environ 0.8 mm0.8\,\mathrm{mm}.

Exercice 10.7 ★★

Une loupe a f′=6.0 cmf' = 6.0\,\mathrm{cm} ; un timbre est à 5.0 cm5.0\,\mathrm{cm} dessous. Position, nature, orientation et grandissement de l’image ?

Solution

Solution de Exercice 10.7.

1/OA′‾=1/6.0−1/5.0=−1/301/\overline{OA'} = 1/6.0 - 1/5.0 = -1/30 : OA′‾=−30 cm\overline{OA'} = -30\,\mathrm{cm} — virtuelle, droite, γ=(−30)/(−5.0)=+6.0\gamma = (-30)/(-5.0) = +6.0 : six fois le timbre, à 30 cm30\,\mathrm{cm} au-dessus de la lentille.

Exercice 10.8 ★★

Un objet et un écran se font face ; une lentille convergente entre eux donne une image nette lorsqu’ils sont tous deux à 40 cm40\,\mathrm{cm} de la lentille. Calculer f′f' et γ\gamma. Pourquoi cette image symétrique doit-elle être exactement grandeur nature ?

Solution

Solution de Exercice 10.8.

1/f′=1/40+1/40=1/201/f' = 1/40 + 1/40 = 1/20 : f′=20 cmf' = 20\,\mathrm{cm} ; γ=40/(−40)=−1\gamma = 40/(-40) = -1. La symétrie impose ∣OA′‾∣=∣OA‾∣\abs{\overline{OA'}} = \abs{\overline{OA}}, d’où ∣γ∣=1\abs{\gamma} = 1 ; l’image est réelle et renversée, donc γ=−1\gamma = -1 : exactement grandeur nature.

Exercice 10.9 ★★

Un objet est à 50 cm50\,\mathrm{cm} devant une lentille divergente avec f′=−25 cmf' = -25\,\mathrm{cm}. Calculer OA′‾\overline{OA'} et γ\gamma ; décrire l’image. Pourquoi les yeux d’un myope paraissent-ils un peu plus petits à travers ses lunettes ?

Solution

Solution de Exercice 10.9.

1/OA′‾=−1/25−1/50=−3/501/\overline{OA'} = -1/25 - 1/50 = -3/50 : OA′‾≈−16.7 cm\overline{OA'} \approx -16.7\,\mathrm{cm}, γ=(−16.7)/(−50)=+0.33\gamma = (-16.7)/(-50) = +0.33 : virtuelle, droite, un tiers de la taille. Les lunettes d’un myope sont divergentes : tout ce qu’on voit à travers — y compris, de l’extérieur, les yeux du porteur — est réduit.

Exercice 10.10 ★★

Un œil myope a son punctum remotum à 40 cm40\,\mathrm{cm}. Quelle vergence doit avoir la lentille correctrice, et où place-t-elle l’image d’une montagne lointaine ? Pourquoi la montagne est-elle alors vue sans effort ?

Solution

Solution de Exercice 10.10.

Image de l’infini au punctum remotum : f′=−0.40 mf' = -0.40\,\mathrm{m}, donc C=−2.5C = -2.5 D. L’image de la montagne se trouve à 40 cm40\,\mathrm{cm} devant la lentille — exactement le punctum remotum, que l’œil détendu voit nettement avec zéro accommodation.

Exercice 10.11 ★★

Un lecteur presbyte a son punctum proximum à 80 cm80\,\mathrm{cm} mais veut lire à 25 cm25\,\mathrm{cm} : les lunettes doivent imager la page à 25 cm25\,\mathrm{cm} en une page virtuelle à 80 cm80\,\mathrm{cm}. Calculer la vergence requise.

Solution

Solution de Exercice 10.11.

C=1/OA′‾−1/OA‾=1/(−0.80)−1/(−0.25)=−1.25+4.00=+2.75C = 1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/(-0.80) - 1/(-0.25) = -1.25 + 4.00 = +2.75 D.

Exercice 10.12 ★★★

Un projecteur doit former l’image d’une diapositive, agrandie γ=−50\gamma = -50, sur un écran à 5.1 m5.1\,\mathrm{m} de la diapositive.

  1. Trouver OA‾\overline{OA}, OA′‾\overline{OA'}, sachant que OA′‾−OA‾=5.1 m\overline{OA'} - \overline{OA} = 5.1\,\mathrm{m}.
  2. En déduire la distance focale de la lentille de projection.
  3. Quelle est la hauteur de l’image d’une diapositive de 24 mm24\,\mathrm{mm} de haut ?
Solution

Solution de Exercice 10.12.

1. γ=OA′‾/OA‾=−50\gamma = \overline{OA'}/\overline{OA} = -50 donne OA′‾=−50 OA‾\overline{OA'} = -50\,\overline{OA} ; avec OA′‾−OA‾=5.1 m\overline{OA'} - \overline{OA} = 5.1\,\mathrm{m}, −51 OA‾=5.1 m-51\,\overline{OA} = 5.1\,\mathrm{m} : OA‾=−0.10 m\overline{OA} = -0.10\,\mathrm{m}, OA′‾=+5.0 m\overline{OA'} = +5.0\,\mathrm{m}.

2. 1/f′=1/5.0+1/0.10=10.21/f' = 1/5.0 + 1/0.10 = 10.2 : f′≈9.8 cmf' \approx 9.8\,\mathrm{cm}.

3. 50×24 mm=1.2 m50 \times 24\,\mathrm{mm} = 1.2\,\mathrm{m}, renversée — d’où l’habitude de charger les diapositives à l’envers.

Exercice 10.13 ★★★

La rétine est à 17 mm17\,\mathrm{mm} derrière la lentille de l’œil.

  1. Calculer la vergence de l’œil mis au point à l’infini, puis sur le punctum proximum standard (25 cm25\,\mathrm{cm}). En déduire l’amplitude d’accommodation de l’œil normal.
  2. Un œil plus âgé a son punctum proximum à 1.0 m1.0\,\mathrm{m}. Calculer son amplitude et la fraction de l’amplitude standard qui reste.
Solution

Solution de Exercice 10.13.

1. C∞=1/0.017≈59C_\infty = 1/0.017 \approx 59 D ; C25=1/0.017+1/0.25≈63C_{25} = 1/0.017 + 1/0.25 \approx 63 D. Amplitude : 1/0.25=4.01/0.25 = 4.0 D.

2. Amplitude =1/1.0=1.0= 1/1.0 = 1.0 D : un quart (25 %25\,\%) des 4.04.0 D de l’œil normal reste.

Exercice 10.14 ★★★

Une loupe vendue « ×3\times 3 » a sa distance focale donnée par 3=0.25/f′3 = 0.25/f' (f′f' en mètres).

  1. Calculer f′f'.
  2. Où doit se trouver un objet pour que son image virtuelle soit à 25 cm25\,\mathrm{cm} devant la lentille ? Calculer γ\gamma ; comparer avec le ×3\times 3 annoncé.
Solution

Solution de Exercice 10.14.

1. f′=0.25/3≈0.083 m=8.3 cmf' = 0.25/3 \approx 0.083\,\mathrm{m} = 8.3\,\mathrm{cm}.

2. OA′‾=−25 cm\overline{OA'} = -25\,\mathrm{cm} : 1/OA‾=−1/25−3/25=−4/251/\overline{OA} = -1/25 - 3/25 = -4/25, d’où OA‾=−6.25 cm\overline{OA} = -6.25\,\mathrm{cm} et γ=+4.0\gamma = +4.0 — mieux que le ×3\times 3 annoncé, qui suppose l’image à l’infini ; la ramener au punctum proximum gagne une unité.

Exercice 10.15 ★★★

Un objet réel est à la distance d>0d > 0 devant une lentille convergente (OA‾=−d\overline{OA} = -d, f′>0f' > 0). Montrer que OA′‾=f′dd−f′\overline{OA'} = \frac{f'd}{d - f'} et γ=f′f′−d\gamma = \frac{f'}{f' - d}. En déduire : image réelle et renversée lorsque d>f′d > f' ; virtuelle, droite, agrandie (γ>1\gamma > 1) lorsque 0<d<f′0 < d < f' — toute lentille convergente est une loupe, utilisée assez près.

Solution

Solution de Exercice 10.15.

1/OA′‾=1/f′−1/d=(d−f′)/(f′d)1/\overline{OA'} = 1/f' - 1/d = (d - f')/(f'd), donc OA′‾=f′d/(d−f′)\overline{OA'} = f'd/(d - f') et γ=OA′‾/(−d)=f′/(f′−d)\gamma = \overline{OA'}/(-d) = f'/(f' - d). Si d>f′d > f' : OA′‾>0\overline{OA'} > 0 (réelle) et γ<0\gamma < 0 (renversée). Si 0<d<f′0 < d < f' : OA′‾<0\overline{OA'} < 0 (virtuelle) et γ=f′/(f′−d)>1\gamma = f'/(f' - d) > 1 : droite et agrandie — la configuration de loupe.

10.7 Problème : Une formule, trois instruments

Problème 10.1

Problème du week-end — la même relation de conjugaison met au point un appareil photo, prescrit des lunettes de lecture, conçoit une loupe, et mesure le zoom intégré à votre propre œil

Un photographe manœuvre un objectif de 50 mm50\,\mathrm{mm}, une grand-mère tient le journal à bout de bras, un bijoutier se penche sur un diamant : une ligne d’algèbre, 1/OA′‾−1/OA‾=1/f′1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/f' (Théorème 10.7), traverse les trois métiers — puis l’œil lui-même.

Partie I — Une formule. Une lentille convergente a f′=20 cmf' = 20\,\mathrm{cm}.

  1. Un objet à 60 cm60\,\mathrm{cm} : calculer OA′‾\overline{OA'} et γ\gamma ; décrire l’image.
  2. Déplacer l’objet à 30 cm30\,\mathrm{cm} ; recalculer. Qu’est-ce qui s’est échangé avec la question 1 ? (Les trajets lumineux sont réversibles.)
  3. Le placer à 10 cm10\,\mathrm{cm}, à l’intérieur de f′f' : recalculer et décrire.
  4. Résumer : lorsque l’objet glisse de très loin vers FF, puis le dépasse, comment l’image se déplace-t-elle et change-t-elle de nature ?
  5. Montrer qu’un objet très lointain (1/OA‾≈01/\overline{OA} \approx 0) se forme toujours dans le plan focal : OA′‾=f′\overline{OA'} = f'.

Partie II — Le photographe. Un objectif d’appareil photo a f′=50 mmf' = 50\,\mathrm{mm} ; le capteur, haut de 24 mm24\,\mathrm{mm}, peut se déplacer par rapport à la lentille.

  1. Où est le capteur lorsqu’on met au point un paysage lointain ?
  2. Maintenant un visage à 1.0 m1.0\,\mathrm{m} : calculer la nouvelle distance lentille–capteur et le débattement depuis le réglage paysage.
  3. Le mécanisme autorise au plus 55 mm55\,\mathrm{mm} de distance lentille–capteur. Calculer la distance minimale de mise au point.
  4. À cette mise au point la plus proche, calculer γ\gamma. L’image d’un visage de 20 cm20\,\mathrm{cm} tient-elle sur le capteur ?
  5. « Macro » grandeur nature signifie γ=−1\gamma = -1 : où doivent alors se trouver l’objet et le capteur, et pourquoi cela exige-t-il un objectif spécial ?

Partie III — La grand-mère. Avec l’âge, le punctum proximum s’éloigne : celui de grand-mère est à 1.0 m1.0\,\mathrm{m}.

  1. Expliquer le journal à bout de bras.
  2. Pour lire à 25 cm25\,\mathrm{cm}, ses lunettes doivent transformer une page à 25 cm25\,\mathrm{cm} en une image virtuelle à 1.0 m1.0\,\mathrm{m} : calculer la vergence requise.
  3. Calculer γ\gamma. L’image est quatre fois plus grande, et pourtant ne paraît pas plus grande : expliquer, en comparant tailles et distances.
  4. Montrer que l’imprimé n’est net qu’entre 25 cm25\,\mathrm{cm} et f′≈33 cmf' \approx 33\,\mathrm{cm}. Qu’en est-il d’un objet lointain vu à travers les lunettes ?
  5. En déduire en une phrase pourquoi les verres bifocaux existent.

Partie IV — Le bijoutier, et le zoom propre de l’œil. La loupe du bijoutier a f′=5.0 cmf' = 5.0\,\mathrm{cm} ; son punctum proximum est à 25 cm25\,\mathrm{cm} ; sa rétine est à 17 mm17\,\mathrm{mm} derrière la lentille de son œil.

  1. Une pierre à 4.0 cm4.0\,\mathrm{cm} sous la loupe : position, nature, grandissement ?
  2. Où doit se trouver la pierre pour que son image tombe à son punctum proximum, et que vaut alors γ\gamma ?
  3. Pourquoi les bijoutiers expérimentés placent-ils la pierre exactement en FF (image à l’infini) ?
  4. Maintenant l’œil seul : calculer sa vergence en regardant un objet lointain, puis un à 25 cm25\,\mathrm{cm} : combien de dioptries d’accommodation ?
  5. Convertir les deux vergences en distances focales : de combien, en millimètres et en pour cent, l’œil change-t-il sa propre distance focale — le zoom que l’appareil photo faisait par débattement et grand-mère par +3+3 D ?
Solution

Solution de Problème 10.1.

1. 1/OA′‾=1/20−1/60=1/301/\overline{OA'} = 1/20 - 1/60 = 1/30 : OA′‾=+30 cm\overline{OA'} = +30\,\mathrm{cm}, γ=−0.50\gamma = -0.50 — réelle, renversée, moitié de taille.

2. OA′‾=+60 cm\overline{OA'} = +60\,\mathrm{cm}, γ=−2\gamma = -2 : les positions 30 cm30\,\mathrm{cm} et 60 cm60\,\mathrm{cm} ont échangé leurs rôles, les grandissements sont réciproques — la lumière inversée suit le même chemin.

3. 1/OA′‾=1/20−1/10=−1/201/\overline{OA'} = 1/20 - 1/10 = -1/20 : OA′‾=−20 cm\overline{OA'} = -20\,\mathrm{cm}, γ=+2\gamma = +2 — virtuelle, droite, doublée.

4. Depuis l’infini l’image commence dans le plan focal ; à mesure que l’objet approche FF l’image réelle, renversée, s’éloigne vers l’infini et grandit ; à l’intérieur de f′f' elle devient virtuelle, droite, agrandie, devant la lentille.

5. 1/OA‾≈01/\overline{OA} \approx 0 laisse 1/OA′‾=1/f′1/\overline{OA'} = 1/f' : OA′‾=f′\overline{OA'} = f', le plan focal.

6. Dans le plan focal, à 50 mm50\,\mathrm{mm} derrière la lentille.

7. 1/OA′‾=1/50−1/1000=19/10001/\overline{OA'} = 1/50 - 1/1000 = 19/1000 : OA′‾≈52.6 mm\overline{OA'} \approx 52.6\,\mathrm{mm} ; débattement ≈2.6 mm\approx 2.6\,\mathrm{mm}.

8. 1/OA‾=1/55−1/50=−1/5501/\overline{OA} = 1/55 - 1/50 = -1/550 : distance minimale de mise au point 550 mm550\,\mathrm{mm} = 55 cm55\,\mathrm{cm}.

9. γ=55/(−550)=−0.10\gamma = 55/(-550) = -0.10 : le visage se forme à 20 mm20\,\mathrm{mm}, juste dans le capteur de 24 mm24\,\mathrm{mm}.

10. γ=−1\gamma = -1 impose OA′‾=−OA‾\overline{OA'} = -\overline{OA}, donc 2/OA′‾=1/f′2/\overline{OA'} = 1/f' : objet à 100 mm100\,\mathrm{mm} (=2f′= 2f') devant, capteur à 100 mm100\,\mathrm{mm} derrière — le double du tirage paysage, bien au-delà du mécanisme de 55 mm55\,\mathrm{mm} ; les objectifs macro fournissent le débattement supplémentaire.

11. Tout ce qui est plus près que son punctum proximum (1.0 m1.0\,\mathrm{m}) est flou : les bras tendus amènent la page aussi près de 1.0 m1.0\,\mathrm{m} que possible — nette, si petite.

12. C=1/(−1.0)−1/(−0.25)=−1.0+4.0=+3.0C = 1/(-1.0) - 1/(-0.25) = -1.0 + 4.0 = +3.0 D.

13. γ=(−1.0)/(−0.25)=+4.0\gamma = (-1.0)/(-0.25) = +4.0 : quatre fois plus grande mais quatre fois plus loin — même taille angulaire ; le gain n’est pas la taille mais la netteté, puisque l’image se trouve désormais à son punctum proximum.

14. La netteté exige l’image au-delà de 1.0 m1.0\,\mathrm{m} : de la page à 25 cm25\,\mathrm{cm} (image à 1.0 m1.0\,\mathrm{m}) à la page en f′=1/3.0≈0.33 mf' = 1/3.0 \approx 0.33\,\mathrm{m} (image à l’infini). Un objet lointain se forme à 33 cm33\,\mathrm{cm} derrière les lunettes — une image réelle que l’œil ne peut utiliser : le monde lointain est flou.

15. D’où les bifocaux : puissance de lecture (puissance) dans la moitié inférieure de la lentille, aucune (ou la correction de loin) dans la moitié supérieure.

16. 1/OA′‾=1/5.0−1/4.0=−1/201/\overline{OA'} = 1/5.0 - 1/4.0 = -1/20 : OA′‾=−20 cm\overline{OA'} = -20\,\mathrm{cm}, virtuelle, droite, γ=+5.0\gamma = +5.0.

17. 1/OA‾=−1/25−1/5.0=−6/251/\overline{OA} = -1/25 - 1/5.0 = -6/25 : OA‾≈−4.2 cm\overline{OA} \approx -4.2\,\mathrm{cm} ; γ=(−25)/(−25/6)=+6.0\gamma = (-25)/(-25/6) = +6.0.

18. Pierre en FF : image à l’infini, vue avec zéro accommodation — des heures d’inspection sans fatigue oculaire.

19. C∞=1/0.017≈59C_\infty = 1/0.017 \approx 59 D ; C25=1/0.017+1/0.25≈63C_{25} = 1/0.017 + 1/0.25 \approx 63 D : environ 44 D d’accommodation.

20. f′=1/58.8≈17.0 mmf' = 1/58.8 \approx 17.0\,\mathrm{mm} contre 1/62.8≈15.9 mm1/62.8 \approx 15.9\,\mathrm{mm} : environ 1.1 mm1.1\,\mathrm{mm}, quelque 6 %6\,\% — le zoom intégré que l’appareil photo imitait avec 2.6 mm2.6\,\mathrm{mm} de débattement et que grand-mère compensait par +3+3 D.